Curso Remedial de Matemticas Unida 1. Lgica 1.1.Introduccin En el lenguaje cotidiano las expresiones adolecen de poder tener distintos significados, cosa quehaceinteresantealaliteratura,sinembargo,enmatemticas:noesposiblequecada quien le d un significado distinto a expresiones como si x es mayor que 3, entonces x es mayor que 2. Con la intencin de, en la medida de lo posible, darle exactitud al discurso, el estudio de los procesos lgicos cobra inters. Tambin es necesario distinguir entre argumentos vlidos e invlidos.Recordarquematemticasascomolaciencia,laactividaddemostrativajuega un papel importante. 1.2.Proposiciones lgicas y conectivos Para el propsito de que una tenga la propiedad de ser falsa o verdadera y slo una de estas posibilidades se llamar PROPOSICIN LGICA. Si una proposicin lgica es verdadera se dir que su valor de verdad es V y, si es falsa, su valor de verdad es F. Elcmoasignarvalordeverdadaunafrasepuedesermuycomplicado,ysiemprese asignarenuncontextoque,alcambiar,puedealterarelvalordeverdaddelafraseode plano perder la propiedad de tener un valor de verdad. LafraseVivaMxico!,alinterrogarsedesiesverdaderaofalsa,intuitivamente,se encontrarquenoesningunadelasdoscosas.Sepuedeconcluirquedichafrasenoes proposicin lgica, es ms, no lo es en cualquier contexto, ya que esta frase, no afirma algo de un sujeto. Ahora ver las siguientes proposiciones lgicas: a). 1 + 1 = 2 b). La suma de nmeros enteros es un numero entero. b). 3 es mayor que 2. d). 4 es un nmero negativo. e). est lloviendo ahora en la Plaza Roja de Mosc. Es claro que todas ellas s tienen un valor de verdad; es ms, se puede informar que las tres primeras son verdaderas y la penltima es falsa. Resumiendo: a), b) y c) tienen valor de V y d) tiene valor de verdad F. La proposicin e) es una proposicin lgica a pesar de no poder decidir su valor de verdad (desde C.U. y sin la magia de la comunicacin). Analizar las siguientes proposiciones lgicas: a). 3 y 2 son nmeros enteros. b). Mxico y Guatemala son pases centroamericanos. c). 3 + 1 = 4 y 2 + 2 = 4. Notar que se tienen una forma comn: () y (), Donde los parntesis (.) representan proposiciones lgicas. Las proposiciones lgicas a), b) y c) escritas en esta forma quedan: a). 3 es un nmero entero y 2 es nmero entero. b). Mxico es pas centroamericano y Guatemala es pas centroamericano. c). 3 + 1 = 4y2 + 2 = 4 Definicin 1.2.1. Si una proposicin lgica se puede llevar a la forma (PROPOSICIN)y (PROPOSICIN), a tal proposicin se llama conjuncin. Definicin1.2.2.Cuandoproposicinsepuedellevaralaforma:(PROPOSICIN)o (PROPOSICIN), a dicha proposicin se le llamar disyuncin. Definicin1.2.3.Siunaproposicinlgicasepuedeescribirenlaforma:Si (PROPOSICIN), entonces (PROPOSICIN), a tal proposicin selellamar implicacin o condicional. Esconvenientesaberquelaproposicincondicionalsipentoncesq,tambinsepuede escribir como: q si p, p implica q, p slo si q, p es suficiente para q, q es necesaria para p y q siempre que p. Definicin 1.2.4. Se llamarnegacin a la proposicin que tenga la forma: Es falso que (PROPOSICIN). Ejemplos: a). Si est lloviendo me mojar (condicional). b). Juan es electrnico y Pedro tambin (conjuncin). c). El da de maana ser lluvioso o caluroso (disyuncin). d). 3 o 2 son mayores que 1 (disyuncin). e). No es posible que exista transporte barato y cmodo (negacin). f). Slo estudiando aprobar el curso (implicacin).} Enlasproposicionesdetipodisyuncin,conjuncineimplicacin,participandos proposiciones.Enlasdisyuncionesyconjuncionesesindistintodondesecoloquentales proposiciones; sin embargo, en la implicacin no. As: si llueve me mojo Cambia radicalmente si se transforma en: si me mojo, entonces llueve. Paradistinguireldiferentepapelquejueganlasdosproposicionesqueformanla implicacin, se tiene: Definicin 1.2.5. En una implicacin se llamar antecedente a la proposicin colocada entre si y entonces yconsecuente a la proposicin colocada despus de entonces. Ejemplos: a). Es condicin suficiente para que Avelino vuele, ser poeta. b). Jaime podr adelgazar si deja de comer. Las proposiciones a y b son condicionales ya que se pueden escribir, teniendo exactamente el mismo significado, de la forma: a). Si Avelino es poeta, entonces Avelino vuela. b). Si Jaime deja de comer, entonces Jaime podr adelgazar. Ya escritas as se podr distinguir claramente el antecedente y el consecuente. Finalmente,alassiguientespartculas:Y,o,sientonces,esfalsoque,selesagrupa conelnombredeconectivoslgicos.Tambinapartirdeahora,sedebedeescribir simplemente proposicin en vez de proposicinlgica. 1.3.Tablas de verdad y equivalencias Se plantean las siguientes preguntas: Es posible que una conjuncin sea verdadera si alguna de las proposiciones que la forman es falsa? Bajoquecondicionesdelasproposicionesinmersasenunaconjuncin,estpodrser falsa? Para dar luz acerca de estas preguntas, se dan las siguientes definiciones: Definicin 1.3.1. Una conjuncin es verdadera cuando y solo cuando lasdos proposicionesque la forman son verdaderas. Anlogas preguntas podran plantearse respecto a la disyuncina la negacin. Para esto: Definicin1.3.2.Unadisyuncinesverdadera,cuandoysolocuando,algunadelas proposiciones que la forman es verdadera. Definicin 1.3.3. Una negacin es verdadera si ysolo si la proposicin negada es falsa. Ahora bien, Qu pasa con la implicacin? Ver las siguientes proposiciones: Si dos es par, entonces 3 + 2 es impar. Siempre que dos es par, 3 + 2 es impar. No ocurre que: dos sea par y 3 + 2 no sea impar. Intuitivamente se puede aceptar que las tres proposiciones dicen lo mismo, es decir, se esta aceptando que: Una implicacin es la negacin de una conjuncin. Asque una implicacin es verdadera si tal conjuncin es falsa. Pero la tal conjuncin esta constituidaporelantecedenteylanegacindelconsecuentedelaimplicacin;asla conjuncin ser falsa si el antecedente es falso o elconsecuente es verdadero. En resumen: Definicin 1.3.4. Una implicacin es verdadera en cualquiera de los dos casos siguientes: yEl consecuente es verdadero. yEl antecedente es falso. Observando estas condiciones, se nota que lanica posibilidad que no se incluye es cuando elantecedenteesverdaderoyelconsecuenteesfalso.Unamaneraderecordaresta conclusin es usando la siguiente afirmacin: Nunca una verdad implica una falsedad. En lo que sigue se adoptan formas simblicas para las proposiciones. As las letras p, q, r, s t; simbolizan proposiciones de la siguiente forma: y o y o yo o y o Ahora, si existeuna proposicin deforma simblica, se trata de sacar informacin acerca del comportamiento de su valor de verdad; para esto se listan las combinaciones posibles en que aparezcan los valores de verdad de las proposicionesque forman tal proposicin. Por ejemplo: Tiene cuatro posibles combinaciones a saber: a.1) p verdadera y q verdadera. a.2) p falsa y q verdadera. a.3) p verdadera y q falsa. a.4) p falsa y q falsa. Encadaunodeestoscasoscadacombinacindeterminaunvalordeverdadpara (Claro,uno de los dos posibles, F o V). En seguidase ilustra una forma de listar las combinaciones de valores de verdad, as como sus consecuencias en el valor de verdad de la proposicin total. Pq VVFV FVVF VFFV FFFV A tal lista se le llama tabla de verdad de la proposicin. Ahora observe la siguiente proposicin: Pedro es carpintero o no lo es Tienelaforma simblica donde p simbolizala proposicinPedro es carpintero. Su tabla de verdad es: p VFV FVV Es decir, ,sea como sea p, siempre es verdadera; su verdad no depende de quien sea p, sino de la forma que tiene la proposicin. Una tcnica con la que se sabe cundo una proposicin es verdadera por su forma seria: Escribirla proposicin enforma simblica; construir su tabla deverdady si enla ltima columna de esta slo aparece V, entonces tal proposicin es verdadera por su forma Definicin 1.3.5. Las proposiciones lgicas que son verdaderas por su forma son llamadas tautologas. Es importante tener en mente las principales formas simblicas que dan lugar a tautologas.Observe las siguientes parejas de proposiciones: a)Ni Pedro ni Juan son matemticos. b)Es falso que pedro o Juan sean matemticos Observe que dicen lo mismo; sin embargo es necesario tener un mtodo ms seguro que la intuicin,paraasegurarquedosproposicionesdicenlomismo.Paraestonoteque,sidos proposiciones tienen igual contenido, no puede suceder que una de ellas sea falsa y la otra verdadera, as que deben cumplir que ambassonfalsas. Para continuar con esto analicelo siguiente: Elestudiantepuedeestudiarsinlugaradudasqueestaproposicinesfalsasipyqno coinciden en sus valores de verdad. Con esto se justifica lo siguiente: Definicin 1.3.6. Dos proposiciones p y q son equivalentes (tienen el mismo contenido) si: es tautologa . Se simboliza a p y q que son equivalentes escribiendo: Nota1: se simboliza como: y se lee: p si y slo si q A este tipo de proposiciones se le llama bicondicionales. Nota 2: Salinas fue un piesiuente muy honiauo. Es una bicondicional verdadera, evidentemente aunque, no es tautologa.Por qu? Nota 3: La proposicin Si don prospero Torres es dueo de una parcela, entonces voto por el tricolor. Es de la forma , donde p: Don Prspero Torres es dueo de una parcela y q Don PrsperoTorresvotporeltricoloryesequivalenteasucontrarecproca Si don Prspero Torres no vota por el tricolor entonces no ser dueo de una parcela Es de la forma , donde p: Don Prspero Torres es dueo de una parcela y q Don PrsperoTorresvotporeltricoloryesequivalenteasucontrarecproca Si Don Prspero Torres no vota por el tricolor entonces no ser dueo de una parcela La misma proposicin se puede escribir como: EsnecesarioquedonPrsperoTorresvoteporeltricolorparaqueseadueodeuna parcela. PorotroladosesabequedonPrsperoTorressiguegritando:Yosoycampesinoyno tengo tierra, y eso que ha votado por el tricolor, es decir, q es condicin necesaria pero no suficiente para que ocurra p. As,engeneral,unabicondicional, ,sueleleersepescondicinnecesariay suficienteparaqoqescondicinnecesariaysuficienteparap(alfinyalcaboson equivalentes . Ejercicios: 1.Cules de las siguientes frases son proposiciones lgicas? a)Come o fuma? b)3 es mayor que cuatro c)Come o fuma! d)Todos los tringulos son equilteros 2.Clasifiquelassiguientespreposicionesdeacuerdoanuestrasdefiniciones,enlas negaciones aclare cuales son las proposiciones negadas: a)El carro de pedro es tan bueno como el de Juan b)Aunque 3 no es par , si es primo c)Es falso que la natalidad disminuya en los pases pobres. d)Solo si David trabaja podr dejar el vicio. e)Es falso que todo tringulo es equiltero y es escaleno, pero es verdad que algunos tringulos son equilteros y otros no. 3.En las siguientes condicionales diga cul es el antecedente y cual es consecuente: a)Queda claro que siempre que pedro ha resuelto problemas, Luis se los ha copiado. b)Resulta que si usas automvil, inmediatamente tienes problemas cardiacos. c)Almenoscadavezquetumaestromehaexplicadoeltemadefunciones,amnome ha quedado claro. 4.DenoteconSlaproposicinyoestudio,yconPlaproposicinyopasarel curso. Exprese simblicamente las siguientes proposiciones; a)No estudio b)Pasare el curso solamente si estudio c)Estudio o no pasare el curso d)Ni estudio ni pasar el curso e)Pasare el curso si y solamente si estudio. 5.Suponga que l es la proposicin La lgica es fcil y que m es la proposicin Las matemticas son fciles. Exprese con palabras las siguientes proposiciones: a) b) c) d) e) 6.Calculeelvalordeverdaddelassiguientesproposicionessupongaquepes verdadera y q es falsa: a) b) ) c) d) e) 7.Calculeelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones,usandolos conocimientos matemticos utilizados hasta ahora. a)3 es mayor que 2 o 3 es igual a 2. b)Si 2 fuera mayor que 4, entonces 3 sera igual a 2. c)Si 3 fuera par, 3+2 tambin lo sera d)Es falso que: 8y 2 son impares 8.Cul de las siguientes formas da lugar a tautologas? a) b) c) 9.Cul de los siguientes pares de proposiciones son equivalentes? a) Ni3 ni 7 son pares. Es falso que: 3 o 7 son pares. b)3 es par pero 7 es impar c)Solo s lavas los platos vas al cine. Si lavas los platos vas al cine 1.4.Cuantificadores. Analice el siguiente ejemplo: a)Todos los automviles son enfriados por agua, b)Hay mujeres solteras, c)Algn estudiante de la BUAP es millonario. Estaspreposicionestienenencomnquesonafirmacionesacercadeunconglomeradoo conjunto de objetos. As, la primera es una afirmacin sobre un conjunto de automviles, la segunda sobre el conjunto de mujeres, etc. Aspues,paraconcluirqueelprimerejemploesverdaderalaproposicin,seraslo cuando hubiera investigado todo y cada uno de los automviles y adems se conozca que todosycadaunodeellosefectivamentesonenfriadosporagua.Sesabequeexisteun automvildeconocidamarcaquenoesenfriadoporagua;entoncesseconcluyequelo proposicin es falsa. Si ahora se dice que: o caua uno paia caua para todo. x peitenece a U La proposicin a) queda simblicamente como: . Es ms, si p(x)simboliza :x es enfriado por agua, la proposicin quedara: Las proposiciones del tipo: Son verdaderas si la frase p(x) se convierte en una proposicin verdadera cada vez que x sea remplazada por cualquier elemento de U y falsa en caso contrario. Ejemplos: 1.Todos los msicos son gente alegre. En forma simblica queda: Donde U denota el conjunto de los seres humanos y p(x) la frase: x es msico, y q(x) la frase: x es alegre. 2.Todas las personas que no son alegres no son msicos En forma simblica queda: 3.Dado cualquier nmero real, siempre existe un nmero entero mayor que l. Sirepresentaalconjuntodelosnmerosrealesyaldelosenteros,sepuede escribir esta proposicin del modo siguiente: 4.Todo nmero natural es mayor que cero. Estaproposicinsepuedeescribirenformasimblicadedosformasdiferentes, segnseaelconjuntouniversalseleccionado: o bien: . Donde es el conjunto de los nmeros naturales y el smbolo>, significa Mayor que. Para negar una proposicin, es suficiente con anteponerlafraseesfalso que. Lomismo es vlido para el tipo de proposiciones que se est estudiando. As, por ejemplo: Todo nmero natural es mayor que cero. Su negacin: Es falso que: Todo nmero natural es mayor que cero. Sin embargo es til tener formas equivalentes de estas proposiciones. Recordarque siempre que: Es verdadera, significar que p(a) es verdadera para cada elemento a de U, es decir, es falsa para todo elemento a de U, osea que es falsa la proposicin: Enlossiguientesejemplosseexplicantiposdeproposicionesenlasqueelcuantificador noest explcito. 1.Ningn nmero al cuadrado es negativo. Estaproposicin, se puede escribir de la siguiente forma: No existe nmero que elevado al cuadrado sea negativo O tambin: Todo nmero cumple que, elevado al cuadrado, no es negativo De forma esquemtica se puede decir que si una proposicin tiene la forma: sta, en realidad es la proposicin universal: As, el ejemplo se escribe en forma esquemtica como: Donde es el conjunto de los nmeros y 5, x < 9 y x 7. e)E = {x | x C, x es par, x> 5 y x< 9}. f)F = {6, 8}. g)G = { x | xes una recta del plano}. h)H es el conjunto de todas las bibliotecas de Hidalgo. i)I es el conjunto de todos los libros de todas las bibliotecas de Hidalgo. j)J = {{ x | x C}, { x | x E}}. 2.Siguiendo con la notacin del ejercicio anterior, responda las siguientes preguntas. a)Si x es un libro, Es cierto que xH? b)La biblioteca Nicols Coprnico es un elemento de H? c)Es cierto que 2 C. 3.Representar por extensin los conjuntos siguientes. a)A = {x | x es natural y x2< 20}. b)B = {x | x es natural, x > 1, x < 21 y x es impar}. c)C = {x | x es entero y }. d)D = {x | x es natural y ( }. e)E = {x | x es real y }. 2. 2 Conjunto Universal Enlateoradeconjuntosqueseestdesarrollando,setrabajaravecesconvarios conjuntos cuyos elementos son todos delmismo tipo, es decir, pertenecen todos almismo conglomerado de cosas, al que se llamarconjunto universal.Enelanlisisdeunasituacinparticular,dichoconjuntouniversalUconstadetodoslos elementosa los que se pueda referir esa situacin. Es algo as como la fuente de todos los elementos que forman parte de los conjuntos sobre los que se va a trabajar en esta situacin particular;elconjuntoendondetendrnsentidolaspropiedadesquecaracterizanalos elementos de esos conjuntos. El conjunto universal no es nico; depende del problema que se est considerando y puede cambiarsegnlasituacindequesetrate.Sepuedeelegirconvenientemente,arelativa libertad. Por ejemplo, si los conjuntos a considerar son: los futbolistas, los beisbolistas, los tenistas, los esquiadores y los nadadores, el universo ms adecuado es el de los deportistas, aunque tambin servira el de los seres humanos. EscomnusardiagramaspararepresentaralconjuntouniversalUyalosconjuntos formados con elementos de U. Al conjunto universal se le puede representar con un circulo grandeoconunrectngulooalgunaotrafiguradentrodelacualsedibujenotrasfiguras que representen a los dems conjuntos, como indicando con ello que todos los elementos de A, B y C son conjuntos cuyos elementos estn en U. A un diagrama de este tipo se le llama comnmente Diagrama de Venn 2.3. Subconjuntos Dentro de un conjunto universal U pueden existir dos conjuntos A y B con la propiedad de que todo elemento de A es un elemento de B, es decir, con la propiedad de que es una proposicin verdadera. Tal situacin se representara con un diagrama de Venn, por ejemplo as: Ejemplo 1.SeaUelconjuntodeletrasdelalfabetoespaolysean yBel conjunto de letras de la palabra murcilago. Escrito por extensin: Los elementos de A son tambin elementos de B. 2.Sea U el conjunto de los seresvivosy sean A elconjunto de las personasmayores de 18 aos y B el conjunto de los organismos pluricelulares. Cada elemento de A es elemento de B O no? Definicin 2.3.1. Suponer que Ay B sonconjuntos cuyos elementos estn en un conjunto universal U. Decir que el conjunto A es subconjunto del conjunto B si todo elemento de A es tambin elemento de B, es decir, si la proposicin Es verdadea. Denotar a la proposicin A es subconjunto de B como: Algunas consecuencias sencillas de esta definicin son las siguientes: a) b) c) Si entonces d) Demostracin: a)Por hiptesis los elementos de A son elementos de U. b)Esclaroquelaproposicin esverdaderayentonces es verdadera. c)Supongamosque sonverdaderas.Estosignificaquelasdos proposiciones siguientes son verdaderas y De esto se concluye que la proposicin Es verdadera. d)Si laproposicinesfalsayporlotantolaimplicacin es verdadera. Como esto es cierto para cualquier elemento x de U, la proposicin es verdadera. La proposicin de A no es subconjunto de B se acostumbra a escribir as: es la negacin de , es decir, es equivalente a la proposicin. Ejemplos: 1.Suponer que A = {1, 2} y B = {1, 2, 3}. Como ( es verdadera. 2.Supongamos que A= . Como ( es verdadera, es verdadera. 2.4.Igualdad de conjuntos ConsiderandoelconjuntoAyelconjuntoB,siambostienenlosmismoselementos,es decir,sicadaelementoqueperteneceaAtambinperteneceaBysicadaelementoque pertenece a B pertenece tambin a A. A = B Definicin 2.4.1. Sean A y Bsubconjuntos de un conjunto universo U. Se dir que A y B son iguales si es verdadera la proposicin: Definicin2.4.2. SeanAyBsubconjuntosdeU. Cuando sonverdaderos, se dir que A es un subconjunto propio de B. A la proposicin A es un subconjunto propio de B. Ejemplos: 1.Sea U el abecedario espaol. Sea B el conjunto deletras de la palabra caperucito y Entonces es verdadera. 2.SeaUelconjuntodetodosloslibros,seaBelconjuntodelibrosdelabiblioteca NielsBohryseaCelconjuntodelibrosdeQumicadelamismabiblioteca. Entonces esverdadera,porqueellibroGeometricTransformationsIdeI. N. Yaglon no es de qumica y se dice que est en la biblioteca Niels Bohr. 3. En el ejemplo 3 de la seccin anterior Ejercicios 1.Considere los siguientes conjuntos: Diga cul ocules de estos conjuntos: a)Son subconjuntos de P y de Q nicamente. b)Son subconjuntos de R pero no de Q. c)No son subconjuntos de R pero s de Q. d)No son subconjuntos de P ni de R. e)Son subconjuntos de todos. 2.Determine el conjunto S formado por los subconjuntos de ms de dos elementos del conjunto Respondalosiguiente:Elconjunto essubconjunto de S? Fundamente su respuestas. 3.Colocar un signo = o segn corresponda: a) b) c) d) e) 2.5. Construccin de nuevos conjuntos a partir de otros SeaU un conjunto universal y donde p(x) es una proposicin abierta en U. Es claro que A es subconjunto de U. Se puede formar un conjunto que conste de aquellos elementos de U que no satisfacen p(x), es decir, para los cuales es verdadera. A este conjunto se le llama el complemento del conjunto A en U. Se denota por AC. AC es el conjunto de los elementos de U que no pertenecen al conjunto A. EmpleandolosdiagramasdeVenn,senotaquesieluniversoUestrepresentadopor todoslospuntosqueestndentrodeunrectngulo(oalgunaotrafigura)yAest representado por los puntos que estn dentro de un crculo (por ejemplo) que est dentro del rectngulo, entonces AC estar representado por los puntos que estn dentrodelrectngulo pero fuera del crculo. Ejemplos: 1.Si entonces 2.Si entonces: 3.Sea U el conjunto de alumnos del curso de Clculo Diferencial que se imparte en la Facultad de Ciencias Fsico-Matemticas. Si o entonces o Algunas propiedades. Sea U un conjunto universal. a)Todo conjunto A, subconjunto de U, (AC)C = A b) c) d) Definicin 2.5.1. Si A y B son subconjuntos de U, entonces a)La unin de A y B es el subconjunto de U formado por aquellos elementos que estn en A o bien estn en B. Se denota por: b)Lainterseccin de Ay B es el conjunto formado por los elementos de U que estn en A y estn en B. Si p(x) y q(x) son proposiciones abiertas en U tales que Se tiene que: Ejemplos: 1.Si entonces . 2.Si entonces Propiedades A, B y subconjuntos de U, se tienen: a) b) c) d) e) f) g) h) Las demostraciones se dejan como ejercicios, adems de que existen otras propiedadeslas cuales se dejan como investigacin aleducando. Ejemplos: 1.Sean sobreelconjunto universal entonces . 2.SeanA={1,3,5,7,9,11,13}yB={1,2,3,5,8,13,21}sobreelconjuntouniversal. U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,19,20,21,22},calcular Para que eleducando sefamiliarice conla unin, interseccin, complemento y diferencia de conjuntos, se demuestran algunos teoremas queinvolucran estos conceptos. Sean U un conjunto universo, y A y B subconjuntos de U. 1.Si i) ii) Demostracindei.Probarque suponiendoque Paraellohayque demostrarque Si entonces pues Porlotanto Se ha probado Paraii).Como suponiendoque Si o Perosi As que Por lo tanto: i Ejercicios 1.Probar que si U es un conjunto universo, 2.SiA,B,CsonsubconjuntoscualesquieradeunconjuntouniversoU,probarque 3.Dadoselconjuntouniversal ylosconjuntos determine: a) b) c) d) 4.SeanAunconjuntocualquieraenunconjuntouniversoU.Halleexpresiones diferentes para los conjuntos siguientes a) b) c) d) 5.Proponertresconjuntos,H,J,K,quesatisfaganlasrelacionessiguientes: , (paraauxiliarsepuedeusar diagramas de Venn).