+ 3v 2v b a 44 66 55 22 22 + RLRL + R th V th RLRL a b Calcular el equivalente Thevenin 3v 44 2v b c...
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+
3v
2v
b
a4 6
5
2
2
+ RL
+
Rth
Vth
RL
a
b
Calcular el equivalente Thevenin
3v
4
2vb
c6
52
Vth
a+
+
d
Para calcular el equivalente Thevenin “abrimos” entre los puntos a y bCalcularemos así la tensión en circuito abierto Vth
3v
4
2vb
c6
5
2
2Vth
I2I1
a+
+
d
335
,2)(540
2)(22
2
211222
211
cththc VVVIV
IIIIII
IIIMallas
Asignamos intensidades de mallas. Sumamos tensiones a lo largo de los recorridos
De las ecuaciones obtenemos el valor I2 y como no circula intensidad por la
resistencia de 6 la tensión buscada es Vab =-3+Vc:
El resultado obtenido es Vth=-2.5V
Para calcular La resistencia equivalente cortocircuitamos ambas fuentes de tensión:
4
a
6
5
2
2 Rth
5.86)5//5(
65//42//2
th
th
R
R
- +
8,5Ώ
RL
a
b
2,5 V
Recordando que las relaciones fasoriales para los elementos R, L y C están dadas por:
Impedancia y Impedancia y admitanciaadmitancia
ElementoElemento Dominio del TiempoDominio del Tiempo Dominio de la FrecuenciaDominio de la Frecuencia
Resistor
CjI
V
Inductor
Capacitordtdv
Ci
dtdi
Lv
iRv IRV
ILjV
En una resistencia, condensador o inductor, En una resistencia, condensador o inductor, la corrientela corriente y y el voltaje fasorialel voltaje fasorial, , en el dominio de la frecuenciaen el dominio de la frecuencia, , están relacionados como la ley de Ohm para las están relacionados como la ley de Ohm para las resistenciasresistencias
IntroducciónIntroducción
I
VZ “Ley de Ohm fasorial ”
m
m
m
m
m
m IVZ
I
V
I
V
I
VZ
mm IIVV eTeniendo en cuenta que , se tiene:
La impedancia no tiene un significado en el dominio del tiempo.
Z
Se define la impedanciaimpedancia de un elemento como la razón entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial, y se denota como .
IntroducciónIntroducción
donde donde RR es la parte real de la impedancia (componente es la parte real de la impedancia (componente resistivaresistiva) y ) y XX la parte compleja (componente la parte compleja (componente reactivareactiva).).
NotaciónNotación
polar forma ZZ
Puede notarse que se debe cumplir:
La impedancia puede expresarse como:
lexponencia forma jeZrrectangula forma jXR
R
X
XRZ
1
22
tan
gráficamenteZ
X (Reactancia)
R (Resistencia)
Im
Re
El recíproco de la impedancia se llama El recíproco de la impedancia se llama admitanciaadmitancia y se denota por la letra y se denota por la letra YY, es decir:, es decir:
NotaciónNotación
RZ IRV :aResistenci
Tanto R, L y C tienen su impedancia correspondiente. Así:
YZZ
Y11
LXjLjZ ILjV :aInductanci
CXjC
jCj
Z Cj
IV
11
:rCondensado
reactanciareactanciainductivainductiva
reactanciareactanciacapacitivacapacitiva
La parte real de la admitancia, La parte real de la admitancia, GG, se denomina , se denomina conductanciaconductancia y la parte imaginaria, y la parte imaginaria, BB, , susceptanciasusceptancia (notar que (notar que no sonno son recíprocos de recíprocos de R R y y XX, , respectivamente). La unidad de respectivamente). La unidad de GG y y BB es es siemenssiemens..
NotaciónNotación
Si la parte imaginaria de una impedancia es positiva, se dice que la impedancia es inductiva. En cambio, si es negativa, se dice que la impedancia es capacitiva. En el caso particular en que X=0, la impedancia es resistiva pura.
jBGXR
Xj
XR
R
XR
jXR
jXRY
222222
1
jXRZ Como:
Considerando que las fuentes de tensión Considerando que las fuentes de tensión externas externas tienen la misma frecuenciatienen la misma frecuencia (aunque no (aunque no necesariamente en fase), se verifica que:necesariamente en fase), se verifica que:
Leyes de Kirchhoff fasorialesLeyes de Kirchhoff fasoriales
Por lo tanto, se cumple la ley de tensiones de Kirchhoff en una malla para tensiones fasoriales. Del mismo modo puede comprobarse la ley de Kirchhoff para corrientes fasoriales en un nodo, es decir:
021 nVVV
021 nIII
Por lo tanto:Por lo tanto:
Interconexiones de impedanciasInterconexiones de impedanciasImpedancias conectadas en serie
Sea el siguiente circuito
nn ZZIVVVV 221
Z1 Z2
ZnV
I
IComo la corriente fasorial circula por cada impedancia, se tendrá:
neqeq ZZZZIV 2
Para el caso de Para el caso de dos admitanciasdos admitanciasen paralelo:en paralelo:
Interconexiones de impedanciasInterconexiones de impedanciasAdmitancias conectadas en paralelo
Sea el siguiente circuito
VI
ii YVI Teniendo en cuenta que , aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes fasoriales se puede demostrar que:
neq YYYY 21
YnY1 Y2
21
21
21
21
11
ZZ
ZZ
YYYZYYY
eq
eqeq
Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo “Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo “AA”:”:
Interconexiones de impedanciasInterconexiones de impedancias
Ejemplo
Determinar el voltaje del nodo AA (en estado estable) del siguiente circuito:
VYYYI 3211
I110 cos 1000tR1
10ohm
R2
10ohm
L110mH
C1
100uF
A
Reemplazando:Reemplazando:
Ejemplo (cont.)
AA VjVjj 05,015,01,0)1(05,01,010
Finalmente:
º0101 I
1,010
11
1
1 Z
Y
)1(05,01010
11
2
2 jjZ
Y
1,01
3
3 jZ
Y
º4,183,63º4,18158,0
º010
AV
Interconexiones de impedanciasInterconexiones de impedancias
Resolviendo paraA
Resonancia en paraleloResonancia en paralelo
Existen aplicaciones que requieren sólo dejar pasar Existen aplicaciones que requieren sólo dejar pasar señales en una banda estrecha de frecuencias y señales en una banda estrecha de frecuencias y eliminar las señales sinusoidales cuya frecuencia eliminar las señales sinusoidales cuya frecuencia estén fuera de dicha banda.estén fuera de dicha banda.
RCIent L Isal
la ganancia de corriente será:
)(
1
LCRent
sal
YYYRI
IH
Sea un circuito RLC paralelo como el indicado:
El “ancho de banda” de un circuito selectivo de frecuencias se define como el intervalo de frecuencias que se encuentra entre las dos frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae 3dB del valor máximo.
Por lo tanto:Por lo tanto:
Observando la expresión anterior, puede notarse que habrá una frecuencia para la cual el término imaginario se hace cero (para C = 1 / C = 1 / L L). Esa frecuencia se conoce como “frecuencia de resonanciafrecuencia de resonancia”, rr , y en un circuito paralelo se determina cuando la admitancia YY es no reactiva.
LCj
RLjCj
RYYYY LCR
1111
Sustituyendo en la ecuación de la ganancia, se tiene:
RLCjH
11
1
Resonancia en paraleloResonancia en paralelo
Puede notarse que en condición de resonancia, al ser Puede notarse que en condición de resonancia, al ser la admitancia puramente resistiva, la corriente la admitancia puramente resistiva, la corriente aplicada y el voltaje a la salida aplicada y el voltaje a la salida estarán en faseestarán en fase..
Un circuito resonante es una combinación de elementos sen-sibles a la frecuencia, conectados de tal forma que sea capaz de proporcionar una respuesta selectora de frecuenciasproporcionar una respuesta selectora de frecuencias.
CLr
1
Resonancia en paraleloResonancia en paralelo
Teniendo en cuenta que la resonancia ocurre cuando rrC=1/C=1/rrLL, entonces la frecuencia de resonancia puede determinarse como:
Considerando el siguiente circuito, lConsiderando el siguiente circuito, la relación de voltajes es:a relación de voltajes es:
R
C L
VentVsal
CRRLj
CjLjR
R
V
VH
ent
sal
11
1
1
Tal como sucedió en el circuito con los elementos en paralelo, puede notarse que el término imaginario se anula para la frecuencia de resonancia rr , tal que rrC=1/C=1/rrLL, la que queda definida por:
CLr
1
Resonancia en serieResonancia en serie
Redibujando el circuito visto en la clase anterior como:Redibujando el circuito visto en la clase anterior como:
Puede notarse que la tensión de salida es una fracción de la tensión de entrada, definida por el divisor de impedancias:
)(1
1)(
1
1)( tV
RCstV
RCsR
RCstV ententsal
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.
Se llega a la misma Función de TransferenciaFunción de Transferencia anterior:
sRCsV
sVsG
ent
sal
1
1
)(
)()(
Vent
R
1/sC Vsal
Por lo tanto, puede inferirse que:
Análisis de circuitos y Análisis de circuitos y Función Función deTransferenciadeTransferencia
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.
Es decir:
ElementoElemento Dominio del TiempoDominio del Tiempo Dominio de LaplaceDominio de Laplace
Resistor
)()( sICs1sV
Inductor
Capacitordt
dvCi
dtdiLv
iRv )()( sIRsV
)()( sILssV
RZ :aResistenciLsXZ L :aInductanci
CsXZ C1 :Capacitor
Función de Transferencia y Ecuaciones de EstadoFunción de Transferencia y Ecuaciones de Estado
Dada una EDO de orden “n”:
aplicando TL con condiciones iniciales nulas, resulta:
)()()()()( 011
1 sUsXasXasXsasXs nn
n
)()()()()(
011
1
1 tutyadt
tyda
dt
tyda
dt
tydn
n
nn
n
o bien:01
11
1
)(
)()(
aasassU
sYsG
nn
n
La expresión:
se conoce como “Función de Transferencia” del sistema.
nulas)]([
)]([)(
CItu
tysG L
L
Para encontrar la relación entre la formulación de un sistemadada por su función de transferencia (FT) y la dada por lasecuaciones de estado (ED), puede partirse de (#), es decir:
udxcy
ubxAxT
Aplicando TL a la primera ecuación, resulta:
y despejando, se tiene finalmente:
)()()0()( sUbsXAxsXs
)()()0()()( 11 sUbAIsxAIssX
(#)
Función de Transferencia y Ecuaciones de EstadoFunción de Transferencia y Ecuaciones de Estado
Aplicando TL a la segunda ecuación de (#), se tiene:
Reemplazando (a) en (b) y despejando, resulta finalmente:
)()()( sUdsXcsY T
)()()( 1 sUbAIssX
Para encontrar la FT, debe considerarse condiciones iniciales(CI) nulas, es decir: . Por lo tanto:0)0( x
(a)
(b)
dbAIscsGsU
sY T 1)()()(
)((##)
Así, conociendo “A”, “b”, “c” y “d”, aplicando (##) puedeobtenerse la FT de un sistema.
Función de Transferencia y Ecuaciones de EstadoFunción de Transferencia y Ecuaciones de Estado
xTz
donde T es cualquier matriz cuadrada que tenga inversa (esdecir, existe existe TT-1-1). Por lo tanto, si se reemplaza en el expresión global de ecuación de estado:
La formulación en EE no es únicano es única. Para comprobar que existeninfinitas representaciones en espacio de estado de un sistema, puede elegirse un vector que cumpla con:z
udzTcy
ubzTAzTxT
1
11
udzcy
ubzAzT ~~
~~
ddTccbTbTATA TT ~y~;
~;
~ 11con:
Función de Transferencia y Ecuaciones de EstadoFunción de Transferencia y Ecuaciones de Estado
FINFIN