Post on 07-Feb-2018
TENDENCIAS Y SERIES DE TIEMPO
Hugo Oliveros C.
Investigador Adjunto,
IRI Colombia University
Curso Andino en Clima y Salud
“Uso de Información de Clima
para la Salud Pública.”
TENDENCIAS Y SERIES DE TIEMPO
Agenda:• Motivación • Conceptos Generales
• Definiciones• Tendencia, Estacionalidad, Ciclo• Alternativas Metodologicas• Series Estacionarias/ No-estacionarias
•Estrategia de analisis• Ejemplos
•Tendencia • Estacionalidad• Ciclo• Comentarios finales
MOTIVACION
;tettZ += µ
MOTIVACION
tettZ += µ
CONCEPTOS GENERALES: DEFINICIONES
QUE ES UNA SERIE DE TIEMPO?Conjunto ordenado de observaciones de unavariable , comunmente, registradas a intervalos de tiempo constantes.
El comportamiento de Z’s puede describirse a a traves de varias componentes (C). C={Tendencia, Estacional, Ciclico , Irregular}
tettZ += µ
SUPUESTOS IMPLICITOS
=
+=⇒=
==
+=
2
2
)(
)(
:Preguntas
2)(;0)(
:
t
ZtZV
tetZtZE
eteVteE
tettZModelo
σ
σ
µµ
σ
µ
≤≡
≤ z
tZPz
tZP
ii''
CONCEPTOS GENERALES: DEFINICIONES
tettZ += µ
CONCEPTOS GENERALES: Tendencia, Estacionalidad, CicloZ es dominado por varias componentes : { tendencia, estacional, ciclo , irregular}
Hay una componente de tendenciaidentificable en el comportamientode la temperatura?
• Pareceria que existe un patron?
• Como se describe esecomportamiento?
• Hay un modelo estadisticoplausible?
• Cuales son las fuerzas quegeneran dicho comportamiento?
• Si existe uno, o varios modelos , dichos modelos son compatibles con lo que los cientificos de clima reconocen en su cuerpo de conocimiento?
tett
Z += µ
* #
CONCEPTOS GENERALES: Tendencia, Estacionalidad, Ciclo
Y o Z son dominados por varias componentes : { T, E, C, I }
Hay un patron recurrente en el comportamiento mensual el consumo de energia ?
• Los picos (*) y los valles (#) se presentan cada 12 meses ?
• El consumo de Energia es dominado por un componente estacional? • Existe ademas un componente de tendencia ?
*
#
*
#
CONCEPTOS GENERALES: Tendencia, Estacionalidad, Ciclo
Y o Z son dominados por varias componentes : { T, E, C, I }
Hay un patron recurrente en el comportamiento mensual el consumo de energia ?
• Los picos (*) y los valles (#) se presentan cada 12 meses ?
• El consumo de Energia es dominado por un componente estacional? • Existe ademas una componente de tendencia ?
( )
tB
tZ
ttZB
ttZ
tZ
ttZ
tZ
tZtZ
tT
tYtZ
tT
tY
ξξξ
ξ
)1
1(
1)
11(
121
121 como? expresar posible Es :
12
12
Φ−=→=Φ−→=
−Φ−
+−
Φ==−→+=
*
#
*
#
tT
CONCEPTOS GENERALES: Tendencia, Estacionalidad, Ciclo
Z es dominado por varias componentes : { tendencia, estacional, ciclo , irregular}
Hay una componente recurrentecada m>1 años en las manchassolares,?
• Pareceria que existe un patron ?
• Como se describe esecomportamiento?
• Existe una frecuencia(1/periodo) donde se concentrala variabilidad ?
• Hay algun mecanismo paraevaluar donde oscila mas la serie ? A que frecuencia se producen las perturbaciones?
tett
Z += µ
*
CONCEPTOS GENERALES: ALTERNATIVAS METODOLOGICAS
Dominio del
Tiempo
• Auto-correlacion, (ACF,PACF), Correlacion cruzada (CCF)
• Las graficas muestran el grado de dependencia temporal
• Usos ≠ areas (clima, epidemiologia, economia, ….)
Dominio de la
Frecuencia
• Peridiograma, densidadespectral, espectro cruzado
• Graficas muestran como viibra la señal a diferentes bandas de frecuencia
• Usos ≠ areas (clima y epidemiologia, economia,….)
SERIES ESTACIONARIAS
Procesos Estacionarios – I(0)
(A)
(B)
(C)
2/)()()(
,:)3(
)()(
,)(
,:)3(
;2)(:)2(;)(:)1(
Zhh
htZ
tZCorA
hhkt
Zkt
ZCovht
Zt
ZCov
ZtZV
tZE
σγρ
γ
σµ
==−
=−++
=−
==
Que hacer para poder identificar si se cumplen las condiciones?
(1) (Simple)-Revisar las graficas (no hay tendencia?)
(2) (Complejo)Pruebas Hipotesis: Medias/varianzas (3) (Complejo)Usar un modelo de series de tiempo y evaluar los supuestos asociados al modelo usando las observaciones(4) Pruebas de estacionaridad
Los procesos generadores de los datos (PGD) no son conocido en la vida real - El modelo descrito es el que se intenta descubrir.
SERIES NO ESTACIONARIAS
Procesos No-estacionarios
(A*)
(B*)
(C*)
)0(~)1(1
)1(~
);(2)(:)5()(:)4 y/o)((
It
ZBt
Zt
ZIt
Z
tZt
ZVttZE
−=−
−⇒
== σµ
Que hacer para poder identificarsi se cumplen las condiciones?
(1) Revisar las graficasEs dificil diferenciar: (Estocastica vs Deterministcia)
(2) (Complejo) Pruebas Hipotesis:Medias/varianzas****(3) (Complejo) Usar un modelo de series de tiempoy evaluar los supuestos asociados al modelo usandolas observaciones(4) Pruebas de raiz unitaria (pruebas estacionaridad)-
Los procesos generadores de los datos (PGD) no son conocido en la vida real - El modelo descrito es el que se intenta descubrir.
MSTARIMAARMATFNM(ARIMAX)STSMREGRESIONVARVECPANEL
OTROS…..
ESTRATEGIA DE ANALISIS
MODELOSERIES TIEMPO(MST)
Graficas de la serie(s): (patrones,
Tendencia,Estacionalidad,
Variabilidad)(Estacionaria(s),
no-estacionaria(s)
ESTIME MST (E-MST)Verifique (supuestos)
Bondad de ajuste: Significancia parámetrosCoherencia, Parsimonia,
Consistencia
E-MST(OK)
NO
ESTRATEGIA DE ANALISIS: EJEMPLOS
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Serie no -estacionaria I(1) identificacion
Tendencia ?
Decae lentamente?
Se corta despues de rezago 1 ?
Los procesos generadores de los datos (PGD) no son conocido en la vida real - El modelo descrito es el que se intenta descubrir.
ESTRATEGIA DE ANALISIS: EJEMPLOS
Promedio >0, no-hay una tendencia manifiesta
(3A)
Serie estacionaria I(0)
ESTRATEGIA DE ANALISIS: EJEMPLOS
Busque un modelo adecuado que ajuste
Modelo Teorico – {debe incluir un intercepto}
(3A)
( )
caso otro,0,
;1;1,
:
,..;3,2,1,12*;1
(h)
:ACF
;)12
11(
1
)121
1(;121
==Φ=
==Φ=
Φ−+=
+=Φ−+−
Φ+=
hhh
hh
PACF
jjhj
te
Bt
Z
tect
ZBtetZc
tZ
φφ
ρ
µ
ESTRATEGIA DE ANALISIS: EJEMPLOS
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Parametros Estimate Std.Error t-stat p-value Pr(>|t|)
(Intercept) 17.559 5.387 3.259 0.002 **
y_s_12 0.825 0.054 15.205 <2e-16 ***
sigma^2 estimated =0.8766: part log likelihood = -135.31
Ljung-Box(20)=12.47- p-value=.90
Comportamiento de los residuos : ruido banco ESTIMACION DEL MODELO
LA TENDENCIA
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TENDENCIA
- Movimiento de largo plazo de una serie de tiempo. Si existe, refleja su nivel subyacente
- Resulta importante ,en algunasoportunidades, eliminarla para ver que otrascomponentes existen o pueden seridentificadas
- Problema es identificar cual es el procesoque genera la tendencia :
- Estocastica (Pruebas de Raiz Unitaria)- Deterministica
- Y_st (Estocastica); Y_dt (Deterministica)
LA TENDENCIA: Estocastica (Y_st) vs Deterministica (Y_dt)
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)2,0(~
donde;*:)(
Y_dt :Caso
1
1
11
donde;*:)(
1
*0
2)(;*
0(
;
1
*0
)2
,0(~;1
:Y_st :Caso
)
σζ
ζβα
εεεεν
νδ
εδ
σδ
εδ
σεεδ
NIt
tt
tYII
tv
t
ii
t
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t
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Y
tt
YVtyYE
t
ii
tyt
Y
NIttt
Yt
Y
tt
t
++=
+−
=+∑−
==∑
==
++=
∑=
++=
=+
∑=
++=
+−
+=
=
tt
tY ζβα ++= *
ttY
tY εδ +
−+=
1
LA ESTACIONALIDAD
ESTACIONALIDAD:
- Cuando las series siguen un patron de variacion periodico en su evolucion que estaatado al calendario, se dice que tienen un comportamiento estacional.
- Al igual que en el caso de la tendencia esfactible construir patrones similares a comportamientos estacionales a partir de representaciones deterministicas [S(L)], o partir de modelos que dependen de unaestructura que depende de la frecuenciaestacional. (SARMA, SARIMA-(raiz unitariaestacional)
- Regularmente cuando se identifica supresencia se le puede asociar con la existencia de un filtro lineal estacional(SARMA,SARIMA), o con f-sinusiodales: S(L)
-15
-10
-5
0
5
10
15
1 611
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
101
106
111
116
S_(2)
tet
Zct
Z +−
Φ+=121
LA ESTACIONALIDAD
ESTACIONALIDAD:
- Cuando las series siguen un patron de variacion periodico en su evolucion que estaatado al calendario, se dice que tienen un comportamiento estacional.
- Al igual que en el caso de la tendencia esfactible construir patrones similares a comportamientos estacionales a partir de representaciones deterministicas [S(L)], o partir de modelos que dependen de unaestructura que depende de la frecuenciaestacional. (SARMA, SARIMA-(raiz unitariaestacional)
- Regularmente cuando se identifica supresencia se le puede asociar con la existencia de un filtro lineal estacional(SARMA,SARIMA), o con f-sinusiodales: S(L)
EL CICLO
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CICLO:
- Variaciones inter -anuales recurrentes ( e.g. m > 1 año) con fases no necesariamenteestables son asociadas al concepto de ciclo.
- Ejemplos tipicos de dichas fluctuacionesson los asociados con ENSO, las manchassolares (sunspots), o con los cicloseconómicos, o financieros.
- Este tipo de movimientos pueden serrecreados usando funciones sinusoidales, similares a S(L), o a partir de modelosAutoregresivos de orden 2, AR(2), que tienenimplícitas raices imaginarias.
- La naturaleza del ciclo C(t) esta asociada con frecuencias de oscilación bajas (inverso del periodo) y requiere en algunos casos descontar la tendencia de largo, plazo, T(t), para derivar una medida asociada con conC(t), e.g, C(t) ≈ Y(t)-T(t) (Beverigde-Nelson Decomposition).
- .
Fuente:prudentinvestor.com
EL CICLOCICLO:
- De igual forma es factible usar filtros lineales, o bandpass filtros (BPF). BPF dejan pasar señales en un intervalo especifico de frecuencia: [x1,x2] El intervalo esta asociado con la frecuencias de interes, (Ver: Hodrick-Prescott , Butterworth Filters).
- Wavelets análisis revela como diferentes escalas (frecuencias periodicas) de un serie temporal flutuan a traves del tiempo. En consecuencia pueden ser utiles para identificar ciclos (A), (B).
(A) Fuente: Torrence, C., Compo,G. , 1998, A
Practical Guide to Wavelet Analysis, Bulletin
of the American Meteorological Society;
(Wavelet Morlet)
(B) Simulacion de una serie de tiempo con
frecuencias de oscilacion (1/12, 1/60, 1/120)
bajo comportamientos del tipo S(1) ; (Wavelet
Morlet)
(A)
(B)
( )
( ) ( )
Decadal). (ENSO, anual-inter riabilidadrecrear va puede (B2) (A).en . o,
(B)en ,).0(~ que tal,Escoger ).2,0(~ donde
2
211
1;
2211 (B2)
)2,0(~ :(B1)
)0(~ )0(~1
)1(~Si (B) Para
(T_st)],(I) [Caso NE es ;1
:)(
(T_dt)] (II), [Caso NE, es );2,0(~ );0(~;*:)(
)0(~1
que tienese si ),1( es:
3); o,2, o,(1,cumplen se No :(NE) iaEstacionar-No :
21
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=
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=
+↔−
−→
+−
+=
++=
−−
εφφσζ
ζφφ
ζφφ
σε
εδ
εδ
σβα
( ) ( ) ( ) ( ) )(,,)3(;2
)2(;)1(
: tieneseh k, t, todopara si : I(0)~t
Y decir, es (E), iaEstacionar :
kkht
Yht
Ycorkt
YtYcorYtYVtYE
tY
ρσµ =−++
=−
==
LA TENDENCIA Y EL CICLO
LA TENDENCIA Y EL CICLO
( ) ( )t
BBt
Yt
Yt
ct
Yt
YBB ξφφ
µξφφ
−−
+=−
−≡+=−
−
−−
221
1
1
112
211
CONSIDERACIONES FINALES
• La identicacion de la presencia {T, E,C,I} en una serie de tiempo permite entender su dinamica, la persistencia y la recurrencia de patrones de comportamiento que se presentan en las series de tiempo.
• Su separacion no es proceso simple. Por ejemplo: dado que los ciclos pueden oscilar a frecuenciasbajas (asociadas con tendencias de largo plazo), la separacion entre la tendencia y el ciclo requierede procedemientos especializados (“filtros y modelos complejos”).
• Existen multiples alternativas para eliminar algunos de las componentes de T, C, E, I, de las series de tiempo (e.g. modelacion, uso de filtros ) y por defecto encontrar los restantes, sin embargo, cadaalternativa escogida tiene costo que necesario evaluar a luz de pruebas adecuadas sobre los supuestos y la dinamica que las series generadas deben seguir.
• R, SAS/ETS, SAS/IML, y MATLAB entre otros paquetes ofrecen rutinas para procesar y filtrar lasseries al igual que para evaluar las hipotesis subyacentes. Sin embargo, es importante consultar la pertinencia de los modelos implicitos en la derivacion de las componentes (estadistica + algo mas)
• Si las variables que se analizan causan (o son las fuerzas que determinan parcialmente) la dinamicade otras variables, sus propiedades estadisticas pueden/deben aparecer en el comportamiento de dichas variables. En consecuencia analisis conjuntos podrian ofrecer alternativas mas utiles paraconfirmar los hallazgos.
• Para construir los modelos, o usar los filtros se requieren series de tiempo largas (variasrepeticiones de los patrones existentes) en consecuencia los esfuerzos por recuperar , limpiar y mantener las series (las bases de datos) deben ser parte fundamental de la estrategia al momento de discutir el presupuesto.