Taller Remedial de Matemáticas

Notas del Taller Remedial deMatemáticas

M. en C. Juliho Castillo3 de marzo de 2017

ESDAI, Universidad Panamericana

Acerca de mí

¡Bienvenidas al Taller Remedial de Matemáticas!

Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la“o”.)

¡Bienvenidas al Taller Remedial de Matemáticas!

Mi nombre es Juliho Castillo...(sí, con “h” entre la “i” y la“o”.)

Educación

1 Candidato a Doctor: Instituto de Matemáticas, UNAM,posgrado en Ciencias Matemáticas. Proyecto de Tesis:“Técnicas simplécticas aplicadas a las solucionesgeneralizadas de la ecuación de Hamilton- Jacobi”, bajola dirección del Dr. Héctor Sanchez Morgado.

2 Maestro en Ciencias: Departamento de Matemáticas,CINVESTAV, especialidad en Matemáticas, fecha detitulación: 5 de febrero de 2013. Tesis: “Clasificación deCapacidades Simplécticas en Superficies”, bajo ladirección del Dr. Rustam Sadykov.

3 Licenciado en Ciencias: Escuela de Ciencias, UABJO,especialidad en Matemáticas, fecha de titulación: 14 deenero de 2011. Tesis: “Análisis Semiclásico de Operadoresde Schrödinger”, bajo la dirección del Dr. Héctor SanchezMorgado.

Educación

Publicaciones

2014 Symplectic capacities on surfaces: ManuscriptaMathematica, Vol. 229, artículo 701, Artículo deInvestigación.En colaboración con Dr. Rystam Sadykov

2012 Aplicaciones del Control Estocástico al AnálisisSemiclásico: Aportaciones Matemáticas, Memorias 45,69-96, Artículo de exposición.

Reconocimientos

2011 Premio Nacional “Mixbaal” a las Mejores Tesis deLicenciatura en Matemáticas Aplicadas, MenciónHonorífica

2011 Conferencista invitado, Sesión del Premio Mixbaal,ENOAN XXI

2001 Seleccionado Estatal, XV Olimpiada Mexicana deMatemáticas, Delegación Oaxaca

Experiencia docente

Actual Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,ESDAI, Ciudad de México.

2014-2015 Coordinador Académico, Club de Matemáticas“Teorema”, Centro de Formación en Ciencias yMatemáticas, Oaxaca.

2014 Codelegado, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.

2013 Profesor de Asignatura, Instituto Blaise Pascal, Académiade Matemáticas, Oaxaca de Juárez.

2013 Profesor de Asignatura, Universidad Anáhuac México Sur,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.

2012-2013 Profesor de Asignatura, Universidad Panamericana,Facultad de Ingeniería, Ciudad de México.

2005-2010 Entrenador, Olimpiada Mexicana de Matemáticas,Delegación Oaxaca.

Información General

Temario

1 Introducción2 Porcentajes y reparto proporcional3 Operaciones con expresiones algebraicas4 Productos notables5 Factorización6 Ecuaciones de primer grado con una y dos variables7 Ecuaciones de segundo grado; aplicaciones.8 Sistemas de dos eciaciones con dos incognitas;

aplicaciones

Bibliografía

1 SPIEGEL, Murray et. al. ”Álgebra Superior”. 3a. ed.México: Series Schaum, McGraw-Hill, 2006.

2 HOFFMANN, Laurence et. el. ”Matemáticas Aplicadas ala Administración y los Negocios”. 1a ed. México:McGraw-Hill, 2014.

Normativa

La calificación final se compondrá de la siguiente manera:

1 2 evaluaciones parciales x 30 % cada una = 60 %calificación final

2 1 examen final = 40 % calificación final

Cada evaluación parcial se compondrá de la siguiente manera

1 Examen escrito = 40 %2 Guía de examen = 20 %3 Controles de lectura = 40 %

Normativa

La calificación final se compondrá de la siguiente manera:

1 2 evaluaciones parciales x 30 % cada una = 60 %calificación final

2 1 examen final = 40 % calificación final

Cada evaluación parcial se compondrá de la siguiente manera

1 Examen escrito = 40 %2 Guía de examen = 20 %3 Controles de lectura = 40 %

Los controles de lectura serán semanales con base en los librosde la bibliografía.

Algunos puntos importantes a considerar son:

1.) El límite de faltas es el 20 % del total de las sesiones y nohay justificante para las mismas.

2.) En clase, no se podrá hacer uso de dispositivoselectrónicos, excepto de calculadora científica no graficadora.

Competencias

Habilidad para trabajar de forma autónoma

Competencia necesaria en la ejecución independiente de lasactividades o en la resolución de problemas. Supone responderde manera proactiva sin esperar autorizaciones o consultas.

Proponer mejoras.Decidir.Estar orientado a la acción.Utilizar la iniciativa y la rapidez como ventajacompetitiva.Asumir riesgos.Establecer prioridades.

Habilidad para trabajar de forma autónoma

Competencia necesaria en la ejecución independiente de lasactividades o en la resolución de problemas. Supone responderde manera proactiva sin esperar autorizaciones o consultas.

Proponer mejoras.Decidir.Estar orientado a la acción.Utilizar la iniciativa y la rapidez como ventajacompetitiva.Asumir riesgos.Establecer prioridades.

Resolución de problemas

Competencia necesaria para proponer soluciones viables aproblemas presentes y futuros.

Motivación de logro

Competencia necesaria para encausar la actitud de la personahacia el cumplimiento de las metas en la vida personal ylaboral.

Implica el convencimiento de que cada persona es capaz derealizar con éxito una tarea o elegir el enfoque adecuado pararesolver un problema.

Esto incluye abordar nuevos y crecientes retos con una actitudde confianza en las propias capacidades, decisiones ocapacidades, decisiones o

1 Conjuntos de Números

Los números enteros

Los números racionales

2 Razones y proporciones

Razones inversas

Ejemplos

Conjuntos de Números

Los números enteros

Los números naturales son el conjunto de números

N = {0, 1, 2, 3, ...}

¿Para que nos sirve N?Este conjunto de número nos sirve paracontar.

Los números naturales son el conjunto de números

N = {0, 1, 2, 3, ...}

¿Para que nos sirve N?Este conjunto de número nos sirve paracontar.

Los números enteros son el conjunto de números

Z = {0, ±1, ±2, ...}

¿Para que nos sirve Z?Este conjunto de número nos sirve paracontar, sumar y restar.

Los números enteros son el conjunto de números

Z = {0, ±1, ±2, ...}

¿Para que nos sirve Z?Este conjunto de número nos sirve paracontar, sumar y restar.

Definición 4.1.

Diremos que un entero n ∈ Z divide a otro entero c ∈ Zsi existe un tercer entero p ∈ Z tal que

c = n ∗ p.

Diremos que el entero d ∈ Z es el máximo común divisoro mcd de dos enteros a, b ∈ Z si

d divide tanto a a ∈ Z como b ∈ Z y;d es el número entero más grande con esta propiedad.

Ejemplo 4.1.

Encontrar el mcd de a = 6 y b = 15.

Solución.Los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6; mientras que los de 15son ±1, ±3, ±5, ±15. Entonces, los divisores en común de 6 y15 son ±1, ±3. El más grande de todos estos es d = 3 y portanto es el mcd.

Ejemplo 4.1.

Aunque este método para encontrar el mcd es útil cuando haypocos divisores, puede resultar abrumador si ambos númerostienes una gran cantidad de divisores. ¿Existirá un método máseficiente? Sí, pero necesitamos un poco más de maquinaria.

Definición 4.2.El valor absoluto de un número entero a ∈ Z es la distancia deeste número, medida desde el origen de la recta númerica.

Figura 4.1: Valor Absoluto

Definición 4.2.El valor absoluto de un número entero a ∈ Z es la distancia deeste número, medida desde el origen de la recta númerica.

Figura 4.1: Valor Absoluto

Observación 4.1.Básicamente, el valor absoluto a los números negativos enpositivos; y deja los no-negativos exactamente igual.

Proposición 4.1 (Teorema del Residuo).Dados dos números enteros, a, b ∈ Z, con b 6= 0, existen otropar de enteros q, r ∈ Z tales que

a = b ∗ q + r (4.1)|r| < |b| . (4.2)

A q se le llama cociente, mientras que a r se le llama residuo.

Ejemplo 4.2.Si a = 7, b = 2, entonces el cociente es q = 2 y el residuo esr = 1, porque 7 = 2 ∗ 3 + 1

|r = 1| < |b = 2| .

Observe que tambien podríamos tomar q = 1, r = 5 y escribir7 = 2 ∗ 1 + 5, pero como |5| > |2| , entonces r = 5 no satisfacela condición del residuo (4.2), porque |r = 5| ≥ |b = 2| .

Ejemplo 4.2.Si a = 7, b = 2, entonces el cociente es q = 2 y el residuo esr = 1, porque 7 = 2 ∗ 3 + 1

|r = 1| < |b = 2| .

Observe que tambien podríamos tomar q = 1, r = 5 y escribir7 = 2 ∗ 1 + 5, pero como |5| > |2| , entonces r = 5 no satisfacela condición del residuo (4.2), porque |r = 5| ≥ |b = 2| .

Proposición 4.2 (Algoritmo Euclidiano).Sean a, b ∈ Z dos número enteros. Consideremos la siguientesucesión de operaciones

a = b ∗ q0 + r0

b = r0 ∗ q1 + r1

r0 = r1 ∗ q2 + r2

rN−3 = rn−2 ∗ qN−1 + rN−1

rN−2 = rN−1 ∗ qN + 0.

Entonces el número entero rN−1 es el mcd.

Como en el ejemplo 4.1, tenemos que

15 = 6 ∗ 2 + 36 = 3 ∗ 2 + 0,

Entonces r = 3 es el mcd...¡Listo, hemos terminado!

Como en el ejemplo 4.1, tenemos que

15 = 6 ∗ 2 + 36 = 3 ∗ 2 + 0,

Entonces r = 3 es el mcd...¡Listo, hemos terminado!

Conjuntos de Números

Los números racionales

Los números racionales son el conjunto de números

b|a, b ∈ Z, b 6= 0

¿Para que nos sirve Q? Este conjunto de número nos sirvepara contar, sumar, restar, multiplicar y dividir.

Los números racionales son el conjunto de números

b|a, b ∈ Z, b 6= 0

¿Para que nos sirve Q? Este conjunto de número nos sirvepara contar, sumar, restar, multiplicar y dividir.

Definición 4.3.

Dos números racionales a

dson equivalentes si

a ∗ d − b ∗ c = 0.

Ejemplo 4.3.12 es equivalente a 2

4 porque

(1) (4) − (2) (2) = 0.

Definición 4.3.

a ∗ d − b ∗ c = 0.

4 porque

(1) (4) − (2) (2) = 0.

Definición 4.3.

a ∗ d − b ∗ c = 0.

4 porque

(1) (4) − (2) (2) = 0.

Definición 4.4.

1 Diremos que dos enteros p, q ∈ Z son primos relativos simcd(p, q) = 1.

2 Diremos que p

q∈ Q es la forma irreducible de a

b∈ Q si

qes equivalente a a

p, q son primos relativos.

Definición 4.4.

2 Diremos que p

b∈ Q si

qes equivalente a a

Definición 4.4.

2 Diremos que p

b∈ Q si

qes equivalente a a

Definición 4.4.

2 Diremos que p

b∈ Q si

qes equivalente a a

Definición 4.4.

2 Diremos que p

b∈ Q si

qes equivalente a a

Definición 4.4.

2 Diremos que p

b∈ Q si

qes equivalente a a

Ejemplo 4.4.

Encuentre la forma irreducible de 1510 .

Solución.

1 Primero, muestre que mcd(15, 10) = 5;2 Como

1510 = 5 ∗ 3

5 ∗ 2 = 32 ,

entonces 32 es equivalente a 15

3 Finalmente muestre que 3 y 2 son primos relativos.Concluimos que 3

2 es la forma irreducible de 1510 .

Ejemplo 4.4.

Solución.

1510 = 5 ∗ 3

5 ∗ 2 = 32 ,

Ejemplo 4.4.

Solución.

1510 = 5 ∗ 3

5 ∗ 2 = 32 ,

Ejemplo 4.4.

Solución.

1510 = 5 ∗ 3

5 ∗ 2 = 32 ,

Ejemplo 4.4.

Solución.

1510 = 5 ∗ 3

5 ∗ 2 = 32 ,

Ejemplo 4.4.

Solución.

1510 = 5 ∗ 3

5 ∗ 2 = 32 ,

Ejemplo 4.4.

Solución.

1510 = 5 ∗ 3

5 ∗ 2 = 32 ,

Ejemplo 4.4.

Solución.

1510 = 5 ∗ 3

5 ∗ 2 = 32 ,

La suma entre dos números racionales se define comoa

d= ad + bc

bc. (4.3)

Ejemplo 4.5.23 + 4

5 = (2)(5) + (3)(4)(3)(5) = 22

La suma entre dos números racionales se define comoa

d= ad + bc

bc. (4.3)

Ejemplo 4.5.23 + 4

5 = (2)(5) + (3)(4)(3)(5) = 22

La resta entre dos números racionales se define comoa

b− c

d= ad − bc

bc. (4.4)

Ejemplo 4.6.23 − 4

5 = (2)(5) − (3)(4)(3)(5) = − 2

La resta entre dos números racionales se define comoa

b− c

d= ad − bc

bc. (4.4)

Ejemplo 4.6.23 − 4

5 = (2)(5) − (3)(4)(3)(5) = − 2

Por la definición 4.3, tenemos que para un número racional ab

n ∗ a

n ∗ b= a

siempre que n 6= 0.

Ejemplo 4.7.24 = 2 ∗ 1

2 ∗ 2 = 12 .

Por la definición 4.3, tenemos que para un número racional ab

n ∗ a

n ∗ b= a

siempre que n 6= 0.

Ejemplo 4.7.24 = 2 ∗ 1

2 ∗ 2 = 12 .

Definición 4.5.

Diremos que la forma irreducible de una fracción a

perop, q son primos relativos.

Observación 4.2.Si d es el máximo común divisor de los enteros a, b 6= 0,

entonces tenemos que p, q son los cocientes en las operacionesa = d ∗ p

b = d ∗ q

Ejemplo 4.8.Encuentre la forma irreducible de la fracción

182910 .

Ejemplo 4.9.Realice las siguientes y escriba el resultado en su formairreducible:

153 + 5

73 + 4

54 + 3

12 − 1

35 − 4

La división entre dos números racionales se define comoa

d= a ∗ d

b ∗ c. (4.5)

siempre y cuando c 6= 0.

Ejemplo 4.10.23 ÷ 4

5 = 2 ∗ 53 ∗ 4 = 10

Razones y proporciones

La razón de dos números (enteros o racionales) a, b se escribea : b y se representa por la fracción a

Ejemplo 5.1.La razón de 4 a 6 se escribe 4 : 6 y se representa por lafracción 4

6 = 23 .

Ejemplo 5.2.La razón de 2

3 a 45 se escribe

23 : 4

y se representa por la fracción2345

= 23 ÷ 4

5 = 56 .

Diremos que dos razones a : b y c : d son equivalente sia

En ese caso, escribimos a : b ∼ c : d.

Ejemplo 5.3.¿Cuál es el precio unitario de cada artículo?

Una bote con 3 litros de aceite cuesta $54.Una caja de cereales con 700 gramos cuesta $63.

Ejemplo 5.4.Exprese las siguientes razones por medio de una fracciónsimplificada

1 96 : 1282 2

3 : 34

Ejemplo 5.5.Encuentre la razón entre las siguientes cantidades:

1 6 libras a 12 onzas2 3 cuartos a 2 galones3 3 yardas a 6 pies cuadrados

Ejemplo 5.6.Un segmento de 30 pulgadas se divide en dos partes cuyaslongitudes están en razón de 2 : 3. Encuentre las longitudes deambos segmentos.

Ejemplo 5.7.Las edades actuales de dos hermanos son 5 y 8 añosrespectivamente. ¿Al cabo de cuantos años, sus edades estaránen razón 3 : 4?

Ejemplo 5.8.Divida 253 en cuatro partes propocionales 2 : 5 : 7 : 9.

Razones inversas

Cuando tratamos de conservar una proporción a : b, hablamosde una razón directa, y podemos representarla por unaequivalencia de fracciones:

a : b ∼ c : d ⇔ a

Por ejemplo, en una recete de hotcakes, tenemos una razón1 : 3

4 entre tazas de harina y tazas de leche.

Para mantener la receta, podemos multiplicar las cantidades,pero manteniendo la proporción.

Por ejemplo, podemos ocupar 4 tazas de harina para 3 tazasde leche, porque 1 : 3

4 ∼ 4 : 3.

En cambio, en ocasiones lo que buscamos es mantener unacantidad total, y no proporción. Generalmente, es unacantidad de trabajo.

Por ejemplo, considere el trabajo de pintar una pared dedimensiones fijas. Supongamos que una persona puede pintarlaen 8 horas; pero suponiendo que contratamos un pintor máscon una experiencia similar, ¿cuantas horas se requerirán paraterminar el trabajo? ¿Y si contrataramos 4 pintores? ¿Y sifueran 8?

En el ejemplo anterior, la pared requiere 8 horas-trabajador;esta es la cantidad que debemos conservar, aunque no espermitido variar los trabajadores o las horas de trabajo portrabajador.

En este caso, hablamos de una razón inversa.

Ejemplo 5.9.Sabiendo que 8 personas tardan 12 días en poner a punto 16maquinas, encuentre el número de días que emplearán 16personas en poner a punto 8 máquinas.

Ejemplo 5.10.Sabiendo que 8 personas tardan 12 días en poner a punto 16maquinas, encuentre el número de días que emplearán 15personas en poner a punto 50 máquinas.

Ejemplos

Ejemplo 5.11.¿Cuál es la mejor compra entre 7 latas de sopas que cuestan$22.50 y 3 latas del mismo producto, que cuestan $9.50.

Ejemplo 5.12.¿Cuál es la mejor compra entre un paquete de 3 onzas dequeso crema que cuesta $4.30 y otro paquete de 8 onzas delmismo producto que cuesta $8.70?

Ejemplo 5.13.Si dos hombres pueden transportar 6 acres de tierra en 4horas, ¿cuántos hombres se necesitan para transportar 18acres en 8 horas?

3 Expresiones Algebraicas

Reducción de términos semejantes

Supresión de signos de agrupación

4 Mutiplicación de polinomios

5 División de Polinomios

6 Productos Especiales

Productos notables

Productos para an ± bn

7 Factorización

Procedimientos de factorización

3 Expresiones Algebraicas

4 Mutiplicación de polinomios

5 División de Polinomios

6 Productos Especiales

Productos notables

7 Factorización

Expresiones Algebraicas

En el álgebra, representamos cantidades desconocidas porsímbolos; generalmente son letras como x, y, z, pero no debeolvidarse que respresentan números.

Para representar una multiplicación iterada, usamos el símbolode potencia

xn = x ∗ · · · ∗ x︸︷︷︸n-veces

al número x le llamamos base y al número n le llamamospotencia.

Ejemplo 6.1.

1 32 = 3 ∗ 3 = 92 53 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 1253 24 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 16

Ejemplo 6.2.

1 x2 = x ∗ x

2 x3 = x ∗ x ∗ x

3 x4 = x ∗ x ∗ x ∗ x

4 · · ·

Observación 6.1.Observe que x1 = x; mientras que, por convención, x0 = 1.

Cuando multiplicamos xn por un número diferente de x :

axn = a ∗ x ∗ · · · ∗ x︸︷︷︸,diremos que a es el coeficiente de xn.

A un número escrito en la forma axn se le llama monomio; ydiremos que dos monomios son semejantes si tienenexactamente la misma base a la misma potencia.

Ejemplo 6.3.Determine cual de los siguientes monomios es semejante a2x3 :

1 3x3;2 2x2;3 2y3;

Dos términos semejantes pueden reducirseaxn + bxn = (a + b) xn

axn − bxn = (a − b) xn

Ejemplo 6.4.Reduzca los siguientes términos semejantes, escribiendo elcoeficiente en forma irreducible.

1 (4n2 + 5n + 3) + (−3n2 − 2n)2 (−7a3 − a2 − 5a − 2) + (a3 + a2 − 4a + 7)3 (

5u5 − 3u4 + 2u3 − 5u2 + 7u − 7)

3 + 3u4

2 − 2u2

3 + 5u

6 + 54

Ejemplo 6.5.Reduzca los siguientes términos semejantes, escribiendo elcoeficiente en forma irreducible.

1 (4n2 + 5n + 3) − (−3n2 − 2n)2 (−7a3 − a2 − 5a − 2) − (a3 + a2 − 4a + 7)3 (

5u5 − 3u4 + 2u3 − 5u2 + 7u − 7)

−(2u5

3 + 3u4

2 − 2u2

3 + 5u

6 + 54

Observación 6.2.A la suma de dos o más monomios se le conoce comopolinomio.

Por ejemplo x2 − 2x + 1 o x2 − 2xy + y2.

Expresiones Algebraicas

Cuando queremos quitar parentesis u otro signo deagrupación, en una suma o resta de polinomios, basta usar laregla de los signos.

Sin embargo, cuando un polinomio se multiplica por uncoeficiente, se utiliza la siguiente regla

Proposición 6.1 (Ley de la distribución).

a (b + c) = ab + ac (6.1)(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd. (6.2)

Ejemplo 6.6.Simplifique

1 (6 − 7a)(2 − 4a)2 −4(−4w − 5)(4w − 2)3 6(−5v − 7)(4 − 5v)(−2v − 1)v

Mutiplicación de polinomios

Dos monomios se pueden mutiplicar de la siguiente manera

(axn)(bxm) = (ab)xn+m.

Ejemplo 7.1.

1 (2x3) (3x2) = (2 ∗ 3) x2+3 = 6x5.

Ejemplo 7.2.Exprese su respuesta en la forma más simple posible:

1 (6x4)(4 − 3x − 3x2)2 5w3 (−7w3 − 7w2 + 7w + 3)

3 (−7a5 − 2a4 + 3a3 + a2 − a − 3)

1 (n2 + 5n

) (−n2 + 6n + 1

−6a2 − 3a − 7) (

a3 + a2 + 6a − 7)

3 (9w4

8 + 8w3

9 − 7w2

9 − w

3 + 59

)(−2w3 − 5w + 7

1 (7u4) (6 − 4u − 7u2)2 (3s4) (−7 + s − s2 − 5s3)3 (7x4) (2 + 4x − 7x2)

1 (5w4) (−1 + 5w + 4w2 + 6w3)2 (3m4) (−1 − 6m − 3m2 − 7m3 − 4m4)3 5a5 (a3 − 3a2 + 3a − 5)

Ejemplo 7.6.Escriba su respuesta de la forma más simple posible

)(n4 − 3n3 − 4n2 + 3n − 1)

)(−3y4 + 5y3 − 7y2 − 2y − 5)

)(−2s4 − s3 − 5s2 + 2s + 1)

Ejemplo 7.7.Exprese su respuesta en la forma más simple posible

1 (−4x − 5) (−3x3 + 3x2 − 4x − 4)2 (6y − 7y2) (y + 3)

9 + 4w

9 + 92

)(5w2 + 6w − 7)

1 (3x2 + 2x + 3) (6x2 − 4x − 3)2 (4m2 + 3m) (6m3 + 6m2 − 7m + 6)3 (−4x2 + 5x + 5) (3 − 4x)

1 (−2s4 − 5s3 + 3s2 + 3s + 2) (7s3 − 3s2 − 2s − 7)2 (5v − v2) (2v2 + 6v + 5)3 (7x3 + 2x2 + 5x − 6) (6x3 + 3x2 − 4x − 4)

Ejemplo 7.10.Simplifique(

5 − 5a2

6 − 9a

8 + 23

)(3a2 − 2a − 4

División de Polinomios

Ejemplo 8.1.

Divida 6x2 − 26x + 12 entre x − 4. Compruebe.

Solución.

6x2 − 26x + 12 = (x − 4) (6x − 2) + 4

Ejemplo 8.2.

Divida 8x4 + 6x2 − 3x + 1 entre 2x2 − x + 2. Compruebe

8x4 + 6x2 − 3x + 1 =(2x2 − x + 2

) (4x2 + 2x

)+ (−7x + 1)

Ejemplo 8.3.Divida 2x3 − 7x2 + 5 entre x − 3. Repita el ejericicio usandodivisión sintética. Compruebe.

2x3 − 7x2 + 5 = (x − 3)(2x2 − x − 3

)− 4

Ejemplo 8.4.Realice las siguientes divisiones; comprebe.

1x2 − 6x − 8

x − 4

24x3 + 2x2 − 2x − 3

2x + 1

3x3 + 6x + 3x2 − 2x + 2

46x3 + 2x2 + 22x

2x2 + 5

5x6 + x4 + x2 + 1

x2 + 1

Ejemplo 8.5.Realice las siguientes operaciones, utilizando división sintética.Compruebe.

1x2 − 5x + 4

x − 3

23x2 + 5x

x − 6

3x3 + 2x2 + 2x + 1

4x3 − 8x + 2

5x5 + 3x3 − 6

x − 1

Productos Especiales

Productos notables

A continuación, aparecen algunos de los productos que sepresentan con frecuencia en matemáticas.

Producto monomio-binomio

a(c + d) = ac + ad (9.1)

Ejemplo 9.1.

1 2xy (3x2y − 4y3)2 3x2y3 (2xy − x − 2y)3 (2st3 − 4rs2 + 3s3t) (5rst2)

Diferencia de cuadrados

(a + b) (a − b) = a2 − b2 (9.2)

Ejemplo 9.2.

1 (3a + 5b) (3a − 5b)2 (5xy + 4) (5xy − 4)3 (2 − 5y2) (2 + 5y2)4 (3a + 5a2b) (3a − 5a2b)

Cuadrado de un binomio

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (9.3)(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (9.4)

Ejemplo 9.3.

1 (x + 6)2

2 (y + 3x)2

3 (z − 4)2

4 (3 − 2x2)2

5 (x2y − 2z)2

Producto de dos binomios

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab (9.5)(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc) x + bd (9.6)

Ejemplo 9.4.

1 (x + 2) (x + 4)2 (x − 4) (x + 7)3 (y + 3) (y − 5)4 (xy + 6) (xy − 4)5 (2x − 3) (4x + 1)6 (4 + 3r) (2 − r)

Cubo de un binomio

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Ejemplo 9.5.

1 (2x + 1)3

2 (3x + 2y)3

3 (r − 2s)3

4 (x2 − 1)3

5 (ab2 − 2b)3

Cuadrado de un trinomio

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. (9.7)

Ejemplo 9.6.

(x − 2y + z)2 .

Productos Especiales

Ejemplo 9.7.

(a − b)(a2 + ab + b2

)(9.8)

(a − b)(a3 + a2b + ab2 + b3

)(9.9)

(a − b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4

)(9.10)

Ejemplo 9.8.

(a + b)(a2 + ab + b2

)(9.11)

(a + b)(a3 + a2b + ab2 + b3

)(9.12)

(a + b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4

)(9.13)

Ejemplo 9.9.

1 (t − 2) (t2 + 2t + 4)2 (z − x) (x2 + xz + z2)3 (x + 3y) (x2 − 3xy + 9y3)

Ejemplo 9.10.

1 (s − 1) (s3 + s2 + s + 1)2 (1 + t2) (1 − t2 + t4 − t6)3 (3x + 2y)2 (3x − 2y)2

4 (x2 + 2x + 1)2 (x2 − 2x + 1)2

5 (y − 1)3 (y + 1)3

6 (u + 2)(u − 2)(u2 + 4)(u4 + 16)

Factorización

Ejemplo 10.1.Factorice cada una de las siguietes expresiones:

1 x2 − 7x + 6 = (x − 1)(x − 6)2 x2 + 8x = x(x + 8)3 6x2 − 7x − 5 = (3x − 5)(2x + 1)4 x2 + 2xy + 8y2 = (x + 4y)(x − 2y)

Factorización

Factor monomio común

ac + ad = a(c + d)

Ejemplo 10.2.

1 6x2y − 2x3

2 2x3y − xy2 + 3x2y

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Ejemplo 10.3.

1 x2 − 252 4x2 − 9y2

Trinomio cuadrado perfecto

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

Ejemplo 10.4.

1 x2 + 6x + 92 9x2 − 12xy + 4y2

Trinomios en general

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d)

Ejemplo 10.5.

1 x2 − 5x + 42 x2 + xy − 12y2

3 3x2 − 5x − 24 6x2 + x − 125 8 − 14x + 5x2

Suma y diferencia de cubos

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2

Ejemplo 10.6.

1 8x3 + 27y3

2 8x3y3 − 1

8 Ecuaciones de segundo grado

Complemento de cuadrados

Intersecciones con los ejes

Ejemplos

Factorización

Aplicaciones9 Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneas

Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales

Ejemplos10 Determinantes

Determinantes de Segundo Orden

Ejemplos

Sistemas Indeterminados

Ecuaciones de segundo grado

Una función cuadrática es de la forma

f(x) = ax2 + bx + c;

su gráfica se llama parábola.

Figura 11.1: y = x2 − 4x + 7

Complemento de cuadrados

Cualquier función cuadrática se puede reescribir en la forma

f(x) = a(x − h)2 + k,

por el método de complementos de cuadrado.

El punto (h, k) se llama vértice, y corresponde al extremo dela parábola

y = a(x − h)2 + k.

La fórmula para encontrar el vértice de la parábolay = f(x) = ax2 + bx + c esh = − b

2ak = f(h).

Para completar el cuadrado, podemos usar el método dedivisión sintética:

h a b c

↓ +ah . . .

a . . . k

Ejemplo 11.1.Complete el cuadrado de

y = x2 − 4x + 7.

Ejemplo 11.2.Complete el cuadrádo de

y = 3x2 + 30x + 63.

Intersecciones con los ejes

Las raíces de un polinomio p(x) son aquellos números reales r

tales que p(r) = 0.

Para encontrar las raíces de una polinomio cuadrático,necesitamos resolver la ecuación de segundo grado

a(x − h)2 + k = 0.

Si r es una raíz de p(x) = a(x − h)2 + k, entonces la parábolay = a(x − h)2 + k cruza al eje x en el punto (r, 0).

Observación 11.1.Si k > 0, entonces a(x − h)2 + k > 0 y por tanto no existenraíces. Por lo tanto, la parábola y = a(x − h)2 + k nuncacruza el eje x.

Ejemplo 11.3.Determine si existen raíces de

y = x2 − 4x + 7,

Una identidad que es muy útil al momento de resolverecuaciones es la diferencia de cuadrados

(a − b) (a + b) = a2 − b2.

Una ecuación de la forma

z2 − c2 = 0

se puede reescribir como

(z − c) (z + c) = 0...

...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son

z = ±c.

Una ecuación de la forma

z2 − c2 = 0

se puede reescribir como

(z − c) (z + c) = 0...

...en cuyo caso tenemos que z − c = 0 o z + c = 0, y portanto las soluciones son

z = ±c.

Ejemplo 11.4.Encuentre las raíces de

y = 3x2 + 30x + 63.

Ejemplos

Ejemplo 11.5.Resuelva las siguientes ecuaciones

1 x2 − 40 = 92 2x2 − 400 = 03 x2 + 36 = 9 − 2x2

Ejemplo 11.6.Resuelva las siguientes ecuaciones

16 = 4x

3 = y2

Ejemplo 11.7.Resuelva la siguiente ecuación

1 − 2x

3 − x= x − 2

3x − 1 .

12x − 1 − 1

2x + 1 = 14 .

x − 2x

x + 1 = 5x + 1 − 1.

Ejemplo 11.10.

Encuentre las raíces de los siguientes polinomios

1 7x2 − 5x

2 x2 − 5x + 63 3x2 + 2x − 54 x2 − 4x + 4

Ejemplo 11.11.

Encuentre las raíces de los siguientes polinomios

1 x2 − 6x − 22 3x2 − 5x + 13 4x2 − 6x + 3

Factorización

Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene raíces r1, r2

diferentes, entonces podemos factorizar de la siguiente manera

p(x) = a(x − r1) (x − r2) .

Si un polinomio p(x) = ax2 + bx + c tiene una única raź r1,entonces podemos factorizar de la siguiente manera

p(x) = a (x − r1)2 .

Ejemplo 11.12.

Factorice los siguientes polinomios

1 7x2 − 5x

2 x2 − 5x + 63 3x2 + 2x − 54 x2 − 4x + 4

Ejemplo 11.13.

Factorice los siguientes polinomios

1 x2 − 6x − 22 3x2 − 5x + 13 4x2 − 6x + 3

Aplicaciones

Ejemplo 11.14.

Encuentre dos números positivos sabiendo que uno de ellos esigual al triple del otro más 5 y que el producto de ambos esigual a 68.

Ejemplo 11.15.

Encuentre un número sabiendo que la suma del triple delmismo con el doble de su recíproco es igual a 5.

Ejemplo 11.16.

Encuentre las dimensiones de un rectángulo cuto perímetro esde 50 pies y área es de 150 pies cuadrados.

Ejemplo 11.17.

La hipotenusa de un triángulo es igual a 34 pulgadas.Encuentre las longitudes de los catetos sabiendo que uno deellos es 14 pulgadas mayor que el otro.

Ejemplo 11.18.

Las dimensiones exteriores de un marco de fotografía son 12por 15 pulgadas. Sabiendo que el ancho permanece constante,encuentre su valor a) cuando la superficie de la fotografía esde 88 pulgadas y b) cuando dicha superficie vale 100 pulgadascuadradas.

Ejemplo 11.19.

Un piloto realiza un vuelo de 600 millas. Sabiendo que siaumenta la velocidad en 40 millas/hora podría recorrer dichadistancia empleando 30 minutos menos, encuentre la velocidadpromedio.

Ejemplo 11.20.

Un comerciante compra determinado número de camisas por$180 y las vende todas menos 6 con una ganancia de $2 encada camisa. Sabiendo que con el dinero recaudado en laventa podría haber comprado 30 camisas más que antes,calcule el precio de cada camisa.

Ejemplo 11.21.

Dos operarios A y B juntos, realizan una tarea en 10 días.Trabajando por separado, A tardaría 5 días más que B.Encuentre el número de días que tardarían en hacer la tareatrabajando cada no por sí sólo.

Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas

Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales

Supongamos que ai, bi, ci, i = 1, 2 son número dados:a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

En el sistema anterior, nuetro objetivos es encontrar dosnúmeros x, y tales que cumplan ambas ecuacionessimultaneamente.

Ejemplo 12.1.La solución del sistema x + y = 7

x − y = 3

es x = 5, y = 2.

A continuación, ejemplificaremos algunos de los métodos máscomunes para resolver sistemas de ecuaciones.

Suma y resta

Ejemplo 12.2.

2x − y = 4 (12.1)x + 2y = −3 (12.2)

Método de sustitución

Despejando de (12.1), obtenemos

y = 2x − 4.

Sutituyendo en (12.2), obtenemos

x + 2(2x − 4) = −3.

Método de sustitución

y = 2x − 4.

Sutituyendo en (12.2), obtenemos

x + 2(2x − 4) = −3.

Método de igualación

y = 2x − 4.

y = −3 + x

Igualando ambos lados derechos, obtenemos

2x − 4 = −3 + x

y = 2x − 4.

y = −3 + x

2x − 4 = −3 + x

y = 2x − 4.

y = −3 + x

2x − 4 = −3 + x

Método gráfico

Figura 12.1: 2x-y=4 , x+2y=-3

Tipos de sistemas

Sistemas de Ecuaciones LinealesSimultáneas

Ejemplos

Ejemplo 12.3.

2x − y = 4x + y = 5

Ejemplo 12.4.

5x + 2y = 32x + 3y = −1

Ejemplo 12.5.

2x + 3y = 36y − 6x = 1

Ejemplo 12.6.

5y = 3 − 2x

3x = 2y + 1

Ejemplo 12.7.

x − 23 + y + 1

6 = 2x + 3

4 − 2y − 12 = 1

Determinantes

Determinantes de Segundo Orden

Definición

Definición 13.1. ∣∣∣∣∣∣a b

∣∣∣∣∣∣ = ad − bc.

Ejemplo 13.1. ∣∣∣∣∣∣ 2 3−1 −2

∣∣∣∣∣∣ =

Si consideremos el siguiente sistema de ecuacionesa1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2... (13.1)

...y definimos

∣∣∣∣∣∣a1 b1

∣∣∣∣∣∣∆x =

∣∣∣∣∣∣c1 b1

∣∣∣∣∣∣∆y =

∣∣∣∣∣∣a1 c1

∣∣∣∣∣∣ ...

...entonces

x = ∆x

∆y = ∆y

(13.2)

Ejemplo 13.2.Resuelva el sistema 2x + 3y = 8

x − 2y = −3

Determinantes

Ejemplos

El método de solución de sistemas de ecuaciones linales, pormedio de determinantes, se conoce como Regla de Cramer.

Ejemplo 13.3.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer4x + 2y = 5

3x − 4y = 1

Ejemplo 13.4.Resuelva el siguiente sistema por la Regla de Cramer3u + 2v = 18

−5u − v = 12

Determinantes

Sistemas Indeterminados

Un sistema de n ecuaciones con n incognitas tiene una únicasolución si y solo si su determinante principal ∆ 6= 0.

En este caso, decimos que el sistema es consistente.

Un sistema de n ecuaciones con n incognitas tiene una únicasolución si y solo si su determinante principal ∆ 6= 0.

En este caso, decimos que el sistema es consistente.

Si ∆ = 0, entonces o bien existen multiples soluciones, o bienno existe alguna en absoluto.

En cualquier caso, decimos que el sistema es inconsistente.

Determine si 5x − 2y = 1010x − 4y = 20

es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.

Determine si 5x + 3y = 1510x + 6y = 60

es consistente; y de no ser el caso, explique que sucede con lassoluciones.

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