Post on 26-Dec-2015
El triple producto escalar a b c
b
ca
b x c
n
b x c = Sn
S = área del paralelogramo formado por b y c
cos cos a n a n a
cosS S Sh V a b c a n = a
h
V es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores a, b y c
Nota: si los tres vectores son coplanares 0 a b c
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
b b b
c c c
a i j k
b i j k
c i j k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
b c b c b c b c b c b c
a b c b c a b c b c a b c b c
b c = - i j k
a b c -
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( )
a a a
b b b
c c c
a b c
Y esta expresión nos confirma que el orden de los vectores es irrelevante, excepto en el signo (siempre el resultado numérico será el volumen). Esto es
a b c b a c = b c a = c a b
El triple producto escalar a b c
b
ca
b x c
a x (b x c)
El vector b x c es es perpendicular al plano formado por los vectores b y c, y puesto que el vector a x (b x c) es perpendicular al vector b x c, entonces necesariamente a x (b x c) pertenece al plano formado por b y c.
El triple producto vectorial a b c
b x c
a
b
c
El triple producto vectorial a b c
En rigor ( ) ( ) ( ) a b c a c b a b c
( ) ( ) a c b a b cLa i – ésima componente de está dada por
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( ) ( )i ia c a c a c b a b a b a b c
Mientras que las componentes de están dadas por a b c
2 1 2 1 2 3 1 3 1 3
3 1 2 1 2 1 1 2 1 2
1 1 3 1 3 2 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
primera componente a b c c b a c b b c
segunda componente a b c c b a b c c b
tercera componente a c b b c a b c c b
Comparando cuidadosamente componente a componente, se observa que la igualdad se cumple.
Demostración de la identidad de Jacobi
( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b 0
Utilizando la caracterización del triple producto vectorial, tenemos que
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b c a c b - a b c
b c a b a c - b c a
c a b c b a - c a b
Sumando estas tres igualdades y considerando que el producto punto es conmutativo, se tiene la igualdad de Jacobi