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Unidad 16: La derivada.
16.1 Definición de derivada y sus notaciones.
16.1.1 Definición de derivada.
La derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se define como el límite de la razón del incremento de la
función sobre el incremento de la variable independiente y se define como:
𝑦′ = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
16.1.1.1 Notación de la derivada.
Diversas notaciones para expresar la derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) son:
𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝐷𝑥𝑦
Ejemplos:
1.- La derivada de la función 𝑦 = 3𝑥 + 2 es:
a) 𝑦′ = 2 b) 𝑦′ = 3 c) 𝑦′ = −2 d) 𝑦′ = −3
Solución:
Se aplica la definición de la derivada:
𝑦 = 3𝑥 + 2 → 𝑦′ = 1 lim∆𝑥→0
[3(𝑥 + ∆𝑥) + 2] − [3𝑥 + 2]
∆𝑥= lim
∆𝑥→0
[3𝑥 + 3∆𝑥 + 2] − [3𝑥 + 2]
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
3𝑥 + 3∆𝑥 + 2 − 3𝑥 − 2
∆𝑥= lim
∆𝑥→0
3∆𝑥
∆𝑥= lim
∆𝑥→03 = 3
2.- La derivada de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 es:
a) 𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥 b) 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2+∆𝑥
∆𝑥 c) 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
2∆𝑥
∆𝑥 d) 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
∆𝑥−2
∆𝑥
2
Solución:
Se realiza la derivada:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 → 𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
[2(𝑥 + ∆𝑥) + 1] − [2𝑥 + 1]
∆𝑥= lim
∆𝑥→0
[2𝑥 + 2∆𝑥 + 1] − [2𝑥 + 1]
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
2𝑥 + 2∆𝑥 + 1 − 2𝑥 − 1
∆𝑥= lim
∆𝑥→0
2∆𝑥
∆𝑥
16.2 Obtención de derivadas.
16.2.1 Derivadas de funciones algebraicas.
16.2.1.1 Reglas para determinar la derivada de una función algebraica.
1) 𝑑
𝑑𝑥(𝑐) = 0 2)
𝑑
𝑑𝑥(𝑥) = 1 3)
𝑑
𝑑𝑥(𝑐𝑥) = 𝑐
4) 𝑑
𝑑𝑥(𝑐𝑣) = 𝑐
𝑑𝑣
𝑑𝑥 5)
𝑑
𝑑𝑥(𝑢 + 𝑣 − 𝑤) =
𝑑𝑢
𝑑𝑥+
𝑑𝑣
𝑑𝑥−
𝑑𝑤
𝑑𝑥 6)
𝑑
𝑑𝑥= (𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1
7) 𝑑
𝑑𝑥= (𝑣𝑛) = 𝑛𝑣𝑛−1 𝑑𝑣
𝑑𝑥 8)
𝑑
𝑑𝑥(√𝑣) =
1
2√𝑣
𝑑
𝑑𝑥 9)
𝑑
𝑑𝑥(√𝑥) =
1
2√𝑥
10) 𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
11) 𝑑
𝑑𝑥(
𝑢
𝑣) =
𝑢𝑑𝑢
𝑑𝑥−𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
Donde la constante es: 𝑐 y las variables son: 𝑥, 𝑢, 𝑣 y 𝑤.
Ejemplos:
1.- La derivada de la función 𝑦 = 𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 + 7 es:
a) 3𝑥2 + 5𝑥 − 4 b) 3𝑥2 + 10𝑥 + 7 c) 3𝑥2 + 5𝑥 + 7 d) 3𝑥2 + 10𝑥 − 4
Solución:
3
Al aplicar las fórmulas:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥(𝑥3 + 5𝑥2 − 4𝑥 + 7) =
𝑑
𝑑𝑥(𝑥3) +
𝑑
𝑑𝑥(5𝑥2) −
𝑑
𝑑𝑥(4𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥(7)
=𝑑
𝑑𝑥(𝑥3) + 5
𝑑
𝑑𝑥(𝑥2) − 4
𝑑
𝑑𝑥(𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥(7) = 3𝑥3−1 + 5(2𝑥2−1) − 4(1) + 0
= 3𝑥2 + 5(2𝑥) − 4 = 3𝑥2 + 10𝑥 − 4
2.- La derivada de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥35 es:
a) 5
3𝑥
2
5 b) 3
5𝑥
2
5 c) 3
5𝑥−
2
5 d) 5
3𝑥−
2
5
Solución:
𝑓′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥(√𝑥35
) =𝑑
𝑑𝑥(𝑥
35) =
3
5𝑥
35
−1 =3
5𝑥
3−55 =
3
5𝑥−
25
3.- La derivada de la función 𝑦 =3
𝑥2 es:
a) 3
2𝑥 b)
6
𝑥3 c) −3
2𝑥 d) −
6
𝑥3
Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥(
3
𝑥2) =
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥−2) = 3
𝑑
𝑑𝑥(𝑥−2) = 3(−2𝑥−2−1) = −6𝑥−3 = −6 (
1
𝑥3) = −
6
𝑥3
4.- La derivada de la función 𝑦 = (3𝑥5 + 2)4 es:
a) 60𝑥4(3𝑥5 + 2)3 b) 4(15𝑥4 + 2)3 c) 60𝑥(3𝑥5 + 2)3 d) 4𝑥4(3𝑥5 + 2)3
Solución:
Se utilizará la fórmula 𝑑
𝑑𝑥= (𝑣𝑛) = 𝑛𝑣𝑛−1 𝑑𝑣
𝑑𝑥 , dando como resultado:
4
𝑦 = (3𝑥5 + 2)4 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥= (3𝑥5 + 2)4 = 4(3𝑥5 + 2)4−1
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥5 + 2) = 4(3𝑥5 + 2)3(15𝑥4)
= 60𝑥4(3𝑥 + 2)3
5.- La derivada de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)(3𝑥3 + 2) es:
a) 𝑥(15𝑥3 − 9𝑥 + 4) b) 𝑥(15𝑥3 − 9𝑥 − 4) c) 𝑥(15𝑥3 + 9𝑥 + 4) d) 3𝑥(5𝑥3 + 3𝑥 + 1)
Solución:
Para obtener la derivada se utiliza la fórmula 𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)(3𝑥3 + 2) → 𝑓′(𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑑
𝑑𝑥(3𝑥3 + 2) + (3𝑥3 + 2)
𝑑
𝑑𝑥(𝑥2 + 1)
𝑓′(𝑥) = (𝑥2 + 1)(9𝑥2) + (3𝑥3 + 2)(2𝑥)
𝑓′(𝑥) = 9𝑥4 + 9𝑥2 + 6𝑥4 + 4𝑥
𝑓′(𝑥) = 15𝑥4 + 9𝑥2 + 4𝑥
𝑓′(𝑥) = 𝑥(15𝑥3 + 9𝑥 + 4)
16.2.2 Derivadas de funciones trigonométricas.
16.2.2.1 Reglas para determinar la derivada de una función trigonométrica.
1) 𝑑
𝑑𝑥 sen 𝑣 = cos 𝑣
dv
𝑑𝑥
2) 𝑑
𝑑𝑥 cos 𝑣 = −sen 𝑣
dv
𝑑𝑥
3) 𝑑
𝑑𝑥 tan 𝑣 = sec2 𝑣
dv
𝑑𝑥
4) 𝑑
𝑑𝑥 cot 𝑣 = csc2 𝑣
dv
𝑑𝑥
5) 𝑑
𝑑𝑥 sec 𝑣 = sec 𝑣 tan 𝑣
dv
𝑑𝑥
6) 𝑑
𝑑𝑥 csc 𝑣 = −csc 𝑣 cot 𝑣
dv
𝑑𝑥
5
Ejemplos:
1.- ¿Cuál es la derivada de la función 𝑦 = sen 3𝑥?
a) 3 cos 3𝑥 b) 3 sen 3𝑥 c) cos 3𝑥 d) −sen 3𝑥
Solución:
𝑦 = sen 3𝑥 → 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥 (sen 3𝑥) = cos 3𝑥
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥) = (cos 3𝑥)(3) = 3 cos 3𝑥
2.- ¿Cuál será la derivada de la función 𝑓(𝑥) = cos 𝑥2?
a) −sen 𝑥2 b) −cos 2𝑥 c) −2𝑥 sen 𝑥2 d) 2𝑥 cos 2𝑥
Solución:
𝑓(𝑥) = cos 𝑥2 → 𝑓′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥(cos 𝑥2) = −sen 𝑥2
𝑑
𝑑𝑥(𝑥2) = (−sen 𝑥2)(2𝑥) = −2𝑥 sen 𝑥2
3.- ¿Cuál será la derivada de la función 𝑦 = sen 𝑥3 5𝑥?
a) sen2(3𝑥2 + 2𝑥) b) tan(6𝑥 + 2) c) sen2(6𝑥 + 2) d) (6𝑥 + 2) ∗ sen2(3𝑥2 + 2𝑥)
Solución:
𝑦 = sen 𝑥3 5𝑥 → 𝑦′ =𝑑
𝑑𝑥[tan(3𝑥2 + 2)] = sen2(3𝑥2 + 2𝑥)
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥2 + 2𝑥)
sen2(3𝑥2 + 2𝑥) (6𝑥 + 2) = (6𝑥 + 2) ∗ sen2(3𝑥2 + 2𝑥)
16.2.3 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
16.2.3.1 Reglas para determinar la derivada de una función exponencial.
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑣 = 𝑒𝑣 ∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑣 = 𝑎𝑣 ln 𝑎 ∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
6
donde la base del logaritmo natural es 𝑒, la constante es 𝑎 y la variable es 𝑣.
16.2.3.2 Reglas para determinar la derivada de una función logarítmica.
𝑑
𝑑𝑥ln 𝑣 =
1
𝑣∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥log𝑏 𝑣 =
log𝑏 𝑒
𝑣∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
Ejemplos:
1.- ¿Cuál es la derivada de 𝑦 = 𝑒2𝑥?
a) 𝑒2𝑥 b) 2𝑥 𝑒2𝑥 c) 2 𝑒2𝑥 d) 2 𝑒𝑥
Solución:
Se utilizará la fórmula 𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑣 = 𝑒𝑣 ∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑦 = 𝑒2𝑥 → 𝑦′ =𝑑
𝑑𝑥(𝑒2𝑥) = 𝑒2𝑥
𝑑
𝑑𝑥(2𝑥) = 𝑒2𝑥(2) = 2 𝑒2𝑥
2.- ¿Cuál será la derivada de 𝑦 = 23𝑥2−1?
a) 23𝑥2−1 ln 2 b) 23𝑥2−1 (6𝑥) c) 26𝑥 ln 2 d) 23𝑥2−1 ln 2 (6𝑥)
Solución:
Se utilizará la fórmula 𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑣 = 𝑎𝑣 ln 𝑎 ∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑦 = 23𝑥2−1 → 𝑦′ =𝑑
𝑑𝑥(𝑦 = 23𝑥2−1) = 𝑦 = 23𝑥2−1 ln 2
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥2 − 1) = 23𝑥2−1 ln 2 (6𝑥)
3.- ¿Cuál será la derivada de 𝑦 = ln(𝑥3 − 2)?
a) 3𝑥2
𝑥3−2 b)
1
𝑥3−2 c)
3𝑥
𝑥3−2 d)
𝑥2
𝑥3−2
Solución:
7
𝑦 = ln(𝑥3 − 2) → 𝑦′ =𝑑
𝑑𝑥ln(𝑥3 − 2) =
1
𝑥3 − 2∗
𝑑
𝑑𝑥(𝑥3 − 2) =
1
𝑥3 − 2∗ (3𝑥2) =
3𝑥2
𝑥3 − 2
16.3 Regla de la cadena.
Sea la función 𝑦 = 𝑔(𝑢) y 𝑢 = 𝑓(𝑥), entonces la derivada 𝑑𝑦
𝑑𝑥 , se define como:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢∗
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Ejemplos:
¿Cuál es la derivada 𝑑𝑦
𝑑𝑥, si 𝑦 = 𝑢3 + 5𝑢 y 𝑢 = 𝑥2 + 3𝑥?
a) (3𝑢2 + 5)(2𝑥 + 3) b) (𝑢3 + 5𝑢)(2𝑥 + 3) c) 3𝑢2(2𝑥 + 3) d) (3𝑢2 + 5)(𝑥2 + 3𝑥)
Solución:
Se utilizará la regla de la cadena:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢∗
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Donde:
𝑑𝑦
𝑑𝑢=
𝑑
𝑑𝑢(𝑢3 + 5𝑢) = 3𝑢2 + 5 ;
𝑑𝑢
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥(𝑥2 + 3𝑥) = 2𝑥 + 3
Entonces:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (3𝑢2 + 5)(2𝑥 + 3)
2.- ¿Qué derivada tiene la fórmula 𝑦 = sen 𝑥2?
a) 2𝑥 cos 𝑥2 b) 2 cos 𝑥2 c) cos 2𝑥 d) 𝑥 sen 2𝑥
Solución:
8
En la función se aplicará la regla de la cadena donde 𝑦 = sen 𝑢 y 𝑢 = 𝑥2:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢∗
𝑑𝑢
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑢(sen 𝑢) ∗
𝑑
𝑑𝑥(𝑥2) = cos 𝑢 ∗ 2𝑥 = 2𝑥 cos 𝑢
Y como 𝑢 = 𝑥2 el resultado queda de la siguiente manera:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 cos 𝑥2
16.4 Derivada de funciones implícitas.
Para derivar una función implícita se utiliza la siguiente fórmula:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝐹𝑥(𝑥, 𝑦)
𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) , con 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) ≠ 0
Donde:
𝐹𝑥(𝑥, 𝑦): derivada la función respecto de 𝑥
𝐹𝑦(𝑥, 𝑦): derivada la función respecto de 𝑦
Ejemplos:
1.- ¿Qué valor tendrá la derivada respecto de 𝑥 de 𝑥2 + 𝑦2 = 4 es:
a) −𝑥
𝑦 b) −
2𝑥
𝑦 c) −
𝑥
2𝑦 d)
𝑥
𝑦
Solución:
Se iguala la expresión con cero:
𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0
Se deriva la ecuación respecto de 𝑥 y se toma como constante 𝑦 para obtener 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦):
𝐹𝑥(𝑥, 𝑦) =𝑑
𝑑𝑥(𝑥2 + 𝑦2 − 4) = 2𝑥
Se deriva la ecuación respecto de 𝑦 y se toma como constante 𝑥 para obtener 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦):
𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) =𝑑
𝑑𝑥(𝑥2 + 𝑦2 − 4) = 2𝑦
9
Por último:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝐹𝑥(𝑥, 𝑦)
𝐹𝑦(𝑥, 𝑦)= −
2𝑥
2𝑦= −
𝑥
𝑦
2.- ¿Cuál será la derivada respecto de 𝑥 de 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 + 𝑦3 = 0?
a) 3𝑥2+6𝑥𝑦−𝑦2
3𝑥2−2𝑥𝑦+3𝑦2 b) −3𝑥2+6𝑥𝑦−𝑦2
3𝑥2−2𝑥𝑦+3𝑦2 c) 3𝑥2+6𝑥𝑦+𝑦2
3𝑥2−2𝑥𝑦−3𝑦2 d) 3𝑥2−2𝑥𝑦+3𝑦2
3𝑥2+6𝑥𝑦−𝑦2
Solución:
Se deriva la ecuación respecto de 𝑥 y se toma como constante 𝑦 para obtener 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦):
𝐹𝑥(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 𝑦2
Se deriva la ecuación respecto de 𝑦 y se toma como constante 𝑥 para obtener 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦):
𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦2
Por último:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝐹𝑥(𝑥, 𝑦)
𝐹𝑦(𝑥, 𝑦)= −
3𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 𝑦2
3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦2
16.5 Derivadas sucesivas de una función.
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces:
Primera derivada 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑦
𝑑𝑥
Segunda derivada 𝑦′′ = 𝑓′(𝑥) =𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
Tercera derivada 𝑦′′′ = 𝑓′(𝑥) =𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
… …
n-ésima derivada 𝑦𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥) =𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
Ejemplos:
10
1.- Si 𝑦 = 𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 7, 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 es:
a) 3𝑥2 + 8𝑥 − 5 b) 𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 7 c) 6𝑥 + 8 d) 6
Solución:
Se calcula la primera derivada:
Si 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 7 entonces,
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑥2 + 8𝑥 − 5
Para calcular la segunda derivada, se tiene que derivar la primera:
Si 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑥2 + 8𝑥 − 5 entonces,
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (3𝑥2 + 8𝑥 − 5) = 6𝑥 + 8
2.- ¿Cuál es la segunda derivada de 𝑓(𝑥), si la primera es 𝑓(𝑥) = cos 𝑥2?
a) −2𝑥 sen 𝑥2 b) −4𝑥2 sen 𝑥2 − 2 cos 𝑥2 c) −4𝑥2 cos 𝑥2 + 2 sen 𝑥2 d) −4𝑥2 cos 𝑥2 − 2 sen 𝑥2
Solución:
Se calcula la primera derivada:
𝑓(𝑥) = cos 𝑥2 → 𝑓′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥(cos 𝑥2) = −sen 𝑥2
𝑑
𝑑𝑥(𝑥2) = (−sen 𝑥2)(2𝑥) = −2𝑥 sen 𝑥2
Ahora se deriva la primera derivada para obtener la segunda derivada:
𝑓(𝑥) = −2𝑥 sen 𝑥2 → 𝑓′′(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥(−2𝑥 sen 𝑥2) = −2𝑥
𝑑
𝑑𝑥(sen 𝑥2) + sen 𝑥2
𝑑
𝑑𝑥(−2𝑥)
= −2𝑥(cos 𝑥2)𝑑
𝑑𝑥(𝑥2) + sen 𝑥2 (−2) = −2𝑥(cos 𝑥2)(2𝑥) + sen 𝑥2 (−2)
= 4𝑥2 cos 𝑥2 − 2 sen 𝑥2
16.6 Interpretación geométrica y física.
11
16.6.1 Interpretación geométrica.
La derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) evaluada en un punto de la curva es igual a la pendiente de la
recta tangente en ese punto.
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces la pendiente de la de
la recta tangente en el punto (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) es:
𝑚 = 𝑓′(𝑥1)
Ejemplos:
1.- La pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 en el punto (−1, −4) es:
a) 7 b) 3 c) −10 d) −4
Solución:
Calculamos la derivada de la función:
𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 → 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 + 5
La pendiente de la recta tangente es:
𝑚 =𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 + 5
Se determina en el punto (−1, −4) la derivada:
𝑚 = 2(−1) + 5 = −2 + 5 = 3
Y
X
𝑦 = 𝑓(𝑥)
(𝑥1, 𝑓(𝑥1))
Recta tangente
12
16.6.2 Interpretación física.
16.6.2.1 Velocidad instantánea.
Sea 𝑆 = 𝑓(𝑡) la función que describe la posición de una partícula con respecto al tiempo, la velocidad
instantánea de la partícula en el instante 𝑡 se define como:
𝑣 = 𝑓′(𝑡) ↔ 𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡
16.6.2.2 Aceleración instantánea.
Sea 𝑆 = 𝑓(𝑡) la función que describe la posición de una partícula con respecto al tiempo, la
aceleración de la partícula en el instante 𝑡 es:
𝑎 = 𝑓′(𝑡) ↔ 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑2s
𝑑𝑡2
Ejemplos:
1.- La posición de una partícula está dada por 𝑆 = 𝑡3 − 4𝑡2 + 5𝑡, donde 𝑆 está en metros y 𝑡 en
segundos, ¿cuál es la velocidad instantánea a los 3 segundos?
a) 6m
s b) 8
m
s c) 4
m
s d) 5
m
s
Solución:
Para obtener la función velocidad, se tiene que derivar la función desplazamiento:
𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡(𝑡3 − 4𝑡2 + 5𝑡) = 3𝑡2 − 8𝑡 + 5
Se determina 𝑡 = 3 s en la derivada:
𝑣 = 3(3)2 − 8(3) + 5 = 3(9) − 24 + 5 = 8m
s
2.- Una partícula se mueve de acuerdo con la función 𝑆 = 2𝑡3 − 𝑡2 − 3 donde 𝑆 está dada en metros
y 𝑡 en segundos, ¿cuál es la aceleración instantánea en 2 segundos?
13
a) 9m
s2 b) 20m
s2 c) 22m
s2 d) 24m
s2
Solución:
Con la función 𝑆 = 2𝑡3 − 𝑡2 − 3 se saca la segunda derivada:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 6𝑡2 − 2𝑡 → 𝑎 =
𝑑2s
𝑑𝑡2= 12𝑡 − 2
Se determina 𝑡 = 2 s en la segunda derivada:
𝑎 = 12(2) − 2 = 24 − 2 = 22m
s2
16.7 Ecuaciones de la tangente y la normal a una curva.
La ecuación de la recta tangente en el punto (𝑥1, 𝑦1) es:
𝑦 − 𝑦1 =𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑥 − 𝑥1)
La ecuación de la recta normal en el punto (𝑥1, 𝑦1) es:
𝑦 − 𝑦1 = −1
𝑑𝑦𝑑𝑥
(𝑥 − 𝑥1)
Donde:
𝑇: recta tangente
𝑁: recta normal
Ejemplo:
En el punto (1, 4), ¿Cuáles son las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥?
Y
X
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑃(𝑥1, 𝑦1)
T N
14
a) 5𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ; 𝑥 + 5𝑦 − 21 = 0 b) 5𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 ; 𝑥 − 5𝑦 + 21 = 0
c) 5𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 ; 𝑥 − 5𝑦 − 21 = 0 d) −5𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 ; −𝑥 + 5𝑦 − 21 = 0
Solución:
Se calcula la derivada de la función 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 + 3
Se determina la derivada en el punto (1, 4):
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
En el punto (1, 4), la ecuación de la recta tangente es:
𝑦 − 𝑦1 =𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑥 − 𝑥1) → 𝑦 − 4 = 5(𝑥 − 1) →
𝑦 − 4 = 5𝑥 − 5
5𝑥 − 𝑦 − 5 + 4 = 0
5𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
En el punto (1, 4), la ecuación de la recta normal es:
𝑦 − 𝑦1 = −1
𝑑𝑦𝑑𝑥
(𝑥 − 𝑥1) → 𝑦 − 4 = −1
5(𝑥 − 1) →
5(𝑦 − 4) = −1(𝑥 − 1)
5𝑦 − 20 = −𝑥 + 1
𝑥 + 5𝑦 − 20 − 1 = 0
𝑥 + 5𝑦 − 21 = 0
16.8 Máximos y mínimos relativos de una función.
16.8.1 Criterio de la primera derivada.
1) La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un punto máximo en
(𝑥0, 𝑦0) si 𝑓′(𝑥0) = 0, la derivada es positiva
antes del punto y la derivada es negativa
después del punto.
2) La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un punto mínimo en
(𝑥0, 𝑦0) si 𝑓′(𝑥0) = 0, la derivada es negativa
antes del punto y la derivada es positiva
después del punto.
15
16.8.1.1 Intervalos donde crece y decrece una función.
1) La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es creciente en el intervalo
(𝑎, 𝑏), si 𝑓′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
2) La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es decreciente en el intervalo
(𝑎, 𝑏), si 𝑓′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
Ejemplos:
1.- El punto mínimo de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 es:
a) (−2, 17) b) (2, 1) c) (−2, 1) d) (2, 5)
Solución:
1. Se obtiene la derivada de la función:
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 4
2. Se iguala la derivada a cero y se resuelve la ecuación:
2𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = 2
Y
X
𝑓′(𝑥) > 0
𝑃(𝑥0, 𝑦0)
𝑦0
𝑥0
𝑓′(𝑥) < 0
Y
X
𝑓′(𝑥) > 0
𝑃(𝑥0, 𝑦0)
𝑦0
𝑥0
𝑓′(𝑥) < 0
Y
X
𝑓′(𝑥) > 0
𝑓(𝑥)
a b x
Y
X
𝑓′(𝑥) < 0 𝑓(𝑥)
a x b
16
3. La derivada se analiza para los valores de 𝑥 antes y después de 𝑥 = 2:
Si 𝑥 = 1 Si 𝑥 = 3
𝑓′(1) = 2(1) − 4 = 2 − 4 = 2 𝑓′(3) = 2(3) − 4 = 6 − 4 = 2
La derivada antes de 𝑥 = 2 es negativa y es positiva después de 𝑥 = 2, así que la función tiene un
mínimo para 𝑥 = 2.
4. Al sustituir 𝑥 = 2 la ordenada en la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 5, se obtiene la ordenada:
𝑓(2) = (2)2 − 4(2) + 5 = 4 − 8 + 5 = 9 − 8 = 1
Se genera el punto (2, 1) que es un mínimo.
2.- ¿En qué intervalo es creciente la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 27𝑥?
a) (−3, 3) b) (−∞, −3] ∪ [3, ∞) c) (−∞, 3) ∪ (3, ∞) d) [−3, 3]
Solución:
1. Se obtiene la derivada de la función 𝑓(𝑥):
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 27
2. Se iguala la deriva a cero y después se obtienen las abscisas de los puntos críticos resolviendo la
ecuación:
3𝑥2 − 27 = 0 → 3𝑥2 − 27 → 𝑥2 = 9
𝑥 = 3, 𝑥 = −3
3. Los resultados se representan en la recta numérica y se evalúan los intervalos para definir en
cuál de ellos es creciente la función, asignando valore que pertenezcan a cada intervalo.
−∞
−4
∞
4 1
3 −3
17
▪ Para el intervalo (−∞, −3), se escoge 𝑥 = −4, 𝑓′(−4) = 3(−4)2 − 27 = 48 − 27 = 21.
▪ Para el intervalo (−3, 3), se escoge 𝑥 = 1, 𝑓′(1) = 3(1)2 − 27 = 3 − 27 = −24.
▪ Para el intervalo (3, ∞), se elige 𝑥 = 4, 𝑓′(4) = 3(4)2 − 27 = 48 − 27 = 21.
4. La solución está en aquellos intervalos en los que la derivada es positiva:
(−∞, −3) ∪ (3, ∞)
16.8.2 Criterio de la segunda derivada.
▪ La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un mínimo en el punto (𝑥0, 𝑦0) si 𝑓′(𝑥0) = 0 y 𝑓′′(𝑥0) > 0.
▪ La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un máximo en el punto (𝑥0, 𝑦0) si 𝑓′(𝑥0) = 0 y 𝑓′′(𝑥0) < 0.
Ejemplo:
¿Cuáles son los puntos máximos y mínimos de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 1?
a) (−2, 19) 𝑦 (1, −12) b) (−2, −19) 𝑦 (1, 8) c) (2, −19) 𝑦 (−1, 8) d) (2, 19) 𝑦 (1, −8)
Solución:
1. Se calcula la derivada de la función y para obtener los puntos críticos se iguala a cero:
𝑓(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 − 12 → 6𝑥2 − 6𝑥 − 12 = 0 → 𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0
𝑥 = 2, 𝑥 = −1
2. Se calcula la segunda derivada:
𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 6
En los puntos críticos 𝑥 = 2 y 𝑥 = −1 se evalúa la segunda derivada:
▪ Si 𝑥 = 2, 𝑓′′(2) = 12(2) − 6 = 24 − 6 = 18 > 0, entonces la función tiene un mínimo en
𝑥 = 2.
▪ Si 𝑥 = −1, 𝑓′′(−1) = 12(−1) − 6 = −18 < 0, entonces la función tiene un máximo en
𝑥 = −1.
3. Al sustituir en la función original los valores de 𝑥 = 2 y 𝑥 = −1:
18
▪ Si 𝑥 = 2, 𝑓(2) = 2(2)3 − 3(2)2 − 12(2) + 1 = 16 − 12 − 24 + 1 = 17 − 36 = 19, se
crea el punto mínimo (2, −19).
▪ Si 𝑥 = −1, 𝑓(2) = 2(−1)3 − 3(−1)2 − 12(−1) + 1 = −2 − 3 + 12 + 1 = 13 − 5 = 8,
se crea el punto máximo (−1, 8).
16.8.2.1 Punto de inflexión y concavidad de una función.
La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un punto de inflexión en el punto (𝑐, 𝑓(𝑐)) si 𝑓′′(𝑐) = 0 y existe cambio
de concavidad.
Concavidad:
▪ Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo (𝑎, 𝑏) si para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),
𝑓′′(𝑥) > 0.
▪ Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo (𝑎, 𝑏) si para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),
𝑓′′(𝑥) < 0.
Ejemplo:
¿Cuál es punto de inflexión de la función y = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥?
a) (2, 0) b) (1, 4) c) (3, 0) d) (2, 2)
Solución:
1. En la función y = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥, se calcula la segunda derivada:
𝑦′ = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 → 𝑦′′ = 6𝑥 − 12
Y
X
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥 = 𝑐
19
2. Se iguala la segunda derivada a cero y se resuelve la ecuación:
6𝑥 − 12 → 𝑥 = 2
3. Se evalúa la segunda derivada para los valores de 𝑥 antes y después de 𝑥 = 2:
Si 𝑥 = 1 Si 𝑥 = 3
𝑓′′(1) = 6(1) − 12 = 6 − 12 = −6 𝑓′′(3) = 6(3) − 12 = 18 − 12 = 6
Se modifico la segunda derivada de negativa a positiva, teniendo la función un punto de inflexión en
𝑥 = 2.
4. La ordenada de 𝑥 = 2 se obtiene en la función original:
𝑓(2) = (2)3 − 6(2)2 + 9(2) = 8 − 24 + 18 = 26 − 24 = 2
En conclusión, el punto de inflexión tiene las coordenadas (2, 2).