Universidad Politécnica del Golfo de México

Frida Miguel Monzalvo Navarrete

Diego Mariano Espinosa Casso

Melisa Priego Rodríguez

Samuel Alberto Leal González

Elda Patricia Torruco Cordova

Adriana Lorena López

Julia Xunaaxi del Cármen Segura Segura

ISAI 5B

Métodos Numéricos

Spline Cubico

un spline es una curva

diferenciable definida en

porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a

menudo la interpolación mediante splines

porque da lugar a resultados similares

requiriendo solamente el uso

de polinomios de bajo grado, evitando así

las oscilaciones, indeseables en la mayoría de

las aplicaciones, encontradas al interpolar

mediante polinomios de grado elevado.

Existen 3 tipos de spline , lineal, cuadrático y

cubicoEn este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos

los Splines en [m,n] tiene grado 3.

Esto quiere decir, que va a tener la forma

P(x) = ax³ + bx² + cx +

d

En este caso vamos a tener cuatro

variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una

nueva condición para cada punto común a

dos intervalos, respecto a la segunda derivada :

Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es

decir, que las dos P(x) que rodean al f(x) que queremos

aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.

Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos

"lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto

común.

Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para

ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por

tal punto común.

La forma

de

soluciona

r esto,

determina

el

carácter

de los

splines

cúbicos.

Así,

podemos

usar:

Splines cúbicos naturales: La forma

más típica. La derivada segunda de P se

hace 0 para el primer y último punto

sobre el que está definido el conjunto de

Splines, esto son, los puntos m y n en el

intervalo [m,n].

Dar los valores de la derivada

segunda de m y n de forma

"manual", en el conjunto de

splines definidos en el intervalo

[m,n].

Hacer iguales los valores de la

derivada segunda de m y n en

el conjunto de splines definidos

en el intervalo [m,n]

:Ecuación de interpolación

El spline cúbico (k=3) es el spline más empleado, debido a que proporciona un

excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente

complejo.

Sobre cada intervalo , S está definido por un

polinomio cúbico diferente. Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el

intervalo [ti,ti+1], por tanto:

Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto ti, es decir, se

cumple:

Si-1(ti) = yi = Si(ti)

por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone

que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una

expresión para la función del spline cúbico.

Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas

primera S' y segunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline. No

vamos a obtener esta expresión, ya que su demostración queda fuera del ámbito

de estos apuntes. Simplemente diremos que la expresión resultante es:

En la expresión anterior, hi=ti+1-ti y son incógnitas. Para determinar

sus valores, utilizamos las condiciones de continuidad que deben cumplir estas

funciones. El resultado (que tampoco vamos a demostrar) es:

La ecuación anterior, con genera un sistema de n-1ecuaciones

lineales con n+1 incógnitas . Podemos elegir z0 y z1 de forma arbitraria y resolver

sistema de ecuaciones resultante para obtener los valores de una elección

especialmente adecuada es hacer z0=z1=0. La función spline resultante se

denomina spline cúbico natural y el sistema de ecuaciones lineal expresado en

forma matricial es:

(70)

• Ejemplo:En la siguiente tabla se muestra la evolución de la temperatura en Hong-Kong (y) cada dos horas (x).

X Y

2 8

4 8

6 7

8 8

10 14

12 15

Utilizamos la siguiente fórmula para encontrar el número de ecuaciones e incógnitas que

encontraremos:

(n-1)*4

Donde n es el número de datos en la tabla:

N= 6 (n-1)*4= (6-1)*4 =20

20 Número de ecuaciones y variables

• Para facilitar la identificación de los intervalos podemos dibujar una recta.

x 2 4 6 8 10 12

5 intervalos

Intervalos

(2,4)

(4,6)

(6,8)

(8,10)

(10,12)

Hacemos que se cumpla la condición de que el splinetiene que pasar por los puntos dados en la tabla.

Luego se define un polinomio cúbico para cada valor de los intervalos.

S(x)= ax³+bx²+cx+d

Y sustituimos el valor correspondiente de “y” en a, b, c y d.

El subíndice de las variables a, b, c, y d

dependerán del intervalo en el que se encuentre el valor para el que

asignamos el polinomio.

Una discontinuidad es un punto donde se cambia de intervalo, esto afecta la función del spline, y para evitarlo las evaluamos

con la primera y segunda derivada de la función:

S(x)= ax³+bx²+cx+d

S’(x)= 3ax²+2bx+c Primera derivada

S’’(x)= 6ax+2b Segunda derivada

En este caso, las discontinuidades son : (4, 6, 8, 10). Después evaluaremos la primera derivada con estos valores.

Para x=4

S’(x)= 3a(4)²+2b(4)+c = 48a1+8b1+c1 = 48a2+8b2+c2

Para x=6

S’(x)= 3a(6)²+2b(6)+c= 108a2+12b2+c2 = 108a3+12b3+c3

Para x=8

S’(x)= 3a(8)²+2b(8)+c= 192a3+16b3+c3 = 192a4+16b4+c4

Para x=10

S’(x)= 3a(10)²+2b(10)+c = 300a4+20b4+c4 = 300a5+20b5+c5

Ya que se trata de una discontinuidad tenemos que tomar

en cuenta que forma parte de dos intervalos y que este

no cambia de un polinomio a otro, es por eso que se da la igualdad.

Continuamos con la evaluación ahora con la segunda derivada de la función:

Para x=4

S’’(x)= 6a(4)+2b = 24a1+2b1 = 24a2+2b2

Para x=6

S’’(x)= 6a(6)+2b = 36a2+2b2 = 36a3+2b3

Para x=8

S’’(x)= 6a(8)+2b = 48a3+2b3 = 48a4+2b4

Para x=10

S’’(x)= 6a(10)+2b = 60a4+2b4 = 60a5+2b5

Para cumplir con nuestras 20 ecuaciones debemos obtener dos mas y agregarlas a las 18 que ya conocemos, para eso asignaremos las siguientes condiciones:

S’’(x0)= o y S’’(xn)=0

X0= Punto inicial

Xn= Punto final

S’’(2)= 6a(2)+2b 12a1+2b1=0

S’’(12)= 6a(12)+2b 72a5+2b5=0

Con esto tenemos ya nuestras 20 ecuaciones y 20 incógnitas, lo siguiente será acomodarlas en una

matriz cuadrada para su resolución.

• Matriz generada

De la matriz anterior obtenemos los siguientes resultados:

Sustituimos los valores en la función inicial y obtenemos los siguientes splines:

:Gracias: