Teoría de sistemas de Ecuaciones No lineales

• La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es: f1(x1, x2 x3, …, xn) = 0 f2(x1, x2 x3, …, xn) = 0 f3(x1, x2 x3, …, xn) = 0 .................................... fn(x1, x2 x3, …, xn) = 0

Definiendo una función F F(x1, x2 x3, …, xn) = [f1(x1, x2 x3, …, xn),f2(x1, x2 x3, …, xn),

f3(x1, x2 x3, …, xn) , fn(x1, x2 x3, …, xn)]

Usando una notacion vectorial para representar las variables X1,X2,…,Xn ). El sistema puede representarse por F(x)=0

La solución a este sistema es el vector X=[x1, x2 x3, …, xn] que hace que simultaneamente todas las ecuaciones sean igual a 0.

Teoría de sistemas de Ecuaciones No lineales

Métodos de Solución :

• Método de Iteración de Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales (Método de punto fijo multivariable).

• Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.

Método de Iteración de Punto fijo para sistemas de Ecuaciones no Lineales

Anteriormente se desarrollo el método de iteración de punto fijo para resolver la ecuación f(x)=0 transformando esta ecuación en una ecuación de la forma x= g(x), usando el criterio de convergencia |g’(x)|<1 en el intervalo [x1,x2] donde g(x) pertenece [x1,x2] para x que pertenece a [x1,x2]

Método de Iteración de Punto fijo para sistemas de Ecuaciones no Lineales

Para el caso de un conjunto de ecuaciones No lineales utilizaremos un procedimiento similar extendiéndolo a todas las ecuaciones, usando un criterio de convergencia:

Una condición suficiente aunque no necesaria, para asegurar la convergencia es que

Para todos los puntos (x1,x2) de la región del plano que contiene todos los valores (x1k, x2k ) y la raíz buscada.

||1

1

xg

;1||1

2

Mxg

||2

1

xg

;1||2

2

Mxg

Método de Iteración de Punto fijo para sistemas de Ecuaciones no Lineales

Ejemplo 1

Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales

Solución

Con el despeje de X1 del termino (-10X1) en la primera ecuación y

de X2 del termino de (-10X2) en la segunda ecuación resulta.

X1=(X12+X2

2 + 8 )/ 10

X2=(X1X22+X1

+ 8 ) / 10

0),(

0),(

810

810

21221212

221

21211

xxxxxxf

xxxxxf

Por medio de Iteración por desplazamientos simultáneos

x1k+1 = g1(x1

k , x2k )

x2k+1 = g2(x1

k , x2k )

Con los valores iniciales x10 = 0, x2

0 = 0 se inicia el proceso

Primera iteración

X11=(02+02 + 8 )/ 10 = 0.8

X21=(0(0)2 + 0 + 8 ) / 10 = 0.8

Segunda iteración

X12=((0.8)2+(0.8)2 + 8)/ 10 = 0.928

X22=(0.8(0.8)2 + 0.8 + 8 ) / 10 =

0.9312

Al continuar el proceso iterativo, se encuentra la siguiente sucesión de valores

k

X1k X2

k

0 0.00000 0.00000

1 0.80000 0.80000

2 0.92800 0.93120

k

X1k X2

k

3 0.97283 0.97327

4 0.98937 0.98944

5 0.99578 0.99579

6 0.99832 0.99832

7 0.99933 0.99933

8 0.99973 0.99973

9 0.99989 0.99989

10 0.99996 0.99996

11 0.99998 0.99998

12 0.99999 0.99999

13 1.00000 1.00000

• Cualquiera que sea el sistema que se va a resolver con este método, puede aumentarse la velocidad de convergencia usando desplazamientos sucesivos en lugar de los desplazamientos simultáneos es decir se itera mediante

x1k+1 = g1(x1

k , x2k )

x2k+1 = g2(x1

k+1 , x2k )

Como en el caso lineal (jacobi y Gauss-Seidel), si la iteración por desplazamientos simultáneos diverge generalmente el metodo por desplazamientos sucesivos divergiría mas rápido; es decir se detecta mas rapido la divergencia, por lo que se recomienda en general el uso de desplazamientos sucesivos en lugar de desplazamientos simultáneos .

• Resuelva el sistema del ejemplo anterior utilizando el metodo de punto fijo para sistemas no lineales con desplazamientos sucesivos.

0),(

0),(

810

810

21221212

221

21211

xxxxxxf

xxxxxf

Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales

• Todas las ecuaciones deben de ser cero en las raíces • Se define la matriz J(x) como:

1

,1

x

f i

2

,1

x

f i

n

i

x

f

,1

1

,2

x

f i

2

,2

x

f i

n

i

x

f

,2

1

,

x

f in

2

,

x

f in

n

in

x

f

,

..........

..........

..........

.....................................................

J(x) =

Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales

• Entonces podemos escribir

F(x)+XiJ(x)=Xi+1 J(x)

• Dividiendo J(x) y reacomodando:

Xi+1= Xi-J(x)-1 F(x)

Esta es la Ecuación de Newton para sistemas No Lineales

Puesto que en cada iteración se tiene que calcular la inversa de la matriz J(x)y esto implica un considerable esfuerzo de cálculo , para evitar este paso se utiliza el artificio de encontrar un vector Y que satisfaga

J(x)Y= -F(x)

Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales

• Se establece un esquema iterativo donde cada nueva aproximacion se obtiene como:

X(k+1) = y +x(k)

Al resolver el sistema tomando como valores iniciales (x1,x2)=(0,0) se tiene:

J(x)( x1,x2)=