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7/24/2019 Solucin Ejercicio ELU Pandeo-Columna Modelo
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MASTERENINGENIERAESTRUCTURALYDELACONSTRUCCIN
MASTERINGENIERADECAMINOS,CANALESYPUERTOS
DISEOAVANZADODEESTRUCTURASDEHORMIGN
Ejercicio:ELUinestabilidad Noviembre2014
Considreseunapiladepuentede20mdealtura,empotradaensubaseylibreensuextremo
superior,queseencuentrasometidaaunesfuerzoaxil declculodevalorNd=24000kN ya
unmomento Mcrecienteensucabeza.
SEPIDE
1) CalculareldiagramaMomentoCurvaturaparaelaxilconstanteN=24000kN
2) Obtenerelmximovalordelmomentoquepuederesistirlapila,siendoel esfuerzo
axilconstante,teniendoencuentalosefectosde2orden,porelmtododela
ColumnaModelo
3) Decirsilacolumnaagotaopandeaycualseralaesbeltezmximaparaevitarel
pandeo
4) Calcularlaflechaencabezabajoelmomentomximo
1,50m
20m
Nd= 24000kN
40000mm2
4,00m
1,50m A=6m2
I=1,125m4v=v=0,75m
fck=30MPa;
Ec=32836 N/mm2
;
ct=2,89
N/mm2
fyk=500MPa; Es=200000N/mm2; n=Es/Ec=6,09
Coeficientesdeminoracinmateriales: c=1,5 ; s=1,15
Coeficientede
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SOLUCIONEJERCICIOELUINESTABILIDAD
Valoresdeclculodelosmateriales: fcd=fck/1,5=20MPa ;fyd=fyk/1,15=435MPa.Lalongitud
de
pandeo,
por
tratarse
de
un
voladizo,
es
le=2
l
=
40m
1. ClculodeldiagramaMomentoCurvatura
EldiagramaMomentoCurvaturaseconsiderartrilineal,conlaprimerafaseelsticahastala
fisuracin,lasegundafasefisuradahastaelpuntodeplastificacindelaarmaduradetraccin
odelhormignencompresinylatercerafaseplsticahastaelagotamiento.
Fase1.
Momentodefisuracin(Mcr).Seobtieneigualandolatensindelhormignenlafibrams
traccionada
ala
resistencia
a
traccin
del
hormign,
fct.
inf
inf inf
; ctct cr cra
IfM vN NIf M M N c
A I v Av
DondeMcraeselmementodefisuracindelaseccinsinaxil(N=0)yceselextremosuperior
delncleocentraldelaseccin.Dadoqueelaxilesunaaccinfavorable,yaunquesetratade
unestadolmiteltimo,utilizaremosparaelclculodelpuntofinaldelafaseelsticalos
valorescaractersticosdelacargaaxialydelaresistenciaatraccindelhormign.
Considerandoelcoeficientedemayoracindecargasf =1,5, Nk=16000.Porotraparte,la
resistencia
caracterstica
del
hormign
es
fct,k=0,7
fctm=2,03
N/mm
2
.
SiendoA=6m2,vinf=0,75myI=1,125m,resultaMcr=7040,6kNm.LarigidezelsticaesEI=
36941139kNm2,conloquelacurvaturaenelmomentodelafisuracinserccr=Mcr/EI=
0,000191m1
Fase2.
Lafase2(fisuradaseconsiderarectayfinalizaconlaplastificacindelaarmaduratraccionada
odelaarmaduracomprimidayelhormign,debiendoescogerseelmenorvalordelos
momentosresultantesparacadaunadeestassituaciones.Noobstant,enfuncindelaxil
relativodeclculosepuedesaberaprioricualdelasdossitacionessedarantes.Sielaxil
relativoesmenorque0,45,quecorrespondeaproximadamentealplanoderoturacrtica,la
roturaserdctil,esdecirlaarmaduradetraccinestarplastificadaantesqueelhormign.
Enestecaso,elaxilrelativoes:
240000,2 0,45
41.520000
dd
cd
N
b h f
Portanto,seharlahiptesisdequeelpuntofinaldelafas2correspondeaunadeformacin
delaarmaduradetraccins=y=fyd/Es=0.002175.
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Paraobtenerelmomentoquecorrespondeaestadeformacin,seplanteanlasecuacionesde
equilibrioycompatibilidaddelaseccin,considerandoelhormignfisuradoperocon
comportamientolinealencompresin,elaceroentraccinplastificado(s=y, s=fyd)
c
d s x Ass h/2
N d
M
Asfyd
' '
' '
1
2
1 '
2 2 3 2 2
c s s s yd d
c s s s d
bx A A f N
h x h hbx A d A d M
'
( ') ( )
yc s
c sE x E x d d x
Sustituyendolasecuacionesdecompatibilidadenladeequilibriodefuerzas,seobtieneuna
ecuacindesegundogradoqueproporcionalaprofundidaddelafibraneutra,x.Esta
ecuacines:
2'
' ' 0d d
yd yd
N Nx x dn n n n
d f bd d d f bd
Donde
=As/bd,
=As/bd
son
las
cuantas
de
traccin
y
de
compresin,
que
son
iguales
en
estecaso==40000/(40001500)=0,006667,yn=Es/Ec=6,09.
Estaecuacinresulta,paralosvaloresconcretosdeesteejemplo:
2
0, 093 0,1 0x x
d d
Cuyasolucinesx/d=0,187,x=261,8mm. Conestevaloryapartirdelasecuacionesde
compatibilidad
se
obtienen
las
tensiones:
y
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c=18,89MPa, s=71,10.Elmomentodeplastificacinseobtienedelaecuacindeequilibriodemomentosresultando:My=32072kNm
LAcurvaturaseobtienedividiendoladeformacindelhormigncomprimdioporla
profuncidaddelafibraneutra,esdecirc/(Ecx)
0,0022c sy
cx d x
Larigidezdelafase2seobtieneas
2
2 1247867 0y cr
y cr
M MK N m
c ck
Fase
3
Lafase3(prerotura)finalizaconelagotamientodelaseccin,paraloquehayquecalcularel
momentoltimoylacurvaturaltima.
Elmomentoltimoseobtieneplanteandolasecuacionesdeequilibriodefuerzasy
momentos.,enELU,suponiendoambasarmadurasplastificadasyelhormignensu
deformacinltima
'
'2 2
dcd s yd s yd cd d
cd
du d s yd
cd
Nf by A f A f f by N y
f b
NhM N A f d d
f b
ConlosvaloresdeesteejemploMu=37008kNm. Lacurvaturaltimaseobtieneas:
0,00350,0093
1,25
cu
uc
x y
Larigidezdelafase3seobtieneas
2
3 691666
u y
u y
M MK kN m
c c
LAfiguraenazuleseldiagramaMomentocurvaturatrilineal
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2.
Obtencindelmximovalordelmomentoquepuedeintroducirseenlacabezadel
voladizojuntoconunesfuerzoaxilN=24000kN
AplicandolaecuacindelacolumnaModelo,el momentodesegundoordenesunarectaque
pasaporelorigenytieneporecuacin:
2
10
II ed
lM N c
Ladiferenciaentreelmomentointerno(dadoporeldiagramamomentocurvatura)yel
momentodeSegundoorden(dadoporestaecuacin,representadaporlalineroja)esel
momentodeprimerordenquepuedeintroducirseenlcabezadelacolumna. Enestecaso,el
mximoestenelpuntodeplastificacinysuvalores
2 240
32072 24000 0,0022 23624 10 10
I II e
y d y
l
M M M M N c kN m
3.
Decirsilacolumnaagotaopandea
LAcolumnapandeaporqueelmximoseproduceparaunacurvaturamenorquelacurvatura
ltima.Laintroduccindelmomentodeprimerordengeneraunmomentodesegundoorden
de8448kNm,quedalugara desplazamientosqueincrementanmomentodesegundoorden,
desencadenandolainestabilidad.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
Mint
MII
(32072,0.0022)
(70401 , 0.00191)
(37009, 0.0093)
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4.
CalcularlaflechaencabezabajolaaccindelaxilNdyelmomentomximo
Laflechaencabezavienedadaporlaecuacindelacolumnamodelo,estoes:
21600
0,0022 0,35210 10
II
e
d
l Ma c m
N