Post on 18-Mar-2021
A502 - Teoría de Sistemas y SeñalesA502 A502 -- Teoría de Sistemas y SeñalesTeoría de Sistemas y Señales
TransparenciasDensidad Espectral de Energía de Densidad Espectral de Energía de
Señales AperiódicasSeñales AperiódicasAutor: Dr. Juan Carlos Gómez
A502 - TeSyS 2
Algunas DefinicionesAlgunas Definiciones
•• Señales de PotenciaSeñales de PotenciaVerifican
∞<+
=< ∑−=∞→
2N
NnN)n(x
1N21limP0 (1)
(2)
TD:
∞<=< ∫−∞→
T
T
2
Tdt)t(x
T21limP0TC:
A502 - TeSyS 3
Algunas Definiciones (cont.)Algunas Definiciones (cont.)
•• Señales de EnergíaSeñales de EnergíaVerifican
∞<=< ∑∞
−∞=
2
n)n(xE0 (3)TD:
TC: ( ) ∞<=< ∫−∞→
T
T
2
TdttxlimE0 (4)
A502 - TeSyS 4
Algunas Definiciones (cont.)Algunas Definiciones (cont.)
•• Señales PeriódicasSeñales PeriódicasUna señal en es periódica con período N (N>0) si y sólo si verifica
•• Señales AperiódicasSeñales AperiódicasSi no se verifica (5) para ningún N, la señal se denomina aperiódica.
( )nx
( ) ( ) n todopara Nnxnx += (5)
A502 - TeSyS 5
Análisis Frecuencial de Señales en TCAnálisis Frecuencial de Señales en TC
• Señales PeriódicasSeñales PeriódicasBajo ciertas hipótesis, una señal periódica x(t) con período puede representarse con la deno-minada Serie de Fourier
donde son los denominados Coeficientes de Fourier
(6)
0p F
1T =
∑∞
−∞=
π=k
tkF2jk
0e c)t(x Ecuación de Síntesis
kc
A502 - TeSyS 6
( ) dte txT1c tkF2j
Tpk
0
p
π−∫= Ecuación deAnálisis
(7)
La convergencia de la Serie de Fourier a x(t) para todo valor de t, queda garantizada si se verifican las Condiciones de Dirichlet:(condiciones suficientes)• x(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier período.• x(t) contiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier período.• x(t) es absolutamente integrable en cualquier período
( ) ∞<∫ dt txpT
(8)
A502 - TeSyS 7
• Puede probarse la siguiente identidad (una de las formas de la Identidad de Parseval) que permite calcular la potencia media en función de los Coeficientes de Fourier (es decir en el dominio frecuencial)
Por razones obvias a los se los denomina Densidad Espectral de Potencia de la señal x(t).En este caso resulta un espectro discreto o de líneas.
( ) ∑∫∞
−∞===
k
2k
T
2
pcdttx
T1P
p
2kc
(9)
A502 - TeSyS 8
• Señales aperiódicasSeñales aperiódicas
A partir de una señal aperiódica (de duración finita) puede generarse una señal periódica ,tal que
en el límite cuando
( )tx( )txp
( ) ( )txtxp =∞→pT
( )tx ( )txp
2Tp
2Tp−2
Tp2Tp−
A502 - TeSyS 9
Como es periódica puede representarse mediante su Serie de Fourier. En el límite cuando
la serie da lugar a una integral que es la denominada Transformada Inversa de Fourier
∞→pT
( )txp
∫∞
∞−
π= dFe )F(X)t(x Ft2j Ecuación de Síntesis
donde X(F) es la denominada Transformada de Fourier, definida como
∫∞
∞−
π−= dte )t(x)F(X Ft2j Ecuación de Análisis
(10)
(11)
A502 - TeSyS 10
Las condiciones (suficientes) que garantizan la existencia de la Transformada de Fourier son las denominadas Condiciones de Dirichlet
• x(t) tiene un número finito de discontinuidades.
• x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos.
• x(t) es absolutamente integrable, es decir
( ) ∞<∫∞
∞−dt tx (12)
A502 - TeSyS 11
Densidad Espectral de EnergíaDensidad Espectral de Energía
Sea x(t) una señal de energía con transformada de Fourier X(F). La energía de la señal viene dada por
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
π−∗
∞
∞−
∞
∞−
π−∗
∗∞
∞−
∞
∞−
=
=
=
==
dF)F(X
dtetxdFFX
dFeFXdttx
dttxtxdttxE
2
Ft2j
Ft2j
2
A502 - TeSyS 12
Es decir se estableció lo siguiente
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−== dFFXdttxE 22
que constituye otra de las formas de la Identidad de Parseval, y que permite calcular la energía de la señal en el dominio frecuencial, usando la transformada de Fourier. Debido a que su integral sobre todas las frecuen-cias es la energía de la señal, a la cantidad
se la denomina Densidad Espectral de Energía.
( )2xx FX)F(S =
(13)
(14)
A502 - TeSyS 13
La energía de la señal sobre una banda de frecuencias
21 FFF <<puede calcularse como
∫2
1
F
Fxx dF)F(S
Propiedades
• es real y no negativo, y
• no contiene information de la fase por lo que la señal no puede reconstruirse a partir de la den-sidad espectral de energía.
( )FSxx
( )FSxx
)F(S)F(S xxxx =−
(15)
A502 - TeSyS 14
Ejemplo: x(t) es un pulso rectangular de amplitud
A y duración τ .
( ) ( ) ( )2
2xx F
)Fsen(AFS , F
)Fsen(AFX
τπτπτ=
τπτπτ=
A502 - TeSyS 15
Nota: El espectro es la envolvente del espectro de líneas correspondiente a la repetición periódica del pulso rectangular.
A502 - TeSyS 16
Análisis Frecuencial de Señales en TDAnálisis Frecuencial de Señales en TD
• Señales periódicasSeñales periódicasPueden expandirse en Serie de Fourier en Tiempo Discreto (DTFS) como
∑−
=
π
=1N
0k
Nkn2j
kec)n(x
donde
Ecuación de Síntesis
∑−
=
π−=
1N
0k
Nkn2j
k e)n(xN1c Ecuación de Análisis
(16)
(17)
A502 - TeSyS 17
• A diferencia de en TC, la DTFS tiene un número finito N de términos (componentes frecuenciales) debido a la naturaleza discreta de la señal.
• Los Coeficientes de Fourier resultan periódicoscon período N.
• La potencia media (o la energía en un período) de la señal puede computarse en el dominio frecuencial a traves de la relación
kc
∑ ∑−
=
−
===
1N
0n
1N
0k
2k
2 c)n(xN1P Identidad de Parseval (18)
A502 - TeSyS 18
• Por razones obvias a los se los denomina Densidad Espectral de Potencia de la señal x(n). En este caso resulta un espectro discreto o de líneas.
2kc
• Señales aperiódicasSeñales aperiódicas
Similarmente a lo realizado en TC, puede extenderse el concepto de descomposición en serie de Fourier al caso de señales aperiódicas, resultando la definición de la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Inversa (IDTFT)
( ) ( ) ωωπ
= ωπ
π−∫ deX
21nx nj Ecuación de síntesis (19)
A502 - TeSyS 19
donde es la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT) (no confundir con la Transformada Discreta de Fourier (DFT)), definida como
( )ωX
( ) ( ) nj
nenxX ω−
∞
−∞=∑=ω Ecuación de Análisis
• ConvergenciaLa suma finita
( ) ∑−=
ω−=ωN
Nn
njN e)n(xX
(20)
(21)
A502 - TeSyS 20
converge uniformemente a cuando six(n) es absolutamente sumable
( )ωX ∞→N
( )∑∞
−∞=∞<
n
2nx
Por convergencia uniforme se entiende
( ) ( ) 0XX lim NN=ω−ω
∞→(23)
(22)Condición de Dirichlet
Nota: Comentar Convergencia en media cuadrática.
A502 - TeSyS 21
Ejemplo: Señal de energía finita cuyo espectro es
( )
π<ω<ωω<ω
=ωc
c
01
X
( ) ( ) n
nsennx cπω=
x(n) no es absolutamente sumable, pero si cuadrado sumable ⇒ convergencia en media cuadrática
A502 - TeSyS 22
Definiendo la suma finita , la convergencia en media cuadrática provoca el denominado Fenómeno de Gibbs.
( )ωNX
La suma finita no conver-ge en los puntos de dis-continuidad de la trans-formada.
A502 - TeSyS 23
Densidad Espectral de EnergíaDensidad Espectral de Energía
Sea x(n) una señal de energía con una DTFT X(ω). La energía de la señal viene dada por
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )∫
∑∫
∫∑
∑∑
π
π−
∞
−∞=
ω−π
π−
∗
π
π−
ω−∗∞
−∞=
∗∞
−∞=
∞
−∞=
ωωπ
=
ω
ω
π=
ωω
π=
==
dX21
denxX21
deX21nx
nxnxnxE
2
n
nj
nj
n
nn
2
A502 - TeSyS 24
Es decir se estableció lo siguiente:
( ) ( )∫∑π
π−
∞
−∞=ωω
π== dX
21nxE 2
n
2 (24)
que constituye otra de las formas de la Igualdad de Parseval. Debido a que su integral sobre todo el rango de frecuencias es la energía de la señal, a la cantidad
( )2xx X)(S ω=ω
se la denomina Densidad Espectral de Energía.
(25)
A502 - TeSyS 25
Propiedades:
• es real y no negativo, y
• no contiene information de la fase por lo que la señal no puede reconstruirse a partir de la den-sidad espectral de energía.
( )ωxxS
( )ωxxS)(S)(S xxxx ω=ω−
Teorema de WienerTeorema de Wiener--KhintchineKhintchine
La secuencia de autocorrelación y la densidad espectral de energía de una señal de energía a valores reales son Pares Transformados de Fourier.
A502 - TeSyS 26
( ) ( )ω →← xxDTFT
xx Sr ! (26)
La secuencia de autocorrelación y la densidad espec-tral de energía contienen la misma información de la señal.
A502 - TeSyS 27
Respuesta de un Sistema LTI a entradas aperiódicasRespuesta de un Sistema LTI a entradas aperiódicas
LTIh(n)
u(n) y(n)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωω=ω⇒ωω=ω uu2
yy SHS UH)(Y
( ) ( ) ( ) ωωωπ
=ωωπ
= ∫∫π
π−
π
π−dSH
21dS
21E uu
2yyy
(27)
(28)