TEOREMADEL

NUMEROPENTAGO-

NAL

Introduccion

Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

TEOREMA DEL NUMEROPENTAGONAL

Jesus A. CorralMaria Soler Facundo

Chiara ForacePiera Galber

Luis J. Salmeron Contreras

Universitat de Valencia

15 de Enero de 2014

TEOREMADEL

NUMEROPENTAGO-

NAL

Introduccion

Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

1 Introduccion

2 Teorema

3 Numeros poligonales

4 Prueba por combinatoria

TEOREMADEL

NUMEROPENTAGO-

NAL

Introduccion

Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Introduccion

Euler publico el teorema del numero pentagonal por la primeravez el 14 agosto de 1775.

Este teorema es un caso particular del producto triple deJacobi.

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NUMEROPENTAGO-

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Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Introduccion

Euler publico el teorema del numero pentagonal por la primeravez el 14 agosto de 1775.

Este teorema es un caso particular del producto triple deJacobi.

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Introduccion

Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Introduccion

El teorema del numero pentagonal da una equivalencia entre larepresentacion en forma de producto y de serie de la funcionde Euler.

La funcion de Euler:

φ(q) =∞∏k=1

(1− qk).

Una propiedad importante es

1

φ(q)=∞∑n=0

P(n)qn

donde P(n) es el numero de particiones de n.

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Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Introduccion

El teorema del numero pentagonal da una equivalencia entre larepresentacion en forma de producto y de serie de la funcionde Euler.

La funcion de Euler:

φ(q) =∞∏k=1

(1− qk).

Una propiedad importante es

1

φ(q)=∞∑n=0

P(n)qn

donde P(n) es el numero de particiones de n.

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Teorema

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Prueba porcombinatoria

Introduccion

El teorema del numero pentagonal da una equivalencia entre larepresentacion en forma de producto y de serie de la funcionde Euler.

La funcion de Euler:

φ(q) =∞∏k=1

(1− qk).

Una propiedad importante es

1

φ(q)=∞∑n=0

P(n)qn

donde P(n) es el numero de particiones de n.

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Introduccion

Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Teorema del numero pentagonal

El teorema afirma que

Teorema∞∏k=1

(1− xk) =∞∑

n=−∞(−1)nxn(3n−1)/2

Se puede escribir como:

(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...

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Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Teorema del numero pentagonal

El teorema afirma que

Teorema∞∏k=1

(1− xk) =∞∑

n=−∞(−1)nxn(3n−1)/2

Se puede escribir como:

(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...

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Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Teorema del numero pentagonal

Desarrollando el producto a la izquierda:

(1− x)

(1− x)(1− x2) = 1− x − x2 + x3

(1− x)(1− x2)(1− x3) = 1− x2 +@@x3 −@@x

3 + x4 + x5 − x6

(1− x)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 1− x − x2 +@@x4 −@@x

4 + 2x5

+@@x6 −@@x

6 − x8 − x9 + x10

.

.

.

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Teorema del numero pentagonal

Desarrollando el producto a la izquierda:

(1− x)

(1− x)(1− x2) = 1− x − x2 + x3

(1− x)(1− x2)(1− x3) = 1− x2 +@@x3 −@@x

3 + x4 + x5 − x6

(1− x)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 1− x − x2 +@@x4 −@@x

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6 − x8 − x9 + x10

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Teorema del numero pentagonal

Desarrollando el producto a la izquierda:

(1− x)

(1− x)(1− x2) = 1− x − x2 + x3

(1− x)(1− x2)(1− x3) = 1− x2 +@@x3 −@@x

3 + x4 + x5 − x6

(1− x)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 1− x − x2 +@@x4 −@@x

4 + 2x5

+@@x6 −@@x

6 − x8 − x9 + x10

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Teorema del numero pentagonal

Desarrollando el producto a la izquierda:

(1− x)

(1− x)(1− x2) = 1− x − x2 + x3

(1− x)(1− x2)(1− x3) = 1− x2 +@@x3 −@@x

3 + x4 + x5 − x6

(1− x)(1− x2)(1− x3)(1− x4) = 1− x − x2 +@@x4 −@@x

4 + 2x5

+@@x6 −@@x

6 − x8 − x9 + x10

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Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Numeros pentagonales

(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...

Los exponentes que aparecen al final son 1, 2, 5, 7, 12... ycorresponden a los numeros pentagonales.

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Numerospentagonales

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Prueba porcombinatoria

Numeros pentagonales

(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...

Los exponentes que aparecen al final son 1, 2, 5, 7, 12...

ycorresponden a los numeros pentagonales.

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Prueba porcombinatoria

Numeros pentagonales

(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...

Los exponentes que aparecen al final son 1, 2, 5, 7, 12... ycorresponden a los numeros pentagonales.

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Teorema

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Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Numeros pentagonales

Cada numero pentagonal pn esta definido por la siguienteformula:

pn =n(3n − 1)

2

Los numero pentagonales resultan ser las sumas parciales de laprogresion aritmetica 1, 4, 7, 10, . . . , 3n + 1, . . .

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Prueba porcombinatoria

Numeros pentagonales

Cada numero pentagonal pn esta definido por la siguienteformula:

pn =n(3n − 1)

2

Los numero pentagonales resultan ser las sumas parciales de laprogresion aritmetica 1, 4, 7, 10, . . . , 3n + 1, . . .

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Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Numeros triangulares

En el Teorema de Jacobi aparecen los numeros triangulares enlugar de los pentagonales.

Cada numero triangular tn esta definido por la formula :

tn =n(n + 1)

2

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Teorema

Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Relacion entre los pentagonales y triangulares

Cualquier numero pentagonal se puede expresar en funcion delos numeros triangulares:

pn =n(3n − 1)

2=

n(n + 1)

2+ n(n − 1) = tn + 2tn−1

Por ejemplo:

p3 = 12 = t3 + 2 ∗ t2 = 6 + 2 ∗ 3

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Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Relacion entre los pentagonales y triangulares

Cualquier numero pentagonal se puede expresar en funcion delos numeros triangulares:

pn =n(3n − 1)

2=

n(n + 1)

2+ n(n − 1) = tn + 2tn−1

Por ejemplo:

p3 = 12 = t3 + 2 ∗ t2 = 6 + 2 ∗ 3

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Teorema

Numerospentagonales

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Prueba porcombinatoria

Relacion entre los pentagonales y triangulares

Cualquier numero pentagonal se puede expresar en funcion delos numeros triangulares:

pn =n(3n − 1)

2=

n(n + 1)

2+ n(n − 1) = tn + 2tn−1

Por ejemplo:

p3 = 12 = t3 + 2 ∗ t2 = 6 + 2 ∗ 3

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Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Numeros poligonales

Un numero poligonal es aquel que puede ser representado comopuntos dispuestos en forma de polıgono regular, empezandopor el 1.

En general, si l es el numero de lados de un polıgono, laformula para el n-esimo numero poligonal de l lados es

an =n((l − 2)n − (l − 4))

2

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Numerospentagonales

Numerospoligonales

Prueba porcombinatoria

Numeros poligonales

Un numero poligonal es aquel que puede ser representado comopuntos dispuestos en forma de polıgono regular, empezandopor el 1.

En general, si l es el numero de lados de un polıgono, laformula para el n-esimo numero poligonal de l lados es

an =n((l − 2)n − (l − 4))

2

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Prueba porcombinatoria

Numeros poligonales

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Prueba porcombinatoria

Prueba por combinatoria

Teorema∞∏k=1

(1− xk) =∞∑

n=−∞(−1)nxn(3n−1)/2

El teorema puede ser demostrado dando una interpretacioncombinatorial en terminos de particiones.

(1− x)(1− x2)(1− x3)... = |Pn| − |In|

dondePn = particiones distintas de n con un numero par de sumandos

In = particiones distintas de n con un numero impar desumandos

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Prueba porcombinatoria

Prueba por combinatoria

Teorema∞∏k=1

(1− xk) =∞∑

n=−∞(−1)nxn(3n−1)/2

El teorema puede ser demostrado dando una interpretacioncombinatorial en terminos de particiones.

(1− x)(1− x2)(1− x3)... = |Pn| − |In|

dondePn = particiones distintas de n con un numero par de sumandos

In = particiones distintas de n con un numero impar desumandos

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Prueba porcombinatoria

Ejemplo para n = 5

(1− x)(1− x2)(1− x3)... = 1− x − x2 + x5 + x7 − x12...

El coeficiente de x5 es 1 porque:

5 = 4 + 1

5 = 3 + 2

5 = 5

|P5| − |I5| = 1

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Prueba porcombinatoria

Prueba por combinatoria

Analizamos el problema graficamente utilizando el Diagramade Ferrers:

Para n = 20, consideramos la particion

20 = 7 + 6 + 4 + 3

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Prueba porcombinatoria

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Analizamos el problema graficamente utilizando el Diagramade Ferrers:

Para n = 20, consideramos la particion

20 = 7 + 6 + 4 + 3

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Teorema

Numerospentagonales

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Prueba porcombinatoria

n=20

Sean k = numero de elementos de la menor fila,s = numero de elementos situados mas a la derecha queforman diagonal

⇒ k = 3, s = 2

Si k > s nosotros podemos tomar los elementos en diagonalmas a la derecha y ubicarnos como una nueva fila.

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Prueba porcombinatoria

n=20

Sean k = numero de elementos de la menor fila,s = numero de elementos situados mas a la derecha queforman diagonal

⇒ k = 3, s = 2

Si k > s nosotros podemos tomar los elementos en diagonalmas a la derecha y ubicarnos como una nueva fila.

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Prueba porcombinatoria

n=20

Sean k = numero de elementos de la menor fila,s = numero de elementos situados mas a la derecha queforman diagonal

⇒ k = 3, s = 2

Si k > s nosotros podemos tomar los elementos en diagonalmas a la derecha y ubicarnos como una nueva fila.

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Prueba porcombinatoria

Nosotros podemos revertir el proceso y en nuestro caso, estaaccion nos devolvera al primer grafico.

=⇒

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Prueba porcombinatoria

Ejemplo

Particiones de n = 10 con terminos distintos.

Numero impar de terminos Numero par de terminos

Normalmente se puede trasformar una particion de Pn en otrade In y viceversa. Pero hay veces que no.

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Ejemplo

Particiones de n = 10 con terminos distintos.

Numero impar de terminos Numero par de terminos

Normalmente se puede trasformar una particion de Pn en otrade In y viceversa. Pero hay veces que no.

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Prueba porcombinatoria

Primer caso

k = s

La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran

Al realizar la operacion, el resultado serıa

el cual falla al cambiar la paridad del numero de filas, y no esreversible.

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Primer caso

k = s

La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran

Al realizar la operacion, el resultado serıa

el cual falla al cambiar la paridad del numero de filas, y no esreversible.

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Prueba porcombinatoria

Primer caso

k = s

La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran

Al realizar la operacion, el resultado serıa

el cual falla al cambiar la paridad del numero de filas, y no esreversible.

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Prueba porcombinatoria

Primer caso

Entonces:

n = k + (k + 1) + (k + 2) + ...+ (2k − 1) =k(3k − 1)

2

donde k = elementos en la ultima fila del grafico original

⇒ n =k(3k − 1)

2

es un numero pentagonal.

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Prueba porcombinatoria

Primer caso

Entonces:

n = k + (k + 1) + (k + 2) + ...+ (2k − 1) =k(3k − 1)

2

donde k = elementos en la ultima fila del grafico original

⇒ n =k(3k − 1)

2

es un numero pentagonal.

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Prueba porcombinatoria

Segundo caso

k = s + 1

La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran

No podemos mover la diagonal mas a la derecha a la fila deabajo, porque tendrıamos 2 filas de 3 elementos.

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Segundo caso

k = s + 1

La diagonal mas a la derecha y la fila de abajo seencuentran

No podemos mover la diagonal mas a la derecha a la fila deabajo, porque tendrıamos 2 filas de 3 elementos.

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Prueba porcombinatoria

Segundo caso

Entonces, en este caso:

n = k+(k+1)+...+(2k−2) =(k − 1)(3k − 2)

2=

m(3m − 1)

2

donde m = 1− k

⇒ n =m(3m − 1)

2

es un numero pentagonal.

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Prueba porcombinatoria

Segundo caso

Entonces, en este caso:

n = k+(k+1)+...+(2k−2) =(k − 1)(3k − 2)

2=

m(3m − 1)

2

donde m = 1− k

⇒ n =m(3m − 1)

2

es un numero pentagonal.

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Segundo caso

Entonces, en este caso:

n = k+(k+1)+...+(2k−2) =(k − 1)(3k − 2)

2=

m(3m − 1)

2

donde m = 1− k

⇒ n =m(3m − 1)

2

es un numero pentagonal.

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Prueba porcombinatoria

Ejemplo

Particiones de n = 12 con terminos distintos.

Numero impar de terminos Numero par de terminos

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Prueba porcombinatoria

Resumiendo

Se ha mostrado que las particiones de un numero par endistintas partes y de un numero impar en distintas partes secancelan mutuamente, excepto para los numeros pentagonales.

Por lo tanto, desarrollando el producto y aplicando los metodosexpuestos a cada xn se obtiene

(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...

donde los unicos coeficientes que aparecen son los numerospentagonales.

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Resumiendo

Se ha mostrado que las particiones de un numero par endistintas partes y de un numero impar en distintas partes secancelan mutuamente, excepto para los numeros pentagonales.

Por lo tanto, desarrollando el producto y aplicando los metodosexpuestos a cada xn se obtiene

(1−x)(1−x2)(1−x3)... = 1−x−x2 +x5 +x7−x12−x15 +x22...

donde los unicos coeficientes que aparecen son los numerospentagonales.