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MECANISMOS Análisis de aceleraciones.
Análisis de aceleraciones. Pag-1
TEMA: ANALISIS DE ACELERACIONES.
1- INTRODUCCION. 2- ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.
2.1- Polígono de aceleraciones: método de las aceleraciones relativas. 2.1.1- Aplicación a mecanismos articulados. 2.1.2- Aplicación a mecanismos con órganos deslizantes.
3- ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES.
3.1- Introducción. 3.1.1- Mecanismo de tres eslabones. 3.1.2- Mecanismo de biela-manivela.
3.2- Planteamiento general. 3.3- Aceleración de puntos del mecanismo.
3.3.1- Aceleración de puntos de definición del mecanismo: pares. 3.3.2- Aceleración de puntos asociados a un eslabón.
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Análisis de aceleraciones. Pag-2
1-INTRODUCCION.
Una vez realizado el estudio de posición y velocidad en mecanismos planos con un grado de libertad, se realizará, en el presente tema, el análisis de aceleraciones para el tipo de mecanismos mencionado.
Al igual que en los temas anteriores, antes de realizar cualquier tipo de análisis se supuso
conocido el valor de la variable primaria o posición del eslabón de entrada o eslabón motor, así como su variación respecto al tiempo, se supondrá en este tema que la aceleración del eslabón de entrada es también conocida y, por lo tanto, un dato de partida.
Por otra parte, tal y como se ha venido realizando en los temas anteriores, se abordará el estudio
de aceleraciones en los mecanismos mediante herramientas gráficas por una parte, y basadas en el cálculo numérico por otra.
Todas las consideraciones hechas hasta el momento sobre la conveniencia, o no, de la
utilización de uno u otro método siguen siendo completamente válidas en el tema que a continuación se va a desarrollar.
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2-ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.
Como se comentó en el tema anterior, los métodos gráficos empleados en el análisis cinemático de mecanismos están fundamentados en las relaciones geométricas existentes entre las diferentes magnitudes mecánicas. Por este motivo, y aún a riesgo de parecer redundante, se vuelve a insistir en la necesidad de que el alumno haya asumido debidamente los conceptos básicos de la cinemática para, así, poder hacer un uso coherente en su aplicación al estudio de mecanismos.
Hecho este pequeño inciso, se desarrollarán a continuación las bases necesarias para proceder al
estudio de aceleraciones en mecanismos mediante la aplicación de métodos gráficos.
2.1-Polígono de aceleraciones: método de las aceleraciones relativas. El método gráfico de las aceleraciones relativas, guarda una gran similitud con el de las
velocidades relativas, pues en los dos se trata de realizar gráficamente una suma vectorial. En la figura 1 se muestra un eslabón genérico sobre el que, se supone, se ha realizado un análisis
de velocidades, siendo por tanto conocidas las velocidades de los puntos A y B y la velocidad relativa rvBA , con lo que la velocidad angular del eslabón quedará determinada por:
ABvBA=ω
ωα na
aa
aO
A
BAt
A
BAt
bA
aB
aBAaBA
naBAB
a
Fig-1. Polígono de aceleraciones de un eslabón genérico.
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Análisis de aceleraciones. Pag-4
Por otra parte, se conoce la aceleración angular del eslabón, α, así como la aceleración del punto
A. Para calcular la aceleración del punto B por medio del método de las aceleraciones relativas, se planteará la igualdad vectorial:
r r ra a aB A BA= +
y, puesto que la aceleración relativa puede ser a su vez descompuesta en las componentes tangencial y normal:
r r ra a aBA BAn
BAt= +
Donde:
ra ABBAn = ⋅ω2 siendo su dirección la de la recta AB y su sentido de B a A. ra ABBA
t = ⋅α con dirección perpendicular a la recta AB y su sentido el indicado por la
aceleración angular α.
Luego el problema del cálculo de la aceleración del punto B quedará resuelto según se muestra en la figura 1.
Más habitual que el caso estudiado suele ser el que a continuación se presenta, en el que no se
conoce la aceleración angular del eslabón, pero sí la dirección de la aceleración del punto B. Para calcular esta aceleración, así como la aceleración angular del eslabón, se procederá como a continuación se indica, presentándose el resultado gráfico en la figura 2.
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Análisis de aceleraciones. Pag-5
a
aa
o A
tBBA
n
Direcci¾n normal a AB
Direcci¾n de laaceleraci¾n de B
Direcci¾n de ABBA
a
a
b
Fig-2. Polígono de aceleraciones del eslabón AB.
Una vez planteada la ecuación de aceleraciones relativas utilizada anteriormente:
r r ra a aB A BA= +
el procedimiento a seguir es el siguiente:
a) Se elige un polo de aceleraciones O y se traza a escala el vector raA , obteniéndose el
punto a. b) Se calcula la aceleración
raBAn .
c) Por el extremo de raA se dibuja el vector
raBAn .
d) Por el extremo de raBA
n se traza un recta perpendicular a este vector. La dirección de esta recta coincidirá con la de la aceleración tangencial relativa
raBAt .
e) Por el polo de aceleraciones se dibuja una línea paralela a la dirección, conocida, de la aceleración del punto B. f) Al tenerse que cumplir la relación expresada anteriormente de suma de aceleraciones, el punto donde se cruzan las dos últimas rectas determina el punto b, con lo que queda calculada la magnitud, la dirección y el sentido de la aceleración
raB
Por otra parte, si se desea calcular la aceleración angular del eslabón, puesto que:
ra ABBAt = ⋅α
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se tiene directamente que:
α =raAB
BAt
2.1.1-Aplicación a mecanismos articulados. A modo de ejemplo se aplicará el método descrito al mecanismo de cuatro eslabones mostrado
en la figura 3. Como es habitual, antes de comenzar el análisis de aceleraciones se supondrá resuelto el problema de velocidades; de igual forma, la aceleración angular del eslabón motor (el eslabón 2 en el caso propuesto) deberá ser conocida.
La aceleración del punto A puede ser de inmediato conocida a través de sus componentes
normal y tangencial: r
r
a O A
a O AAn
At
= ⋅
= ⋅
ω
α
22
2
2 2
Por otra parte, como es sabido: r r ra a aBA BA
nBAt= +
de donde descomponiendo las aceleraciones del punto B y la relativa del punto B respecto del A, se obtiene:
r r r r ra a a a aBn
Bt
A BAn
BAt+ = + +
Ambas aceleraciones normales pueden ser calculadas, ya que:
r
r
a O B
a BA
Bn
BAn
= ⋅
= ⋅
ω
ω
42
4
32
siendo la dirección de la aceleración normal del punto B la de la recta O4B y su sentido de O4 a B, mientras que la dirección de la componente normal de la aceleración relativa es la de la recta AB y su sentido desde B hacia A.
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2
34A
B
00 C2
αω
4
o
a
b
a
nA
anA
atA aAanB
atBaB
anBA
atBA
Fig-3. Análisis de aceleraciones del mecanismo de cuatro eslabones.
Por otra parte las direcciones de las aceleraciones tangenciales incógnita son también conocidas: - La dirección de
raBt es perpendicular a O4B.
- La dirección de raBA
t es perpendicular a BA.
Por lo tanto, operando como a continuación se indica se obtendrá la aceleración del punto B:
a) Se elige una escala de aceleraciones, el polo y se traza raA .
b) Por el extremo de raA se dibuja
raBAn .
c) Por el extremo de raBA
n se dibuja una perpendicular a la dirección BA. d) Con origen en el polo se dibuja el vector
raBn y por su extremo una perpendicular a la
dirección O4B. e) Donde se cruzan las perpendiculares trazadas a BA y a O4B se obtiene el punto b y, por tanto, la aceleración del punto B.
Una vez conocidas las aceleraciones tangenciales, pueden ser calculadas las aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4, puesto que:
rr
rr
a BAaBA
a O Ba
O B
BAt BA
t
Bt B
t
= ⋅ ⇒ =
= ⋅ ⇒ =
α α
α α
3 3
4 4 44
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Análisis de aceleraciones. Pag-8
En el caso de que se quiera calcular la aceleración de otro punto del eslabón (por ejemplo el punto C del eslabón flotante 3 del mecanismo de la figura 3), al estar previamente calculada la aceleración angular de dicho eslabón aplicando el método de las velocidades relativas, se tendrá:
r r ra a aC A CA= +
Puesto que la aceleración del punto A es conocida, sólo falta por determinar la relativa;
descomponiendo esta en tangencial y normal:
r r ra a aCA CAn
CAt= +
Siendo el valor de dichas componentes conocido al haberse calculado previamente ω3 y α3:
r
r
a CA
a CA
CAt
CAn
= ⋅
= ⋅
α
ω
3
32
2.1.2- Aplicación a mecanismos con órganos deslizantes.
Cuando se trata de determinar la aceleración de un punto perteneciente a un eslabón que se
desliza sobre otro eslabón que a su vez posee un movimiento determinado, aparece un problema de movimiento compuesto del punto, cuya solución mediante la aplicación de métodos gráficos será tratada en el presente apartado.
Un caso típico en el que se presenta este tipo de movimiento es el mecanismo de cruz de Malta
mostrado en la figura 4.
Fig-4. Mecanismo de cruz de Malta
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Este mecanismo consta de una manivela con un tetón en el extremo que se desliza por las ranuras del eslabón en forma de cruz, al que comunica un movimiento rotativo intermitente.
En la figura 5 se muestra la representación esquemática del mecanismo (como se ve no es otro
que el mecanismo de tres eslabones) junto con la solución gráfica al problema de cálculo de aceleraciones, cuya construcción a continuación se explica.
O2 A
O
O
O2
34
4a4
a2
VV
VA2
A2/4
A4
acor
taA2/4
aA2taA2
naA2
aA4
naA4
taA4
Direcci¾n del movimiento relativo del punto A2 sobre el eslab¾n 4a4
a2
Direcci¾n perpendicu4
ω α2 2
Fig-5. Solución al problema de aceleraciones en el mecanismo de cruz de Malta.
Como en los casos anteriores se supondrá resuelto el problema de velocidades y conocida la
aceleración angular del eslabón motor, el número 2 en este caso. Puesto que son conocidos tanto ω2 como α2, se podrá calcular de forma inmediata la
aceleración del punto A del eslabón 2.
r r ra a aA An
At
2 2 2= +
Siendo:
r
r
a A O
a A O
An
At
2 22
2 2
2 2 2 2
= ⋅
= ⋅
ω
α
Por otra parte, teniendo en cuenta que el punto A2 se desplaza según la dirección A4O4, que a su
vez tiene un movimiento de rotación respecto al centro O4:
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r r r ra a a aA A A cor2 4 2 4= + +/
raA4 es la aceleración de arrastre, esto es, la aceleración de un punto perteneciente al eslabón 4
que, en el instante considerado, su posición es coincidente con el punto A del eslabón 2. Luego su valor será:
r r ra a aA A
nAt
4 4 4= +
Puesto que, como se comentó con anterioridad, se supone resuelto el problema de velocidades,
la velocidad angular del eslabón 4 será conocida y, por tanto, la aceleración normal del punto A4:
ra A OAn
4 42
4 4= ⋅ω
en cuanto a la aceleración tangencial del punto A4, sólo será conocida su dirección: perpendicular a la de la aceleración normal.
Por otra parte, el término
raA2 4/ es la aceleración del punto A2 tal y como la percibe un
observador situado en el eslabón 4, es decir la aceleración relativa del punto respecto a un supuesto sistema de referencia unido de forma invariable a dicho eslabón. Para este observador, la aceleración del punto A2 sólo tendrá componente tangencial, puesto que la trayectoria desde su referencia es rectilínea por lo que esta componente será paralela a la dirección A4O4.
Por último, el término
racor representa la aceleración de Coriolis cuyo valor es:
r r ra vcor A= ×2 4 2 4ω /
donde
rω4 es la velocidad del eslabón 4 (velocidad de rotación del sistema de referencia móvil) y
rvA2 4/
la velocidad relativa del punto A del eslabón 2 tal y como la ve un observador situado en el eslabón 4; por tanto, se puede calcular el módulo de la aceleración de Coriolis mediante:
ra vcor A= ⋅2 4 2 4ω /
siendo su dirección perpendicular a la de la velocidad relativa y su sentido el obtenido al aplicar la regla de Maxwell en el producto vectorial (como regla nemotécnica, para mecanismos planos, la dirección y sentido de
racor será de la rvA2 4/ girada 90º en el sentido de
rω4).
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En la figura 5 se ha representado la construcción gráfica del polígono de aceleraciones; para su realización se deben seguir los siguientes pasos:
a) Se representa, a la escala elegida,
raA2 desde un polo de aceleraciones O. b) Por el mismo polo se traza la componente normal de la aceleración
raA4 y por su extremo una recta perpendicular a
raAn
4 , cuya dirección es la de raA
t4 .
c) Por el extremo de raA2 se dibuja el vector que representa la aceleración de Coriolis, de forma
que su extremo coincida con el de raA2 .
d) Por el origen de racor se traza una línea cuya dirección será la de la aceleración tangencial
relativa. e) Donde se cruzan las rectas trazadas por los extremos de los vectores que representan a
racor y a raA
n4 , se obtiene el punto que es el extremo del vector
raA4 .
Como en los casos anteriores, una vez conocido el valor de la aceleración tangencial de alguno
de los punto pertenecientes al eslabón 4, su aceleración angular será calculada por medio de:
α44
4 4
=raA O
At
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3-ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES
3.1-Introducción.
Se volverán a utilizar en este punto los ejemplos que sirvieron a modo de introducción en el análisis de posiciones y velocidades para realizar posteriormente el estudio de aceleraciones en mecanismos por medio de métodos numéricos. 3.1.1-Mecanismo de tres eslabones,
En al figura 6 se muestra el mecanismo de tres eslabones del que se realizó el estudio de posiciones y velocidades en temas pasados.
L LLq
α
1 2
3
2
Fig-6. Mecanismo de tres eslabones.
Cuando se plantearon las componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado, se obtuvo:
f L q L Lf L q L
1 1 2 2 3
2 1 2 2
00 0
= ⋅ + ⋅ − == ⋅ + ⋅ + =
cos cossen sen
αα
derivando estas funciones respecto al tiempo y operando se llegó a:
[ ]
⋅−=
−
qfJ
qii
∂∂α 1
&
&
que sustituyendo los valores para el caso en estudio quedará:
⋅⋅−
⋅
⋅⋅−
−=
⋅
−=
−
−
qLsenqL
LsensenL
qfqf
fLf
fLf
q
qL
coscoscos
1
11
222
222
2
11
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
αααα
∂∂∂∂
∂α∂
∂∂
∂α∂
∂∂
α&
&&
&
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Análisis de aceleraciones. Pag-13
y operando, se llegó finalmente a obtener las expresiones de los coeficientes de velocidad:
⋅⋅−
⋅
−
⋅⋅⋅−=
qLsenqL
sensenLL
Lq
qL
coscoscos1
1
1
22
2222
12
2
αααα
α&
&&
&
( )( )
−⋅
−⋅=
=
q
LL
qsenL
q
qL
KK L
22
1
21
2
2
cos2
2
α
α
αα
&
&&
&
Para realizar el cálculo de las aceleraciones se supondrán conocidos los resultados anteriores
(posición y velocidades), y se dará a este análisis dos enfoques diferentes:
Inicialmente, en un primer enfoque, derivando dos veces respecto al tiempo las ecuaciones de posición quedará:
0cosααLsenαLcosqqLdtdf
0senααLcosαLsenqqLdtdf
2222212
2222211
=⋅⋅+⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅+⋅⋅−=
&&&
&&&
0cosααLsenααLsenααLsenααLcosαLcosqqLsenqqLdtdf
222222222222222
2112
21 =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅−= &&&&&&&&&&&&
0senααLcosααLcosααLcosααLsenαLsenqqLcosqqLdtdf
222222222222222
2112
22 =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅= &&&&&&&&&&&&
agrupando términos y expresando las anteriores ecuaciones en forma matricial:
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−
=
⋅
⋅⋅−
−
2222222222
211
2222222222
211
2
2
222
222
senααLcosααLcosααLsenqqLcosqqLcosααLsenααLsenααLcosqqLsenqqL
αL
cosαLsenαsenαLcosα
&&&&&&&&
&&&&&&&&
&&
&&
ecuaciones que representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas ( )22 ,α&&&&L , siempre
y cuando se conozcan con anterioridad los valores de las variables de posición (primarias y secundarias) y sus variaciones con el tiempo, esto es sus velocidades.
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Una vez solucionado el sistema planteando, quedará:
( ) ( )[ ]
( ) ( )
−⋅−
⋅⋅−⋅+−⋅⋅=
−⋅−⋅⋅+−⋅⋅=
qαsenLL
LKK2
qqαcosLL
qα
qαcosLLKqqαsenLqL
22
1
2
αα22
2
12
212α2
212
22
2
&&&&&
&&&&&
Donde se observa que la aceleración se compone de dos términos: uno proporcional a &&q y otro a
&q2 .
Como puede verse, a través de esté primer enfoque, se consiguen las expresiones de las
aceleraciones (derivadas segundas respecto al tiempo de las variables secundarias) de forma bastante engorrosa. Se aplicará ahora un segundo enfoque.
Cuando se calcularon los coeficientes de velocidades se obtuvo:
( )( )qKqqKqL L
2
2
2
2
αα ⋅=
⋅=
&&
&&
Donde ambos coeficientes son función de la variable primaria q.
Derivando respecto al tiempo, teniendo en cuenta que KL2
y Kα2 son funciones de q y
aplicando de forma correcta la regla de la cadena:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
⋅+⋅=
⋅+⋅=⇒
⋅⋅+⋅=
⋅⋅+⋅=
dqqdK
qqKq
dqqdK
qqKqL
dtdq
dqqdK
qqKq
dtdq
dqqdK
qqKqL LL
LL
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
2
αα
αα αα &&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&&
que puede expresarse como:
&& && &
&& && &
L q K q L
q K q LL L2
2
22
2 2
2 2
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅α α α
Siendo LdKdq
LdKdqL
L2
2
2
2= = y αα los denominados coeficientes derivativos de la velocidad.
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3.1.2- Mecanismo de biela-manivela.
En la figura 7 se muestra el mecanismo de biela-manivela indicándose el bucle vectorial cerrado que fue utilizado en los temas de posición y velocidad para su análisis.
q L
α 2
α3
L L1
3
2
Fig-7. Mecanismo de biela-manivela.
Se propone como ejercicio para el alumno el desarrollo del cálculo de aceleraciones siguiendo el
primero de los métodos indicados en el apartado anterior a partir de las derivaciones sucesivas respecto al tiempo de las ecuaciones componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado:
f L q L Lf L q L L
1 1 2 2 3 3
2 1 2 2 3 3
00
= ⋅ + ⋅ + == ⋅ + ⋅ + =
cos cos cossen sen sen
α αα α
Un análisis más exhaustivo del método utilizado en el segundo enfoque, se realizará a
continuación en el estudio del problema general del cálculo de aceleraciones de mecanismos por medio de métodos numéricos. 3.2-Planteamiento general.
Cuando, en el tema pasado, se expuso el planteamiento general para el cálculo de velocidades, se obtuvo:
( )( )( )
( ) 0,,,,
0,,,,0,,,,0,,,,
21
213
212
211
=
===
nn
n
n
n
qf
qfqfqf
ααα
ααααααααα
L
M
L
L
L
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Análisis de aceleraciones. Pag-16
y derivando:
02
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
=
⋅
+⋅
dtd
dtddt
d
fff
fff
fff
dtdq
qf
qfqf
n
n
nnn
n
n
n α
α
α
∂α∂
∂α∂
∂α∂
∂α∂
∂α∂
∂α∂
∂α∂
∂α∂
∂α∂
∂∂
∂∂∂∂
M
L
OMM
L
L
M
de donde se obtuvo:
[ ] [ ]
−=⋅
⇒
⋅−=⋅
qf
Kf
qf
qf i
j
iii
j
ii ∂
∂∂α∂
∂∂
αα∂∂
α&&&
Una vez resuelto el sistema en los K
iα, para el cálculo de las velocidades:
& &α αi q K
i= ⋅
Derivando esta expresión respecto del tiempo, teniendo en cuenta que los coeficientes de
velocidad son función de la variable primaria q:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]ii
i
i
i
i
LqKq
dqKd
qKq
dtdq
dqKd
qKdtqd
i
i
i
αα
αα
αα
α
α
α
⋅+⋅=
⋅+⋅=
⋅⋅+⋅=
2
2
&&&&&
&&&&&
&&
&&
Para realizar la derivada de K
iα es necesario conocer los valores de las componentes de la
matriz de coeficientes de velocidad en forma funcional, esto es, su expresión algebraica; pero en la mayoría de los casos puede resultar demasiado engorroso, por lo tanto se presenta el siguiente método, válido en el caso de que K
iα se conozca numéricamente (es decir sus valores para la posición
analizada del mecanismo):
Como se ha visto:
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Análisis de aceleraciones. Pag-17
[ ]
−=⋅
qf
Kf i
j
ii ∂
∂∂α∂
α
puesto que
j
if∂α∂
es la matriz jacobiana:
[ ] [ ]
−=⋅
qfKJ i
i ∂∂
α
derivando esta ecuación respecto a la variable primaria q:
[ ] [ ] [ ] [ ]
−=⋅+⋅
qf
dqd
dqKd
JKdq
Jd iii ∂
∂αα
de donde:
[ ] [ ] [ ] [ ]
−⋅−=⋅
qf
dqdK
dqJd
dqKd
J ii
i
∂∂
αα
y por último para calcular la matriz de los coeficientes derivativos de las velocidades: Ld K
dqi
i
αα= .
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
+⋅⋅−== −
qf
dqdK
dqJdJ
dqKd
L ii
i
i ∂∂
αα
α1
3.3-Aceleración de puntos del mecanismo.
Se seguirá aquí el mismo proceso para el cálculo de las aceleraciones que el utilizado en el cálculo de posiciones y velocidades de puntos del mecanismo; por tanto se comenzará por el estudio de las aceleraciones de aquellos puntos que definen el mecanismo para continuar con puntos cualesquiera asociados a un eslabón genérico.
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Análisis de aceleraciones. Pag-18
3.3.1-Aceleración de puntos de definición del mecanismo: pares.
En la figura 8 se muestra parte de un mecanismo genérico para el cual se deben calcular las aceleraciones de los puntos B y C, punto que representan los pares por medio de los cuales los eslabones se unen entre si. Se supondrán ya conocidos los valores de las variables secundarias, así como sus derivadas primera y segunda respecto al tiempo (velocidades y aceleraciones de dichas variables).
α
B
C
A rr
r
L22
1B c
A
α
L1
Fig-8. Cálculo de las aceleraciones de los pares.
La posición del punto B viene dada por:
r r rr r LB A= + 1
o expresado en forma matricial:
+
=
11
11 cosαα
senLL
yx
yx
A
A
B
B
Derivando las expresiones de las coordenadas del punto B respecto al tiempo dos veces, se
obtendrá la aceleración de dicho punto. Con la primera derivación:
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Análisis de aceleraciones. Pag-19
−=
11
111 cosα
αα
LsenL
yx
B
B &&
&
y derivando de nuevo:
−−
+
−=
=
11
1121
11
111
coscos α
αα
αα
αsenL
LL
senLyx
aa
B
B
By
Bx &&&&&
&&
Como se puede observar, la aceleración del punto B se compone de dos términos que no son
sino la aceleración tangencial, el primero de ellos, y la aceleración normal. Para el punto C, se tiene que su posición viene dada por:
r r r rr r L LC A= + +1 2
que de forma matricial quedará:
++
+
=
2211
2211 coscosαααα
senLsenLLL
yx
yx
A
A
C
C
Operando como se hizo para el punto B:
−−=
2
1
2211
2211
coscos αα
αααα
&
&
&
&
LLsenLsenL
yx
C
C
y derivando de nuevo:
−−−−
+
−−=
=
22
21
2211
2211
2
1
2211
2211 coscoscoscos α
ααααα
αα
αααα
&
&
&&
&&
&&
&&
senLsenLLL
LLsenLsenL
yx
aa
C
C
Cy
Cx
3.3.2-Aceleración de puntos asociados a un eslabón.
En la figura 9 se muestra un eslabón genérico de un mecanismo. Este se une al eslabón anterior por medio del par A y al siguiente por medio del B. En este caso se deberá calcular la aceleración del punto P de coordenadas (up,vp) referidas a los ejes U-V asociados al eslabón.
MECANISMOS Análisis de aceleraciones.
Análisis de aceleraciones. Pag-20
α
y
xx x
y
y
A
P
v u
i
iuvp p
A p
A
p B
Fig-9. Aceleración de puntos asociados a un eslabón.
Cuando se realizó el cálculo de la posición del punto P se obtuvo:
−+
=
P
P
ii
ii
A
A
P
P
vu
sensen
yx
yx
αααα
coscos
Derivando respecto al tiempo se consiguió la expresión de la velocidad del punto en estudio:
−−−
+
=
P
P
ii
iii
A
A
P
P
vu
sensen
yx
yx
αααα
αcos
cos&
&
&
&
&
volviendo a derivar respecto al tiempo se conseguirá la expresión para el cálculo de la aceleración del punto P:
−−
−+
−−−
+
=
P
P
ii
iii
P
P
ii
iii
A
A
P
P
vu
sensen
vu
sensen
yx
yx
αααα
ααααα
αcos
coscos
cos 2&&&&&
&&
&&
&&
El primer término es la aceleración del punto A, mientras que los otros dos representan las
componentes tangencial y normal de la aceleración del punto P respecto al punto A, de forma que como debía esperarse se cumple la relación:
( )PAPAAP rraa ××+×+= ωωαrrrrr
que es la expresión general de la aceleración de un punto cualquiera perteneciente a un eslabón.
MECANISMOS Análisis de aceleraciones.
Análisis de aceleraciones. Pag-21
BIBLIOGRAFIA:
Título: TEORIA DE MAQUINAS Y MECANISMOS. Autor: Joseph E. Shigley. Editorial: McGraw-Hill. Título: MECHANICS OF MACHINES. Autor: Samuel Doughty. Editorial: John Wiley & Sons. Título: MECANICA DE MAQUINAS. Autor: Ham, Crame, Rogers. Editorial: McGraw-Hill. Título: CINEMATICA Y DINAMICA DE MAQUINAS. Autor: A. de Lamadrid. Editorial: Sección de Publicaciones ETSII de Madrid.