Variables Aleatorias DiscretasDevore

Paginas 87-99

Estudiado el temaQuiz

Equipo

ITESM-CSN

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• Obtener la probabilidad de un evento con la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

• Establecer las propiedades de la función de distribución de probabilidad acumulada

• Obtener y graficar la función de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta

Objetivos

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Una variable aleatoria: X, asocia un valor numérico con cada uno de los resultados de un experimento.

Variable aleatoria*

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• Para un espacio muestral dado S de algún experimento, una variable aleatoria (va) es cualquier regla que asocia un número con cada resultado en S.

• En lenguaje matemático, una va es una función cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo rango son los números reales.

*Aleatorio: antes del experimento no conocemos el resultado

Variable aleatoria

• Variable aleatoria: letras mayúsculas X, Y ó Z

• Se utilizarán las letras minúsculas para representar algún valor de la variable aleatoria correspondiente

• X(s)=x ←significa que x es el valor asociado con el resultado s por la va X

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Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria

• Sea X: el número de soles obtenidos en 3 (tres) lanzamientos de una moneda. (Sol:H, Aguila:T)

• Liste los valores numéricos de X y los correspondientes resultados elementales.

• Tiempo: 5 minutosResultado Valor de X

H, H, H 3

H, H, T 2

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Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria

• Solución: Primero X es una variable dado que el número de soles en tres lanzamientos de una moneda puede ser 0, 1, 2 ó 3. Segundo, esta variable es aleatoria en el sentido de que el valor que ocurrirá no se puede predecir con seguridad. Con lo anterior podemos hacer una lista de los resultados elementales y sus valores asociados

Resultado Valor de X

HHH 3

HHT 2

HTH 2

HTT 1

THH 2

THT 1

TTH 1

TTT 07

Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria

• Solución:– Note que para cada resultado elemental hay un solo valor de X

– Sin embargo, varios resultados elementales producen el mismo valor

– Revisando en nuestra lista, identificamos los eventos (i.e. las colecciones de los resultados elementales) que corresponden a los valores distintos de X.

Valor numérico de X como un evento

Composición del evento

[X=0] = {TTT}

[X=1] = {HTT, THT, TTH}

[X=2] = {HHT, HTH, THH}

[X=3] = {HHH}

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Actividad El Número de soles como una Variable Aleatoria

• ¿Qué se aprendió de la Actividad?

b) Los eventos correspondientes a los valores distintos de X son incompatibles

c) La unión de estos eventos es el espacio muestral completo

Típicamente, los valores posibles de una variable aleatoria X, se pueden determinar sin listar el espacio muestral

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Ejemplo 2. Un conteo como variable aleatoria• 50 autos entraron a una carrera de 100 millas. Sea X

el número de carros que terminaron la carrera. Aquí X puede tomar los valores: 0, 1, 2, …, 50

Ejemplo 3. Variable aleatoria sin límite superior• Una vez a la semana una estudiante compra un

billete de lotería. Sea X el número de boletos que ella comprará antes de que ella gane al menos $10000 pesos. Los valores posibles de X pueden ser 1, 2, 3, … y la lista puede qué nunca termine

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Tipos de Variable aleatoria

• Discreta: Sus valores posibles constituyen un conjunto finito o son una lista infinita con cierta secuencia ( contable infinita)

Primer elemento, Segundo elemento, etc.

• Continua: La variable aleatoria puede tomar cualquier valor de un intervalo. (posiblemente de extensión infinita)

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LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

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Distribución de Probabilidad

• La Distribución de Probabilidad o, simplemente la distribución, de una variable aleatoria discreta X es la lista de los distintos valores numéricos de X con sus probabilidades asociadas

• Regularmente, se usa una fórmula en lugar de una lista detallada.

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Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda

• Si X representa el número de soles que se obtienen en tres volados, encuentre la función de distribución de X.

• SOLUCION: Se han listado los ocho resultados elementales y los valores asociados de X. Los distintos valores de X son 0, 1, 2, y 3. Ahora vamos a calcular sus probabilidades.

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Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda

• SOLUCION:

La distribución de probabilidad de X: el número de soles en tres volados

Valor de X Probabilidad

TOTAL

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Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda

• SOLUCION:• El modelo de una moneda legal ajusta a que los

ocho posibles resultados son igualmente probables, así que la probabilidad asignada es 1/8.

• El evento [X=0] tiene un solo resultado TTT, asi que su probabilidad es 1/8. Las probabilidades de [X=1], [X=2] y [X=3] son 3/8, 3/8 y 1/8 respectivamente.

• Reuniendo estos resultados, obtenemos la distribución de probabilidad de X.

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Ejemplo 4: La función de distribución de lanzar una moneda

• SOLUCION:

La distribución de probabilidad de X: el número de soles en tres volados

Valor de X Probabilidad0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

TOTAL 1

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Distribución de Probabilidad• En general la función de distribución de

probabilidad (X: variable aleatoria , x: valores)

Valor de X Probabilidad f(x)

x1 f(x1)

x2 f(x2)

… …

xk f(xk)

TOTAL 1

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Distribución de Probabilidad• distribución de probabilidad (o función de masa

de probabilidad) de una variable aleatoria X se describe como la función

• Que proporciona la probabilidad para cada valor y satisface:

( ) [ ]i if x P X x= =

1

1. ( ) 0 para cada valor de

2. ( ) 1

i i

k

ii

f x x X

f x=

≥

=∑19

Ejemplo 5• Si la siguiente persona que comprará una

computadora en el Office Depot necesita ¿una portátil o de escritorio? Sea

Si 20% de todas las compras de una semana fueron de una portátil, la función de probabilidad de X es:

• f(0)=P(X=0)= 0.80• f(1)=P(X=1)= 0.20

• f(x)=P(X=x)= 0 para cualquier valor diferente de 0 ó 1

20

1 el cliente compra una computadora portatil

0 el cliente compra una compu de escritorio

si

X

si

=

Ejemplo 5• De manera equivalente se representa:

• Gráfica de la función de probabilidad

0.80 0

( ) 0.20 1

0 0 ó 1

si x

f x si x

si x

== = ≠

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Ejemplo 3.10

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Ejemplo 3.10• Comenzando en un tiempo fijo, se observa el género de cada

recién nacido en el hospital del ISSTE hasta que nace un niño (H), sea p=P(H).

• Sea (1-p)=p(M) la probabilidad de que sea niña.

• Suponga que los nacimientos sucesivos son independientes y defina la variable aleatoria X mediante X=número de nacimientos observados.

• Entonces

– p(1)=P(X=1)=P(H)=p

– p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p

– p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p)2*p

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Ejemplo 3.10– p(1)=P(X=1)=P(H)=p

– p(2)=P(X=2)=P(M.H)=P(M)*P(H)=(1-p)*p

– p(3)=P(X=3)=P(M.M.H)=P(M)* P(M)* P(H)=(1-p)2*p

• Al continuar de esta manera, se obtiene la fórmula general

• La cantidad p en la fórmula general representa un número entre 0 y 1 y es un parámetro de la distribución de probabilidad.

• Según INEGI p=0.51 es apropiado

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Parámetro de una Distribución de Probabilidad

• Suponga que p(x) depende de una cantidad a la que se le puede asignar cualquiera de varios valores posibles, donde cada valor diferente determina una distribución de probabilidad distinta.

• A esta cantidad se le llama parámetro de la distribución

• La colección de las distribuciones de probabilidad para diferentes valores del parámetro se llama familia de distribuciones de probabilidad.

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Ejemplo 6. Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como:E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}

Definamos la variable aleatoria discreta X : la suma de los puntos que aparecen en los dados, entonces S = {2,3,...,12}Una posible función de probabilidad es:

(2) 2 (1 1) 1 36

(3) 3 (1 2) (2 1) 2 36

(4) 4 (1 3) (3 1) (2, 2) 3 36

...

f P(X ) P( , ) /

f P(X ) P( , , ) /

f P(X ) P( , , ) /

= = = == = = ∪ == = = ∪ ∪ =

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P

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

Función de probabilidad de la variable aleatoria X

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Función de distribución acumulativa

Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución acumulativa a la función F(x) definida como:

Para cualquier número x, F(x) es la probabilidad de que el valor observado de X será cuando mucho x.

:

( ) ( ) ( )y y x

F x P X x f y≤

= ≤ = ∑

En el ejemplo de los dos dados: F(5) = P(X ≤ 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

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x

1,0

0,5

0,028

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F

Función de distribución de la variable aleatoria X del ejemplo de los dados

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Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como:

X = Número en la cara de un dado.

X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

0

61

1 x

f(x)

1

0.5

10

F(x)

x6 6

Función de probabilidad f(x) Función de distribución F(x)

Cálculos con la fda

• De manera general, la probabilidad de que X caiga en un intervalo especificado se obtiene de la función de distribución acumulativa (fda)

• Ejemplo

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(2 4) (2) (3) (4)

[ (0) ... (4)] [ (0) (1)]

( 4) ( 1)

(4) (1)

P X p p p

p p p p

P X P X

F F

≤ ≤ = + += + + − += ≤ − ≤= −

Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson

Learning, Inc.

Proposición

For any two numbers a and b with ,a b≤( ) ( ) ( )P a X b F b F a≤ ≤ = − −

“a–” represents the largest possible X value that is strictly less than a.

Note: For integers( ) ( ) ( 1)P a X b F b F a≤ ≤ = − −

Copyright (c) 2004 Brooks/Cole, a division of Thomson

Learning, Inc.

Probability Distribution for the Random Variable X

A probability distribution for a random variable X:

x –8 –3 –1 0 1 4 6

P(X = x) 0.13 0.15 0.17 0.20 0.15 0.11 0.09

Find

( )( )

a. 0

b. 3 1

P X

P X

≤

− ≤ ≤

0.65

0.67

Ejemplo

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En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8:

P(4 ≤ X ≤ 8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

Tarea

• Buscar en revistas, videos, etc. 2 ejemplos relacionados con probabilidades de variables aleatorias discretas.

• Devore, Probabilidad y estadística. Sección 3.1 y 3.2. Ejercicios: 1, 7, 10, 11, 13, 23

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Actividad Guiada

• El profesor te entregará un cuadernillo con una actividad guiada

• Formar equipos de 2 alumnos

• Rol 1: hacer los cálculos. Rol 2. escribir en el cuadernillo

• Producto esperado: El cuadernillo llenado

• Tiempo de elaboración 30 minutos

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