Post on 12-Apr-2017
Taller de Matemáticas paraEconomistas
M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017
Escuela de Gobierno y Economía, Universidad Panamericana
1
1 Revisión de Álgebra Básica
Exponentes
Polinomios
Factorización
Fracciones
Radicales
Jerarquía de operaciones2 Logaritmos
Logaritmo natural3 Trigonometría analítica
Identidades Trigonométricas Básicas
Fórmulas para suma y diferencia4 Diferenciación Logarítmica
Ejemplos5 Derivadas Parciales
Cálculo de derivadas parciales6 Derivación implícita
Diferencial de una función
Diferenciación implícita con derivadas parciales7 Integración por Partes8 Técnicas de integación trigonométrica
Integrados trigonométricos9 Fracciones parciales
Método de Fracciones Parciales
2
Acerca de mí
¡Bienvenidos al Taller de Matemáticas!
Mi nombre es Juliho...(sí, con “h” entre la “i” y la “o”.)
3
¡Bienvenidos al Taller de Matemáticas!
Mi nombre es Juliho...(sí, con “h” entre la “i” y la “o”.)
3
Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
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Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
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Educación
1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.
2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.
3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.
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Publicaciones
2014 Symplectic capacities on surfaces: ManuscriptaMathematica, Vol. 229, artículo 701, Artículo deInvestigación.En colaboración con Dr. Rystam Sadykov
2012 Aplicaciones del Control Estocástico al AnálisisSemiclásico: Aportaciones Matemáticas, Memorias 45,69-96, Artículo de exposición.
5
Reconocimientos
2011 Premio Nacional “Mixbaal” a las Mejores Tesis deLicenciatura en Matemáticas Aplicadas, MenciónHonorífica
2011 Conferencista invitado, Sesión del Premio Mixbaal,ENOAN XXI
2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana deMatemáticas, Delegación Oaxaca
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Experiencia docente
Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,ESDAI, Ciudad de México.
2014-2015 Coordinador Académico, Club de Matemáticas“Teorema”, Centro de Formación en Ciencias yMatemáticas, Oaxaca.
2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.
2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Académiade Matemáticas, Oaxaca de Juárez.
2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anáhuac México Sur,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.
2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.
7
Revisión de Álgebra Básica
Ejemplo 2.1.
Simplifique, usando leyes de los exponentes
1 x2x5 =
2x8
x2
3 (x3)2
4 (xy)3
5
(x
y
)5
6x2
x3
7√
x
84√
x3
9x3
x3 8
Ejemplo 2.2.
Simplifique, sumando términos semejantes:
1 6x3 + 15x3
2 18xy − 7xy
3 (4x3 + 13x2 − 7x) + (11x3 − 8x2 − 9x)4 (22x − 19y) + (7x + 6z)
9
Ejemplo 2.3.
Realice las siguientes multiplicaciones y divisiones:
1 20x4 · 7y6
2 6x2y3 · 8x4y6
3 12x3y2 · 5y4z5
4 3x3y2z5 · 15x4y3z4
524x5y3z7
6x3y2z4
635x2y7z5
5x6y4z8
10
Ejemplo 2.4.
Realice las siguientes multiplicaciones:
1 (5x + 8y) (3x + 7y)2 (4x + 5y) (2x − 7y − 3z)
11
Ejemplo 2.5.
Factorice
1 x2 + 11x + 242 6x2 + 13x − 5
12
Ejemplo 2.6.
Realice las siguientes operaciones usando las reglas comunespara fracciones
15
2x − 18x − 9x − 4
216y
÷ 7y2 − 3
36z
z + 5 − 4z + 9z + 5
4x
5 − 37x
13
Ejemplo 2.7.
1(
3√
27)3
2√
3√
643
√8√
18
44√
17824√
22
14
Ejemplo 2.8.
(52 · 6)10 − 8
15
Logaritmos
Definición 3.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (3.1)
16
Definición 3.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (3.1)
16
Definición 3.1.Sea b > 0, b 6= 0 una base y expb(x) = bx la funciónexponencial en base b; su función inversa es el logaritmo enbase b y se denota por logb(x).
Esto quiere decirlogb (expb(x)) = x x ∈ (−∞, ∞)expb (logb(x)) = x x > 0
En otras palabras: Si y > 0, entonces
expb(x) = y ⇐⇒ x = logb(y). (3.1)
16
Figura 3.1: expb(x) vs logb(x)
17
Leyes de los exponentes y funciones exponenciales
Las leyes de los exponentes se pueden traducir en propiedadesde las funciones exponenciales. La idea fundamental es queexpb(x) tranforma R, los números reales, con la operaciónsuma en R+, los reales positivos, con la operaciónmultiplicación.
Leyes de los exponentes Funciones exponencialesb0 = 1 expb (0) = 1b1 = b expb (1) = b
bx+y = bxby expb (x + y) = expb (x) expb (y)
bx−y = bx
byexpb (x − y) = expb (x)
expb (y)bnx = [bx]n expb (nx) = [expb (x)]n
18
Leyes de los exponentes y funciones exponenciales
Las leyes de los exponentes se pueden traducir en propiedadesde las funciones exponenciales. La idea fundamental es queexpb(x) tranforma R, los números reales, con la operaciónsuma en R+, los reales positivos, con la operaciónmultiplicación.
Leyes de los exponentes Funciones exponencialesb0 = 1 expb (0) = 1b1 = b expb (1) = b
bx+y = bxby expb (x + y) = expb (x) expb (y)
bx−y = bx
byexpb (x − y) = expb (x)
expb (y)bnx = [bx]n expb (nx) = [expb (x)]n
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Propiedades de logaritmos
Las funciones logarítmicas revierten las operaciones realizadascon las exponenciales: Si x, y > 0, entonces
Las funciones logarítmicas... convierten... en...logb (1) = 0 1 0.
logb (b) = 1 la base b 1.
logb (xy) = logb (x) + logb (y) la multiplicación suma.
logb
(x
y
)= logb (x) − logb (y) la división resta.
logb (xn) = n logb (x) exponentes coeficientes.
19
Ejemplo 3.1.Simplificar log10 (1000) .
Solución.
log10 (1000) = log10
(103
)= 3 (log10 (10))= 3(1) = 1.
20
Ejemplo 3.2.Simplificar log2 (32) .
Solución.
log2 (32) = log2
(25)
= 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.
21
Ejemplo 3.2.Simplificar log2 (32) .
Solución.
log2 (32) = log2
(25)
= 5 (log2 (2))= 5(1) = 5.
21
Ejemplo 3.3.
Simplificar log5
(1
125
).
Solución.
log5
( 1125
)= log5
( 153
)= log5 (1) − log5
(53)
= 0 − 3 (log5 (5))= −3(1) = −3.
22
Ejemplo 3.4.Solucionar log4 (x) = 1
2 .
Solución.
log4 (x) = 12 → x = exp4
(12
)→ x = 4 1
2
→ x =√
4 = 2.
23
Ejemplo 3.4.Solucionar log4 (x) = 1
2 .
Solución.
log4 (x) = 12 → x = exp4
(12
)→ x = 4 1
2
→ x =√
4 = 2.
23
Observación 3.1.La función exponencial es 1 : 1, es decir
bx = bx′ → x = x′.
24
Ejemplo 3.5.Solucionar log64 (16) = x.
Solución.
log64 (16) = x → 16 = exp64 (x)→ 24 = 64x
→ 24 =(26)x
→ 24 = 26x → 4 = 6x
→ x = 23 .
25
Ejemplo 3.6.Solucionar logx (27) = 3.
Solución.
logx (27) = 3 → 27 = expx (3)→ 27 = x3
→ x = 3√
27 = 3.
26
Ejemplo 3.6.Solucionar logx (27) = 3.
Solución.
logx (27) = 3 → 27 = expx (3)→ 27 = x3
→ x = 3√
27 = 3.
26
Ejemplo 3.7.Reescriba las siguientes expresiones en términos de log5 (2) ylog5 (3) :
1 log5
(53
);
2 log5 (8) ;3 log5 (36) .
27
Solución.
1
log5
(53
)= log5 (5) − log5 (3) = 1 − log5 (3) .
2
log5 (8) = log5
(23)
= 3 log5 (5) = 3.
3
log5 (36) = log5
(2232
)= 2 log5 (2) + 2 log5 (3) .
28
Consideremos una inversión inicial de $1, a una tasa de interésanual de r = 1, a un plazo de T = 1, es decir, de un año. Sivariamos el número de periodos M, en el que se compone lainversión al año, obtenemos los siguientes resultados:
M (1 + 1/M)M
1 2.010 2.5937424601100 2.704813829421000 2.7169239322410000 2.71814592683
29
Como se puede observar,(
1 + 1M
)M
→ 2.71828182846
si M → ∞.
Observación 3.2.e ≈ 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).
30
Como se puede observar,(
1 + 1M
)M
→ 2.71828182846
si M → ∞.
Observación 3.2.e ≈ 2.71828182846 se llama constante de Euler y al logaritmobase e se le llama logaritmo natura y se denota por ln(x).
30
En general, realizando el cambio de variable M = N
r, tenemos
que
A(1 + r
N)NT = A(1 + 1
M)rMT
= A
((1 + 1
M
)M)rT
→ AerT
cuando N, M → ∞.
Observación 3.3.Esta es la motivacación de la fórmula de interés compuestocontinuamente.
31
Ejemplo 3.8.Resuelva 3 = e20x.
Solución.
3 = e20x → ln(3) = ln(e20x)→ ln(3) = 20x
→ x = ln(3)20 ≈ 0.0549
32
Ejemplo 3.8.Resuelva 3 = e20x.
Solución.
3 = e20x → ln(3) = ln(e20x)→ ln(3) = 20x
→ x = ln(3)20 ≈ 0.0549
32
Ejemplo 3.9.Resuelva 2 ln(x) = 1
Solución.
2 ln(x) = 1 → ln(x) = 12
→ x = exp(12)
→ x = e12 =
√e ≈ 1.648
33
Ejemplo 3.9.Resuelva 2 ln(x) = 1
Solución.
2 ln(x) = 1 → ln(x) = 12
→ x = exp(12)
→ x = e12 =
√e ≈ 1.648
33
Ejemplo 3.10.Considere una inversión inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, ¿a que plazo de T añosdebe hacerse la inversión, para que esta se duplique?
Solución.Planteamos la ecuación 1000e0.08T = 2000. Despejamos T dela siguiente manera:
1000e0.08T = 2000 → e0.08T = 2→ 0.08T = ln(2)
→ T = ln(2)0.08 ≈ 8.66.
El plazo debe ser aprox. 8.66 años.
34
Ejemplo 3.10.Considere una inversión inicial C0 = $1, 000, a una tasa anualr = 8 % compuesta continuamente, ¿a que plazo de T añosdebe hacerse la inversión, para que esta se duplique?
Solución.Planteamos la ecuación 1000e0.08T = 2000. Despejamos T dela siguiente manera:
1000e0.08T = 2000 → e0.08T = 2→ 0.08T = ln(2)
→ T = ln(2)0.08 ≈ 8.66.
El plazo debe ser aprox. 8.66 años.
34
Observación 3.4.Observe que el tiempo que se tarda en duplicar el monto, esindependiente de la cantidad inicial C0. Trate de verificar estehecho, con diferentes montón y de justificarlo algebraicamente.
35
Evaluación Continua 3.1.En los siguientes ejericios, evalué la expresión dada utilizandolas propiedades de los logaritmos:
1 ln e3
2 ln√
e
3 eln 5
4 e2 ln 3
5 e3 ln 2−2 ln 5
6 ln e3√e
e13
36
Evaluación Continua 3.2.Resuelva las siguientes ecuaciones:
1 4x = 532 log3 (2x − 1) = 23 2 = e0.06x
4 3 = 2 + 5e−4x
5 ln(x) = 13 (ln 16 + 2 ln 2)
6 3x = e2
37
Evaluación Continua 3.3.
1 ¿Cuán rápido se duplica el dinero si se invierte a una tasade interés anual de 6 %, capitalizado continuamente?
2 El dinero depositado en cierto banco se duplica cada 13años. El banco capitaliza el interés continuamente. ¿Quétasa de interés anual ofrece el banco?
3 Si una cantidad que gana interés capitalizandocontinuamente tarda 12 años en duplicar su valor,¿cuánto tardará en tripicarlo?
38
Trigonometría analítica
Identidades cociente
tan(t) = sin(t)cos(t)
ctg(t) = cos(t)sin(t)
39
Identidades reciprocas
csc(t) = 1sin(t)
sec(t) = 1cos(t)
ctg(t) = 1tan(t)
40
Identidades reciprocas
csc(t) = 1sin(t)
sec(t) = 1cos(t)
ctg(t) = 1tan(t)
40
Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
41
Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
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Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
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Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
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Identidades pitagóricas
sin2(t) + cos2(t) = 1tan2(t) + 1 = sec2(t)1 + tan2(t) = csc2(t)
41
Identidades de paridad
sin(−t) = − sin(t)cos(−t) = cos(t)
42
Identidades de paridad
sin(−t) = − sin(t)cos(−t) = cos(t)
42
Identidades de paridad
sin(−t) = − sin(t)cos(−t) = cos(t)
42
Identidades de paridad
sin(−t) = − sin(t)cos(−t) = cos(t)
42
Ejemplo 4.1.Simplifique
ctg(t)csc(t)
43
Ejemplo 4.2.Muestre que
cos(t)1 + sin(t) = 1 − sin(t)
cos(t)
44
Ejemplo 4.3.Simplifique
1 + sin(u)sin(u) + ctg(u) − cos(u)
cos(u)
45
Ejemplo 4.4.Simplifique
sin2(v) − 1tan(v)sin(v) − tan(v)
46
Ejemplo 4.5.Establezca la identidad
csc(t)tan(t) = sec(t)
47
Ejemplo 4.6.Establezca la identidad
1 + tan(u)1 + ctg(u) = tan(u)
48
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
49
Ejemplo 4.7.Demuestre las siguientes identidades
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
50
Ejemplo 4.8.Demuestre las siguientes identidades
cos(
π
2 − t)
= sin(t)
sin(
π
2 − t)
= cos(t)
51
Ejemplo 4.9.Demuestre que
tan(t + u) = tan(t) + tan(u)1 − tan(t)tan(u) ;
y encuentre una expresión para tan(t − u)
52
Ejemplo 4.10.Demuestre que
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)cos(2t) = cos2(t) − sin2(t)cos(2t) = 1 − 2sin2(t)cos(2t) = 2cos2 − 1
53
Ejemplo 4.11.Demuestre que
tan(2t) = 2tan(t)1 − tan2(t)
54
Ejemplo 4.12.Demuestre que
sin2(t) = 1 − cos(2t)2
55
Ejemplo 4.13.Demuestre que
cos2(t) = 1 + cos(2t)2
56
Ejemplo 4.14.Demuestre que
tan2(t) = 1 − cos(2t)1 − cos(2t)
57
Diferenciación Logarítmica
Propiedades Básicas de la Derivada
Proposición 5.1 (Linealidad).
Dx (c1f1(x) + c2f2(x)) = c1Dxf1(x) + c2Dxf2(x)
58
Observación 5.1.No es cierto que
Dx (f(x)g(x)) = (Dxf(x)) (Dxg(x))
59
Proposición 5.2 (Regla del producto).
Dx (f(x)g(x)) = (Dxf(x)) g(x) + f(x) (Dxg(x))
60
La regla del cociente
Dx
(f(x)g(x)
)= f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)
(g(x))2
es solamente una consecuencia de la regla del producto.
61
Proposición 5.3 (Regla de la cadena).
Dx (f (g(x))) = f ′ (g(x)) g′(x)
62
Proposición 5.4.
Dx
(eu(x)
)= eu(x)u′(x)
63
Proposición 5.5.
Dx (ln (u(x))) = u′(x)u(x)
64
Diferenciación Logaritmica
u′(x) = u(x) (Dx ln(u(x)))
65
Ejemplo 5.1.Derive
f(x) =3√
x + 1(1 − 3x)4
66
Ejemplo 5.2.Derive
y = xx
67
Derivey = x(ex)
68
Derivadas Parciales
Objetivos del aprendizaje
1 Calcular e interpretar derivadas parciales.2 Aplicar derivadas parciales para estudiar problemas de
análisis marginal en economía.3 Calcular derivadas parciales de segundo orden.4 Usar la regla de la cadena de derivadas parciales para
encontrar tasas de cambio y hacer aproximacionesincrementales.
69
Derivadas parciales de primer orden
La derivada parcial de f(x, y) respecto de x se denota por
∂xf(x, y) ó fx(x, y)
y es la función obtenida al derivar f respecto de x tratando ay como una constante.
70
Derivadas parciales de primer orden
De manera similar, la derivada parcial de f(x, y) respecto de y
se denota por∂yf(x, y) ó fy(x, y)
y es la función obtenida al derivar f respecto de y tratando ax como una constante.
71
Algunas propiedades y fórmulas
Proposición 6.1.Sean u(x, y), v(x, y) funciones de dos variables y h(y) unafunción que no depende de x.
1 ∂xh(y) = 0;2 ∂x (h(y)u) = h(y)∂xu;3 ∂x (u + v) = ∂xu + ∂xv;4 ∂x (uv) = u∂xv + v∂xu;5 ∂xun = nun−1∂xu;6 ∂xeu = eu∂xu;7 ∂x ln(u) = ∂xu
u.
72
Observación 6.1.Las reglas siguen valiendo si: cambiamos ∂x por ∂y y h nodepende de y.
73
Ejemplo 6.1.Encuentre las derivadas parciales de f(x, y) = x2 + 2xy2 + 2y
3x
El desarrollo completo del ejercicio lo puede encontrar en miCanal de YouTube. La comprobación de la solución la puedeencontrar en SageMathCell.
74
Ejemplo 6.2.Encuentre las derivadas parciales de
f(x, y) = (x2 + x ∗ y + y)5.
El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en miCanal de YouTube. La comprobación se puede encontrar enhttp://sagecell.sagemath.org/?q=vrfhpv
75
Ejemplo 6.3.Encuentre las derivadas parciales de
f(x, y) = xe−2xy.
El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en miCanal de YouTube. La comprobación se puede encontrar enhttp://sagecell.sagemath.org/?q=onrgkx
76
Evaluación Continua 6.1.Evalue las derivadas parciales ∂xf(x, y) y ∂yf(x, y) en elpunto (x0, y0) dado:
1 f(x, y) = x3y − 2(x + y), x0 = 1, y0 = 0;2 f(x, y) = x + x
y − 3x, x0 = 1, y0 = 1;
3 f(x, y) = (x − 2y)2 + (y − 3x)2 + 5, x0 = 0, y0 = −1;
4 f(x, y) = xy ln(
y
x
)+ ln (2x − 3y)2, x0 = 1, y0 = 1;
Puede verificar sus resultados con este este script.
77
Derivación implícita
Si f es una función de x, y y, a su vez, tanto x como y sonfunciones de una tercera variable t, entonces podemos usar lasiguiente versión de la regla de la cadena:
d
dt[f(x(t), y(t)] = ∂f
∂x
dx
dt+ ∂f
∂y
dy
dt. (RC)
Abusando de la notación, escribimos f(t) = f(x(t), y(t) ypodemos reescribir la regla de la cadena como
f ′(t) = ∂xf(x, y)x′(t) + ∂yf(x, y)y′(t).
78
Si f es una función de x, y y, a su vez, tanto x como y sonfunciones de una tercera variable t, entonces podemos usar lasiguiente versión de la regla de la cadena:
d
dt[f(x(t), y(t)] = ∂f
∂x
dx
dt+ ∂f
∂y
dy
dt. (RC)
Abusando de la notación, escribimos f(t) = f(x(t), y(t) ypodemos reescribir la regla de la cadena como
f ′(t) = ∂xf(x, y)x′(t) + ∂yf(x, y)y′(t).
78
En la ecuación anterior, podemos omitir la dependencia dt dela variable t
df
dt= ∂f
∂x
dx
dt+ ∂f
∂y
dy
dt
y obtenemos la siguiente
Definición 7.1 (Diferencial de f(x, y)).
df(x, y) = ∂xf(x, y)dx + ∂yf(x, y)dy. (df)
79
En la ecuación anterior, podemos omitir la dependencia dt dela variable t
df
dt= ∂f
∂x
dx
dt+ ∂f
∂y
dy
dt
y obtenemos la siguiente
Definición 7.1 (Diferencial de f(x, y)).
df(x, y) = ∂xf(x, y)dx + ∂yf(x, y)dy. (df)
79
Podemos interpretar la fórmula (df), en términos deaproximaciones por incrementos. Si tanto ∆x ≈ 0 como∆y ≈ 0, entonces
∆f ≈ ∂xf(x, y)∆x + ∂yf(x, y)∆y.
80
Podemos interpretar la fórmula (df), en términos deaproximaciones por incrementos. Si tanto ∆x ≈ 0 como∆y ≈ 0, entonces
∆f ≈ ∂xf(x, y)∆x + ∂yf(x, y)∆y.
80
Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que
dx
dx= 1,
dy
dx= y′.
Entonces obtenemos el caso especial
df
dx= ∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x).
Si fijamos una curva de nivel, f(x, y) al derivar respecto de x
de ambos lados tenemos que dfdx
= 0, y sustituyendo la fórmulaanterior, obtenemos
∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x) = 0.
81
Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que
dx
dx= 1,
dy
dx= y′.
Entonces obtenemos el caso especial
df
dx= ∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x).
Si fijamos una curva de nivel, f(x, y) al derivar respecto de x
de ambos lados tenemos que dfdx
= 0, y sustituyendo la fórmulaanterior, obtenemos
∂xf(x, y) + ∂yf(x, y)y′(x) = 0.
81
Diferenciación implícita con derivadas parciales
Finalmente, al despejar y′(x), obtenemos la siguiente fórmulapara derivación implícita con derivadas parciales
dy
dx= −∂xf(x, y)
∂yf(x, y) (DIDP)
82
Ejemplo 7.1.Encuentre dy
dxa partir de x2 − 6 xy + 9 y2 = 9 con la fórmula
(DIDP).
En este caso f(x, y) = x2 − 6 xy + 9 y2. Calculamos lasparciales ∂xf(x, y) = 2 x − 6 y
∂yf(x, y) = −6 x + 18 y
y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos
dy
dx= − (2 x − 6 y)
(−6 x + 18 y) = 13 .
83
Ejemplo 7.2.Encuentre dy
dxa partir de 4 x2 − 4 xy + y2 = 4 con la fórmula
(DIDP).
En este caso f(x, y) = f(x, y) = 4 x2 − 4 xy + y2. Calculamoslas parciales ∂xf(x, y) = 8 x − 4 y
∂yf(x, y) = −4 x + 2 y
y sustituyento y simplificando en (DIDP), obtenemos
dy
dx= − (8 x − 4 y)
(−4 x + 2 y) = 2.
84
Evaluación Continua 7.1.Encuentre dy
dxpor usando la fórmula (DIDP):
1 x2y = 1.
2 (2x + 3y)5 = x + 1.
3 x2 + 2y3 = 3xy
.
4 4x2 + y2 = 1.
5 3x2 − 2y2 = 6.
Observación 7.1.Recuerde que antes debe reescribir la ecuación de modo que ellado derecho sea constante.
85
Integración por Partes
Integración por partes
A partir de la regla del producto
Dx (uv) = uv′ + vu′,
se duduce la fórmula de integración por partes:∫udv = uv −
∫vdu (8.1)
86
Ejemplo 8.1.Encuentre ∫
x ln(x)dx.
87
Ejemplo 8.2.Encuentre ∫
xexdx.
88
Ejemplo 8.3.Encuentre ∫
ex cos(x)dx.
89
Técnicas de integacióntrigonométrica
Caso 1
Considérense las integrales de la forma∫sink(x)cosn(x)dx,
con k, n enteros no negativos.
90
Tipo 1.1
Al menos uno de los números k, n es impar. Podemos escogeru = cos(x) o u = sin(x)
91
Ejemplo 9.1.
∫sin3(x) cos2(x)dx.
92
Ejemplo 9.2.
∫sin4(x)cos7(x)dx
93
Ejemplo 9.3.
∫sin5(x)dx
94
Tipo 1.2
Ambas potencias k, n son pares. Esto siempre supone uncálculo más tedioso mediante las identidades
cos2(x) = 1 + cos(2x)2
sin2(x) = 1 − cos(2x)2
95
Ejemplo 9.4.
∫cos2(x)sin4(x)dx
96
Caso 2
Considérense las integrales de la forma∫tank(x)secn(x)dx.
Recuerde quesec2(x) = 1 + tan2(x).
97
Caso 2
Considérense las integrales de la forma∫tank(x)secn(x)dx.
Recuerde quesec2(x) = 1 + tan2(x).
97
Tipo 2.1
Si n es impar, entonces se sustituye u = tan(x).
98
Ejemplo 9.5.
∫tan2(x)sec4(x)dx
99
Tipo 2.2
Si n, k son impares, se sustituye u = sec(x).
100
Ejemplo 9.6.
∫tan3(x)sec(x)dx.
101
Caso 3
Considérense integralesde la forma∫
f(Ax)g(Bx)dx, dondef, g pueden ser o bien sin o bien cos.
102
Necesitaremos las identidades
sin(Ax)cos(Bx) = 12 (sin ((A + B)x) + sin ((A − B)x))
(9.1)
sin(Ax)sin(Bx) = 12 (cos ((A − B)x) − cos ((A + B)x))
(9.2)
cos(Ax)cos(Bx) = 12 (cos ((A − B)x) + cos ((A + B)x))
(9.3)
103
Ejemplo 9.7.
∫sin(7x)cos(3x)
104
Ejemplo 9.8.
∫sin(7x)cos(3x)
105
Ejemplo 9.9.
∫sin(7x)sin(3x)
106
Ejemplo 9.10.
∫cos(7x)cos(3x)
107
Fracciones parciales
La técnica de fracciones parciales se utiliza para integrarfunciones racionales, es decir, aquellas de la forma
N(x)D(x) ,
donde N, D son polinomios.
108
Por simplicidad, supondremos que
1 El coeficiente líder de D(x) es igual a 1.
2 El grado de D(x) es mayor que el de N(x).
Sin embargo, ninguna de estas dos condiciones son esenciales.
109
Por simplicidad, supondremos que
1 El coeficiente líder de D(x) es igual a 1.
2 El grado de D(x) es mayor que el de N(x).
Sin embargo, ninguna de estas dos condiciones son esenciales.
109
Ejemplo 10.1.
∫ 2x3
5x8 + 3x − 4dx = 15
∫ 2x3
x8 + 35x − 4
5
110
Ejemplo 10.2.2x5 + 7x2 + 3 = 2x3 − 6x + 18x + 7
x2 + 3
111
Definición 10.1.Un polinomio es irreducible si no se puede expresar como elproducto de dos polinomios de grado menor.
112
Todo polinomio lineal es irreducible
113
g(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0
es irreducible si y solo b4 − 4ac < 0.
114
Ejemplo 10.3.
Verifique que
1 x2 + 4 es irreducible;2 x2 + x − 4 es reducible.
115
Teorema 10.1.
Todo polinomio cuyo coeficiente líder sea igual a 1 se puedeexpresar como producto de factores lineales, o factorescuadráticos irreducibles.
116
Ejemplo 10.4.
1 x3 − 4x =2 x3 + 4x =3 x4 − 9 =4 x3 − 3x2 − x + 3 =
117
Caso I. D(x) es producto de factores lineales distin-tos
Ejemplo 10.5.
Resuelva ∫ dx
x2 − 4
118
Ejemplo 10.6.
Resuelva ∫ (x + 1)dx
x3+x2−6x
119
Regla General para Caso 1
El integrando se representa como una suma de términos de laform A
x − a, para cada factor x − a, y A una constante por
determinar.
120
Caso 2. D(x) es producto de factores lineales repe-tidos.
Ejemplo 10.7.
Encuentre ∫ (3x + 5)dx
x3 − x2 − x + 1
121
122
Ejemplo 10.8.
∫ (x + 1)dx
x3(x − 2)2
123
Regla General para el Caso 2.
Para cada factor x − c de multiplicidad k, se utiliza la expresión
A1
x − r+ A2
(x − r)2 + ... + Ak
(x − r)k.
124
Caso 3. Factores cuadráticos irreducibles distintos, ylineales repetidos
A cada factor irreducible x2 + bx + c de D(x) le correspondeel integrando
Ax + B
x2 + bx + c.
125
Ejemplo 10.9.Encuentre ∫ (x − 1)dx
x(x2 + 1)(x2 + 2)
126
Caso IV. Factores cuadráticos irreusibles repetidos
A cada factor cuadráticos irreducible x2 + bx + c demutiplicidad k le corresponde el integrando
k∑i=1
Aix + Bi
(x2 + bx + c)i
127
Encuentre ∫ 2x2 + 3(x2 + 1)2 dx.
128