Post on 08-Feb-2018
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 8: EJEMPLOS SOBRE ESTÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO
Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Temas
Recordar el protocolo a seguir para realizar un análisis mecánico de un sistema
Ejemplos.
Recordar el protocolo a seguir para realizar un análisis mecánico de un sistema
Para realizar el estudio del movimiento de un cuerpo (o conjunto de cuerpos) se recomienda seguir el
siguiente protocolo:
1. Hacer una representación clara y simple (es decir, muy esquemática) de la escena física.
2. Definir el marco de referencia inercial.
3. Definir los ejes coordenados con su respectivo origen y orientación.
4. Elegir el sistema mecánico (o sistemas mecánicos) que se analizarán.
5. Dibujar aparte los diagramas de fuerza del sistema mecánico (o sistemas mecánicos) que se analizan: se
debe tener mucho cuidado en representar solo las fuerzas externas que actúan sobre el sistema
mecánico.
6. Aplicar las leyes de Newton en los ejes y direcciones elegidos.
7. Resolver algebraicamente las ecuaciones.
8. Encontrar las soluciones numéricas con sus unidades.
9. Analizar la coherencia del resultado.
Ejemplos
Ejemplo 1
Un cuerpo de peso W descansa en una barra AB según la Figura 1. El cable que conecta W con B pasa sobre
poleas ideales. Si la barra AB se considera de peso despreciable, demostrar que la reacción en A es,
L-aR= W
L+a
2
Figura 1
Solución:
1. Representación de la escena física, Figura 1.
2. Marco de referencia inercial: el piso.
3. Ejes coordenados elegidos: como se tiene el cuerpo en reposo, la elección del origen de los ejes no
tiene mucha importancia (cualquiera es igual); por esto para no recargar la Figura 2, se dibujará los
ejes, por ejemplo, a un lado y fijo al piso. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja.
Figura 2
4. Sistema mecánico (S): el cuerpo con la barra, Figura 3 (encerrado en cuadro de línea punteada).
Figura 3
3
5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 4. La fuerza W es el peso del cuerpo (fuerza de
atracción gravitacional que ejerce el planeta Tierra sobre el cuerpo: recordar que a la barra se le está
despreciando el peso), R fuerza vertical que ejerce el pasador sobre la barra: en general un pasador
liso aportaría también una fuerza horizontal, pero en este caso se observa que sería cero debido a la
distribución del resto de fuerzas: todas son verticales), T es la tensión en la cuerda (en forma más
precisa la reacción a ésta: recordar adicionalmente que al ser las cuerdas y las poleas ideales la tensión
se transmite íntegramente a todas las secciones de cuerda).
Figura 4
6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido.
Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación.
Equilibrio de traslación:
yF = 0 T + T - W + R = 0 [1]
Equilibrio de rotación: Se escogió el punto B para el cálculo de los torques, Figura 5 (en la Figura se ilustra
el sentido de los torques).
Figura 5
Bτ = 0 T L-a - W L-a + RL = 0 [2]
4
7. Combinando las ecuaciones [1] y [2] se obtiene,
L-aR= W
L+a
8. Observar que si a=0, R=W y la tensión T=0 (recordar que a la barra se le está despreciando el peso).
Ejemplo 2
Un estudiante aplica una fuerza vertical de 100 kgf a una varilla PQ de peso despreciable que está apoyada
en A sobre un pasador liso y soportada por una cuerda PNQ que pasa por una polea ideal. Calcular la tensión
en el cable y la fuerza de reacción en el pasador. Las dimensiones se especifican en la Figura 6.
Figura 6
Solución:
1. Representación de la escena física, Figura 6.
2. Marco de referencia inercial: el piso.
3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 7. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja.
Figura 7
5
4. Sistema mecánico (S): la barra, Figura 8 (encerrado en cuadro de línea punteada).
Figura 8
5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 9. T1 y T2 las fuerzas de tensión de la cuerda (o mejor,
las reacciones a esta: recordar que como la cuerda es ideal T1=T2=T), Rx y Ry las componentes
horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el pasador liso sobre la barra (intencionalmente se les
asignó los sentidos que tienen en la figura, pero al final de los cálculos se mostrará que tienen sentidos
opuestos a éstos), F la fuerza que ejerce el estudiante. En el diagrama de la derecha de la Figura 9, se
ilustra las componentes rectangulares de T1 y T2.
Figura 9
6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido.
Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación.
Equilibrio de traslación:
1 2F = 0 T - T + R = 0 [1]x x x x
y 1 2F = 0 T + T + R + F = 0 [2]y y y
6
Equilibrio de rotación: Se escogió el punto P para el cálculo de los torques, Figura 10 (en la Figura se ilustra
el sentido de los torques).
Figura 10
P y 2τ = 0 R a T 3a = 0 [3]y
Se sabe que,
o o o o
1x 1y 2x 2yT =Tcos 30 T =Tsen 30 T =Tcos 60 T =Tsen 60
7. Resolviendo con esta información las ecuaciones simultáneas [1], [2] y [3] se obtiene,
x yT=81,1 kgf R =-29,7 kgf R =-211 kgf
Es decir los sentidos de Rx y Ry son opuestos a los asignados (las magnitudes de los vectores siempre son
positivas).
Ejemplo 3
Una barra AB de longitud L y peso W, está soportada por un pasador en A y una cuerda en B. Sostiene una
carga de peso P suspendida de su extremo. Hallar la tensión en la cuerda y las componentes de la reacción
en A.
Figura 11
7
Solución:
1. Representación de la escena física, Figura 11.
2. Marco de referencia inercial: el piso.
3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 12. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja
Figura 12
4. Sistema mecánico (S): la barra con el bloque suspendido de ella, Figura 13 (encerrado en cuadro de
línea punteada).
Figura 13
5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 14. T la fuerzas de tensión de la cuerda (o mejor, las
reacción a ésta), Rx y Ry las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el pasador liso
sobre la barra, W el peso de la barra y P el peso del cuerpo que cuelga de ésta.
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Figura 14
6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido.
Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación.
Equilibrio de traslación:
x x xF = 0 R - T = 0 [1]
y y yF = 0 R + T - W - P = 0 [2]
Equilibrio de rotación: Se escogió el punto A para el cálculo de los torques, Figura 15 (en la Figura se ilustra
el sentido de los torques).
Figura 15
A y
Lτ = 0 - W - P L + T L = 0 [3]
2
Se sabe que,
x yT =Tcos φ T =Tsen φ
7. Resolviendo con esta información las ecuaciones simultáneas [1], [2] y [3] se obtiene,
W+2P
T=2sen φ
x
W+2PR =
2tan φ y
WR =
2
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Ejemplo 4
Una escalera de longitud L y peso W, está apoyada en un muro vertical liso y en un piso rugoso, con
coeficiente estático de fricción µ, Figura 16. Hallar el mínimo ángulo para que la escalera pueda estar en
equilibrio.
Figura 16
Solución:
1. Representación de la escena física, Figura 16.
2. Marco de referencia inercial: el piso.
3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 17. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja
Figura 17
4. Sistema mecánico (S): la escalera.
5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 18. NA y f las fuerzas de normal y de fricción que ejerce
el piso sobre la escalera, NB la fuerza normal que ejerce la pared y W el peso de la escalera.
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Figura 18
6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido.
Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación.
Equilibrio de traslación:
x BF = 0 N - f = 0 [1]
y AF = 0 N - W = 0 [2]
Equilibrio de rotación: Se escogió el punto A para el cálculo de los torques, Figura 19 (en la Figura se ilustra
el sentido de los torques).
Figura 19
A B
Lτ = 0 W cosφ - N Lsenφ = 0 [3]
2
Se sabe que para movimiento inminente (con este argumento se calcula el min para el cual la escalera se
mantenga en equilibrio),
Af = μN 4
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7. Resolviendo las ecuaciones simultáneas [1], [2], [3] y [4] se obtiene,
-1
min
1φ = tan
2μ
Observar que a mayor µ, min es menor, es decir, más acostada podrá estar la escalera. Adicionalmente, si
el piso es liso (µ=0) sería imposible el equilibrio de la escalera.
Ejemplo 5
Una escalera uniforme de 4,00 m de longitud se apoya en una pared vertical lisa, encontrándose su extremo
inferior a 1,00 m de la pared como se indica en la Figura 20. La escalera tiene un peso de 30,0 kgf y un
hombre que pesa 70,0 kgf se encuentra de pies en un punto C a 1,00 m del piso, medido a lo largo de la
escalera. Calcular la fuerza que ejerce el muro vertical sobre la escalera y las componentes horizontal y
vertical de la fuerza que ejerce el piso sobre la escalera.
Figura 20
Solución:
1. Representación de la escena física, Figura 20.
2. Marco de referencia inercial: el piso.
3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 21. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja
4. Sistema mecánico (S): la escalera con el señor.
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Figura 21
5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 22. NA y f las fuerzas de normal y de fricción que ejerce
el piso sobre la escalera, NB la fuerza normal que ejerce la pared, Pe el peso de la escalera y Ph el peso
del señor.
Figura 22
6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido.
Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación.
Equilibrio de traslación:
x BF = 0 N - f = 0 [1]
y A e hF = 0 N - P - P = 0 [2]
Equilibrio de rotación: Se escogió el punto A para el cálculo de los torques, Figura 22 (en la Figura se
ilustra el sentido de los torques).
A e h B
Lτ = 0 P cosφ + P bcosφ - N Lsenφ = 0 [3]
2
7. Sabiendo que L=4,00 m, b=1,00 m y =77,96o y resolviendo con esta información las ecuaciones
simultáneas [1], [2], [3], se obtiene,
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BN 8,00 kgf f 8,00 kgf AN =100 kgf
Ejemplo 6
En la Figura 23 ilustra una barra de peso P que se introduce en una superficie lisa semiesférica. Si la
longitud de la barra es igual a tres veces su radio, calcular el ángulo para que esté en equilibrio.
Figura 23
Solución:
1. Representación de la escena física, Figura 23.
2. Marco de referencia inercial: el piso.
3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 24. Observar que el eje z sale ortogonalmente de la hoja
Figura 24
4. Sistema mecánico (S): la barra.
5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 25. N1 y N2 son las fuerzas normales que ejerce la
superficie semiesférica sobre la barra y P el peso de la barra.
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Figura 25
6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido.
Aquí será necesario plantear tanto el equilibrio de traslación como el de rotación.
Equilibrio de traslación:
x 1 2F = 0 N cos 2α - N sen α = 0 [1]
y 1 2F = 0 N sen 2α + N cos α - P = 0 [2]
Equilibrio de rotación: Se escogió el punto A para el cálculo de los torques, Figura 25 (en la Figura se
ilustra el sentido de los torques).
A 2
Lτ = 0 - P cos α + N 2Rcos α = 0 [3]
2
7. Sabiendo que L=3R y resolviendo con esta información las ecuaciones simultáneas [1], [2], [3], se
obtiene,
28cos α - 3cos α - 4 = 0
oα = 23,2
Ejemplo 7
Mostrar que cuando una cuerda ideal pasa a través de una polea ideal (masa despreciable y eje liso), la
tensión en un extremo de la cuerda se transmite íntegramente al otro extremo (propiedad que se ha usado
en muchos de los ejercicios planteados en el módulo # 7 y en éste módulo).
Solución:
1. Representación de la escena física, Figura 26.
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Figura 26
2. Marco de referencia inercial: el techo.
3. Ejes coordenados elegidos: ver Figura 27. Observar que el eje z entra ortogonalmente a la hoja
Figura 27
4. Sistema mecánico (S): la polea con trozo de cuerda enrollado y sin eje
Figura 28
5. Diagrama de fuerzas sobre el sistema, Figura 28. Rx y Ry son las fuerzas que ejerce el eje sobre la
polea, T1 y T2 las fuerzas de tensión que actúan en los extremos de la cuerda.
6. Se aplica la ley de inercia (primera ley de Newton) al sistema considerado como un cuerpo rígido.
Para esta demostración solo basta aplicar el equilibrio de rotación,
A 1 2τ = 0 T R - T R = 0
En donde R es el radio de la polea. De esta ecuación se concluye que,
1 2T =T
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Taller
Con los ejercicios siguientes el objetivo es adquirir la destreza para analizar de forma ordenada y metódica sistemas mecánicos en equilibrio. En cada una de las soluciones se deberá:
Definir el marco de referencia inercial.
Definir los ejes de coordenadas con su respectivo origen y orientación.
Dibujar aparte los diagramas de fuerza de los subsistemas elegidos que se analizarán para lograr obtener la solución.
Aplicar correctamente las leyes de Newton:
o Primera ley de Newton: plantear ordenadamente las ecuaciones correspondientes a las condiciones de equilibrio de los subsistemas y que son necesarias para obtener la solución.
o Tercera ley de Newton: aplicar correctamente la ley de acción y reacción (esto con el fin de disminuir el número de incógnitas en los sistemas de ecuaciones).
Resolver algebraicamente las ecuaciones.
Si es necesario encontrar soluciones numéricas, reemplazar los valores en las ecuaciones sin olvidar expresar el resultado con la respectiva unidad de medida.
Analizar la coherencia del resultado.
1. Una barra homogénea de peso P = 90,0 N y longitud L se mantiene en equilibrio apoyada por su
extremo A sobre una pared vertical rugosa, Figura 29; su extremo B está unido a un cable fijo a la
pared en el punto C, cuya longitud es 1,57 L que forma con la pared un ángulo de 22.00. Determinar: el
ángulo, la tensión del cable y la fuerza de rozamiento.
Rp: 54,00; 31,0 N; 61,0 N
Figura 29
2. Una barra homogénea de 369 N de peso y longitud L está articulada en su extremo A y se apoya en su
extremo B sobre una superficie lisa tal como se ilustra en la Figura 30. Determinar la reacción en la
articulación.
Rp: 321 N formando un ángulo de 54,20 con la horizontal
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Figura 30
3. Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud L se apoya sobre dos superficies tal como se ilustra
en la Figura 31. La superficie inclinada es lisa y la horizontal rugosa. Determinar: (a) el valor de la
fuerza de rozamiento en A para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada; (b) el
coeficiente de rozamiento mínimo para el equilibrio.
Rp: 86,6 N; 0,577
Figura 31
4. Una barra homogénea de peso P y longitud L se apoya por su extremo A sobre un suelo horizontal
rugoso, coeficiente de rozamiento µ, y su extremo B está unido a un cable, que pasa por una polea
(despreciar la fricción con el eje), el cual le ejerce una fuerza F que mantiene la barra en la posición
indicada en situación de movimiento inminente, Figura 32. Determinar el valor de µ en función de y .
Rp:
tan2tan
1
Figura 32
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5. Una escalera uniforme de 4,00 m de longitud se apoya sobre una pared vertical lisa, encontrándose su
extremo inferior a 3,00 m de la pared. El peso de la escalera es de 30,0 kgf y el coeficiente estático
de rozamiento entre el pie de la escalera y el suelo es 0,400. Un hombre cuyo peso es 70,0 kgf sube
lentamente por la escalera. ¿Cuál es la fuerza de rozamiento cuando el hombre ha subido 1,00 m a lo
largo de la escalera? ¿Qué longitud podrá subir a lo largo de la escalera antes de que ésta comience a
deslizar?
Rp. 37,0 kgf; 1,15 m.
6. Una rueda que pesa 80,0 kgf y tiene 20,0 cm de diámetro, es accionada mediante una cuerda en el
centro de la rueda, para hacerla subir sobre una tabla de 4,00 cm como se indica en la Figura 33.
Calcular la fuerza horizontal mínima que debe ejercer el señor para que la rueda comience a subir.
Rp: 107 kgf
Figura 33
7. Un bloque rectangular homogéneo del altura y = 50,0 cm y anchura x = 24,0 cm. Descansa sobre una
tabla NM como se indica en la Figura 34. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la
tabla es 0.450. Se eleva lentamente el extremo M de la tabla aumentando el ángulo del plano hasta que
el bloque comience a volcar o a deslizar (lo que suceda primero). Calcular el menor ángulo del plano para
el cual comience a volcar o a deslizar.
Rp: Desliza para tan= 0,450
Figura 34
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8. Dos esferas idénticas de peso igual a 5,00 kgf se colocan tal como se ilustra en el sistema de la Figura
35 (superficies lisas). Calcular las reacciones de las superficies sobre las esferas y la fuerza de
contacto entre amabas.
Rp: 6,35 kgf; 5,20 kgf; 3,90 kgf
Figura 35
FIN