Activity 1 2-áreas y volúmenes-remedial
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Geometría y Trigonometría Actividad 1.2 - Remedial Áreas y volúmenes G. Edgar Mata Ortiz
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Geometría y Trigonometría
Actividad 1.2 - Remedial
Áreas y volúmenes
G. Edgar Mata Ortiz
Geometría y Trigonometría Áreas y Volúmenes
http://licmata-math.blogspot.mx/ 1
Introducción El cálculo de áreas y volúmenes es una importante herramienta para la
resolución de problemas, con la ventaja de que contamos con las fórmulas de
áreas y volúmenes de muchas figuras regulares. Por ejemplo:
El cuadrado.
Área: 𝑨 = 𝒍𝒂𝒅𝒐 × 𝒍𝒂𝒅𝒐 = 𝒍 × 𝒍 = 𝒍𝟐
Perímetro: 𝑷 = 𝟒 × 𝒍𝒂𝒅𝒐 = 𝟒 × 𝒍 = 𝟒𝒍
El cubo.
Volumen: 𝑽 = 𝒂𝒓𝒊𝒔𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒃𝒐 = 𝒂𝟑
Área lateral: 𝑨 = 𝟔 × 𝒂 × 𝒂 = 𝟔𝒂𝟐
Completa la información faltante:
El triángulo: Área: _____________________________________
Perímetro: _________________________________
El cilindro: Volumen: ___________________________________
Área lateral: _________________________________
La esfera: Volumen: ___________________________________
Área lateral: _________________________________
El cono: Volumen: ___________________________________
Área lateral: _________________________________
La Geometría
Sólidos
Platónicos
Sólo existen 5 sólidos que
reciben este nombre:
El tetraedro, formado por 4
triángulos equiláteros:
El hexaedro o cubo, formado
por seis cuadrados:
El octaedro, formado por 8
triángulos rectángulos:
El dodecaedro, formado por
12 pentágonos regulares:
Y el icosaedro, formado por 20
triángulos equiláteros:
Investiga por qué recibe
este nombre y sus
propiedades.
Áreas y volúmenes
𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 = 𝑎
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Problemas de razonamiento. El modelado matemático es el proceso mediante el cual se plantean y resuelven problemas reales mediante
herramientas de esta ciencia. Muchos de estos problemas solamente requieren la aplicación directa de alguna
de las fórmulas ya conocidas, sin embargo, en oros casos, es necesario realizar un análisis de la información
disponible para aplicar, además de las fórmulas, alguna estrategia que permita obtener la respuesta.
Veamos un ejemplo:
La figura adjunta es el plano de un área recreativa que se va a construir al
oriente de la ciudad. Tiene la forma de un cuadrado de área igual a
NL×1000 metros cuadrados. El semicírculo de la derecha está destinado a
una alberca con área de regaderas y espacios para tomar el sol; las
restantes áreas, a juegos infantiles, espacios con mesas y sillas para los
visitantes, y un área verde. Los límites del área verde son: el espacio para la
alberca, parte de una diagonal del cuadrado, y un cuarto de círculo con
centro en el vértice B. Determina la cantidad de pasto en rollo que se debe
comprar para colocar en dicha área verde.
Resuelve el problema y escribe la solución en las siguientes líneas.
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Además de obtener la solución del problema, es necesario ser capaz de comunicar el procedimiento que se
aplicó para llegar a la solución, elabora un documento electrónico, puede ser en Word, Power Point, Publisher
o algún otro software de tu preferencia, para elaborar un reporte en el que expliques detalladamente el
procedimiento que seguiste para resolver el problema.
Anota en las siguientes líneas, los conocimientos y fórmulas que utilizaste para resolver el problema.
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Para la resolución de estos problemas, es necesario utilizar numerosas fórmulas que es difícil mantener en la
memoria, descarga un formulario de áreas y volúmenes tan amplio como sea posible y consérvalo para futuras
referencias.
Ya que resolviste el problema del área recreativa utilizando ciertas fórmulas y conocimientos, ahora, con base
en el formulario que descargaste, resuelve el problema aplicando otras fórmulas y conocimientos y anótalos en
las siguientes líneas:
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Elabora un documento electrónico, puede ser en Word, Power Point, Publisher o algún otro software de tu
preferencia, para elaborar un reporte en el que expliques detalladamente el nuevo procedimiento que seguiste
para resolver el problema y compáralo con el proceso anterior, señalando las ventajas y desventajas de cada
método.
Resuelve los siguientes problemas explicando los pasos del procedimiento y señalando las fórmulas y
conocimientos que empleaste en cada problema. Estas explicaciones deben elaborarse en formato electrónico
y publicarse en el blog.
1. En la figura, las dos circunferencias tienen un radio de
20+NL cm cada una y son tangentes entre sí, las rectas l1 y
l2 son tangentes a las circunferencias como se observa en
la figura. Determina el área sombreada.
2. El área del cuadrado menor es (8+NL)2 in2. Determina el área del
círculo y del cuadrado mayor.
3. En la figura de la derecha, el triángulo ABC es un triángulo
rectángulo e isósceles. Las tres semicircunferencias tienen como
diámetro las dimensiones del lado AB y sus centros están en los
puntos medios de los lados del triángulo. Determina el área
sombreada. Considera la longitud del segmento BC igual a
12+NL en vez de la cantidad indicada en la figura.
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Fundamentos de geometría. Al resolver los problemas anteriores se utilizaron algunas propiedades de las figuras geométricas además de las
fórmulas de áreas y volúmenes, rectas perpendiculares, puntos medios, tangentes, entre muchos otros. Es
necesario revisar estas propiedades con mayor detenimiento.
Propiedades de las figuras geométricas planas. Existen muchas figuras geométricas cuyas propiedades pueden ser útiles en la resolución de un problema,
investiga y elabora una síntesis de las propiedades de las 10 figuras geométricas que consideres más
importantes, como el círculo, cuadrado, triángulo, entre otros.
Medidas de ángulos, y ángulos entre paralelas. Como habrás notado, algunas de las propiedades de las figuras investigadas están relacionadas con las
características de los ángulos y, en ocasiones, de los ángulos formados por dos o más rectas paralelas que son
cortadas por una transversal.
Completa la siguiente información:
Un ángulo agudo mide: _____________________________________________________
Un ángulo recto mide: ______________________________________________________
Un ángulo obtuso mide: ____________________________________________________
Un ángulo que mide 180° se llama: ___________________________________________
Un ángulo mayor de 180° se llama: ___________________________________________
Un ángulo de 270° se llama: _________________________________________________
Un ángulo de 360° se llama: _________________________________________________
Otros nombres de ángulos: __________________________________________________
Investiga los nombres de los ángulos formados en la siguiente figura y sus relaciones.
Anota la información encontrada en las siguientes líneas:
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Puntos notables en el triángulo. Investiga los siguientes puntos notables en el triángulo, sus
propiedades y cómo se trazan. Una vez que dispongas de la
información, construye en AutoCAD cada uno de los puntos
notables en el triángulo empleando los trazos geométricos
básicos: segmentos, arcos y circunferencias, es decir,
empleando solamente una regla no graduada y un compás.
Los puntos que debes investigar son: incentro, circuncentro, baricentro y ortocentro. Posteriormente
construye, en AutoCAD y siguiendo las mismas instrucciones, una figura que contenga la recta de Euler.
Ejercicios sobre volúmenes. Cuando se desea obtener el volumen de una figura regular, sencillamente se aplica la fórmula correspondiente
teniendo cuidado de emplear las unidades indicadas y así se obtiene el resultado correcto. Sin embargo,
frecuentemente es necesario determinar el volumen de una figura que está formada por varios de los sólidos
geométricos. En tal caso, es necesario aplicar alguna estrategia o razonamiento que, mediante la suma y resta
de diversos volúmenes, nos permita determinar el resultado deseado.
Traza las figuras, primero a mano y luego en AutoCAD, y calcula los volúmenes siguientes.
1. Un tramo comercial de tubería de acero tiene una longitud de 5.5+NL/10 metros. Se desea determinar
el volumen de material con que está fabricado un tramo comercial de tubería de acero, cédula 80, de
una pulgada de diámetro nominal si sabemos que el diámetro interno de esta tubería es de 24.31 mm
y el espesor de la pared es de 4.55 mm.
2. Calcula el volumen de la pieza de la izquierda considerando que
cada una de las dimensiones aumenta en NL unidades.
3. Si a la pieza de la izquierda se la realizan dos perforaciones con
un diámetro de 7.NL unidades en la sección que tiene un
espesor de 10+NL unidades, ¿cuál será su volumen después de
ser realizadas estas perforaciones?
4. Si las perforaciones se realizan en la sección que tiene un
espesor de 20+NL unidades, ¿cuál será el volumen de la pieza
después de ser realizadas dichas perforaciones?
5. Una alberca tiene una longitud de 40+NL metros y un ancho de 11+NL metros. Determina su volumen
total si la profundidad va aumentando linealmente de 1.NL a 2.NL metros.
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6. Utiliza un vernier para medir un tornillo de cabeza hexagonal que mida,
al menos, media pulgada de diámetro y 4 pulgadas de longitud y
determina su volumen.
Explica cómo calculaste el volumen de cada parte del tornillo: cabeza
cuello y rosca. Comprueba el resultado midiendo su volumen a través
del volumen de agua que desplaza.
En caso de que no se disponga de vernier, será necesario conseguir la información acerca de las
dimensiones del tornillo en internet y realizar el ejercicio con base en estos datos.
7. Aplica el método de aproximaciones sucesivas para determinar las dimensiones;
radio y altura, de un recipiente cilíndrico con capacidad de un litro, de tal manera
que el área lateral total sea la mínima posible.
8. La figura de la derecha representa un sólido de sección
transversal constante. Todas las líneas se encuentran
formando un ángulo recto. Las dimensiones están
señaladas en términos de equis. Escribe fórmulas
sencillas para calcular:
a. El volumen del sólido
b. El área lateral total del sólido
c. La longitud de un hilo que pueda colocarse de
modo que pase por todas las aristas del sólido.
d. Una vez que dispongas de las fórmulas indicadas,
utilízalas para calcular:
i. El volumen del sólido si el valor de equis
es tu número de lista
ii. El área total del sólido si el valor de equis
es tu número de lista
iii. La longitud de un hilo que pueda
colocarse de modo que pase por todas
las aristas del sólido s el valor de equis es
tu número de lista.
