CORTE IMAGINARIO DE UN CUERPO (EQUILIBRIO INTERNO EN TRES DIMENSIONES )

Una sección de un elemento estructural esta solicitada a Torsión cuando la componente del Momento resultante de las fuerzas internas tiene la componente Mz = T

Usados para la transferencia de potencia de un punto a otro, de una turbina de vapor a un generador eléctrico, o de un motor a una maquina de herramientas

Pares que tienen igual magnitud y sentidos opuestos. Su representación es a través de flechas curvas.

Se muestra orientativamente el alabeo de una sección cualquiera

Cuando se somete a torsión un eje circular hueco o solido, toda la sección permanece plana (o sea cada sección transversal rota como una losa rígida). Pero si se somete a torsión una barra de sección cuadrada sus diferentes secciones se comban y no permanecen planas.

Cuando se pintan figuras adyacentes y ocurre un momento torsionante iguales y opuestos a los extremos del eje, las marcas resbalan una con respecto a la otra.

DEFORMACION ANGULAR O DISTORSION

Cuando se aplica un torque “T” al extremo libre el eje queda sometido a torsión y su extremo libre rota un ángulo “Ø”” llamado ángulo de torsión.

ANALISISIS DE LOS ESFUERZO Y DEFORMACIONES

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

C

DONDE:

DONDE:

Mientras no se exceda el limite de fluencia en parte alguna del eje circular, el esfuerzo cortante en el eje varia linealmente con la distancia “ρ” al Centro del eje.

DONDE:

Distribución de esfuerzos cortantes en una sección circular

DONDE:

DONDE:

Esfuerzos en un eje hueco de radio interno “c1” y exterior “ c2”

Esfuerzos en un eje circular solido de radio “C”

DONDE:

DONDE:

Si es aplicado un torque en el elemento de eje, son producido esfuerzos cortantes en las caras perpendiculares

No solo el par interno de torsión T desarrolla una distribución lineal del esfuerzo cortante a lo largo de toda la línea radial en el plano de la sección transversal, sino una distribución asociada del esfuerzo cortante a lo largo del plano axial.

Su falla es por cortante, por lo tanto cuando son sometidos a torsión la probeta se rompe en el plano perpendicular a su eje longitudinal.

Su falla es por tensión, por lo tanto cuando son sometidos a torsión, la probeta se rompe perpendicular a la dirección en que la tensión es máxima , en la superficie que forma 45º con el

eje longitudinal de la probeta.

Se hace según la regla de la mano derecha : El ángulo de torsión es positivo si el pulgar se aleja de la sección transversal imaginaria de la flecha cuando los dedos restantes se curvan para indicar el sentido del par, o sea, que el extremo de la barra girara como lo indica la curvatura de los dedos.

Cuando el ángulo de torsión se determina a partir de un extremo que no posee ningún tipo de restricción y permita la rotación la notación usada es:

Pero cuando el ángulo de torsión se determina a partir del extremo de la barra empotrada o fija la notación usada es:

Un elemento de material situado en un radio “ρ”

arbitrario dentro del disco sufrirá una deformación unitaria cortante “Ɣ”, estos valores son relacionados en la fórmula siguiente :

Ecuación-1

Y usando la fórmula de torsión

Nos queda que….

Aplicando la Ley de Hooke,

Sustituyendo el valor obtenido en la ecuación – 1 nos queda :

La cual puede utilizarse en los casos siguiente:

DONDE:

DONDE:

(x)

(x)

EJEMPLO La barra ahusada AB de sección circular solida se retuerce por los pares T aplicados en los extremos. El diámetro de la barra varia linealmente de dA en el extremo izquierdo a dB en el extremo derecho. Determinar: a)el esfuerzo cortante máximo en la barra: b) el ángulo de torsión de la barra.

b) ANGULO DE TORSION. Primero establecemos una expresión para el diámetro ‘’d ‘’ a la distancia “x” desde el extremo A:

a) CORTANTE MAXIMO. El esfuerzo cortante máximo ocurre en la sección transversal con el menor diámetro:

La fórmula para desarrollar la integral es la siguiente:

Se escribe una expresión para el momento polar de inercia:

CASO ESPECIAL. Cargas de Torsión distribuidas

El torque sobre un elemento de longitud “dx” es “c dx”.

Como el producto “c” y “dx” es un momento, las dimensiones de “c” son: momento/longitud.

Elemento de longitud dx

Ejemplo:

Se puede describir una carga de torsión sobre una barra mediante la introducción de una función “c” definida de manera que el torque axial sobre cada elemento de la barra sea “c dx”

Planteamiento de la solución Se pasa un plano a través de la barra en una posición seleccionada de manera arbitraria “x” y se traza el diagramas de cuerpo libre de la parte de la barra situada a la derecha del plano, donde “T” es el torsionante interno.

Determinación de torque interno en x

A partir de la ecuación de equilibrio se tiene:

Se determina el torque interno en la barra en la posición “x”:

El torque distribuido hace que el torque interno en la barra varié con la posición axial. Para determinar el Angulo de giro en el extremo derecho de la barra con relación a la pared, se considera un elemento de la barra de longitud dx

Elemento de longitud dx

El ángulo de giro será:

Al integrar este resultado desde x=0 hasta x=L, se obtiene el ángulo de giro del extremo derecho:

(x)

X=

X=

∫ ∫

TORSION DE MIEMBROS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS

Dos caminos: a) Método de la Condición Cinemática o

Condición de Compatibilidad (Hibbeler pag. 139,221).

b) Método de las Fuerzas o método de las Flexibilidades (Hibbeler pag. 149)

D.C.L., CORTES IMAGINARIOS (condición cinemática o condición de compatibilidad R.C. Hibbeler pág. 139 y pág. 221)

Una flecha sometida a torsión es clasificada indeterminada si

la ecuación de equilibrio de momentos (Mx=0), no es

suficiente para determinar los pares de torsión desconocidos

Por lo tanto es necesario establecer la condición de compatibilidad , o cinemática, que requiere que el ángulo de torsión de un extremo con respecto a otro extremo, sea igual a cero (Método de superposición , CONDICION CINEMATICA, VER Hibbeler pág. 139, y 221).

Se supone que el material se comporta de modo elástico- lineal, entonces puede usarse la relación carga-desplazamiento.

Igualando ambas ecuaciones queda lo siguiente:

Ejemplo: barra doblemente empotrada en estado indeterminado

Método de las flexibilidades

EJERCICIO

La barra circular AB con extremos fijos está perforada axialmente hasta la mitad de su longitud según se muestra en la figura. ¿A que distancia ¨x¨ del extremo A debe aplicarse un par T a fin de que los pares reactivos en los soportes sean iguales?

SOLUCIÓN DCL Propiedades de las secciones:

32

404

1

J

32

)2040( 44

2

J

Ec. de equilibrio TTT BA

CONDICION O REQUISITO: BA TT 2/TTT BA

Compatibilidad de las deformaciones (condición cinemática):

Giro de la sección en C: donde: BCACC //

21

/

)2/)(2/()2/)(2/(

GJ

LxT

GJ

LTAC

2

/

))(2/(

GJ

xLTBC

Igualando y arreglando:

xLLxxLLJ

J22/3)2/()(2/

1

2

LL

J

JLx 5156.0)

40

20403(

4)3(

4 4

44

1

2

Fecha examen corto 08 de octubre (jueves)

Comparación analógica de las fórmulas de deformación por cargas axiales y deformaciones por torsión.