Post on 28-Jan-2016
Sobre borrachos que caminan y porque son un modelo adecuado de
transporte molecular.
Robert Brown
Rutheford
Gilbert (El presi)
Dalton CavendishRonalds (Telegrafo)
Amigotes arrancando el siglo XIX
La génesis del Movimiento Browniano:
Hipótesis 1: Es movimiento vital.
En contra?
Hipótesis 2: Es movimiento de un baño de moleculas.
En contra:
1) Como pueden moléculas tan pequeñas desplazar cuerpos tan grandes
2) Cada choque se produce cada 10 -12 segundos. El ojo resuelve (ergo el cine) cada 30 milisegundos. Como podemos ver este
movimiento?
Simulando movimiento Browniano
Modelando (matematizando, conceptualizando) el movimiento
Browniano
Jugándose el destino al azar ¿A donde se va?
A diferencia de la física que vimos hasta aquí, el resultado de este proceso es probabilístico. Comprender el problema ya no se trata de responder: “En 10 segundos llega a Mar del Plata” sino en 10 segundos lo mas probable es que este en Mar del Plata, es posible (estrellitas prohibidas!) que este en Chascomus, e imposible que este ....
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
0 100 200 300-40
-20
0
20
40
Tiempo
Pos
icio
n
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
100 200 300
-50
0
50
0.5
1
1.5
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
100 200 300
-50
0
50
1
2
3
4
5
6
7
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
100 200 300
-50
0
50
1
2
3
4
5
6
7
-50 0 500
200
400
600
800
1000
1200T=20
100 200 300
-50
0
50
1
2
3
4
5
6
7
-50 0 500
200
400
600
800
1000
1200
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
T=100
100 200 300
-50
0
50
1
2
3
4
5
6
7
-50 0 500
200
400
600
800
1000
1200
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
T=200
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
0 100 200 300-40
-20
0
20
40
Tiempo
Pos
icio
n
¿cuál es el desplazamiento medio del ensamble?
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
¿cuál es la dispersión (std)?Las distribuciones suelen ser mas ricas (e informativas) que lo que resumen un par de
números. En este caso, entendiendo la media y la std entendemos casi todo.
0 100 200 300-40
-20
0
20
40
Tiempo
Pos
icio
n
0 100 200 300-40
-20
0
20
40
Tiempo
Pos
icio
n
Std(random walk)
t
Oda al Maestro
¿Qué es esto?
{1,4,7,10,13,16,19,22,25,28…}
)1()( nxnx ii
partícula i es independiente de la partícula j
Paro donde estoy, tiro una moneda. Si sale cruz – un paso para la derecha.
Si sale cara – un pasito para la izquierda
RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
)1()( nxnx ii
La derivada! Una ecuación diferencial estocástica.
dt
dx
i i nxI
nx )(1
)(
¿cómo demostrar que el promedio es cero?
RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
i ii InxI 1)1(1
i
nx )1( Esto es cero por definición de
random-walk.
Demostración por inducción: 1) Vale para el primero.2) Si vale para (n-1) vale para
(n)
22 )()( nxnx
¿cómo demostrar la dispersión de un RW?
RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
Demostración por inducción: 1) Vale para el primero.2) Si vale para (n-1) vale para
(n)
¿Cual de estos dos es fácil de calcular?
¿por qué estas dos cantidades son distintas?
RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
2 21 1 1( 1) 2 ( 1)
ii i
x n x nI I I
2 21( ) ( )iix n x n
I
2( 1)x n 2Cero. La clave es que el paso
es independiente. Para cada trayectoria, de un valor x, con
un pasito para lante, existe otra con un pasito para
atrás…
21 ( 1)iix nI
¿cómo demostrar como crece la varianza?
¿cómo demostrar como crece la varianza?
RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
2 2 2( ) ( 1)x n x n
Es decir, la varianza aumenta una cantidad fija en cada paso 2
2 2( )x n N 2( )x n N
Si el numero de pasos es proporcional al tiempo entonces
2( )x n t
¿cómo demostrar como crece la varianza?
RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
2( )x n N
(Tiempo entre dos colisiones)(Distancia entre dos colisiones)
tN
2
22t
2 t D
2
2D
t
Causas y azares: Un poquito quien sabe para donde, y otro poquito para alla
Reglas del juego: Cada paso me muevo D para arriba, tiro una moneda y me muevo R para arriba si sale cara
y R para abajo si sale estrella. ¿A dónde llego?
D, el paso determinista.
R, el paso azaroso.
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Posición en función del tiempo para 10 caminatas distintas¿Como caracterizar este proceso?
¿cómo hacer para visualizar miles de caminatas?
0 100 200 300-40
-20
0
20
40
Tiempo
Pos
icio
n
RANDOM WALKS FORZADOS: ¿a dónde se va cuando se camina con algo de orden y algo de azar?
Aun cuando la marcha determinista era hacia “arriba” existen caminatas que luego de un largo rato se
encuentran abajo. ¿Es esto posible? ¿Hasta cuando?
0 100 200 300-40
-20
0
20
40
Tiempo
Pos
icio
n
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas
100 200 300
-50
0
50
1
2
3
4
5
6
7
RANDOM WALKS: ¿a dónde se va cuando uno camina al azar?
Posición en función del tiempo para 5000 caminatas distintas
100 200 300-50
0
50
1
2
3
4
5
6
7
)1()( nxnx ii
partícula i es independiente de la partícula j
La memoria
RANDOM WALKS: Un poco de álgebra, y ejercicio de lectura.
)1()( nxnx ii
La derivada! Una ecuación diferencial estocástica.
dtdx
La componente determinista (D)
La estocasticidad, el ruido, la temperatura, las
fluctuaciones (R)
Un numero
importante
1) Ciencia “Aplicada”. Ejercicio de transporte arquetípico: moléculas, pensamientos,
finanzas, nanocosas y otras tantas yerbas.
2) Ciencia básica. ¿cuándo llego a destino si marcho en una caminata al azar?
¿Y a que destino llego?
3) Héroes de la historia contemporanea. Europa-Europa. Engima y la pertinencia de
decidir bien y a tiempo.
El maestro: Alan Turing
Enigma
Implementación neuronal de los tres pasos:
1) Un método para cuantificar el peso de la evidencia de un evento individual a favor de distintas alternativas. (EL VOTO)
2) Un método para acumular y actualizar el peso proveniente de eventos múltiples. (LA ACUMULACION DE VOTOS)
3) Una regla de decisión para determinar si la evidencia era suficiente para determinar la hipótesis mas probable. (LA RESOLUCION)
PLANTEANDO EL PROBLEMA
Usted es un Romano y esta aquí
Usted quiere
llegar acá (meta)
Usted NO quiere llegar acá.
Esta flecha representa el tiempo.
+Usted hace una caminata al
azar con un forzado
Preguntas:1) ¿Cuánto tiempo
tarda en llegar?2) ¿Cuál es la
probabilidad de llegar al lugar equivocado?
Las reglas del juego
Esta flecha representa el tiempo.
E: El paso determinista(tiene una dirección)
T: El paso estocástico(se da con igual probabilidad en ambos sentidos)
B
A(umbral)
Res=ATiempo=t
t
Res=BTiempo=t2
t2
“Las neuronas que votan”
“Las neuronas que integran o acumulan el voto”
“Las neuronas que determinan el
umbral”
La neurofisiología de la toma de decisiones
Simulacro en el laboratorio de la toma de decisiones en un mundo incierto.
Mov = 11
Acum = 11
11
22
Mov = 6±ε
Acum = 6
6 ±ε
212
6 ±ε
318
6 ±ε
424
33
11
44
11
ε cuantifica las fluctuaciones y por lo tanto Su peso relativo disminuye con el numero de partículas
Mov = 6±ε
Acum = 6
6 ±ε
212
6 ±ε
318
6 ±ε
424
“Las neuronas que votan”
Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimientoEstas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión.
La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento.
Neuronas en MTUn clásico de la fisiología
tiempo
Potenciales de acción (intensidad
de la repuesta neuronal)
Primer ensayo (cada punto representa un disparo)
Décimo ensayo (el estimulo es el mismo, la respuestaligeramente variable)
Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimientoEstas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión.
La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento.
Neuronas en MTUn clásico de la fisiología
Cada línea es un ensayo.Las respuestas de las neuronas son
ruidosas y por lo tanto hay que promediarlas. El experimentador
hace esto midiendo muchas veces. Y un sujeto decidiendo: ¿Como
resuelve el ruido?
Promedio
tiempo
Potenciales de acción (intensidad
de la repuesta neuronal)
Flucutuaciones
Neuronas que codifican la cantidad y dirección de movimientoEstas neuronas pueden dar un voto en favor de una decisión.
La magnitud del “voto” es proporcional a la cantidad de movimiento.
Neuronas en MTUn clásico de la fisiología
Neuronas de derecha.
Neuronas de izquierda(no responden al movimiento
a la derecha)
Las neuronas responden gradualmente a la
cantidad de movimiento. Dan un voto “graduado”.
Un codificador de movimiento provee el sustrato necesario para decidir hacia donde se mueven los puntos
¿Falta algo?
Neuronas en MTUn clásico de la fisiología
En cada momento estas neuronas reportan el estado del presente
perceptual
“Las neuronas que integran o acumulan el voto”
Cuando se llega a suficiente evidencia ¿cuánto es suficiente?
Se ejecuta la decisión.
Neuronas en LIP
Integracion ruidosa:Un random-walk forzado integra (promedia en el
tiempo) la evidencia provista por las neuronas de MT
EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un
random walk.
Estimulo
Respuesta
Neuronas en LIP
EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un
random walk.
El proveedor y el acumulador
de votos. ¿Hasta cuando
acumulan?
El estimulo, luego de una latencia, empiezan a acumular.
Un Random Walk forzado. La pendiente indica el forzado y es
proporcional a la coherencia. Cuanto mayor la pendiente, se llega antes al umbral y el tiempo de
respuesta es menor.
Neuronas en LIP
EL ACUMULADOR: Conteo de todos los votos en el tiempo. Como los votos son ruidosos, esto resulta en un
random walk.
El estimulo, luego de una latencia, empiezan a acumular.
Un Random Walk forzado. La pendiente indica el forzado y es
proporcional a la coherencia. Cuanto mayor la pendiente, se llega antes al umbral y el tiempo de
respuesta es menor.
ttdt
tdt
)(
Respuestas agrupadas en el momento de la respuesta. Todas las respuestas se realizan
cuando el integrado neuronal llega al umbral.
Existe de hecho otro circuito que responde en el momento que el integrador alcanza el umbral, lanzando la respuesta. Para aquel entonces –pese a que uno no lo supiese – la
decision estaba tomada.
Puede de hecho manipularse una
decisión. ¿Se puede hackear el codigo?
Poniendo a prueba la teoría: ¿Se puede forzar una decisión estimulando una neurona?
Estimulo en MT – Es “como si” cambiase la evidencia con que se nutre al random walk.
Como si el detector de movimiento detectase
mayor coherencia. Resultado: Aumenta la pendiente.
La carrera entre una partícula a velocidad constante y una caminata al azar.
EL RESULTADO DE MUCHAS CARRERASFísica del CBB
Mecánica Determinista
Rectilineus uniformus
02
xx
tx
El destino de una caminata al azar, diluirse es una forma (extremadamente lenta) de moverse.
tDxx
x
2
0
2
22
D
δ
scmD
2510Para una molécula en agua a temperatura
ambiente, D es aproximadamente
TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS
El problema mixto. En este ejemplo sencillo se factoriza la media y la varianza.
tDxx
tx
22
TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS: Descubriendo la maquinaria viendo su
trayectoria.
tDxx
tx
22
En física “Newtoniana” velocidad constante
equivale a ausencia de fuerzas.
Con disipacion (viscosidad, rozamiento, friccion, todo lo que sucede en la escala
molecular) esto equivale a fuerza constante (que hace trabajo).
Por lo tanto, si veo una particula moviendose a velocidad constante puedo inferir (AUNQUE NO LA VEA!) la existencia de un mecanismo activo, que consume energia, que media el
transporte.
(siguiente capitulo)
TRANSPORTE TERMICO Y ACTIVO, COLECTIVOS, KINESINAS Y LAS CALLES DE PARIS: Descubriendo la maquinaria viendo su
trayectoria.
tDxx
tx
22
Transporte térmico. 1) No es dirigido – algunas particulas
llegan y otras se pierden (la esperanza de los ratchets).
2) Es lento … progresivamente lento (x(t)/t) decrece…
3) Puede ser pasivo (por difusion) o activo (por propulsion) en una trama intrincada
como el citoesqueleto, o las calles de Paris
Dos versiones canónicas de caminatas al azar:
1) Por fluctuaciones térmicas
tDxx
x
2
0
2
2) Por movimiento en un espacio “laberintico”
El autentico, verdadero, genuino.Un coeficiente de difusión con pedigríkT, densidad, masa...
Uno define un coeficiente de difusión a partir de esta relación, como una suerte de abuso de notación.
Arrastrando moléculas en un baño térmico.
kTvm 2
scmD
2510
Aprox 14 hs para recorrer 1cm.
¿Y cuanto tiempo para recorrer 10 cm?
Alexander Fleming
Alexander Fleming y su Lisozima
¿Cuanto tiempo tarda esta molécula en cruzar (sin obstrucciones) de un
lado al otro del aula?
A) 1ms B) 1s C) 1 minuto D) 1 hora E) 1 día F) 1 año G) 1 siglo
And the answer is….
hKmsmm
kTv /36/102
(la velocidad de una moto)
El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)
kTvm 2
tDxx
tx
22
22
D
Sedimentos, atmósferas, orbítales,
potenciales, temperatura y
sueños. Una ecuación importante.
Feynman (Cap 40) Nelson (Cap 3.2)
Planck Perrin Marie Curie AlbertoPoincareRutheford
Solvay 1911
Una atmósfera en un baño térmico
(aproximación 1 – temperatura constante)
El pequeño agujero negro que
todos llevamos adentro.
Mg
Aproximación 2 –Fuerza gravitatoria
constante
Pregunta 1:¿Que distribución tienen estas partículas?
Pregunta 2:¿Que tiene que ver con esto?
Mg
Caso extremo I: No hay temperatura (Símil Física I)
Mg
Caso extremo I: No hay temperatura (Símil Física I)
Se van todas para el fondo (porque el
medio, o la superficie tiene
rozamiento, si no oscilarían...)
Caso extremo II: No hay gravedad (Símil Física II – Primeros dias)
El gas esta en equilibrio.
La densidad es uniforme
TMg
Aproximación 2 –Fuerza gravitatoria
constante
¿Y en este juego de dos jugadores (Gravedad y Temperatura)?¿Que?
TMg
Aproximación 2 –Fuerza gravitatoria
constante
¿Y en este juego de dos jugadores (Gravedad y Temperatura)?¿Que?
Compromiso platónico:Mas abajo que arriba, de hecho a media que uno
sube la densidad disminuye
exponencialmente. Este decrecimiento ha de
estar ponderado por algo del estilo g/T.
h
h+dhEn ausencia de gravedad
)()( dhhPhP
Es decirP es constante
NkTVP
nkTP
Y dado que
P constante, equivale a n (es decir, la densidad) constante.
Mg
h
h+dh
Con gravedad
AFdhhPhP G )()(
La diferencia de presiones a de compensar la
fuerza gravitatoria
MgFG
gNmFG
gVnmFG
“El paso magico, hemos puesto en relación g (mecánica)con P (termodinámica)
Mg
h
h+dh
AFdhhPhP G )()( (Equilibrio)
gVnmFG (Newton)
nkTP (Gases)
A
VgnmdhhPhP
)()(
dhgnmdhhPhP )()(
dh
-
-
)()( hPdhhPdhgnm
)()( hkTndhhkTndhgnm nkTP
(Dividiendo) (Dividiendo)
dhhndhhn
nkTgm )()(
dh
dnn
kT
gm
kT
hgm
en
kT
hgm
enn
0
La solución
Compromiso salomónico:Mas abajo que arriba, de hecho a media que uno sube la densidad
disminuye exponencialmente. Este decrecimiento ha de estar
ponderado por algo del estilo g/T.
T
E(h)
p (para una partícula, esto es una probabilidad)
Sedimentos, atmósferas, orbítales, potenciales, temperatura y sueños. Una ecuación
importante.
kT
E
eCp
El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)
kT
E
en
Mg
hh+dh
El equilibrio en presencia de fuerzas y agitación térmica
kTvm 2
Relación entre cinética y temperatura
tDxx
tx
22
22
D
100 200 300-50
0
50
1
2
3
4
5
6
7
Sobre el movimiento de partículas en un baño térmico
Mas sobre fuerzas (a la newton) y termodinámica. Arrastrando una partícula en un
baño térmico. El caso general, otra ecuación importante de personaje celebre.
Feynman (Cap 43) Berg (Cap 4) Nelson (Cap 4)
Extra Extra: Buscar en la web teoremas de fluctuación-disipación.
Un modelo un poco mas sencillo de visualizar: en cada choque una partícula entrega
toda la energía cinética al medio.
maF
atv 0v
(Entre choques)
(En cada choque )Nt
F
vV- V+
2
2
1 av 2
2
1 av
m
f2f
Fvarrastre
t
v
Partícula NewtonianaLa velocidad aumenta
con pendiente F/m
2 6
Partícula en un campo de Fuerza F
sumergida en un baño térmico.
maF
atv 0v
(Entre choques)
(En cada choque )Nt m
f2
t
v 2 6
Partícula en un campo de Fuerza F
sumergida en un baño térmico.
Si observo en una escala de tiempo pequeña (menor que el tiempo típico de choques) parece un problema Newtoniano. La fuerza realiza trabajo, inyectando energía que la particula absorbe acelerandose y aumentando la energia cinetica.
En una escala de tiempo microscópica (mayor que el tiempo típico de choques) la partícula avanza fluctuando alrededor de una velocidad media constante, que llamamos v_arrastre. ¿Cuánto vale?
m
Fav max
m
Fvvarrastre
22
max
f
Fvarrastre
m
f2
F
v
δ V- V+
I. Lectura de la ecuaciónUn modelo molecular “de juguete” de viscosidad. En un arrastre
con choques térmicos, la velocidad (y no la aceleración) es proporcional a la fuerza.
II Pregunta: ¿Se podrá encontrar una relación termodinámica entre el
coeficiente de arrastre y variables termodinámicas como la temperatura o la difusión? Respuesta: SI
fFvarrastre
m
f2
fFvarrastre
F
v
δ V- V+ fFvarrastre
m
f2
Las ecuaciones necesarias del recetario C:
m
f2
v
De este problema especifico.
kTvm 2
Cinética
22
D
Difusión
2
22
v
mKT2
2
“ A traves de v” relacionar los y con KT
mKTD
2
Relacionar los y con D
mKTD
2 f
KTD
Llegamos a una relación simple entre D, f y T. Ahora parar y mirar.
fKT
D
Marian Smoluchowski
La relacion de Einstein - Smoluchowski
Einstein haciendo la gran Laplagne
La relacion de Einstein - Smoluchowski
Lo que NO esta NI de un lado NI del otro de la ecuación (las cantidades ausentes)
Por ejemplo la masa o el tamaño de la partícula. D y f, si dependen de estos valores, pero su producto no. Esta ecuación indica que la relación entre D y f es independiente
de estos factores haciendo, relacionando ambos como emergentes de una física estadística común. Partículas menores tendrán mayor difusión, pero menor arrastre.
kTfD
Lo que esta de un lado y otro de la ecuación (las cantidades relacionadas)
Esta ecuación establece una relación entre dos cantidades que, a priori son independientes. “El arrastre”, f y la difusión D. Establece además que estas dos
cantidades están relacionadas por la temperatura.
Esta ecuación es universal (lo cual aquí no les muestro) y relaciona propiedades de equilibrio del sistema – La temperatura, las fluctuaciones, con la disipacion (la perdida de energia) la viscosidad, cuando se lo saca del equilibrio. A estos teoremas que hoy
siguen siendo objeto de investigacion moderna se los llama genericamente: TEOREMAS DE FLUCTUCACION DISIPACION
El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)
kT
E
en
Mg
hh+dh
El equilibrio en presencia de fuerzas y agitación térmica
kTvm 2
Relación entre cinética y temperatura
kTfD
La relación entre fluctuaciones térmicas y resistencia al arrastre
F
V- V+
tDxx
tx
22
22
D
100 200 300-50
0
50
1
2
3
4
5
6
7
Sobre el movimiento de partículas en un baño térmico