Post on 16-Jul-2015
Departamento de Ingeniera de Sistemas y Automtica
Universidad Politcnica de Valencia
INGENIERA DE CONTROL I 2006-7
__________________________________________________________________________________________________
J.V. Roig. Dept. Ingeniera de Sistemas y Automtica. UPV. Ext.: 75768 e-mail jvroig@aii.upv.es
Tarea 4. Sistema de suspensin magntica (entrega 11-01-07)
Este sistema de Suspensin Magntica consiste en mantener flotando, en el aire, una pelota de material magntico por medio de un solenoide cuya corriente es controlada a partir de una realimentacin (de tipo ptica) de la posicin de la pelota. Este sistema tiene los ingredientes bsicos de los sistemas de levitacin de masas, usado en giroscopios, acelermetros y trenes de alta velocidad.
Sistema de suspensin magntica
Usando la segunda ley de Newton se puede obtener la siguiente ecuacin de movimiento: ( )iyFgmykym ,++= &&&
donde: - m = 0.01 Kg, es la masa de la pelota, - k = 0.001 Kg/s, es el coeficiente de friccin viscoso, - g = 9.81 m/s2, es la aceleracin de la gravedad, - F(y, i) es la fuerza generada por el solenoide, - i es la corriente elctrica.
La inductancia del solenoide va a depender de la posicin de la pelota y ser modelada como:
( )a
yLLyL+
+=1
01
donde L0 = 0.01, L1 = 0.02 y a = 0.05 son constantes positivas. Puede verificarse fcilmente que el modelo presentado considera que la inductancia es mxima (L0+L1) cuando la pelota est ms cerca del solenoide y decrece a L1 cuando no hay pelota (y = ).
Como la energa almacenada en el campo magntico de la bobina es ( ) ( ) 221
, iyLiyE = , la
fuerza F(y, i) viene dada como:
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( ) 22
0
12,
+
=
=
a
ya
iLyEiyF
Por ltimo, el modelo de la parte del circuito elctrico se consigue usando las leyes de Kirchhoff de tensin, obteniendo:
iRV += & donde:
- V es la tensin aplicada, - R = 10 , es la resistencia del circuito elctrico, - ( ) iyL = es el flujo magntico.
SE PIDE:
1. Modelo en espacio de estados del sistema de suspensin magntica. 2. Determinar el valor de todas las variables para el punto de funcionamiento de
equilibrio determinado por la posicin: y0 = 0.05 m. 3. Modelo linealizado aproximado alrededor del punto de funcionamiento anterior.
Indicar si el punto de funcionamiento es estable o inestable. 4. Diseo del control LQR de la posicin de la bola para el sistema linealizado
aproximado, que minimice el siguiente ndice cuadrtico:
( )
=
+=0
221000t
dtVyJ
5. Linealizar exactamente el sistema mediante una realimentacin del estado. 6. Diseo del control por realimentacin del estado para el sistema linealizado por
realimentacin que site los polos del sistema en -20, -21 y -22. 7. Comparar las respuestas de ambos sistemas tomando distintas referencias y
partiendo de diferentes posiciones iniciales (y0+0.05, y0+0.5, y0+0.8). Comentar los resultados.
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Solucin
1. Modelo en espacio de estados del sistema de suspensin magntica. Tomando los estados como:
=
=
iyy
x
x
x
x &
3
2
1
y la entrada V, se obtiene la siguiente representacin en Espacio de Estados:
( )( )
=
=
=
Vxxxfxxxxfx
xx
,,,
,,
32133
32122
21
&
&
&
Con:
( ) ( )( ) ( ) ( )
+
++=
+
+=
21
2303
13213
21
230
23212
1,,,
2,,
xa
xxaLVxRxL
Vxxxf
xam
xaLgxm
kxxxf
2. Determinar el valor de todas las variables para el punto de funcionamiento de equilibrio determinado por la posicin: y0 = 0.05 m. De la representacin no lineal del apartado anterior, pueden calcularse los valores de
rgimen permanente de la corriente i0 = x30 y de la tensin V0 que son necesarios para mantener la pelota en una posicin de equilibrio deseada y0 = 0.05.
Como estamos en rgimen permanente:
=
=
000
3
2
1
x
x
x
x
&
&
&
&
con lo que se puede obtener que:
( )( )
( ) AaL
xamgixxam
xaLgxm
k 9809.122
00
20100
3201
20300
2 =
+==
+
+=
( ) ( ) VxRVxaxxaLVxR
xL809.1910 03
020
1
02
03000
301
==
+
++=
Este ltimo resultado es lgico dado que en rgimen permanente, el circuito elctrico es puramente resistivo. Tambin puede verse de la ltima expresin, que a medida que la posicin de equilibrio de la pelotita se aleja del ncleo, la corriente, y por lo tanto la tensin de rgimen permanente, necesariamente deben ser mayores (variando linealmente con respecto a y0).
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3. Modelo linealizado aproximado alrededor del punto de funcionamiento anterior. Indicar si el punto de funcionamiento es estable o inestable. En el punto de operacin del sistema (punto de equilibrio), los valores de los estados
son:
=
=
9809.1005.0
0
0
0
03
02
01
iyy
x
x
x
&
Por lo tanto, procederemos a linealizar el modelo no lineal obtenido en el apartado 1, en torno al punto de operacin.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
+
=
+
+
=
=
VV
Vxfx
x
Vxfx
x
Vxfx
x
Vxfx
xx
xxxfx
x
xxxfx
x
xxxfx
xx
0
33
03
32
02
31
01
33
303
32122
02
32121
01
32122
21
,,,,
,,,,,,
&
&
&
Donde: ( ) ( )
( )( )
( )( ) 9045.9
,,
1.0,,
2.196,,
201
030
03
3212
02
3212
301
2030
01
3212
=
+
=
==
=
+
=
xam
xaLx
xxxfm
kx
xxxfxam
xaLx
xxxf
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) 401,
4001,
9618.3,
021,
010
3
201
020
0103
3
201
01
030
02
3
301
01
03
020
201
03
02000
301
120
101
3
==
=
+
+=
=
+
=
=
+
+
+=
xLVVxf
xa
xaLRxLx
VxfxaxL
xaLx
VxfxaxLxxaL
xa
xxaLVxRdx
xdLxLx
Vxf
Recordar que: ( )1
01
1
011
1 xaaLL
a
x
LLxL+
+=+
+= , y por tanto: ( ) ( )210
1
1
xa
aLdx
xdL+
=
El modelo en espacio de estados (A, B, C, D) queda de la siguiente forma:
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[ ]
+=
+
=
Vxy
Vxx
00014000
4009618.309045.91.02.196010
&
Los valores propios de la matriz A son: 13.9101, -14.1083 y -399.9017, como tiene un polo positivo se trata de un punto de equilibrio inestable.
4. Diseo del control LQR de la posicin de la bola para el sistema linealizado aproximado, que minimice el siguiente ndice cuadrtico:
( )
=
+=0
221000t
dtVyJ
Para expresar el ndice de forma normalizada, hacemos la siguiente transformacin:
( ) ( ) ( )
=
=
=
+=+=+=000
22 10001000t
TT
t
TTT
t
dtVRVxQxdtVVxCCxdtVyJ
Siendo:
==
000000001000
1000 CCQ T , y 1=R .
Calculamos la matriz de realimentacin del estado que minimiza el ndice, aplicando el comando lqr de MATLAB: >> K = lqr(A, B, Q, R) = [-412.5111, -29.1606, 0.6977] La ley de control ser la siguiente: ( )000 xxKVxKVV ==
5. Linealizar exactamente el sistema mediante una realimentacin del estado. Para linealizar el sistema no lineal:
( )( )
=
=
=
Vxxxfxxxxfx
xx
,,,
,,
32133
32122
21
&
&
&
mediante una realimentacin del estado, aplicamos el siguiente cambio de variables de estado:
( ) ( )21230
23212223
212
11
2,,
xam
xaLgxm
kxxxfx
x
x
+
+====
==
=
&&
&
Con esto conseguimos trasladar la no linealidad a la ltima ecuacin: ( ) ( ) ( ) ( )
33
32122
2
32121
1
321232123
,,,,,,,,
xx
xxxfx
x
xxxfx
x
xxxfdt
xxxdf&&&&
+
+
== Siendo:
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( )( )
( )
( )( )21
30
3
3212
2
3212
31
230
1
3212
,,
,,
,,
xam
xaLx
xxxfm
kx
xxxfxam
xaLx
xxxf
+
=
=
+
=
La 3 ecuacin de estado queda de la siguiente forma:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Vxxxxxx
Vxxxfxam
xaLxxxf
m
kx
xam
xaL
xxam
xaLx
m
kx
xam
xaL
+=
+
+
=
+
+
=
3213213
321321
30321223
1
230
3
321
30213
1
230
3
,,,,
,,,,,
&
&
&&&&
Con:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )121
30
321
230
12
1
30321223
1
230
1
1,,
xLxamxaL
x
xRxa
xxaLxLxam
xaLxxxf
m
kx
xam
xaLx
+
=
+
+
+
=
El sistema transformado:
( ) ( )
+=
=
=
Vxxxxxx 321321332
21
,,,,
&
&
&
se linealiza con:
( ) ( )[ ]uxxxxxxV += 321321 ,,,,1
Quedando el siguiente sistema:
uBA
u
LL +=
+
=
&
&
&
&
100
000100010
3
2
1
3
2
1
6. Diseo del control por realimentacin del estado para el sistema linealizado por realimentacin que site los polos del sistema en -20, -21 y -22. La accin de control que nos permite linealizar el sistema mediante realimentacin del
estado y conseguir a la vez asignar los polos del sistema es la siguiente:
( ) ( )[ ] += KrxxxxxxV 321321 ,,,,1
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La matriz de realimentacin del estado que nos permite fijar los polos en la posicin deseada, la podemos calcular con el comando place de MATLAB: >> K = place(AL, BL, [-20, -21, -22]) = [ 9240, 1322, 63]
7. Comparar las respuestas de ambos sistemas tomando distintas referencias y partiendo de diferentes posiciones iniciales (y0+0.05, y0+0.5, y0+0.8). Comentar los resultados.