UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior I:Tema 7 (cont.)

Rafael Salas enero 2005

La adopción de riesgo...

• Elección con incertidumbre y la toma de riesgo:

• Modelización de la demanda de seguros

• Modelo de inversión en cartera

Demanda de seguros

• Un consumidor posee inicialmente la dotación de un activo con riego

• Valor de la riqueza ex-ante es W• Existe el riesgo de obtener una pérdida de L

• Si la pérdida se produce, la riqueza es W – L

• El consumidor puede comprar una póliza de seguros contra el riesgo de esa pérdida L (aseguramiento total)

• El coste del seguro es K

• En ambos estados la riqueza ex-post es W – K

• Si se produce la pérdida, además recibe L de la compañía

Aseguramiento total

.

Cons

NA

ATU(W-K)

U(W-K)

UE(AT) = U(W-K)

U(W)

U(W-L)

UE(NA) = (1-p)U(W)+pU(W-L)

NI

I

1-p

p

NI1-p

I

p

Decisiones: AT, aseguramiento total (por la pérdida de L y paga K) y NA, no aseguramientoEstados: NI, no incendio e I, incendio (se produce la pérdida), con probabilidades 1-p y p, respectivamente

Aseguramineto parcial

• El consumidor puede comprar una póliza de seguros por una cuantía X [0 , L]

• El coste del seguro es kX. Si aseguramiento total: kL=K

• En ambos estados la riqueza ex-post es W – kX

• Si se produce la pérdida, además recibe X de la compañía

Aseguramiento parcial

.

Cons

NI

AP

U(W-kX)

U(W-L-kX+X)

UE(AP) = (1-p)U(W-kX)+pU(W-L+(1-k)X)

I

1-p

p

Decisiones: AP, aseguramiento parcial (por X y paga kX) Nótese que AP es más general que la anterior: AP = AT si X=L AP = NA si X=0

Gráficamente

xI

xNI

AT W -K

W -K

Dotación W Aseguramiento total en AT

Improbable que se sitúe por aquí

Improbable que se sitúe por aquí

Improbable que se sitúe por aquí

Improbable que se sitúe por aquí NAW - L

W

K

L-KAPAP

xI

xNI

AT W -kL

W -kL

Dotación W Aseguramiento total en AT

NAW - L

W

kL

L-kLAPAP

Pendiente en VA (1-k)/k

Pendiente en VA (1-k)/k

Aseguramiento parcial entre AT y NA

Gráficamente

xI

xNI

AT W -kL

W -kL

NAW - L

W

Aseguramiento parcial

Aseguramiento parcial

Pendiente en VA (1-k)/k

Pendiente en VA (1-k)/k

Aseguramiento parcial en P

P

W -kX

W -kX-L+X

Aseguramiento total en AT si X=L Aseguramiento nulo en NA si X=0

Gráficamente

Aseguramiento parcial óptimo

.

Max UE(AP) = pU(W-kX)+(1-p)U(W-L+(1-k)X) X

Solución de primer orden de tangencia:

(1-p)U’(W-kX)/pU’(W-L+(1-k)X)=(1-k)/k

Solución:

.

Solución de AT (X=L) si y sólo si:

p = k (juego justo: cuando la prima es igual a las probabilidades o cuando el beneficio esperado es cero)

Solución de AP (X<L) si y sólo si:

p < k (cuando la prima es mayor que las probabilidades o cuando el beneficio esperado es positivo)

xI

xNI

AT W -kL

W -kL

Aseguramiento total en AT

NAW - L

W

kL

L-kLAPAP

Pendiente en VA (1-k)/k=(1-p)/p

Pendiente en VA (1-k)/k=(1-p)/p

Aseguramiento parcial entre AT y NA

Solución AT (caso k=p)

xI

xNI

AT W -kX-L+X

W -kX

Aseguramiento total en AT

NAW - L

W

kX

L-kX Pendiente en VA (1-k)/k < (1-p)/p

Pendiente en VA (1-k)/k < (1-p)/p

Aseguramiento parcial entre AT y NA

Solución AP (caso k>p)

AP

Práctica (1):

(1) En el mercado de seguros de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos conductores (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con probabilidad 0,9) y los malos conductores (que causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de reparación de vehículos involucrados en los accidentes (en media) es de 200.000 ptas. La proporción de buenos y malos conductores es de 2 a 1. La utilidad de los conductores, que maximizan la utilidad esperada, es igual a U(W)=W1/2 y sus riquezas iniciales son de 500.000 ptas.

(a)Calcula la cuota mínima que las compañías de seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo que son neutrales con respecto al riesgo y que no pueden distinguir entre los dos tipos de conductores.

(b)¿Qué tipo de conductores subscribiría una póliza de seguros a la cuota del apartado (a)?¿Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo de conductor está dispuesto a pagar? Represente los árboles de decisión.

(c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo, suponiendo que las compañías ofrecen seguros a las cuotas mínimas (y no hay gastos administrativos ni otros gastos extras) y conocen qué tipo de conductores contratan las pólizas, aunque no puedan distinguir entre los dos tipos de conductores. ¿Qué tipo de conductores contratarán pólizas en equilibrio?¿Y si pudieran distinguir entre los dos tipos?

Práctica (1)

.

B. C.

NA

ATU(500.000-K)

U(500.000-K)

UE(AT) = U(500.000-K)

U(500.000)

U(300.000)

UE(NA) = 0,9U(500.000)+0,1U(300.000)

NAcc

Acc

0,9

0,1

NAcc0,9

Acc

0,1

KB=22286,3 cuota máxima por asegurarse totalmente

Práctica (1)

.

M. C.

NA

ATU(500.000-K)

U(500.000-K)

UE(AT) = U(500.000-K)

U(500.000)

U(300.000)

UE(NA) = 0,8U(500.000)+0,2U(300.000)

NAcc

Acc

0,8

0,2

NAcc0,8

Acc

0,2

KM=44064,5 cuota máxima por asegurarse totalmente

Por su parte, las compañías aseguraran a los conductores con una Kmin=26666,6

xAcc

xNAcc 455.935,5

Aseguramiento total en AT

300.000

500.000

KM = 44064,5

Aseguramiento parcial entre AT y NA

¿Quién contrata?

ATM

NA

477.713,7

KB = 22286,3

ATB

UEB

UEM

EB=0

Kmin = 26666,6

xAcc

xNAcc 455.935,5

Aseguramiento total en AT

300.000

500.000

KM = 44064,5

Aseguramiento parcial entre AT y NA

Solución: sólo malos conductores

ATM

NA

UEM

Kmin = 40000

EBM =0

Práctica (2):

(2) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/3.

(a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable?(b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

Práctica (2): pista

.

Cons

AR

ASU(W(1+rs))

UE(AS) = U(W(1+rs))

U(W(1+rB))

U(W(1+rM))

UE(AR) = (1-p)U(W(1+rB)) + pU(W(1+rM))

B1-p

M

p

Decisiones: AS, activo seguro (rend. rs=0,1) y AR, activo con riesgo (rend. rB=0,2 y rM=0,05)Estados: B, bueno y M, malo, con probabilidades 1-p=0,5 y p=0,5, respectivamente

Práctica (2): solución

Cons

AR

ASU(110)

UE(AS) = 4,74

U(120)

U(105)

UE(AR) = 0,5*4,93 + 0,5*4,72=4,825

B0,5

M

0,5

Invertirá en el activo con riesgo AREC=4,8253=112,33; Ex=112,5PR=0,166

(b) No, pues UE=4,8089

Práctica (2): diversificación óptima

.

ConsDiv

U(W(1+rS)+X(rB- rS))U(W+XrB+(W-X)rS)B0,5

M

0,5

(b) Max UE(Div)=0,5*(110+0,1X)1/3+0,5*(110-0,05X)1/3

X[0,100]

δ UE(Div)/ δ X=0 X*=833 X*=100(Todo en AR)

U(W+XrM+(W-X)rS) U(W(1+rS)+X(rM- rS))

xM

xB 112,33

Aseguramiento total en AT

105

120

Aseguramiento parcial entre AT y NA

Solución gráfica:

UEAR

EX

112,5 110

AR

AS

Práctica (3):

(3) Un consumidor con una riqueza inicial de W=450 se enfrenta a la posibilidad de perder 400 u.m. con una probabilidad de 1/3. Una compañía de seguros le ofrece la posibilidad de asegurarse y le ofrece un contrato por el cual el individuo abona hoy la cantidad kX y en el caso de que se produzca la pérdida, la compañía le abona X. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/2.

(a) Calcule la cantidad de seguro X que contratará si k=1/2 y el beneficio de la empresa aseguradora. (b) La cuota mínima kmin que la compañía estaría dispuesta a cobrar.(c ) La cuota máxima kmax que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse totalmente (si las únicas alternativas fueran asegurarse totalmente o no asegurarse).(d) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, ¿ el individuo se aseguraría parcialmente a la kmax calculada en ( c)?(e) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, calcule la cuota máxima kmax que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse algo parcialmente (por encima de la cual no se asegura ni parcialmente).

xI

xNI

AT W -kX-L+X

W -kX

Aseguramiento total en AT

NAW - L

W

kX

L-kX

Aseguramiento parcial entre AT y NA

Pista práctica (3 a y b)

AP

Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1

Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1

Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2

Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2

EW

Solución (3a y b): AP óptimo

.

ConsAP

(450-0,5X)1/2U(W-kX)NI2/3

I

1/3

(b) Es kmin tal que(1-kmin)/kmin=2 kmin=1/3

U(W-L-kX+X) (50+0,5X)1/2

(a) Max UE(AP)=2/3*(450-0,5X)1/2+1/3*(50+0,5X)1/2

X[0,400]

δ UE(AP)/ δ X=0 X*=100 (Aseguramos la cuarta parte de la pérdida)

xI

xNI

AT

Aseguramiento total en AT

NAW - L

W

Aseguramiento parcial entre AT y NA

Pista práctica (3 c y d)

AP

Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1

Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1

Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2

Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2

AT

Pendiente kmax en (c) en VA: (1-kmax)/kmax

Pendiente kmax en (c) en VA: (1-kmax)/kmax

EW

Solución (3c y d):

.

(c) Es kmax tal que(1-kmax)/kmax= tg α =(y donde kmax=0,44

Otra forma Kmax (mayúsculas)=450-272,77=177,77

kmax=177,77/400=0,44

(d) Obviamente si, véase el gráfico anterior

xI

xNI

AT

Aseguramiento total en AT

NAW - L

W

Aseguramiento parcial entre AT y NA

Pista práctica (3 e)

AP

Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1

Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1

Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2

Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2

AT

Pendiente kmax en (e) en VA: (1-kmax)/kmax

Pendiente kmax en (e) en VA: (1-kmax)/kmax

EW

Solución (3e):

.

(e) Es kmax tal que(1-kmax)/kmax= tg = pendiente de UE en NA

tg =

kmax=0,6

32

)50(2/1

)450(2/13/23/1

2/1

2/1

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Rafael Salas enero 2005