TEMA 5. L´IMITES, CONTINUIDAD Y AS´INTOTAS · 2020. 11. 25. · Teor´ıa de l´ımites...

Teorıa de lımites Ejercicios de lımites Asıntotas Ejercicios Asıntotas Continuidad Ejercicios Continuidad

TEMA 5. LIMITES, CONTINUIDAD YASINTOTAS

MATEMATIQUES APLICADES A LAS CCSS II

Jose Jaime Noguera NogueraIES JOSEP IBORRA

25 de noviembre de 2020

IntroduccionSi representamos la funcion f (x) = x2−3x

x−4 , obtenemos:

Podemos decir que:lım

x→+∞f (x) = +∞

lımx→−∞

f (x) = −∞lımx→4

f (x) = ±∞, o bien lımx→4−

f (x) = −∞, lımx→4+

f (x) = +∞.

IntroduccionSi ahora representamos la funcion f (x) = x2−3x

x2−4 , obtenemos:

Podemos decir que:lım

x→+∞f (x) = 1

lımx→0

f (x) = 0lımx→2

f (x) = ±∞

Lımite cuando x →∞

Si queremos expresar a que tiende la funcion cuando la x se hacearbitrariamente grande, lo denotamos ası: lım

x→+∞f (x). Puede ocurrir

que sea finito o infinito.

Definicion de lımite finito cuando x → +∞Dada una funcion f definida en (a, b), decimos que lım

x→+∞f (x) = L

si ∀ε > 0, ∃K > 0, tal que si x > K , entonces |f (x)− L| < ε

Definicion de lımite infinito cuando x → +∞Dada una funcion f definida en (a, b), decimos que

lımx→+∞

f (x) =∞ si ∀M > 0, ∃K > 0, tal que si x > K , entoncesf (x) > M

Analogamente se puede definir para lımx→−∞

f (x) = L, lımx→∞

f (x) = L,lım

x→−∞f (x) =∞, . . .

Lımite cuando x → x0

Decimos que el lımite de una funcion f (x) cuando x tiende a x0 esL y lo denotamos por

lımx→x0

f (x) = L,

si f (x) ”se acerca” a L cuando x ”se acerca” a x0.

La definicion formal es la siguiente:

Definicion de lımite finito cuando x → x0

Dada una funcion f definida en (a, b), decimos que lımx→x0

f (x) = Lsi ∀ε > 0, ∃δ > 0, tal que si 0 < |x − x0| < δ, entonces|f (x)− L| < ε

Figura: Definicion de lımite finito.

De la misma manera dicho lımite puede ser infinito, denotandolocomo:

lımx→x0

f (x) = +∞,

Cuya definicion formal es:

Definicion de lımite infinito cuando x → x0

Dada una funcion f definida en (a, b), decimos quelım

x→x0f (x) = +∞ si ∀M > 0, ∃δ > 0, tal que si 0 < |x − x0| < δ,

entonces f (x) > M

Analogamente se puede definir lımx→x0

f (x) = −∞.

Mediante la expresion lımx→x−0

f (x) denotamos el lımite lateral por la

izquierda de x0, que significa a lo que tiende la funcion cuando nosacercamos a f (x) por la izquierda de x0.Tenemos diferentes opciones:

lımx→x−

f (x) = +∞

lımx→x−

f (x) = −∞

lımx→x+

f (x) = +∞

lımx→x+

f (x) = −∞

lımx→x−

f (x) = L

lımx→x+

f (x) = L

Decimos que el lımite finito en un punto x0 es L si existen amboslımites laterales por la izquierda y por la derecha de x0 y ademasambos son L, es decir:

lımx→x0

f (x) = L⇔ lımx→x−0

f (x) = L = lımx→x+

Propiedades de los lımitesSi tenemos dos funciones f y g para las que existen los lımites

lımx→x0

f (x) = L, lımx→x0

g(x) = K ,

se cumple que:lım

x→x0[cf (x)] = c · lım

x→x0f (x) = c · L (siendo c ∈ R)

lımx→x0

(f (x)± g(x)) = lımx→x0

f (x)± lımx→x0

g(x) = L± K

lımx→x0

(f (x) · g(x)) = lımx→x0

f (x) · lımx→x0

g(x) = L± K

lımx→x0

f (x)g(x) =

lımx→x0

g(x) = LK (con K 6= 0)

lımx→x0

f (x)g(x) = lımx→x0

f (x)lım

x→x0g(x)

= LK (con L > 0)

lımx→x0

ln f (x) = ln(

lımx→x0

f (x))

= ln L (con L > 0)

Ejercicios de lımites

En los siguientes ejercicios utilizamos este esquema1 lım

x→∞3x2 + 5x − 1 = ∞

2 lımx→∞

3x12 =∞

3 lımx→∞

3x =∞

4 lımx→∞

5 lımx→∞

log3 x5

6 lımx→∞

2x = 0

7 lımx→∞

x5 − 3x2 + 7−2x3 − 5x + 1 = −∞

8 lımx→∞

3x5 − 3x2 + 77x2 − 5x4 + 1 = −∞

9 lımx→∞

3x5 − 3x2 + 77x5 − 5x4 + 1 = 3

10 lımx→∞

3 3√x9 +√

x√x8 + 5x2

= lımx→∞

3 · x 93 + x 1

x 82 + 5x2

11 lımx→∞

3 3√x5 − 3x3

3x + 5√x6' lım

x→∞3 3√x5

5√x6=∞. Mas rigurosamente:

= lımx→∞

3 3√x5−3x3

3x+ 5√x6

= lımx→∞

3 3√

x5 − 3 x3

+ 5√

x5·53

= lımx→∞

√��

x5 − 3��

��7

√��7

= 30 =∞

12 lımx→∞

x5 − 4x3 4√16x10 + 7x

' lımx→∞

3 4√16x10= lım

x→∞6x 5

3 4√16 · x 104

13 lımx→∞

x5 − 2x6 − 53x2 + 1 =∞−∞ = lım

x→∞x5︸︷︷︸

orden 5

− 2x6 − 53x2 + 1︸︷︷︸

orden 6−2=3

14 lımx→∞

2x + 4− 3x4

x2 + 1 =∞−∞ = lımx→∞

2x︸︷︷︸orden 2

+ 4− 3x4

x2 + 1︸︷︷︸orden 2

lımx→∞

x3(x2 + 1) + 2x(4− 3x4)2x(x2 + 1) = lım

x→∞

−5x5 + x3 + 8x2x3 + 2x = −∞

15 lımx→∞

√5x + 3−

√2x =∞−∞ = lım

x→∞

√5x + 3︸︷︷︸

orden 12

−√

2x︸︷︷︸orden 1

lımx→∞

5x + 3−√

2x)(√

5x + 3 +√

2x)√5x + 3 +

15 lımx→∞

5x + 3)2 − (√

√5x + 3 +

= lımx→∞

3x + 3√5x + 3 +

16 lımx→∞

(x2 + 71 + x2

) x2+1x

= 1∞ =

x→∞

(x2 + 71 + x2 − 1

x2 + 1x

lımx→∞

6x = e0 = 1

17 lımx→−∞

√2x2 + x + x = lım

x→∞

√2(−x)2 + (−x) + (−x) =

lımx→∞

√2x2 − x − x = ∞−∞ = lım

x→∞

√2x2 − x︸︷︷︸orden 1

− x︸︷︷︸orden 1

lımx→∞

2x2 − x − x) · (√

2x2 − x + x)√2x2 − x + x

= lımx→∞

x2 − x√2x2 − x + x

18 lımx→−∞

3x3 − 5x2 + 84x2 + 7 = lım

x→∞3(−x)3 − 5(−x)2 + 8

4(−x)2 + 7

lımx→∞

−3x3 − 5x2 + 84x2 + 7 = −∞

19 lımx→∞

(−2x5 + 3xx2 − 5x5

) x3+2x2

)∞= 0

20 lımx→2

2x3 − 53x + 1 = 2 · 23 − 5

3 · 2 + 1 = 117

21 lımx→2

2x − 4 = 80 = ±∞. Hay que estudiar lımites laterales:[

2·1,9−4 = −]⇒ lım

x→2−

2x − 4 = −∞[2,13

2·2,1−4 = +]⇒ lım

x→2+

2x − 4 = +∞

No hay lımite.

22 lımx→2

x2 − 2xx2 − x − 2 = 0

0 = lımx→2

x(x − 2)(x + 1)(x − 2) = lım

x(x + 1) = 2

23 lımx→3

x2 − 6x + 9x3 − 4x2 + x + 6 = 0

0 = lımx→3

(x − 3)2

(x + 1)(x − 2)(x − 3)lımx→3

x − 3(x + 1)(x − 2) = 0

24 lımx→5

√x2 − 3x − 10

3√x − 5= 0

0 = lımx→5

√(x2 − 3x − 10)3

(x − 5)2

lımx→5

√√√√((x + 2)(x − 5))3

(x − 5)2 = lımx→5

(x + 2)3(x − 5) = 0

Asıntotas

ASINTOTA HORIZONTAL. Si lımx→+∞

f (x) = L o bienlım

x→−∞f (x) = L, entonces y = L es asıntota horizontal (a

derecha o a izquierda).ASINTOTA VERTICAL. Si lım

x→x0f (x) = ±∞ (o bien

lımx→x+

f (x) = ±∞ o lımx→x−0

f (x) = ±∞ en el caso de estar

definida por partes, siendo x0 el punto con definicionesdistintas a derecha e izquierda), entonces x = x0 es asıntotavertical)

Asıntotas

ASINTOTA OBLICUA. Si se cumple:lım

x→+∞f (x) = ±∞ (o bien lım

x→−∞f (x) = ±∞)

m = lımx→+∞

f (x)x 6= 0,±∞ (o bien m = lım

x→−∞f (x)

x 6= 0,±∞)b = lım

x→+∞(f (x)−mx) 6= ±∞ (o bien

b = lımx→−∞

(f (x)−mx) 6= ±∞)

Entoncesy = mx + b,

es asıntota oblicua.

EN LAS PAU NO SE VA A PEDIR EL CALCULO DE ASINTOTASOBLICUAS

Asıntotas

A tener en cuenta:

Si una funcion f tiene asıntota horizontal por la derecha (porla izquierda), entonces no puede tener asıntota oblicua por laderecha (por la izquierda). Lo inverso tambien es cierto.Una funcion f puede tiene asıntota horizontal por la derecha yasıntota oblicua por la izquierda.Si una funcion es del tipo f (x) = polinomio

polinomio , solo puede tenerasıntota oblicua si el polinomio del numerador tiene un gradomas que el del denominador.

Ejercicios de asıntotas

Halla las asıntotas de las funciones:1 f (x) = 2x

A.H. lımx→+∞

2xx−5 = 2→ y = 2 es A.H.

lımx→−∞

2xx−5 = lım

x→+∞= −2x−x−5 = 2

Sera necesario calcular el lımite cuando x → −∞ cuando la funcion esf (x) = polinomio

polinomio ?

No, porque obtendremos el mismo resultado que para x →∞

A.V. lımx→5

2xx−5 = ±∞→ x = 5 es A.V.

A.O. No tiene porque sı tiene A.H.2 f (x) = x2+3

A.H. lımx→+∞

x2+3x−5 = +∞ No tiene A.H.

A.V. lımx→5

x2+3x−5 = 28

5 ±∞→ x = 5 es A.V.

Ejercicios de asıntotas2 f (x) = x2+3

A.O. m = lımx→+∞

f (x)x = lım

x→+∞

x2+3x−5x = lım

x→+∞x2+3

x2−5x = 1

n = lımx→+∞

(f (x)−mx) = lımx→+∞

(x2+3x−5 − x

lımx→+∞

x2+3−x2+5xx−5 = lım

x→+∞3+5xx−5 = 5

Por tanto y = x + 5 es A.O.3 f (x) = 2x+1

x3−3x2−10xA.H. lım

x→+∞2x+1

x3−3x2−10x = 0→ y = 0 es A.H.A.V. Hay que resolver la ecuacion x3 − 3x2 − 10x = 0→ x(x2 − 3x − 10) = 0. Resolviendo la ecuacion de segundogrado, obtenemos x = 5 y x = −2. Por tanto:

lımx→0

2x+1x3−3x2−10x = 1

0 = ±∞→ x = 0 es A.V.lımx→5

2x+1x3−3x2−10x = 11

0 = ±∞→ x = 5 es A.V.lım

x→−22x+1

x3−3x2−10x = −30 = ±∞→ x = −2 es A.V.

A.O. No tiene, ya que sı tiene A.H. y son excluyentes.

4 f (x) = 12x3

4x2−1

A.H. lımx→+∞

4x2−1 = +∞→ No hay A.H.A.V. Resolviendo la ecuacion 4x2 − 1 = 0, obtenemos x = 1

2 yx = − 1

2 :lım

x→ 12

4x2−1 =320 = ±∞→ x = 1

2 es A.V.

lımx→− 1

4x2−1 = − 32

0 = ±∞→ x = − 12 es A.V.

f (x)x = lım

x→+∞

12x34x2−1

x = lımx→+∞

4x3−x = 3

n = lımx→+∞

4x2−1 − 3x)

lımx→+∞

12x3−12x3+3x4x2−1 = lım

x→+∞3x

4x2−1 = 0Por tanto y = 3x es A.O.

5 f (x) = ex

xA.H. lım

x→+∞ex

x = +∞

lımx→−∞

x = lımx→+∞

−x = lımx→+∞

1−xex = 0

Por tanto, y = 0 es A.H. a izquierda.A.V. lım

x→0ex

x = ±∞→ x = 0 es A.V.

f (x)x = lım

x→+∞

exxx = lım

x→+∞ex

x2 = +∞

m = lımx→−∞

exxx = lım

x→+∞

e−x−x−x = lım

x→+∞1

x2ex = 0No hay A.O.

6 f (x) =

2x6−1x5−x6 si x < 0,x2−1

x si x ≥ 0

A.H. lımx→+∞

f (x) = lımx→+∞

x2−1x =∞

lımx→−∞

f (x) = lımx→−∞

2x6−1x5−x6 = lım

x→∞2x6−1−x5−x6 = −2

Por tanto, y = −2 es una A.H. a izquierda. Con esto yasabemos que no puede tener A.O. por la izquierda, aunque sıpodrıa tener por la derecha.A.V. x5 − x6 = x5(1− x) se anula en x = 0 y x = 1. Dadoque 2x6−1

x5−x6 solo esta definida para x < 0 deberemos estudiar:lım

x→0−

2x6−1x5−x6 = −1

0 = +∞[

2·(−0,1)6−1(−0,1)5−(0,1)6 = +

]Por tanto x = 0 es una asıntota vertical.

6 Por otra parte el denominador de x2−1x se anula en 0. Ya

sabemos que en x = 0 hay una asıntota vertical. En cualquiercaso, la estudiamos por la derecha ya que esta definida parax ≥ 0:lım

x→0+x2−1

x = −10 = −∞

[(0,1)2−1

0,1 = −]

A.O. Debemos estudiar por la izquerda y por la derecha,aunque como ya vimos que por la izquierda tiene A.H. y esexcluyente con la A.O., solo debemos ver a la derecha:m = lım

x→∞

x2−1xx = lım

x→∞x2−1

x2 = 1

n = lımx→+∞

(x2−1

x − x)

lımx→+∞

(x2−1−x2

Luego y = 1 es una A.O. por la derecha.

Continuidad en un punto

Se dice que la funcion f (x) es continua en el punto a si se cumpleque lım

x→af (x) = f (a).

IMPORTANTE: La definicion anterior implica 3 condiciones:C1 La funcion esta definida en a, i.e., ∃f (a).C2 Existe y es finito el lımite lım

x→af (x).

C3 lımx→a

f (x) = f (a).

Si no se cumple alguno de los puntos anteriores, la funcion es dis-continua.

Propiedades

La suma (o diferencia) de funciones continuas es una funcioncontinua.El producto de funciones continuas es un funcion continua.El cociente de funciones continuas (en las que el denominadorno se anula) es una funcion continua.La composicion de funciones continuas es una funcion continua,es decir, si g es continua en a y f es continua en g(a), entoncesf (g(a)) es continua en a .

Tipos de discontinuidad

EVITABLE (Figura 2): Existe el lımite en el punto, es decirlım

x→a−f (x) = l = lım

x→a+f (x), pero no es igual a f (a) o bien

f (a) no existe.DE SALTO FINITO: Hay lımite y es finito tanto por laizquierda como por la derecha, pero no coinciden, es decirlım

x→a−f (x) 6= lım

x→a+f (x).

DE SALTO INFINITO: al menos uno de los lımites laterales esinfinito.

Discontinuidad evitable

Figura: DISCONTINUIDAD EVITABLE: Izquierda: No esta definida lafuncion en el punto. Derecha: La funcion esta definida en el punto, perono coincide con el limite en dicho punto.

Discontinuidad de salto

Figura: Izquierda: Discontinuidad de salto finito. Centro: Discontinuidadde salto infinito. Derecha: Discontinuidad de salto infinito (en algunoslibros se llama asintotica).

Estudio de la continuidad

Si nos piden estudiar la continuidad de una funcion debemos estu-diar:

Puntos donde se anule el denominador.Si la funcion esta definida por partes estudiar los extremos delos intervalos de definicion.

Continuidad por tipo de funcion

Las funciones polinomicas son continuas en todo R.Las funciones racionales, f (x) = polinomio

polinomio son continuas si nose anula el denominador.Si f (x) = n

√g(x) son continuas en todo R si n es impar, pero

en [0,+∞) si n es par.Las funciones seno y coseno son continuas en todos los reales.La funcion tangente es continua excepto cuando cos(x) = 0.La funcion exponencial es continuas en todos los reales.La funcion logaritmo es continua en (0,+∞).

Ejercicios de continuidad

Estudia la continuidad de las funciones, indicando el tipo de discon-tinuidad en caso de tenerlas:

1 f (x) = 3x + 5x3

La funcion es continua en todos los reales por ser suma defunciones continuas.

2 f (x) = x+2x2−6x+9

Debemos ver cuando se anula el denominador. Resolvemos laecuacion x2 − 6x + 9 = 0 y obtenemos x = 3 como raız doble.Luego estudiamos las 3 condiciones de continuidad en x = 3:

C1 f (3) = 50 → No existe.

C2 lımx→3

x+2x2−6x+9 = 5

0 = ±∞Luego la funcion es continua en todos los reales excepto enx = 3 donde hay una discontinuidad de salto infinito.

3 f (x) = log(3x − 4)Debemos ver cuando 3x − 4 > 0⇒ x > 4

3 . Luego la funciones continua en ( 4

3 ,+∞).4 f (x) =

√7− 4x

Debemos ver cuando 7− 4x ≥ 0⇒ −4x ≥ −7⇒ x ≤ 74 .

Luego es continua en (−∞, 74 ].

5 f (x) = 2x+34x2−9

El denominador se anula cuando 4x2 − 9 = 0⇒ x = ±32

En x = 32

C1 f ( 32 ) = 6

0 No existe.C2 lım

x→ 32

2x+34x2−9 = 6

0 = ±∞.

Luego en x = 32 la funcion presenta una discontinuidad de

salto infinito.

5 En x = −32

C1 f (−32 ) = 0

0 → No existe.C2 lım

x→− 32

2x+34x2−9 = 0

0 = lımx→− 3

2x+3(x− 3

2 )(x+ 32 ) =

lımx→− 3

2(x+ 32 )

(x− 32 )(x+ 3

2 ) = lımx→− 3

2x− 3

2= −2

C3 No se cumple porque @f (−32 ).

Luego en x = −32 la funcion presenta una discontinuidad

evitable.La funcion es continua en todo R excepto en los puntosx = ±3

6 f (x) =

x si x < 2,4− x si 2 < x < 5−1 si x ≥ 5

Los posibles puntos de discontinuidad son x = 2 y x = 5.En x = 2

C1 f (2)→ No esta definido

x→2−f (x) = lım

x→2−x = 2

lımx→2+

f (x) = lımx→2+

4− x = 2

lımx→2

f (x) = 2

C3 No se cumple ya que f (2) no esta definido.Por tanto la funcion presenta una discontinuidad evitable enx = 2.

6 En x = 5C1 f (5) = −1

lımx→5−

f (x) = lımx→5−

4− x = −1lım

x→5+f (x) = lım

x→5+−1 = −1

lımx→5

f (x) = −1

C3 ¿f (5) = lımx→5

f (x)? SıPor tanto la funcion es continua en x = 5.Resumiendo, la funcion es continua en todo R excepto enx = 2 donde presenta una discontinuidad evitable.

7 f (x) =

3x+7x+3 si x ≤ −2,

x2 − 5 si x > −2Posible puntos de discontinuidad x = −3 y x = −2En x = −3

C1 f (−3) = −20 @

C2 lımx→−3

3x+7x+3 = −2

0 = ±∞La funcion presenta una discontinuidad de salto infinito en x = −3.En x = −2

C1 f (−2) = 11 = 1

x→−2−f (x) = lım

x→−2−3x+7x+3 = 1

lımx→−2+

f (x) = lımx→−2+

x2 − 5 = −1

@ lımx→5

La funcion presenta una discontinuidad de salto finito en x = −2Resumiendo, la funcion es continua en todo R excepto enx = −3 y en x = −2.

Ejercicios de continuidadOtro tipo de ejercicio que ha salido en las PAU es:Hallar el valor de a para que la funcion sea continua:

f (x) =

3xx−2 si x ≤ 1,x2 − a si x > 1

El unico posible punto de discontinuidad es x = 1. En x = 2 seanula el denominador de 3x

x−2 pero esa parte solo esta definida parax ≤ 1.En x = 1

C1 f (1) = 3·11−2 = −3

x→1−f (x) = lım

x→1−3x

x−2 = −3lım

x→1+f (x) = lım

x→1+x2 − a = 1− a

Se debe

cumplir que −3 = 1− a⇒ a = 4C3 ¿f (1) = lım

x→1f (x)? Sı, si a = 4.

Por tanto para que la funcion sea continua el valor de a debe ser 4.

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