7/17/2019 Unidad 3 Vibración Libre Con Amortiguamiento

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Unidad 3

Vibración libre con amortiguamiento

 

m ´ x+e ´ x+kx=0…(1)

La solución de la ecuación número (1) no puede obtenerse tan fácil como la

ecuación para vibración simple sin amortiguamiento pero podemos hacer una

consideración de la siguiente función:

 x=est 

En donde s es igual a una constante y t igual a tiempo. erivando esta función con

respecto al tiempo! y sustituyendo su valor en la ecuación (1) tenemos lo

siguiente:

m ´ x+e ´ x+kx=0…(1)

 x=est 

´ x=sest 

´ x=s2 est 

ms2est +es est +k est =0

(ms2+es+k )est =0… (2 )

"i la ecuación número # se satisface la consideración $ue se ha hecho de la

función  x=est 

 es una solución correcta y por lo tanto

ms2+es+k =0

k  e

m x

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s=−e±√ e2−4mk 

2m

s1,2=−e2m ±√(

  e2m )

2

− k m … (3 )

En donde es1 t  y e

s2 t 

 son las soluciones. La solución más general la obtenemos con la

siguiente expresión

 x=c1es1 t +c2e

s2 t … (4 )

En dondeC 1 y C 2  son constantes arbitrarias.

Al aclarar el significado físico de esta ecuación debemos distinguir dos casos depende de

las expresiones de “S” en la ecuación 3 ya sean reales o compleas.

!uando (   e2m )2

 sea mayor "uek m

(   e2m )2

> k m

La expresión dentro del radical es positi#a siendo por lo tanto reales los #alores de “s” más

sin embargo ambos son negati#os puesto "ue la raí$ cuadrada es menor "ue el t%rmino

e2m .

Así la ecuación n&mero ' describe una solución "ue consiste en la suma de dos cur#as

exponenciales decrecientes como se muestra en la figura.

es1

es2 t 

(o#imiento de un sistema con un

solo grado de libertad con

amortiguamiento mayor "ue el

amortiguamiento crítico (C C )

Amortiguamiento crítico

ec=2mwn

¿2m√ k m

1 2

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Se )a dibuado la línea punteada en la figura "ue nos muestra "ue el mo#imiento no es una

#ibración sino más bien un lento regreso a la posición de e"uilibrio. Esto se debe a "ue

cuando

(   e2m )2

> k m

El amortiguamiento ! es sumamente grande.

*ara #alores menores de ! "ue concurren a los casos prácticos la ecuación n&mero 3 de

#alores compleos paraS1 al amortiguamiento ! en el "ue ocurre esta transición se le

llama amortiguamiento crítico.

(   e2m )2

− k m=0=¿(   e2m )

2

= k m y k m=wn

2

(  ec2m )2

=wn2

(ec )2=4m

2wn2

ec=2mwn

ec=2m√  k m … (5 )

En el caso en "ue el amortiguamiento sea menor+ la ecuación n&mero 3 se puede escribir

como sigue,

s1,2=−e2m ±i √

 k m−(   e2m )

2

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si q=√ k m−(   e2m )

2

s1,2=−e2m ±i q  de donde i=√ −1

Aun"ue el radical resulta a)ora un n&mero real+ los dos #alores de S contienen a i y como

consecuencia la ecuación ' contiene t%rminos de la forma,

ei∝ t 

!on la ayuda de la siguiente ecuación y la solución de la ecuación numero ' tenemos lo

siguiente,

ei∝=cos∝+i sin∝

 x1=C 1es1 t +C 2e

s2 t 

 x=C 1e(−e2m ±iq )t +C 2 e

(−e2m ±iq )t =C 1 e−e2m eiqt +C 2e

−e2m e

−iqt 

 x=e−e2m [C 

1eiqt +C 

2e−iqt ]

¿e

−e

2m

[C 1 (cos qt +i sinqt )+C 2 (cos qt −isinqt ) ]

¿e−e2m [ (C 1+C 2 )cosqt +(C 1−C 2) isinqt ]

!omoC 1 yC 2  son constantes arbitrarias,

(C 1+C 2 ) y (iC 1−iC 2)

(C 1+C 2 )=C i y (iC 1−i C 2 )=C i

-ambi%n serán arbitrarias.

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 x=e−e2m

 t 

(C 1cosqt +C 

2sinqt ) …(7 )

q=√ k 

m−(   e2m )

2

  recuencia natural amortiguada

ec=2mwn∴2m= ecwn

 

q=√ k m−(  eecwn

)2

q=

√ k 

m−(  e

ec

√ k m )2

q=√ k m−(  eec )

2

( k m )

q=√ k m [1−( eec )2

]

q=√ k m √1−( eec )2

q=w n

√

1−

(

 e

ec

)

2

Esta es la solución para un amortiguamiento menor "ue el amortiguamiento crítico (C c)

y consta de dos factores,

actor de amortiguamiento

ζ = eec  

q=√ 1−ζ 2 (wn )  

qwn

=√ 1−ζ 2

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/.0 1na exponencial decreciente.

2.0 1na onda senoidal.

El resultado combinado es una onda senoidal amortiguada descansando en el espacio entre

la cur#a exponencial y su imagen refleada.

!uando más pe"uea sea la constante de amortiguamiento 4!4 más aplastada resultara la

cur#a exponencial+ y por lo tanto más ciclos se re"uerirán para "ue se des#ane$can las

#ibraciones.

La relación de este des#anecimiento puede calcularse considerando dos máximos

consecuti#os cuales"uiera de la cur#a, ya sea de 4A4 a 454+ 454 a 4!4+ etc.

6urante el inter#alo de tiempo entre los dos máximos es decir+ entre,

2 π q  seg=T 

La amplitud de #ibración disminuye de,

e−e2m

 t 

a e−e2m (t + 2π 

q )

e−e2m (t + 2π 

q )=e−e2m

 t 

=e−2πe2mq

Esta &ltima expresión es igual a la primera multiplicada por un factor constante.

e−πcmq <1=e−δ =e−δ ∗wnt 

 xn

7ibración libre de un sistema

amortiguado menor "ue el

amortiguamiento critico (C c)

1   xn+1

3π π 

4 π 2π 

−1

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La relación entre dos máximos consecuti#os es constante las amplitudes decrecen en formageom%trica.

7amos "ue si “  xn ” es la en%sima amplitud máxima de #ibración+ “

  xn+1 ” será la

siguiente máxima y entonces tenemos,

 xn+1= xn e

−πe

mq=e−δ =e−ζ ∗wn t 

8 tambi%n

loge (   xn xn+1 )= πc

mq=δ 

 6ecremento logarítmico

*ara pe"ueos amortiguamientos tenemos,

δ = πe

mq=

2 π   e

ec

√1−( eec)2   si

eec→0=¿

δ =2πeec

=2 π ζ   tambien

 xn+1

 xn

=e−ζ =(1−ζ  )

 xn− xn+1 xn

=ζ   9:a$ón de declinación;

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Ejemplo 1

Se proporciona los siguientes datos para un sistema vibratorio con

amortiguamiento viscoso: =10 lb, k= 30 lib * plg, c=0.12 lb/plg/seg.

Determine el decremento logartmico ! la ra"#n de cual$uiera de dos

amplitudes consecutivas

Datos

%=10 lb

%=30 lb/pulg/seg

&=0.12 lb/pulg/seg

ωn=√ k m=34.3 rad /seg

m=wg=0.025   lb plg/seg2

Amortiguamiento critico

Cc=2mωn

Cc=2 (0.025 ) (34.3 )=1.76  lb plg/seg

Factor de amortiguamiento

ζ =  cCc

 =0.12

1.76=0.068

Decremento logarítmico

' = 2( ζ 

' = 2( ) 0.0+

' = 0.-2

la razón de dos amplitudes consecutivas

 xn+1

 xn  = e – 

 = !"#$%

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n sistema vibrante $ue consta de 2.2 kg de masa ! un resorte con

rigide" de 1. /m es amortiguado viscosamente de modo $ue la ra"#n

de dos amplitudes consecutivas es 1 0.+. ncuentre:

a   ωnamortiguada

b   δdecrementologaritmico

c   ζ actor de amortiguamiento

d   coeiciente deamortiguacion

ωn=√ k m=√17.5 ! /m2.267 kg

 =27.78 rad /seg

 x1

 xn+1=¿ ln  1

0.98=0.0202

δ =ln ¿

q=ωn√ 1−ζ 2=¿

q=27.78 rad /seg√ 1−(0.00032 )2=27.779radseg

δ =2π ζ ∴ζ =  δ 2π  =

0.0202

2 π    =0.0032

ζ = C 

Cc∴C =ζ ∗Cc

Cc=2mωn=2(2.267kg)(27.78 radseg

)

Cc=125.954

  ! 

m / seg

C =(0.0032 ) (125.954 )=0.4030  &'m'seg

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Ejemplo

4ara calibrar un amortiguador, la velocidad del piston 5ue medida

cuando se le aplica una 5uer"a dada. Si un peso de 0. lb produce una

velocidad constante de 1.20 plg/seg, determine el 5actor de

amortiguaci#n cuando se tiene una masa de 0.0kg ! una rigide" de

/cm

&'.1*

  6 = 1.# pulg+seg ., lb (

1kg2.21 lb )' .##-g

  m' ./- g0.0254m1 pulg   ' .0 m+s

  ' - 2+m

  ζ   ' 3

 4' " ´ x

4'0.227kg

0.03048m / s  '-.,, g+m+s

7n'# k m  '

# 0.07 ! /m0.907kg  ' #-.- rad+seg

4c' #m7n ' #(./-g) (#-.- rad+seg)

4c',./ g+m+seg

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ζ  ' 

7.55 $% & 

  /S'%

50.39 $% / & /S'%' .10/

n sistema vibrante tiene las siguientes constantes m= 1.kg, k=0

/cm, & = 0.0 /cm/seg. Determine

a 8actor de amortiguaci#nb 8recuencia natural de oscilaci#nc Decremento logartmicod 9a ra"#n de 2 amplitudes consecutivas cuales$uira

5'- 2+cm ' - 2+m

4'.- 2+cm+seg' -2+m+seg

ζ  '3 7n'

# k m  ' *.# rad+seg

$'3

'' 3 4c'#m7n

 xn+1

 xn '3 4c'#(1-.,g) ( *.#rad+seg)

  4c'##1.#g+seg

a   ζ   'C C  2

ζ   '70 ! m / seg

221.2kg /seg' .1*

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b $' √ 1−(0.36)2(6.32 radseg

) ' ,.// rad+seg

c '' #6  ζ 

  '' #6 ( .1*)'1./,0

d xn+1

 xn  ' e−ɤ 

 ' e−1.9854

 ' .1-

Ejemplo

(uc)os dispositi#os están pro#istos de un aparato de amortiguación #iscosa y austable. En

uno de tales dispositi#os la relación entre amplitudes sucesi#as es /< a /. Si se duplica la

cantidad de amortiguación se pregunta cuál será entonces la relación de amplitudes

sucesi#as.

 xn+1 xn

=e−δ 

ln

( xn+1 xn )=−δ 

−ln (10 )=δ =2.302

δ =2πζ 

ζ =  δ 2 π 

ζ =0.3664 (2δ =1.4656

δ =2π (1.4656)

δ =4.6043

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 xn+1 xn

=e−4.6043

 xn+1 xn

=100

Ejemplo

6etermine para las #ibraciones libres de un sistema la constante de amortiguación #iscosa

del mismo. Se conoce la siguiente información

!onstante del resorte = >?@m

(asa /<>g

Amplitud de /er ciclo 'mm

Amplitud de 2do ciclo '=mm

Amplitud de 3er ciclo 3 mm

Amplitud de 'to ciclo 2Bmm

!CD

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4c'#m  #

 k m '#(1)

# 8 k!  /m10kg ' ,*-.* 2+m+seg

 xn xn+1 ' (* mm+ #-mm)'1. ln .1'.#''

ζ   'ɤ 

2 ) ' .00 ζ   ' C Cc  ' 4 ' ζ  4c

4 ' #0. 2+m+seg

1n oscilador armónico amortiguado tiene una masa m igual a /.2 g constante

amortiguamiento !C /2 ?s@m y constante rigide$ >C<.F ?Gm. Encuentre,

a; recuencia natural amortiguamiento

 b; El factor de amortiguamientoc; La ra$ón de amplitudes consecuti#as cuales"uiera

6atos

mC/.2 g

cC /2 ?@m

C <.F ?Gm

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wn=√ k m=20.41rad

seg

Cc=2m

√ k m=2 (1.2kg )

√0.5

 k! 

m1.2kg  =48.98 kgs

C Cc¿¿¿2¿

1−( C Cc

)2

¿12

1.54¿¿

1−¿0.5

1.2¿

1−¿q=ωn √ ¿

 

C 2m¿¿¿2¿12

2(1.2)¿¿¿2k 

m

−¿

q=√ ¿

ζ = C Cc

 =  12

48.98=0.244

9

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δ =2πζ =2π (0.2449 )=1.538 7

 xn+1 xn

=e−1.5387

 xn+1

 xn =0.2146

Ejemplo

1na ma"uina tiene soportes con rigide$ CF.Fx/<' ?@my tiene una frecuencia natural

amortiguada igual a 2FF rad@seg desde el decremento logarítmico medido y encontrando

"ue el factor de amortiguamiento es <./=.Si la ma"uina fundamentada es moderada como

sistema de #ibración libre para #ibración #ertical. Encuentre,

a; (asa de la ma"uina b; (o#imiento resultante desde /mm de despla$amiento inicial y /3<mm@seg de

#elocidad inicial en la dirección #ertical

6atos

F.Fx/<

'

 ?@m

  q=255 rad /seg

ζ =0.18

q=√ 1−ζ 2 (ωn )

ωn=  q

√ 1−ζ 2=

255 rad /seg

√ 1−(0.18)

2  

ωn=259.23 rad/seg

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ωn=√ k m  

ωn2=

 k 

m∴m=

 k 

ωn

2=

5.5 x 104 ! /m

(259.23 rad

seg)2 =0.818kg

 

 xo=1 * 10−3m

´ x=0.13m /seg

 x=0.13  m

seg

259.23rad

seg

sen(259.23 radseg )(0 )+1 x10−3cos (259.23 radseg )t 

( = 1(1!)*m