1

ÍNDICE:• Introducción• Controlador PID• Estructuras y Algoritmos• Análisis de los efectos de las acciones• Métodos de sintonía• Estrategias no lineales

Tema 4. El PID en bucle simple de realimentaciónTema 4. El PID en bucle simple de realimentación

2

Introducción• Esquema general de control por realimentación simple

VARIABLES SIGNIFICATIVAS:Variable controlada, y(t)Variable manipulada, m(t)Variables de perturbación, P(t) y d(t)

OBJETIVOS de la realimentación:Diseñar y sintonizar un controlador para conseguir que la variable controlada siga a un valor de referencia, compensando el efecto de las variables de perturbación

El CONTROLADOR PID ideal:Controlador basado en señal:

Diversas modificaciones del controlador

( ) ( ) ( )

1 ( )( ) ( ) ( )c di

e t r t y t

de tu t K e t e t dt TT dt

= −

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

ELEMENTOS del bucle de realimentación:Controlador (Gc), actuador (Gv), Proceso (Gp y Gd), transmisor (Gt)

d(t)

( )cG s ( )pG s

( )dG s

( )vG s+-y(t)r(t)

++e(t) u(t) ( )tG s

P(t)

( )tG sm(t)

3

Controlador PID. Acciones y Parámetros

Tipos de control:

Parámetros:• Kc Ganancia Proporcional

– banda proporcional PB=100/ Kp

– % rango del control, % rango de la variable controlada

• Ti tiempo integral– minutos o segundos (por repetición)

(reset time)– repeticiones por min = 1/ Ti

• Td tiempo derivativo– minutos o segundos– filtro derivativo

1 ( )( ) ( ) ( )p di

de tu t K e t e t dt TT dt

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

PPIPDPID

1 ( )( ) ( ) ( )c di

de tu t K e t e t dt TT dt

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( )( ) ( )c dde tu t K e t T

dt⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

1( ) ( ) ( )ci

u t K e t e t dtT

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( ) ( )cu t K e t=

4

Controlador P

( ) ( )cu t K e t b ias= +

e

t

u

t

bias = valor nominal de la acción de contolreset manual (PV = SP)

Acción de control proporcional a la señal de error:

5

Ejemplo: Calentador de agua. Control de Tª del fluido de salida

Fe, Te

condensado

F, T

vaporQ

3-15 psi 4-20 mA

Tr

TC

TT

I/P

Régimen nominal de operación:

12 ( )m mA bias=Como en estas condiciones (pto. operación) el error es nulo:

20º

80º12

e

r

T C

T T Cseñal a la válvula de regulacion de caudal de vapor mA

=

= ==

Plano de control

Variables significativas: controlada, manipulada, perturbación

6

GcTmyr

+-

4- 20 mA

D (Te, Fe)

Gd

Gp+

+

Ejemplo: Calentador de agua. Control de Tª del fluido de salida.

Controlador de temperatura PID

Diagrama de bloques

TC I/P válvula proceso TTTmTTr

+-

m m’

4- 20 mA 3- 15 psi4- 20 mA

Te, FeAcondicionador de señal

Fv

7

Kc1

Kc2

Kc3

Kc3

Kc2

Kc1

Salto

en

la c

onsi

gna

Cam

bio

en la

tem

pera

tura

del

agu

a de

ent

rada

8

Tipo de actuación: Directa/Inversa

Acción directa Kc < 0Aire para abrirCierre a fallo (FC)Si y crece, u debe crecer

Acción inversa Kc > 0Aire para cerrarApertura a fallo (FO)

u(t)=Kp (w-y); si aumenta y decrece u, con Kppositiva

Considerar: - el tipo de válvula- la variable manipulada

LT LC LT

LC

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo

salid

a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Efecto de la acción P sobre la respuesta en BC

Primer orden puro: ( ) ; 1,5; 31p p p

p

KpG s K ss

ττ

= = =+

Kc = 1Kc = 4Kc = 8

( )c cG s K=

10

10-2 10-1 100 101-30

-20

-10

0

10

20

30

10-2 10-1 100 101-100

-80

-60

-40

-20

0

Efecto de la acción P sobre la respuesta en BC

Primer orden puro: ( ) ; 1,5; 31p p p

p

KpG s K ss

ττ

= = =+

Kc = 1Kc = 4Kc = 8

( )c cG s K=

11

Estudio en frecuencia:

»Como la ganancia del controlador no aporta fase, la curva deno varía (wf tampoco)

» La curva de módulo se desplaza 20*log Kc (si Kc>1 hacia arriba⇒ wg aumenta ⇒ MF disminuye)

» El MG es ya que el sistema nunca desfasa -180º» Nunca se hacen negativos (sistema estable para todo Kc)

Estudio temporal:

» El tiempo de respuesta disminuye con Kc» No llega a inestabilizarse porque es un sistema de primer orden

Efecto de la acción P sobre la respuesta en BC

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

salid

a

tiempo

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1

tiempo

cont

rol

( ) ; 1,5 ; 0,5 ; 3 ;1

mpt s

p p m pp

KpeG s K t s ss

ττ

−

= = = =+

Primer orden con tiempo muerto:

Efecto de la acción P sobre la respuesta en BC

Kc = 1Kc = 4

( )c cG s K=

13

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4

-2

0

2

4

6

tiempo

salid

a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5

cont

rol

tiempo

( ) ; 1,5 ; 0,5 ; 3 ;1

mpt s

p p m pp

KpeG s K t s ss

ττ

−

= = = =+

Primer orden con tiempo muerto:

Efecto de la acción P sobre la respuesta en BC

( )c cG s K=

Kc = 8

14

10-2 10-1 100 101-30

-20

-10

0

10

20

30

10-2 10-1 100 101-400

-300

-200

-100

0

16,5121º

MG dBMF

==

Efecto de la acción P sobre la respuesta en BC

( ) ; 1,5 ; 0,5 ; 3 ;1

mpt sp

p p m pp

K eG s K t s s

sτ

τ

−

= = = =+

Primer orden con tiempo muerto:

Kc = 1:

-180º

4, 4343º

MG dBMF

==

Kc = 4:

1,619, 4º

MG dBMF

= −= −

Kc = 8:

15

Estudio en frecuencia:

»Como la ganancia del controlador no aporta fase, la curva deno varía (wf tampoco)

» La curva de módulo se desplaza 20*log Kc (si Kc>1 hacia arriba⇒ wg aumenta ⇒ MF disminuye)

» El MG también disminuye como resultado del desplazamientode la curva de módulo

» El sistema es de fase mínima (debido al retardo puro) por lo queel MF y el MG pueden hacerse negativos (sistema inestable)

Estudio temporal:

» El tiempo de respuesta disminuye con Kc» Al aumentar Kc aparecen oscilaciones» A partir de Ku el sistema se hace inestable

Efecto de la acción P sobre la respuesta en BC

16

Controlador PI

La acción integral no suele utilizarse sola, la respuesta del lazo sería muy lenta.

El algoritmo PI en términos de desviación:

La FDT:

1( ) ( ) ( )ci

u t u K e t e t dtT

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

1'( ) '( ) '( )ci

u t K e t e t dtT

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

1( )( )( )

ic c

i

T sU sG s KE s T s

+= =

e Si e=cte.

t

u

t

P

I

PI

Ti

c cc i

i i

K Ke d e t K e t TT T

τ = = ⇒ =∫

Suma de 2 acciones: acción proporcional a la señal de error (P) + acción proporcional a la integral del error (I)

Ti: tiempo que tarda la acción integral en igualar la acción proporcional (una repetición) si e=cte. Cuanto menor sea Ti más intensa será la acción integral y antes se corregirá el error.

17

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo

salid

a

1TiKc

2TiK c3Ti

K c

1,5( )1 3pG s

s=

+

Efecto de la acción I sobre la respuesta en BC

Primer orden puro:

3 2 1

c c cK K KTi Ti Ti

> >

( ) cc

i

KG sT s

=

18

10-2

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

100

10-2 10-1 100 101 102-200

-150

-100

-50

0

2TiKc

pG

1TiKc

Efecto de la acción P sobre la respuesta en BC1,5( )

1 3pG ss

=+

Primer orden puro:

3 2 1

c c cK K KTi Ti Ti

> >

( ) cc

i

KG sT s

=

19

Estudio en frecuencia:

» mod(GcGp)=1 depende de Kc/Ti. Cuanto mayor sea Kc/Ti mayores wg. Normalmente, el desfase de un sistema aumenta con w⇒ a mayor Kc/Ti menor será el MF

» Arg(Gc)=-90º ⇒ Kc/Ti no influye en wf pero sí sobre la curva demódulo a mayor Kc/Ti menor será el MG

Estudio temporal:

» La acción integral anula el error en estado estacionario a cambiosescalón en referencia y perturbación

» A mayor Kc/Ti respuesta más rápida y oscilatoria (menor δ y mayorωn ⇒ mayor Mp, menor ts)

Efecto de la acción P sobre la respuesta en BC

20

Controlador PD

'( )'( ) '( )c dde tu t K e t T

dt⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

c d c d c dd eK T K T a K at t Td t

= = ⇒ =

m

ym

t

t

m

Td1

Td2

Td1

Td2

Td1 > Td2

yr

Con e variando linealmente, la acción D da la misma u que la acción P daría Td unidades de tiempo más tarde.

Acción proporcional a la señal de error + acción proporcional a la derivada del error:

e

t

Si e= a t

D=Kp Td a

Td

e

t

P=Kp ePD

u(t)

Es una acción anticipativaNo influye en el estacionario. Nunca se emplea sola ya que es incapaz de llevar al proceso

al estacionario deseado

21

Controlador PID ideal (no interactivo)

0

1 ( )( ) ( ( ) ( ) ) t

c di

de tu t u K e t e d TT dt

τ τ⎡ ⎤

= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

2

c c1( ) 1 ( )G ( ) 1 U(s)=K ( )

( )i i d

c di i

T s TT sU s de ts K T E sE s T s dt T s

⎡ ⎤ + += = + + ⇒⎢ ⎥

⎣ ⎦

r

y

I

D

e+ P u+-

Expresando la ecuación en variables de desviación y aplicando Laplace a c.i. nulas:

No es realizable físicamenteMuy sensible a ruidosCeros reales para Ti >4Td

22

0

1( ) ( ) ( )

1U (s )= 1 ( )1

tf

c di

dc

i d

d eu t K e t e d T

T d t

s TK E sT s s T N

τ τ⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

+ +⎢ ⎥+⎣ ⎦

∫

PID real (no interactivo)

Realizable físicamenteIncorpora un filtro en el término deriativoA altas frecuencias la máxima ganancia del término D es Kc.NN: constante del filtro derivativo

23

Otras estructuras: PI_D, I_PD

ur

y

I

-D

e+ P-+

Usado en los sistemas de control por computadorEvita saltos bruscos en la u ante cambios en la referencia

0

( )1( ) ( ) ( )t

fc d

i

d y tu t K e t e d T

T d tτ τ

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

24

PID. Ponderación del punto de consigna

0

1( ) ( ( ) ( ) ) ( )t

fc d

i

d yu t K r t y t e d T

T d tβ τ τ

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

r

y

I

-D

e+

u-

+

β

I Kp

El factor β permite una cierta independencia en la sintonía del controlador ante cambios en la referencia o en la carga

25

PID Serie o Interactivo

w

y

I

D

e+ P

u+- +

11( ) (1 )( ) ( )1

dscs

is ds

T sM s K E sT s T sβ

+= +

+

Usado en los controladores analógicosTablas de equivalencia entre los parámetros de los PID serie y paraleloFiltro en la acción derivativa

26

PID paralelo

0

2

1 ( )( ) ( ) ( )

U ( s ) = ( )

t

c p d pip

ip c p ip d p

ip

d e tu t K e t e d TT d t

T s K T T sE s

T s

τ τ= + +

+ +

∫

r

y

I

D

e+

u+ - P

Hay combinaciones de valores de los parámetros que provocan que los distintos algoritmos generen la misma señal de control