Post on 14-Apr-2017
FRACTALS
Quant mesura la costa de Mallorca?
Podem conèixer el sistema nerviós?
ORIGEN DELS FRACTALSFinals segle XIX, principis segle XX
- Problemes de mesures de conjunts ( a 1919 Hausdorff – Besicovitch)
- Aparició de conjunts amb propietats desconegudes, se’ls va qualificar de monstres (conjunt de Cantor).
- Inici dels sistemes dinàmics caòtics ( any 1920 Julia i Fatou)
- Problemes metereològics: Efecte papallona (Lorenz)
Mandelbrot va definir
Fractal : “que té forma irregular, extremadament
interrompuda i fragmentada sigui quina sigui l’escala d’observació i d’examen”
Dimensió fractal: “Nombre que serveix per quantificar la
irregularitat i fragmentació d’un conjunt geomètric”
Madelbrot va observar que els fractal estan presents a la natura
brocoliesponja falguera
illapulmó
Sistema circulatori
nuvol
Closca caragol
llampGran ona
Romancescu (tipus de brocoli)
Les 3 propietats més importants dels fractals:
• Dimensió fractal: “Nombre que serveix per quantificar la irregularitat i fragmentació d’un conjunt geomètric”
• Autosemblança: Quan a una figura la podem descompondre en altres més petites, cada una de les quals és semblant a l’original és diu que és autosemblant.
• Caos: El caos designa tot allò que és o pareix desorganitzat, desordenat i a vegades incoherent.
Calculem la dimensió fractal: Què significa tenir dimensió fraccionària?
Un punt té dimensió zero, un segment té dimensió1, un quadrat té dimensió 2,un cub té dimensió 3, …
PARTIM D’UN CONJUNT AL QUAL SE LI APLICA UNA TRANSFORMACIÓ DE SEMBLANÇA
Sigui n = nombre de parts que queden després del primer pas, ....
m= longitud del costat resultant respecte a l’inicial
Fractals autosemblants Càlcul de la seva dimensió
Conjunt de Cantor:
n=2 , m=1/3
Dim= log2/log 3 = 0’63
Corba de Peano:
n=9 m=1/3
Dim = log9/log3= 2
Corba de Koch
n=4 m=1/3
Dim=log4/log3= 1,262
Triangle de Sierpinski
n=3 m= 1/2
Dim= log3/log2= 1,585
La dimensió fractal d’una costa és un indicador de lo abrupta que és.
Encara que no estigui ben definida, Richardson en 1961, va fer les següents estimacions:
Costa de Gran Bretanya Df = 1.25
Frontera de Portugal Df = 1.14
Costa de Noruega Df = 1.52
Costa Australiana Df = 1.13
Costa Sudafrica Df = 1.02
Fractals aleatoris
L’atzar juga un paper fonamental en la seva construcció
Els mateixos fractals autosemblants: Conjunt de Cantor aleatori, Conjunt de Koch aleatori, …
Difusió
Cel·lular
Moviment brownià
plasma
Lorenz
Fractals generats per sistemes dinàmics caòtics:
Conjunt de Julia:
L’any 1918 Julia i fatou es van plantejar que li succeeix a un punt z quan se li aplica iteradament
la transformació zn+1 = zn2 + c
Segell israelià 1997
zn+1 = zn2 + c
Conjunt de Mandelbrot“Un dels més impactants que apareixen a la Geometria fractal”
“Conjunt de punts c pels quals l’òrbita de z=0 es manté afitada”
zn = zn-12 + c
Estudia que li succeeix a un punt c quan se li aplica iteradament la transformació
Fractal de Newton
Aproximació de les arrels de f(x)=0 X n= xn-1- f(xn-1)/ f’(xn-1)
X5-1
Aplicacions dels fractals:
Medicina: Osteoporosi- Ossos de la mateixa densitat tenen diferent comportament davant la possibilitat de trencar-se. - Es considera que la dimensió fractal d’un os està entre 1,7 i 1,8. -Dimensions fractals més baixes són símptomes d’osteoporosi.
Emfisemes pulmonars:-La dimensió fractal d’una secció de pulmó és aproximadament 1,26. -Dimensions fractals més altes es poden considerar com a indicis del començament d’aquesta malaltia.
Tractament de tumors sòlids; - Antonio Bru va comprovar que la frontera d’una secció de tumor sòlid és un fractal que té dimensió compresa entre 1 i 2. - Bru va extreure una equació matemàtica que permet explicar i, per tant, permet predir l’evolució del tumor,“tant en el temps com en l’espai”.
Fòbia a volar: -Les persones sense por a volar sembla tenen un sistema cardíac més caòtic, més flexible, que facilita una major adaptabilitat als canvis del medi, en comparació amb les persones amb por de volar.
La freqüència cardíaca:- La dimensió fractal de la corba que representa el ritme cardíac d’una personasana és major que en una persona que té problemes cardíacs.
Psicologia:Mitjançant registres electroencefàlics s’han pogut detectar que els pacients amb trastorns esquizofrènics i obsessius compulsius presenten una dimensió fractal menor a la observada en controls sans.
Meteorologia: -Els fenòmens meteorològics tenen un comportament fractal. És impossible preveure el temps que farà a llarg termini, un canvi molt petit pot provocar grans canvis dins un termini relativament curt.
La topografia:-A l'hora de fer mapes, s'ha de conèixer la propietat fractal de la costa i la seva possible dimensió fractal.
Enginyeria: - El grup d'enginyeria Electromagnètica i Fotònica de la UPC ha desenvolupat antenes fractals duals per a telefonia mòbil.
Cinema: - Actualment, alguns decorats d'algunes pel·lícules, com ara Start Treck, es fan mitjançant fractals.
Art: - Vegem-ho en el disseny amb programes d’ordinador de les següents imatges:
Dissenyades amb ultrafractal
Dissenyades amb fractint
Dissenyades amb Sterlin
Conclusió:
Podem afirmar que l’aparició dels fractals,
es sens dubte, una de les grans revolucions
del segle XX juntament amb la teoria de la
relativitat i de la teoria quàntica.