Post on 18-Jan-2016
description
Objetivos
• Entender la multidimensionalidad y la dependencia de la
transferencia de calor respecto al tiempo, así como las condiciones
en las cuales se puede realizar una aproximación de un problema
de transferencia de calor al caso unidimensional
• Obtener la ecuación diferencial de la conducción del calor en varios
sistemas de coordenadas y simplificarla para el caso
unidimensional estacionario
• Identificar las condiciones térmicas en las superficies y expresarlas
en forma matemática como condiciones de frontera e inicial
Objetivos
• Resolver problemas de conducción unidimensional del calor y
obtener las distribuciones de temperaturas dentro de un medio, así
como el flujo de calor
• Analizar la conducción unidimensional de calor en sólidos en los
que se tiene generación de calor, y
• Evaluar la conducción de calor en sólidos con conductividad
térmica que depende de la temperatura.
2-1 INTRODUCCIÓN
La transferencia de calor tiene dirección
así como magnitud y, por tanto, es una
cantidad vectorial.
Indicación de la dirección para la transferencia
de calor (positiva en la dirección positiva;
negativa en la dirección negativa).
Transferencia de calor estacionaria en comparación con la transferencia transitoria
Los problemas de transferencia de calor a
menudo se clasifican como estacionarios
(también llamados estables) o transitorios
(también llamados no estables o no
estacionarios).
El término estacionario implica que no hay
cambio con el tiempo en cualquier punto
dentro del medio, en tanto que transitorio
implica variación con el tiempo o
dependencia con respecto al tiempo.
Transferencia de calor multidimensional
Los problemas de transferencia de
calor también se clasifican como
unidimensionales, bidimensionales
o tridimensionales, dependiendo
de las magnitudes relativas de las
razones de transferencia en las
diferentes direcciones y del nivel
de exactitud deseado. En el caso
más general la transferencia de
calor a través de un medio es
tridimensional. Se expresa como:
T(x, y, z, t), T(r, ϕ, z, t) y
T(r, ϕ, θ, t)http://deista.files.wordpress.com/2010/05/sol.png
En algunos casos la temperatura en un medio
varía principalmente en dos direcciones
primarias y la variación de la temperatura en
la tercera dirección (y, por tanto, la
transferencia de calor en esa dirección) es
despreciable. En ese caso, se dice que un
problema de transferencia de calor es
bidimensional.
Se dice que un problema de
transferencia de calor es
unidimensional si la
temperatura en el medio varía
en una sola dirección y, por
tanto, el calor se transfiere en
esa misma dirección; al mismo
tiempo, la variación de
temperatura y, como
consecuencia, la transferencia
de calor en otras direcciones
es despreciable o cero.
Ley de Fourier de la conducción de calor, unidimensional
La razón de la transferencia de calor a través de un medio en una
dirección específica (por ejemplo, en la dirección x) es
proporcional a la diferencia de temperatura entre uno y otro lados
del medio y al área perpendicular a la dirección de la
transferencia de calor, pero es inversamente proporcional a la
distancia en esa dirección.
donde k es la conductividad térmica del
material, que es una medida de la capacidad
del material para conducir el calor y dT/dx es
el gradiente de temperatura, es decir, la
pendiente de la curva de temperatura sobre
un diagrama T-x
Ley de Fourier de la conducción de calor, general
El vector de flujo de calor en un punto P sobre esta superficie debe
ser perpendicular a ella y debe apuntar en la dirección
de la temperatura decreciente. Si n es la normal a la superficie
isotérmica en el punto P, la razón de la conducción de calor
en ese punto se puede expresar por la ley de Fourier como:
2-2 ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR
Ecuación de la conducción de
calor en una pared plana
grande
Un balance de energía sobre este
elemento delgado, durante un
pequeño intervalo de tiempo ∆t, se
puede expresar como:
Simplificación de la ecuación
unidimensional de conducción de calor en una
pared plana, para el caso de conductividad
constante en estado estable, sin generación de
calor.
Ecuación de la conducción de calor en un cilindro largo
Dos formas equivalentes de la
ecuación diferencial para la
conducción unidimensional y
estacionaria de calor en un cilindro,
sin generación de calor:
Conducción unidimensional y estacionaria del calor a través de un elemento de volumen en un cilindro largo.
Ecuación de la conducción de calor en una esfera
Conducción unidimensional de
calor a través de un elemento
de volumen en una esfera:
Ecuación unidimensional combinada de la conducción de calorUn examen de las ecuaciones unidimensionales de conducción de
calor en régimen transitorio, para la pared plana, el cilindro y la esfera,
revela que las tres se pueden expresar en una forma compacta como:
donde n = 0 para una pared plana, n = 1 para un cilindro y n = 2 para
una esfera. En el caso de una pared plana se acostumbra reemplazar
la variable r por x, Esta ecuación se puede simplificar para los casos
de régimen estacionario o sin generación de calor como se describe
con anterioridad.
Ecuación de Fourier - Biot
Las ecuaciones tridimensionales de conducción de calor se reducen a las
unidimensionales cuando la temperatura varía sólo en una dimensión:
2-4 CONDICIONES DE FRONTERAE INICIALES
La solución general de una
ecuación diferencial típica
comprende constantes arbitrarias
y, por tanto, un número infinito de
soluciones.
Para describir por completo un problema de transferencia de calor,
deben darse dos condiciones de frontera para cada dirección a lo largo
de la cual la transferencia de calor es significativa.
La temperatura de una superficie expuesta suele ser
mensurable directamente y con facilidad. Por lo tanto, una de
las maneras más fáciles de especificar las condiciones
térmicas sobre una superficie es mediante la temperatura.
1) Condición de frontera;temperatura específica
Condiciones de frontera de
temperatura especificada en
ambas superficies de una
pared plana.
Condiciones de frontera de flujo de calor específico en ambas
superficies de una pared plana.
2) Condición de frontera;flujo específico de calor
Una pared plana con aislamiento y condiciones de frontera de
temperatura específica.
Caso especial: Frontera aislada
Condición de frontera de
simetría térmica en el
plano central de una pared
plana.
Otro caso especial: simetría
térmica
Condiciones de frontera
de convección sobre las
dos superficies de una
pared plana.
3) Condición de convección en frontera
La dirección supuesta de la
transferencia de calor en una frontera
no tiene efecto sobre la expresión de
la condición en la frontera.
Condiciones de frontera de radiación sobre
ambas superficies de una pared plana.
4) Condición de radiación en frontera
En algunos casos, como los
encontrados en las aplicaciones
espaciales y criogénicas, una
superficie de transferencia de calor
está rodeada por un espacio vacío
y, por tanto, no se tiene
transferencia por convección entre
la superficie y el medio
circundante. En esos casos la
radiación se convierte en el único
mecanismo de transferencia de
calor entre la superficie y los
alrededores.
5) Condición de frontera en la interfaz
Algunos cuerpos están formados por
capas de materiales diferentes y la
resolución de un problema de
transferencia de calor en un medio de
ese tipo requiere determinar la
transferencia en cada capa. Las
condiciones de frontera en una
interfaz se basan en los requisitos de
que 1) los dos cuerpos en contacto
deben tener la misma temperatura en
el área de contacto y 2) una interfaz
(que es una superficie) no puede
almacenar energía y, por tanto, el flujo
de calor sobre ambos lados de la
interfaz debe ser el mismo.
6) Condiciones de frontera generalizadas
Hasta ahora se ha considerado superficies sujetas a transferencia
de calor de un solo modo, como el flujo especificado de calor,
la convección o la radiación, por sencillez. Sin embargo, en general,
una superficie puede comprender convección, radiación y
flujo especificado de calor simultáneamente. En esos casos
se obtiene una vez más la condición de frontera a partir
de un balance de energía superficial, expresado como:
2-5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMASUNIDIMENSIONALES DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO
El procedimiento para resolver los
problemas de conducción de calor se
puede resumir como sigue:
1) formúlese el problema mediante la
obtención de la ecuación diferencial
aplicable en su forma más sencilla y
especificando las condiciones de
frontera, 2) obténgase la solución
general de la ecuación diferencial y
3) aplíquense las condiciones de
frontera y determínense las constantes
arbitrarias en la solución general.