people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R...

63

Transcript of people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R...

Page 1: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

��������� � �����

�������������������� �!#"%$&�&'�(����

) +*,�� +-/.0 1"32�4�562&7�798

Page 2: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

:<;>=@?BADCFEG?

H@IKJ�LNMPO#Q6R�S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W�[]`aR�bVXcX%deSD[]W+f%g�[]f%LhT\ij[]bVLB`k[�W1fZgj[]fZLNT�dlX%b�J+bVXcX%deJ1bVLNTVLNWKY\[�YV^mXZWn[]W1opTVLK[�bVqsrpYVr�[]Y&XZt�LNb&TVYVbVXZW1fTVX%g+W1o+W1LNTVTuf%g�[]b\[]WKYVLNLhT\vwS�x&yjMzYkIKJ�L{TVIeTVYVLh|}T~TVg+qsr�[�T��}�@S�X%t�LNbuTV^_|}^_`k[�b}f%g�[]b\[�WeYVLhLNT\���1g1YuYVr1Lh^mbuTVX%g+W1o+W1LNTVTubVLN`_^_LNTr1Lc[V�K^_`_IwX%W�TVY\[�YV^_qFYkIKJ�L�TVIKTVYVLN|}T\vw�aI3qhX%WKYVb\[]TVY\��Q6R�S,TGLNW1TVg+bVL}TVX%g+W1o+W1LNTVTGo+IeW�[]|}^_qK[�`_`mIe��YVr1bVXZg1f%r#YVr1LN^_bGLN�1[]`_g�[]YV^_X%WTVLN|�[�WKYV^mqhT\�9W+X�YkIKJ�L�TVIKTVYVLN|�^_T�W1LNqhLNTVT\[]bVIev/HDr+^mT{^_T�J�X%TVTV^_�1`_LwX��D^_W1f>YVX�[nW+X���LN`9Yk��X%MzYV^_LNb{TVIeWKY\[���YVr�[]YFTVLNJ�[]b\[�YVLNTo1Lho1g1qhYV^mXZW1Tad�bVXZ|�qNXZ|}J1g+Y\[]YV^_X%W+T\�+[�W1opYVX9YVr1L�[]�1TVYVb\[�qNYV^_X%WuX%d,[]TVTVg+|}J1YV^_XZW~��[]TVLNT\���Dr1^_q]ru^_T�d�[]qNYVXZbVLNou^mWKYVX9YVr1LBTVLN|�[�WKYV^mqhTX%d&YVr1L6`�[]W+f%g�[]f%Ln[�W1o�[�`m`_X��DT0d�X%b0TVX%g+W1onLN��[�`_gj[]YV^_XZWjv

� ��LNbVI�Y�IKJ�LNMPO�Q6R�S�J1bVX%J�LhbV`mI�qNX%WKY\[]^_W+T{[pY�IKJ�LNMP��Q�R�S��1�Dr1^_qsr3qK[�W3��Lug1TVLho#YVX{J1bVLhTVLNWKY�J1bVXcXZd�TG^_W�[p`_g+qN^_o�[�W1oo1LhY\[]^_`_LNo�d�XZbV|��9Lh�eqh`mg+TV^_��LN`_I/^_W�YVLNbV|}TnX%dpJ1bV^_|}^_YV^_��L�^_W1dlLNbVLNW1qhL#bVg+`mLhT\v Q�LNbV^_��LNo�^_W1dlLNbVLNW+qNL#bVg+`_LNT�[�bVL#Lh�eJ+bVLNTVTVLNo¡[�Tg1TVLhbVMPo+LN¢1W+LNo/£�¤�¥§¦�¨�©�ª��&�Dr+^mq]r�[�bVL�«¬J1bVXcXZdDbVLNqN^_J�LNTV­wYVrj[�YpY\[]®�L�[�bVf%g+|}LNWKYVTn[]W1o¯o1IKWj[�|}^_qK[]`_`_I#J�LhbVd�X%bV|°[�J1J1bVXZJ1bV^�[]YVLo1Lho1g1qhYV^mXZW1T\v�±�LNYVr1Xco+T�[]bV^_TVLFWj[�YVg1b\[�`m`_I��K^�[uJj[�b\[]|}LhYVbV^mq3[��1TVYVb\[�qNYV^_X%W¯X���LhbGYkIKJ�LNMP��J+bVXcX%dlT\v~²kW#YVrj[]Y�`m^_fZreY\��YVr1L�LN��[�`_Mgj[�YV^_X%W�XZd�[u|}LNYVr1Xco>qc[]`_`@qK[�W>��LF�K^mLh�@LNo�[�T�[�qNXZ|}J1g+Y\[]YV^_X%W>YVr�[]YpqK[�bVbV^mLhT�X%g+Yn[�YkIKJ�LNMP�/o1Lho1g1qhYV^mXZWjv{HDr1LFYkIKJ�LNMP�J1bVXcXZdn«§g+WK�@X%g+W1o+­��KI�TVg1q]r�[~|}LhYVr1Xco¯qc[]`_`@^_TpqK[]`_`_LNo�YVr+L3³�¤�´s¥§µ ¶�³�·�¥§¤�XZdDYVr1L}qK[�`_`kv�x&LNbVYV^_¢+qK[]YVLNTuqK[�W¯��LFq]r1LNq]®�LNo3�KILN�KqNLNJ+YV^_X%Wj[�`_`mI�TV^_|}J1`_LGY�IeJ�LhM��#^mWKYVLNbVJ+bVLNYVLNbVT\�,[]W1onYVrKg1TDYVr1LhI¯[�bVLpg1TVLNdlg1`a�Dr1LNW+LN��LNbD��Lu�D^_TVr�YVX�|}^_W1^_|}^_¸NLpX%g+b0YVbVg+TVYVLNo�j[�TVLKv

±�LNYVr+Xco1T�[�bVL�TVY\[]YV^_qK[�`_`mI3qN`_X%TVLho¯X���LNb6`_LN�K^_qK[�`BLhWe�K^_bVX%W+|}LNWKYVT\���1g+Y�o1IKW�[]|}^_qK[�`m`_IwTVqNXZJ�LNo¯X���Lhb{[]TVTVg+|}J1YV^_X%W3�j[�TVLNT\vHDr1LhI}qK[]W�Y\[]®%LXZYVr1LNb�|}LNYVr1Xco+Tp[]TG[]bVf%g+|}LNWKYVT\��YVr1LNI~qK[]W�^_YVLNb\[]YVLc�a[�W1o{YVr1LhI}qK[]W��1b\[�W1q]r{qNX%W+o1^_YV^_X%Wj[�`_`mIev&HDr+LNTVL�qc[]Jj[�M�1^_`_^_YV^_LNT\�K^_W�Y\[]W+o1LN|��D^mYVrnYVr1L�1^_d�g+bVqK[]YVLNonTVIKWeY\[��FX%d,YkIKJ�LNMPO�Q6R�S&Tp[�W1o�YVr1LN^_bDo+IeW�[]|}^_q}[]TVTVg1|�J1YV^_X%W+MP��[]TVL6TVLh|�[]WKYV^_qNT\�[]`_`_X���YVr1L�g+TVLNbDYVX�o+LN¢1W+L�|}LhYVr1Xco1TD^_W�[0TVYkIK`_L6YVr�[]Y�^_T9o1^_TVqN^_J1`_^_W1Lho�LNW+X%g1fZr�YVX~LNW1TVg+bVL6TVX%g+W1o1W+LNTVT�I�LhY�¹1g+^monLNW1XZg1fZrnYVXJ�LNbV|}^_YDTVg+qNqN^_W1qNY~[�W1o�J�LhbVTVJ1^_qNg1XZg1T9LN�KJ1bVLhTVTV^mXZWwX%d9[�bV�1^_YVb\[]bV^_`_I�TVXZJ1r+^mTVYV^_qK[�YVLNo�o+LNbV^_��LNo�^_W+d�LNbVLNW+qNLpbVg1`_LNT\v

º LFo1LN|}XZW1TVYVb\[�YVL�Lh��LNbVI3|�[�»lX%b~d�LK[�YVg1bVL{X%d9YkIKJ�LNMPO¼Q6R�S&Tu�KI#o+LN¢1W+^_W1f�[�W1o�TVYVg+o1IK^_W1fw½�¾p¿ÀÁ���[�r1^_f%r+LNbVMzX%bVo+LNb\�`_LN�K^_qK[]`_`_I�TVqNXZJ�LNoj�&qK[�`_`mMz�KIKMz��[�`mg+L{YkIKJ�LNMPO¡Q6R�S�dlX%b�qh`k[�TVTV^_qK[]`D¸NLhbVX%MzX%bVo+LNb�W�[]YVg1b\[�`�o1Lho1g1qhYV^mXZW1Â�[�TV^_|}J1`_L�qsr+X%^_qNL�YVrj[]Y[]`_`_X��DT6g1T0YVXFd�Xcqhg1T�XZWwYkIKJ�LNMPO>TVIKWeY\[���[�W1owTVLN|w[]WKYV^_qNT�b\[�YVr1LNb0YVrj[�W�X%W�YVr1LGTVg+�1YV`_LNYV^_LNTX%dÃYVr1LGg+W1o1LhbV`mIK^_W1fF`_XZf%^_qKv º LTVY\[]bVYj�KIG^_`_`_g1TVYVb\[]YV^_W+fGr1X��>YkIKJ�LNMP��Q�R�S,TBW�[]YVg+b\[]`_`_Iu`_LK[�o}YVX�Y�IKJ�LNMPO>Q6R�S&TÃ�KIG�G[�IpX%dÃ[��1TVYVb\[]qhYV^mXZWj�ZJ+bVLNTVLNWKYjYVr1L@d�X%bV|w[]`TVIKWKY\[]�3[]W+o�TVLN|w[]WKYV^_qNT9X%dj½�¾p¿ ÀÁ �KJ+bVX\�%L6TVLN��LNb\[�`�bVLNTVg1`_YVT~[]��XZg1Y9^_Y\�c^_W+qN`_g1o1^_W+f}TVX%g+W1o1W+LNTVT\�cf%^_��L6WKg1|�LNbVX%g+TDLN�,[]|}J+`mLhTX%da|}LNYVr+Xco1T\�%J�XZ^mWKY�X%g1Y@qNX%W+W1LNqNYV^_XZW1T�YVXpYVr1L}ÄÃÅ%MPqc[]`_qNg1`_g+T\��[9��LhbVI�f%LhW1LNb\[�`adlb\[]|}Lh�@X%bV®{dlX%b�Y�IeJ�LhM�O�Q6R�S&T\��^_WKYVbVXco1g1qhL}[W1XZYV^_X%WFX%d�qNXZ|}J1g+Y\[]YV^_X%W�[]`Ã[�W1oFo+LNo1g+qNYV^_��LDqNX%TVY\��o+LN¢1W+LDTVLN��LNb\[�`�^_W1TVYVbVg1|�LNWKYVLNo}^_WKYVLNbVJ1bVLNYVLhbVT@d�XZb@qNXZ|}J1g+YV^_W1fGTVg1q]rFqNXZTVYVT[]W+ondlX%bDfZLNW1LNb\[�YV^_W1f}qNLhbVYV^m¢+qK[]YVLhT\�KLN�KJ+`mXZbVL6YVr1L�g1TVL�XZd�YkIKJ�LNMPO�Q�R�S,Tp[]T9f%LhW1LNb\[�`,J+bVX%f%b\[�|}|}^_W1f~`�[]W1fZgj[�f%LNT\�KTVr1X���YVrj[]YQ6R�S&TÃo1XGW+X%YBrj[���LDYVX6��L9Y�IeJ�LhMP`_LNTVTB�KIpd�X%bV|ug1`�[�YV^mW+fn[@TVY\[]YV^_q�^_W1o1`_LNIKMs±�^_`_W1LNbÃJ�X%`_IK|}XZbVJ1r1^_q9YkIKJ�LDTVIKTVYVLN|¼d�XZb@½¯¾u¿ÀÁ��o1^_TVqNg+TVTTVXZ|}Lu^mo+^_X%TVIKW1qNb\[�TV^_LNT6X%dÃY�IeJ�LhM�O�Q6R�S&T0TVg1q]r�[]T0YVr1LpJ�XZYVLNWKYV^k[�`&o+^m�%LNbVf%LNW+qNLpX%dÃJ1bVXcXZdÃqsr+LNqs®K^_W1f���[]W+owqNX%|�Jj[]bVLYkIKJ�LNMPO/Q6R�S,TDYVX�XZYVr1LNbu[�J1J1bVX�[]q]r1LNTDYVX~J1bVXcXZd&J1bVLhTVLNWKY\[]YV^_X%W�[]W1o�o1^_TVqNX���LhbVIev&yj^mW�[]`_`_Ie��[0qNXZ|}J1`_LNYVL6^_|}J+`_LN|}LNWKY\[]YV^_XZW�X%d½�¾p¿�ÀÁ}^_W�Æ+±�S&MzÇFÈ0^mT9fZ^m�%LNW�d�XZb9g1TVLNbVT9�Dr1XF�6[]WKYDYVX}bVg+W�YVr1L�LN�,[]|}J+`mLhT}[�W1o�Lh�eJ�LhbV^m|�LNWKYD�D^mYVr�YVr1L6`�[]W+f%g�[]f%LcvU�Ç�XZYVLKÉ&HDr1L�bVLK[]o+LNb9qK[]W�bVLhd�LNb9YVXnÊ%Ê�Ê@ËkÌcÍ&Ë�Î�Í�Ï�Ë�ÐZÑ\Ò1Ó�ÔcÕeÖ%×cÐcØ�Ï+Ù%ÓZÑ%Ú\Û�Ü�Ì�ÛKÝ+Ù�Ó\Ñ\Ô1ÜKÙ%Ó�ÖhÎ�Ð\ÝeÌ�d�XZb�[�qNqNXZ|}Jj[�WeIK^_W1f�TVX%d�Y��G[�bVL[]W+o�XZYVr1LNb9bVLN`_LN�1[]WKYD^_W1dlX%bV|�[�YV^mXZWjv_i

«�Þàß1¨�¥§·�¥§µ�¨�ß#µ�ª�á�¨�¨�©uâV¨�´6ãæ�·�¥�µ�¥�äå¤�·�æ�¤�ªG¨�çK¥§è ­È�vaÆ\YVX�I

é�êZé ëjì ?�ADí�î>ï>EG?BðZí ì

ñ�ò6ó1ôBõuöu÷]õuøùóKú6ûFôÃü�ýÿþ������������ ���������������������� �!��" #%$%&'��#(���()*�(��)+�-,.���'�/%)*����10 243%)+�%#5���������-6%"7�8�5�!":9��;�-�.<=%,��8)+�%#(��>=&��.��� �@?��86%�'�-�)*#BA@)+� �!)*C+����#%"��%"*�D&'"*<=�FEG"+�DEG�-�'�?H������6%)+%���!6%�I<="*���D�-�'�-�."*$B��,��.<=���-)*�!�."*�J"*EK�L� M�' -�N�I�O�����.���-6%�1,.)*&QP5"*EK)*�)*9B�-�-�-)+&��!�."*��<=�'&Q6%)*�%�.��<R?�SL�JB)*���!�.&�$%,.)*�7T4�-6%�����1�.�;�%"�B)*��)*<=���-�-�.&F)*9B�-�-�-)+&��!�."*�VUW�-6%�����1�.�;�%"���)7�5�-"5)+9%���!��)*&��)XC*�.A*���Y%��""+E�"7A+����"*�%�="*�Z<="*���(&�"*�B&������!�("*9\[!��&��-�:���]"*��#%�'���-"^EG"*��<�$%,.)*�-�5)`_aB�-" "*E��-�'&��.M�'bN�-6%)*�:&')*��9��

c

Page 3: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

dMeLf�gOhjilk'm n opopq rts.u7v.w xpyaz|{p}jz|ya~Q}j{p�Q�%�� w(�+�\�\�����M�4�\���\� xj�Z��{p��}�y��'���@�!}j{p�Q�%�� w(�+�\�\���j���4s�s.���\� xj�*�.{p�'}jya�������|}j{p�Q�%�� �\�4�\�\s.�L���\���4u���v��*� xj�*�.z!�p{p��{p��~Q}�{p�Q�\�� �M���@� xj�*�.{p�'}jya�������|}j{p�Q�%�� s.��� �-��u7�\� xj�*�.z!�p{p��{p��~Q}�{p�Q�\�� � v.�4�t�-��u7�\� xj�*�.z!�p{p��{p��~Q}�{p�Q�\�� s.��� �-����v �@�\� � xj�Z��{p��}�y��'���@�!}j{p�Q�%�� � v.�4�t�-���'v ���\� � xj�Z��{p��}�y��'���@�!}j{p�Q�%�� rt�*�\�G� � �\r ��v ¡��L���\v.s.��w(w5u xj�Z��z|�p{p�;{p��~Q}j{p�Q�%�� �'¢+�\v ¡ u7s.���\r�� xp£¤��{p��}�y��'�@���|}�{p�Q�%�� s.��� �-��v.¥ xp£¤��z|�p{p�;{p��~Q}j{p�Q�%�� � v.�4�t�-��v.¥ xp£¤��z|�p{p�;{p��~Q}j{p�Q�%�� � � �\�|��v.�t� � � x � � �\�-�.{p�'}jya�������|}j{p�Q�%�� u7�\�-� � � xG�Gu7s.�!�!��{p�'}jya�������|}j{p�Q�%�� �Gu7s.�!�|����s.v.w xG�Gu7s.�!�!��z|�p{p�;{p�;~Q}j{p�Q�%�

¦ ��C+$%�-� c ? c U��O�-�.<=���-��A+�Z���%EG�'�-�'�%&��Z��$%,.���

����$%����#§�.�]<()+� �R#%��¨�������� �Z�����-$%)*�-��"+�%�Z9�R��$%%B,�� �.�%CN#B��¨�������� �ZA�)*,.$%���ZEG"*�Z�-6%�5B)*��)*<=���-������?��86%�.�:)*9B��,.���L�R�.�A*�'�-����<=�"*���!)*� �©�.�ª%��" "*E����%C+���%�'�������BCREG"*�©�-6%�«��)*<=���-�')*��"*�%�:�-6%)*��%�-" &'��#%$%��)*,�)*9%���!��)*&'�!�."*�]���5��<=�"*���!)*� ��.�Y%��"*C+�-)+<=<(�.�%CKUF�-)*��P§#%��&'"*<=�"*�����-��"+�Y)+�%#Y&'"*<=%,.��¬ �.�L�§<=)*�%)+C*��<=�'���?5SL���.�©%)+�-�-��&'$%,.)*��,��R�.<=M"+�-�-)*� �ZEG"*���¬ %�����������%C(��"* a&�)*,.,.��#J#B������A+��#X���%EG�'�-�'�%&��Z��$%,.���7?

­ "*�%���.#%���7TEG"*�8�'¬)+<=%,�� T�!6%�:�L� ��� ��§�����]®ª¯©°;±J0 2+3 T EG"+�8&�,.)*���-�.&�)+,K�%)*�-$%�-)+,l#%��#B$%&��-��"+�HU

² U.U.³µ´I¶Q·G¸(¹.º©»\¼¾½J¿/ÀtÁ�Â'Â�Â�Á'¿KÃNÄ ² À'Å ²ZÆ ÄÇ%È@È'ÉVʪË�¿ÍÌ�Î ² Ï c ? c*Ð

�86%�'�-�Z%��"*�"*�����-��"+�%�Z¿�Á�Ñ©Á'Â�Â'Â\)*����C+���%�'�-)+�!�'#N9 �«�-6%�:EG"*,.,�"7�8�.�%C()*9%���!��)*&'�;C*��)*<=<=)*�7U

¿ÒU�U.³ÔÓÔÄ Õ�Ö�ÉHË�Ä× Ç%ØjÈ@Ë=ÄBÙ/¿ÚÄB¿ÜÛXÑÝÄ\¿ßÞNÑÝÄ\¿ßà¤ÑÒÄ\¿]áâÑ

�8�.�!6ÒÓ1Á'ã�Á'ä8Á�Â�Â'ÂO��)*�BC*�.�%Cå"7A*������"*<=�§$B�%�-���&'��æB��#ß&�"+,�,.��&'�!�."*�ß"+E�)+�!"+<(�J)*�%#Ô´I¶Q·G¸(¹.º©»\¼¾½�)*�«�����&��.æ%�'#ß���¦ ��C+$%��� c ? c ?Hç1"7��&'"*�%���.#%���;)=%��""+E�"+EH�-6%�:�!)+$%�!"+,�"+C*�RÓµàèÙ�Ù/Ó�T\EG"+�8�-"+<=��)+�!"+<éÓ�U À

Ç%È@È'ÉVʪ˧ÓêÌjÎÈ'ÉHëHë�ìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ'ÉVÖ�ï�Ù/ÓêÌjÎ

Ç%îVÈ'ÉVÖ�ï`Ó1Á@Ù/ÓSL���.��&�,.��)*�O6%�����1�-6%)*���!6B�1�.#%��� �!�.�L�="*EDÓð�����.<(<=)+�!�����.)*,L?��86B�1#%�'#%$%&��-��"+�«�8�.,�,K��$%&�&'����#J��A*�'����E��O�I�-�'%,�)+&��F�-6%�)*�-"*<ñÓµ9�5)*�=)*��9%�.�!��)*���:%��"*�"*�����-��"+�N¿�?Hò1&'&�"+�-#%�.�%C+,�� T��O�8��6%"+$%,�#=9��8)*9%,.�8�!":)+9%���!��)*&��/�-6%���O#%��#B$%&��-��"+�("7A+���Óµ�.�J"+�-#B�����-"�"+9%�!)+���«)5#%�����.A*��#��.�%EG�'�-�'�%&��I�-$%,.�T+&')*,.,B�.��ó@ô@ô*T+�-6%)*��&�)+�«9M�I)*%B,��.��#«�-"5)+� �5C+��A+���«%��"*�"*���.�!�."*�H?¦ "+�8���B�-�-)*�%&'�T)*B%,�� �.�%C�ó@ô'ô=�!"^ÓµÞXãÒ�O"+$%,.#ªõ+½'¶Q·Gö@½:�-6%�:%��"*�"*�����-��"+� Ï ÓµÞXã Ð àèÙ�Ù Ï ÓðÞXã Ð ?

÷ �Z<=�.C*6 �O�-6 $%�;%�-" &'����#J�!"(��� �!��" #%$%&'�I)+�J)*9B�-�-�-)+&��!�."*�J"*�����)*�!"+��T4&�)+,�,K�.��øWT�86%�.&Q6J����&�)*�J$%�-���!"(#%�'æ%�%�ó@ô@ô()*�;EG"*,.,."7�8��Uó@ô@ô�³Ôø5¿åÂ7Ç%È@È'ÉVʪË�¿ùÌ�Î

È'ÉHëHë�ìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ'ÉVÖ�ï�Ù/¿¤ÌjÎÇ%îVÈ'ÉVÖ�ï`¿�Á'Ù/¿

újû z|�|~Q�p�}jü�zD��z|ýa��þQ~Qy�{p��þ;�Qÿl�!�\�\�M�4�!�|��u7�\�!� � �:{p�I}jz|ya�;ý��Qÿlu7�!�-�\w5������ya{p�;{p}j{��Qz/y����pz|ý���~Q�@����z|�����|}j{p�Q�Z�|�Q���4�Qýa{p}j{p�Q�� �� �

Page 4: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

�86%�^,.���!�-���§¿ �.��$%�-�'# 6%�����^)*�«)å%)+�-)+<(�'�!�'��ÅO�.�«#%" �����%"+��#%�����.C*�%)+�!�^)*� � "+�%�^�-���&'��æ%&RB�-"+M"+�-�.�!�."*�H?ðSL�C*�'�%����)*,LTM�O�=&')*��$B�-�^ø§�8�.�!6])*� �R� $%<�9����:"+E�%)+�-)+<=���!�'�-�(¿ À Á�Â'Â�Â'Á�¿ à Tl)*������A �.�%CJ)+��¸(½����*ô@õ�� Æ "*E��-6%�=EG"*��<ø�¿/ÀtÁ�Â�Â'Â�Á'¿KÃI ² TV�86%������¿�ÀQÁ'Â�Â�Â'Á�¿lÃ])*���«�!6B�N%)+�-)+<=���!�'�-��)*�%# ² ���(�!6%�N9M" #%�ª"+E8�!6%�N<=���!6B"#V? ¦ "*���B"7��!6B���!�'�-< _ <=���!6B"#BbJ&�)+�§9��5$%�B#%�����-�-" "#��-�.<=%,��^)+�I)N�-6%"+�-�-6%)*�B#§EG"*�§_a#%�'�-�.A*�'#§���BEG�������%&'����$%,��'b�TB)*,.�!6%"+$%C*6,.)*�!�'�I���(�8��,.,/�-�'�5�-6%)*�Z<=���-6%" #%�Z)*���5<="*����C+���%�'�-)+,H)+�%#��"7������EG$%,/�!6%)+���86%)+�I)+�-�5&�"*<=<="*�B,��R$%�B#%�����-�-" "#)*�;#%�'�-�.A*�'#N�.�%EG�'�-�'�%&��:��$%,.���7?

� �%&��N�O�X6%)7A+�«)�<=���-6%" #µ���N&')*�������K¼��Y���(�!"Y)*%B�-"+%�-�.)*�-�«)*��C*$B<(�'� �!�7?§�86%)+���8�.,�,;����<=%,.�ª��A�)+,�$%)+�!��!6B��9�" #%�J"+EH�-6%�Z<=���!6B"#^�8�.�!6^�!6B�:EG"*��<()+,l%)*��)*<=�'�!�����;�-�'%,.)*&��'#J9 �J�-6%�Z)*&'�!$%)+,l)*��C*$%<=��� �-��? ¦ "+�8���B�-�-)*�%&'�T)*B%,�� �.�%C�ó@ô'ô��!"«�-6%�©)+�-C+$%<=��� �ZÓµÞXãÒ�8��,.,��'A@)+,�$B)*�!�:�-6%�©9�" #%�N"+EBó@ô@ôZ�8�.�!6ªÓðÞJã �.�R%,.)*&'�:"*E�¿�T\�!6B������9 �#%�'�-�.A ���%C(�!6B�:&�"*�B&�,.$%�-�."*� Ï ÓðÞNã Ð à Ù�Ù Ï ÓµÞXã Ð ?

�86%�.�:)*,.,V��"*$B�%#%�:EG)*�.��,��R�.�%�%" &�$B"*$%�:)+�%#�����)+�-"+�%)*9%,.�TM9%$B�:���]EG)*&'��)X��,��'� "*EO#%�.>(&'$%,.��� $%�'�-�-��"+�%�:)*���(��<= <=��#%�.)*�-��,.�N��)*�.����#H?��86%�5�-�'�!�-���%CJ"*E��L� M�' -�]�������I�O)+�1A+�����J����<=%,.�UO���©"*�%,.�^6%)*#R"+�%�©��� ��-)*&'�!�.&©&�)+�!��C+"*���T#%�'#%$%&��-��"+�%�7TK)*�%#]�.�:�O)+��A+�����R&�,.��)+���86B)*�Z#%��#B$%&��-��"+�%�:�O�'�-�=<=��)+� ���-"^#%"�UI#%�'�-�.A*�(%��"*�"*�����-��"+�%��?©ç1"7� �O�%��"*�"*���Z�!"«6%)7A+�:<=���!6B"#B�1)*�1�O�',�,L?���$B�F)«<=���-6%" #R9�X�.�!����,.E����F�B"*�F)«#B��#%$%&'�!�."*�HÅB�.� � �1)«#%�'#%$%&'�!�."*�R����&��.��?ò #B��#%$%&'�!�."*�R�.�I�86B)*�1"+�%�©C+��A+���F�.�§"*��#%�'�1�!"J�����!)*9B,��.�-6�)«%��"*�"*�����-��"+�H?�ò <=���-6%" #§#%" ���I�%"*�I�����!)+9%,��.��6R)*� �"*�B�N%��"*�"*���.�!�."*�H?]SL�=�.�(�-6%�!���"��¼¾·$#%���a·Gô�&ß"*EI)Y<=���-6%" #ð�-6%)*�(#%�'�-�.A*�'�()]%��"*�"*�����-��"+�HTV)*�B#ð�.�%#%�'��#µ���X�8��,.,�����©�-6%)*�I<(�'�!6%" #§)+%%,.��&')*�-��"+�%�1�8�.,�,V9�������C*)+�-#B��#^)*�I#%��#%$B&��!�."*�B��?�'����!6B"#B�I�-6%��<=����,.A*���7TB6%"7�O�'A*�'��T )+�-���%"*�#%�'#%$%&��-��"+�%�7?(�;$%�F�.E/�!6%�'�N)+�-�Z�%"+�F#%�'#%$%&��-��"+�%�7T\�86%)+�8)*���:�!6%�'�*)NòI,��-�����%)*�-��A+��,.�T\�86B)*�F#%"�<=�'�!6%" #%��õ*½ &Bô��a½�)SL�å�L� M�' -�ð�I�O���©����P �%"7� �86%)+�©�!6B��#%���%"+�!)+9%,���A�)+,�$%�'�©)*���U:%�-"+M"+�-�.�!�."*�B��?,+OA*�'�-�R#%�'#%$%&'�!�."*�ª#%�'�%"*�-���©)%��"*�"*�����-��"+�H?*�;$%��6%�����8�!6%�.�%C+��)*���8�%"+�D�-":���.<(B,�� ?WSL���-6%�F%���������%&'�8"*EK�%)+<(�.�%CKT7��M�'&��.EG��.�%C©&',��')*��,����86%)*�D�-6%�#%�'�%"*�-)*9%,.�ZA@)+,�$B���F)+�-�����1A*�����«�.<=M"+�-�-)*� �;9M�'&�)*$B�-�:�.�8)*¨���&'�!�F)=�86%"+,��:��)*�%C+�I"+EH�.���-$%�'��? ¦ "*�F�.�%���!)+�%&�� T&�)*�^)<=���-6%" #R�!)*P+�:)*�%"+�!6%�'�8<=���!6B"#R)+�F)«%)+�-)+<=���!�'��) ­ )*�R)�<=���-6%" #R�-�'�!$%���^)�<=���!6B"#-)Xò1,.�-"KT\&�)+�^)�<(�'�!6%" #&�)+,�,l�.�!����,.E�)«�I" ���8�.�8<=)*P+�������B�-�Z�!"�)+#%<=���;����&'$%�-���.A*��<(�'�!6%" #%�.)

ç1"+�!�X�!6%)+�5�.EF���N�-�-�')*��<=�'�!6%" #%�=����<=%,.�ª)*�(EG$%�%&'�!�."*�%���-6%)*�(�-�'�!$%��� %��"*�"*���.�!�."*�%�7TV�!6%�'�µ���J�8�.,�,;�%�'��#)å�-�-)*�-��&R�L� ��R�-� ���!��< �!"ª�����'#ð"+$%��$%�%��"*$%�B#Ü<=�'�!6%" #%�7? �86%)+��)*%%��"*)+&Q60/Ü�����-�'��-��)+,�,.�å�!6%��)*%%��"*)+&Q6µ"+E� ­ ¦ a�L� M�:��� �-�-��<=�1/Ü�.�FEG$%�%#%)+<=��� �!)+,�,.�J�.�%&�"+<=%)*�-��9%,.�©�8�.�!6R�-6%�©#%� �%)+<(�.&:&Q6%)+�-)+&��!�'�8"*EV)*���-$B<(B�!�."*�^9%)*�����7T�86%�.&Q6«���BEG"*��&��1��"*$B�%#%�%�'�-��)*����A�)*,.$%)+�!�."*�«�-��<=�?HSLEH�O�I�O)+��O)���<=""+�!6NC*���B����)*,.�32')*�!�."*�="+EW�L� M�' -�^���������!6B)*�)*,.,."7�8�DEG"*�D)+9%���!��)*&��-��"+�=)*�%#«B�-" "*E�����)*��&Q6=�86%�.,��I&�"*�B�-�'�-A�)*�-��A+��,.�©��¬ �-���%#%�.�%C5�!6%�I)*���-$%<=%�-��"+�% a9%)*���;�-�'<()+� �!�.&��"*EH�L� M�' -�§�����H��T���Z<�$%���8,.""+P«9����*"+�%#X�L���:������!�'<=��?

�86%�����Z)*���Z<()+� �«<="*����� $%�'�-�-��"+�%�7? ­ "+�%����#%�'��T+EG"+�F��¬ )*<=%,.�T)=<=���-6%" #54 "*EV�!6B�:EG"*,.,�"7�8�.�%C(EG"*��<RU

4 ³�ø5¿�Á'ÑÜÂ4Ç%È@È'ÉVʪË�¿ÜÞXÑñÌjÎ7686�6�!6B)*���!)*P+�����L�O"5%��"*�"*�����-��"+�%�I¿�)*�%#YÑ�)*�B#J�����EG"*��<(����"*<=�I6 � �"*�!6B���!�.&�)+,K#%��#%$B&��!�."*�N�8���-6N�-6%��#%���j[!$%�%&'�!�."*�¿ ÞNÑ )*���-6%�X6� �"*�-6%�������7?:9I"7�¤#%"����J)+%%,.�;4 �!"��L��"�)+�-C+$%<=��� �!�7TH�-)7�]�!"ðÓ )+�%#`Ù/ã,) �O�-" &'����#B���%C)*��$%��$%)*,/9 �R��)7�X"+ED��$%9%���!�.�!$%�-��"+�HTK���56%)7A+���-"N�'A@)+,�$B)*�!�(�!6B�(9�" #%�§"+E<4 �8�.�!6ÜÓ`)+�%#ðÙ/ãù��$%9%���!�.�!$%�-��#]���%,.)*&'�«"*EZ¿¤)*�B#ßÑ5TH�-�'�-���&'�!�.A*��,.�?X�86B�«9M" #%�å"+E=4 �.��)�6� �"*�-6%���-��&')*,�#%��#%$B&��!�."*�VT���"§�-6%�Jæ%�����©�!6%�.�%CY�O��%�'��#R�!"N#%"«�.�I)+#%#R�!6B��6 � M"+�!6%�'�-�.�1�-"J�!6B��)*����$%<=%�!�."*�R9%)+�-� ?>�;$%�1�-6%��6 � M"+�!6%�'�-�.�1�.���%"*�<� $%�.�!�5�!6%�'�-�5�*�'� ?÷ �©6%)7A*�Z�-"«EG"*��<è�.�@T%9 �@������¼A�7·$&.BR�-6%�©#%�.��[!$B�%&��-��"+�§"*�����)*�-"*�©ÞY�!"§ÓÔ)+�%# Ù/ã(?��;$%�F�.�R�86%)+�F�-�'�%���:)*���:�O�_a)+%%,.� ���%C+bJÞ() ­ �����!)+���B,��=�%"+�O�.�J�-6%�I��)*<=�I�-�'�%�-�I���N�86%�.&Q6J���1)*B%,��=<=���-6%" #%�7T�-$%&Q6J)*�1ʪìWïHÉVÈ!í@ëDì�ÎHË ÎVÈ@?�86%��#%�.��[!$%�B&��!�."*�X"*�����)*�-"*��Þ��.�8�%"*��)(<(�'�!6%" #HÅ�.�;#%" ���;�%"+�������EG"*��<ù)*� ��P ���B#N"+EW���BEG�������%&'�Å�.�O#%" �'���B"*�;)*�)*,.,l�.��-����)*&'���8�.�!6^�-6%�:)*���-$B<(B�!�."*�X9%)*���?C�;$%�8�.E�ÞY���1�%"*�;)=<=���!6B"#VT\�86%)+���.�F�.� )

�86%��)+�%���O�'�J�.�N�-6%)*�]Þ��.�N)ðEG$%�%&'�!�."*�H? SL�N�.�N�B"*�J)µ%)*���!�.&�$%,.)*��,.�ð�.� �!���������!�.�%C EG$B�%&��-��"+�0/ð�.�X����[!$%���N)&�"+�%���!��$%&��-"*�W�-6%)*�V�!)+P*���H�L�O"1)*,.�-�')*#%��EG"*��<=��#©%��"*�"*���.�!�."*�%�O¿ À )*�%#J¿ Æ )*�%#�9%$%�.,�#%�V�!6B���.�H#%�.�j[!$%�%&��-��"+�J¿ À ÞX¿ Æ ?�;$%�F�.�F�.�1)�EG$%�%&'�!�."*�§�B��A*�'�-�-6%��,.�����D/ð�.�8M�'�-EG"+�-<=�E#�ô+¸<�K»F�G�"��·Gô"&R��)*�-6%���8�-6%)*�ð·$&�ó@½'¶|½ &H#�½'?�SL�F&�"+�%���!��$%&��-�F9M"+�!6A�)*,.��#ª)+�%#ª�.�A�)+,��.# %��"*�"*�����-��"+�%�7TW��$%&Q6ª)*�«× Ç%ØjÈ@ËZÞ«× Ç%ØjÈ@ËMT��8�.�!6B"*$%�5&�)*���.�%CR���µ�!6%�N,��')*���©)*9�"*$%��&�"*�B�-�.�-�-���%&'�

I�J z�~Qy�z����Q}W��ýa{p�@þ;}�ü@z�}�z|ya�LK �;z|}�ü@�'��M8{p�I~Q��NFý�z!�@ýaz�yaz|�p~Q}jz|��}j�8��OQP z!�|}j���Qya{pz|��}�z|�R�@ya�QþQya~Q���;{p��þ��

S

Page 5: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

�8�.�!6§�-6%��)+�-��$%<=%�!�."*�R9B)*���?;SL�%#B����#VTB)+�1EG)+�1)*�I)JEG$%�B&��!�."*���-$%&Q6R)+�(ÞY�.�1&�"+�%&��'�-�B��#HTB�!6%�5)*���-$B<(B�!�."*�R9%)+�-�<=��C+6 ��)+�8�O�',�,l�B"*�89��:�!6%�'�-�Z)*�8)+,�,L?

SL�=EG)*&���T4�.E��O�8)+�-�8�-":6%)7A*�;��A+���():�-�'<="*�!�',��5�-"+%6%�.�-�-��&')*�-��#(%�-" "+EM,.)*�%C+$%)*C+�;�!6%�'�(���86%)7A+���-":���B&�"*���"*��)*�!�&�"+<=%$%�!)+�!�."*�X��� �-"("+$%�8EG��)*<=����"*��PW?T'§)+� �«�!�.<=���F�.�^���%EG"+�-<=)+,l%�-" "+EG��)+�^)*$%�-6%"*�;<=��C+6 �8�-)7�

ÇBÈ'È@ÉHʪËVU Ï 68686 Ð ÌjÎ ²�86%�'�-�,U Ï 6�686 Ð �.�8)W#�ô*¸X��»F�����a·Gô�&%T%M"+�!�'��-��)+,�,.�«"+E�)*��9%�.�!��)*����&�"+<(B,��'¬�.�L�«)+�%#N#B$%�-)+�!�."*�HT�-6%)*�8�8�.,.,W��A+��� �!$%)+,�,.�%��" #%$%&����-"+<(��%�-"+M"+�-�.�!�."*�ª¿�?FSL�I�.��"*�%,.�N)+EG�!�'�YU Ï 68686 Ð �����-$%�-�B��¿Ò�!6B)*�1����B�-" &��'��#R�.�§�!6B�5$%��$%)+,�<=)*�%�B���9 �J)+#%#%�.�%CR¿`�-"��!6%��)*���-$%<=%�-��"+�^9%)*���:)*�%#^&'"*� �!�.� $%���BC��8���-6R�!6%�:�'A@)+,�$B)*�!�."*�^"+EH�-6%�©9�"#B� ² ?D���.P*�'�8�����T �.��.�8&�"*<=<="*�X�!"��'¬ %�-�'�-�;�.�%EG�������B&��Z�-$B,��:)+%%,.��&')*�!�."*�B���.�^�!6%�:EG"+�-<

ʪìWïVÉHÈ!í@ë�ìMÎVË ÎHÈ[ZYÁ8\�86%�'�-�[Z )*�%#5\Ò)+�-�:#%�'�-&'�-�.%�-��"+�%�8"*E/&�"+<=%$%�!)+�!�."*�%)+,l%��"&'�����-�'�8�!6%)+�F��$%�^)*�%#^��A+��� �!$B)*,.,��N%�-" #%$B&��:%��"*�"* �����-��"+�%�;"*E��-6%�:EG"*��<é¿ àñÑÚ)*�%#]¿�T)*�;�86%�.&Q6XM"+��� �;�O�Z)+C*)*�.�JB�-" &��'��#X)*�;$%��$%)*,l9 �«&Q6B��&QP ���BC5�-6%)*�;9�"*�!6^"+E�!6B������B�-"+M"+�-�.�!�."*�%�;)+�-�Z�.�X�-6%�:)*����$%<=%�!�."*�X9%)*���Z)*�%#VT��E/��"�T�����!$B�-�%�.�%CXÑ5?

] "Ü)*�J�-6%�.�X�"*�.� �N���]�-�'��< &�"+<(���,.,.��#��-"ð)+#%<=���X)µ#B��¨�������� �XP�.�%#`"*E©�'A@)+,�$B)*�!�."*����� �!"ð�!6%�å%�.&��-$%���Å�%"+�1#%�'#%$%&��-��A+���'A@)+,�$B)*�!�."*�R"+E��!6%�5�L� M�' -�å��"*���@T\9B$%�I��)*�-6%���I&�"+�A+��� �!�."*�B)*,LT\)*,.C*"+�-�.�!6B<(�.&©&'"*<=%$%�-)*�!�."*�V?8�86%�� $%�����!�."*�=�%"7� �.��6%"7�Ü�!"�EG"*��<()+,�,.�(#%�����!�.�%C+$%����6��!6B�����F�L�O":�B"*�!�."*�B��T4&�"*<=%$B�!)*�-��"+��)*�%#�#B��#%$%&'�!�."*�HT*�86%�.,��I)*,.�-"�.��-��C+�-)+�!�.�%C5�-6%��<è���^)=��"*$%�%#X)*�B#N%��)*&'�!�.&�)+,l<()+�%�%�'��? ÷ 6%)+�8)*�����-6%���.�8������M�'&��!�.A*�Z����<=)*� �-��&'��T)+�%#N6B"7��#%"�!6B���«�.� �!����)*&'� )

� �!6%�'�1)+%%��"*)*&Q6B���8��$%&Q6§)*�1�!6%)+�1"*E�� ­ ¦ 0 c�^ 3�"+�X9 � �Ú0 c�_ 3 TM"+�F"*E`�;"7�*�'�- �'§" "*����0 _ 3LTM#%"«�%"+�F��¬ %,.�.&��.�!,.�#%�.�-�-���BC*$%�.�-6X9����L�������X#%�'#%$%&��-��"+�N)+�%#X&�"*<=%$B�!)*�-��"+�H?HSL�a9 � ��TEG"+�8���%���!)+�%&�� T��A+������-6%�.�%C5�-6%)*�;)=$%�����;�8�����-���#%"7�8�Y���b'��Ü&'" #%�?5�86%�=#%�.�-�-���B&��!�."*�å�.�:��<=%,.�.&��.�@Tl�.�%��"*EG)+�:���Z�.�©"*�%,.�R���8c%�'&��!�'#å���]�!6%���L� ��=�-� ���!��<§TW�86%��&Q6%$%�-�«#%�'#%$%&��-��"+�%�«)+%)*���=)*����M�'&��.)*,FP �.�%#%�«"+E1&�"+<=%$%�!)+�!�."*�%�7T��%)*<=��,.�TO&'"*<=%$%�-)*�!�."*�B���!6%)+���-�'�!$%��� A@)+,�$B���"*E���"*<=�R�L� M�Ý_ �!6%�'"*����<=b�?Ô�I�O���7TO)*�«���R�8��,.,1��6%"+�-�-,��ð�-�'�TO#%����A+�R) <�$%&Q6 #%�'������N�O�'#%C*�R9����L�����'�Ü�-6%��L��"§�%"*�-��"+�%�7?§�V"�9���C+��� �8�.�!6VT/&�"+<(B$%�!)+�!�."*�%�()*�%#µ#%��#%$B&��!�."*�B�()+�-�J�!��)+�-�'# )*B)*���©)*�5�!6%�X�-� � �!)+&��-��&N,��'A*��,L?�86%�'�-�Z)*�����L�O"=#%�.�-�-���B&��F��� ��-)*¬�,.)7�*�'�-�7Tl½ed���¶!½��%��·Gô�&f�FEG"+�8&�"+<(B$%�!)+�!�."*�^)*�%# õ*½�õ+»F#��a·Gô�&f�FEG"+�F�.�%EG�������%&'�?V�86%�.����� �-)*&��-��&1�-�'%)*��)*�-��"+�(�.��&���� �-�-)+,B�!"��!6%��)*%B�-"+)*&Q6="*EK�L� M�' hgµ����� ] ? � �%&��F���16B)7A*�8���8� $%�����!�'�-�'#��!6%������ �-)*¬"*E�&'"*<=%$%�-)*�-��"+�%�I)+�%#�#B��#%$%&'�!�."*�%�7TM�!6%�'���Z#%� �%)+<=��&5�-�'<()+� �!�.&���&�)*��9M�(EG"*��<=)*,.,��^#%�.�-�-���BC*$%�.�-6B��#§�.���-����<(�Z"+E6%"7�Ô�-6%���.�F�'A@)+,�$B)*�!�."*�X�.��-����)*&'�!�8�8�.�!6^�!6%�:)+�-��$%<=%�-��"+�N9%)+�-� ?

�H"R<=)+P*�=�!6%�.�%C+�©&�"+�%&������-�(���=�8��,.,��.,.,�$%���!��)*�-�=�8���-6宪¯©°ji± Tl)R�L� ��� gÚ�����ß�-6%)*�:�'¬�-���%#B�:®ª¯©° ± ?=SL��!6B���B��¬ �;�!6%�������-�'&��-��"+�%�;�O�Z�8�.,�,l#%�'æ%�%���!6%�:��� � �!)*¬=)+�%#N#B����&�$%���;�!6%�Z�.�%EG"*��<=)*,l����<=)*� �-��&'�O"+E��!6B���8,.)*�%C+$%)*C+�Å%��������� �D�.�!�;EG"*��<=)*,M�-�'<()+� �!�.&���)*�%#«B�-"7A+�F�-"+<=�1��,.��<=�'��-)*���5������$%,.�!��)*9�"*$%�O���-�OB�-" "*El�-6%��"+�-�WÅ+)*�B#«æ%�%)+,�,.�=�O��8�.,�,+��� �!��" #%$%&'��)*�:�.��-����%�����!�'�lEG"*�H����? ÷ �D�8��,.,�-$%9B�-���$B��� �!,.�1�'¬�-���%#Z®ª¯�° i± 9���.��-�-" #%$B&��.�%C8�-"+<=��)*#%#%�.�!�."*�B)*,���� �-)*¬åEG"*��<=��T/�-6%������9 �ª)+�-����A �.�%C�)+�5)],.)*��C*���(,.)*�%C+$%)*C+�T ®ª¯©°<i± ?ª�86%�^�%���ñEG"+�-<=�=�8�.,�,89��^�!6%�'"*�����!�.&�)+,�,.���$%M�'�1cB$%"*$%�7T/�.�ð�-6%�^�-�'�%���N�-6%)*�(�!6%�'� &�"+$%,.#µ�.�ð%���.�%&��.%,.�X9��^#%��æB�%��#Ü)*�(�-� � �!)+¬ª�-$BC*)*�(�.�ð�-����<(�="+E1&�"+�-�®ª¯©° i± &�"*�B�-�-�-$%&'�!�7?Yç1��A+�����!6%�',��'�-�7TV�!6B���ª)*���JA+�����Y$B�-�'EG$%,8���ð%��)*&��-��&'�J)+�%#µ�.�5�.�=�O"+�-�-6 �86%��,.�J�-"Y&'"*�%���.#%����!6B��< )+�VB�-�.<=���-��A+���D/ð�'�-���&'��)+,�,.�:&�"+�%�-�-�-$B&��!�/��$%&Q6�)+�/%)*�-�!�����(<()+�!&Q6%�.�%CKT��86%"*����#%����$%C*)+�-�.�%C+��)*�����%"*�/�!���.A�.)*,L?��)+�!�'��"+�Y�86B���å�O�=��M�')*P§"+E«_a®ª¯©°�i± b^�O�=�8�.,�,��%"*�Z9�"*�!6B���©�-"X�����&��.EG���86B���!6B���:���()+�-�=����EG�'�-�����BCN�-"X�-6%�P*�'�-�B��,�,.)*�BC*$%)+C*��"*E ] ��&��-��"+� c ? � "+�5�-"��!6B�J��¬ �-���%#%�'# ,.)*�%C+$%)*C+�«"*E ] �'&��-��"+� c ? _ TH�����%&'�J�.� <="*����&')*�������-6%�#%�.�-�-���B&��!�."*�R�8�.,.,�9��©��<=<=)*�-������)+, ? ÷ 6%�'�R�O�©6B)7A*�Z�!"«#B��¨�������� �!�.)*�-�:�!6%�5�L�O"KT ���:�8��,.,�����EG�'�1�!"��-6%�©EG"+�-<=���1)*�_a&'"*���1®ª¯�° i± b=)*�%#X�!"��-6%�:,�)+�!�-���8)*�X_ EG$%,.,l®ª¯©° i± bKT"*�8)*� ®ª¯�° i± ?

k�l ónm@ó�÷ l õ÷ ���8�.,.,W�8�-�.�!�porqÁ�s8t/EG"*�8�-6%�:"*��#%�'�-�'#J%)+���86%)7A �.�%Cuq�)*�B#vs�)*�8�.�!�FæB�-���;)*�%#X�-�'&�"+�%#N�',��'<=��� �!�7T�-�'�-���&'�!�.A*�',��WÅ)*�B#�0�q À Á'Â�Â'Â�Á8q à 3MEG"*���-6%�=¼ ·$�D�/"*E`q À Á'Â�Â�Â�Á8q à ? ¦ "*�O)*� �(C*�.A*����,.�.�-�<w�)*�%#«�',��'<=��� �Xq%T*�O�F�8���.�!�bq%U.U�w§EG"+���-6%�1,.�����"*9B�!)*�.�%�'#(9 �5%�-�'M�'�%#%�.�%C Ï _a&�"+�%�����%C+b Ð q1"+� �!"pw�Åfx yw`EG"+���!6B�8�-�'A*��������"+Ezw�Å7)+�%#V{ðEG"*�D�-6%�F,.�����D&�"+�%&�)+�!�'�%)*�-��"+�"*�����)*�-"*�7? ¦ "*�8)+��������=|�T �!6%�Z�'¬B�-�'�-����"+�~}�� Ï | Ð �8��,.,l#%���B"*�!�:�-6%�:�����8"*EH)*,.,læ%�%�.�!�©��$%9%�����-�8"*E�|O?

2

Page 6: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

SL�R�!6%�5�-��� $%��,H�O�:�8�.,�,V#%�'æ%�%�©����A+����)*,l�.��-����%�����!�'�-�1$%�-�.�%C«EG$B�%&��-��"+�%)*,H%�-�'$%#%"+ �&'"#B�T <="*���!,.�X���§�-6%�©���L� ,��"*E ] '§��0 ��^ 3L?Vò1�1)(�B"*�!)+�!�."*�%)+,l&�"+�A+��� �!�."*�N<=)*#%�Z�.�X�-6%�:�.��-���������;"*EV9%�-�'A ���L� T�O�Z�8�.,�,W��"*<=�'�!�.<(�'�8�8�-�.�!�

¼¾½���¿Ý³�U Ï 6�686 Ð ·$&7686�6�!"N<=��)*�Y�!6%)+�Z�!6%�(�-�'�-$B,���"*ED�-6%�(&�)*,.,�U Ï 6�686 Ð ��6%"*$%,.#�9��()u�K¶|ô��\ô���·$�a·Gô�&Ü¿�?�SL�]C*�'�%����)*,LT%�86B���%�'A*�������59%�.�%#�!6B�F�-�'�-$B,��O"*EK)©EG$%�%&'�!�."*�N&�)*,.,�U Ï 686�6 Ð �-"�)©A�)*���.)*9%,.�>�X�-6%)*�O6%)*�O9M�'���«#%�'�-�.C*�B)*�!�'#��!"5�-)+�%C*�8"7A+����)�&'�����!)+���������|OTB�!6%�59%�.�%#%�.�%CN��6%"+$%,�#R9��($%�%#%�'�-���!" " #§�!"J<(�')*�Ý_ SLEjU Ï 6�686 Ð %��"#B$%&��'�1)*����,.��<=��� �1"+Ej|OTM,��'�1�-6%)*�I��,.��<=��� �9��R��ÅB"*�-6%�����8�����:C*�'�%����)*�-�Z)*�R������"*�7? b ] �.<=��,.)*��,.�T ���©�8�.,�,H�8�-�.�!�N¼¾½ �O0��lÀtÁ'Â�Â'ÂtÁ8�\à 3�³�U Ï 686�6 Ð ·$&�6�686;�-"«<=��)*��!6B)*�;�!6%�:������$%,.�8"*EH�!6%�:EG$%�B&��!�."*�R&')*,.,`U Ï 6�686 Ð ��6%"*$B,�#^9��:)(,.�.�-�8"+E*�ªA@)+,�$B���7T�!"�9��:�%)*<=��#��lÀtÁ'Â�Â�Â'Á8�\ë�8�.�!6B����!6B��9�"#B�R"*E��!6B�R¼¾½ �QÅ�)+�§�����-"+�F��6%"*$%,.#§" &�&'$%����E<U Ï 686�6 Ð B�-" #%$%&'����)*� � �!6%�.�%CN"*�!6B���1�-6%)*�Y)J,.�����1"+Ez�µA�)*,.$%���7?� &�&')*����"+�%)*,.,.�T*�86%���X���8�.�8<="*���I&'"*� A*�'�%�.��� �O�-"=#%"=�-"KT"*$%�;%����$%#B"&'" #%�Z�8��,.,l$%�����-6%�a�`�*½@¶|½:&�"*�B�-�-�-$%&'� Ï �? C�?�T)*�;EG"+$%�%#^��� ­ )+<(,�0 c�� 3 Ð �.�%���!�')*#X"*EF¼¾½���?

é�ê�� �E��ì ?BC=� C ì î ð ì:� í�A`� C=��=-�<� C ì ?Bð\EG=

÷ ���%"7�Ò)+�-��$%<=�©�!6B)*���O�5)*���©C*�.A*�'�R)J%����<=�.�!�.A*�5�-� � �!)+&��!�.&�#B"*<=)*�.�§"*EI·Gõ+½�&f��· �F½'¶��[�W? ¦ $%���!6B���7TB����6B)7A*�©)&�"+,�,.��&'�!�."*�^"*E[#�ô"&H�%�G�"&H�����F�!6%)+�1)+�-�:#%�.���!�.�%&��IEG�-"+< �-6%�©�.#%��� �-��æ%�'�-�7?;�86%��,�)+�%C*$%)+C*�:6%)+�1�L��"«<=)*�.�R�-� � �!)+&��-��&&�)+�!�'C*"*���.���7UB#B��#%$%&'�!�."*�%� ² )*�%#5��¬ %�������-�."*�B���5?�ò;���*¶r����½R� �.������<=%,.�:���.�!6%�'�/)I#%�'#%$%&'�!�."*�("*�V)*���'¬ %�-�'�-���."*�H?�86%�'�-�Z#%"+<()+���B�8)*���I��M�'&��.æ%��#^9 �J�-6%�:EG"*,.,."7�8���%C(C*��)*<=<=)*�7U

² U.U�³ �8��� À 6�686�� à ÄIÇBÈ'È@ÉHʪËW� ÌjÎ ²� U.U�³ �8Ä��XÄ\ø�� À�Á�Â'Â�ÂtÁe��Ã� ² ÄF�(� ÀtÁ'Â�Â'Â�Á��7Ã1Â��ÒÄF����À*6�686��lÃ� U.U�³ � Ä ²

ò1�8&'"*�%���!)+� �!�=�;�O�Z�8�.,�,��!)*P+�Z)*,.,l�!6%�:%��"*�"*���.�!�."*�%)+,l)*�!"+<=�:Óß)*,."*�%C(�8���-6YÕ�Ö�ÉHËX)*�%#Y× Ç%ØjÈ@ËBT �!6%�:æBA*�:%��"*�"* �����-��"+�%)*,l&'"*�%�%�'&��-��A+���7T �!6%��%�-"+M"+�-�.�!�."*�B)*,l�8� $%)+,��.�L�«EG$%�B&��!�."*���©T\)*�%#^�!6B�©%����<=�.�!�.A*�:<=���-6%" #%�1��6%"7�8�X��� ¦ �.C* $%��� c ? c ?Hò1&'&�"*��#%�.�%C*,.�T

� U�U.³ ÓÔÄÕ'Ö�ÉHË«Ä× Ç%ØjÈ@Ë(Ä%ÙåÄ%Û]ÄBÞ]Ä%à Ä7á Ä0�ÚÄQ�*Ø�Ç%ÌjÊ ÄʪìWïVÉHÈ!í@ë�ìMÎVË ÎHÈFÄj686�6÷ �(�8�.,.,D"*EG�-���]�8�-�.�!�XʪëDTVïVÎDTK)+�%#��*ïð)+�Z)*9%9%����A �.)*�-��"+�%�ZEG"*�(ʪìWïVÉHÈ!í@ë�ìMÎVË ÎHÈ@T/ïHì�ÉHîVØjË'í�ÎHËn �Ç%Õ�Ì�ìMÎ/TW)*�%#�*ì�ÎVÈ'Õ'Ö@É-�*Õ'Ì ¡MË�í�ïHÌ�ØjË ÊªÊªÇ�T������M�'&��!�.A*�',�� ?

+�¬ %�������-�."*�B�1"*E��!6%�(EG"*��<¢�`� À�Á�Â'Â�Â'Á���ÃIÂ8� )*�%#ðø(�\ÀtÁ'Â�Â�Â'Á���ÃI ² )*����&')*,.,��'#«ó@»F&f#��a·Gô�&f�Z)*�B# ¸(½����*ô@õ���T����� ��M�'&��!�.A*�',�� ?V�86%�Z��#B��� �!�.æ%������� À�Á�Â'Â�ÂtÁe��ÃN)*���I�-6%�;ó@ô*¶Q¸E�*¼H�F�*¶e�+¸5½ ��½@¶��1"*EV�!6%�:���������&��-��A+�ZEG$%�%&��-��"+�^"*�8<=���-6%" #HÅ�!6B���]<�$%���©)*,.,D9��J#%�.���!�.�%&���T��L? �?.T*�.£1¤V¥³¦��£h§«�86%���%�'A*�'� c©¨¦ª À,« ª Æ ¨ ��? ÷ �«&'"*$%,.#ª6%)7A+��� ³­¬REG"*��<=)*,%)+�-)+<(�'�!�'�-�7T+)*�%#^�.�X�-6%)*�8&')*���TEG"+�F�-�')*#%)+9%�.,��.�L��%$%��M"+�-�'��T\�!6%�:&'"*���-�'�-�"*�%#B���%C(EG$%�%&'�!�."*�R"+�8<(�'�!6%" #^�8�.,�,W9���8�����-�!���X)*�=� Ï Ð Â��Ò"*�Zø Ï Ð Â ² T �.�%���!��)+#N"+E���Â8�Ú"*�:ø� ² ?

�I�'#%$%&'�!�."*�%��"*ED�-6%��EG"+�-<®�8�¯� À 686868� à )*���©&�)+,�,.��#ð¸(½����*ô@õ:���"��¼¾·$#%�"��·Gô"&H��Tl"+�1<=���-6%" #�&�)+,�,.�7?;�86%�(��¬ &�,.)* <=)*�-��"+�«<=)*��P(�.�;$%����#J���.<(B,����-"�#%�.�-�-���BC*$%�.�-6N<=���!6B"#X)*B%,��.&�)+�!�."*�%�OEG�-"+<¤EG$%�%&'�!�."*�J)+%%,.��&')*�-��"+�%��T+�86%�.&Q6J)+�-��8�����-�!���X)*�=�¯� À Á'Â�Â�Â�Á8� à ? Ï � EV&�"+$%�-���Z�!6%�.�F�.�8)*9%���!��)*&'�;�-� � �!)+¬lÅ�.EV�O�Z�!���J�-"=$%�-�:�.�8)*�8&'"*�%&'�-�'�!�Z���� �-)*¬WT�!"�8�����-�©#%"7�8�R%6%��)*�����I)*�I,��.�%��)+�F���!�����%C+�1"+E��-� <�9�"*,.�7T\�!6B�������©�8�.,�,V�%�'��#§��"*<=�©EG"+�-< "*E�%)+�-�'� �!6%�'�-�°2�)+�!�."*�^�!"������"*,.A*��%)*���-�.�%C=)*<59%�.C*$%�.�!�.���7?�SL�^�86%)+�8EG"*,.,�"7�8�F���:�8�.,�,W$B�-�:%)+�-�'� �!6%�'�-�'�8,��.9M�'�-)+,�,.�JEG"+�F�!6B)*�F%$B�-�"*���? Ð �86%���¬ %����������"+��� �.�Z�!6%��<=�'�!6%" #])*�%#Y�!6%��%6B�-)+�-�'�Y� À Á'Â�Â'ÂtÁ8� à )+�-�5�!6%��)+�-C+$%<=��� �!��"*EO�!6%�=)+%%,.��&')*�!�."*�V?:ç1"+�!��!6B)*�;��A+���^�!6%"+$%C*6X<=���-6%" #X)+%%,.��&')*�-��"+�%�8)*���I#B��#%$%&'�!�."*�%�7T <=���-6%" #%�F�-6%��<=����,.A*���8)+�-����¬ %����������"+�%��?

+�¬ %�������-�."*�B�l)*�%#©#B��#%$%&'�!�."*�%�H)*�����-� � �!)+&��-��&')*,.,��I#%�����!�.�%&'�@T@)*�B#:�!6%�.�H�.��)1P*����EG��)+�!$%���D"+E�L� ��� g§�I�O���7?lSL���.��.<(<=�'#%��)+�!�',��©�'A ��#%�'� �V9 �5�-�.<=%,��;�.�%��M�'&��!�."*�=�86%�'�!6%�'��)ZC*�.A*���5%6%��)*���R�µ�.��)*�(��¬ %�������-�."*�5"*��)Z#%��#B$%&��-��"+�H?WSLE

^

Page 7: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

���D,�" "+P�)+���ª)+��)1B)*���-�D�-�-�'�T'�!6B����)+,�,����6%)7A+�D�!"I#%"1�.�H&Q6B��&QP��!6%�O�-" "*�H�%" #%�Ul��E%�.���.�V���.�!6%�'�H�-6%�O�'¬ &�,.)*<=)*�-��"+�<=)*��PN"+�I�-6%�(P*��� ��"*��#]Ç%È@È'ÉVʪË%TM�-6%���Y�O�(6%)7A*��)J#%�'#%$%&��-��"+�HÅK"+�!6%�'�-�8�.�-�a�Ò���Z)+�§��¬ %�������-�."*�V?8SL� �!$%�.�!�.A*�',�� T��¬ %����������"+�%�l)*������� �-���%#%�'#:�!"F����B�-�'�-�'��l&'"*<=%$%�-)*�-��"+�%��T��86%�.,���#%��#%$B&��!�."*�B������%��������� �l,."*C*�.&�)+,4#%�'<("+�%���!��)*�!�."*�B��?SL��%)+�-�-��&'$%,�)+��T��=õ*½�õ*»F# ��·Gô"& ² ��·G¼G¼±�+¼��`���.�(��¶|ô@õ*»F#�½b�[��¶!ô��\ô���·$��·Gô"&%T�.El���O%��"#B$%&��'��)*� � �!6B���%C�)*�D)+,�,L? ÷ �I�!6 $%�%����������A*�;�!6B�1A ���'�8M"+��� �O"*EK�L� M�' -�X�I�O���7UW#B��#%$%&'�!�."*�%�������!$B�-��%��"*�"*���.�!�."*�%�7Å7)+�%#«�!6B�F%��"*�"*�����-��"+���-�'�!$%���%��#9 �R�-"+<=� ² �8��,.,�9��(A �.������#Y)*�Z�!6%�W#�ô�&f#'¼ »F��·Gô"&]"*E ² ?:�V"^���%��$%���5��"*$%�B#%�%�����7T��O�(<�$%���Z)*,.�-"N%����������A*���-6%��L� M�' -�YC*$%)+�-)+� �!���:�-6%)*�I��E ² B�-" #%$%&'���I)«&�"+�%&�,.$%����"+�ª¿Ú�.�§��"*<=�©)+�-��$%<=%�!�."*�R9B)*���R²;TB�!6%�'�µ¿Ý�8��,.,V���REG)+&��9��©)«,."*C*�.&�)+,�&'"*�%���8� $%�'�%&��:"+E-²;?;SL�R���<59M"+,��7T\�.E-²�³ ²µ´ ¿Ý�!6%�'�©²ÔÄ ³Ò¿�? ÷ �5�8��,.,HB�-"7A+���-6%)*�I�!6%�.��6%"*,.#%���""+�H?

�;�§&�"+��-�-)+�-��T�)*�Y��¬ %�������-�."*�Y&�)*�Y�-�'�!$%���])*� � �!6%�.�%C�/Ü)X%�-"+M"+�-�.�!�."*�VT�)XEG$B�%&��-��"+�HTK)^<=���!6B"#VTl���-&? ¦ $%�� �!6B����<("+�-� TW���«�8�.,�,O�-�'�«�!6B)*���-6%�����«)+�-���%"�&�"*�B�-�-�-)+��� �!��9M�'�L�O�'��� �-6%�«������$%,���"*E8)*�ª�'¬ %�-�'�-���."*�;�¤)*�%#ª�-6%�&�"+� �!��� �-�V"+E%�!6B�8)*���-$%<=%�-��"+��9%)+�-��²;?�+�A�)*,.$%)+�!�.�%CY�Ü�.�5)ZC*�.A*�'�=² <=��C+6 �H����,.,\%��"#B$%&���)Z%�-"+M"+�-�.�!�."*�N¿ �!6B)*��.�V�.�%&'"*�%�������!�'� �V�8�.�!6�²;?��;$%�/%�-�'&��.�-�',��:9���&')*$%���Z¿ �.��"*9%�-)*�.�%��#5EG�-"+< )*�R½ed���¶!½��%��·Gô�&BT7���O<=)*P+�O�B"�C+$%)*��)*� �-�����)*9�"*$B�I�.�!�:��"*$%�B#%�%�����7? ÷ �="*�B,��R<=)*P+�5��$%&Q6YC*$%)+�-)+��-���'�1)*9�"*$B���-6%�=�-�'�-$B,��-�I"+E�#%�'#%$%&��-��"+�%�7?Z�86 $%��Tl,�" "*����,.���M�')*P ���BC�T*��¬ %�������-�."*�%��)*����C*�.A*���JEG�-�'�������.�J�-"5&'"*<=%$%�-�Z���X)*� �=�O)7���-6%����������æ%��Å �!6%�'�«&�)+�J����#B�I��"*$%C+6%��6%" #"7A*�'�Z�!6%�«)+�-��$%<=%�-��"+�Y9%)+�-� ?=����#%$%&'�!�."*�%�7T�"*�å�!6%�J"*�!6B���©6%)+�%#HTW)*���(<5$%&Q6å<="*�����-�'�-�-�-�.&��-��#HÅ��!6%�'�Y6B)7A*�=�!"%,.)7�����B�-�.#%�:�!6B�:�-)+�%#%9�"7¬«"*EH�!6%�:)+�-��$%<=%�!�."*�X9%)+�-� ?

] "*<=�Z)*#B#%���-��"+�%)*,��%"*�-����"*���!6 ��M"+��� �-��U

¶ '����!6B"#B�1)*���Z)*9%���!��)*&'�!�."*�%�8"+EH,."*C+��&')*,l#%�'�-�.A�)*�-��"+�%��T)+�%#^�!6%�'�-�'EG"*���:�!6%�:9�" #%�X"*EV)�<(�'�!6%" #R<5$%�-�89��©)#B��#%$%&'�!�."*� ² T �%"+�;)*�X��¬ %�������-�."*�V�(?V�86$B�8�-"+<(�'�!6%�.�%C=,.��P+�(ø�·lÁ��5Âe·¸�§�.�8�%"*�B�-�'�%�-�Z)+���-6%�Z�-� � �!)+&��-��&,.��A+��,L?§SL�(�.�(�B"*��)]����,.,� aEG"*��<=��#ª%6%��)*���J9���&')*$%���J�-6%�X9M" #%��·;�ß���=)*�µ��¬ %�������-�."*�HTH�86%�'�µ�.�5��6%"+$%,�#�.�%���!�')*#^9M�:)�#B��#%$%&'�!�."*�H?`���N&�"+��-�-)+�-��TEG$%�%&'�!�."*�%�F)+�-�:)+9%���!��)*&��-��"+�%�;"*EV&�"+<(B$%�!)+�!�."*�%�7T )*�B#N�-6%������EG"+�-��-6%�J9�" #%�ª"*E;)YEG$%�%&��-��"+� <�$B�-�59M�X)*�ª�'¬B�-�'�-����"+�µ�5TV�%"+��)§#%�'#%$%&'�!�."*� ² ?V91�'�%&�� TV�-� <=<=���!���.&�)*,.,.�T��"*<=�'�!6%�.�%C=,��.P*�,�[4ßÁ�¿åÂ��84 ¿Ú�.�8�-� � �!)+&��!�.&�)+,�,.�«�.,�,. aEG"*��<(�'#H?

¶ �86B�������.�F�%"������&��.)*,�EG"*��<ñEG"*�F#B��#%$%&'�!�."*�^&�"+<=M"+�-�.�!�."*�H?VSL�X®ª¯©°;±T\�O�:6%)+#^�!6%�:EG"+�-< ² À'Å ²ZÆ T%�86%��&Q6��)*�/$%����#5�!"�&�"+<(�"*����#%��#%$B&��!�."*�B�V��"��!6%)+�V�-6%�;�-�'�-$B,��V"*E ² ÀH9���&�)+<=�O)7A�)*�.,.)*9%,.��)+�V)�,.��<=<=)I�8�.�!6%�.� ²�Æ ?9I�����©�!6B�������.�1�%"N�%���'#R�!"J�"*���.�F�-$B&Q6§)«<=��&Q6%)+�%�.�-< )*�I%�-�.<=���-��A+�? ÷ ��&')*�R)+&Q6%���'A*�:�-6%����)*<=�©�'¨M�'&��9 ���%�'�-�-���BC(<=�'�!6%" #X)*%%,.�.&�)*�-��"+�%�7? ¦ "*���%"7�Ô���Z�-�.<=%,���"+9%������A*�1EG��"*<¤�-6%�Z�-� � �!)+&��-��&�EG"*��<ñ"*E�<(�'�!6%" #&')*,.,��7T0�8��� À 6�686�� à T�-6%)*���!6%�Z)+�-C+$%<=��� �!�R�*¹�"+E�)(<=���!6B"#X&�)+,�,K)+�-�R���+¶e����½ �7T �86%�.&Q6J<=��)+�%�8�!6B)*���!6%�'�&')*�^9������.�!6B���F�'¬B�-�'�-����"+�%�8"*�1#%��#%$B&��!�."*�B��?�SLE/)*�R)*��C*$B<(�'� ���*¹��.�1)�#B��#%$%&'�!�."*�HT%�!6%�'�R�!6%��&�"*�B&�,.$%�-�."*�����"+9%�!)+���YEG�-"+<Í�����8��,.,/9M�()*#B#%��#§�-"N�-6%�()*���-$%<=%�-��"+�§9%)+�-�:º�½Gó@ô*¶!½5�O�()*%B,��^�!6B�5<=���-6%" #!� �!"J�-6%�A�)+,�$%�'�Z"*EX� À Á'Â�Â'Â�Á8� à ?:�86B���:%��"7A �����."*�§�8�.,�,/9��=&�)*B�!$%����#Y���]�!6%�=EG"+�-<=)*,/����<=)*� �-��&'��9 �R�-6%�=�-"+ �&')*,.,��'#_ &�$%���-$%,.��bKTl)+�%#ª�8��,.,�9��«$%����#ª�-"R��<=%,.��<=�'������%EG�'�-�'�%&��J&�"*<=�"*�����-��"+�H? ­ "*�%����#B���7TlEG"*�����%���!)+�%&�� TW�-6%�$B�%)*���«<=���-6%" #X)+%%,.��&')*�-��"+�

�QïVìMÉVîHØ�Ë'í@ÎVËQ �Ç%Õ'Ìjì�Î Ï �QÖ@ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVï ÓµÛ^Ù�Ù/ã Ð Ï c ? ��Ð�86B"*���«"*�%,.�])*��C*$%<=��� �:�.���.�!����,.E8)§#%�'#%$%&��-��"+�HTV�%)+<(�',��])*�ª)+%%,.��&')*�-��"+�ª"*EIÖ�Ì  �»lÕLí@ÇBÎHïß�!" ÓðÛXÙ�Ù/ã=?] $%%�"*���O����)+�-�O�!"���A�)*,.$%)*�-� c ? � ���5�!6%��)*���-$B<(B�!�."*��9B)*���`²ð³�¼*Ó Û^Ù�Ù/ãY½+? ¦ �������H�����'A@)+,�$B)*�!���!6B�O)+�- C+$%<=��� � Ï �tÖ�ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVï Ó Û^Ù�Ù/ã Ð T7"*9B�!)*�.�%�.�%CZ�!6%�;&'"*�%&',�$%���."*�^Ù�Ù/ã(?H�86%���(���b�+õ*õ5�-6%����&'"*�%&',�$B�-�."*�(�!"² )+�%#«%��" &����'#��!"5)*%%,.�NïHì�ÉVîHØ�Ë�í�ÎHËn �Ç%Õ�Ì�ìMÎX�!"NÙ�Ù/ã=?V�86 $%��T*�!6B�1)*B%,��.&�)+�!�."*��"+EVïHì�ÉHîVØjË'í�ÎHËn �Ç%Õ�Ì�ìMÎ�8�.,.,W�!)+P*��%,�)+&��Z�.�X�-6%�Z)*���-$B<(B�!�."*�X9%)*���p¼4Ó Û^Ù�Ù/ã�Á@Ù�Ù/ãY½Z)*�B#X�8�.,.,l�-$%&'&��'�-��EG$%,.,��«B�-" #%$%&'�Z�!6%�:æ%�B)*,&'"*�%&',�$B�-�."*�]ã(?V�86%�'�-�'EG"*���T c ? � ���1�����-�'��-��)+,�,.���8� $%�.A�)*,.��� �8�!"=�-6%�Z®ª¯©° ± #%��#%$B&��!�."*�

Ö@ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVï�ÓµÛ^Ù�Ù/ã(Å�ïHì�ÉVîHØ�Ë�í�ÎHËn �Ç%Õ�Ì�ìMÎ�Ù�Ù/ã5Â

¶ ¦ $%�%&'�!�."*�%�©)+�%#]<(�'�!6%" #%���!)*P+�=<�$%,.�!�.%,.�«)*��C*$%<=�'��-�Z�-)+�!6%�'�:�!6%)+�Y9����.�%CR&�$B�-�����'#H?5�86%�.�©�����$B���-����<= �"*���!)+� �:EG"*��<=�'�!6%" #%�59M�'&�)*$B�-�«)R<=�'�!6%" #ª)*B%,��.&�)+�!�."*�HT�9����.�%C§)§#%�'#%$%&'�!�."*�HTH�.�©)*,.�O)7� �:�'¬���&'�!�'# �!"

_

Page 8: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

�����-$%���])^%��"*�"*���.�!�."*�HÅ����:&')*�%�B"*�:�����!$B�-�])*�%"+�!6%�'�:<=���!6B"#V?=ò1�5�O�=6%)7A+�()+,�����)+#%�R��<=%6B)*���32'��#HTW�!6%�.�A �.���8�"*�.� ��"+E�)^#%�'#%$%&��-��"+� ² )*�:��"*<=�'�!6%�.�%CX�!6%)+�:%�-" #%$B&����Z)^%��"*�"*�����-��"+���.�:&��'��-�-)+,/���å�������7? � E&'"*$%�������!6B���ZA ���'�8M"+��� ��&�"+$%,�#�9M�=%����������A*�'#R��A*�'�§�.E�<=���-6%" #%�Z�O�'�-�5$%�%)*���TM9 �^%)*&QP�)+C*�.�%C«$%])*,.,H�-6%��B��&��'�-��)*����)+�-C+$%<=��� �!��"+El):<=���!6B"#J��� �!"�)©�-�.�%C+,��8,.�����@?C9I"7�O�'A*���7T�<=���-6%" #%���O"+$%,�#=���!�.,�,�6%)7A+�8�!"©�����-$%�-�B�-"+M"+�-�.�!�."*�%�7T+)*�%#^6%�'�%&��:&'$%���-� �.�%C5��"*$B,�#X�-�-��,.,W�%"+�;9M�:�"*���-�.9%,.�:���^)+���<=�')*�%�.�%C*EG$B,W�-�'�%���?

¶ �86B�JEG)*&'�©�!6B)*���-6%�J)+�-C+$%<=��� �!��"*E8)§<=���-6%" # )*B%,��.&�)+�!�."*�ª&')*�ª9��J)*��9%�.�!��)*����%6B�-)+�-�'�©�-$BC*C*�'�-�-�©�!6B)*�)ª<=�'�!6%" #ß&�)+� �!)*P+�R)*� � �L� ��§"*E�A�)*,.$%�R)*�«�.�%%$B�@T��.�%&�,.$%#%�.�%C )+�%"*�-6%����<=���-6%" #H? ] "ª��A+��� �!6%"+$%C*6<=�'�!6%" #%�F6B)7A*���!"������!$B�-�X%��"*�"*�����-��"+�%��T�-6%���J)*����6B��C+6%���� �"+�-#B�������^�!6B�:�-�'�%�-�Z�-6%)*�8�-6%���N&�)*�X9��:C*�.A*���"+�!6%�'�8<=���!6B"#B�F)*�8)+�-C+$%<=��� �!�7?

¶ +O¬ %�-�'�-���."*�%�;)*�B#N#%�'#%$%&'�!�."*�%�F)+�-��C*�'�%����)*�-��#X9 �«<�$%�-$%)*,.,.�«�-�'&�$%������A+�IC+�-)+<(<=)+�-�7?WòI&�&'"*��#%���BC*,.�Tc ?�+�¬ %����������"+�%��&')*�J)+%���)*���8�.�!6%�.�^#%��#%$B&��!�."*�B��?H�86%�.�;�O)+��<="+�!�.A@)+�!�'#J�.�N�-6%�Z��� �!��" #%$%&'�!�."*�HT+�86%�'�-�

�.�J��)*�J�"*�.� �!�'#Ô"*$%�N�!6%)+�N"+EG�!�'��-��<=�'�N�.�J�.�N�B��&��'�-��)*���µ�-"µ�.� �!������M�'�-���§%��" "*E:��A�)+,�$%)+�!�."*�ß�8�.�!6&�"+� A*��� �-��"+�%)*,/)*,.C*"+�-�.�!6B<(�.&(&�"*<=%$B�!)*�-��"+�H? � 9%������A*� TKEG"*�:�.�%���!)*�B&��TW�!6%����� � �!)*¬�"*E�6� �"*�-6%���-��&')*,#%�'#%$%&��-��"+�%�7U�Ç%È'È@ÉVʪËW�¤ÌjÎ ² ?(�86%�=6� �"*�-6%�����������:)+�Y�'¬B�-�'�-����"+�!�5TW�86%�.&Q6]&')*�]�!6 $%�©9���)*�)*��9%�.�!��)*���8&�"+<(B$%�!)+�!�."*�Z�!6%)+�W��A+��� �!$B)*,.,��I%�-" #%$B&����l)8B�-"+M"+�-�.�!�."*�HÅ'�86%�.,.���!6%�D9�" #%�����W)8#B��#%$%&'�!�."*�² &�"+<(B�-�.�-�.�%C=�!6B�a�D#�ô�� ½©"*EV�!6%��6� �"*�-6%�������=�(?�ç1"+�!�:�-6%)*�8�-6%���I���8)+�^��� �!�.�-�',��N#%�.¨M�'�-�'��8�B"*�!�."*�"*EH�-&'"*��ZEG�-"+< �!6B�:,��'¬�.&�)+,l�-&'"*��Z"*E��.#%�'��-��æB�����F���B#%$%&��'#^9�W�«)*�%#]ø�?

� ?O����#%$%&'�!�."*�%�X&�)+�ß)*%���)+�J�8�.�!6%�.�Ô�'¬B�-�'�-����"+�%�7?ÚSL�Ô%)*���!�.&�$B,�)+��TO�!6B�Y)+�-C+$%<=��� �!�«"+E:) EG$%�%&'�!�."*�&�)+,�,>�¯� À Á�Â'Â�ÂtÁ�� à &�)*��9M�=)*��9%�.�!��)*���NB6%�-)+�-�'��TB�!6 $%�Z�"*���-�.9%,.�R#%��#B$%&��-��"+�%��?��86B�5����)+�-"+�R���Z�!6B)*�#%�'#%$%&��-��"+�%��B�-" #%$%&'�F%��"*�"*�����-��"+�%�7T7)*�B#«)©%��"*�"*�����-��"+��&�)+��&�,.��)*��,.��9��1C*�.A*�'��)*�O)*��)*��C*$B<(�'� �D�!")JEG$B�%&��-��"+�HTK����C*)+�-#B,��'�-�I"*ED�86%�'�!6%�'�Z���Z��)*��,�"+C*�.&�)*,.,.�X#B������A+��#§"+�I����<=%,.�R&�"+<=%$%�!�'#H?Z�86 $%�Z�.���.������%����9B,��I�!"���)7�T4EG"*�����B�-�-)*�%&'�T�_a)*B%,��(�!6B�I�%�'C*)+�!�."*��&�"+�%���!��$%&��-"*���-"��-6%�1������$%,.��"*El�-6%�1#B��#%$%&'�!�."*�² bKT�� ? �?.T%Ù ² T7�86B�����ZÙX�-)*P*�'�/)*�=)*��9%�.�!��)*���:%�-"+M"+�-�.�!�."*�X¿µ)+�%#="*$%�-%$%�-�1Ù/¿�? ] ���B&��8#%�'#%$%&��-��"+�%��!6B)*��)+%���)*��)*��)+�-C+$%<=��� �!�H�!"FEG$B�%&��-��"+��&�)+,�,.��)+�-��$B�-�'#©EG"*�H&�"*<=%$B�!)*�-��"+�%)*,+�-)+�!6%�'���-6%)*�©#B��#%$%&'�!�.A*�%$%���"*�����7T�O�Z�8�.,�,W����EG�'�;�!"��!6B��< )+�X_a%6B)*� �!"+<(b(#%�'#%$%&��-��"+�%�7?

çI��A+�����!6%�',��'�-�7TW�-6%�J�.� �!�'�-����)7A �.�%CR"*E;��¬ %����������"+�%�©)*�B# #%��#B$%&��-��"+�%���.�5&'"*<=%,.���-��,.�Y"+�-�-6%"*C+"*�%)+, ?NSLE8)*��'¬ %�-�'�-���."*�W�Ú#%" ���;�%"+�;&�"*� �-)*�.�N)+���#B��#%$%&'�!�."*�%�7T�!6B���X���8,." "*P �;)*�%#X9M�'6%)7A*�'�;��¬ )*&'�!,.��,��.P*��)=&�"*� A+���% �-��"+�%)*,V,.)*<�9�#%)+ �&')*,.&�$%,.$%�F�'¬B�-�'�-����"+�H?;SL�§)+#%#%�.�!�."*�HTB�!6B�5�'A@)+,�$B)*�!�."*�R"+E��-$B&Q6R)*�§�'¬B�-�'�-����"+�R�8��,.,V���%&'$%�2'����"R�-$B�% ��-��<=�NM�'�%)*,.�L�Y9���&')*$%���«�-6%�J)+�-��$%<=%�!�."*�ª9B)*���,² �8��,.,O�B��A*�'�©9��J�!"+$%&Q6%�'#HU©�B"*�!6B���%C��8��,.,O9��,." "*P+��#å$%ª�.�W² )+�%#ª�%"*�-6%�.�%CR�8��,.,�9��«�.�%�������!��#å�.�ª����? ­ "*� A*�'�-����,.�TK�.E;"*$%��#%��#%$B&��!�."*�B�©&�"+��-)*�.�å"*�%,.��-�-�.A ��)+,l��¬ %�������-�."*�B�O�.�^�!6%�'<RT\�-$%&Q6X)*�8&'"*�%���!)+� �!�7T*�-6%���^���Z)*�����'�-����� �-��)+,�,.��9%)*�������%C(&�"+<=%$%�!)+�!�."*�X)*�%#�'A�)*,.$%)*�-��"+���8��,.,K%�-" &'����#�)+,�<="+�-�D�'¬ &�,.$%�-�.A*�',��(9 �=)*%%,.� ���BC©%����<=�.�!�.A*�1<=�'�!6%" #%��)*�%#J<()+�%�.%$%,.)*�!�.�%C©�-6%�)+�-��$%<=%�-��"+�R9%)*���Å%�O�:�8�.,�,V�!6B���R9�������A*�'�-�-���BC(�-"«�L� M�' -�Y#%��#B$%&��-��"+�%��?��86B���I�8��,.,�9��©&�,.)*���.æ%��#REG$%���!6B����86B���^�O�Z&'"*<=�Z�!"�#%�.�-&'$%���8%$%����#B��#%$%&'�!�."*�%�1)*�%#X%$%���:��¬ %�������-�."*�B��?

¦ ���%)+,�,.�TlEG�-�'�()+�%#]9M"+$%�%#å" &�&�$B�-�����%&'���Z"*EO��#B��� �!�.æ%�����:)*���(#%��æ%�B��#])*�:"*�B�(��"*$B,�#Y��¬ M�'&���U����])^<(�'�!6%" #ø�� À Á'Â�Â'ÂtÁ�� à  ² T*�!6%�F)+9%���!��)*&��-��"+�="*�����)*�!"+�Fø=9%�.�%#%��� À Á'Â�Â�Â'Á�� à �8�.�!6B��� ² T�[!$%����)+�X�(9%�.�%#%��� À Á'Â�Â�Â'Á�� à �8�.�!6B����µ�.�=)IEG$B�%&��-��"+�a�(� ÀtÁ'Â�Â'Â�Á��7Ã1Â��5? ] M�'&��.æ%&�)+,�,.�T7�!6%�8�����V"*EM��#%�'� �!�.æ%�������!6%)+�/6%)7A*�OEG�-�'��" &'&�$%���-�'�%&��'�H�.�()�B6%�-)+�-���T#%�'�%"*�-��#:¾Y¿ Ï � Ð T �.�F#%��æB�%��#^)*�8EG"+,�,."7�8�7U

À-Á�x$ÂGÃ¦Ä úFÅrÅeŠıÆ\� q ÀCÁ;x�ÃI�"Ç[ÀCÁ;x�Ä ú �QÇ ÅeÅeÅ Ç[ÀCÁ;x�ıÆ\�À-Á;xGu7�-�!�\w(��Ã`v.�YÈ©� q ÀCÁ;x�ÃI�"Ç[ÀCÁ;x�È©�

ÀCÁ;xAÉ�� q ÊÀCÁ�xAË*� q ÌÍË�Î

ÀCÁ�x�Ï`Ë ú1ÐrÑeÑrÑeÐ Ë�Æ Ñ È©� q ÀCÁ;x�È©�QÒÌÍË úDÐeÑ1ÑeÑrÐ Ë�ÆQÎÀCÁ;xAÓCË ú Ð1ÑeÑeÑrÐ Ë Æ Ñ Ã1� q ÀCÁ;x�ÃI�"ÒpÌÍË ú ÐrÑeÑrÑeÐ Ë Æ ÎÀ-Á�x�ÃÔÄ ú%ÐeÑrÑrÑeРıÆ\� q ÀCÁ;x�ÃI�"Ç[ÀCÁ;x�Ä ú �QÇ ÅeÅeÅ Ç[ÀCÁ;x�ıÆ\�

Õ

Page 9: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

��6B�-)+�-�'�W�86%�.&Q6©#%�.¨M�'�H"+�%,��Z�.�©�!6B���.�H9�"*$%�B#��.#%��� �!�.æ%�'�-�V)*���D&�)+,�,.��#©�*¼ �±����º�½ ��·$#�ö �*¶Q·$��&f�G��T@)+�%#©�8�.,�, 9����.#%��� �!�.æ%�'#H?�86%)+���.��T������8�.,.,&'"*�%���.#%���V�L�O"I%6%��)*�����V�!"�9M���.#%��� �!�.&�)+, ��¨=�!6B���:)*����)+,�B6%)*9����-��&')*,.,��Z&�"+� A*�����!�.9%,.�? ¦ "*�V#%�.�-�-���B&���.#%��� �!�.æ%�'�-��� À�Á�Â'Â�Â�Áe��Ö%T���Z�8�-�.�!�,��0A�/À�×�� ÀtÁ�Â�Â'Â�Á��±Ön×���Ö�3lEG"+�8�!6%�Z%6%��)*����"*9%�-)*�.�%��#XEG�-"+<���9 �«���.<�$%,.�!)+�%��"+$%�-,.�����%,.)*&'���%C(��A+������EG�-�'�:" &�&�$B�-�����%&'�I"+ET�.£F9 �W�*£7T"ØF³ c Á�Â�Â'ÂtÁ8Ù�?VSL�XC+���%�'�-)+,K�!6%�.�F����%,.)*&'��<=��� �;&�)+�N������$%,.�8���^)*��.,�,. �EG"+�-<=�'#5%6B�-)+�-� Ï &�"*�B�-�.#%����EG"+�D�.�%�-�-)*�%&'�T0�`�5ÂeÚ�0��QîDì�Õ8»ñÓ ã�×�Ú\3 Ð T49%$%�D�.��"*$B��#%����&�$B�-����"+�=)*,.,%�-�'%,.)*&��'<=��� �!��8�.,�,l9��©"*EH�!6%�:EG"+�-< 0���×��\3 T �86B��&Q6X�-$B9%�-�-���-$%�!�'�F)*�^�'¬B�-�'�-����"+� Ï � Ð EG"*�8)+�%"*�-6%���8�'¬ %�-�'�-���."*� Ï � Ð )+�%#^���1�!6 $%�)*,.��)7��(A�)*,.��#V?µòI,���"�TD�-$B9%�-�-���-$%�!�."*�B�«&�)+�ð������$%,.�(�.�ÜA@)+�-�.)*9B,��X&�)+%�!$%���TD9%$%�������B&��^)*,.%6%)+9M�'�!�.&RA@)+�-�.)*� �-�()+�-�&�"+�%����#%�'�-�'#J�.#%��� �-��&')*,W���Z&�)*�X)*,.��)7��;%����&',�$B#%�Z�!6%)+�8"*$%�-&�"*<=�Z9 �«�����%)+<(�.�%C=�!6B�:9M"+$%�%#^��#B��� �!�.æ%�����8"*E>��?

é�êeÛ Ü í�A`� C=��=-�<� C ì ?Bð\EG=

¦ �����������Z�-�.�%C+,��Z"*$B�8&������!)+���X��¬ %����������"+�%�;)*�<��¶!ô��\ô���·$��·Gô"&H��U¿ U�U.³ Ó�ÄÕ'Ö�ÉHË�Ä× Ç%ØjÈ@Ë=Ä%Ù/¿ÝÄ%Ûð¿ À ¿ Æ ÄBÞµ¿ À ¿ Æ Ä�à ¿ À ¿ Æ Ä�á ¿ À ¿ Æ Ï c ? S�Ð

�86 $%�(��A*�'�-�å%��"*�"*���.�!�."*� �.�=)*�µ�'¬ %�-�'�-���."*�HU=�'���-6%���=)Y&�"*�B�-�-)*� � Ï )*�ð)*�!"+< Ó�T/"+�NÕ�Ö�ÉHËMT/"+�«× Ç%Ø�È'Ë Ð T�"*�()*�)*B%,��.&�)+�!�."*� Ï "*EF"+�%�J"+EF�!6B�XæBA*�J&'"*�%���!��$%&'�!"*�����-"Y�-6%�X)*%%��"*B�-�.)*�-�«� $%<�9����="*E1%�-"+M"+�-�.�!�."*�B� Ð ? ÷ �X�8�-�.�!�Ý Ö�ìMë�0 ®ª¯©° i± 31EG"+�J�-6%�§�����«"+E�)+,�,I�-$B&Q6ÜB�-"+M"+�-�.�!�."*�%�7?����Ü)*�­�"�D��»\¸X���a·Gô�&�º%����½��O�R�8�.,�,�<=��)+�Ü)µæ%�%�.�!������="*E��-$B&Q6ð%��"*�"*���.�!�."*�%�7?ðò1�«)å&�"+� A*��� �-��"+�HT����^�8��,.,F"*EG�-��� �8�����-�XB�-"+M"+�-�.�!�."*�%�=�.� ���%æB¬µ�%"+�!)*�-��"+�HT��? C�?�8�����-���%C�ÓðÛ Ï ã�àñä Ð ���%���!�')*#�"+E/ÛðÓ Ï à ãÒä Ð ? ÷ �F�8�.,.,M)+,���":$%���F���Bæ%¬5��� � �!)*¬5EG"*�O�!6%�F��� $%)*,.���L�(EG$%�%&'�!�."*��:T��8�-�.�!�.�%Cß¿;�µÑ �.�%���!�')*# "*Ep� ¿ Ñ(? ÷ �§�8�.,�,I&�"*� �-��� $%�R�-"ª$%�-���!6%�§,.���-�!�'�-�§¿Í)+�%#ÝÑ �!"ª#%�'�-�.C*�%)+�!�%��"*�"*�����-��"+�%�7T*)+�%#]Ó�TKãÒ)+�%#åä`EG"+�8)*�!"+<=��?

ç1�'¬�J�O�§���.�%C*,.�R"*$%�J)ª,�)+�-C+���������«"+E��'¬ %�-�'�-���."*�%��)+�]ö��+¼¾»\½ �-?ÚSL� �-$%���-��A+��,.�TO) A�)*,.$%��� ����B�-�'�-�'��-�«)*���¬ %����������"+�Y�86%�.&Q6HTHEG"*��"*$%�5%$%��M"+�-�'��T�&�)+�%�%"*�:9��J���.<(B,��.æ%��#µ)*� ��EG$%���!6B����)+�%#ª<=)7���-6$B��9��J����C*)+�-#B��#])*�)*�-"*<=�.&�)+�%#=���B#%��A �.�-�.9%,.�?H�86%�8%��" &��'�-��"+EM�'A@)+,�$B)*�!�."*�(�!6B)*���8�.,�,M9M�8�.�%#%$%&'��#�9 �©"+$%�D����<=)*� �!�.&���&')*�=9��8A�.������#)*�;"+�%�:"*EH<()+%%�.�%C�%6%��)*�����;�-"(A�)+,�$%�'��?

� U�U.³Þ�8Ä\¿ÝÄF�`� À�Á�Â'Â�Â'Á���ÃIÂ8�ÒÄ\ø�� À'Á�Â'Â�ÂtÁe��Ã� ²�86 $%�F)+�N�'¬B�-�'�-����"+�N�.�F)�A�)*,.$%�:�.¨��.�F�.�F���.�!6%�'�F)�&�"+�%���!)*� ��T "*�8)�%��"*�"*���.�!�."*�HT"+�F)�EG$%�%&'�!�."*�HT%"*�8)�<=���-6%" #H?÷ �:�8��,.,l$%���:�!6%�:,.���-�!���=�Ò�-"=�-)+�%C*�Z"7A*�'�O�-6%�:�����8"*EVA�)*,.$%���7?

�86%�8����<=)*� �!�.&���)+�-�;C+��A+���(9�5�-$B,��'�D�!6%)+�������!)+9%,��.��6F[!$%#BC*<=��� �!�O"*E��!6%�8EG"+�-<Ô²W³Fß[àzáTâã � ´ �=T7�86%�.&Q6=&�)*�9��:�-�')*#X)*�X_ ÷ �.�!6^������M�'&��8�-"(�-6%�©)+�-��$%<=%�!�."*�X9%)+�-�[²8T\%6%��)*���Y�Ú��A�)*,.$%)+�!���8�-":�1bKT "*�X_ SL�²;T*�`%��" #%$%&'����!6B��A�)+,�$%�E�1bKT���-&? ÏG÷ �:�8��,.,l#%��"*N�!6%�Z��$%9%��&�����%�O®ª¯©° i± EG�-"+<¤�!6%�Z��� <�9�"*,©³Fß[àzá*âã �86%���%�'A*�'���.�;���;�')*����,.�#%�'#%$%&��.9%,.�8EG�-"+< �-6%�8&�"+��-��¬ ��"*���.���-�',��'A@)+� �@? Ð �86%�8��$%,��'�D)*���;#%�.A�.#%�'#(�.� �!":�L��"ZC*��"*$%%�7T��-6%�8&�"+�-�;��$%,��'��T7�-6%"7�8��.� ¦ �.C*$B�-� c ? � TH)*�%# �-6%�J��$%,.���5EG"*���-6%�J&'"*�%���!)+� �!�7TW��6%"7�8�ª�.� ¦ ��C+$%�-� c ? S ?X�86%�N,�)+�!�!�'��#%�'%�.&��!�("*�B,��])§EG�����)*<=%,.�F�-$B,��'�OEG"+�O��"*<=�F"+EW�!6%�I%����<=�.�!�.A*�1<=�'�!6%" #%�7Å�!6%�I�-$B,��'�OEG"+�O�-6%�1����<=)*�.�%�.�%C�B�-�.<=���-��A+�1<=���-6%" #%�O&')*�«9��EG"*$B�%#N�',������86B������0 2*3L?

'§"*���8"*E/�-6%�©&�"+�-�Z��$%,.���F)+�-�:���!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#H?-äF$B,��N0Aå:ÀL3������&��.æ%�'�F�!6%���-�'<()+� �!�.&��F"+EVB�-�.<=���-��A+�:<(�'�!6%" #)*B%,��.&�)+�!�."*�%�7TK�L? � ?�T��!6B"*����<(�'�!6%" #ª)+%%,.��&')*�!�."*�B�E�8��� À 686�6�� à ���å�86%�.&Q6;�¤%�-" #%$B&����:)RB�-�.<=���-��A+��<(�'�!6%" #� Ï ����&')*,.,8�!6%)+��%�-�.<=���-��A+�R<=���!6B"#B�«)*���^�-�'%�-�'�-�'� �!��#Ü)*��&'"*�%���!)+� �!� Ð ? �86%�.�«��$%,.�X�.�«<=��)+� ���!"ª9��R$%�-�'# ���&�"+<�9%�.�%)+�!�."*�:�8�.�!6©�-6%��&'"*�%���!)+����-$%,.���V�!6B)*�������&��.EG�Z�!6%�O�-�'<=)*� �!�.&��H"*E\�!6B�O%���.<(�.�!�.A*��<(�'�!6%" #%�7?�SL�©%)*���!�.&�$B,�)+��T�!6B�O,.)*���HB�-�'<(�.���O"+EV0Aå À 3 T��B)*<=��,.��²!³b� �W� À 686�6�� ÃX´ ¿�T��8��,.,\6%)7A+���!"�9����'�-�-)*9%,.�.�-6%�'#�9 �:)��-$%,.���-$%&Q65)*�F0 ä-æ'3"*��0 äzç�3L?`äF$B,��J0Aå Æ 3W��M�'&��.æ%���1�!6%�:����<=)*� �-��&'�F"*EV�%"*�B �%���.<(�.�!�.A*�Z<=���-6%" #R)*%B,��.&�)+�!�."*�%�7T�86%���R�-6%�:��¬ %����������"+��Ò�.�5�8��� À 6�686�� à %��" #%$%&��'�1)«<=�'�!6%" #�"+E/�!6%�5EG"*��< ø�� À Á�Â'Â�ÂtÁe� à  ² ��)*�-6%���I�!6%)+�§)«%����<=�.�!�.A*� ?�ò1,.�!6%"+$%C*6�!6B���Z)*BM�')*�����-"N9��=&�"+<(B,��'�!��,.�§���!)+�%#%)*��# Ï ��A�)*,.$%)+�!�(�!6%�="*�����)*�-"*�7TM��A�)*,.$%)*�-�5�-6%�=)*��C*$%<=�'��-��T�����B,�)+&����-6%�EG"*��<=)*,.�19 �R�!6B�5)+&��!$B)*,.�I)+�%#��'A@)+,�$B)*�!�5�!6%�(9�"#B� Ð TK)*B%,��.&�)+�!�."*�%�I"*ED�-6%�.����$%,.�5�8�.,.,V$B�-$%)+,�,.�^9M�(%����&'��#%�'#�9 �)*B%,��.&�)+�!�."*�%�V"*E/0�å>è�3LT7�86B��&Q65M"+�-�-$%,�)+�!�'���!6%)+�V�86B���()*��)+�-C+$%<=��� �>� ¹ �.�/)�#B��#%$%&'�!�."*�(�!6%�'�5�.�!��&'"*�%&',�$B�-�."*�5&�)*�

é

Page 10: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

êVë�ì5íïî ê:ë�ð-ñ.íÞòQñ ê:ëXó�î5ò úFô%ô%ô ò Æ íöõ ÷ ø úhùê©ëXóÍìúð ú ô%ô%ô ð Æ íûõ

êVë�ì5í ÅTü ú1ý�þ%þDþ%ý ü Æ þGÿ êVë�ð-ñ�íÞòQñ êVë ÿ ÷ ò���� ü � ù íûõ ÷ ø IGùê©ëXóÍìúð úHô%ô%ô ð Æ íûõ

ê©ë�ì5íïõ ê����rõ�jë ÿ í� ÷ ø � ùêVë������������Rì���� ÿ íïõ���÷ ø � ùê:ëRòuíÞò

ê©ë�ì5íïî êVë�ðzñ íÞòQñ ê:ë�î�ò ú0ôDô%ô ò Æ íÞò ÷ ø ! ùêVë�ìúð úFô%ô�ô ð Æ í ò

ê:ë�ì�í ÄTü ú ý%þ%þ�þDý ü Æ þ ì#" ê©ë�ð ñ í ò ñ êVë�ì " ÷ ò � � ü � ù íÞò ÷ ø%$ ùêVë�ìúð ú ô%ô�ô ð Æ í ò

ê©ë ÿ íïõ ê��&�rõ�jë<óÍì ô%ô%ô õ ô%ô%ô í� ÷ ø%' ùê:ëXó�ì ôDô%ôGÿ ô%ôDô í(

¦ �.C*$B�-� c ? � U ­ "+�-������<=)*� �!�.&Z�-$B,��'��?

9��©)*#%#B��#§�-"«�!6%�5)*���-$B<(B�!�."*�R9%)+�-�©9���EG"+�-���O�©B�-" &��'��#R�8�.�!6§�-6%�©9�" #%� ² "*E/�!6B��<=���-6%" #H?;�86%�©�'¬ )*<=%,.����8�.,�,I<()+P*�R�-6%���N&�,.��)+�«�-6B"*���!,.�?ê0�å>æ�3��-���&'��æB���«�-6%������<=)*� �-��&'�«"*EZ6 � M"+�!6%�'�!�.&�)*,1#%��#%$B&��!�."*�B�J�.�Ô�!6%��$%�-$B)*,<=)*�%�B���7?�ä1$%,��«0Aå�ç@3l��)7��;�-6%)*�;A�)*,.$%���8)+�-������,.EG ��'A@)+,�$B)*�!�.�%CK?�ä1$%,��'��0�å*)@3l)*�%#ª0�å*+�3�)*���I�-6%�:)*�%)+,�"+C*$%�'�O"+E�0Aå À 3)*�B#µ0�å Æ 3VEG"*�I%����<=�.�!�.A*��)+�%#§�%"+�% a%�-�.<=���-��A+�©EG$%�%&'�!�."*�%�7TM�-�'�-���&'�!�.A*�',�� ?;�86%������EG"+$%���-$%,.���I�!"+C*���-6%���I��<=�"*����)&�)+,�,. a9� aA�)*,.$%�©#%�.�-&'��B,��.�%�U1�!6B�()+�-C+$%<=��� �!��"*E�<(�'�!6%" #]&�)+,�,.�Z)*�%#YEG$%�%&��-��"+�Y&')*,.,��Z)+�-�5EG$%,�,.�§�'A@)+,�$B)*�!�'#�9���EG"+�-�)*� �§��$%9%���!�.�!$B�!�."*�ª" &�&'$%�-�7?(�86%��<="*���:�%"7A+��,���$%,����.�©�-6%�v#'»F�I¶Q»\¼¾½Y0�å è 3LTW�86B��&Q6å�.�©�!6%��"+�%���!6B)*�:)*,.,."7�8�:EG"*��.�%EG�������%&'�I&'"*<=�"*�����-��"+�HT+�86%������9 ���!6B��&'"*�%&',�$B�-�."*�«"+E�"+�%�I#B��#%$%&'�!�."*�X���;)+#%#%��#X�!"(�!6B��)+�-��$%<=%�-��"+�J9%)+�-��)*�%#������A*���5)*�=)]%�-�'<=�����NEG"+�=)���$%9%���8� $%��� �=#%�'#%$%&��-��"+�H?å�86%�.�=&�)+%�!$%�����=�-6%�N�-�-)+�%�����-��A �.�L�ª"*EF�-6%�^#%��#%$B&��.9%��,.�.�L�����,.)*�!�."*�V?ò1�8)+�^��¬ )*<=%,.�T,.��� ² 9M�:�-6%�:#%�'#%$%&��-��"+�Ç%È@È'ÉVʪ˧ӵÛXã Ì�Î

�QîDì�Õ8» Ï �QÖ@ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVï�ÓµÛXã ÐÏ �QØjË × ÕLí@ÇBÎHï�Ó ÛXã Ð

�86%�Z#%�'�-�.A�)*�!�."*�X9���,."7�������!)+9%,.����6%���8�-6%��[!$%#%C+<=��� �-,=³ ²¸´ Ó ÛXã�àñãÔÛXÓ�Uc ?>¼*Ó ÛNã5Á�Ó�½=³b�QÖ�ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVï ÓµÛXã ´ ã 0 ä + 3� ?>¼*Ó ÛNã5Á�ÓIÁ�ãY½=³��QîDì�Õ8»ñã Ó ´ ãÔÛXÓ 0 äzç'3S ?>¼*Ó ÛNã5Á�Ó�½=³b�Qî�ìMÕ�» Ï �tÖ�Ì  �»lÕLí�Ç%ÎHï Ó ÛXã Ð Ó ´ ãÔÛXÓ c T � TW0Aå è 32�?>¼*Ó ÛNãE½=³��QØjË × ÕLí@ÇBÎHïñÓµÛXã ´ Ó 0 ä ) 3^ ?>¼*Ó ÛNãE½=³��QîDìMÕ�» Ï �QÖ�Ì  �»lÕLí�Ç%ÎHï ÓðÛNã Ð Ï �QØjË × ÕLí�Ç%ÎVï Ó ÛNã Ð ´ ã�ÛNÓ 2KT S TW0Aå�è'3

.

Page 11: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

� / ú �0214365%387 � � �\� � / I �0&193:5<;=7 �Gu7s.�!�> ü�z|��ze�Qz!y 3@?q ;

� / � �0 Ç�Ì 3 Î 1 Â|r�s�u7v.w 387�3 � / � �0 Ç�Ì 3 Ð ; Î 1 Â!�B����� 3�;=7�3 � ;� / ! �0 Ç[Ì 3 � ; Î 1 ÂLs.��� �!��u7�\� 3 � ;�7�3 � / $ �0 Ç[Ì 3 � ; Î 1  � v��*�t�-��u7�\� 3 � ;�7�;

� / ' �0 Ç[ÌQ�M� 3 Î 1 ÂL�\�4�\�\s.�L���\�'�4u��@v.�4�µ�M� 387�3���

¦ ��C+$%�-� c ? S UV�86%�Z�-�'<()+� �!�.&��8"*EV&�"+�%���!)*� �-��?

_ ?*,=³(Ó ÛXã ´ ÓµÛNã 0Aå�ç@3Õ*?*,=³ ²;´ ÓµÛXãÔàñã`ÛNÓ _ T ^ TW0Aå æ 3ò1�8)+�%"*�-6%���8�'¬ )*<=%,.�T&�"+�%����#%�'�8�!6%�:#B��#%$%&'�!�."*�

² ³¸� Ï ø[4 Â��84 Ù�Ù/Ó Ð ïVìMÉVîHØ�Ë'í@ÎVËQ �Ç%Õ'Ìjì�ÎHÂ÷ �:�����!)*9B,��.�-6X�!6B��[!$%#%C*<=�'��b¼+Ù�Ù/Ó[½=³ ²;´ Ó )*�8EG"+,�,."7�8�7Uc ?>¼+Ù�Ù/Ó[½=³(ø[4 Â��84 Ù�Ù/Ó ´ ø�4 Â��84 Ù�Ù/Ó 0Aå�ç@3� ?>¼+Ù�Ù/Ó[½=³�ïHì�ÉVîHØ�Ë�í�ÎHËn �Ç%Õ�Ì�ìMÎ ´ ïHì�ÉHîVØjË'í�ÎHËn �Ç%Õ�Ì�ìMÎ 0Aå�ç@3S ?>¼+Ù�Ù/Ó[½=³��QïHì�ÉVîHØ�Ë�í�ÎHËn �Ç%Õ�Ì�ìMÎñÙ�Ù/Ó ´ Ó 0 äzè'32�?>¼+Ù�Ù/Ó[½=³ ²µ´ Ó c T � T S Tl0�å Æ 3�86%�5�%��¬ ���-�'�-$%,.�1&')*�§9���B�-"7A+��#R#%�.�-�'&��-,��^"*�Y�!6%�59%)*���.�I"+E��!6%�(EG"*��<=)*,V�-�'<()+� �!�.&��7T%"+�I�-)*P*�'�R)*��)J&'"*��"*,.,�)+�-�"*EV�!6B����¬ �.�-�-���%&'�:"*E/)«#%�'�!�'�-<=�.�%�����!�.&©�.� �!����%�����-���BA ��$%&Q6R�!6B)*��²!³,� ´ � �.¨:A Ï ��Á�² Ð ³ � Ï �O�©�8�.,.,�#%�'æ%�%���$%&Q6N)+�N�.� �!�'�-%�����-���8�.� ] ��&��-��"+� c ? é ? c*Ð ?Cb»VË ìMÖ�Ë ÊEDGFHDJIö�±�*¶e�"��½©� ½@ö �*¼¾»F�"��½ �~�aô@���:¸(ô��%�:ô�&M½§ö �*¼¾»\½LKNMC���"�©·$�PO�ó@ô*¶u�*¼G¼T²BO:· óY²!³,� ´ �KÀV�"&Bõ²!³E� ´ � Æ �G�+½�&:�KÀ8³�� Æ K

é�êRQ S ADí�í � ?UT:�pí�A � C ì î CWV>AD=�?û�<� ;5�pî>î>ð ìYX í � ¬�86%�©EG"+,�,."7�8�.�%C«,.��<=<=)J��¬ %�����������F)«��"* a&�)+,�,.��#`_ #%��,.$%�-��"+�%b«%��"*������L�WUD�.ED)«#%�'#%$%&'�!�."*� ² � �.��,.#%�1)J&�"*�B&�,.$%�-�."*�¿��.�^�-"+<=�X²8T �!6%�'�^���8�8�.,�,�&�"*� �-��� $%�Z�!"=#%"���"=��A+���X��EV�O�Y_ #%��,.$%�-��bY² �8���-6R)*#%#%�.�!�."*�B)*,l%��"*�"*�����-��"+�%�7?Z Ë ÊªÊªÇ6D[F]\_^R`NÌ�ØjÉVÕ�Ì�ìMÎ Z Ë ÊªÊªÇba:cGó�²�³ ²;´ ¿û���*½ &�²6d�²UeC³ ²;´ ¿�KÝ Ö�ìWì�×gf��;�N�-�-�-"+�%C5�.�%#%$B&��!�."*�^"+�N�-6%�:,��'�%C*�-6^"*E��-6%�:#%�'�-�.A�)*�!�."*�X"*EV�!6B��[!$%#%C*<=�'��>²!³ ²µ´ ¿�?

���'�hJi!}>� ÏÍÝ Ö@ì�ë�0 ®ª¯©° i± 3 Ðkj Ý Ö@ì�ë�0 ®ª¯©° i± 3l9M�:)+�N)+�-9%�.�!��)*���=9%�.�%)*���«����,.)*�!�."*�V? ÷ �:�8��,.,l��)7���!6%)+�&h�.��M0�+¶��ml@·$��&R��¨����8�.��U

c ¬

Page 12: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

¶ ¶!½onI½rd\·Gö@½'T � ? �?.T"²@hª¿��86%�'�%��A+���:¿qpp²FŶ ¸(ô�&Mô��aô�&M·$#�T%� ? �?.T�² À d�² Æ hª¿Ú�86%���%�'A*�'��² À hå¿�Å\)*�%#

¶ �a¶e�"&H��·$��·Gö@½'T � ? �?.T"²@hª¿ Æ �86B���%�'A*���>²rhª¿ À )*�%#~²6d©¼4¿ À ½#hª¿ Æ ?¦ $B�-�-6%����<="*���T+�O�Z�8�.,�,��-)7�«�-6%)*��U

¶ h ¶|½ � �\½%#����1)=%�-�.<=���-��A+�Z<(�'�!6%" #54 ��¨©²rhª¿`�86B���%�'A*���>²!³��84 �lÀtÁ'Â�Â'Â�Á8�\à ´ ¿�Å)*�B#X�-6%)*�

¶ h ���,#'¼¾ô"��½�õX»F&Bõ+½'¶R�"�D� ô"�G�+½��a·$#%�*¼V¶|½%����ô�&M·$&.BX��¨:²@hå¿ àñÑÚ�86%���B��A*�'�>²6da¼*¿b½#håÑ(?�86%��[!$%#%C+<=��� �!�>²�³ ²µ´ ¿`�-�.�%C*,.�Z"*$%�8)=#%�'�-�.A�)*9%�.,.���L�«����,.)*�-��"+�

s ß�àzá*âã i@} � Ï�Ý Ö�ìMëO0 ®ª¯©°<i± 3 Ðtj Ý Ö@ì�ë�0 ®ª¯©°<i± 3)*�;EG"+,�,."7�8��U

² s ß�àzáTâã ¿ ��¨ ÏRu;² Ð 0 ²�³ ß�àzá*âã ²µ´ ¿83aÂÏG÷ 6B���^���8�.�8&�,.��)+�8�!6%)+�8�O�Z)+�-�Z�!)+,�P �.�%C=)*9�"*$%��®ª¯©°<i± ���Z�8��,.,W����<=%,.�J�8�����-� s �.�%���!��)+#N"+E s ß�àzá*âã ? ÐZ Ë ÊªÊªÇ6D[F]vwMC�+½5¶|½@¼��"��·Gô"& s ß�àzá*âã ·$�=M0�+¶��ml@·$��&[KÝ Ö�ìWì�×gf@äF��c%��¬ �.A�.�L� EG"*,.,�"7�8�X9 � A�.���!$%�Y"*E,�+ØjÇ%Ì�ʵUª��E«¿Ep ²ù�!6%�'�µ²!³����*Ø�Ç%ÌjÊ ¿ ´ ¿ )+�%#Ô�-6%������EG"+�-�² s ¿�?�'�"*�%"+�!"*�B��&'���L���8�.,�,lEG"+,�,."7�Ô�.EH����&�)*�X��6%"7�Ô�!6B)*��²Ydb²Ue-³ ²;´ ¿`�86%���B��A*�'��²�³ ²;´ ¿�?V�86B���8��)*������!)+9%,.����6%��#X9 �«�!6B�:#%��,.$%�-��"+�X,.��<=<=)�? ¦ "*�8�-�-)+�%�-�.�!�.A ���L� T�-$B%M"+�-�Z�-6%)*�>² s ¿ À )*�%#~²6d©¼4¿ À ½ s ¿ Æ T�-"=�-6%)*�

²!³ ²«À±´ ¿ À Ï c ? 2 Ð

)*�B#²6du¼4¿ À ½=³ ² Æ ´ ¿ Æ Ï c ? ^�Ð

EG"*�8��"*<=� ²«À Á ² Æ ? ] ���-�!�.�%C² ³;� Ï ø(�Z ² Æ Ð ²«À

EG"*�;��"*<=�[�J�!6%)+�8#%" ���8�%"+�;"&'&�$%�8�.� ² Æ T�!6%�:EG"+,�,."7�8�.�%C5#B������A�)*�-��"+�N�'�-�-)*9%,.�.�-6%�'�;�!6%��[!$%#BC*<=��� �>²!³ ²µ´ ¿ Æ Uc ?T²6d©¼4¿ À ½R³(ø��Z ² Æ ´ ø(�Z ² Æ 0Aå�ç'3� ?T²6d©¼4¿�À�½R³(¿�À ´ ¿�À 0Aå ç 3S ?T²6d©¼4¿ À ½R³ ² Æ 0 ¿ À ×��\3 ´ ¿ Æ òI�-��$%<=%�!�."*� c ? ^ T���.�%&�� ² Æ 0 ¿ À ×��\3H³ ² Æ2�?T²6d©¼4¿ À ½R³�� Ï ø��: ² Æ Ð ¿ À±´ ¿ Æ c T � T S Tl0Aå Æ 3^ ?T²!³Y� Ï ø��� ²ZÆ Ð ² À ´ ¿ Æ òI�-��$%<=%�!�."*� c ? 2�T2KTW0Aå�è'3SL�;EG"*,.,�"7�8�8EG��"*< ²�³ ²;´ ¿ Æ �-6%)*�>² s ¿ Æ ?

Cb»VË ìMÖ�Ë ÊEDGFHx s ß[àzáTâã ·$�E�G�+½J¼¾½%���%��MH�*¶��Pl@·$��&ð¶|½'¼A���a·Gô�&!�����"�F¶|½ �G� ½%# �G�E�G�+½R��¶Q·G¸(·$�a·Gö'½^¸(½����*ô@õ��(ôaóZ®ª¯©° i±��&MõJ·$�R#@¼¾ô���½�õN»F&Mõ*½@¶R���D�\ô����*½ ��·$#%�*¼V¶|½%����ô"&B·$&.ByKÝ Ö�ìWì�×gf«�86%)+� s ���Z�V)*���-P �.)*�§��)*���-6B"7�8�§9 �R�!6%�=%����&'��#%�.�%CJ,.��<=<=)�?�SL�Z�.�Z)*,.�-"N�-�-�-)+��C+6�-EG"*���O)+�-#^�-"N%��"7A*��!6B)*� s ������M�'&��-�:�!6%��%���.<(�.�!�.A*�=<=���-6%" #%�:"*E�®ª¯©° i± )*�%#]����&�,."*����#�$B�%#%���:6 � �"*�!6B���!�.&�)+,��-�')*��"*�%�.�%CK?:�86 $%�6%�'�-������"*�%,.���B����#ª�-"R�-6B"7� �-6%)*�:�.E�² s ¿ê�!6B����²@hª¿�TWEG"+�©)*�å)*��9%�.�!��)*���§����,.)*�!�."*�zhÒ�!6%)+�©�-�'�-���&'�!�©�-6%�

c*c

Page 13: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

%����<=�.�!�.A*�Z<=���-6%" #%�F"*E�®ª¯©° i± )*�%#X�.�F&�,."*����#X$%�%#%�'�86 ��"*�-6%���-��&')*,l����)+�-"+�%���BC�?�ç1"7���-6%�:)*����$%<=%�!�."*�~² s ¿<=��)+�%�8�!6%)+�8�!6%�'�-�Z�.�8) ² ��$%&Q6^�!6B)*�

²!³ ²¸´ ¿ Ï c ? _�Ð)*�B#�6%�'�%&��=���(<=)7�R%��" &��'��#]9���-�-�-"+�%CJ�.�%#%$%&'�!�."*�å"*�]�!6B�(,.���BC*�!6W�Ü"+E��-6%�=#%������A�)+�!�."*�]"*E��-6%�.��[!$%#%C*<=�'���?÷ 6%�'�u� ³ c T c ? _ <�$B�-�F9���)+�R���B�-�-)*�%&'�©"*E/)«%���.<(�.�!�.A*�' �<=�'�!6%" #R)*¬ �."*< Ï � ? CK?�TH0¾äzæ@3 Ð T%)+�%#§�.�R�!6%)+�1&�)+�-�:�-6%�������$%,��IEG"*,.,�"7�8��EG��"*<Í�!6%�()*����$%<=%�!�."*�§�-6%)*��h`������M�'&��-�I�'A*�����X%�-�.<=���-��A+�5<=�'�!6%" #H? ¦ "+�I�-6%�=���B#%$%&��-��A+�����!�'HT,.���>�@{ c )+�%#N)+�-��$%<=�:�!6B)*�8�!6B�:�-�'�-$%,.�86%"+,�#%�8EG"+�8)*,.,W#%�'�-�.A�)*�!�."*�B�8"*EV,��'�%C*�-6X,.�����8�!6B)*�a��? ÷ �:%�-" &'����#X9 �J)&�)+�-�;)+�%)*,.� �-�.��"*E��!6%�1�-$%,.�8�!6B)*���.�D$%����#��.�(�-6%�F,.)*����,��.�%�8"+E��-6%�8#%�'�-�.A�)*�!�."*�="+E c ? _ ?W�86%�'�-�8)+�-�;æ%A+�8M"+�-���.9%��,.�.�!�.���EG"*���86%)+�O�-6%)*���-$B,��I&�)*�N9M� UH�������;"+�%�I"+El�!6%�Z%���.<(�.�!�.A*�' �<=�'�!6%" #«)+¬�."*<=�7Å+"*����,.�-�I�������©0AåZÀ!3LÅ*"+�Z0Aå Æ 3|Å+"*�:0�å æ 3LÅ"*�«0Aå�è'3 ?�ç1"^"+�!6%�'����$%,.�=&�"*$B,�#]M"+�-���.9%,��R9��=$%����#]�!"^#%�����.A*� c ? _ EG"+�:�-� � �!)+&��!�.&(�-�')*��"*�%�7U8�-6%�I[!$%#%C*<=�'�� c ? _����,.)*�!�'�1) õ*½�õ*»F# �a·Gô�& ² �-"N)N%��"*�"*�����-��"+� ¿�T��86%������)+�1�'A*�����^�-$B,��5"*�!6B���Z�!6%)+���-6%�5)+EG"*����<=��� �-��"+�%��#§����,.)*�-���)*�ª½ed��K¶|½��%��·Gô�&^�!"=)=A@)+,�$B�? ÷ �:&'"*�%���.#%������)+&Q6N"+E��!6B��æBA*��&�)*�����;�.�^�!$%���H?HSL�^�!6%�Zæ%���-�;&')*���I�-6%�Z�-�'�-$%,.�;)*C+)*�.�EG"*,.,."7�8��EG��"*< �!6%�:��$%%�"*�����-��"+�N�-6%)*�&h �-�'�-���&'�!�8)+,�,l%���.<(�.�!�.A*�:<=�'�!6%" #%�7?VSL�N�-6%�:&�)+�-�'�8"*E;0�å À 3W)+�%#ª0�å Æ 3l�-6%�������$%,���EG"*,.,�"7�8�O��<=<=��#%�.)*�-��,.�5EG��"*<ù�-6%�1�.�%#%$%&'�!�.A*�F6 � �"*�!6B�������7?HSL�«�!6%�I&�)+�-�F"+ED0�å>æ�3��!6%�I���B#%$%&��-��A+�16 � M"+�!6%�'�-�.�� ���',�#B�b²|d5¼4¿b½ hªÑ5TV)*�B#µ�!6B������EG"*���,²@hª¿Üà ÑñEG"*,.,."7�8�5EG��"*< �!6B�N)+�-��$%<=%�!�."*�µ�!6%)+�Yh �.�5&',�"+�-�'# $%�%#B���6 � M"+�!6%�'�!�.&�)*,V����)*��"*�B���%CK?8SL�§�-6%�(&�)*����"+E��!6%�(&�$B�I��$%,.�T/0�å è 3LT��!6B�5�.�%#%$%&'�!�.A*�56� �"*�-6%����������� �!)+��,C²rhª¿ )*�%#²�da¼4¿b½#hªÑ5T+�-"(�%"7�Ô�-6%�Z#%�����.�-�'#:[!$%#%C+<=��� ��²@håÑÚEG"*,.,�"7�8��EG��"*<ñ�-6%�Z�!��)*�%�����-��A �.�L��"*E}hµ?H�86%���8&'"*<=%,.���-����!6B�:&�)*����)*�%)+,�� �����8)+�%#N�-6%�:�.�%#%$%&'�!�.A*�:)*��C*$B<(�'� �@?

�86%�(�-"+$%�%#%�B������"+ED®ª¯©° i± EG"*,.,."7�8��)+�Z)N#%�.����&��Z&'"*��"*,.,�)+�-�X"*EO�!6%�.�:�!6%�'"*����<§? ] M�'&��.æ%&�)+,�,.�T�#%�'æ%�%�RÄ ³Ò)+���-6%�$%��$%)*,/����,.)*�-��"+�§"*ED,."*C+��&')*,V��<=%,.�.&�)*�-��"+�HTK��"N�-6%)*�X²ÚÄ ³ ¿ 6%"+,�#B���.¨ª��A+�����^��� �!�'�-B�-�'�!)*�-��"+�§�!6B)*�Z�-)+�!�.�-æB������)*&Q6��,.��<=�'��Z"+E`² )*,.�-"N�-)+�!�.�-æB����¿�?:SL�:�.�:���!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#R�!"X�-6B"7� �!6B)*��Ä ³Ò�.���V)*����P�.)*�VÅK�!6%)+�Z���:������M�'&��-���-6%�%����<=�.�!�.A*��<=���!6B"#B�F"*E�®ª¯©°ji± Å)*�B#N�-6%)*�8�.�;���F&',�"+�-�'#J$%�B#%���86 � M"+�!6%�'�!�.&�)+,l�-�')*��"*�%�.�%C�?�91�'�%&��Z�86%�'"*����< c ? 2��� �-)*�.,��8�-6%)*��²ðÄ ³Ô¿`�86%���B��A*�'�>² s ¿�?~ ìMÖ�ì�ØjØ�Ç%Ö���D[F]�J^��VìMÉVÎHïVÎVËÈ@ÈLaYc�ó�² s ß[àzá*âã ¿û���*½ &Y²µÄ ³Ô¿�K

¦ "+�8&�"*<=%,.���-���%�'�-�7T���:�%���'#N"+�%,��N�-6B"7�Ô6%"7���-"���<59M�'#N®ª¯�° ± �.� �!"(®ª¯©°<i± ? ] ���%&'�Z�!6%�:EG"+�-<=���86B)*�8)*,. ����)*#B�I9����'�©�-6B"7�8�©�!"I9M�O&�"*<=%,.���-�T@�-6%�O&'"*<=%,.���-���%�'�-�H"*E\�!6B�O,.)*�-�!���V�8�.,�,EG"*,.,�"7�ª9 �ZA �����!$B��"*E\�-6%���'<�9���#%#B���%CK?÷ �:#%��æ%�B��)��-�-)+�%��,�)+�!�."*�J<=)+%%�.�%C&�ùEG��"*< ®ª¯©° ± #B��#%$%&'�!�."*�%�1�!"(®ª¯©°<i± #%��#B$%&��-��"+�%�F)*�8EG"+,�,."7�8�7U

�R0 0 ´�¶Q·G¸5¹.º©»\¼¾½J¿�ÀtÁ'Â�Â�Â�Á�¿là 3 3 ³ �-´I¶Q·G¸5¹.º©»\¼¾½�¿�ÀtÁ'Â�Â'ÂtÁ�¿lÃ Ï c ?°Õ Ð�X0 0pÇ%È@È'ÉVʪ˧¿¤Ì�Î ² 3 3 ³ Ç%È'È@ÉVʪË�¿ ÌjÎ��X0 0 ² 3 3 Ï c ? é�Ð

�X0 0 ² À�Å ²�Æ 3 3 ³ � Ï ø(�ZÂR�X0 0 ²ZÆ 3 3 Ð �X0 0 ² ÀL3 3 Ï c ? .�Ð�86%�'�-���!6%�:�.#%�'��-��æB���>�J�.� c ? . <�$B�-�;�%"+��" &'&�$%�8�.� ² Æ ?Vç1"*�-�Z�!6%)+�8�-�.�%&��Z%��"*�"*���.�!�."*�%�;6%)7A+�I�-6%�Z��¬ )*&'����)*<=�)*9B�-�-�-)+&����-� � �!)+¬R���å9�"*�!6],.)*�%C+$%)*C+���7T��O�=<=)7�§�.#%��� �!�.EG� Ý Ö�ì�ë�0 ®ª¯©° ± 3D�8�.�!6 Ý Ö�ìMëO0 ®ª¯©°<i± 3L?5�86$B�:�O�=#%"�%"+�19�"*�!6B�����!"J#B�����!�.�%C*$B����6§9����L��������)�®ª¯©° ± %��"*�"*���.�!�."*�R)*�B#§���-�1®ª¯�°ji± &�"+$%� �!����%)+�-��T%)+�%#§�!6B���������86 ��!6B�©A�)*����)+9%,��'�©¿ À Á�Â'Â�Â'Á�¿ à )+%���)*�1���§�-6%�©��)*<=�:&�)+%)*&'���L�N"*�R9�"*�-6§�-�.#%�'�F"*E/�!6B���8� $%)+�!�."*� c ?°Õ Ï )+�%#R,.��P+���8�.�-�EG"*�O�!6%��6 � M"+�!6%�'�-�.�1¿Ô�.� c ? éKÐ ?����=�'¬�-���%���."*�HT+���F�8��,.,K�%"*�O#%�.�-�-���%C+$%�.�-6«9����L�����'�«)©®ª¯�° ± )*���-$B<(B�!�."*��9%)+�-�)*�B#N�.�!�8®ª¯�° i± &'"*$%� �!�'�-B)*���@?H�86%�:EG"*,.,."7�8���%C(������$%,��;%��"7A*�'�;�!6%�:&'"*���-�'&��!�B������"+E��-6%���1#%����$%C*)+�-�.�%CKUCb»VË ìMÖ�Ë ÊEDGFH�JcGój²W³ ß�àzá ã ²;´ ¿û�G�+½�&Y²v³ ß[àzáTâã �^0 0 ² 3 3 ´ ¿�KÝ Ö�ìWì�×gf�òÒ���!��)*�.C*6 �-EG"*���O)+�-#«�.�%#%$B&��!�."*�^"+�N�-6%�:,��'�%C*�-6^"*E��-6%�Z®ª¯©°;±:#%�����.A@)+�!�."*�X"*E�²!³ ²µ´ ¿�?

­ "*<=%,.���-���%�'�-�8�.�8�%"7�`��<=<=��#%�.)*�-�U~ ìMÖ�ì�ØjØ�Ç%Ö���D[F]�J^ ~ ìMʪëVØjË Õ'ËÎVË È'ÈLa�c�ój²µÄ ³�¿ï�G�+½�&E² s ß[àzá*âã ¿�K

c��

Page 14: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

Ý Ö�ìWì�×gf�SLEz²`Ä ³ ¿ �!6%�'���-6%�������.�Z)«®ª¯©° ± #B��#%$%&'�!�."*� ² ��$%&Q6§�!6B)*�X²v³ ß[àzá ã ²µ´ ¿�?[�;�^�86%��"+�-�'< c ? _ T²W³Fß�à-á�âã �X0 0 ² 3 3 ´ ¿�T�86B��&Q6^�.�F�!"=��)7�E² s ß[àzáTâã ¿�?

é�ê�� : ì ð ì ?��uA��>A`�p?��pASL�J�-6%�.�8�-�'&��!�."*�J�O�����BEG"*��<()+,�,.��#%�'�-&'�-�.9M��)(�-$%9B�-�-���-$%�!�."*�% a9%)+�-�'#J�.��-����%�����!�'�OEG"+�;��A�)*,.$%)*�-���BC�)5®ª¯©°ji± B6%�-)+�-��é�.��)+��)*����$%<=%�!�."*�`9%)*���:²;?¤�86%���^�.� �!����%�����-���X�8��,.,Z9M�å����C+"*��"*$%��,��Ü��¬ %����������#ß�.� '§�H �B�-�'$%#%" &�" #%�Y���] �'&��!�."*� c ? é ? c Tl�86%�����=���:�8�.,�,�)*,.�-"^9�����¬ �!�'�%#%��#å�-"X6B)*�%#%,.����"*<=�=�%��� �-� � �!)+¬§EG"*��<=�:�!"R9������ �!��" #%$%&'��#]���] �'&��!�."*� c ? _ ? ÷ ���8��,.,�)+�-��$%<=���!6%)+�©����6%)7A*�=)*�å)+,�C+"*�����-6%<â)+�:"*$%�©#B����M"+�-)+,�EG"*�©)+%%,.� ���%CR)+� ��%����<=�.�!�.A*�<=���-6%" #©"*�HEG$%�%&��-��"+�©�!"I)*�©)+�-9B���-�-)+�-�F���8� $%�'�%&��O"*E\A�)*,.$%�'���.�©)*�©)+�-9B���-�-)+�-�I)*���-$%<=%�-��"+�:9%)*���?W�86%���.� �!�'�-%�����-����.�8�-� � �!)+¬ a#%����A+���HÅ+�.�8%��"&'���'#%�;���^)*&'&�"+�-#%)+�%&����8�.�!6^�!6%�:��� � �!)*&'�!�.&Z�-�-�-$%&'�!$%���Z"*EV�!6%�:�.�%%$B�8%6%��)*���Y��U

¶ SLE,� ���N)å<(�'�!6%" #ß)+%%,.��&')*�!�."*� �8�¯� À 686868� à T��'A�)*,.$%)*�-�@� �.�¸² �!"ª"+9%�!)+��� ��"*<=�RA�)*,.$%�@�(?Ô�86%����.�%�.�!�.)*,.�32'�=)X�����Z"+EO,.��<=<=)*�[²9e��-"^9M���-6%����<=%�L�§�����8,TK)*�%#]���!)*���Z��A�)*,.$%)+�!�.�%CN�')*&Q6])*��C*$%<=�'��E�*¹����²8T�EG"+�RØ=³ c Á'Â�Â�Â�Á���T��!"R"*9B�!)*�.�åA�)*,.$%���a�KÀtÁ8� Æ Á'Â�Â�Â�Á8�\ÃW?«SLER� ¹ �.��)R#%�'#%$%&��-��"+�HT��-"R�-6%)*�©�-6%�«A�)*,.$%�:� ¹B�-" #%$%&'��#§9 �^�.�1�.�I��"*<=��B�-"+M"+�-�.�!�."*�ª¿�TM�!6B���§)+#%# ¿Ò�!"N�!6%�(,.��<=<=)J�����j² e ? ÷ �(���!�������1�!6B)*�1�-6%�.���.�"+�%,.�X#B"*�%�5EG"*���!6%"+�-�5)*��C*$%<=��� �-��� ¹ �-6%)*��)*���TB�-� � �!)+&��-��&')*,.,��X�-���)+P ���%CKTM#%��#%$B&��!�."*�B��? ÷ 6%���Y�O�56%)7A*��'A�)*,.$%)*�-��#å��A+�����R)*��C*$%<=��� �,� ¹ T��O�=%��" &��'��#å9 ��)^&�)+�-�=)*�B)*,.����.�:"*E��!6%��A�)*,.$%�:�¤�-6%)*�:����"*9%�-)*�.�%��#EG��"*<7�5Uc ?OSLE� ���X)µ%���.<(�.�!�.A*�]<=���-6%" #­4 T;��$%&Q6Ô)+�§ÊªìWïVÉVÈ|í�ëDìMÎVË ÎHÈ7T;�!6%�'��)+%%,.�¦4 �!"µ�-6%�]A@)+,�$B���

�lÀQÁ�Â'Â�Â'Á8�\ë�.�a²6db² e ?� ?OSLE>�Ú�.�F)=<=���-6%" #X"+EH�-6%�:EG"*��<éø�� À Á�Â�Â'Â�Áe� à  ² T �-6%���^�'A@)+,�$B)*�!� ² 0A� À ×�� À Á'Â�Â�Â'Á8� à ×�� à 3����a²6db²9eL?S ? � �!6B�����8�����I�����"*���;)*�^������"*�7T4�����B&��:�.�X�-6%)*�;&')*���E�Ý#%" �'�8�%"*�8#%�'�%"*�-�Z)(<=�'�!6%" #H?

¶ SLEj�Ý�.�1)«#B��#%$%&'�!�."*�§"+E/�!6%�5EG"*��<éÇ%È@È@ÉHʪËW� ÌjÎ ² TB��A�)*,.$%)+�!��Ò�.�©²;?�SLE��-6%)*�I��A*�'� �!$%)+,�,.�J%��" #%$%&'���)]%��"*�"*�����-��"+�Ô¿�T/�'A@)+,�$B)*�!� ² �.�@²�d�¼*¿b½«�-"Y"+9%�!)+���ð�-"+<(�X&�"+�%&�,.$%����"+�ÔÑ )+�%#µ�����-$%���µ�!6B�N&'"*�%#%�. �-��"+�%)*,�¿ßàñÑ )+�I�-6%�(æ%�%)*,/������$%,.�@?ISLED�!6B�5�'A@)+,�$B)*�!�."*��"*E<� ���V²ªB�-" #%$%&'�����-"+<=���!6B���%CN"*�-6%�����!6%)+��)B�-"+M"+�-�.�!�."*�HTC+���%�'�-)+�!��)*�X�����-"+��?

¶ SLE[� �.�:)N&'"*�%���!)+��I��¬ %�������-�."*�!�'TK)XEG$%�%&��-��"+���(� À Á�Â�Â'ÂtÁ�� à Â8�5T�"+��)X<=���-6%" #ðø�� À Á�Â�Â'ÂtÁ�� à  ² T������-$%�-���?

¶ SLER�ù�.�©)§EG$%�%&'�!�."*�ª)+%%,.��&')*�!�."*�;�¯� À Á�Â'Â�Â�Á�� à TH�'A@)+,�$B)*�!�:�¤�.��² �!"RC+���©)RA�)*,.$%�V�¤EG��"*< �.�@?J�86%������!)+�-����A�)+,�$%)+�!�.�%CJ�')*&Q6§)+�-C+$%<=��� �E�±¹O�.�:²8T�EG"+�<Ø�³ c Á�Â'Â�ÂtÁe��? � �%&'����A+�����5�±¹�6%)+�IB�-" #%$%&'��#Y)NA�)*,.$%��F¹�T %��"&'���'#N9 �«)+�%)*,.�n2��.�%Ca�=U

� SLE>�Ú�.�F)=%����<=�.�!�.A*�ZEG$%�%&'�!�."*�@U�T�-6%���^)*B%,��WUN�-"(�-6%�:)*��C*$B<(�'� �!�R� À Á�Â'Â�Â'Á8� à �.�a²;?� SLE>�Ú�.�F)=EG$%�%&'�!�."*�5�`�\ÀtÁ'Â�Â�Â'Á���ÃIÂ��5T ��A�)+,�$%)+�!�,�50A�KÀ8×��\ÀQÁ�Â'Â�Â'Á8�\Ã�×���Ã3W�.�a²;?� � �!6B�����8�����I�����"*���;)*�^������"*�7T4�����B&��:�.�X�-6%)*�;&')*���E�Ý#%" �'�8�%"*�8����%��������� ��)=EG$%�%&��-��"+�H?

�86%�(<("+�-�I�%"*�-����"*���!6 �X%)*���1"+E��!6%�(��� �-����%�-�'�!�'�I�.� A*"*,.A*�'�F�!6B�56%)+�%#%,.���BCJ"*E��!6%�(&�$%�I�-$B,��R0�å>è�3L?I�86%��&'$%���$%,��5���Z�%"+�% a#%���-����<(�.�%�.�-�-��&5���Y�!6%)+�I)X<=���-6%" #�&�)+,�,��8�¯� À 6�6868� à <=)7�^6%)7A+������A*�'�-)+,�#%�'#%$%&'�!�.A*�()*��C*$%<=��� �-��T)*�B#Ü�.�ßC*�'�%����)*,8���R<=)7�µ6%)7A+�^�!"ê_aC+$%������b]�86B��&Q6 "*EZ�-6%"*���R#%��#B$%&��-��"+�%�«)*���R�%�'&�������)*���ª���ß"+�-#%�'��EG"*�«�-6%�)*B%,��.&�)+�!�."*�ð"*E�� �!"å��$%&�&'���'#H? ¦ "*�=��� �-����%�-�'�!)+�!�."*�µB$%�-�"*�����7T�6B"7�O�'A*���7TV���N��"*$%,.#Ü,��.P*�^�!"]6%)7A+�N)åæ%¬ ��#��A�)+,�$%)+�!�."*� ���!��)*�-��C+�]�.�Ü"*��#%���(�!"])7A*"+��# �-6%�^�%���'#µEG"+�(9B)*&QP �!��)*&QP �.�%C�?Y�86%�^����<=%,.�����5��)7�å�!"å����<="7A*�«�-6%��%"+�%#%���-����<=���%�.��< )*���-" &��.)*�-��#Y�8���-6 0Aå è 3����:�-"N�.�%&'"*��M"+�-)+�!���-6%�=&�"+�%&�,.$%����"+�%�Z"*ER�+¼G¼/)+�-C+$%<=��� �!�,�*¹��!6%)+��)+�-�

c�S

Page 15: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

#%�'#%$%&��-��"+�%�7?��86%���Z�',��.<=���%)+�!�'���-6%�=�%���'#��-"N9%)+&QP �!��)*&QPX)*�%#Y���Z��"*$%�%#�"7�8���%CX�!"N�!6%�=#%�.,.$%�!�."*�],��'<=<()KTMEG"*�Z��E�!6B��)*%%,.�.&�)*�-��"+�YC+" ���:�!6B�-"+$%C*6]�8���-6ª�!6%��6B��,.]"+E=��ô+¸5½«"*E��!6%��#B��#%$%&'�!�."*�%��EG�-"+< � À Á�Â'Â�Â'Á8� à TW�-6%���å�.�:�8��,.,&��'�-�-)*�.�%,.�5C+"©�!6%"+$%C*6J�8���-6J�!6B�I6%�',�J"*El)*,.,�"*EW�-6%��<§?C'§"*����"7A+���7T��!6B���;��&Q6%��<=�1�.�%&'$%�-��2��'�-"©&'"*����9���&')*$%���1�8�.�!6)©&')*,.,� a9 � aA�)*,.$%�F���!��)*�-��C*�5��A+�����5)+�-C+$%<=��� �<� ¹ �B����#B�O�-"©9M����A�)+,�$%)+�!�'#«)*� � �O)7�59M�'EG"*���1�-6%�1)+%%,.��&')*�!�."*�J�!)*P+���%,.)*&'�TB�-"N�!6%�5"*�%,.�^)*#%#%�.�!�."*�B)*,V�O"+�-PN�O�56%)7A*�©�-"J#%"N�����!���.A�.)*,LU�P*�'��R�-�-)+&QPN"+ED�!6%�5A�)*,.$%��� Ï &'"*�%&',�$%���."*�%� Ð "+E�!6B"*���()+�-C+$%<=��� �!�Z�-6%)*�:)+�-�=#%�'#%$%&��-��"+�%�7Tl�.�]"+�-#B���:�!"^,.)*�-���:�.�%&�"+�-�"*��)*�-�5�-6%��< ���å�-6%��)*���-$B<(B�!�."*�]9%)*���=����86%�.&Q6N�-6%�:&�)+,�,l�.�F�-)*P ���BC(B,�)+&��? æ

é�êR� :°î>î>ð\?BðZí ì C=��= ��ì ?BC=� � í�A`� =

ò1���������!)+�%#%�7T�®ª¯©°<i± �.�DM"7������EG$%,\9%$B���%"*�`� $%�.�!�F$B�-)+9%,�� ?WSL�=�-6%)*��������M�'&����.������)*�%)+,�"+C*"*$B�V�-":�!6%�=� a&�)*,.&�$B,�$%��T�86%�.&Q6å���5M"7������EG$%,�9B$%�©�!" "§)+$%���!�������!"�9M�«$B�-�'EG$%,�EG"+��%��)*&'�!�.&�)*,�%$%��M"+�-�'��?J�H"��-�'<(�'#%���-6%�.��TH���«�%���'#ª�!"�.��-�-" #%$B&��F)+#%#%�.�!�."*�%)+,B���� �-)*¬(EG"*��<(�O�!6%)+�O�'�%����&Q6��-6%�1�'¬B�-�'�-����A+���%�'�-��"*EK�!6%��,.)*�%C+$%)*C+�?l�86B�����F)*���F�L��"©�O)7� ��!"Y#%"]�!6%)+�@? � �%�X���=�-"Y�.� �!��"#B$%&��X�!6%�X#%�'�-�.�-�'# �%�'�ñ��#B��"+<(�=)+�(��� � �!)*¬å��$%C*)+��?��86%�X<=)*�.�µ)*#BA@)+� �!)*C+�J"+E�!6B����)*%B�-"+)*&Q6R�.�I�-6%)*������EG)*&'��,.�.�!)*�-�����!6%�(���!$%#%�R"+E��!6%�(,.)*�%C+$%)*C+�? ¦ "*�����B�-�-)*�%&'�TB��ED���(�%���'#§�!"N%�-"7A+�©�!6B)*���A+�������'¬B�-�'�-����"+�å6%)*�()§&��'�-�-)*�.�ª�%�.&��JB�-"+M�'�-�L�]�!6%�'� ���«"*�%,.�å�%���'# �!"�&�"*�B�-�.#%���5&�"+�-�«�'¬ %�-�'�-���."*�%�7TW���.�%&����A+�����N"+�!6%�'�I�L� ��5"+ED��¬ %����������"+�R���O[!$%���I)+��)+9%9%����A ��)+�!�."*�0/Ü)*,.9����.�1)J�"*�-��� �!�.)*,.,.�R,�"+�%CJ"+�%�8/ÜEG"*�I�-"+<(�(&�"+�-���¬ %����������"+�H?/�86%�©"+�!6%�'�F)*B%�-"+)*&Q6HT�86B��&Q6R�.�F�!6B�©"*�%���O�:�8�.,�,H�!)+P*�:�.�R�!6%�.�1%)+M�'��T\���I�!"��.��-�-" #%$B&��:�!6B���%�'�&�"+�%���!��$%&��-�1)*��9�"*�%)Næ%#%�(�%��� B�-�.<=���-��A+���7T%�8�.�!6Y�!6%�'���Z"7�8�§��M�'&��.)*,V�-�'<=)*� �!�.&��7?F�86B����)*%B�-"+)*&Q6R�.�I)N9M�'�!�!�'����8c%�'&��!�."*�å"+E8%�-)+&��-��&'�T��-�.�%&��J,�)+�%C*$%)+C*�'�©)*�����-)+�-�',��Y��<=%,.��<=�'��-��# 9 �]#%����$%C+)*�����%C^)+,�,OM"+�-����9B,��«&'"*�%���!��$%&'�!��.��-"R)§A*�'�-�Y�-<=)+,�,D&'"*���?Jç1�'A*�����!6B��,.������T��O�����!�������©�-6%)*�5��)*&Q6å"+E��-6%�«&'"*�%���!��$%&��-�©�.��-�-" #%$B&���#ª9���,."7�ù&�"+$%,�#9��©#%����$%C+)*����#X���R�-����<(�1"*EV&�"*���Z®ª¯©°<i± ? ¦ "+�F#%�'�!)*�.,.�F�O�:����EG�'�F�!6B�©�-�')*#%�'�8�!" ­ 6B)*%�-��� é "+E�_ �I�'�%"*�-)*�-��"+�%)*,����" "*EW�H)*�%C+$%)*C+����bX0 S 3L?

÷ �:"+9%�!)+���X�!6B�:��¬ �!�'�%#%��#^,.)*�%C+$%)*C+� ®ª¯�° i± 9 �«)+$%C*<=�'��-���BC(�-6%�:C*��)*<=<=)*��"*EH®ª¯©° i± )*�8EG"+,�,."7�8�7U² U�U.³ �8�¯� À 686�6�� à ÄIÇ%È@È'ÉVʪËW� ÌjÎ ² Ä1ïVØjË Õ��^³ �ñÌjÎ ² ÄFïVʪÇ%Õ�� »7� Ï��DÀ ) ²�À Ð 686�6 Ï��Wà ) ²©Ã Ð Ä

È@ÉVëHëDì�È@Ë�í�Ç%îVÈ'ÉVÖ�ïµ� ÌjÎ ² Ä0�ñî�� ² Äî�ËQ �ÌjÎ ²«À Å8686�6WÅ ²©Ã Ë ÎVï� U�U.³ �8Ä �^Ä%ø�� À Á'Â�Â'ÂtÁ�� à  ² ÄF�`� À Á�Â'Â�ÂtÁe� à Â8�ÒÄF�¯� À Á�Â'Â�Â'Á8� Ã Ä �U�j��Â8� ÄIØjË Õ[�R³µ�¤Ì�Î��ÒÄ

ʪÇBÕ8��»7� Ïo� À )©�IÀ Ð 686�6 Ï�� ÃT)©�Oà РÄîDËn MÌ�Î;��À'Å868686WÅ��OÃ]Ë ÎVï� U�U.³ �ÒÄ ²ç1"+�!�5�!6%�59%��EG$B�-&')*�!�'#§���� �-)*¬WUO<("+�-�I"*E��-6%���%�'�Ò&�"+�%�-�-�-$B&��!��6%)7A+�©&�"+<(B$%�!)+�!�."*�%)+,�)*�B#§#%��#B$%&��-��A+��&�"+$%� �!�'�- %)+�-�-��?T'§"*����"7A+���7T@�%"*�-�F�!6%)+�D�!6B�19�"#B�5"+E�)(Ø�Ë Õ����O)*����¬ %����������"+�HT��86%�.,��1�!6%�F9�" #%�("*EK)=ïVØjË Õ����O):#%��#B$%&��-��"+�H?] �.<=��,.)*��,�� T���^)+�N�'¬B�-�'�-����"+�J"+EH�-6%�:EG"*��<

ʪÇBÕ8��»7� Ïo� À�):�IÀ Ð 686�6 Ï�� ÃT)©�Oà Ð�!6B�:)*,.�!�����%)+�!�.A*���R� À Á�Â'Â�Â�Á�� à )*���I�-6%��<=����,.A*���8�'¬ %�-�'�-���."*�%�7T+�86%��,.�:�.�X)=#%�'#%$%&'�!�."*�^"*EV�!6%�:EG"+�-<

ïHʪÇ%Õ���»7� Ïo� À ) ² À Ð 6�686 Ïo� ÃT) ² à Ð�!6B�D)*,.�!�'�-�%)+�!�.A*�'�l)*���Fõ+½�õ*»F# ��·Gô"&H� ²«À Á'Â�Â'ÂtÁ ²©Ã �86%�.�W<=)*�.��-)*�.�%���-6%�D"+�-�.C*�.�%)*,7#B������C+���.� A�)*����)+��K"+E�-6%�D,.)*�%C+$%)*C+�T�86%�'�-�'9�^�'¬B�-�'�-����"+�%�1�����EG"*��< &�"+<=%$%�!)+�!�."*�Y)*�%#Y&�)*�Y�-�'�!$%���§)+�� �-6%���BCN�86%�'�-�')*��#%��#B$%&��-��"+�%�ZM�'�-EG"+�-< �.�% EG�������B&���)*�%#X<�$%���;�-�'�!$%���X%�-"+M"+�-�.�!�."*�B���-6%)*�;)+�-����� �!)+��,.��#X9 �«�!6B��)+�-��$%<=%�-��"+�N9%)+�-� ?H�86%���8B�-�.�%&��.%,.�Z�O"+$%,�#&�,.��)+�-,.�«9���A �."*,.)*�!�'#^��E/���©)*#%<=�.�!�-��#R)«#%�'#%$%&'�!�."*�REG"*��< ��$%&Q6R)+�ZïHØ�Ë Õ[�Y³ �¤Ì�Î��5? ÷ �©�'¬ %,�)+���^�')*&Q6R�%�'�&�"+�%���!��$%&��;9���,."7��?��� O�ýaz|y��QzW}jü�~Q}K{p���@ya~Q�|}�{p�|z > zW��ýa��~Q�p��NOü�~D�Qz�}j��{p�@�!�QyG�4�Qya~Q}jzV}jü�zH�|�Q���|�p��ý�{p�Q��ýK�Qÿ*~Q�p�7��z|�����|}j{��Qz/~QyaþQ����z!��}jýK~Q��N > ~1N ��O4z|�!~Q�@ýaz{pÿ/}jü�z:�|�Q���|�p��ýa{p�Q�N�Qÿ�ýa�Q�;zbÈ {p�N~5�;z|}�ü@�'�^�|~Q�p��Âhà ÅeÅ1Å È ÅeÅrÅ {pýF���Q}F��z|�|z|ýaý�~Qy�N«ÿ��Qy8}jü�z©�|~Q�p�V}j�=þQ�(}jü�y��Q��þQü0�l}�ü�z|�uÈ {pýzR�'}jya~Q�@z!�Q�@ý��4�-��� üZ�@z!�@���|}�{p�Q��ýH~Qyaz����@�p{��Qz!��N8}j�8���!�|��y�{p�X��ya~Q�|}j{p�!z��

c 2

Page 16: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

� ô4�*�~ôÃõ �j÷]õuø�86%�NØjË ÕR�ð³ �¤Ì�Î��ù&�"*�B�-�-�-$%&'�Z���:$%����#åEG"+�:�-���$B���%&'���%C^)+�%#å�%)*<=�.�%C�U��.�:%������&�����9����:�-6%)*�:�-6%��%6%��)*���©���6%"*$%,.#J9�����A�)*,.$%)*�-��#N9M�'EG"*���I�-6%�Z9M" #%�:�5T)+�%#JEG$B�-�-6%����<="*���T*�!6%)+���`�-6B"*$%,.#J9��Z)*9%,.�I�-"5����EG�'�O�-"5�-6%�Z�-�'�-$B,��"*Ej�Ò9 �X�!6%�(�%)+<(�b�W?Fç1"+�!���-6%)*�Y��TM9M�'���%CN)J%6B�-)+�-� T%&'"*$%,.#R9M�(���.�!6B����)*�§�'¬B�-�'�-����"+�^"*�1)N#%��#B$%&��-��"+�H?8SL��!6B�:,�)+�!�!�'�8&�)+�-� T"*E�&'"*$%�����T��A+������EG�-�'�Z"&'&�$%�������%&'�I"+ET�N�8�.�!6B���5�Ý�8��,.,W#%�'�%"*�-�Z)(B�-"+M"+�-�.�!�."*�H?

SL�«)©����<=�.,�)+��EG)+�-6%�."*�VT4�-6%�1&'"*�%���!��$%&��8ïHØ�ËÕ��R³ �¤Ì�Î ² %�-�'&��'#%���O)©#%��#B$%&��-��"+� ² 9 �5)5%6%��)*���=��T+�86%��&Q6&�)+�å���.�!6%�'��9��«)§&�"+<=%$%�!)+�!�."*�;� ± "*�©��"*<=��"*�-6%����#%��#%$B&��!�."*� ²Z± ?JòI���8�.�!6 Ø�Ë Õ�TH�!6%�«�.#%�'��-��æB���=�å&�)+�]9��$%����#«�8�.�!6B���X�!6%��9�"#B� ² �!"(����EG�����!"(�!6B�I������$%,.�O"+E(��?C��$B�@T�.�J)*#B#%���-��"+�HT+��E��Ô���;)5#%��#%$B&��!�."*� ²Z± T�!6B���J�-6%�&�"+�%&�,.$%����"+�N"+E ²�± 9M�'&�"*<=�'�F)7A�)*�.,�)+9%,��Z)+�F)�,��'<=<()J�8���-6%���R�-6%�©9�" #%� ² ?('§"+�-�:B�-�'&��.�-�',�� T �!6%��9M" #%� ² �8��,.,9��:��A�)*,.$%)*�-��#R�.�R�!6%�:)+�-��$%<=%�-��"+�X9B)*���:"*E/�!6%����� �!�.�-�(ïVØjË Õ1)+$%C*<=��� �-��#^�8���-6R�!6%��&�"*�B&�,.$%�-�."*�^"+E ²Z± ?��86%�'�-�����<=)*� �!�.&���)*���1EG"+�-<=)+,�,.�=&�)*B�!$%����#«9 ���-6%�I�-6%�������-$%,.���;9���,."7��?Hç1"*�-�I�-6%)*���L��"�#%�.�-�-���B&��;�-$B,��'�O)+�-�I�%���'#%��#NEG"*�ïVØjË Õ[�R³ �ùÌ�Î ² T"*�B��&'"7A*�'�-�.�%C��-6%�Z&�)+�-���86%���5�`���8)+�J��¬ %����������"+�J)*�B#N"+�%�ZEG"*�;�86%���5�`���8)(#%��#B$%&��-��"+�HT)*�;�'¬B,�)+���%�'#^)*9�"7A*�?

ê©ë�ð�í ò Á êVë�ì ÷ ò Á � ü ù íÞò ÷ ø%� ùê©ë ���¡  ü¢ ðN���©ì�íÞò

ê:ë�ì Á íÞò Á êVë ÿ ÷ ò Á � ü ù íûõ ÷ ø £ ùêVë ¤����¡  ü¢ ì Á ��� ÿ íûõ

ê:ë ÿ Á íûõ ê��&�eõ�jë ÿ ÷ õ � ü ù í( ÷ ø ú Á ùê:ë ¤����¡  ü-¢ ÿ Á ��� ÿ í(�86%�©#%�.¨��������%&'�:9M�'�L�O�'���]ØjË Õ1)+�%#YïHØ�ËÕ1�.�F�'�-����� �!�.)*,.,.�J�!6B�©�-)+<=�:#%��¨��������B&��:9����L�������REG$B�%&��-��"+�R&�)*,.,.�F)*�%#

<=���-6%" #§&�)+,�,.�1�-6%)*�I�O�©<=�'��-��"+�%��#���)*��,.���'��U��86%�����O�©�'A�)*,.$%)*�-���!6B��)*��C*$B<(�'� �!�F"+E�)«<=���!6B"#Y&�)+,�,LT%���©P+�����!��)*&QP1"*E �86%���-6%���H)*�Z)*��C*$B<(�'� �l���H)8#%��#%$B&��!�."*�VÅ@��E ��"�T����-��&�"+�%&�,.$%����"+�Z�8��,.,*9����.�%&�"+�-�"*��)*�-��#����:�-6%�D)+�-��$%<=%�!�."*�9%)+�-�;"*�B&��;)*,.,%�!6B�8)*��C*$%<=��� �-��6%)7A*�;9������=�'A@)+,�$B)*�!�'#=)*�%#=����)+�-�;����)+#%�©�!":)+%%,.���-6%�8C*�.A*�'�5<=���-6%" #H?HSL�=EG)*&���T�!6B�(B6%�-)+�-�'�5ØjË Õ[�µ³ �¤Ì�Î�� )+�%#µïHØ�ËÕ��µ³ �¤ÌjÎ ² &�"+$%,.#�9����!)*P+���Y)*�:���� �-)*¬R��$%C*)+�IEG"+�:�!6%�=EG$%�%&'�!�."*�&�)+,�, Ï �`�:Â8� Ð �ù)*�B#ª<(�'�!6%" # &')*,.,�� Ï ø��: ² Ð ��TH�-�'�-���&'�!�.A*��,.�?JSL�©�.������)+#%��,.��A+������æB��#ª�!6B)*�@T�"7�8�.�%CR�!"§�-6%�&�$B�1��$%,�� T\�-6%����#%�'�-$%C+)*�����BC��-�'�-$%,.�!�I�����!6%�5��¬ )*&'�F�-)+<=�©�-�'<=)*� �!�.&��I)*�1�-6%"*���©C+��A+���R9 �^�!6%�5�-$%,.���=0�å*¥�3°/Ò0�å À�± 3)*9�"7A*� ?

÷ �5�8��,.,�)+,�,."7�ÝEG"*�F&')*��&�)+#%���BCXØjË ÕI)*�B#]ïHØ�ËÕ�%6%��)*�����F9 �X��� �!��" #%$%&'���%CRØjË Õ[� À ³¦� À 6�686�� à ³ � à Ì�Î��Ò)*�)*�5)*9%9B�-�'A�.)*�-��"+��EG"+��Ø�Ë Õ[� À ³ � À ÌjÎ Ï 6�686 Ï ØjË Õ�� à ³ � à Ì�Î � Ð 686�6 Ð T7)*�B#5,.��P+���8�.�-��EG"*�OïVØjË ÕR� À ³�� À 6�686�� à ³�lÃ]ÌjÎ ² ?

¦ ���%)+,�,.�TM�L��"J����,.)*�-��#§&'"*�%���!��$%&��-�I)+�-���-�'<(�.&�"+,�"+�% a�-�'%)*��)*�-��#^�-��� $%���%&'����"*E�#%�'#%$%&'�!�."*�%�Z)*�B#§��¬ %�������-�."*�B��T���B&�,."*����#J�8�.�!6]î�ËQ �ÌjÎ� |Ë ÎVïY%)*�.����?��86%���.�F������M�'&��-��A+�I����<=)*� �-��&'�8)*����C+��A+���X9 �«�!6%�:EG"+,�,."7�8�.�%C=�-$%,.���7U

ê:ë ÿ«ú íûõ ú ê=�&�eõ ú �jë ÿpI íûõ I ô%ô�ô ê��&�eõ úDý õ I�ýDþ%þ%þ%ý õ Æ�¦ ú �jë ÿ Æ íûõ Æ ÷ ø úLúhùê:ë §¨��©���� ÿJú � ô%ô%ô � ÿ Æ ���G¤�íïõ Æ

ê:ë�ì ú íÞò ú ô�ô%ô ê:ë�ì Æ íÞò Æ ÷ ø ú�I�ùêVë §¨�¡©ª���©ì ú � ô%ô�ô � ì Æ ���G¤�í ò Æ����#%$%&'�!�."*�%��"*E��!6%��EG"*��<èîDËn MÌ�Î ² À'Å�686�6WÅ ² Ã]Ë ÎVï^)+�-�I$%����EG$%,K�86%�'�%��A+�����O�I�8����6J�-"�&�"+<=M"+�-�I)�� $%<�9����;"+E#%�'#%$%&��-��"+�%�/�8���-6%"*$B�V9�"*�-6%�����.�%CI�-"Z�%)*<=���!6%�'����������M�'&��-��A+�O&'"*�%&',�$%���."*�%�7?lçI)*<=��,.�����/�-���$B���%&'���/"*E%�'¬ %�-�'�-���."*�%�)*�����%"*�8%)+�-�-��&'$%,.)*��,���$%����EG$B,W���^�-6%�:)*9%�����B&��Z"*EH�-�.#%�:��¨���&'�!�7T 9%$%�8�����������%&',�$B#%��#^6%�'�-�:EG"+�8�-� <=<=���!���?

c�^

Page 17: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

÷ « úhù¬ ë�ît­pî�Dr+LNW î ^_T~[]W�[�YVX%|¯®�X%b î °±�� P²���� ý´³ �µ�����µ�

÷ « I�ù¬ ë�õ¶­=·

÷ «@� ù¸ ü ý õ¹Të ü ­põ ºë�õ�­8» ÷ « � ù

ºë%¼nõ�­½¼ª» º ú

ë�õ ú ­=» ú º Ië�õ I ­8» I ÷ «@! ù

º úDý º Ië�õ ú�¾ õ I ­8» ú�¾ » Id�X%b ¾ °���¿ ýmÀ�ý � ý]Á �

¦ ��C+$%��� c ? 2KUHSL�%EG�������%&'�Z�-$%,.���8EG"+�8%)*�-�!�'�-�^<=)*�-&Q6%���BC�?

�©m�ó1ó�ô¨ÂaõÄà m�ó��[Åu÷�õ~ø÷ �:#%��æ%�B��)�,.)*�BC*$%)+C*�1"+EHB)*�!�-�����%�89 �«<=��)+�%�F"*EH�!6%�:EG"+,�,."7�8�.�%C=)*9%���!��)*&'�OC+�-)+<(<=)+��U

� U�U.³ö�XÄ%ÓÔÄÕ�Ö�ÉVË=Ä × Ç%Ø�È'Ë=ÄLÆÒÄBÙ � Ä ��À Û � Æ Ä ��À Þ � Æ Ä ��À à � Æ Ä ��À á � Æ Â¦ "+�:)*� �§%)+�!�-����� � �!6B)*�:&�"+� �!)*�.�%�:)+,�,D)+�%#]"*�%,.���-6%����#B��� �!�.æ%�����:�.�ª�!6%�������¼�� ÀQÁ'Â�Â�Â'Á���ñ½Tl���=�8�-�.�!�«´kc Ï�� ÐEG"*�I)*�Y)*��9%���-�-)+�-�N,��.���!�.�%C]0 � À�Á�Â�Â'Â�Áe��Ã3/"*E��!6B�����5�.#%��� �-��æ%�'�-� Ï ��)7�TB�.���!6B��"*��#%�'�1�.���86%�.&Q6§�!6B���R)*BM�')*�����§�-6%�%)+�!�!�'�-�VT%EG��"*< ,��'EG�1�-"J����C+6� Ð ?�çI��¬ �1�����.� �!��"#B$%&��©)J#%��#%$B&��!�."*���-� ���!��<ÍEG"+�1%)+�!�!�'�-�R<=)+�!&Q6%�.�%C�TB�8�.�!6§��$%,.����!6B)*�1�'�-�-)*9%,.�.�-6«[!$%#%C*<=�'��-�I"+ED�!6B�5EG"+�-<�Ç:³(¿NÈ � T��!"X9M�(�-�')*#Ú_ ÷ ���-6�������M�'&����!"J�-6%�(�-�'�I"+E�9%���B#%���BC*�2Ç�T%��"*�"*�����-��"+�Y¿Ú<=)*�-&Q6%���F�-6%�©%)+�!�-����� � bK?`�;�J)Ü_ �-�'�8"*E/9%�.�%#%�.�%C*��b�Ç^�O�:�8�.,�,H<=��)*�^)�æ%�B���-�©�-�'�F"*EV"*��#%�'�-�'#%)+������o$�KÁ'¿bt�T&'"*�%���.�-�-���%C("*EH)*�N��#%�'� �!�.æ%���>�J)+�%#J)=%��"*�"*�����-��"+�§¿�T�!6B)*�;���8)=EG$%�B&��!�."*�VT<(�')*�%�.�%C(�!6%)+�8EG"*�;)*,.,o � À Á'¿ À tO)+�%#�o$� Æ Á�¿ Æ t��.�ÉÇ�TK�.E(� À ³ � Æ �!6%�'�ð¿ À ³ ¿ Æ ?±Ê���A+���]�L�O"N�-$B&Q6������!�8Ç À )*�%#|Ç Æ TK�O�(�8�����-�±Ç À Á�Ç ÆEG"*���-6%���.�«�����- ��-6%��"+�-�'�!�.&X$B�%��"+�HTO%��"7A�.#%�'#ð�-6%)*���-6%�§��)*�.#ð$%�B��"+�ß�-�'�-���&'�!���!6B�§)*EG"+�-�'<(�'� �!�."*�%�'#µEG$%�%&'�!�."*�%)+,%��"7A ������"+�HÅ*��E/�%"+�@TGÇ À Á�Ç Æ ���1$%�%#%�'æ%�%��#V?

�86%�©��$%,.���1EG"+�1%)+�!�-�����R<()+�!&Q6%�.�%C«)+�-�:��6%"7�8�R�.� ¦ ��C+$%��� c ? 2�?�ò1�I)*�R�'¬)+<=%,���"*E�$%�����BC«�!6%�'�-���-$%,.���7T\�-6%�%��" "*EV9M�',�"7�Ò��6%"7�8�F�-6%)*�I�!6%�5&�"*�7[!$%�%&��-��"+�ªÓµÛ Ï ã�ÞXä Ð <()+�!&Q6%�'�1�-6%��%)+�!�-�����ª¿ÜÛXÑÒ$%�%#B�����!6%�59%���B#%���BC*�o|¿�Á'Ó[t�)+�%#5o|Ñ©Á'ãÔÞNäbt�?-'§"+�-��EG"*��<=)*,.,�� T�!6%�:%��" "*EH�����!)*9B,��.�-6B���8�!6B��[!$%#%C*<=�'��

¼"o|¿�Á'Ó[t-Á�o|Ñ�Á�ã�ÞNäbt1½R³=Ó Û Ï ã`ÞNä Рȵ¿ ÛXÑÒU

c ?>¼"o|¿�Á�Ó�t1½R³=Ó�Èð¿ 0�4Wæ�3� ?>¼"o|Ñ©Á'ãÔÞNäbt1½=³(ã�ÞJä_ÈðÑ 0�4Wæ�3S ?>¼"o|¿�Á�Ó�t!Á o|Ñ©Á'ãÔÞXäbt1½R³(ÓµÛ Ï ã�ÞNä Ð Èð¿ßÛNÑ c T � Tl0�4 ) 3SL���.�;�-�-�-)+��C+6 �!EG"*����)*��#5�-"5C+��A+�F)*�«)+,�C+"*�����-6%<ù�!6%)+���-)*P*�'�O)+� �(B�-"+M"+�-�.�!�."*�R¿ß)+�%#J%)+�!�-����� � )*�B#«%��"#B$%&��'�O)������"+EK9%���B#%���BC*� Ç«�-$B&Q6��!6%)+�#Ç©³(¿�È � T+��El��$%&Q6«)�Ç«��¬ �.�-�-��)*�O)*,., Å+)+�%#«EG)*�.,.���.EW�%"���$%&Q6YÇ«�'¬ �����!�7?T'�"*����"7A*�'��T�!6B���8)+,�C+"*�����-6%<ñ�.�8��>=&��.��� �@T\�!)*P �.�%C=�!�.<=�:,��.�%��)+�8���^�-6%�:�-�°2��Z"+EH�-6%�:%)*�-�!�'�-�H?÷ �:&�)*�X�%"7�`�-���&'��EG�N�!6%�:����<=)*� �-��&'��"+EDʪÇBÕ8��»])+�%#§ïVʪÇ%Õ�� »å�8���-6^�!6%�:EG"+,�,."7�8���BC5��$%,.���7U

ê:ë�ì�íûõ ê©ë�ìB� ÷ õ ú � ü úDý%þ%þ%þ�ý õkËL� ü Ë ù íÞò ÷ ø ú � ùê:ë ���� PÌ�Í�ì U » ú´Î ì ú i ô�ô%ô U » Æ Î ì Æ i í¢òJ+bVX��e^_o+LNo�YVr�[]Y � ¸ ü úrý õ ú ¹ ý%þ%þDþ%ý ¸ ü Ë ý õkËL¹��jë�õ�­2»[�

[]W1o��KdlX%b�[]`_`[Ï�Ð�ÑK�eYVr+LNbVL6^_T9W1XºTVg1q]r�YVr�[]Y

ºë�õ|­8»±ñ v

ò1�B#X���.<(�.,.)*��,�� T

c�_

Page 18: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

êVë�ì�íûõ êVë ÿ � ÷ õ ú � ü ú ý%þ%þDþ�ý õkËL� ü Ë ù í� ÷ ø ú � ùêVë ¤G���� PÌ�Í�ì U » ú ÎRÿ ú i ô%ô%ô U » Æ Î=ÿ Æ i íÒJ+bVX��e^_o+LNo�YVr�[]Y � ¸ ü úrý õ ú ¹ ý%þ%þDþ%ý ¸ ü Ë ý õkËL¹��jë�õ�­2»[�

[]W1o��KdlX%b�[]`_`[Ï�Ð�ÑK�eYVr+LNbVL6^_T9W1XºTVg1q]r�YVr�[]Y

ºë�õ|­8» ñ v

�86%�()*,.C*"*���.�!6%<=�.&©��� �-����%�-�'�!)+�!�."*�R"*E��!6%�'�-�5�-$%,.�����.��)+�1EG"+,�,."7�8��U��-"J�'A@)+,�$B)*�!�5)*�Y��¬ %�������-�."*�R"+E��!6%�(EG"*��<ʪÇ%Õ�� »�� Ï�� À�)©��À Ð 6�686 Ïo� ÃT):�Oà Р�.�ª)*�ª)+�-��$%<=%�!�."*�ª9B)*���,²;TH�-�-)*���©9 �Y�'A�)*,.$%)*�-���%CR�-6%�åõ+·$�%#'¶Q·G¸(·$&H�"&H�E��.��²;?XSLE8)*�%#ª�86B��� �-6%)*�©B�-" #%$%&'���5)§%��"*�"*�����-��"+�Ü¿�TH�-�-�]�!"§<=)+�!&Q6ß¿¤)*C+)*�.�%���:�!6%�«æB�-���©%)+�!�!�'�-� � À�?XSLE�!6B)*���-$%&'&��'��#%��$%�%#%�'�Z�-"+<(�(������"*ED9%�.�%#%�.�%C+�,¼"o � ÀtÁ�¿�À8t�T�?'?�?'TAo$��Ö Á�¿*ÖFtD½+TM��A�)+,�$%)+�!�u�IÀ�0 ¿�À�×�� ÀQÁ'Â�Â�Â'Á�¿*Ön×��.Ö�3/���V²;Å"*�-6%�����8�.�-�I�!�����!6%�Z�%�'¬�;%)+�!�-�����HT ��Æ ?�SLEO¿�<=)*�-&Q6%��� �KÆ $B�%#%���;��"*<=�&Ç^³ ¼ Ï � ÀQÁ'¿/À Ð Á'Â�Â�Â'Á Ï ��Ö Á�¿*Ö Ð ½+T��A�)+,�$%)+�!�� Æ 0¾¿�À�×�� ÀQÁ'Â�Â'Â�Á�¿*Ön×���Ö@3;����²8Å�"*�!6B�����8�����«&�"+� �!�.�$B�N�8�.�!6ð�!6%�X�%��¬ �(%)*�-�!�'�-�H?Y�86%�.�=%��"&'������&'"*� �!�.� $%���($%� �!�.,���5�'���-6%���Zæ%�%#])X%)*�-�!����� � £:�-6%)*��<=)*�-&Q6%���=¿�TK�.�Y�86B��&Q6Y&�)*���(�O�(��A�)*,.$%)+�!�u��£:�.�V² )+EG�!���Z�����EG"*��<=���%CX"*��.�(�-6%�^�-$B9%�-�-���-$%�!�."*� #%�'�!�'�-<=�.�%��#Ü9 � �!6%�R<=)+�!&Q6%�.�%C]�-�'�("+E19%�.�%#%�.�%C+��Å�"+�($B��-��,1�O�X��¬ 6%)+$%�-�=)+,�,8�-6%�^C*�.A*���%)+�!�!�'�-�B�D�8���-6%"*$B��#%����&�"7A+�������BC�):<=)+�!&Q6HT4�����86%�.&Q6=&�)+�-�8���8�-�'M"+�-�/)]_ ç1":<=)*�-&Q6(EG"+$%�%#%b������-"+��?KSL�����D)+,���":)*�������"*�F�.E��!6%�(#%�.�-&'�-�.<=���B)*� �F%��" #%$%&��'�I)JA@)+,�$B��"*�-6%�����!6B)*�§)N%�-"+M"+�-�.�!�."*�V?;�86%���'A�)*,.$%)*�-��"+�§"*E�)§ïHʪÇ%Õ���»ª�.���� �-������,.�«)*�B)*,."*C*"+$%�7T"*�%,.�«�%"7�Ú�!6%�����%#^)*,.�!�'�-�B)*�!�.A*�'�8)*���:#%��#B$%&��-��"+�%� ²«À Á'Â�Â�Â�Á ²©Ã �-)+�!6%�'�8�!6%)+�X�'¬ %�-�'�-���."*�%�� À Á�Â�Â'Â�Á�� à ?

�½Â l>ltÓ �ÉÔ�úÄ� l õ6óªÂ0m�öu÷R�jó�÷ l õ����#%$%&'�!�."*�%�;"+EW�!6%�ZEG"+�-<èÈ@ÉHëVëDì�È'Ë'í@ÇBîHÈ@ÉHÖ�ï � ÌjÎ ² �����EG"*��<ù�-�')*��"*�%�.�%C59�=&'"*� �!��)*#%�.&��-��"+�H?H�86%���.���-�'<()+�% �!�.&��8)+�-�ZC+��A+���X9�J�!6%�:EG"+,�,."7�8���BC5��$%,.�U

êVë�ì�íûõ ê=�2�eõ��ë ÿ í ³ ������� ÷ ø ú ! ùê©ë ����Õ�Õ¨Öª���P×��µ§�����²�¤VìØ��� ÿ í�¼nõ�86%����#B��)=6%���������;�!6B)*�;�O�Z��)*� ���!"(�����!)*9B,��.�-6åÙ/¿�T�86%�'�-�(¿��.�;�!6%�Z%��"*�"*�����-��"+�J#%�'�%"*�-��#X9 ���!6%�Z��¬ %����������"+��5T/)+�%#µ���X)*���NC+"*�.�%C�)+9M"+$%�5�.�=9 �ª�O)7�å"*E1&�"*� �-�-)+#%��&'�!�."*�HU��O�X)*���N��)7� ���BC�TV�.�µ��¨���&'�@T=_�ÙB» �"� ô"��½X�!6%)+�^¿6%"+,�#%�7Å��!6%�'�]6B�����(�.�©)^#%�'#%$%&��-��"+� ² �-6%)*��#%������A+���Z�!6B��&�"*� �-�-)+#%��&'�!�."*�µ× Ç%ØjÈ@ËJEG�-"+<â�-6%)*�:��$%%�"*�����-��"+�H? b ] "�T�.��-$%�.�!�.A*��,.�T�-6%�:"*�����)*�-��"+�%)*,K����)+#%���BC("+E�0Aå À )@3W���8�-6%�.��U

�V"J�'A�)*,.$%)*�-�=È'ÉVëVëDìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ@ÉHÖ�ï �ñÌ�Î ² ���Y)*�R)+�-��$%<=%�!�."*��9%)*���R²8TBæ%���-�I��A�)*,.$%)+�!�~� ���©² �-""+9%�!)+���X��"*<=�IB�-"+M"+�-�.�!�."*�]¿j/ð�-6%�Z6 ��"*�-6%�����.�8�!"=9M�Z����EG$%�-��#H?V�86B���X)*#%#]¿��-"�² )+�%#N�'A�)*,.$%)*�-��-6%�19�" #%� ² ?HSLEl�!6%�I��A�)*,.$%)*�-��"+��"*E ² �.�E²8dY¼4¿b½8B�-" #%$%&'���O�!6%�I%�-"+M"+�-�.�!�."*�N× Ç%Ø�È'ËBT+�!6%�'���-�'�!$%���Ù/¿�?~äF�'M"+�-�:)+�]�'�-��"*�Z�.ER�¤EG)*�.,��©�-"R%��"#B$%&���)R%��"*�"*���.�!�."*� ¿ "+�©�.E ² EG)+��,.�©�!"�%�-" #%$B&����!6B�&'"*�%���!)+� �1× Ç%Ø�È'ËB?

�86 $%�7T%�.�§�%)+�!$%��)*,H#%��#%$B&��!�."*���!����<=���B"*,."*C*� T\�-6%���Z&'"*�%���!��$%&��1&�)*��9M�5A�.������#R)+�I)J<(�'&Q6%)*�B����<ÍEG"*�R_ �%��C+)*�-��"+��.��-�-" #%$B&��!�."*�Bb�?

Ú l õ#��ÛR�1��÷ l õuü8m�õ~õ l ónm�ó�ôÃö Ó%l ÂbÃ����#%$%&'�!�."*�%�8"+EH�-6%�:EG"*��<

� î�� ² Ï c ? c ¬ Ð)*���R��)*�.#ß�!" 9����8�����-�!�'�ß���Í_ &�"+�%&�,.$%����"+�% �)+�%�%"+�!)*�-��#%b]���L�,.�?Ú�86B���.�JEG"*��<=)*,I�-�'<()+� �!�.&��«)+�-�§C+��A+��� 9 �ð�-6%�EG"*,.,."7�8���%C(��$%,�� U

êVë�ì�íûõ êVë ÿ íûõ ÷ ø ú $ ùêVë�ìܧÞÝ ÿ íûõ

c Õ

Page 19: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

�86 $%�:�!6B��&�"*�B&�,.$%�-�."*�]"*E c ? c ¬X�����-�.<=%,����!6%��&'"*�%&',�$%���."*�]"*E ² ?E91"7����A+���7T c ? c ¬^�-)7� �Z�-"+<=���!6B���%C^"7A+���Z)*�%#)*9�"7A*� ² UR���«�'¬ %,��.&��.�!,.�µ�����&��.æ%�'�J�!6B)*���!6B�§&�"+�%&�,.$%����"+�Ü"+E ² �8�.,.,F9M���!6%�§B�-"+M"+�-�.�!�."*�Ü#%����&����.9M�'#Ü9 � �5?ò1&'&�"+�-#%�.�%C+,�� T�� &�)+�§9M�=A �.������#�)+�I)+��)+�%�%"*�-)*�-��"+�§�!" ² ?Z�86%�()*�B�%"*�-)*�!�."*���-�'�-A+���1)+�Z)N%��"*<=�.�-�5�!6%)+�I�-6%�&�"+�%&�,.$%����"+�J"+E ² �8�.,�,l9��:)*�8%������&����.9M�'#N9 �V�5?�òÚ�L� %�.&�)+,W$%���Z���F)

ã�ÞXä î��ï�QʪìWïVÉVÈ|í�ëDìMÎVË ÎHÈåÓµàñãÔÞXä Ï �QïVÎèÙ�Ù/Ó Ð

SL�D�.��)*���'�-��"*�/�.El�!6%�1&�"*�B&�,.$%�-�."*�=%��" #%$%&'��#�9 � ² �.�R&Mô�����#B��� �!�.&�)+,B�!"��!6%�FA�)+,�$%�1"*Ez�5T7���.�%&��F�-6%�.��)*<="+$%� �!��!"�9%�-�')*P �.�%C©�!6B�1%��"*<=�.�-�F<=)+#%�F9 �=�!6%�I)*�%�%"+�!)+�!�."*�H?��86%������EG"+�-� T7"+M�'�-)+�!�."*�%)+,�,.�T4�!"��'A�)*,.$%)*�-�F)�#%�'#%$%&'�!�."*�«"+E�!6B�FEG"*��< c ? c ¬:�.��)*�«)+�-��$%<=%�!�."*��9B)*����²;T*�O�FæB�-���D��A�)+,�$%)+�!� ² ���,² �-"©"*9%�-)*�.�«)©&'"*�%&',�$%���."*�^¿ß)*�%#��-6%���J�O���A�)+,�$%)+�!�Y�Ô���² �!"�"+9%�!)+���J)�%��"*�"*�����-��"+�§Ñ Ï �������;)+�«�����-"+�D�.E(��#%" �'�O�%"+��� �.��,.#J)�B�-"+M"+�-�.�!�."*� Ð ?WSLE�¿Ý³�Ñ5T���������-$%���Y¿�Å"+�!6%�'�-�8�.�-�Z���ZC*���B����)*�!�Z)+�N�'�-��"*�7?

ß ô¨��� ÂB�1÷ l õ�86%�±�9�]&�"+�%���!��$%&��Z)*,.,."7�8�IEG"+�:�-�'&�$%���-�.A*�5#%��æB�%���-��"+�%�7?©SL� �!$B���-��A+��,.�TK�-6%����¬ %�������-�."*�@�U�j�IÂ�� ��6%"+$%,�#]9���$%�% #%�'�-���!" " #«�!"(#%�'�%"*�-�I�-6%�Z,��')*���Oæ%¬ �'#J�"*�.���"*E��!6%�ZEG$%�%&'�!�."*���`�ZÂ8�5?H�86 $%�#�U���ZÂ8�Ú���;��������� �!�.)*,.,��=���$B��A�)*,.��� ��!"©\ Ï �`�ZÂ8� Ð T\�86%�'�-�,\Ò�.�8)�æ%¬ ��#% a�"*�.��;,.)*<59M#%)+ �&')*,.&�$%,.$%�8&'"*<�9B���%)+�!"+��?Hò1�1)*�^��¬ )*<=%,.�T&'"*�%���.#%���8)=EG$%�%&' �!�."*�µ�!6%)+�5�-)*P*�'��)+�µ)*��9%�.�!��)*����,.��,."*�BC�&�"+��[!$%�%&'�!�."*�ð"*E8)*�-"*<=�XÓ À ÛXÓ Æ Û�686�6DÛNÓ Ã )+�%#µ�-$%�-�B�5�.�µ�.� �!"��-6%�#%�.��[!$B�%&��-��"+�]Ó À ÞNÓ Æ Þ�686�6�ÞNÓ Ã ?V�86%�.�F&�)+�N9��:��¬ %�������-�'#N)+�

�U�E#�ô�&Mö'½@¶���Â��1¿åÂQʪÇ\Õ���»`¿Ï ÑÔÛuå�)^ÑßÞ Ï #�ô�&Mö'½@¶��[å Ð!ÐÏ ÑY)^Ñ Ð

Ï c ? c+c*Ð

�86%�ZEG"*��<=)*,l����<=)*� �-��&'�8"*E��9�§)*���IC+��A+���X9 �«�!6%�:EG"+,�,."7�8�.�%C=�-$%,.�Uê:ë�ì ÷ à�á ü þ ì�� ü ù íÞò ÷ ø ú ' ùê©ë à�á ü þ ì5í ò

äF�')*#%�.�%C:�!6B�1��$%,��19%)*&QP ��)*��#%��T7�O�F�����1�!6%)+�D"*�%�1)*%%,.�.&�)*�-��"+��"*ED0Aå À è 3M�!"©)+�«��¬ %����������"+�5"+El�!6%�FEG"+�-<â�9�j��Â8�$%�%&'"7A*�'�-���!6%��9�" #%�!�(Tl�86%�.&Q6å�8��,.,D�L� %�.&�)*,.,.�§9M��)^EG$%�B&��!�."*�å"+�:)X<=�'�!6%" #HT�)*�%#]6%�'�%&���)^A�)*,.$%�TW9%$%�:�8�.�!6��A+�����©EG�����8" &�&'$%�-�����B&��;"*EH�5�.����������%,.)*&'��#=9 �8�9����Â8�(T7�86%�.&Q6=�-�'�!�D$%��-6%�F����&'$%�-���."*��EG"+�D�!6B�F�%��¬ ��$%�B�-"+,�,.���BC�?ò1,.��"J�%"+�!�(�!6%)+���-6%�()*���-$%<=%�-��"+��9%)+�-�(�.�����.<(B,��R&')*���-�.��#§"7A+���I$%�%&Q6%)+�%C*�'#§#%$%�����BCN�-6%�=)*%%,.�.&�)*�-��"+�§"*E��!6%�.���$%,�� ?

�86%�«#%�'æ%�%�.�!�."*�%�5"*E;EG������)*�B#ª9M"+$%�%#ª�.#%��� �!�.æ%�'��" &�&'$%�-�����B&����:6B)*���-"§9��«<="#B��æ%�'#ª���ª"+�-#B���©�-"R)*&�&'"*$%� �EG"*�1�!6%�©�B���Ý�-� � �!)+¬JEG"+�-<=�7? ¦ "+�1�.�%���!)*�B&��T\)*�R��¬ %����������"+�N"+EV�-6%�©EG"+�-<éØjË ÕR�§³ �¤Ì�Î �Ò"*�F)«#B��#%$%&'�!�."*�R"+E�!6B�1EG"*��<èïHØ�Ë Õ��R³µ�¤Ì�Î ² 9%�.�%#%�����8���-6%�����Ô)+�%# ² ���������&��-��A+��,.�WÅ4)5%)*�-�!�����% a��¬ %�������-�."*��B)*�.� Ï ÑY)©� Ð "*�%)+�!�!�'�-�B �#%�'#%$%&'�!�."*��%)+��� Ï ÑY) ² Ð 9%�.�%#%��)*,.,B�-6%����#%�'� �!�.æ%�������-6%)*�O"&'&�$%���.�§Ñß�8���-6%�.�W�Ô)+�%# ² T*�-�'�-���&'�!�.A*�',��WÅ)*� �'¬B�-�'�-����"+�ð"+EZ�!6%�§EG"+�-<E�U���ZÂ8� 9%�.�%#%��ð�8���-6%�.�Ô�5Å8)+�%#ß��"ª"*�H? � E�&'"*$%�����R�!6%�§#B��æ%�%�.�!�."*�ß"+EI�-6%���$%9%���!�.�!$%�-��"+��"*�����)*�-��"+�!��0A� À ×�� À Á�Â'Â�Â�Á�� Ö ×�� Ö 3/�%�'��#%�:�-"N9��(<(" #%�.æ%�'#Y)+&�&�"+�-#B���%C+,��X)*�Z����,., Ål�!6%�=#%�'�!)*�.,.��)+�-����!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#I)+�%#©���O"+<=���H�!6%�'<R? � �!6B���V�-�.<=%,������� �-)*&��-��&O�%"*�-��"+�%�V�-$%&Q6�)*�V�!6%)+�H"+E\%6%)*� �-"*<Ò#%�'#%$%&��-��"+�%�)*,.��"5�%�'��#^�!"=9��:%��"*�����,��«�'¬ �!���B#%��#H?ò1�8)+�^��¬ )*<=%,.�Z"*E�$B�-�.�%C§0�å À è 3W)+�%#X�-"+<(�Z"+EH�-6%�:"*�-6%���8�%�'����$%,.���7T,��'�=� À 9��:�!6%�:�'¬B�-�'�-����"+�

�9�R·�Â��1¿�ÂQʪÇBÕ8��»`¿Ï ÑÔÛaå5)^ÑßÞ Ï ·�å Ð-ÐÏ ÑY)^Ñ Ð

c�é

Page 20: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

)*�B#N,.���=� Æ 9��:�!6B�:9M" #%�N"*E��-6%�:)*9�"7A*���9�VT �%)+<(�',�� T�!6%�:�'¬ %�-�'�-���."*�

�I¿�ÂQʪÇ%Õ���»Ú¿ Ï Ñ Ûuåb)^ÑßÞ Ï ·�å Ð!Ð Ï ÑE)^Ñ Ð Â

�V"(��)7A*����%)*&'�T�����8�.,.,W$%���:ãe686�6�ä:)*�8)+��_ )*� �!�. ��$B"*�!)+�!�."*�%b5"*�����)*�-"*�7T*�8���.�!�.�%C�TEG"+�8���%���!)+�%&�� T

�9�>·�ªãÍ� Æ äEG"*�8�-6%�:��¬ %����������"+�W� À C+��A+���X)*9�"7A*�?��86%�:#%�'�-�.A�)*�-��"+�N9���,."7���'�-�-)*9%,.����6%�'�8�!6%��[!$%#BC*<=��� �

²�³�Ø�ËÕu#�ô�&Mö'½@¶���³åã��IÀ�äNÌjÎ #�ô�&Mö'½@¶��^ÓðÛ Ï ãÔÛXä Ð ´ ÓµÞ Ï ã`ÞNä ÐEG"*�8��"*<=�Z)*��9%�.�!��)*���=)*���-$%<=%�-��"+�N9B)*���X²FUæ � 021 Ó 3 Ñ w5u���r�� 3 x ; �tç�è ; �Ixmé à ú]ê ç;�j�(x ; è ; � 7

Ó 3 Ñ w5u���r�� 3 x ; �tç�è ; �Ixmé à ú]ê ç;�j�(x ; è ; � � ç � �ë � 021 é à úHê 7 Ó 3 Ñ w5u���r�� 3 x ; �tç�è ; �Ixmé à úHê ç;�j�(x ; è ; � æ �"� ç ú ' �ì � 021 / 7 / � ç � ��� 021 w(u��@r��&/ñx ; �tç�è ; �Ixmé à úHê ç;�j�(x ; è ; � 7 / ì � ë �Q� ç ú � �í � 021 é à ú ê / 7 / ë � ì �8��n� ç $ �î � 0214ï�7�ï � ç � �ð�� 021 � 7 � � ç � �ñ � 0214ï �k/ 7�ï �ò/ � ç � �ó � 0214ï �1xPé à úgê /F� 7�ï �k/ ð�� î � í � ñ � ç ! �ægô � 0214ï �k/ 7�ï �ò/ � ç � �æ�æ � 021 w(u��@r�� ï �ò/

x ; �tç=è ; �IxPé à úHê ç����x ; è ; � 7�ï �t/ ægô � ó �n� ç ú � �ægë � 021 xPé à ú ê ï �ò/F� 7�ï �k/ ë � ægô � æ�æ �Q� ç $ �ægì � 0214õ27�õ � ç � �æ �� 0214õ ��x ï �t/F� 7�õ �Ix ï �ò/F� � ç � �ægí � 0214õ ��xmé à úHê ï �k/F� 7�õ ��x ï �k/F� ð�� ægì � ægë � æ ��Q� ç ! �ægî � 0214õ ��x ï �t/F� 7�õ �Ix ï �ò/F� � ç � �æ ð�� 021 w(u��@r�� õ ��x ï �k/F�x ; �tç=è ; �IxPé à úHê ç����x ; è ; � 7�õ ��x ï �t/F� ægî � ægí �n� ç ú � �ægñ � 021 xAÓ 3 Ñ w(u��@r�� 3x ; �tç=è ; �IxPé à úHê ç����x ; è ; �j� õ �Ix ï �t/F� 7�õ �Ix ï �ò/F� æ � ægî � æ ð��Q� ç $ �ægó � 021 s.�L��öø÷�ùûú�n-e�ülq�é à úHê v��_öø÷�ùûú-n�e�ü õ �Ix ï �t/F� 7�õ ��x ï �k/F� ë � ægñ �n� ç � �

÷ 6%)*�I���I<="*���©��� �-���������!�.�%C«EG"*�I"*$%�I%$%��M"+�-�'�1�.�1�-6%)*��T%9���&')*$%����<=���-6%" #%�1)+�-����¬ %�������-�."*�%�7T[�9��&�)+�§)*,.�-"9��:$%�-�'#N�-"�EG"*��<�$%,.)*�-�I����&'$%���-�.A*��<=���!6B"#B��?VòÒ����&'$%�-���.A*��<(�'�!6%" #^�8�.,�,W�L� %�.&�)+,�,.�«9��:C*�.A*�'�N�.�^�!6%�:EG"+�-<

�U�:4 Â�ø�� À Á�Â�Â'ÂtÁ�� à ÂT68686z�84 68686 Ï c ? c���Ð�;��&')*$%���J<=���-6%" #%�=)*���J����,.EG ��'A�)*,.$%)*�-���%C Ï ��$%,.�å0Aå ç 3 Ð T/"+�%�N)+%%,.��&')*�-��"+� "*E50Aå:Àhè@3;�!" c ? c�� �8�.,.,�������$%,.�5�.�µ�-6%�<=���-6%" #

ø�� À�Á�Â�Â'Â�Áe��ÃIÂ�686�6C�84 68686@0 Ï �U�V4 Â�ø�� À�Á�Â�Â'Â�Áe��ÃIÂ�686�6C�84 68686 Ð ×�4ß3�!6B������9 �Ü_a$%�B&�"7A*�'�-�.�%C+b:�!6%�Z<=���-6%" #N9�" #%�«"*EH�!6%���9�X)+�%#N)+,���"������-�!�.�%C=$%X�!6%�Z�%�'¬�;$%�B�-"+,�,.���BC�9 �«����%,.)*&'���%C��A+�����YEG�����N" &�&�$B�-�����%&'�J"+E=4 ���ð�!6%�X9�"#B�ª"*EF�-6%�N<=�'�!6%" #µ9 �å�!6B�N�'��-�����½�U�ð�'¬ %�-�'�-���."*�H? ÷ �X�8�.,�,;C*�.A*�����A*�'�-)+,M�'¬ )*<=%,.���8"*EV����&�$B�-����A+�I<=�'�!6%" #%�F�.�X�!6%�:���8� $%�', ?

c�.

Page 21: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

SL�1�.�1���!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#X�!"«��6%"7�Ú�!6%)+�1�!6B����¬ �-���%#%�'#R,�)+�%C*$B)*C*� ®ª¯�° i± �-�'<=)*�.�%�F��"*$%�%#V? ÷ �5�%"7�Ý6%)7A*�:)#%�'�-�.A�)*9%�.,��.�L�§����,.)*�-��"+� s ß�à-á�âã �-6%)*�:B�-"+M�'�-,.�R��¬ �!�'�%#%�©�-6%�=�-�',�)+�!�."*� s ß[àzá*âã #%�'æ%�%�'#]�.� ] ��&'�!�."*� c ? 2�?5�86%�%��" "*El�!6B)*� s ß[àzáTâã �.���V)*����P�.)*�J���8�.#%��� �-��&')*,K�!"(�!6%�Z%��" "*EW"+E��H��<=<=) c ? S ? ÷ ��&�)*�X)*,.��"���6%"7�Ô�!6B)*� s ß[àzáTâã�.�J�!6B��,.��)*���J�V)*����P�.)*� ����,.)*�-��"+�ß�!6%)+�J������M�'&��!�N�!6%�]%����<=�.�!�.A*�§<=�'�!6%" #%�X"*E ®ª¯©°<i± )*�%#Ô�.�X&�,."*����#ß$%�%#B���6 � M"+�!6%�'�!�.&�)*,*�-�')*��"*�%�.�%C ç �8�.�!6:�'�-����� �-��)+,�,.�1�-6%����)*<=��)*��C*$B<(�'� �l�!6%)+����)*�WC+��A+���Z���:�-6%��B�-" "*E"*E �86%�'"*����< c ? 2�Å���I"+�%,��J�%���'#N�-"5&'"*�%����#B���;�-"+<=��)+#%#%�.�!�."*�%)+,K&�)*�����;�.�N�-6%�Z���B#%$%&��-��A+�Z�-�-��HT�%)+<=��,.�T��$%,��'��0�å*ý�3LTl0Aå Àj± 3LTl0Aå À�À 3LT0Aå À ç�3LTF0Aå À )'3LT/)+�%#Ú0Aå À +�3L?]ò1,.,;"*EF�-6%�����X)*���J����)*#B��,.�å6%)*�%#B,��'#µ9 �ª�!6%�X)*B%�-"+%����)+�!�«�.�%#%$%&'�!�.A*�X6 ��"*�-6%�������7T)*,."*�BC5�8�.�!6^�!6B�:�!��)*�%�����-��A �.�L�«"*E s ß�à-á*âã ?

é�ê�þ ÿ ��C=� �:���p=

� �[Åuô¨Ã m�ó�÷R� m ÔI�1óªÂ0m �jó�÷ l õ­ "*�B�-�.#%���;�-6%�:EG"*,.,�"7�8�.�%C=�.�%EG�������%&'�Z�-$%,.�U

³=¿�À�à Ï ¿ Æ àñ¿ æÐ 0�»F&B¹�#@»\¶Q¶��|3³ Ï ¿ À ÛN¿ Æ Ð àñ¿�æ

�86%�F�B)*<=�^_a$B�%&�$%�����bZ#%�'�-�.A*�'�DEG��"*<ê��#%�'� �!�.EG��.�%C©�-6%�1&'"*�%�B��&��-��A+���1ÛY)*�B#êà �8�.�!6«�-6%�F�L� ��1&�"+�%���!��$%&��-"*��� j)*�B# � T ������M�'&��-��A+��,.�?/SL�^�!6B)*�F,.��C+6 �8�!6%�:$%�B&�$%���-� �.�%C=�-$B,��:�.�FA ���'�O�'#^)*�F�-�-)+�%�-EG"+�-<=�.�%C()�&�$%���-�.��#XEG$%�%&'�!�."*�%)+,�L� M��� À � � Æ � �Tæ©�!"J�!6%� _a$%�%&'$%���-�.��#%b Ï � À j � Æ Ð � �Tæ ? ÏG÷ ���8�.,�,H)*,.�-"���6%"*���!,.�X&�"*�B�-�.#%���1)«#%$%)+,���$%,���EG"*�_a&'$%���-� �.�%C*bX�!6%)+�©%��" &����'#%���.�ª�!6B�«�-�'A*�'�-���=#%������&'�!�."*�H? Ð ÷ �N�O"+$%,�#å,.��P+�«)^®ª¯©°<i± <=���-6%" #Ú»F&B¹�#@»\¶Q¶��N�!6B)*��!)+P*�'�O)(%����<=�����Z"*EW�-6%�ZEG"*��< ¿/ÀDà Ï ¿ Æ àñ¿ æ\Ð Ï ������)7�=�!6%)+�;)5%��"*�"*���.�!�."*��¿����8)µ_a%����<=�.�-�'b�"+E�)(<(�'�!6%" #4 ��E:¿¤�.���'¬ M�'&��!�'# �!"Y9M�N���ª�-6%�J)+�-��$%<=%�-��"+� 9%)*���«�86%�'�µ4 ���5��� A+"*P*�'# Ð T�)*�B# #%�����.A*�����!6%�N&�"*�B&�,.$%�-�."*�Ï ¿�À�ÛX¿ Æ Ð à ¿ æ ? ¦ "*�8�.�%���!)+�%&�� T �O�Z��6%"*$B,�#X6%)7A*�

²6da¼*Óµà Ï Ù/ãÚà¤ä Ð ½�³b��»F&M¹�#'»\¶Q¶��YÓðà Ï Ù/ã`àñä Ð ´ Ï ÓµÛ^Ù/ã Ð à ä Ï c ? c�S�ÐEG"*�J)*� �µ)+�-��$%<=%�!�."*� 9%)+�-�:²;?`�86%�§,.)*�%C+$%)*C+�X�.�!����,.E:#%" ���J�%"*�«B�-"7A �.#%�R)*� �µB�-�.<=���-��A+�§<=���!6B"#ßEG"+�«�!6B)*�%$%���"*���? ÷ 6%)*�Z����&�)+�Y#%"^�.�%���!��)+#Y�.�©#%�'æ%�%�="*$B�:"7�8�Y<=���-6%" #å�!6%)+�:��<=%,.��<=��� �-�X»F&B¹�#@»\¶Q¶��J���]�!�'�-<=�©"+E�!6B�:��¬ �����!�.�%C=%����<=�.�!�.A*�Z<=���-6%" #%�F)*�B#N��� ��-)*&'�!�.&�EG"+�-<=�7?V�86%�ZEG"*,.,�"7�8�.�%C=#%�'æ%�%�.�!�."*�^)*&Q6%�.��A+���;�!6B���7U»F&B¹�#@»\¶Q¶��:³ ø��K¶|½@¸5·$��½KÂtïHʪÇBÕ8��»¸��¶!½'¸(·$��½

¿ À à Ï ¿ Æ àñ¿�æ Ð )ñÇ%È'È@ÉVʪË�¿ À ÛX¿ Æ ÌjÎî�Ë" �ÌjÎ

¿ À î��L�QØjË × ÕLí�Ç%ÎHï ¿ À ÛN¿ Æ Å¿ Æ àñ¿�æ`î��L�QʪìWïVÉHÈ!í@ë�ìMÎVË ÎHÈ:��¶|½@¸5·$��½Y¿ À Å¿ Æ î��L�QÖ�Ì  �»lÕLí@ÇBÎHï ¿ À ÛX¿ Æ Å¿ æ î��L�QʪìWïVÉHÈ!í@ëDì�ÎVËÎVÈ]¿ Æ à ¿ æ ¿ Æ

Ë ÎVï÷ �:&')*�X�%"7��)+%%,.�]»F&B¹�#@»\¶Q¶��8[!$%���8)*�8�.EH�.�8�O�'�-�Z)=%����<=�.�!�.A*�Z<=���-6%" #H?/SL�%#%�'��#HT�-6%�:&�,.�.��� �!�F"+E;»F&M¹�#'»\¶Q¶��

�%�*ô+»\¼¾õ(�!6B���%P�"+EK�!6%��<=���!6B"#J)*��B�-�.<=���-��A+�T+�-�.�%&'�F�!6%��#%�'�!)*�.,.��"*El�.�!���.<(B,��'<(�'� �!)*�-��"+�«)*���F�.�-����,.��A�)+����!"��-6%���.�%$%���"*�����7?FòI,�,/�!6B)*��<()+�!�-�����I�-"N)N&�,.���'����.�I6%"7�Ò�-6%�(<(�'�!6%" #Y9M�'6%)7A*�'�I)+�I)N9%,�)+&QP^9M"7¬W?I�86%)*�I9M�'6%)7A ��"+�I�.����

ÿ �|�Q��yaý�z�ýa{p���|z/}jü�z`��y�{p�;{p}�{��QzV�;z|}�ü�����ý��Qÿ\}�ü@z�z´��}jz!�@��z|�:�p~Q��þQ��~QþQzD~Qyaz/}jü�z�ý�~Q�;z/~Qý�}�ü��Qý�z��Qÿ\}�ü@z��!�Qy�z���}jü�{pýW�;z|~Q��ýH}jü�~Q}� ß�à-á*âã q � ß[àzáTâã

> ü�{p� ü1ýaü�� > ýH}jü�~Q}�}�ü�zDzR��}�z|��ý�{p�Q�Z{pýW�!�Q�@ýaz|y��-~Q}�{��Qz��

� ¬

Page 22: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

��M�',�,.��#N"*$%�����N�!6%�Z<=���-6%" #C� �������&��.æ%&')*�!�."*�VT*�86B��&Q6N�-�'�-A+����)+�;)�&�"+� �!��)*&��O9M�'�L�O�'���N&�,.���'���)*�B#J�.<(B,��'<(�'� �!"*�7?SL� �!6%�.�«&')*���T��!6%�R&'"*� �!��)*&'�("+�%,.� #%��<=)+�%#%�«�-6%)*���86%�'�%��A+���Y»F&M¹�#'»\¶Q¶��Y�.��)*%B,��.��# �!"ª)+� )*��C*$%<=��� ��T��!6B)*�)*��C*$B<(�'� �D�-6B"*$%,.#J9��I)(%��"*�"*�����-��"+��"*EW�-6%�ZEG"*��<Í¿/À�à Ï ¿ Æ àñ¿ æ\Ð )+�%#J��6%"*$B,�#«9������X�!6%��)*����$%<=%�!�."*�«9B)*���?SLEK):&�,.���'� �D6%"*�B"*�����!6%�'�-�8�-����<(�7T*�!6%�'�Y»F&B¹�#@»\¶Q¶��I<�$%���D9���6%)7A+��)+�D)*#BA*�����!�.����#HUW���D<5$%���D#%�����.A*�;�!6%�1&�"*�B&�,.$%�-�."*�Ï ¿�À�ÛX¿ Æ Ð à ¿ æ ?�+O¬ )*&��-,��@�*ô"�Ô�-6%)*�1&�"*�B&�,.$%�-�."*�^�.�1#%�'�-�.A*�'#^���I"*EV,��.�!�-,��5&�"*�B&������^�!"«�-6%�©&',��.��� �r/Ü�����6%)*%�1)*�,."*�%C()*�8�-6%�:#%�����.A@)+�!�."*�X#%" ���F�B"*�;�-��� $%�����Z)*�X���B"*��#%���B)*�!�Z)+<("+$%� �;"*EV�!�.<(�:"+�;�-�'�-"+$%�-&'���7?

SL�ß�!�'�-<=�«"+EI���L� ,�� TD�-6%"*���R�86%"ªæ%�%#ß�-6%�§EG"+�-�'C*"*�.�%C]#%��æB�%���-��"+�ß"*E«»F&B¹�#@»\¶Q¶��YA*�'�-9�"*���^&�"*$B,�# "*B��EG"*�«)<="*���1��$%&�&'���B&��;)*,.�!�'�-�%)+�!�.A*�I9������<="7A �.�%C��-6%�Z&�"*�B&�,.$%�-�."*�J)*�%�%"+�!)+�!�."*�%�7T+"*����A*�'�J�-6%�5ïHØ�ËÕ8�!" "KT*������$%,.�!�.�%C(EG"*���¬ )+<(B,��Z�.�HU»F&B¹�#@»\¶Q¶��:³ ø��K¶|½@¸5·$��½KÂtïHʪÇBÕ8��»¸��¶!½'¸(·$��½

¿ À à Ï ¿ Æ àñ¿�æ Ð )ñÇ%È'È@ÉVʪË�¿ À ÛX¿ Æ ÌjÎ�Qʪë Ï �tʪë­��¶|½@¸5·$��½ Ï �tØjË × ÕLí�Ç%ÎV錄 À ÛX¿ Æ Ð�Ð

Ï �tÖ�Ì  �»lÕLí@ÇBÎHïñ¿�À�ÛX¿ Æ Ð�86%�'�-�Z�!6B�©9M" #%�X"*EV�!6B�=Ç%È@È'ÉVʪË5�.�F"*�%�:���.�%C*,.�:�%�����!�'#^<(�'�!6%" #R&')*,., ?DSL�F���1���%���!��$%&'�!�.A*�:�!"�"+9%������A*�Z6%"7���-6%�)*����$%<=%�!�."*�=9%)+�-�;�.���.<(B,��.&��.�!,.�5<=)+�%��B$%,�)+�!�'#�#%$%�����%C:�-6%�F�'A@)+,�$B)*�!�."*�="+EM�-6%���O<=���!6B"#�&')*,., ?�����" &��'��#%�.�%CZEG�-"+<�.�%�-�.#%�8�-":"*$%�-�-�.#%�T4�!6%��Ø�Ë ×aÕ|í@Ç%ÎVïN<=���-6%" #�&�)+,�,%�8�.,.,%%��"#B$%&��8�-6%�8&�"+�%&�,.$%����"+�N¿ À T4�86%�.&Q6(�8�.,.,B9��8���%&'"*��M"+�-)+�!�'#�.�Y�-6%�=)*���-$%<=%�-��"+��9%)+�-�(�86%�'�Y���5&'"*<=�=�!"X)*%B,��§�-6%�=���B�%����<="*���©Êªë�?©�86B)*��)*%%,.�.&�)*�-��"+���8�.,�,�� �.��,.#Y�-6%�&�"+�%&�,.$%����"+�å¿ Æ à ¿fæ\TB)*�%#§�-6%)*�I�8��,.,V���§�-$%���§9M�5���B&�"*���"*��)*�!�'#^���§�-6%�()*���-$%<=%�-��"+�R9%)*���©�86%�'�§���©&�"+<(�5�!")*B%,��:�-6%�;"*$%�-���/<=" #%$%���"*�%�'�%��T@)+,�"+�%C��8���-6N¿ Æ T��-6%�;&�"+�%&�,.$%����"+��"*EM�!6%�IÖ�Ì  �»lÕLí�Ç%ÎVïJ)*%%,.�.&�)*�-��"+�0/Ü)*�%#5�!6%�'�-��L��"�)*#B#%���-��"+�%�8�8�.,�,K<=)*P+�I��$%���I�-6%)*�;�!6B��"+$%�!�'�;<(" #%$B�8M"+�%���%�;&'"*���-�'&��!,.�=%��"#B$%&��'���-6%�Z#%�����.�-�'#J&�"+�%&�,.$%����"+�HT¿ æ ?ISL���-����<(��"*E��-6%�(EG"*��<()+,H����<=)+��-��&'��TM�-6%���'A@)+,�$B)*�!�."*��"*ED�-6%���Z�%�'�-�-��#§<=�'�!6%" #�&')*,.,/�8��,.,H�'<=%,�"7�^�-6%�5&'$%���$%,��(�!6B�-�'�5�-��<=���7T�"*�B&��(EG"*�Z��)+&Q6��%�'�-�-��#�<=�'�!6%" #])*%%,.�.&�)*�-��"+�HT�)*�B#��8�.,�,�������$%,.�I�.���-6%�-�'�5)+�-��$%<=%�-��"+��9%)+�-�)*$BC*<=��� �!)+�!�."*�%�7?Hò1,.,W�!6B���F��"*��P��8�.,�,W9��:#%"+�%�:)*$%�-"*<=)*�-��&')*,.,���9 �N�!6%�Z®ª¯©°<i± �.� �!����%�����-���7?��86B�:$%�-�'�8���1�!6 $%�EG�����=�!"R&'"*�%&'��� �!��)*�-�("+�å�!6%���'�-����� �!�.)*,��-�-��%�©"+EO�-6%��%��" "*E��-)+�!6%�'�:�!6%)+�]�-6%���!�'#%�."*$%�©)+�-���&'�!�©"+EO<=)+�%)*C+���%C%����<=�.�-�'��)*�B#ª��� �!�'�-<=�'#%��)+�!�N&�"*�B&�,.$%�-�."*�B��?^SL�5���(,.)*��C*��,.���-6%�.�5���!����)+<(,.�.�%���BC§"*E8�-6%�N)+�-��$%<=%�-��"+�ª9%)*���«�!6B)*�<=)*P+���;�I�O�ª%��""+EG�;)*�%#^%��" "*E�<=�'�!6%" #%�F����)+#%)*9B,���)*�%#X�8�����-)*9%,.�?

���'�:$%�:�%"7� #B��æ%�%��)^<=���-6%" #�#'»\¶Q¶��N�-6%)*�Z�!)+P*�'�:)XB�-�'<(�.���("+E��-6%��EG"*��< Ï ¿ À ÛX¿ Æ Ð àñ¿fæ�)+�%#å#%������A+���¿ À à Ï ¿ Æ à ¿fæ Ð U#@»\¶Q¶��©³ ø>�K¶|½'¸(·$��½lÂtïHÊåÇ%Õ���»¸��¶|½@¸(·$��½

Ï ¿ À ÛX¿ Æ Ð à ¿fæF)ñÇ%È@È'ÉVʪË�¿ À Ì�ÎÇ%È'È@ÉVʪË�¿ Æ ÌjÎ

�Qʪë­�K¶|½'¸(·$��½ Ï �Qî�ìMÕ�»¤¿ À ¿ Æ Ð�86%�Z����)*#B���;�8��,.,WA+������EG�«�-6%)*�

²6d©¼ Ï ¿�À�ÛX¿ Æ Ð àñ¿ æ ½=³���#@»\¶Q¶�� Ï ¿�À�ÛX¿ Æ Ð à ¿ æ ´ ¿/À�à Ï ¿ Æ àñ¿ æÐ�.�N)+��p²8T)*�B#X�-6%)*�Y#@»\¶Q¶��5)*�B#ª»F&M¹�#'»\¶Q¶���)*���Z��� A+�����-�'���.�X�!6%�:�����%���:�!6B)*�

²½d©¼4¿b½R³���#'»\¶Q¶�� Ï ��»F&B¹�#@»\¶Q¶��]¿ Ð ´ ¿)*�B#

²½d©¼4¿b½R³���»F&B¹�#@»\¶Q¶�� Ï ��#@»\¶Q¶��å¿ Ð ´ ¿EG"*�8)+,�,�² )+�%#N�'A*�'�-�§¿`"*EV�!6%�:���.C*6 �;EG"*��<R?

�86%�:�L��"(EG"+�-�'C*"+���%C=<=���-6%" #%�F&')*�X9M�©A �.������#X)*�^_ #%�����.A*��#X�.�%EG�������%&'�Z�-$%,.����b�?`+�A*�'�-��,."*C+��&Z&'"*<=���8�8�.�!6R)æ%¬ ��#X&�"+,�,.��&'�!�."*�^"*EH%����<=�.�!�.A*�:�.�%EG�������%&'�Z�-$%,.���7T �86%�'�-�Z)+�N�.�%EG�������B&��:��$%,��på����F$B�-$%)+,�,.�«#%�'%�.&��!�'#^C*��)*%6%�.&�)+,�,.�)*�

��c

Page 23: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

³(¿ À 6�686 ³=¿ Ã 0Aå;3³5¿

)*�B#(&')*�=9��8$%�%#%�'�-���!" " #=)*�D)+�()+,�C+"*�����-6%< �-6%)*�D�.�DC+��A+���(�!6%�'"*����<=�D"*E��!6B�FEG"*��< ¿ À Á'Â�Â�Â'Á�¿ à )*�%#=%��" #%$%&��'�F¿�?] �.�%&��8�.�D�.�D$%��$%)*,.,.���.<(B�-)+&��!�.&�)+,%�!":�8���.�!�F#%"7�8�=%��" "*EG��$%���.�%C:�%"*�-6%�.�%C©9%$%��%�-�.<=���-��A+�8�-$B,��'��T4���D�.�D$%����EG$B,B�!":9��)*9B,��O�!"1�.� �!��" #%$%&��O)*#%#B���-��"+�%)*,���BEG�������%&'�O��$%,.����)+�H�B����#B��#H?��H"I���%��$%�����-6%)*�V�-$B&Q6©��¬ �!�'�%����"+�%�H)+�-��&�"*�B�-�'�-A�)*�-��A+�T����<5$%����9��:)*9B,��Z�!"�C+$%)*��)*� �-���1�-6%)*�8)=�%�'�`��$%,.�Z#%" ���8�%"+�8)*,.,�"7�Ô$B�8�!"�%��"7A*��)*� � �!6%�.�%C(�!6%)+�8�O�Z&'"*$%,.#^�%"*�)*,.����)*#B�ª%�-"7A+�J�8�.�!6 �!6B�R%�-�.<=���-��A+�^���%EG�'�-�'�%&��R��$%,.����)+,�"+�%�?µ�86%�.�«����$B�-$%)+,�,.� )+&Q6%���'A*�'#µ9 � %��������� �!�.�%Cå)*�)*,.C*"+�-�.�!6B<ñ�!6%)+�F&�)+�`_a��,.�.<(�.�%)+�!��b�"+�^_a�'¬ %)*�%#Bb()+� �J%)+�-�-��&'$%,�)+�8$%���©"*EV�!6%��#%������A+��#^��$%,�� ?D�86B)*�8�.��T%�-$%BM"+�-����86%)7A*�;):%��" "*E��86%��&Q6VT4)+��):&������!)+���=���!�'HT4)+%%,.���'�D):#%�'�-�.A*�'#(��$%,.� ² åµ�-"©&��'�-�-)*�.�=%�-�'<=�������F¿�ÀQÁ'Â�Â'Â�Á�¿lÃ5)*�%#%��" #%$%&��'�1��"*<=�©&'"*�%&',�$%���."*� ¿�?F�86%���§"+$%��)*,.C*"*���.�!6%< �-6B"*$%,.#R9M�()*9B,��5�!"J�',��.<=���B)*�!�5�!6%)+�1���!�'�)*�B#§�-�'%,.)*&���.�1�8�.�!6§)Ô_a%����<=�.�!�.A*�©B�-" "*E!b�TB� ? �?.T%)N%��""+E/�!6%)+�1#%" ���&Bô"�O$%��� ² åÝ9%$%�I6%)*�I�!6%�(��)*<=�©��¨���&'�@TM�%)+<(�',�� T%�-6%�#%�'#%$%&��-��"+��"*E�¿ EG��"*<Í¿/ÀtÁ�Â'Â�Â�Á'¿KÃl?C9I���%&'�1�!6B�1�!�'�-< _a#B������A+��#��.�%EG�������%&'�F��$%,��'b�U��!6%�I�%��� ��$%,.� ² åÜ���O#%�����.A*��#EG��"*<,/ð"+�;��¬ %�������-�'#J�.�X�-����<=�8"*E$/Ü�!6%�:%���.<(�.�!�.A*�:��$%,.���7?Hò1�<'§)+�%�%)§0 � ¬43WB$%�!�F�.�7U

SL�^"+�-#%�'�;�!"=9M�:)+9%,.���-"=�8�-�.�!�Z��6%"*���!�'��#B��#%$%&'�!�."*�%�8EG"+�8�8�8EG�F�.�N%��)*&'�!�.&�� T���8�.�8<="*����&'"*� A*�'�%�.��� ��-"56B)7A*�F)(,��.9%��)*���5"+E�õ*½@¶Q·Gö@½�õN·$&�ó@½@¶|½ &H#�½©¶Q»\¼¾½ ��?�+O)*&Q6«��$%&Q6«��$%,.�I&')*�«9���C*�.A*���J)*�J�'¨M�'&��-��A+�I%��" "*E�.� �!6%�R�����B�-�^�!6B)*�����R&�)*�Ü��6%"7� �'¨M�'&��!�.A*�',��ð6%"7� �-"å�-�'%,�)+&��^)*� � #B������A+��#Ü�-$%,.�^"*E����BEG�������%&'��86B���%�'A*���J���«�.�J$B�-�'#Ü�.�Ô)ª#%�'#%$%&'�!�."*�ß9 �µ)+�ß)*%%��"*B�-�.)*�-�X���8� $%�'�%&��R"+EZ�8¨M�N$%�-�.�%Cª"+�%,��Ü�!6B�_ %����<=�.�!�.A*��b(��$%,��'�F"*EH���BEG�������%&'�:)*�%#X)*¬ �."*<=��?

SL�ª�!6%�N&�)+�-��"+EO®ª¯�°ji± <(�'�!6%" #%�(��$%&Q6å)*�©#@»\¶Q¶��%TH�-6%� _a�',��.<=���B)*�!�."*�ª)+,�C+"*�����-6%<=b^���5C*�.A*���ª9 �Y�!6%�NA*�����#%�'æ%�%�.�!�."*�^"*E/�!6B�:<(�'�!6%" #H?��86%�©9�" #%�J"+E/�!6%�:<=���-6%" #HTB��� �!�'�-B�-�'�!��#^"+M�'�-)+�!�."*�%)+,�,.�����R)+&�&'"*��#%)*�%&'�I�8�.�!6R�-6%���A�)+,�$%)+�!�."*�^����<=)*� �!�.&��1"*E/�!6%�5,�)+�%C*$B)*C*� T�-���&'��æB���1B�-�'&��.�-�',��N6%"7�Ý�!" _ ��¬ %)*�B#X"+$%�!bJ)*� �J)+%%,.��&')*�!�."*�^"+EV�-6%�<=���-6%" #§��� �-"«)«%��" "*E/�!6%)+�1$%�����I"*�%,.�X%�-�.<=���-��A+�©<=���-6%" #%� Ï "*�I%�-�'A ��"+$%�-,.�J#B��æ%�%�'#§<=���-6%" #%��TB�86%�.&Q6§�8�.,�,H����!$B�-�§9��(��¬ %)*�B#%��#§�-"NB�-�.<=���-��A+��� Ð ?1�86%�5�'¬ %)*�%���."*�R�8�.,�,/" &�&'$%�I#B��B)*<=��&')*,.,��^)+�1��A�)+,�$%)+�!�."*�§�-��<=�()*�%#��8��,.,9��«M�'�-EG"+�-<=�'#ª9�]�!6B�J�.��-����%�����!�'��?NSL� EG)+&��©�.���.�(�-�-�-)+��C+6�-EG"*���O)+�-#Y�!"§�.�%���!��$%<=��� ���-6%�«�.� �!��������!�'�5��"R�!6B)*��.�:%�-" #%$B&����:�B"*�Z"*�%,.�§�-6%��&�"+�%&�,.$%����"+� Ï #%���%"+�!)+�!�."*� Ð "+E�)RC*�.A*�'��#%�'#%$%&'�!�."*� ² Tl9B$%�©)*,.��"�T�)*�:)R���.#%�=��¨���&���T)JB�-�.<=���-��A+�5%��" "*E ² e T��-6%)*�����7T�"*�B�5�-6%)*��$%�����Z�%"*�-6%�.�%CN9B$%�Z�!6%�(%����<=�.�!�.A*�(���%EG�'�-�'�%&��(��$%,��'�Z"*E�®ª¯©° i± )*�%#�.�!��%�-�.<=���-��A+�©#%�'#%$%&��-��A+��EG"+�-<=� Ï Ç%È@È'ÉVʪËMT%�'�!&? Ð ?F�86%���L��"«#%�'#%$%&'�!�."*�%� ² )*�B# ² e �8��,.,H9��("*9%������A�)*�!�."*�B)*,.,���8� $%�.A�)*,.��� �@T79%$%��"*�B��"+EB�-6%��<§T ² e T7�8��,.,%9��8<�$%&Q6(�-�.<=%,.�����!6B)*�=�!6%�8"+�!6%�'�/9M�'&�)*$B�-�;<="*����"*EM�!6%�8&'"*<=%$%�-)*�!�."*���<59M�'#%#%�'#N�.� ² �8��,.,l6%)7A+�I9����'�N#%�.��&�)*��#%�'#H?HSL�JEG)*&'�@T ² e �8��,.,l9M�Z)(�L� M�' -�R%��" "*E$/Ü�����8�.,�,l&'"*� �!)+���NA�.���!$%)+,�,.��%"R�'¬B�-�'�-����"+�%�p�¤�.� ����)*�%#ª�8�.,�,O9M�JC*$%)+�-)+��-���'#Y�-"§�!�'�-<=�.�%)*�-�«���ª,.�.�%��)+�©�!�.<=�?Xò1�5�O���8�.,.,O)+�-C+$%�=,�)+�!���7T9�"*�!6 ² )+�%# ² e ��6%"*$B,�#«9���A�.������#N)*��9M"+�%)�æB#%�IB�-" "*EG�7Å+�!6%��"*�B,��=#%�.¨M�'�-�'�%&����.���-6%)*� ² e �.��):��·G¸<�K¼¾½'¶Z%�-" "+E9���&�)+$%�����.��6B)*�Z<�$%&Q6Y,��'�-�Z&'"*<=%$%�-)*�!�."*�B)*,V&�"*� �-��� �@?Z�V"X��<=%6%)+�-�°2��(�!6%�.�Z#%�.�-�-���%&'�!�."*�HTl�O�(�-�'EG�����!" ² e )*�Z)#�½'¶��a· �j#%�"��½'?=�86%��%��" &��'�-�:"+EO&'"*�%���!��$%&��-���BCR)R&������!�.æ%&')*�!�=)+�©)^�-�.#%����¨���&'�©"*E���A�)+,�$%)+�!�.�%CR)^�L� M�' hgÒ%��""+EO�.�P �%"7�8�()*�(��¶!ô'ô ó:½rd �F��&f��·Gô�&%T4"*�[#�½@¶���· �<#D�"��½�B\½�&M½'¶e�"��·Gô"&%? ÷ �F�8��,.,%#%�.��&�$%�����!6%�.�D��$%9 [!�'&��DEG$%���!6B�����.� ] ��&��-��"+� c ? . ?

���'�8$%�8EG"*��<�$%,.)*�-�Z�-"+<(�Z<="*���Z��� �-���������!�.�%C=<(�'�!6%" #%�7? ­ "*�B�-�.#%���8���='§"+�-C+)*�C� �O,.)7�8�7U¼ U õ À i ÷ ©�£���� ù¼nõ¶¿&¼¨

¼nõ�¿�¼¨ ÷ ©�£�� ù¼ U õ À i¼ U õ¶¿& i ÷ ©�£���� ù¼nõ À ¼¨

¼nõ À ¼¨ ÷ ©�£�� ù¼ U õ�¿� i÷ ����"*$B,�#N,��.P*���!"=6%)7A+�1EG"*$B����$%&Q6X<=���!6B"#B��T�')*&Q6J"+EW�86%�.&Q6N�-)*P+����)(B�-�'<(�.���I"+EW�!6%�:)+%%��"*%���.)*�!�1EG"*��<ñ)*�%#%��" #%$%&��'���-6%�I&'"*���-�'�-�"*�B#%���BC:&�"*�B&�,.$%�-�."*�V? ¦ "*�����%���!)+�%&�� T+�O�I�O"+$%,�#J,��.P*�F�-"56B)7A*�F)5<(�'�!6%" #]õ+¸5¹��F��$%&Q6«�!6B)*�

²6du¼*Ù Ï ÓðÞ Ï ã�àñä Ð-Ð ½=³���õ*¸(¹ c Ù Ï ÓðÞ Ï ãÔàñä Ð!Ð ´ Ù/ÓµÛ^Ù Ï ã`àñä Ð

�.�N)+��p²;? ] �.�%&��Z�!6B�:,�)+�%C*$%)+C*��#%" ���8�%"+�;%�-"7A �.#%��)*� �«%����<=�.�!�.A*�Z<=���-6%" #%�8EG"*�8���='§"*��C*)+�C� �O,.)7�8��T���Z6%)7A*��!"=#%�'æ%�%�:��$%&Q6X<(�'�!6%" #%�1"*$%���-�',�A+���7? ÷ �:9���C*�.�^�8���-6µõ*¸(¹ c U

���

Page 24: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

õ*¸F c ³ ø>�K¶|½@¸5·$��½WÂQïVÊ]ÇBÕ8��»;�K¶|½'¸(·$��½Ù Ï ¿ßÞNÑ Ð )ñïHØ�Ë Õa&Mô��a¹.´è³ßÈ'ÉVëVëDìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ@ÉHÖ�ïÔ¿ùÌjÎ

�QÇ%îVÈ'ÉVÖ�ï Ï �QØ�Ë× Õ|í@Ë ÌjÕ�»HË Ö ¿ Ñ Ð Ù Ï ¿ßÞXÑ Ð&Mô��a¹�� ³ È@ÉHëVëDì�È'Ë'í�Ç%îHÈ@ÉVÖ@ïÔÑñÌjÎ

�QÇBîHÈ@ÉHÖ�ï Ï �QÖ@ÌG f»lÕ|í@Ë ÌjÕ�»HË Öµ¿ Ñ Ð Ù Ï ¿ßÞNÑ ÐÌjÎ

�QîDì�Õ8»ö&Bô"��¹.´Þ&Bô��a¹���86%�F����)+#%���O�8��,.,�A*�����.EG�5�-6%)*�(²=dE¼*Ù Ï ¿ßÞJÑ Ð ½=³���õ*¸(¹ c Ù Ï ¿ ÞXÑ Ð ´ Ù/¿ Û^Ù/ÑÔ�.�«)+��()*����$%<=%�!�."*��9%)+�-�j²;?÷ �:&�"*� �-��� $%�Z�8�.�!6^�!6%�:����<=)+���%�.�%C(�!6%�����:,.)7�8�7Uõ*¸F � ³ ø>�K¶|½@¸5·$��½WÂQïVÊ]ÇBÕ8��»;�K¶|½'¸(·$��½

Ù/¿ßÛ^Ù/ÑY)ñïVØjË ÕJ·G¸X��¹ c ³ Ï ¿ àù× Ç%Ø�È'Ë Ð î��ñÇ%È@È'ÉVʪË�¿¤Ì�Î�QÇ%îHÈ@ÉVÖ@ï ¿ Ï �QØ�Ë× Õ|í@Ç%ÎVï­��¶|½@¸5·$��½ Ð

·G¸X��¹ � ³ Ï Ñßàù× Ç%Ø�È'Ë Ð î��ñÇ%È@È'ÉVʪË�ѤÌ�Î�QÇ%îVÈ'ÉVÖ�ï ¿ Ï �tØ�Ë ×aÕ|í@Ç%ÎVï­��¶|½@¸(·$��½ Ð

ÌjÎÙ Ï ¿ßÞNÑ Ð î��ñÈ'ÉVëVëDìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ@ÉHÖ�ïÔ¿ÜÞXÑ ÌjÎ

���*ï ¿ ÞXÑ ·G¸X��¹ c ·G¸X��¹ �õ*¸F S ³ ø>�K¶|½@¸5·$��½WÂQïVÊ]ÇBÕ8��»;�K¶|½'¸(·$��½

Ù Ï ¿ßÛNÑ Ð )ñïHØ�Ë Õpw¤³`Ù�Ù Ï Ù/¿ßÞ^Ù/Ñ Ð î��È'ÉHëHëDì�È@Ë�í�Ç%îVÈ'ÉVÖ�ïÔÙ Ï Ù/¿ÔÞNÙ/Ñ Ð ÌjÎ

ïHØ�ËÕw;ÀN³`Ù�Ù/¿ßÛXÙ�Ù/Ñ î��L��õ*¸(¹ c Ù Ï Ù/¿ßÞ^Ù/Ñ Ðw Æ ³�¿ î��L�QïVÎ Ï �QØ�Ë ×aÕ|í@Ç%ÎVïLw�À Ðw æ ³�Ñ î��û�QïHÎ Ï ��Ö@ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVïïw�À ÐwCç:³�¿ ÛNÑ î��ï�QîDì�Õ8»Lw Æ w�æ

ÌjÎ�QÇ%îHÈ@ÉVÖ@ïïw ç �K¶|½@¸5·$��½

ÌjÎÙ/¿ÜÞ^Ù/Ñ î��L�QïHÎïw

91�'�-�����«6%)7A+��)*,.�-�')*#%�Y9M�'C*$%�µ�!"§�8�.�!�%�'�-�5�!6%�J9M�'�%��æ%�-�5"+E;)*9%���!��)*&'�!�."*�HU©,��'<(<=)�w À )*9�"7A*���.��#B������A+��#ª9 �)*B%,�� �.�%C��!6%�;%����A �."*$%��,��:#B��æ%�%�'#=<(�'�!6%" #§õ*¸(¹ c �!"Z�!6%�;6 � M"+�!6%�'�-�.�FÙ Ï Ù/¿ßÞ^Ù/Ñ Ð ? ÷ �8&�"+�%&�,.$%#%���8���-6�õ*¸(¹�2�Uõ*¸F a2R³ ø>�K¶|½@¸5·$��½WÂQïVÊ]ÇBÕ8��»;�K¶|½'¸(·$��½

Ù/¿ßÞ^Ù/ÑY) Ù Ï ¿ßÛXÑ Ð î��È@É�ëVëDìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ@ÉHÖ�ïÔ¿ßÛJÑ ÌjÎ

ïVØjË ÕX·G¸<�K¹ c ³ Ï Ù/¿ßàù× Ç%Ø�È'Ë Ð î��ÇBÈ'È@ÉHʪËYÙ/¿ñÌjÎ

�QÇ%îVÈ@ÉHÖ�ï Ï ��ØjË × ÕLí@ÇBÎHïñ¿ ÛNÑ Ð Ù/¿·G¸<�K¹ � ³ Ï Ù/ÑÔà¤×aÇBØjÈ@Ë Ð î��

ÇBÈ'È@ÉHʪËYÙ/Ñ ÌjÎ�QÇ%îVÈ@ÉHÖ�ï Ï ��Ö@ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVï ¿ ÛNÑ Ð Ù/Ñ

ÌjÎ���*ï �K¶|½@¸5·$��½ª·G¸X��¹ c ·G¸<�K¹ �

÷ �Y&')*�Ô�%"7� �8���.�!�])µC*�'�%�����.&����v'§"+�-C+)*�Ô<=�'�!6%" #ùõ+¸ �!6%)+�^#%����%)+�!&Q6%�'�N�-6%�Y)+%%��"*%���.)*�!��<(�'�!6%" #`���)*&'&�"+�-#%)+�%&��I�8���-6^�!6%�:EG"+�-<ñ"+EH�-6%�:�.�%%$%�8%��"*�"*���.�!�."*�HU

��S

Page 25: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

õ*¸ñ³Òø���¶|½@¸5·$��½WÂQïVÊåÇ%Õ8��»¸�K¶|½'¸(·$��½Ù Ï ¿ßÞXÑ Ð )L��õ*¸(¹ c ��¶|½@¸5·$��½Ù/¿ Û^Ù/ÑY)L��õ+¸5¹ � ��¶|½@¸(·$��½Ù Ï ¿ßÛXÑ Ð )L��õ*¸(¹ S ��¶|½@¸5·$��½Ù/¿ Þ^Ù/ÑY)L��õ+¸5¹�2;��¶|½@¸(·$��½

�86%�Z�%�'¬�8<=�'�!6%" #^#%�����.A*���:¿ Þ^Ù/¿�EG"+�F)*� ��C*�.A*�'�Y¿�U½rdn#@¼¾¹L¸(·Gõ*õ%¼¾½ð³ ø�¿åÂ��QïVÎ È@É�ëVëDì�È'Ë'í�Ç%îHÈ@ÉVÖ@ï`Ù Ï ¿ÜÞ^Ù/¿ Ð ÌjÎ

ïVØjË Õu#�ô�&f��¶e�+õ*·$# ��·Gô"&�³`Ù/¿ÜÛ^Ù�Ù/¿¤î��¸��õ*¸ Ù Ï ¿ßÞXÙ/¿ ÐÌ�Î

�QÇBîHÈ@ÉHÖ�ï Ï �QØjË × ÕLí@ÇBÎHïú#�ô�&f��¶r�*õ*·$# �a·Gô�& Ð Ï �QÖ�Ì  �»lÕLí@ÇBÎHïú#�ô�&f��¶r�*õ*·$# �a·Gô�& ÐSL�Z���:�B"7� ���!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#R�!"^#%�'æ%�%�=)^<(�'�!6%" #å�!6B)*�Z#%" ���:����)+�-"+�%���BCJ9 �§&�)+�-�'��?±Ê��-)+%6%�.&�)+,�,.�TK���(�O)+��Z)9%�.�%)*����<=���-6%" #�#%�"��½ �1�8���-6R�!6%�:EG"+,�,."7�8�.�%C59���6B)7A�."*�7U

³(¿Üà Ñ ³(Ù/¿ßà Ñ 0 #%����½���3³=Ñ

�86%�.��&')*�ª9��J)*&Q6B���'A*��#ª9 �]$%�����%CY�!6%�N%����<=�.�!�.A*�«<=���-6%" #;�*ï Ï _ &�"+�%�-�-�-$B&��!�.A*�J#%��,.��<=<=)*b Ð �.� �!)+�%#%��< �8�.�!6½rdF#@¼¾¹L¸(·Gõ*õ%¼ ½'U#%����½ ��³ÔøI¿ À Á'¿ Æ ÂQïVʪÇ%Õ8��»`¿ À ÛX¿ Æ

Ï ¿ßà¤Ñ Ð Û Ï Ù/¿Üà Ñ Ð )L���*ï Ï �7½rdF#@¼¾¹L¸(·Gõ*õ%¼ ½]¿ Ð ¿ À ¿ Æ

ß ô¨��� ÂB�1÷��9ô ÃùôÃóªÅ l öI�ò1,.,D"+EO�-6%�«<=���-6%" #%�©����6%)7A*�(�8�-�.�!�-���ª��"^EG)*�©)+�-�="*9B�!)*�.�%)+9%,��=EG��"*< &�"*�B&������!�=#%�'#%$%&'�!�."*�%�©�-6%��"*$%C+6Y����<=%,.���&Q6%��<=)*�-��&Z)+9%�-�-�-)+&��-��"+�H? ¦ "*�8�.�%���!)*�B&��T���:"*9B�-�'�-A+�I�-6%)*�;�!6B�:#%��#%$B&��!�."*�Ç%È@È'ÉVʪË�Ù/ÓêÌjÎ

���*Ø�Ç%ÌjÊ Ù/Ó�8�.,�,M�O"+�-P5%�-"+M�'�-,.���'A*�'����El���8�-$B9%�-�-���-$%�!�I)*��)+�-9%�.�!��)*����B�-"+M"+�-�.�!�."*�^¿ ���J%,�)+&��8"+EDÙ/Ó�T*)*�%#��-6$B�O���8)*���-�.A*�)*�;�-6%�:<=���!6B"#ó@ô@ô:³ßøZ¿]ÂQÇ%È@È'ÉVʪË�¿¤Ì�Î

���*Ø�Ç%ÌjÊ ¿�86%�N9M" #%�å"*E8�-6%�.�(<=�'�!6%" #µ�.�(�!6%�N#%��#%$B&��!�."*�ñ_a��&Q6%��<=)+b]Ç%È'È@ÉVʪË�¿¤ÌjÎ;���+ØjÇ%Ì�Ê ¿�TVEG�-"+< �86%��&Q6µ�O�N&�)*�"*9B�!)*�.�R�.�%æ%�%�.�!�',��R<=)*� �X&�"+�%&������-�©#%��#B$%&��-��"+�%�I9 �X�-�'%,.)*&��.�%C«�-6%��B)*��)*<=���-����¿Ý9 �^�-"+<=�©%)*���!�.&�$B,�)+�1%��"*�"* �����-��"+�H?

'§"*���D#%�'�-�.A*�'#=���%EG�'�-�'�%&��1�-$%,.����)*���8$%�-$B)*,.,��5"*9%�-)*�.�%��#�EG��"*<ê&�"+�%&������-�8%�-" "+EG�D�!6%��"*$BC*6=�-&Q6B��<=)*�-��&8)+9%�-�-�-)+&� �!�."*�V?X9I"7�O�'A*�'��TB"7�8���BC«�!"X�!6%�(�"7�O�'�I"+ED�-�'&�$%������"+�R)*�%#§&'"*�%#B���-��"+�%)*,/9%��)*�%&Q6B���%CKT\®ª¯�°ji± <=���-6%" #%�ZC*"J����,.,9����*"+�%# ��&Q6%��<=)+�!�.&J)*9B�-�-�-)+&��!�."*�V?Rò1�=)Y�-�.<=%,��X��¬ )+<(B,�� TV&�"*�B�-�.#%���5)Y<=�'�!6%" #Ýõ"&����!6%)+�5�-)*P+���()�%����<=�.�-�"*E;�-6%�JEG"+�-< Ù,686�6�Ù/¿¤)*�B#ª�-�'<("7A+���©)+��<=)*� �å%)+�����©"*E8�B��C*)+�!�."*�ª����C+�%��EG��"*< �!6B�NEG��"*� �©)+���"*���-�.9%,.�? ¦ "*��.�%�-�-)*�%&'�T���Z�-6%"+$%,.#X6B)7A*�

²:d©¼+Ù�Ù�Ù�Ù/Ó[½b³���õ�&��åÙ�Ù�Ù�Ù/Ó ´ Ó�86%�.,��V²_d�¼*Ù�Ù�Ù/ãE½b³���õ�&��åÙ�Ù�Ù/ã ´ Ù/ã(TF)*�%# ²_d�¼4Ó ÞXäb½=³���õ�&��]ÓðÞJä ´ ÓµÞXä�? SLE©���§�O�'�-�Y�!"��M�'&��.EG�§õ"&����.�J�!��)*#B���-��"+�%)*,�C*��)*%6B��&')*,B�B"*�!)+�!�."*�«�.���O"+$%,�#J,�" "*P=)+�OEG"+,�,."7�8��T*�86%�'�-���O�I�8�-�.�!� Ï Ù�Ù Ð Ã EG"*�����!¬&�"+�%���8� $%�!�.A*��" &�&'$%�-�'�%&��'�8"*E�Ù�ÙDU

� 2

Page 26: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

³ Ï Ù�Ù Ð Ã ¿ 0�õ�& � 3³(¿

ò1�B#��!"�[!$%���!�.EG�©�!6B���/)*�V)�#%������A+��#©�.�%EG�'�-�'�%&����-$B,�� T@�O���O"+$%,.#©6%)7A*�O�!"�C*�.A*�O)*�ª_ ��¬ %)+�%�-�."*�:)+,�C+"*�����-6%<=bF&�)+%)*9B,��"*EV����%,.)*&'���%C=)+��J)*%%,.�.&�)*�-��"+�^"*EFõ�&��;�!"�)�%����<=�.�-�:"+EH�-6%�©EG"+�-< Ï Ù�Ù Ð Ã ¿Ú9 �N)�%�-" "+E ² �!6B)*�8#%" ���1�%"*�F$B�-�õ�&��'?V�86B���8)+,�C+"*�����-6%<ñ��"*$%,.#N<="+�-�;,.��P+��,.�«%��"&'���'#N9 �J�.�%#%$B&��!�."*�^"+���U

÷ 6B���W�Ú³�¬X�!6B�(#B����������#Y%�-" "+E ² &'"*�%���.�-�-�����.<(B,��§"+ED&�,.)*�.<=���BCY¿�TK�86B��&Q6]���Z��"*$%�B#�9���&�)+$%���B�-�'�-$%<=)+9%,�� Ï Ù�Ù Ð ± ¿ù³ ¿ �.�Z)J�!6B��"*����<§? ¦ "+�Z�!6%�(���B#%$%&��-��A+�5���!�'�"+Ez��� c T��-6%�5B�-�'<(�.����&�)+�9����8���.�!�!�'��)+�5Ù�Ù Ï Ù�Ù Ð Ã ¿�TMEG"*�<���µ¬K?8SL�§�-6%)*�I&�)+�-�©,.��� ²«À 9����-6%��"+�%�� a,��.�%�5%�-" "+EV����C+���F9 �)+%%,.� ���%CZ�-6%�8%����<=�.�!�.A*�8��$%,��;"+EM#%"+$%9%,.�8�%��C+)*�-��"+�5�-"��-6%�F%����<=�.�-�:Ù�Ù Ï Ù�Ù Ð Ã ¿�?�ò1&'&�"+�-#%�.�%C+,�� T ²«À#B��#%$%&'��� Ï Ù�Ù Ð Ã ¿ÚEG��"*<ñ�-6%�:%����<=������Ù�Ù Ï Ù�Ù Ð Ã ¿�?/çI��¬ �@T )+%%,.�«�!6B�:�!��)*�%��EG"*��<=)*�!�."*�N)*,.C*"+�-�.�!6%<����&'$%���-�.A*�',��5�!" Ï Ù�Ù Ð Ã ¿ß�!"�"+9%�!)+���J)�#%�'#%$%&��-��"+� ²ZÆ "+E�¿ÔEG�-"+< Ï Ù�Ù Ð Ã ¿�?��86B�1&�"+�%&�)+�!�'�%)*�-��"+��"*E² À��8�.�!6 ²ZÆ �!6%�'�^&�"*�B�-�-���-$%�!�'�8�!6%�:#%�'�-�.����#X#%��#%$B&��!�."*� ² "*EO¿`EG��"*< Ù�Ù Ï Ù�Ù Ð Ã ¿�?

SL�N®ª¯©° i± �O�Z&�)+�N����)+#%�.,��«�'¬ %�-�'�-�5õ"&���)+�8EG"*,.,�"7�8�7Uõ�&��F³_�U�b4 Â�ø���¶|½@¸5·$��½WÂQïVʪÇ%Õ8��»¸�K¶|½@¸5·$��½

Ù�Ù/¿�)ñîDËn MÌ�ο î��ï�QïVÎÔ�K¶|½@¸5·$��½@Å�84 ¿

ËÎVïÆ�)L���*ØjÇBÌjÊ �K¶|½'¸(·$��½

�86%�.�8#%��æB�%���-��"+�^���8)+�N)+,�<="*���;A*�'�-9%)+�!�.<ñ�!��)*�B�-&'�-�.%�!�."*�N"*EV�!6%�Z�.�%#%$%&'�!�.A*�]_ ��¬ %)*�B�-�."*�N)*,.C*"*���.�!6%<=b(#%����&�����9���#)*9�"7A*� ?5SL�:�����-�'��-��)+,�,.�§�-��,.,��©$B�©6%"7� �-"R%$%�©�-"*C+���!6B���:)^%����<=�.�!�.A*��#%�'#%$%&��-��"+�å"*E�¿ EG��"*< Ï Ù�Ù Ð Ã ¿ EG"+�a��&H�C*�.A*�'�����¬�? ¦ "*�8�.�%���!)+�%&�� T ��E/���:)*%B,��ªõ�&��8�!"§Ù�Ù�Ù�Ù/Ó�TM�.�^)*�^)*���-$B<(B�!�."*�^9%)*���Z�!6%)+�F&�"+� �!)*�.�%�©Ù�Ù�Ù�Ù/ÓZT�!6B���§�-6%�5�'¬ %)*�%#B��#§%��" "*E Ï �!6%�µ_a&'�����!�.æ%&�)+�!��bKT\)+�I�����8�.,�,V&�)+,�,V��$%&Q6§��¬ %)+�%#%�'#§%��""+EG�I�.� ] �'&��-��"+� c ? .�Ð �8��,.,9��U�QïVÎñÙ�Ù�Ù�Ù/Ó©Å�QïVÎñÙ�Ù/Ó:Å���*Ø�Ç%ÌjÊ Ó

�86%�:�.��-���������!�.�%C=M"+��� �86%�'�-�:�.�F�-6%)*�5õ"&��;�.�F�%"+�8"*9%�-)*�.�%��#^�!6B�-"+$%C*6X�-�.<=%,.�:�-&Q6%�'<=)*�!�.&Z)*9%���!��)*&'�!�."*�XEG�-"+<)*� �N%)*���!�.&�$%,.)*�1%�-" "+E!?��86%���-��<=��&'"*<=%,.��¬ �.�L�J"*E��-6%�.�1<=���-6%" #§����)*��� <=%�!"+�!�.&�)*,.,.�J%��"*�"*���!�."*�%)+,W�!"J�!6%�5�-�°2��"*E��!6%�����B%$%�;%����<=������)*�;<=��)*��$%����#«9 ���-6%�Z�$B<�9����;"*EW�B��C*)+�!�."*�«���.C*�%�;%��������%#B��#J�-"5�.�@Å\�86%������)+�O�-6%�I&'"*<= %,.��¬ �.�L�©"*EM)�<=�'�!6%" #��!6B)*�/����"*9%�-)*�.�%��#(9 �©�-&Q6B��<=)*�-��&;)*9B�-�-�-)+&��!�."*�5#%" �����%"+��A�)*���©�8���-6=�!6%�8���32'�;"*EB�.�!�����%B$%�!�7?�86 $%�����F�����F�-6%)*�O�-�'&�$%������"+�()+�%#�&�"+�%#%�.�!�."*�%)+,B9%��)*�B&Q6%���BC�/Ü)*&Q6%�.��A+��#(6%�����FA ��)�%)*�-�!������<=)*�-&Q6%���BC�/Ü)*,.,�"7�Ü$%��!"Z�'¬B�-�'�-�/�"7�O�'�-EG$%, #%�'�-�.A*�'#��.�%EG�������B&��8��$%,��'�/�8���-6()+�-9B���-�-)+�-�.,��Z��"*%6B�����!�.&�)+�!��#µ_a�'¬ %)*�%���."*�©)+,�C+"*�����-6%<=�-bK?l�86%�����<=)*� �!�.&���"*EO�!6%�=,.)*�%C+$%)*C+�TM"7�8�.�%CN�-"N�-6%�=)*9%���!��)*&'�!�."*�§"+E�)+�-��$%<=%�!�."*�Y9%)*�����7T�C*$B)*��)*� �!�'���!6B)*���%"^<()+�!�-���6%"7�Ô&'"*<=%,.��&')*�-��#^�!6%�:<=�'�!6%" #^���7T�!6B�:æ%�%)*,�&�"*�B&�,.$%�-�."*�X�8�.,�,l)+,���)7� ��9��:��"*$%�%#V?

ò1�F)�<="+�-�:$%����EG$B,W��¬ )*<=%,.�T\&�"*�B�-�.#%���8)+�^���%EG�'�-�'�%&��:��$%,.�N½ �'»\·Gö@¹�#�ô�&.BX�-6%)*�8�-)*P*�'�F)=%����<=�����:"*EV�!6B�©EG"*��<¿�À�áâ¿ Æ )*�B#�#%������A+���D�-6%�1��� $%��A�)+,��'�%&��:¿]á ¿�0 ¿ Æ ×*¿�ÀL3LT*EG"*����"*<=�8)+�-9%�.�!��)*���©%��"*�"*���.�!�."*�R¿�T7�86B�����F�O�1�8�-�.�!�¿�0 ¿ Æ ×*¿ À 31�-" #%�'�%"*�-�R�!6%�Y%�-"+M"+�-�.�!�."*�Ü"*9B�!)*�.�%�'#ßEG�-"+< ¿Í9 �ð����%,.)*&'���BC]�'A*�'�-�ð"&'&�$%�������%&'�X"+E=¿ À 9 �Ú¿ Æ ?�86%�'�-�'EG"*���T+C*��)*%6B��&')*,.,�� T*�-6%�:��$%,��Z<=)7�«9��:#%��B��&'�!��#^)+�

³(¿/À�á ¿ Æ 0�½ �'»\·Gö@¹�#�ô�&.B%3³(¿Yá ¿�0 ¿ Æ ×*¿ À 3

��^

Page 27: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

÷ ��&')*�(EG"*��<�$%,.)*�-�;�!6%�.��)*��)Z9%�.�%)*���:<=���-6%" #§½ �@»\·Gö'¹�#�ô"&.B8�-6%)*�/�!)+P*�'�V�-6%�8)*��9%�.�!��)*���Z%�-"+M"+�-�.�!�."*�X¿µ)+�/���-�Dæ%���-�)*��C*$B<(�'� ��)+�%#å�!6%�J%�-�'<=�����R¿ À á ¿ Æ )*�©�.�!�5�-�'&�"+�%#å)*��C*$%<=��� �Z)*�B#ª)*�!�-��<=%�-�©�!"§#B��#%$%&'�«�!6B��&�"*�B&�,.$%�-�."*�¿Yá ¿�0 ¿ Æ ×*¿�ÀL3L?8�86%�å_ ��¬ %)+�%�-�."*�R)+,�C+"*�����-6%<=b�%��"&'���'#%�1�.�%#%$%&'�!�.A*�',��X)*�IEG"*,.,�"7�8�7?;�86%�©æB�-���1�-6%���BCJ���©#%"J�.�&Q6%�'&QPJ�86%�'�!6%�'��¿Ò�.�1�8� $%)+,��-"�¿�À�?;SLE���"�T%�!6%�5#%����������#R&'"*�%&',�$B�-�."*�å¿]áâ¿�0 ¿ Æ ×*¿�ÀL3V���I��#B��� �!�.&�)+,��!"N�!6%��C*�.A*���%����<=�.�-�=¿�À�á ¿ Æ T\�-"=���:�-�.<=%,��N&�,.)*�.< �-6%)*�8%����<=�.�-� ? � �!6B�����8�����Z�O�:)+�%)*,.�n2��Z�!6%�:���!��$%&'�!$%���:"*E�¿�?/SLE;¿`�.�)X�%��C+)*�!�."*�ðÙ/Ñ5À'T����=&�)+,�,/�!6B�()+,�C+"*�����-6%<Í�-�'&�$%������A+��,.�X"+�µÑ5ÀI)+�%#µ¿�À�á ¿ Æ ?:�86%�.�Z�8��,.,�%������$%<=)*9%,.�R�-�'�-$B,���.�J)(�!6%�'"*����<¤"*EH�!6%�ZEG"+�-< Ñ5ÀMá Ñ5À�0 ¿ Æ ×*¿�À!3 ?C�;$%�;EG�-"+<¤�!6%�.�8�.���.�;�-"+$%�%#N�!"=&�"+�%&�,.$%#%�=Ù/Ñ5À�á Ù/Ñ(À'0 ¿ Æ ×*¿�ÀL3LT�86%�.&Q6N�.�F�-"(��)7�R¿]á ¿�0 ¿ Æ ×*¿�ÀL3LT �����%&'�T�.�^C*���B����)*,LT*�-6%�:EG"*,.,."7�8���%C=��$%,.���.�F��"*$%�B#HU

³(¿�À�á ¿ eÀ 0°&Mô��a¹�#�ô�&.B 3³=Ù/¿ À á Ù/¿ eÀ

�86%�Z����<=)*�.�%�.�%C=%�-"+M"+�-�.�!�."*�B)*,K&�)+�-�'��)+�-�Z6%)+�%#%,.��#^����<=�.,�)+�-,.�T$%���.�%C=)*�%)+,�"+C*"*$B�«_ &�"*�BC*��$%���%&'��b5�-$%,.���8��$%&Q6^)*�

³5¿ À á ¿ eÀ ³(¿ Æ á ¿ eÆ 0 ��&Bõ+¹�#�ô�&.B%3³(¿�À�ÛX¿ Æ á ¿ eÀ ÛX¿ eÆ

³(¿ À á ¿ eÀ ³(¿ Æ á ¿ eÆ 0�ô*¶Q¹�#�ô"&.B 3³(¿/À�ÞX¿ Æ á ¿ eÀ ÞX¿ eÆ

)*�B#�,.�.P*���8�.����EG"*��· ó@¹�#�ô�& BZ)*�%#J· !Z¹�#�ô"&.B\? ¦ �.�%)*,.,�� Tt�.EK¿å���W�B���.�!6%�'���.#%��� �!�.&�)+,4�!"�¿ À �B"*�W)8&'"*<=M"+$%�%#:%��"*�"*���.�!�."*�HT�!6B���^���8<5$%���89M�©)+�N)+�!"+< #%�.�-�-���B&��8EG��"*<â¿ À T\���^�86%�.&Q6^&�)*���=¿�0¾¿ Æ ×*¿ À 3H³`¿�)+�%#^�!6%�:#B����������#^&�"+�%&�,.$%����"+�N�.��!6B�:�!����A �.)*,l�8� $%�.A�)*,.���%&'�=¿�á ¿�T�86%��&Q6^�.�8��)+�-�.,��J#%��#%$B&���#^EG"+�8)*�X)*��9%���-�-)+�-�R¿`9 �J�!6B�:EG"*,.,�"7�8�.�%C(<(�'�!6%" #HU¶|½�nI½ed%¹L½ �'»\·Gö;³�ø�¿]ÂtïHØ�Ë ÕJ·G¸X��³ßÇ%È'È@ÉVʪË�¿ùÌjε���+ØjÇ%Ì�Ê ¿

ÌjÎ�QË#"lÉVÌ ¡ ·G¸<� ·G¸X�

�86%�F#B��æ%�%�.�!�."*�B�O"+E(&Mô��a¹�#�ô�&.BWT±��&Mõ*¹�#�ô�& B�T*���!& ?�T+)+�-�8)+,���"©���!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#H? ÷ �1�.,�,.$%���!��)*�!�1�8���-6���&Mõ*¹�#�ô�& B�)*�%#,.��)7A*���!6B�:�-�'<()+���B���%C(&�)+�-�'�8)*�8���!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#���¬ �'�-&'�������7U��&Mõ*¹�#�ô�& B�³�ø:½ � À Á�½ � Æ ÂïHÊåÇ%Õ���»Ò½ � À Û§½ � Æ

Ï ¿ À áâ¿ eÀ Ð Û Ï ¿ Æ á ¿ eÆ Ð ) ïVØ�Ë ÕN·G¸X� À ³ Ç%È@È@ÉHʪË�¿ À ÛN¿ Æ Ì�ÎîDËQ MÌ�Î

¿ eÀ î��ï�Qʪë Ï �QØjË × ÕLí@Ì�$ ½ � À Ð Ï �QØ�Ë× Õ|í@Ç%ÎVïñ¿ À ÛX¿ Æ Ð Å¿ eÆ î��ï�Qʪë Ï �QØjË × ÕLí@Ì�$ ½ � Æ Ð Ï �QÖ�Ì  �»lÕLí�Ç%ÎVï ¿ À ÛX¿ Æ Ð Å¿ eÀ ÛN¿ eÆ î��ï�QîDì�Õ8»ñ¿ eÀ ¿ eÆ

Ë ÎHï·G¸X� Æ ³ Ç%È@È@ÉHʪË�¿ eÀ ÛN¿ eÆ Ì�Î

îDËQ MÌ�ο À î��ï�Qʪë Ï �QÖ@ÌG f»lÕ|í@Ì�$é½ � À Ð Ï �QØjË × ÕLí�Ç%ÎVï ¿ eÀ ÛX¿ eÆ Ð Å¿ Æ î��ï�Qʪë Ï �QÖ@ÌG f»lÕ|í@Ì�$é½ � Æ Ð Ï �QÖ�Ì  �»lÕLí�Ç%ÎHï ¿ eÀ ÛX¿ eÆ Ð Å¿ À ÛN¿ Æ î��ï�QîDì�Õ8»ñ¿ eÀ ¿ eÆ

Ë ÎHïÌjÎÏ ¿ À ÛX¿ Æ Ð áâ¿ eÀ ÛX¿ eÆ î��û�QË#"lÉVÌ ¡ñ·G¸<� À ·G¸<� Æ

÷ ��&�)*�]�%"7� #%��æ%�B�Y½%�@»\·Gö@¹�#�ô"&.BY)*�©��6%"7�8�Y9M�',�"7��?(çI"*�!���-6%)*�:����)7A*"+��#Y6%)7A ���BCN�-"R%)*���:�!6%����� $%��A�)+,��'�%&��¿ À áâ¿ Æ )+�O)©����&'"*�%#J)*��C*$%<=��� �D�-"��')*&Q6«����&'$%�-���.A*�8&�)+,�,LT*�-�.�%&��I��������<=)*�.�%��&'"*�%���!)+� ���!6B�-"+$%C*6%"+$%�@T*9 �5EG"+�-<5$% ,.)*�!�.�%C=)*�X�.�%�%���8����&'$%���-�.A*��<=���!6B"#^"+EH"+�%�Z)*��C*$%<=��� �;�!6B)*�8,.��¬ ��&')*,.,�������EG�'�-�'�%&��'�:¿ À )+�%#å¿ Æ U

��_

Page 28: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

½ �'»\·Gö@¹�#�ô�& B�³Ôø�¿�Á�½ �lÂïVÊåÇ%Õ8��»Ò½ �

¿ À á ¿ Æ )ñïVØ�Ë ÕN¶!½D#@»\¶���½©³_�U�b4 Â*ø(ѪÂïVÊåÇ%Õ8��»`Ѧ�`¿ À

Õ�Ö�ÉVË�) ���+ØjÇ%Ì�Ê ¿�À�á ¿ Æ× Ç%ØjÈ@Ëf)¤ïVʪÇ%Õ�� »ÚÑ

Ù/Ñ5À�) ��&Mô��a¹�#�ô�&.B Ï ��4 Ñ5À ÐÑ À ÛXÑ Æ ) ���"&Bõ+¹�#�ô"&.B Ï �84 Ñ À Ð Ï �84 Ñ Æ ÐÑ À ÞXÑ Æ ) ��ô+¶Q¹�#�ô�&.B Ï �84 Ñ À Ð Ï �84 Ñ Æ ÐÑ À à Ñ Æ )L��· ó@¹�#�ô�& B Ï ��4 Ñ À Ð Ï ��4 Ñ Æ ÐÑ À á Ñ Æ )L��· !Z¹�#�ô�& B Ï �84 Ñ À Ð Ï �84 Ñ Æ ÐÆE)L��¶|½�n1½rd%¹L½ �'»\·Gö�Ñ

ÌjÎ��¶|½%#'»\¶���½Ü¿

÷ �©&�)+�R�%"7�Ý�-�')*#%�.,��N#%��æB�%��)«�"7������EG$%,W9%�.�%)*���X<(�'�!6%" #ܶ!½e�K¼���#�½��!6%)+�1�-)*P*�'�F)*�R)+�-9B���-�-)+�-�N%�-�'<=�����«¿Ý)*�%#)=%����<=�����Z"*EH�!6%�:EG"+�-< ¿ À á ¿ Æ )+�%#X#%������A+���8�-6%�:&�"+�%&�,.$%����"+��¿�0 ¿ Æ ×*¿ À 3LU¶|½r��¼��"#�½F³ßø�¿�Á�½ �WÂ��Qʪë Ï ��ØjË × ÕLí@Ì�$ Ï ��½ �@»\·Gö'¹�#�ô"&.B ¿ ½ � Ð-Ð ¿¦ "+�:���B�-�-)*�%&'�Tl��$%%�"*���=�!6%)+��¿ �.�:�!6B��%�-"+M"+�-�.�!�."*�ÜÓµÛR0 äÜà Ï Ù�Ù/ã`Þ ² Ð 3D)*�B#Y�-6%)*�:�����O)+� ���-"R�-�'%,.)*&���!6B�F" &�&�$B�-�'�%&��8"+E/Ù�Ù/ã`9 �Jã(T*�86%�'�-�F9�"*�-6R¿ )*�%#��-6%�F�8� $%�.A�)*,.���%&'��Ù�Ù/ãªá ãÔ)*���8�����-6%�1)+�-��$%<=%�-��"+�(9B)*���?�86%�'�()+%%,.� ���%CJ¶|½r��¼A��#�½1�!"�¿Ü)*�%#=�!6B�F�-)+��#(�8� $%�.A�)*,.���%&'�8�O"+$%,.#(#B������A+���-6%�F&'"*�%&',�$%���."*�XÓµÛX0 äßà Ï ã�Þ ² Ð 3L?

é�ê'& ÿ)( C=�\ï>CF?BðZí ì C ì î EGín=�?û� �pCF=@ï>A`�p=

*,+.-+'* / õ�÷�õ6ó�ô¨Â�û#Â�ôÃó�ô¨ÂSL�«�-6%���;����&'�!�."*�«���F%��������� ��)+�«�.��-����%�����!�'�kA]EG"*� ®ª¯©° i± �!6B)*���!)*P+���O)*� �=&�,."*����#�%6%��)*�����ß)+�%#«)+�-��$%<=%�!�."*�9%)+�-�a² )*�%#Ü���.�!6B���«%��" #%$%&'����)åA�)*,.$%�@� �!6%)+���-�'%��������� �!�=�!6B�R�-�'�-$%,.��"*EE� �.��²8Å;"+����,.�-�^�.��#%�.A*����C*�'�="*�C*�'�%����)*�-���O)*�J�'�-��"*�7? Ï�÷ �Z)+�-��$%<=�1�-6%�Z)7A@)+��,.)*9B��,.���L�("*E�)5� $%,.,�)+�-�=EG$%�B&��!�."*� ½@¶Q¶|ô*¶V�-6%)*��)*9�"*���!�;&'"*<=%$%�-)*�!�."*�V? Ð�86%��#%��æB�%���-��"+�N"+E�Aå)*%���)+�-����� ¦ ��C+$%�-� c ? ^ T+�.�a'��Y%����$B#%" &�" #%�Å)5&�"+<(B,��'�!�Z��<=%,.��<=�'��-)*�-��"+�J�.� ] '��� aç10$%�����BC(�'� A�.��"*�%<=��� �-����)*�-6%���8�-6%)*�X��$%9%���!�.�!$%�-��"+�%�F&�)+�N9��:EG"*$B�%#^��� ] �'&��!�."*� c ? c�_ ?

�86%�«�.� �!����%�����-����$B�-�'���L��"R)*$%¬ �.,��.)*����EG$%�B&��!�."*�B�R½@ö��+¼¾¹ ó@»F&B¹��+¶ BF�5)*�%#Ú½@ö �*¼¾¹L¸(½����*¹��+¶ BF�(�!6%)+�©��A�)+,�$%)+�!�«�-6%�)*��C*$B<(�'� �!�E� À Á�Â'Â�ÂtÁ�� à "*E�)^<=���-6%" #Y)+�%#�EG$B�%&��-��"+�]&')*,., T����������&��-��A+��,.�T��.�Y)^C+��A+����)+�-��$%<=%�-��"+��9%)+�-� ?:�86%�½@ö��+¼¾¹ ó@»F&B¹��+¶ Bn�5EG$B�%&��-��"+�ª�-�.<=%,��]��A�)+,�$%)+�!�'�©��)+&Q6])+�-C+$%<=��� �,�±¹F���ª�-6%�«C+��A+���å)*���-$B<(B�!�."*�ª9%)+�-� Tl%��" #%$%&��.�%C�.�!�=A�)*,.$%�W�F¹�T/)*�%#µ�86%���Ü)*,.,O)+�-C+$%<=��� �!�()*���J�'A�)*,.$%)*�-��# �.�=�-�'�!$%���%�(�!6%�X�-�'�-$B,��-�(�.�µ)Y,��.���R0A� À Á�Â'Â�Â'Á8� à 3 ?]SL�)*#B#%���-��"+�HT�½@ö��+¼¾¹L¸(½����*¹��+¶ Bn�1P+����B�F�!��)*&QP�"+EH�-6%"*���:)*��C*$%<=�'��-�=�±¹��!6%)+�8)*����#B��#%$%&'�!�."*�%�1)*�%#^���!"*�����;�-6%���.�F&�"+�% &�,.$%����"+�%�Z���å)�_a,.��<=<=)^�-�'�!ba²UeD�-6%)*�Z�.�:æ%�%)*,.,.�§%)*������#]"*$%�Z)*,."*�BCN�8�.�!6]�!6%��A�)+,�$%�'�:"*EO�!6%��)+�-C+$%<=��� �!�Z�.�Y)%)+���bo�0�� À Á'Â�Â'Â�Á8� à 3aÁ�²9eÍt-? Ï òI�1���:#%����&�$B�-����#^�.� ] ��&��-��"+� c ? ^ T�-6%���I��<=%,.��<=�'��-�1�-6%�©&�$B�8�-$%,.�? Ð ¦ "*�FC+���%�'�-)+,��.�L�T9�"*�!6^EG$%�B&��!�."*�B�8�!)*P+�Z)*�^)*��9%�.�!��)*���(�.� �!�'�-%�����-���8)+�8)*�X)*#%#%�.�!�."*�B)*,LT�!6%�.�-#^)+�-C+$%<=��� �@? ÷ �:�!6 $%�86%)7A+�Unmú32tm h 4 k�ù7h52�e5637�x�8:9te52;7 n%7 Ð 0 Ð=< �lqåm nmü;>Mx � � Ð ú%2tm 7a�Mq@? Ò$Òú32�m 7>Mx�ÄFopo A Ð ú32tm 7L�WqB>Bx�A Ð.< xAÄ Ð 0 �jopo�ú%2tm 7a�f ù >Bx�8:9te52�7an%7 Ð � �j�)*�B#

� Õ

Page 29: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

nmú32tm h�g�n ü.9thC2te56%7�x�8:9te52�7an%7 Ð 0 Ð=< �Wq]m n ü�>Bx � � Ð ú%2tm 7 Ð 0 "j�Bq@D�? Ò3Òú32�m 7 Ð 0 "�E>Bx�Ã1opo A Ð ú%2tm 7 Ð 0 "a�WqB>Bx�A Ð.< x�à Р0 ��opo ú32tm 7 Ð 0 "��>Bx�È©opo A Ð ú%2tm 7 Ð 0 "��WqYm nmü 3 q < x�È Ð 0 �f ù >Bx�A Ð 3 opo ú%2tm 7 Ð 0 " Ç�Ì 3 ÎQ�f ù >MxF8:9teC2;7 n37 Ð � � Ð Ê+�

¦ "+��%)+�!�-�����«<=)*�!&Q6B���%CKT4���1�B����#J)�EG$%�%&'�!�."*�]¸E����# �©�-6%)*���!)+P*�'��)�B�-"+M"+�-�.�!�."*�R¿�T*)�%)+�!�-����� � T+)*�%#«)5�-�'��"+E9%�.�%#%�.�%C*� Ç�T)*�B#J���.�!6B����%�-" #%$B&����;)5�-�'�O"+EW9%�.�%#%�.�%C*� Ç eHG Ç«�8�.�!6J���������&����!"(�86%�.&Q6�¿ß<=)*�-&Q6%��� � "+�O�',����1�.������!$B�-�%�Dó �*¼���½@T\�.�%#%�.&�)+�!�.�%C«)�<=)*�-&Q6REG)*�.,�$%���?�SL�R�!6B������A*�'� �!6^&�,.)*$%���:9���,."7��T\���:$%�-���!6%�©��� <�9�"*,JI��-"«�-)+�%C*�"7A*�'�O�-6%�:9%�.�%)*���«%��"*�"*���.�!�."*�%)+,�&'"*�%�B��&��-��A+���©Û/Á@Þ�Á'àµÁ|á ?gJ2�üoö39+x õ Ð õ Ð5K �Mq KgJ2�üoö39+x � � �\� Ð � � �\� ÐLK ��q KgJ2�üoö39+xG�Gu7s.�!� Ð �Gu7s��-� ÐLK �Bq KgJ2�üoö39+x 3 ÐLM�ÐLK ��q KgJ2�üoö39+x 3 Ð Ë Ð.K �HqYf 4 K öø÷�ùûü.2tf ùN7O21P�f ùNQtf ùN6�xAË Ð ; �9ü.9tnmùx�f 4 3 q ; ü.9tnmù K n-m 7 nR4S2tm 7an��/n-m 7 n K Ç�ÌTD�Ë Ð 3 E ÎgJ2�üoö39+xj� 3 Ð �VU ÐLK �BqRgJ2�üoö39+x 3 Ð U Ð5K �gJ2�üoö39+x 3 úXW 3 I�Ð U úXW U I�Ð.K �HqYm n ü K " q^gY2�üoö%9*x 3 ú%Ð U ú%Ð.K �f ù

f 4 K "[Z 4�2tm 7 n ü=9�n ùJ4S2tm 7 n;n�m 7 n1gJ2�üoö%9*x 3 I Ð U I Ð.K " �gJ2�üoö39+x Ð Ð �Bq\4S2tm 7 nSL�(�������!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#å�!"å%��"7A*�N�!6%)+�§¸E����# � Ï ¿�Á � ÁL, Ð ³ ǵ�.¨�Ç©³(¿�È � ? �86%�^��� �!�'�-B�-�'�!���()*,.��"Y$%�����=)EG$%�%&'�!�."*�¸# �*½%#Ll��-6%)*�I�!)+P*���I)«%��"*�"*�����-��"+�ª¿Ò)*�%#R)N,��.���1"*E5_ &�)*������b�03o � À�Á8��À�t|Á�Â'Â�ÂtÁ o � ÀtÁ��/À�t�3LTMæ%�%#%���!6%�5æ%���-�%)+�!�!�'�-� � ¹ �!6%)+��<=)+�!&Q6%�'�:¿`�8�.�!6^������M�'&��;�!"���"*<=�Z�-�'�;"*EV9%���B#%���BC*�<Ç�T\)+�%#X�-�'�!$%���%�8�!6B�:%)*�.�boRÇ\Á�� ¹ t-?VSLEV�%"%)+�!�!�'�-�X<=)*�-&Q6%���:¿�T )+�N�'�-��"*���.�F�-�'M"+�-�-��#HUö%9tnøö3]7x 3 Ð öS2;7 n%7Q�Wqåm nmü^>Bx � �j�Mq^n-eLe ÷�e|xj�>BxCD_U Ð Ä`Ejopo A/�Wqåm nmü K qRgJ2�üoö39�x 3 Ð U Ð Ê*�f ù

f 4 K qa4�2tm 7 n±ü.9tnmùb>Mx�A/�Vn�m 7anJD KFÐ Ä`Ef ù >BxHöS2;7 n%7t�

¦ ���%)+,�,.�T'�-6%������)*�����L�O"8�-�����%)*���1EG$B�%&��-��"+�%��������¼A�7¹°��¶Q·G¸(¹L¸5½ �G�1)+�%#a���"��¼��7¹°�K¶Q·G¸5¹ ó@»F&��86%�.&Q6Z�!)*P+��)F%����<=�.�!�.A*�<=���-6%" #�4 Ï "+�1%����<=�.�!�.A*�5EG$%�%&��-��"+��U Ð )+,�"+�%C«�8�.�!6Y)«,��.���I"+E�A@)+,�$B���(0A� À Á'Â�Â�Â'Á8� à 3H)+�%#§)+�§)*���-$B<(B�!�."*�R9%)+�-�² )*�%#R)+%%,.�v4 Ï "*�bU Ð �!"Y0A� À Á�Â'Â�Â�Á�� à 3��.�u²8?��86%�'�-�©EG$B�%&��-��"+�%�1)+�-�©#B��æ%�%�'#R9 �N)«&')*���©)*�B)*,.����.�F"*E�4 )*�%#U�? ÷ �:�.,.,�$%���!��)*�-�~�����K¼��7¹°��¶Q·G¸(¹L¸(½������8�.�!6R)=&'"*$%%,.�Z"*EV&�)+�-�'��Å+�!6B�:�-�'�-�;)*���Z�-�-�-)+��C+6 �!EG"*����)*��#���¬ ����&��.�-�'��U2S8;8m cQh 8eLf g�h�gOnmü.9*x�rts�u7v.w Ð � 3 � Ð 0 �Mq^f 4 3�d�0 ü.9tnmù 3 n�m 7 n;n-eLeH÷te|xj�2S8;8m cQh 8eLf g�h�gOnmü.9*x��B����� Ð � 3 úDÐ 3 I � Ð 0 �BqRf 4zÌ 3 ú%Ð 3 I Î[e 0 ü.9tnmù 3 ú � 3 I n-m 7 nOn�eLe ÷te!xj�2S8;8m cQh 8eLf g�h�gOnmü.9*x�s��'� �!��u7�\� Ð � 3 ú � 3 I � Ð 0 �Bq^f 4 3 ú � 3 I d 0 ü.9tnmù 3 ú n�m 7 n�n-eLe ÷�e|xj�2S8;8m cQh 8eLf g�h�gOnmü.9*x�w5��\�\�G���B�4�\�'�\� Ð � 3 ú � 3 I�Ð 3 æ � Ð 0 �Bq^f 4-Ì 3 ú � 3 I%Ð 3 ú ÎOe 0 ü.9tnmù 3 I n-m 7 n;n-eLe ÷�eLxj����2S8;8m cQh 8eLf g�h�gOnmü.9*x Ð Ð �MqRn-eLeH÷te|xj��86%�=#%�'æ%�%�.�!�."*�]"*Eb�����K¼��7¹°��¶Q·G¸(¹ ó@»F&å�.�:��A+���]�-�.<=%,.���7TK�-�.�%&'�(�-6%�����=)*���5"+�%,.�§æ%A*�=%��"*�"*���.�!�."*�%)+,V&'"*�%�B��&��-��A+���)*�B#N�-6%�:�8� $%)+,��.�L�«EG$%�%&'�!�."*�HU2S8;8m cQh 8eLf g�h 4akLù%x 5 Ð � 3 ú Ð 3 I � Ð �Bq^f 4 3 ú q 3 I ü.9tn ù�� � �\�Zn�m 7 n��Gu7s��-�2S8;8m cQh 8eLf g�h 4akLù%xj� Ð � 3 � Ð �MqR� 32S8;8m cQh 8eLf g�h 4akLù%x W(Ð � 3 úDÐ 3 I � Ð �Bq 3 úXW 3 IEG"*�\I¯p!¼+Û/Á'Þ/Á@àµÁ!á ½? � 9%������A*�©�-6%)*�I�!6%�5)*���-$%<=%�-��"+�R9%)*���©�.�I�B"*�1$B�-�'#§)*�F)+,�,V�.�§�!6%�5)*%B,��.&�)+�!�."*�R"*E��-6%�%����<=�.�!�.A*�ZEG$%�%&'�!�."*�%�7? ] $%&Q6^%���.<(�.�!�.A*�ZEG$%�B&��!�."*�B�F)*���Z&�)*,.,.��#�_a&�"+� �!��¬ �- ��.�%#%�'M�'�%#%��� �-bR0 S 3L?

�86%�©EG"+,�,."7�8���BC��!6%�'"*����< �'¬ %�-�'�-�����8�-6%�©&'"*���-�'&��!�B�����8"*E9A �8���-6R�-�'�-���&'�F�!"��-6%��EG"+�-<=)+,l�-�'<()+� �!�.&��F"+EV�-6%�,.)*�%C+$%)*C+�?lSL�J%)*���!�.&�$%,.)*�7T7�.EW�-6%�1&'"*<=%$%�-)*�!�."*�J"*E�A Ï ��Á�² Ð �!�'�-<=�.�%)*�-�����-$%&'&��'�-��EG$%,.,��(�8���-6J��"*<=�F"+$%�!%$B�OA�)*,.$%�

��é

Page 30: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

f�g.h5ikj ¤:l�l'l jnm#o pNq�rts u3vxwyrzf�g�i^{.p|q}�~ w ¤ {'�'�'��{.w:m;��{.pV�F��r@u3���Ts �L�,u�v=�T�L�T� �|�'g ~ j ¤ {'�'�'�'{Ljnm;��{.p�{=fVq���|� ��wz����� � � � v � ��ux�xu�v=�T���[�����u3���N���T��s �%� ��� � �,�L�,u�v=�|g��B{ ~ w ¤ {'�'�'�'{Lw m �C{Lp��Op�� q���T� � ��wz�^�,u�v=�T���^���[v��Tu����T���¡ R¢ ¤ {'���'�'{.¢3mx�.£a�

��u����3f�g�£ ~ w ¤�¤ ¢ ¤ {'�'�'��{.w:m ¤ ¢�m��C{Lp`�OpV�Fq���T�^u��S�5�T�Sg qf�g ¥§¦�¦�¨�©Oª�i�«�¬£[q�rts u3vx­\rzf�g�iJ{.p�q® r\f�g�£�{.p1�J¯S­,°�q��� ­²± ®f�g ¦�¨:³�³§´§¦�ª µL¥·¶T¦�¨�¸L¹\it«�¬�£[qXrºs u�vY­»r»fXg�i^{.p�q��� � ��f�g�£�{Lp`��¯S­,°�qnr@¼ ¥·½ ¦�ªav��Tu �,¾ ­tu3s ��u^u��S�5�T��g qf�g ¹�½ ª ¿J¢Rryi�«�¬£[q�rts u3v�w·À�rzfXg�iJ{.pNq ��� fXg�£ ~ w·À ¤ ¢3��{.p|qf�g ¹�½ ª ¿J¢Rry£x�R«�¬²£[q�rts u�v�­zr\f�g�£x��{.p|q ��� f�g�£ ~ ­ ¤ ¢3��{.p`��¯S­,°�qf�g�i�¶%Áa£[q�r�s u�v } ­R{ ® ��r } f�g�£{.p|q {�fXg�iJ{.pNq5� �_� g � ��­»r ® v��Tu � ­�u3s ��uJu��S�5�T��g q5qf�g.¶§ª ·«_¬£ ¤�à ���'� à £ m ªV¬T¹H{.p�q�rºs u�v:Ä·g ~ £[��{=p��Fq·rzf�g�£�{.pV��qÄ·g�£ ¤'Å Å £ §|Å Å Æ {.p�� qnr¡gCs u3v�­\rzf�g�£ ¤ {.p��Fq ��� Ä·g�£ §§Å Å Æ {.p��:�J¯S­,°�q5q�_� Ä·g ~ £ ¤ {��'�'�'{.£ m ��{.pNqf�g ¹�©O¥�¿SǧÈÉiÊg_Ë ¤LÌ £ ¤ q l'l'l g�Ë m Ì £ m q {.pNq�rts u3vT­\rzf�g�i^{.p|q} ¯ } ¢ ¤ {.­ ¤ �T{'���'�'{ } ¢%Í|{.­�Í��%°;{.£[��r¡Î3�TuSÎ�Ï�g�­R{ ~ } Ë ¤ {.£ ¤ �;{'�'�'�'{ } Ë:m#{L£Ym;�5� q��� f�g�£ ~ ­ ¤ ¤ ¢ ¤ {��'�'�'{.­ Í ¤ ¢ Í ��{.p|qf�g�Ð�{.pNqnrzÐf�g�¢V{.p|qnr¡u3�S�5�T��gFqf�g� H¢ ¤ {'�����'{.¢ m �.£{.p|qnry R¢ ¤ {'�'�'�'{L¢ m �.£f�g�ÑR¢ ¤ {'�'�'��{.¢3m,�.i^{.p�qnryÑR¢ ¤ {'�'�'�'{L¢�m,�.if�g�ikj ¤ {��'�'�'{.j�m·{.p|qXrts u3vxwyrzf�g�iJ{Lp|q~ w ¤ {'���'�'{.w:m;��r¡u��3�Ts � ��Ò � �L�T�F���'g ~ j ¤ {'���'�'{.j�m;��{=p�{�f�q��� � ��wz����� � � � v � �3u���Ò � Î3v � � � ÄR���u3���N���T��s �3� ��� � �x� ��Ò � g�Ä�{ ~ w ¤ {��'�'�'{.w:m;��{.pNq���T� � ��wz�H��Ò � Î�v � � � ���Hv=�Tu����T�S�ÉÑR¢ ¤ {'�'�'��{.¢3m,�.i��3�

��u����3f�g�iH� ~ w ¤5¤ ¢ ¤ {'���'�'{.w:m ¤ ¢3m;��{.p|q���T�^u��S�5�T�Sg qf�g.½ ª ¿J¢Óryjº«�¬�iJ{.p�qXr�s u3v w#Ô`rzf�g�jR{.p�q ��� fXg_i ~ w·Ô ¤ ¢3�C{Lp�qf�g Õ:ÖO¢Ó�.i^{.p|q·rzfXg�i ~ Õ�Ö�¢H�.i ¤ ¢���{.p�qf�g.¶§ª ·«_¬i ¤'à ���'� à i m ªV¬T¹R{Lp|q�r�s u�v Ä·g ~ i�� q·rzfXg�i^{.p�qÄ·g�i ¤ Å Å i § Å Å Æ qnr¡g5s u3v r�fXg�i ¤ {.p|q �_� Ä·g�i § Å Å Æ q5q��� Ä·g ~ i ¤ {'�3�'�'{.iHmT� qf�g.©,¥�¿SǧÈÉiÊg�Ë ¤ i ¤ q l'l�l g�Ë:maiHm;q {.p�qXr�s u3v ­\rzfXg�i^{.p�q} ¯ } ¢ ¤ {.­ ¤ � {����'�'{ } ¢ Í {.­ Í �%°;{.i���r@Î3�TuSÎ�Ï'g�­R{ ~ } Ë ¤ {.i ¤ �;{'�'�'�'{ } Ë m {.i m �C� q��� f�g�i ~ ­ ¤5¤ ¢ ¤ {��'�'�'{.­�Í ¤ ¢ Í���{.p�q

¦ �.C*$%��� c ? ^ UHò1�^�.��-����%�����!�'�8EG"*�;®ª¯©° i± ?

�5T�-6%���X�!6%�Z�-6%��"+�-�'<¤)*���-$%������$%�;�!6B)*�;�!6%�O[!$%#BC*<=��� ��²!³Y� ´ �Ú�.�8#%������A�)+9%,�� ? � �J�!6B��"+�!6%�'�;6%)*�%#VT*�.E��-6%�&�"+<=%$%�!)+�!�."*��"+E�A Ï ��Áe² Ð 6%)*,.�!�O���N�����-"+�D"*�OC*�'�!����� �!"5)*�«�.�%æ%�B���-�I,." "*HT*�!6%�I�!6%�'"*����<ù�!6B���J�'� �!)*�.,.���!6B)*���!6%�'�-��.�©�%"§A�)*,.$%�V� �-$%&Q6å�-6%)*�R²�³E� ´ �(? ¦ "*�©�.E8�-$B&Q6])�A@)+,�$B�«��¬ �.�-�-��T��!6%�J��� �!�'�-B�-�'�!�����8��,.,��'A*��� �-$%)*,.,��Yæ%�%#�.�@? Ï ç1"*�-�=�!6%)+�I�86%�'"*����< c ? c �%"7� EG"*,.,."7�8�I�.<=<(�'#%�.)*�!�',��WUF�-�.�%&��&AÜ���Z#%�'�!����<=���B�����!�.&=�!6%�'�-�(&�)+��9��()+�I<="+�-�"*�B��A�)+,�$%�p�Ò��$%&Q6^�!6B)*� A Ï ��Á�² Ð ³ �=Å\6%�'�%&�� T EG��"*< �86B��"*����< c ? é T�!6B�����:&�)*�^9��:)*�8<="*���8"*�B�p�Ò�-$%&Q6X�!6B)*�²!³ ²µ´ �(? ÐCb»VË ìMÖ�Ë ÊEDGFC׸²�³Y� ´ � · !ÒA Ï ��Áe² Ð ³ �2K

��.

Page 31: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

Ý Ö�ìWì�×gf��;�N���%#B$%&��-��"+�X"+�N�-6%�:���!��$%&��-$%�-�Z"+E���?

÷ ���8�.,.,���)7���!6B)*�;)5B6%�-)+�-�E� #�ô�&Mö'½@¶ B\½��1�.�J)+�N)+�-��$%<=%�!�."*�N9%)*���X²ª�.¨R�!6B��&'"*<=%$%�-)*�-��"+�N"+E�A Ï ��Á�² Ð �-����<(�. �%)+�!���7Å )+�%#^�O�:�8�.,�,��-)7�«�-6%)*�=�Üó �+·G¼��I"*�(õ+·Gö'½@¶ B\½��I�.�a² ��¨Y�!6%�©&'"*<=%$%�-)*�-��"+�X"+E4A Ï ��Á�² Ð C*�'�%����)*�-���8)+�X�'�-��"*�"*�Z&'"*� �!�.� $%���©)+#Y�.�%æ%�B���-$%<§TW������M�'&��-��A+��,.�? ¦ "+�:)R%6%��)*���©� �!6B)*�:&�"+� A*����C*�'�Z���v²;TW�O��#%�'æ%�%�»Ø Ï ��Áe² Ð T>�G�+½ö �*¼¾»\½�ô óE�é·$&u²FTM)*�1�-6%�(�-�'�-$%,.��� %��"#B$%&��'#§9 �±A Ï ��Áe² Ð ?X�;�^�!6%�(EG"*����C+"*�.�%C��!6%�'"*����<§TM�!6%�.�Z�-�'�-$B,��I�8��,.,H9���%"+�%��"+�!6%�'�I�-6%)*�§�-6%�($%�%�°�$B�5A�)*,.$%�u� ��$%&Q6§�-6%)*�X²!³,� ´ �=?ISLE<�Ò���Z)N#%��#%$B&��!�."*�Y�!6%�'�ÉØ Ï ��Á�² Ð �8�.,.,V9��)^%��"*�"*�����-��"+�HTK)*�B#]���=�8��,.,D����EG�'�:�!"R�.�:)*�:�!6B�v#�ô"&H#@¼¾»F��·Gô�&ª"*E�� �.�v²;?=SLE�� EG)+��,.�:"*�:#%�.A*�'�-C+���Z�.�W²FTl�-6%���Ø Ï ��Á�² Ð ���F$B�%#%��æB�%��#H?

¦ ���%)+,�,.�T4�O�;�8�.,�,B�-)7�:�-6%)*���L��"Z%6%��)*������� À )+�%#©� Æ )+�-�©ô�º ��½'¶Qö ���a·Gô�&f�*¼G¼��(½ �'»\·Gö �*¼ ½�&f�W�8�.�!6=������M�'&����-"���"*<=�²;T��8�-�.�!�-���;� ÀOÙ p � Æ TW�.¨�A Ï � À Á�² Ð ³qA Ï � Æ Á�² Ð T��86%�������!6%�.����� $%)*�-��"+�Y�.�©$%�%#B�����-�-"" #å�!"�6%"*,.#å��¨ÉA Ï � À Áe² Ð)*�B#�A Ï � Æ Áe² Ð %�-" #%$B&��©�-6%����)*<=�©A�)*,.$%��=ÅM"*�19�"*�-6§"*E��-6%��<ÍEG)+��,LÅM"*�F9�"*�-6§"*E��-6%��<Í#%�.A*�'�-C+�?�ò1�B#§�O���8��,.,��)7���!6%)+�=�/À�)+�%#5� Æ )+�-�Z"*9B�-�'�-A�)*�-��"+�%)*,.,.�(��� $%��A�)+,��'��;�.¨!��À Ù p � Æ EG"+�Y�*¼G¼*²;?

*,+.-+.Ú ñÛ�-m ÛR�Xm�ó�÷ l õ � l Ãùû Û]ôÃò6÷�óKúSL�X�!6%�.�F����&��-��"+�N���Z�8��,.,W#%�'æ%�%�%ARÜ�T)+�X�.�%���!��$%<=��� �!�'#NA+�����-�."*�N"*EV�!6%�:�.� �!�'�-%�����-���*Aª�86%�.&Q6X�����-$%���%�;�%"*�V[!$%����!6B��A�)+,�$%�;"+EB)�C*�.A*���(%6%��)*�����µ�.�5��"*<=��²8T�9%$B��)*,.�-"�)*�5��� �!�'C*�'�>����¬Z�-�'%�-�'�-�'� �!�.�%C1�-6%�X_a&'"*���!b1"+EB�'A@)+,�$B)*�!�.�%C���.�u²;?z'�"*����B�-�'&��.�-�',�� T�86%���%�'A*�'� ARÜ Ï ��Á�² Ð �!�'�-<=�.�%)*�-���F��$%&�&'�����-EG$B,�,.�«�.�F%��"#B$%&��'�8)(B)*�.��oe�VÁ8�8t�T �86%�'�-�p��.�I�-6%�5A�)+,�$%�("*Ej� ���V²ª)+�%#!�1���Z�.�!�Y_a&'"*���!b�? ÷ �(�8�.,�,/#%�'�%"*�-�5�-6%���Z,.)*�-�!����� $%)*� �-���L�^9 �ÛÜ Ï ��Á�² Ð ? � ED&'"*$%���-��86%�'��AHÜ�EG)*�.,��8"+�8#%�.A*����C*�'��T�Ü Ï ��Áe² Ð �.�8$%�%#%�'æ%�%�'#H?/�86%�Z#%�'æ%�%�.�!�."*�^"*EUARÜ�)+%M�')*���8��� ¦ �.C*$%����� c ? _ )*�%# c ?3Õ+?

�86%�])*$%¬ �.,��.)*��� EG$%�%&��-��"+�%��#�ô��%�a¹L½'ö �*¼¾¹ ó@»F&M¹��*¶ BF�7TE#�ô"�%��¹L½@ö��+¼¾¹L¸(½����*¹��+¶ Bn�*TY#�ô��%�a¹L¸Y�"�G# ��TF)+�%# #�ô"�D�a¹�# �*½%#�lN)+�-�"*9B�!)*�.�%�'#§9 �X���.<(B,��5<(" #%�.æ%&')*�!�."*�B�I"+E��!6%�'���Z%����A �."*$%�I&�"*��������M"+�%#%�.�%C�#%��æB�%���-��"+�%�7?1SL��%)*���!�.&�$%,.)*�7TB�!6%�(æ%���-��L��"NEG$%�B&��!�."*�B�©�%���'#å�!"^�-�'�!$%���])*�]��� �!�'C*�'�:�-��c%��&'�!�.�%C^�!6%���-"*�!)+,�&�"+�-�Z"*EO��A�)*,.$%)+�!�.�%C^�!6%��C+��A+���])*��C*$%<=��� �-��Å#�ô��%�a¹L¸Y�"�G# �Z�%�'��#%���!"©�����-$%�-�=)+�(�.� �!�'C*�������%#B��&')*�!�.�%C©�-6%�F&'"*����"*EK<=)*�!&Q6B���%C:):B�-"+M"+�-�.�!�."*�=�!":):B)*�!�-����� Ï �'A*����.EV�-6%��<=)+�!&Q6%�.�%C���)*�F$%�B�-$%&'&��'�-��EG$%, Ð ÅB)*�%#�#�ô��%�a¹�#��+½%#�l��%���'#%�1�-"«�-$B<è$%R�-6%��&'"*���8"*E/)*,.,��-6%��<=)+�!&Q6%�.�%C��!6B)*��!" "+P«%,.)*&��Z�.�^��¬ )*<=�.�%���BC(�-6%�:A�)*����"+$%�;&�)+�-�'��?H�86%�Z�%�'�`#%�'æ%�%�.�!�."*�%�1)*���I��6%"7�8�X��� ¦ ��C+$%��� c ? é ?

¦ "+���'A*�'�-��%���.<(�.�!�.A*�ZEG$%�B&��!�."*��UJ)+�%#X%�-�.<=���-��A+�Z<(�'�!6%" #�4 ���I�.� �!��" #%$%&��R� $%)+��-���-���'�<��¶Q·G¸(¹ ó@»F&B¹�#�ô��%� Ï U Ð)*�B#5�K¶Q·G¸5¹L¸(½ �G�+¹�#�ô"�%� Ï 4 Ð �!6B)*�©����%��������� �:�-6%�«&�"+�-��"*E;"*�%�J�-�.�%C*,.��)*B%,��.&�)+�!�."*�å"*ERUå)*�B#µ4 TW������M�'&��-��A+��,.�?¦ "+�©)§&'"*�%���!��$%&��-"*�yIwp¦¼+Ù/Á'Û/Á'ÞDÁ'à Á!á ½TH�O�«�����E��¶Q·G¸(¹ ó@»F&B¹�#�ô��%� Ï I Ð ³ ¬K?XSL� "*�-6%���5�O"+�-#%�7T��O�«&'"*�%���.#%���&�"+�%���!��$%&��-"*�D)+%%,.��&')*�!�."*�B���!"59M�§_aEG�����'b�?�SL�«�!)+�%#%��<¤�8�.�!6J�!6%�IEG)*&����!6B)*��)+,�,�&�"+�%���!)*� �-��6%)7A+�j2�����"©�'A@)+,�$B)*�!�."*�&�"+�-��T/�!6B���=��� �-)*�.,��=�!6B)*�=�!6%�^&'"*���5"+EF9%$%�.,�#B���%Cå)]%��"*�"*�����-��"+� ���p2'����"�? ¦ "*�=�!6%�^���$B)*,.���L�åEG$%�%&'�!�."*� ���N�������¶Q·G¸(¹ ó@»F&B¹�#�ô"�D� Ï � Ð ³ c TH�-"Y�!6%)+��&Q6%�'&QP ���%CR�86B���!6B���(�L�O"§B�-"+M"+�-�.�!�."*�%��)*���«��#B��� �!�.&�)+,O�-)*P*�'��"+�%� _a$B�%���-b�"+E��"*��Pl? ¦ ���%)+,�,.�T4�O�1#%��æ%�B�X��¶Q·G¸(¹L¸5½ ���*¹�#�ô��%� Ï 4 Ð ³ c EG"*�D�'A*�'�-�5%�-�.<=���-��A+�8<=���!6B"#W4 ?W�86 $%�O"*�%�8)+%%,.��&')*�!�."*�"*ElʪìWïHÉVÈ!í@ëDì�ÎHË ÎVÈ�T�EG"+�V�'¬ )*<=%,.�T��-)*P*�'�/"*�%�;$%�%�.�/"*EM�O"+�-PW?*'�"*���O����æ%�B��#�&'"*���/<(�')*��$%�����VEG"*���!6B��B�-�.<=���-��A+���&�"+$%,.#N9��:C*�.A*�'�N�8�.�!6%"+$%�8)*¨���&'�!�.�%C=�!6%�:���8� $%�', ?

�86%�:&�"+�-�;"+E�)�<=���-6%" #X)+%%,.��&')*�-��"+��8� ��ÀT686�6��lÃ Ï c ? c 2 Ð

�.�«�86%�.&Q6V�Ô%��" #%$%&��'�O)�%�-�.<=���-��A+�1<=���-6%" #W4 ���$B)*,.���!6B�1��$%<¤"*El�-6%�1&'"*����"*El�'A�)*,.$%)*�-���%C~�5T+%,�$B�O�-6%�I�-"*�-)*,&�"+�-��"+EMB�-" #%$%&'���BC:�!6%�FA�)+,�$%�'�X� À Á'Â�Â�Â'Á8� à "*EK�!6%�1)*��C*$%<=��� �-�j� À Á�Â'Â�ÂtÁ�� à T4%,.$%� c Ï �!6%�I&�"*����"*E�)*B%,�� �.�%Cp4 �!"�!6B��������$%,.�!�.�%C(A@)+,�$B��� Ð Å�86%�.,��Z�.E��Ú%��"#B$%&��'�8)5<=���-6%" #Yø�� À�Á�Â'Â�Â�Áe��ÃI ² T\�!6%�Z&�"+�-��"*E c ? c 25���8�-6%�Z�-$%< "*E��-6%�&�"+�-��"*ET�5T@B,�$%�V�!6B�O&'"*����"*EB�!6%�O)*��C*$%<=��� �-��T'%,.$%�V�!6%��&�"+�-�H"*E%�'A@)+,�$B)*�!�.�%C ² 0��lÀ�×�� ÀQÁ'Â�Â'Â�Á8�\ñ×���Ã3 T@B,�$%� c EG"+�H�-6%���$%9%���!�.�!$%�-��"+�H?W�H��P+���8�.�-� T��!6B�8&�"*���/"*E�ïHØ�Ë Õ[�^³��¤Ì�Î ² �.�D�-6%�8�-$B< "*EM�!6%�8&'"*����"*EC�ð%,.$%�D�-6%�8&�"+�-�/"+E ² %,.$%�c EG"*���-6%�F��$%9%���!�.�!$%�-��"+��&�"+�-��"+EM����%,.)*&'���BC:��A*�'�-��EG�-�'�8"&'&�$%�������%&'��"+E0�=�8���-6%�.� ² 9�5�!6%�8A�)+,�$%�1"*E-��?��86B�8�-�'�-�"*E��-6%�(&�,.)*$%�����I&�)*��9M�(�-�.<=��,.)*��,.�N$%�B#%�����-�-" "#V?FòI�I)+�§��¬ )*<=%,.�TM,.���(¿Ò9M� Ï Ù�Ù/Óðàñã�Þ^Ù�Ù/Ó Ð Û Ï ãªá ä Ð T,.����² &�"*� �-)*�.�N�-6%�:�8� $%�.A�)*,.���%&'�«Ù�Ù/ÓRá ÓZT )*�%#X,.��� ² 9M�:�-6%�:#%�'#%$%&��-��"+�

��¶|½r��¼A��#�½ ãL¿ ä Ù�Ù/ÓRá Ó

S ¬

Page 32: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

f�Ý�g.h5ikj ¤:l�l�l jnm�o p|qXr�s u3v } w�{LÐ��nrzfVÝ�g�iJ{.pNq}�~ w ¤ {'�'�'�3{.w:m;��{=p���{5Ð'� �nr¡ÎS�T��v��Lu3���Ts �L�,u�v=�T�L�T� ����g ~ j ¤ {'�����'{.j�mT��{.p�{�fVÝ|q���§� ��w»����� � � � v � �3ux�,u3v��T�3�������u3��� } ���T��s �%� ��� � �,�L�,u�v=�|g��B{ ~ w ¤ {'�'�'�'{Lw m �C{Lp��Op�� q {=��� � �,�L�,u�v=�T�LÎS�T��v�g��aq�ÞaÐ:Þ»Ð'� ����T� � ��wz���,u�v=�T���^���Hv=�Tu����T�S�É H¢ ¤ {'�����'{.¢3mO�.£\�

��u�����s u�v } w·ß[{.ÐTß·��rzfVÝ�g�£ ~ w ¤C¤ ¢ ¤ {'�'�'��{.w:m ¤ ¢�m§��{=p`�Op�� q�_� } w·ß�{.Ð#ÞaÐ'�TÞaÐTß�Þ À ����T�Ju3�S�5�T�Sg qf�Ý�g ¥�¦�¦�¨:©Oª�it«_¬£[qXrºs u�v } ­R{.ÐTÀV�nrzf:Ý�g�iJ{.p�q} ® {.Ð ß ��rzfVÝ�g�£�{.p1��¯�­x°Cq�_� } ­�± ® {.ÐTÀxÞaÐTß�Þ À �f�Ý�g ¦�¨�³:³§´§¦�ª µL¥#¶;¦�¨�¸.¹\i�«�¬£Oq�r�s u�v } ­R{.Ð À ��r»f�Ý�g�i^{.p�q} ® {.ÐTßn�nrzf:Ý·g�£{Lp���¯S­,°�q��� � � ® r@¼ ¥·½ ¦�ªav��Tu � } ¾ ­�{LÐ À ÞaÐ ß Þ À �^u�s ��uJu��S�5�T�Sg qf�Ý�g ¹X½ ª%¿Y¢Óryit«�¬²£[q�rºs u�v } w·À�{.ÐTÀ��nrzf�Ýng�i^{.p|q} ­R{.Ð ß ��rzfVÝ�g�£ ~ w À ¤ ¢���{.p�q�_� } ­R{.ÐTÀ,Þ\ÐTß^Þ À �f�Ý�g ¹X½ ª%¿Y¢Óry£x�R«�¬£[qXr�s u3v } ­R{.Ð���r»f�Ý�g�£Y��{.p|q} ® {LÐTßn��r»f�Ý�g�£ ~ ­ ¤ ¢���{.p1��¯�­x°Cq��� } ® {.Ð#ÞaÐ ß Þ À �f�Ý�g�it¶%Áa£[q�rts u3v } ­R{.Ð ß ��rzfVÝ�g�£�{.p�q} ® {.Ð À �nrzf�Ýng_iJ{.p|q��� � �X­\r ® v��Tu � } ­R{.ÐTÀ,Þ\ÐTß^Þ À �Ju�s ��uYu3���C�T��gFqf�Ý�g.¶§ª ·«�¬²£ ¤ à �'�'� à £Ym^ªV¬T¹Ó{Lp�qXrts u�vTÄ·g ~ £[��{=p���{LÐ'� qnr¡g5s u�v } ­R{.Ð��nrzfVÝ�g�£{.p�� q ��� } ­R{.Ð#ÞaÐ'�F�CqÄ·g�£ ¤'Å Å £ §§Å Å Æ {.pV�S{.Ð'� qnr¡g5s u�v } ­R{.Ð��nrzf:Ýng_£ ¤ {.p��Fq ��� Ä·g�£ §§Å Å Æ {.pV�:��¯�­x°T{LÐ#ÞaÐ'� q5q��� Ä·g ~ £ ¤ {'�'����{.£ m ��{=p�{ ± qf�Ý�g ¹X©,¥�¿SǧÈ@iÊg�Ë ¤ Ì £ ¤ q l'l'l g�Ë:m Ì £xm�q {.p|qXrs u�v } ­�{LÐ À ��rzf�Ýng_iJ{.p|q} ¯ } ¢ ¤ {.­ ¤ �;{'�'�'��{ } ¢ ͧ{.­�Í�� °T{L£�{.Ð%à���r¡ÎS�T��v��LÎ3�Tu�Î3ÏSg�­R{ ~ } Ë ¤ {.£ ¤ �T{'���'�'{ } Ë�m#{L£xm��C� q} ® {LÐ��nrzf�Ýng_£ ~ ­ ¤ ¤ ¢ ¤ {��'�'��{.­�Í ¤ ¢ Í���{.pNq�_� } ® {.ÐTÀxÞaÐ%à�ÞaÐ#Þ À �

¦ ��C+$%�-� c ? _ U ­ "+�-�- ��.�%���!��$%<=��� �!�'#N�.� �!�'�-%�����-���7T#%��#B$%&��-��A+��B)*���@?

Ï �86B�����^¶|½r��¼��"#�½(�����!6B�5<=���-6%" #�#%�'æ%�%�'#��.��%)+C*� � Õ Ð ?FSL�Y"*$%����<=%,.��<=�'��-)*�-��"+�§"*E�AÓÜDTM���5æB�%#��-6%�5&'"*���1"+E��A�)+,�$%)+�!�.�%C ² �.�^)*�X)*%B�-"+%�-�.)*�-�<² �-"�9M� �"é�c ?

÷ �X)*,.��"�#%�'æ%�%�X�L�O"]���B�-�-�-$%<=�'��-��#ð��� �!�'�-B�-�'�!�����-AHÜ�áX)+�%#�AÓÜRâ�EG"*�=&�"+<(B$%�!�.�%C��-6%�`_a#%�'#%$%&'�!�.A*��bY)*�%#_a&'"*<=%$%�-)*�-��"+�%)*,.b1&'"*���H"+EB)Z%6%��)*���[�ð���(��"*<=�(²FT�������M�'&��!�.A*�',�� T@�-6B"7�8���.� ¦ �.C*$%����� c ? . )*�%# c ? c ¬K?KSL� �!$%�.�!�.A*�',�� T�!6B��#%��#%$B&��!�.A*��&'"*���Z"*E�)R%�-" "+E ² �����!6%��&'"*���:"*E���A*�'�-�RB�-�.<=���-��A+��<(�'�!6%" #å&�)+,�,��!6%)+�:���©<=)+#%��#%$%�����BCX�-6%���A�)+,�$%)+�!�."*�^"*E ² TB)*�I�O�',�,H)*�F�-6%��&'"*���8"*E��'A*�����«6 � M"+�!6%�'�!�.&�)+,�#%�'#%$%&��-��"+�§)*�B#R%�-" "+EH9 �X&�"*� �-�-)+#%��&'�!�."*�^�!6B)*��.�:M�'�-EG"+�-<=��#]#%$%���.�%C^�!6%)+�:��A�)*,.$%)*�-��"+�H? ÷ �=#%"R�B"*�Y_a&'"*$%� �!bX)*� � �!6B���%C^�',����TW�-$%&Q6])*�Z�-6%��&�"+�-�Z"*E�%)+�!�!�'�-�<=)*�-&Q6%���BCJ"*���!6B�(&'"*���I"+ED��$%9%���!�.�!$%�-��"+�%��?:�86$B��T�,." "*����,.�X�����)*P �.�%C�TM�-6%�=#%��#%$B&��!�.A*�(&�"+�-��"*E ² )*&'&�"+$%� �!��EG"*��!6B�����!���.&��!,.��,."*C*�.&�)+,M��"*��P�#%"+�%�I9 � ² �!6%)+�;���8#%�'#%$%&'�!�.A*��,.���%�'&�������)*���(EG"+�8�!6%�Z#%�'�-�.A�)*�-��"+�J"*E��!6%�Z&�"+�%&�,.$%����"+�HT)*�B#XEG"+�F�%"+�!6%�.�%C���,.���?`�;�Næ%)*��T\�!6B�©#%��#B$%&��-��A+�:&�"*���8"*E/)+�X�'¬ %�-�'�-���."*���Ò���<2'����"�T�����B&��©)+�X�'¬ %�-�'�-���."*�X#%" ����%"+��#%�'#%$%&��I)*� � �!6%�.�%CK?W�86%�.�;��� �!)+��,.���-6%)*��%6%)+� �!"*<ê#%�'#%$%&��-��"+�%�;)*���F�%"+��&�"+�%����#%�'�-�'#��!"56%)7A*�F)+� �(#B��#%$%&'�!�.A*�&�"+�-��TM�86%��&Q6]�.��)+%%��"*%���.)*�!�5�-�.�%&'�5��$%&Q6�#B��#%$%&'�!�."*�%�Z#%"X�%"+��<=)+P*��)+� �R,�"+C*�.&�)*,V&�"+� �!����9%$B�!�."*�%���!"^���B&�,."*�����%C#%�'#%$%&��-��"+�%�7? ÷ 6%���Y�!6%�5&�"+<(B$%�!)+�!�."*�R"*E AHÜ�á Ï ��Á�² Ð %��"#B$%&��'�1)JB)*�.�Yoe�VÁ8��t-TM�O�5�8�-�.�!�ãÜRá Ï ��Áe² Ð �!"N#%���%"+�!�

S�c

Page 33: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

fVÝ�g�Ð�{.p�qnr } Ð�{ ± �fVÝ�g�¢V{.p|q·r¡u3���C�T��gFqfVÝ�g� R¢ ¤ {'�'�'��{.¢ m �.£{.p|q·r }  R¢ ¤ {'�'�'�3{.¢ m �.£{ ± �fVÝ�g�ÑR¢ ¤ {'�'�'��{.¢ m �.i^{.p|qnr } Ñ�¢ ¤ {'�'�'��{.¢ m �.i^{ ± �fVÝ�g�ikj ¤ {'�3�'�'{.j�m·{.p�q�rts u3v } w�{LÐ��nrzf�Ý�g�iJ{Lp�q}�~ w ¤ {'�'���'{.w:m;��{.Ð'� ��r@ÎS�T��v��Lu3���Ts � ��Ò � �L�T� �|��g ~ j ¤ {'�'�'��{.jnm;��{.p�{=f�Ý|q��� � ��wz����� � � � v � �3u���Ò � Î3v � � � ÄR���u3��� } ���T��s �%� ��� � �,� ��Ò � g�Ä�{ ~ w ¤ {'�'�'��{.w m ��{.p�q {���� � �,� ��Ò � �LÎ��T��v=g�ħqVÞaÐ#ÞaÐ � ����T� � ��wz����Ò � Î�v � � � ���Hv=�Tu����T�S�ÉÑR¢ ¤ {��'�'��{.¢ m �.i��%�

��u����Ns u3v } wO�À {.Ð'� À ��rzfVÝ�g�iH� ~ w ¤ ¤ ¢ ¤ {'���'�'{.w m ¤ ¢ m ��{.p|q��� } w[�À {LÐ#ÞaÐ'� ÞaÐ'� À Þ À ����T��u��S�5�T��g qfVÝ�g.½ ª ¿J¢Óryjº«�¬²iJ{.p|qXrts u3v } w Ô {.Ð Ô ��rzfVÝ�g�jR{.p|q} w À {LÐ À ��r»f:Ýng_i ~ w Ô ¤ ¢3�C{Lp�q��� } w·À�{LÐTÀ,ÞaÐTÔxÞ À �fVÝ�g Õ:Ö[¢Ó�LiY{5p�q�r�s u�v } w�{.Ð��nrzf:Ýng_i ~ Õ�Ö�¢H�Li ¤ ¢3�C{Lp�q ��� } w�{.Ð#Þ À �fVÝ�g.¶§ª ·«_¬i ¤ à �'��� à iHm^ªV¬T¹Ó{Lp|q�rts u�vTÄ·g ~ i���{=Ð'� qnr¡gCs u3v } w�{=Ð���rzf�Ýng_iJ{.p�q �_� } w�{LÐ�Þ»Ð'� �5qÄ·g�i ¤ Å Å i § Å Å Æ {.Ð'� qnr¡g5s u�v } w�{.Ð��nrzfVÝ�g�i ¤ {5p�q ��� Ä·g�i § Å Å Æ {.Ð#ÞaÐ'�Fq5q��� Ä·g ~ i ¤ {'�'���'{.iHm;��{ ± qfVÝ�g.©,¥�¿SǧÈÉiÊg�Ë ¤ Ì i ¤ q l�l'l g�Ë:m Ì iHm;qT{.p�q�rºs u�v } ­�{LÐTÀN��rzfVÝ�g�i^{.p|q} ¯ } ¢ ¤ {.­ ¤ �;{'�'�'�'{ } ¢ Í�{.­�ÍS�%°;{.i���{LÐ à ��r¡Î��T��v=�LÎ��TuSÎ�Ï�g�­R{ ~ } Ë ¤ {.i ¤ �;{'�'�'�'{ } Ë m {.i m �C� q} w�{=Ð'�F��rzfVÝ�g�iH� ~ ­ ¤ ¤ ¢ ¤ {'�'�'��{.­ Í ¤ ¢ Í �C{=pNq��� } w�{.ÐTÀ,Þ\Ð%à²Þ\Ð'�TÞ À �

¦ �.C*$%��� c ?°Õ*U ­ "*���! a�.�%�-�-�-$B<(�'� �!��#X�.��-����%�����!�'��T+&'"*<=%$%�-)*�!�."*�B)*,l%)+�-��?

�!6B�:��� �!�'C*�'���@Å "*�-6%�����8�����Ü á Ï ��Á�² Ð �.�8$%�%#B��æ%�%�'#H?�86%�8&�"+<=%$%�!)+�!�."*�%)+,\&�"+�-�/"*EM):%6%��)*���[�Ü�.�����=��"*<=�;�-�'�%�-�;�-6%�F�.�A+�����-��"*EM���-�D#%�'#%$%&��-��A+�8&�"+�-��?lSL� �!$%�.�!�.A*�',�� T

�.��)*&'&�"+$%� �!��EG"*���86%)*�-��A*�'����"*��Pa��#%" ����EG"*��&�"*<=%$B�!)*�-��"+�%)*,���)*�!6B�����-6%)*�NEG"*��#%��#B$%&��-��A+�1%$%���"*�����7? ÷ ���!6 $%�6%)7A+� ARÜÓâ Ï �©Á�² Ð ³@ARÜ Ï �©Á�² Ð EG"+�8)*,.,l��¬ %�������-�."*�B�[�5?V�86B)*�;���7T�!6B�:&�"*<=%$B�!)*�-��"+�%)*,l&'"*���O"+EH)+�N�'¬ %�-�'�-���."*�V��.�1�8� $%)+,��-"«�!6%�5��� �!�.���:&�"*���F"+Ej�5?��86%�©�.� �!���������!�.�%C«&')*���:�����!6B�©#%��æB�%���-��"+�§"*E/�-6%��&'"*<=%$%�-)*�!�."*�B)*,�&'"*���F"*E/)#%�'#%$%&��-��"+� ² T��86B��&Q6]<=��)*��$%�����������-�'� �!�.)*,.,��^�!6B�µ_ �-�')*��&Q6%b������EG"*��<(�'#�9 � ² ?Z�86B)*�����7TK�!6B�5&'"*<=%$%�-)*�!�."*�B)*,&�"+�-�I"*E ² �-�'%�-�'�-�'� �!�1�-6%�(��� �!�'�-B�-�'�!������"*��PN#%"+�%��#B$%�-�.�%CX�!6%�(��A�)+,�$%)+�!�."*�§"+E ² �-6%)*��&�"+$%,�#�9M�(��,.��<=�.�%)*�-��#9 ��)R<="*����EG" &�$%����#ªB�-" "*E��!6B)*�©�%�'A*�'�-�-6%��,.�����:$%�����©�-6%�«��)*<=��9%)*���.&��-�')*��"*�%�.�%C�?�SL�%#%���'#HTH�O���8�.,.,��������!6B)*��!6B�������;%����&'������,.�(�!6%���O"+�-P=�-6%)*�O���;��,.�.<(�.�%)+�!��#N�86%���J�O��C*�'�%����)*�-�F)�&'�����!�.æ%&�)+�!�1EG"+�O�-6%��"*����C+���%)+,B%��" "*E!?H�86%�&�"+<=%$%�!)+�!�."*�%)+, &�"*���/"*E-�ð�.��²ª�8�.,.,%9M�8#B���%"+�!��#=9 ��ÜÓâ Ï ��Áe² Ð ?W�86B)*���.��T�ÜÓâ Ï ��Á�² Ð #%���%"+�!�'���!6%�8�.� �!��C+����%)+�-�/"+E�!6B�F�-�'�-$B,��O%�-" #%$B&���#�9 ��AÓÜ á Ï ��Á�² Ð T+�86%�'���!6%�I,�)+�!�!�'�O�-����<=���%)+�!�'����$%&�&'�����-EG$%,.,.�? ÷ 6%���«�.��#B"�'�O�B"*�@TVÜ â Ï ��Áe² Ð�.�8$%�%#%�'æ%�%��#V?

÷ ���%"7� 6%)7A+�F"*�%�§_a���!)+�%#%)*��#%b:�.� �!����%�����-���kAY)*�%#«�-6%�����1�.�%���!��$%<=��� �!�'#«A*�'�-���."*�%�D�-6%������"+E!U4ARÜ�TûAHÜ á T+)*�%#ARÜ â ?�SL�1�.�1��"*<=�'�86%)*�F�-��#%�."*$B�19%$%�I�%"*�1#%��>=&'$%,��I�!"«B�-"7A+�:�!6%)+�1��A+�����J"+�%�©"*E/�-6%�����©�.��-����%�����!�'�-�1&�"*� A+����C*���Ï ���������&��-��A+��,.�T+EG)*�.,.�8"*��#%��A+����C*�'� Ð "*�N)5C+��A+���W�`)*�%#~² ��¨R)+,�,K�-6%�-�'�Z"*E��-6%�Z"*�-6%���;�.��-����%�����!�'�-��)*,.��"5&'"*� A*�'�-C+�Ï ���������&��-��A+��,.�T EG)+��,H"*�F#B��A+����C*� Ð "+�5�Ú)+�%#u²;ÅB)*�%#^�-6%)*�I��E/"*�B�:"*E/�!6%�'<Í#%" ���F�-����<(�.�%)+�!�©"+�X��"*<=��Ú)*�B#u²;T�!6B���^�!6%��A@)+,�$B��Ò���1%�-" #%$B&����1���F�.#%�'��-��&')*,W�-"��!6%��A@)+,�$B�:%�-" #%$B&���#R9 �N�!6%�©"+�!6%�'�8�!6%��������� �!�'�-B�-�'�!�����8EG"*���)*�B#E²;?Hò1&�&'"*��#%�.�%C*,.�T4�86%����&'"*� A*�'�-C+���%&'���.���-)*P+����EG"*�OC*��)*� �!�'#=�O�F�8�.,.,B��M�')*P("*E��G�+½1A@)+,�$B�b�Ô"*EK)©B6%�-)+�-����.�N)+�X)+�-��$%<=%�-��"+�N9%)+�-�[² �8�.�!6%"+$%�89M"+�!6%�'�-�.�%C=�!"=��M�'&��.EG�J�86%�'�!6%�'�b�Ý���1"*9%�-)*�.�%��#X9 �8A;T�AÓÜ�T�AÓÜRâ*T"*� ARÜÓá ?Cb»VË ìMÖ�Ë ÊEDGFCä�Ü Ï ��Á�² Ð ³ºÜ â Ï ��Áe² Ð �ÉÜ á Ï ��Á�² Ð �`�+½�&M½'ö@½'¶R�L#�ô"&Bö@½'¶ B\½ ��·$&E²�KÝ Ö�ìWì�×gf ÷ 6%�����¤���5)*� �'¬B�-�'�-����"+�;�ñ�!6%�N�8� $%)+,��.�L�Y�.���.<=<=��#%�.)*�-�J�����%&'�zÜ á Ï �©Áe² Ð ³ ¬�)+�%#ºÜ â Ï �©Áe² Ð ³

S��

Page 34: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

ÎS�T��v��Lu3���Ts � ��Ò � �L�T� ����g ���T�5�T��u���{.p�{�fVÝ|q�rts u3v%Ä·g ~ ��{S�3�Ts ��{.Ð�q·r }Få�æCæ�3�Ts �T{.Ð��Ä·g�j Å Å Æ {S�3�Ts ��{.Ð�qXr�s u3v } w Ô {.Ð Ô ��r\f:Ý�g�jR{.p�q��� Ä#g Æ {=w·Ô Å Å ���Ts �S{.Ð#Þ\ÐTÔNq��� Ä#gF���T�5�T��u3�S{ ~ ��{ ± qÎS�T��v��Lu3���Ts �L�,u�v=�T�L�T� ����gF���T�5�T��u3�S{Lp�{�fVÝ|qXrts u�v Ä·g ~ ��{S���Ts ��{5pV��{LÐ�q#r } å�æ5æ���Ts �%{.p:��{.Ð��Ä·g�i Å Å Æ {S�3�Ts ��{.p���{.Ð�qXrºs u�v } w À {.Ð À ��rzfVÝ�g�iJ{.p�q��� Ä·g Æ {Lw À Å Å ���Ts �S{.pV�S{.Ð#ÞaÐ À qÄ·g�£ Å Å Æ {S�3�Ts ��{.p���{.Ð�q�r�s u�v } ­R{.ÐTß·��rzf�Ýng_£�{.p|q��� Ä·g Æ {.­ Å Å �3�Ts ��{.pV�:��¯�­x°T{LÐ#ÞaÐTß·q�_� Ä·g ���T�5�T��u���{ ~ ��{�ç:{ ± qÎS�T��v��L�,�Tv=Î��|g�­R{.ËX{.è�q�rºs u�vTÄ·g�éx{.éx{Lè#{.Ð�q·r¡g�è·{.Ð#Þ À qÄ·g ¿;¸'¨;ª#{_¿T¸�¨Tªn{.è·{.Ð�q·r¡g�è#{.Ð#Þ À qÄ·g.¼ ¥#½ ¦�ª·{�¼ ¥#½ ¦�ª#{Lè#{.Ð�q·r¡g�è·{.Ð#Þ À qÄ·g�­R{.êV{.è·{.Ð�q·r¡g�è#{.Ð#Þ À qÄ·g�­R{.¢V{.è·{.Ð�q�r � ��èzÎ�� � v=� ��� �[��ë ��� � �_� ��g�¢V{ ® qJv��Tu �g � ��­\r ® v=�Tu � } è·{.Ð:Þ Æ �^u�s ��u } ���Ts ��u {LÐ�Þ Æ ��qOu3s ��u } ���Ts ��u {.Ð#Þ À �Ä·g�­ ¤�ì ­ § {LË ¤�ì Ë § {.è#{.Ð�qXrts u3v } è ¤ {.Ð ¤ ��ryÄ#g_­ ¤ {LË ¤ {.è·{.Ð�q��� � �Xè ¤,í ���Ts ��uxv=�Tu � } è ¤ {.Ð ¤ �^u�s ��uRÄ·g�­ § {LË § {.è ¤ {.Ð ¤ qÄ·g { { {.Ð�qnr } ���Ts ��u%{.Ð����� Ä·g�­R{.Ë�{Lè#{ ± qÎS�T��v��LÎ3�Tu�Î3Ï;g�­R{SÎS�T��u��LqXr�s u3v Ä#g ~ ��{.Ð�q·r¡u3���C�T��gFqÄ#g } Ë�{.j�� Å Å Æ {.Ð�q�rts u�v } è·{.Ð'� ��r@ÎS�T��v��L�x�Tv�Î3�%g_­�{LË|q��� � �bèJr»��� � sYv��Tu � Ä·g Æ {.Ð:Þ\Ð'� qxu3s ��u } è#{.jR{.Ð:ÞaÐ'������ Ä·g5ÎS�T��u3�3{ ± q

¦ ��C+$%��� c ? é UHò1$%¬ �.,��.)*���«#%�'æ%�%�.�!�."*�%�7?

Ü Ï �©Áe² Ð ? ¦ "*��)X#%��#%$B&��!�."*� ² ���(%�-" &'����#�9�R���!��"*�BCJ�.�%#%$%&'�!�."*�]"*���-6%�E�$B)*� �!�.�L�ÛÜ ÏL² Áe² Ð ? ÷ �=��,.,.$%�-�-�-)+�!��8�.�!6^<=���!6B"#^&')*,.,����8���/À�686868�KÃl? ÷ 6B����AÓÜ Ï �©Áe² Ð ������$%,.�!�8�.�X)=%���.<(�.�!�.A*�Z<=���-6%" #54 T �O�Z6%)7A+�

Ü Ï ��Áe² Ð ³tÜ Ï �©Áe² Ð �Ã

¹ r ÀÜ Ï �±¹!Á�² Ð � c Â Ï c ? c�^�Ð

'§"+�-�'"7A*���7TÜÓâ Ï ��Á�² Ð ³ºÜ Ï �©Á�² Ð �

Ã

¹ r ÀÜÓâ Ï �*¹-Á�² Ð Ï c ? c�_�Ð

)*�B#ÜÓá Ï ��Áe² Ð ³

Ã

¹ r ÀÜ�á Ï �*¹!Á�² Ð � c Â Ï c ? c Õ Ð

SL�%#%$B&��!�.A*�',�� T�O�Z6%)7A+� Ã

¹ r ÀÜ Ï � ¹ Á�² Ð ³

Ã

¹ r À0 Ü â Ï � ¹ Áe² Ð �ÉÜ á Ï � ¹ Á�² Ð 3

)*�B#N�-6%������EG"+�-�

Ü Ï �©Á�² Ð �Ã

¹ r ÀÜ Ï �*¹|Áe² Ð � c ³tÜ Ï ��Á�² Ð �

Ã

¹ r À0 ÜRâ Ï �±¹-Áe² Ð �¡Ü�á Ï �*¹!Á�² Ð 3X� c

S�S

Page 35: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

fVÝnî;g.h5ikj ¤:l�l�l jnm�o p|qXr�s u3v%wbrzfXg�i^{.p�q}�~ w ¤ {'�'�'�3{.w:m;��{=p���{5Ð��nr¡ÎS�T��v=�Lu��3�Ts �L�,u3v��T�L�T�F����g ~ j ¤ {'�'�'��{.jnm;��{.p�{.fVÝnîSq���§� ��w»����� � � � v � �3ux�,u3v��T�3�������u3��� } ���T��s �%� ��� � �,�L�,u�v=�|g��B{ ~ w ¤ {'�'�'�'{Lw m �C{Lp��Op�� q {=��� � �,�L�,u�v=�T�LÎS�T��v�g��aq�ÞaÐ�����T� � ��wz���,u�v=�T���^���Hv=�Tu����T�S�É H¢ ¤ {'�����'{.¢3mO�.£\�

��u�����s u�v } w·ß[{.ÐTß·��rzfVÝnî;g�£ ~ w ¤C¤ ¢ ¤ {'�'�'��{.w:m ¤ ¢�m��C{Lp`�Op�� q�_� } w ß {.Ð#ÞaÐ ß ����T�Ju3�S�5�T�Sg qfVÝnî;g ¥�¦�¦�¨:©Oª�it«_¬£[qXrºs u�vT­\rzfXg�iJ{.pNq} ® {.Ð���r\f:Ýnî;g�£�{.p���¯S­,°�q�_� } ­�± ® {.Ð#Þ À �fVÝ î g ¦�¨�³:³§´§¦�ª µL¥#¶;¦�¨�¸.¹\i�«�¬£Oq�r�s u�v ­\rzf�g�i^{.p|q} ® {.Ð���rzfVÝnî;g�£�{Lp���¯�­x°Cq��� � � ® r@¼ ¥·½ ¦�ªav��Tu � } ¾ ­�{LÐ#Þ À �Ju�s ��uJu��S�5�T�Sg qfVÝnî;g ¹X½ ª%¿Y¢Óryit«�¬²£[qnrzf�Ý·î;g�£ ~ f�g_iJ{.p|q ¤ ¢3��{.p�qfVÝnî;g ¹X½ ª%¿Y¢Óry£x�R«�¬£[qXr�s u3v } ­R{.Ð'� ��rzfVÝnî;g�£x�S{.p�q} ® {LÐ���rzfVÝnî;g�£ ~ ­ ¤ ¢3��{.p`��¯S­,°�q��� } ® {.Ð'� ÞaÐ��fVÝnî;g�it¶%Áa£[q�rts u3v } ­R{.Ð��nrzfVÝnî;g�£{.p|q® rzf�g�i^{.p|q���|� �X­\r ® v��Tu � } ­R{.Ð��Yu�s ��uYu3���C�T��gFqfVÝnî;g.¶§ª ·«�¬²£ ¤'à �'�'� à £ m ªV¬T¹Ó{Lp�qXrts u�vTÄ·g ~ £[��{=p���{LÐ'� qnr¡g5s u�v } ­R{.Ð��nrzfVÝnî;g�£{.p�� q ��� } ­R{.Ð:Þ\Ð'�F�CqÄ·g�£ ¤'Å Å £ §§Å Å Æ {.pV�S{.Ð'� qnr¡g5s u�v } ­R{.Ð��nrzf:Ý·îTg�£ ¤ {.p��Fq ��� Ä·g�£ §§Å Å Æ {.p��:�J¯S­,°;{5Ð#ÞaÐ'� q5q��� Ä·g ~ £ ¤ {'�'����{.£Ym;��{=p�{ ± qfVÝ î g ¹X©,¥�¿SǧÈ@iÊg�Ë ¤5Ì £ ¤ q l'l'l g�Ë m Ì £ m q {.p|qXr�s u3v%­\rzfXg�iJ{.pNq} ¯ } ¢ ¤ {L­ ¤ �;{'�'�'��{ } ¢ Í�{L­�Í�� °;{.£[�nr¡Î��TuSÎ3Ï�g�­R{ ~ } Ë ¤ {.£ ¤ �T{'���'�'{ } Ë�mn{.£Ym;�C� q��� f:Ýnî;g�£ ~ ­ ¤ ¤ ¢ ¤ {'�'�'��{.­�Í ¤ ¢ ÍS��{.pNqfVÝ î g�iJ{Lp�qnr } f�g�i^{.p|q { ± �

¦ ��C+$%��� c ? . UHSL�%�-�-�-$B<(�'� �!��#^�.� �!����%�����-���;EG"*�8&'"*<=%$%�-���%C��-6%�:#%�'#%$%&��-��A+�Z&�"*���;"*EV)=%6%��)*���?

�86%�.&Q6N9 �«A �.�-�-$%�:"*E c ? c�^ / c ? c Õ8<=��)+�%�8�!6%)+�Ü Ï ��Áe² Ð ³tÜRâ Ï ��Á�² Ð �ÉÜ�á Ï ��Áe² Ð Â

÷ 6%�'�±AÓÜ Ï �©Á�² Ð �-�'�-$%,.�!�8�.�^)=<(�'�!6%" #åø�� ÀtÁ'Â�Â'Â�Á��7Ã1 ² �O�Z6%)7A+�

Ü Ï ��Á�² Ð ³ºÜ Ï ��Á�² Ð �Ã

¹ r ÀÜ Ï �*¹|Áe² Ð �ÉÜ Ï|² 0�� À ×�� À Á�Â'Â�ÂtÁ�� à ×�� à 3aÁ�²6d�²Ue Ð � c Ï c ? c�é�Ð

�86%�'�-�:� À Á'Â�Â'ÂtÁ8� à )*�����!6%�NA�)*,.$%���5"*ER� À Á�Â'Â�ÂtÁ�� à �.��² )*�%#�² e �.���-6%�J,.��<=<=)§�����©"+9%�!)+���%�'#ª9 �Y�'A@)+,�$B)*�!�.�%C�!6B"*����B6%�-)+�-�'�;)*<="*�%C+�-�R� À Á'Â�Â�Â'Á8� à �-6%)*�8)+�-�Z#%�'#%$%&'�!�."*�%�7? ¦ $%���!6%�'�-<="+�-� T

ÜÓâ Ï ��Áe² Ð ³tÜ Ï �©Á�² Ð �Ã

¹ r ÀÜÓâ Ï �*¹-Á�² Ð �@ÜRâ ÏL² 0�� À ×�� À Á'Â�Â'Â�Á8� à ×�� à 3�Áe²½db²9e Ð � c Ï c ? c�.�Ð

)*�B#ÜRá Ï ��Á�² Ð ³

Ã

¹ r ÀÜÓá Ï �±¹-Áe² Ð �ÉÜ�á ÏL² 0�� À ×�� À Á'Â�Â'Â�Á8� à ×�� à 3�Áe²½db²9e Ð Â Ï c ? � ¬ Ð

S 2

Page 36: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

fVÝ�ï%g.h5ikj ¤:l�l�l jnm�o p|qXr�s u3v } w�{LÐ��nrzfVÝ�g�iJ{.pNq}�~ w ¤ {'�'�'�3{.w:m;��{=p���{5Ð'� �nr¡ÎS�T��v��Lu3���Ts �L�,u�v=�T�L�T� ����g ~ j ¤ {'�����'{.j�mT��{.p�{�fVÝ�ïCq���§� ��w»����� � � � v � �3ux�,u3v��T�3�������u3��� } ���T��s �%� ��� � �,�L�,u�v=�|g��B{ ~ w ¤ {'�'�'�'{Lw m �C{Lp��Op�� q {LÐ#ÞaÐ'� ����T� � ��wz���,u�v=�T���^���Hv=�Tu����T�S�É H¢ ¤ {'�����'{.¢3mO�.£\�

��u�����s u�v } ­R{.ÐTßn��rzfVÝ�ï�g�£ ~ w ¤�¤ ¢ ¤ {'�'���'{.w:m ¤ ¢3m;��{.p`�[p���q�_� } ­R{.Ð#ÞaÐ'� Þ\ÐTß�Þ À ����T�Ju3�S�5�T�Sg qfVÝ�ï%g ¥�¦�¦�¨:©Oª�it«_¬£[qXrºs u�v } ­R{.Ð��nrzf�Ý�ï�g_iJ{.p�q} ® {.Ð'�F��rzfVÝ�ï�g_£�{Lp���¯S­,°�q�_� } ­�± ® {.Ð#ÞaÐ'�F�fVÝ ï g ¦�¨�³:³§´§¦�ª µL¥#¶;¦�¨�¸.¹\i�«�¬£Oq�r�s u�v } ­R{.Ð��nrzf:Ý ï g�iJ{Lp�q} ® {.Ð'� ��rzf�Ýnï%g�£�{Lp���¯�­x°Cq��� � � ® r@¼ ¥·½ ¦�ªav��Tu � } ¾ ­�{LÐ#ÞaÐ'� �Yu3s ��u^u��S�5�T��g qfVÝ ï g ¹X½ ª%¿Y¢Óryit«�¬²£[q�rºs u�v } w�{=Ð���rzfVÝ ï g�i^{.p|q} ­R{.Ð'� �nrzf:Ýnï3g�£ ~ w ¤ ¢3��{.p�q�_� } ­R{.Ð#ÞaÐ'� Þ À �fVÝ�ï%g ¹X½ ª%¿Y¢Óry£�«�¬�£x� qXr�s u3v } ­R{.Ð���r»f�Ý�ï3g�£�{.p|q} ® {LÐ'�F�nrzf:Ý ï g�£x� ~ ­ ¤ ¢���{.p1��¯�­x°Cq��� } ® {.Ð#ÞaÐ'� Þ À �fVÝ�ï%g�it¶%Áa£[q�rts u3v } ­R{.Ð��nrzfVÝ�ï3g�£�{.p|q} ® {.Ð'� ��rzf�Ýnï3g�iJ{Lp|q��� � �X­\r ® v��Tu � } ­R{.Ð#ÞaÐ'� Þ À �^u�s ��uJu��S�5�T��g qfVÝ ï g.¶§ª ·«�¬²£ ¤'à �'�'� à £ m ªV¬T¹Ó{Lp�qXrts u�vTÄ·g ~ £[��{=p���{LÐ'� qnr¡g5s u�v } ­R{.Ð��nrzfVÝ ï g�£�{LpV��q ��� } ­R{.Ð#Þ\Ð'� �CqÄ·g�£ ¤'Å Å £ §§Å Å Æ {.pV�S{.Ð'� qnr¡g5s u�v } ­R{.Ð��nrzf:Ýnï3g�£ ¤ {LpV�Fq ��� Ä·g�£ §|Å Å Æ {.pV�:��¯S­,°;{.Ð#ÞaÐ'�Fq5q��� Ä·g ~ £ ¤ {'�'����{.£Ym;��{=p�{ ± qfVÝ ï g ¹X©,¥�¿SǧÈ@iÊg�Ë ¤5Ì £ ¤ q l'l'l g�Ë m Ì £ m q {.p|qXrs u�v } ­R{.Ð���r»f:Ýnï3g�iJ{Lp�q} ¯ } ¢ ¤ {.­ ¤ �T{'���'��{ } ¢ ͧ{.­�Í'�%°;{.£�{LÐ'� ��r¡ÎS�T��v��LÎ3�Tu�Î3ÏSg�­R{ ~ } Ë ¤ {.£ ¤ �T{'���'�'{ } Ë�m#{5£Ym;�5� q} ® {.Ð'� ����r»f�Ý ï g�£ ~ ­ ¤ ¤ ¢ ¤ {'�'�'��{L­�Í ¤ ¢ Í'�C{Lp�q��� } ® {LÐ:Þ\Ð'�TÞaÐ'� �TÞ À �fVÝ�ï%g�iJ{Lp�qnrzfVÝ�g�iJ{.pNq

¦ �.C*$%��� c ? c ¬KU�SL�B�-�-�-$%<=�'��-��#X��� �-����%�-�'�!�'�8EG"*�8"*9B�!)*�.�%�.�%C=�!6%�:&'"*<=%$%�-)*�-��"+�%)*,l&'"*����"+EH)=%6B�-)+�-� ?

ò1C+)*�.�N�-6%�:�.�%#%$%&'�!�.A*�Z6 ��"*�-6%�����.�F��� �!)+��,.�Ã

¹ r ÀÜ Ï �±¹!Á�² Ð ³

Ã

¹ r À0 ÜÓâ Ï �*¹!Áe² Ð �ÉÜ�á Ï �±¹!Á�² Ð 3

)*�B#

Ü ÏL² 0��lÀ�×�� ÀQÁ'Â�Â'Â�Á8�\Ã�×��7Ã3�Áe²6db² eLÐ ³�Ü â ÏL² 0A�lÀ�×�� ÀQÁ'Â�Â�Â'Á8�\Ã�×���Ã3aÁ�²6d�² e|Ð �ÉÜ á Ï|² 0A�KÀ8×�� ÀtÁ�Â'Â�Â�Á�� Ã�×���Ã3aÁ�²6d�² eLÐ)*�B#N6%�'�%&��:�-6%�:#%�'�-�.�-�'#N��� $%)*,.���L�bÜ Ï ��Á�² Ð ³ºÜÓâ Ï ��Áe² Ð �ÉÜÓá Ï ��Á�² Ð EG"*,.,�"7�8�8EG��"*< c ? c�é / c ? � ¬K?

S�^

Page 37: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

é�ê'ð ñ �<�ZCF?BðZí ì =9T>ð�� ?�í ? � �5�`ò�óõô S÷ö =ÿC ì î Ej�pAD?Bð�V>EGCF?��p=+�A+�������L� M�' hgß�I�O� %��"*�����,��J&�"*� �-)*�.�%�F)��L� M�' -�Y�I�O�ª���R)������B�-�:�-6%)*�F�8�.,.,�9��©��,.,.$%�-�-�-)+�!�'#X�.�R�!6B���I�-�'&��!�."*��8�.�!6Y®ª¯©° i± ?�SL���.�ZEG"*�:�-6%���:����)+�-"+�§�!6B)*�Z�L� M�' hgÝ�I�O���Z)*���5��$%�������"+��Ål�!6%�'�§&�)+��)*&Q6B���'A*�(��A*�'�-� �-6%���BCJ�!6B)*��L� M�' -�X�������;)+&Q6%���'A*� T7�%)+<(�',�� T+M�'�-��%�.&�$%"+$%�OB�-" "*ElB�-�'�-�'��-)*�-��"+��)*�%#N��>=&��.��� ��&Q6B��&QP ���BC�T*%,�$B��)5C*" " #«#%�')*,<="*���? ] ���&��.æ%&')*,.,�� T\"*�B�:&�"*$B,�#R$%���©)��L� ��� gß����� °���¬ &�,.$%����A+��,.�JEG"+�F%��""+EHB�-�'�-�'��-)*�-��"+�X)+�%#R&Q6%�'&QP�.�%CKT ��E��"X#B����������#HTW�-�.<=%,.��9 ���������!����&'�!�.�%C^)*�-�!��� �-��"+�]�-"R�!6%���L� ��� �� ��$%9%�����©"+E�°:?,�;$%�@T����å)+#%#%�.�!�."*�HT�)*�:����6%)7A*�)*,.����)*#B�(�����'�HT "+�%�Z&�"*$B,�#X)*,.�-"($%���:<=���!6B"#B�8)*�%#^�!6B�:�L���� gÜEG�')*�-$%�-�'�;"*EH°Ô�!"=EG"*��<�$%,.)*�-�ZM"7������EG$%,K#%�����.A*��#�.�%EG�������%&'�J��$%,.����)+�%#µ�-6%��"+�-�'< B�-"7A+�����©�8���-6µ)Y�-�-�-"+�%C§��"*$%�%#B�%�����5C+$%)*��)*� �-���?RSL� %��)*&��-��&'�J�-6%���=)+9%��,.�.�L�]�.��8�.#%��,.�«��¬ �'�-&'������#X)*�%#XC*����)+�!,.��EG)*&'��,.���-)*�-���F�-6%�:#%�����.A@)+�!�."*�X"*EH�%"*�% a�!���.A�.)*,l�-6%��"+�-�'<=��?

SL�§��6%"*���@TB�!6%�5"*�%,.�^)*#%A�)+��-)*C+���F"+E��L���� ��]�I�O����)*���U Ï ) Ð �!6B���^)*���©A*�'�-�N��)+�-�X�!"N��<=%,.��<=��� ��Å�)*�%# Ï 9 Ð�!6B���©)+�-�;��)+�-���!"Z�-�-$%#%�5)*�%#=$%�%#B�����-�-)*�%#(9M�'&�)+$%�-�;�-6%���.�D9���6%)7A �."*�/�����-"Z���!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#H?��86%�'�-�;)*#BA@)+� �!)*C+���&�"+$%,.#�9���&'�-�.�!�.&�)+, T7�? C�? T7��EM�O�;#%�'�-�.�-��)*�5��¬ &��'%�!�."*�B)*,.,��:��<=)*,.,)+�%#(�-�.<=%,��;%��" "*E%&Q6B��&QP*�'�H�.�("*��#%���V�!"Z<=���B��<=�°2��"*$B�W�!��$%���!��#�9%)*���T'"*�H��E\)1�I�O�J�.�H9����.�%CF�.� �!��"#B$%&��'#©�!"F���!$B#%��� �!�V�.�©)*�©�',��'<=��� �!)+�-�I,�"+C*�.&D&�"+$%�-���? ÷ 6%���5�!6%�'�-�&�"+�%����#%�'�-)+�!�."*�%�V)*�����%"*�/%)+�-�-��&'$%,�)+�-,.�Z��<=�"*���!)+���T��L� M�' hgå�I�O����)+�-���!"�9M�8B�-�'EG�����-�'#�EG"*�/�-6%�8)*EG"+�-�'<(�'� �!�."*�%�'#����)*��"*�B��?

SL�µEG)+&����86B��� �.�5&'"*<=���(�!"Y<=���%�.<=�32'���BCY"+$%���-�-$%���!�'#µ9%)+�-� TH�O�N�8��,.,;�-6%"+�-�-,��]��6%"7�¤�!6%)+���L� ��� g �I�O���)*,.,."7�Ô$%�8�!"�6B)7A*��"*$%�8&')*P*��)*�B#X�')*�;�.�8�!" "�UH�.�8���F���!��)*�.C*6 �-EG"*���O)+�-#��-"�<()+P*��)=�!����<=���B)*�!�.�%C=�L� M�' hgß%��" "*E ²)*$B�!"*<=)+�!�.&�)*,.,.��C*�'�%����)*�-�8)*�����$B��A�)*,.��� �O�L���� ��X%�-" "+E4`p/Ü)©�-"+ �&')*,.,��'#W#�½@¶��a· �j#%���a½�? ÷ 6%�.,.�1���F�%���'#«)©�L� ��� g�.��-����%�����!�'� A ���^"+�-#%�'�8�!"�C+���%�'�-)+�!�Z�!6%��&������!�.æ%&')*�!�&`�T\���:�%�'��#^�%"*�,��¶Q»F�%��A�T\EG"+�8"*�%&'�:�O�:6%)7A+��` ���:&�)*�&Q6%�'&QP«���8�8�.�!6R)=�L� ��� ����.��-����%�����!�'�*A e T "*9%�-)*�.�%�.�%C��!6%�:��)*<=�:&'"*�%&',�$%���."*�X�!6%)+�8���FB�-" #%$%&'��#^9 � ² ?D�86$B�8����!6B���'�%#(�!6%�;"*�B,��:&'"*<=M"+�%��� �/�!6B)*�/�O�;6%)7A+���-"��-�-$B�-�/�.�UA e T7�86%��&Q6VT�9M�'���BC�)Z�L� ��� ������ �!�'�-B�-�'�!���7T@�.�V�'<=���%�'� �!,.�����<=%,.�? ÷ �:�8��,.,l#%�.�-&'$%���8�!6%�.�F�.�X<="+�-�Z#%�'�!)*�.,W��6%"*���!,.�?

÷ �:9���C+���^9 �«"+9%�-�'�-A �.�%C(�!6%)+�8�!6%�:EG"+,�,."7�8���BC5��$%9%�����8"+E�®ª¯©°<i± �.�F�����-�'� �!�.)*,.,����.#%��� �-��&')*,W�-"5®ª¯�°�± U` U.U�³®�8�Y¿/À�686�6t¿lÃJÄÇBÈ'È@ÉHʪË�¿ñÌjÎ�` Ä\È'ÉVëHë�ìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ'ÉVÖ�ï ¿ñÌjÎ�`ÍÄ îDËn MÌ�Î|`YÀ�ÅtÂ�Â'Â'Åm`NÃ]Ë ÎVï Ï c ? �Kc*Ð

�86%�'�-���!6%�:&'"*�%���!)+� �[�;��)*�%C+����"7A*���;�-6%�Z%�-�.<=���-��A+�:<=���!6B"#B�8"*E ¦ �.C*$%��� c ? c ? ) ®ª¯�°ji± #%�'#%$%&'�!�."*�%�FC+���%�'�-)+�!�'#9 �§�!6B�()+9M"7A+�5C+�-)+<=<()+�Z�8��,.,�9M��&')*,.,��'#��K»\¶|½'? ÷ ���8�����-�aø»ù EG"*�Z�!6%�������:"+E�)+,�,�%$B�-�(®ª¯©°<i± #%�'#%$%&��-��"+�%�)*�B#N$%���Z�!6%�:,.���-�!�'�-�%`RÁ�` À Á�` e Á'Â�Â�Â\�-"��-)+�%C*��"7A*�'�Jø\ù ?

�86%��&�,.)*�.<¤�!6%)+��®ª¯©° ± )*�%#yø\ùñ)+�-�§_a�'�-����� �!�.)*,.,.�5�.#%��� �-��&')*,.b�&�)+�J9��IEG"+�-<=)+,��°2��'#«9 ��C*�.A�.�%C5)�<=��)+�%���BC* %����������A ���%CJ����"*<="*��%6%�.��<â� 9M�'�L�O�'�����-6%�(�L�O"N�-�'�!�Z"*E�#%�'#%$%&'�!�."*�%�7? ÷ �(#%�'æ%�%���è)*��)J���.<(B,��(#%����$%C+)*�����%C�!6B)*�;<=)*%�F)+� �=®ª¯©° ± #B��#%$%&'�!�."*�^�.��-"�)=%$%���I®ª¯�° i± #B��#%$%&'�!�."*�^)*�8EG"+,�,."7�8�7U

�X0 0 ´I¶Q·G¸(¹.º:»\¼ ½«¿ À Á'Â�Â'Â�Á�¿ à 3 3 ³ �-´I¶Q·G¸(¹.º:»\¼ ½Y¿ À Á�Â�Â'Â�Á'¿ Ã Ï c ? �"��Ð�X0 0 Ç%È@È@ÉHʪË�¿ñÌjÎ ² 3 3 ³ Ç%È@È'ÉVʪË�¿ ÌjÎ@�R0 0 ² 3 3 Ï c ? �"S�Ð

�R0 0 È@ÉHëVëDì�È'Ë'í�Ç%îHÈ@ÉVÖ@ïÔ¿ñÌjÎ ² 3 3 ³ È'ÉVëVëDìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ@ÉHÖ�ïÔ¿ ÌjÎ@�X0 0 ² 3 3 Ï c ? � 2 Ð�R0 0 ²«À Å ² Æ 3 3 ³ îDËn MÌ�Î@�X0 0 ²�À 3 3LÅø�X0 0 ² Æ 3 3�Ë ÎVï Ï c ? �"^�Ð

ú �B#%���8�-6%���1<()+%%�.�%C�TEG"+�8���B�-�-)*�%&'�T �-6%�Z®ª¯©° ± %�-" "+EÇ%È@È'ÉVʪ˧ӵÛXãèÌjÎîDËQ MÌ�Î

Ö@ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVï�ÓµÛXã(ÅØjË × ÕLí@ÇBÎHï�Ó ÛXã(ÅîDìMÕ�»Ôã�Á�Ó

Ë ÎHï!Sû� > ü�~Q}�ÿ �Q�p�p� > ý/{p} > {p�p�0O4z��|�Q�8�Qz|��{pz|�'}�}��1}jyaz|~Q}8�-�\�\�B�4�-�L��u7�\�-� � �5~Qý�~���y�{p�;{p}j{��QzO�|�Q��ý�}�y����|}��Qÿ�ü\ýxþ Á�ÿ }�ü�{pý��@�'z|ýD���Q}

~��4z|�!}��Q��yW��{pý��!�@ýaýa{p�Q�I{p�I~Q�8NFýa��O@ýa}j~Q�'}j{p~Q� > ~DN��

S�_

Page 38: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

&�"+�-�������"*�%#%���!"��-6%�:%$%����®ª¯©° i± %��""+EÇ%È@È'ÉVʪ˧ӵÛXãèÌjÎîDËQ MÌ�Î

�QÖ@ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVï ÓµÛXã(Å�QØjË × ÕLí@ÇBÎHï Ó ÛXã(Å�QîDìMÕ�»ñã Ó

Ë ÎHï�86%�5�L�O"N%�-" "+EG�1,.""+P^A�.���!$%)+,�,.�^��#%�'� �!�.&�)*,V)*�B#§9M�'6%)7A*�5���Y�!6%�(��¬ )+&��1��)*<=�©��)7�?1SL�§C+���%�'�-)+, TB��E��O�5�-�'�-�-�-�.&��"*$B�-����,.A*�'�V�-":%$%���;®ª¯©° i± #%��#B$%&��-��"+�%�����;)*���8�����-�'��-��)+,�,.�©$%���.�%CZ®ª¯©° ± ?��86%�F%��" "*EG���8�.,�,M9M�8������-B��&'$%"*$%�D/)*,.9����.��M"+�!��� �-��)+,�,.��,."*�%C:)+�%#=�!�'#%��"+$%�D/ð)+�%#=%�-" "+EM&Q6%�'&QP ���%CZ�8�.,�,M9M�1C*$%)+�-)+��-���'#��!"��!����<=���B)*�!�8�.�=,��.�%�')*�D�-��<=�"*�X)7A*�'�-)+C*� ?��86B�:EG"*,.,�"7�8�.�%C=,��'<=<()�)+�-�������!�8�-6%�:&�"+�-����&'�!�%�'�-�8"+E4�^Å\�.�8&�)*�^9��:%��"7A*��#X9 �J)����!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#�.�%#%$%&'�!�."*�^"*� ² UZ Ë ÊªÊªÇ6D[F]D��J^ Ý ÉVÖ�˧ïVËïVÉ-�*Õ�Ì�ìMÎßÌ�È'ì�ʪì�Ö@ë-»VÌjÈ@Ê@a²W³ ß[àzá ã ²;´ ¿è· ! ²v³ ß[àzá*âã �X0 0 ² 3 3 ´ ¿�K�86%�Z�%"+�!�."*�X"*EV�-�°2��ZEG"*�;®ª¯�° ± #%�'#%$%&'�!�."*�%�F&')*���-�.���;"7A+����#%������&'�!,.�J�-"(B$%�-�Z®ª¯�°ji± #%�'#%$%&'�!�."*�%�7U

Ù�� Ï �8�Y¿�À*686�6t¿là Р³ �Ù�� Ï Ç%È'È@ÉVʪË�¿¤ÌjÎ�` Ð ³ c ��Ù�� Ï ` Ð

Ù�� Ï È'ÉVëHë�ìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ'ÉVÖ�ïÔ¿¤ÌjÎ�` Ð ³ c ��Ù�� Ï ` ÐÙ�� Ï îDËn �ÌjÎ�`§À@ÅQÂ'Â�Â'ÅP`«ÃåË ÎHï Ð ³ Ù�� Ï `YÀ Ð ��686�6���Ù�� Ï `Nà Ð

�86%�Z�%�'¬�8,.��<=<=)=�-6B"7�8���-6%)*�8)=%$B�-�Z#%�'#%$%&��-��"+�6`è6%)*�j2'����"5&'"*<=%$%�-)*�-��"+�%)*,l&'"*���@Å)*�B#N�-6%)*�8�.�!�F#B��#%$%&'�!�.A*�&�"+�-�;�.��� Ï Ù�� Ï ` Ð!Ð ?�ò1&�&'"*��#%�.�%C*,.�T+&Q6%�'&QP�.�%C=)=%$%���:#%��#B$%&��-��"+�N���8� $%�.�-�'�8��¬ )*&'�!,.�«)*�8<5$%&Q6X��¨�"*���8)*�8�!6B�:�-�°2��"*EH�!6%�:#B��#%$%&'�!�."*�H?Z Ë ÊªÊªÇ6D[F]D[D�§½X���*ö@½HÜ â Ï `§Áe² Ð ³�¬Oó@ô*¶�½@ö'½@¶��(�K»\¶|½k`}K I=#D#�ô+¶|õ*·$& B ¼��ûO�Ü Ï `§Áe² Ð ³tÜ á Ï `§Á�² Ð K c�&E�+õ*õ+·$��·Gô"&ÞOÜ á Ï `^Áe² Ð ³� Ï Ù�� Ï ` Ð-Ð O(�"&Bõa�G�+½'¶|½Gó@ô*¶!½�Ü Ï `§Áe² Ð ³�� Ï Ù�� Ï ` Ð-Ð ó@ô*¶��*¼G¼�² K÷ �:�%"7�Ô�!$B�-�^"*$B�8)*�!�-��� �!�."*�X�!"��-6%�:��$%9 [!��&'�8"*EH&������!�.æ%&')*�!�'��UZ Ë ÊªÊªÇ6D[F]D[\J^ ~ Ë Ö�Õ�Ì]�C�+Ç%Õ�Ë Z Ë ÊªÊªÇba:¾�ô*¶�½'ö@½'¶��~#�ô"&Bö@½'¶$B ½ &H��õ*½�õ*»F# �a·Gô�& ² �G�+½'¶!½5·$�=�"&�½ �'»\·Gö �*¼ ½�&f���K»\¶|½õ*½�õ+»F#��a·Gô�&Y`6K �^ô*¶|½R�K¶|½%#'·$��½@¼��ûO%ó@ô*¶E�*¼G¼ ² O�· óX²!³ ²;´ ¿ �G�+½�&5���*½@¶|½�·$�b�E��»\¶!½-` ��»F# �©�G�"���T²!³` ´ ¿�K��½��%��������"�U` ·$�=�Y�+ËÖ�Õ'ÌH�-�*Ç%Õ'ËZó@ô+¶ ² K

�86%�©,.��<=<=)J�.�!����,.E/�����%"*�1�-$%��%�������.�%C�)*�F)+,�,L?OSL�1�.�1)«#B������&'�F&�"+�-"+,�,.)*���«"*E/�-6%��&'"*<=%,.���!�'�%�����1"+EV®ª¯©°�±�����!)+�%#%�'<ê�8�.�!6N�!6%����"*$%�%#B�%�����O"+EK®ª¯©° i± UH�.E±²v³ ß�à-á�âã ²¸´ ¿Ô�!6%�'�HT+9 �(�-6%���-"+$%�%#%�%�'�-��"*EW®ª¯©° i± T+�O�I6%)7A*�²µÄ ³Ô¿�Å@9%$B���!6B���HT'9 �I�-6%��&'"*<=%,.���-���%�'�-�H"*E®ª¯©° ± T'�!6%�'�-�����H)8®ª¯©° ± %��" "*E ² e ��$%&Q6:�-6%)*�T²V³ ß[àzá ã ² e ´ ¿�T)*�B#©�!6%�'�-�'EG"*�����X0 0 ² e 3 3���V�!6%��#%�'�-�.�-�'#:%$%���D®ª¯©°<i± #%��#%$B&��!�."*�V? ÷ 6%)+���.�/<("+�-����� �!�'�-�'�-�-���BCFEG"*�V"*$%�H%$%��M"+�-�'�H�.��!6B)*�D&'�����!�.æ%&�)+�!���O&�)+��9M�I<(�'&Q6%)*�B��&')*,.,��(&�"+�%�-�-�-$B&��!�'#�EG"*�O)*��9%���-�-)+�-��#%��#%$B&��!�."*�B��? ] ���&'��æ%&')*,.,�� T4�.� ¦ �.C*$%��� c ? c*c�����.�%���!��$%<=��� �;�!6%�:�.� �!�'�-%�����-���*Aª"*E ] ��&'�!�."*� c ? é ? c �-"�)*���-�.A*�I)*�8)=�%�'���.��-����%�����!�'� A��ê�!6%)+�8%��"#B$%&��'�8�%"*�"*�B,��5�!6%�F&'"*�%&',�$B�-�."*�="*E�)©#%�'#%$%&'�!�."*� ² ����)�C*�.A*���Y²;T49%$%�O)*,.�-"Z)©%$B�-�8#%�'#%$%&'�!�."*��`ê�-6%)*�����O"*9%������A�)*�!�."*�B)*,.,���8� $%�.A�)*,.��� ���!" ² ���~²;?V�86%�Z#%�'æ%�%�.�!�."*�^"*E4A��ê�-���$B�������;�!6B��EG"+,�,."7�8�.�%C=<(" #%�.æ%�'#NA+�����-�."*�N"*E;½@ö �*¼¾¹L¸(½����*¹��+¶ BF�7Uö n-e�ü�h�nmú%2tm hjgOnmü.9th52te56%7�xF8:9teC2;7 n37 Ð 0 Ð.<�� ��qYm n ü�>Bx � � Ð ú32tm 7 Ð 0 " Ð���� �Mq@DC? Ò3Òú%2tm 7 Ð 0 " Ð ? Ò��� E>Bx�ÃIopo A Ð ú%2tm 7 Ð 0 " Ð���� �WqB>Bx�A Ð.< x�à Р0 �jopo ú32�m 7 Ð 0 " Ð���� �>Bx�È©opo A Ð ú%2tm 7 Ð 0 " Ð���� �Wq]m nmü�D 3 Ð�� EMq <�� xAÈ Ð 0 �f ù >Bx_A Ð 3 opo ú%2tm 7 Ð 0ª" Ç�Ì 3 Î Ð�� opo ��� �f ù >BxF8:9�e52;7 n37 Ð � � Ð Ê Ð � �j�

S Õ

Page 39: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

f���g.h5ikj ¤#l'l'l j�m:o p|q�rts u�vxwyrzf�g�i^{.p|q}�~ w ¤ {'�'���'{.w:m;��{.pV�S{ ~ � ¤ {��'���'{ � ÍS� ��r¡ÎSu��Sv=�Lu��3�Ts �L�,u3v��T�L�T�F���Sg ~ j ¤ {'�'�'�'{Ljnm;��{.p�{=f��,q���|� ��wz����� � � � v � ��uY�,u�v=�T���[�����u���� } ���T��s �3� ��� � �,�L�xu�v=��g_�B{ ~ w ¤ {'�3�'�'{.w m ��{=p`�Op��Fq {�¶§ª ·«_¬ � ¤3à �'�'��{ � Í Ã hL� w ¤ {��'�'�'{.w m ªV¬;¹#����T� � ��wz�^�,u3v��T�3�J���[v��Tu����T�S�É R¢ ¤ {��'�'�'{.¢3mx�.£a�

��u3���|s u�v } w·ßH{ � �nrzf���g_£ ~ w ¤C¤ ¢ ¤ {'�'���'{.w:m ¤ ¢3m;��{.p`�OpV��q��� } w ß {�¶§ª%Ân«�¬ � ¤'à �3�'�'{ � Í Ã � à ªN¬;¹#����T�^u��S�5�T�Sg qf���g ¥§¦�¦�¨�©,ª1i�«�¬£OqXrts u�vT­\rzf�g�i^{.p|q} ® { � ��rzf���g�£�{Lp`��¯S­,°�q��� } ­�± ® {�¥�¦�¦�¨:©Oª�­º«�¬ � �f���g ¦�¨:³�³§´�¦�ª%µL¥·¶T¦�¨:¸.¹\it«�¬�£[qXrºs u�vT­\rzfXg�iJ{.pNq} ¼ ¥·½ ¦�ª·{ � ��rzf���g�£�{Lp`��¯S­,°�q�_� } ¾ ­R{�¦�¨�³:³�´�¦�ª µL¥#¶;¦�¨�¸.¹\­º«_¬ � �f���g ¹�½ ª ¿J¢Rryi�«�¬£OqXrts u�v w·À`r»fXg_iJ{.p�q} ­R{ � �nrzf���g_£ ~ w#À ¤ ¢3�C{Lp�q��� } ­R{ � �f���g ¹�½ ª ¿J¢Rry£Y��«�¬²£[qXrºs u�v } ­�{ � ���nrzf���g�£Y��{.p|q} ® { � ��rzf���g�£ ~ ­ ¤ ¢���{5p���¯�­x°Cq��� } ® {�¶§ª Ân«�¬ � � à � ªN¬;¹#�f���g�i�¶%Áa£[qXrts u�v } ­�{ � �nrzf���g�£�{.p�q® rzf�g�iJ{Lp�q�_� � ��­\r ® v=�Tu � } ­R{ � �Yu�s ��uJu3�S�5�T��gFqf���g.¶§ª Ân«�¬£ ¤ à �'�'� à £Ym�ªV¬;¹Ó{.p�q�rts u3vxÄ·g ~ £[��{.pV�S{ ~ � ¤ {��'�'�'{ � ÍS� qXrºs u�v } ­R{ � ��rzf���g�£{.p�� q��� } ­�{�¶�ª Ân«�¬ � Í Ã �'��� à � ¤ à � ªV¬T¹·�Ä·g�£ ¤ Å Å £ § Å Å Æ {.p���{! #"�q�r�s u�v } ­R{ � ¤ ��rzf���g_£ ¤ {.pV��q��� Ä·g�£ § Å Å Æ {.p � ��¯�­x°T{ � ¤ Å Å #"�q5q��� Ä#g ~ £ ¤ {'�'�'�'{L£xm��C{Lp�{ ~ � qf���g ¹�©O¥§¿�Ç�È@i÷g�Ë ¤.Ì £ ¤ q l'l�l g�Ë m Ì £ m q {Lp|q�rts u�vT­\rzf�g�i^{.p|q} ¯ } ¢ ¤ {.­ ¤ �T{��'�'�'{ } ¢ Í�{.­�ÍS�%°;{.£[��r¡Î��TuSÎ�Ï�g�­R{ ~ } Ë ¤ {.£ ¤ �;{'�'�'��{ } Ë:m#{L£Ym;�C� q��� f��²g�£ ~ ­ ¤C¤ ¢ ¤ {'�'�'��{.­�Í ¤ ¢ ÍS��{.pNq

¦ ��C+$%��� c ? c+c U ­ �����!�.æ%&�)+�!�' �C+���%�'�-)+�!�.�%C��.� �!����%�����-���8EG"*�;®ª¯�°ji± #B��#%$%&'�!�."*�%�7?

SL�Z���:)X�-�-�-)+��C+6 �!EG"*����)*��#R���%#B$%&��-��"+�Y"+� ² �!"X%�-"7A+���-6%)*� A &�"*� A+����C*��� Ï ������M�'&��-��A+��,.�TKEG)+��,.�Z"*�Z#%�.A*����C*�'� Ð"*��C+��A+��� ² )*�%#,² �.¨�A$�Ò&�"+� A*����C*�'� Ï ���������&��-��A+��,.�T*EG)*�.,���"*�O#%�.A*����C*�'� Ð "+� ² )+�%#,²8Å+)+�%#«EG$%���!6%�'�-<="+�-� T7�!6B)*�A Ï|² Á�² Ð ³ß¿Ü��¨ Ï´u ` Ð A�� Ï|² Á�² Ð ³�o!¿�Á�`Wt-? ÷ �8�8��,.,\�!6 $%�D&'"*� �!�.� $%�;�!":��M�')*P©"+EB):#%�'#%$%&'�!�."*� ² &'"*� A*�'�-C+���BC"*�N�-"+<=�<² �8�.�!6%"+$%�;�-���&'��EG� �.�%C5�86B���!6B���8���I)+�-���-�'EG�����-�.�%C5�!"(�!6%�Z&�"+� A*����C*�'�%&��1"*E¨A%� "+��"+E�A Ï "*�7T+EG"*�;�!6B)*�<=)*�-�!���7TK"+EtARÜ�T�ARÜÓá+TW"*�%ARÜÓâ Ð ?(ò1�%#å,.��P+���8�.�-� TK�O���8�.,.,��-���)+P�"*E«_a�-6%��A�)*,.$%��b^"*EO) ² �.�å�-"+<=��² �8�.�!6%"+$%�9�"*�!6B�������%C=�-"(�����&��.EG�J�86B���!6B���F�-6%�:A�)*,.$%�Z���8"+9%�!)+���%�'#^EG�-"+<ØA��ê"*�8EG��"*<ØA8?

¦ "+�O)+�� ² �-6%)*��&�"+� A*����C*�'�D"*�p²ª���1#B��æ%�%�&� Ï|² Á�² Ð )+���!6B�I%$B�-��#%��#B$%&��-��"+�«%��"#B$%&��'#«9 ���-$%�B�%���BC-A��"*� ² )*�%#~²;?-'§"+�-�Z%����&'������,.�T

� ÏL² Áe² Ð ³_` ��¨ ÏRu ¿ Ð A%� Ï|² Á�² Ð ³�o!¿�Á�`Wt|Â÷ �:&�)*,.,'� Ï|² Á�² Ð �!6%�ª_a&��'�-�-��æB&�)*�-��b("*�8�-6%�X½rd �F��&f��·Gô�&^"+E ² �.�a²8?/òI&�&�"+�-#B���%C+,�� T�!6%��"*9%������A�)*�!�."*�B)*,K�8� $%�.A�)*

S�é

Page 40: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

,.���%&'��"+E ² )*�B#X�-6%�:%$%���Z#%��#B$%&��-��"+�XB�-" #%$%&'��#X9 �=A�� Ï|² Á�² Ð ���8�'¬ %�-�'�-����#X9 �«�!6B�:EG"*,.,�"7�8�.�%C=�8� $%)+�!�."*�HUA Ï � Ï|² Á�² Ð Á�² Ð ³@A ÏL² Áe² Ð Â

�86%�©&'�����!�.æ%&�)+�!� � Ï|² Á�² Ð &�)+�^9M�5�-�'���^)*�I�!6%�å_ �!��)*&'��b="*�^_ � ���',�#%b�B�-" #%$%&'��#R9 �J�'A�)*,.$%)*�-���%C ² ���u²;?OSL�)������%���T%���I���F�-6%�8[!$B�-�-��æ%&')*�-��"+�R�!6%)+�F�!6%�5���B�-�-�-$%<=�'��-��#R�.� �!����%�����-���BA��ñ%�-" #%$B&����1���R"+�-#%�'�F�!"J9%)*&QPN$%R���-�&�"+�%&�,.$%����"+�H?HSL�;&�"*�B�-�.�-�-�8"*EV��A+������%�-�.<=���-��A+�� a<=���!6B"#X)*B%,��.&�)+�!�."*�X)*�8����,.,l)*�8�'A*������6 � M"+�!6%�'�!�.&�)*,l#B��#%$%&'�!�."*�)*�B#µ%��" "*E19 �ª&'"*� �!��)*#%�.&��-��"+�µ�.�ð�B"*�% a%6%)+��-"*< �"*�����-��"+�%�������EG"*��<(�'#ð#B$%�-�.�%C]�!6%�^�'A@)+,�$B)*�!�."*�Ü"*E ² �.�!²;T���!�����%C+��#N�!"*C+���-6%���8�.�^�!��<=�"*��)*,l"+�-#%�'��?

SL�F�.�1"*EV�.��-���������8�!"«&'"*�%���.#%���F�-6%�©&'"*<=%,.��¬ ���L�N�-�',�)+�!�."*�%��6%�.N9����L�����'�R)�#%��#B$%&��-��"+� ² )*�%#^�.�!�1&'�����!�.æ%&�)+�!�� Ï|² Á�² Ð �.�N��"*<=�X²8?HSL�;���8&',��')*���!6%)+�;��A�)*,.$%)*�-���BC ² ���~² <�$%���;9M�Z)+�O,.��)+�-��)*�;��¬ ����%���.A*��)*�;��A�)*,.$%)+�!�.�%C5�-6%�&��'�-�-��æB&�)*�-�(� Ï|² Á�² Ð �.�:²;T����.�%&��5��A*�'�-�X���!��Y<=)*#%�59�^�-6%�5&'�����!�.æ%&�)+�!�5<�$%���I)+,���"«9��5<=)+#%��9 �^�!6%�("*���.C*�.�%)*,² ?C�;$%�D6%"7�ß<5$%&Q6�&Q6%�')*����)� ÏL² Áe² Ð �8�.,.,B9��I#%�'M�'�%#%��,�)+�-C+��,.��"+��6%"7� EG"&'$%����# ² �.�7?WSL�«C+���%�'�-)+, T4�86%���J�O�%��" #%$%&��8)�&������!�.æ%&')*�!�1EG"*�D��"*<=� ² ���^_a�-6%��"7�ð)7��)7� bI)+,�,M�!6%�I&�"*<=%$B�!)*�-��"+��M�'�-EG"+�-<=�'#(9 � ² )*�%#�P+���'�"*�%,.��!6B"*���I%���.<(�.�!�.A*�:�.�%EG�'�-�'�%&��'���-6%)*�8)+�-����������� �!�.)*,lEG"+�8�!6%�Z#%�'�-�.A�)*�!�."*�X"*EH�!6%�:æB�%)*,l&'"*�%&',�$%���."*�H? + SLE ² M�'�-EG"+�-<=�)=,�"+�8"*EV&�"+<(B$%�!)+�!�."*�HT � ? CK? T%)(,."*�8"+EHB)*�!�-�����^<()+�!&Q6%�.�%CKT�!6%�'�R�!6%�:��)7A ���%C+�;�8��,.,�9��:�-$B9%�-�-)*� �!�.)*,l9���&')*$%���:)*,.,�!6B)*��&�"*<=%$B�!)*�-��"+�«�8�.,�,l9��I#B����&�)+�-#%�'#H?���$B���.E ² ���;EG)*�.��,���EG" &�$B�-�'#J)*�B#«#%" ���;�%"+�O�����EG"*��<ù<()+� ��C*��)*�!$B���-"*$%�&�)+,�&'$%,.)*�!�."*�B���-6%���^�-6%�Z�-)7A �.�%C*�;�8�.,�,W9��Z<=���%�.<=)*,L?VSL�%#%�'��#HT �.�^�!6%�Z�'¬�-�-�'<=��&')*��� ² <=�.C*6 �;9M�:%$B�-�Z�!"=9���C+����8�.�!6HT%���^�86%�.&Q6R&�)+�-�Z�.�FM�'�-EG"+�-<=�<2'����"=&�"*<=%$B�!)*�-��"+� Ï �H��<=<=) c ? c*c*Ð )+�%#R&�)+�X������A*�Z)+�F���-�F"7�8�^&��'�-�-��æ%&')*�-�Å�.�N�-6%)*�8&')*�������Z�8��,.,W6%)7A+�*� ÏL² Áe² Ð ³ ² )+�%#^�!6%�:��)7A ���BC*���8��,.,W9��=2�����"�?Z Ë ÊªÊªÇ6D[F]D[v�ÜÓá Ï|² Á�² Ð ³ºÜ Ï � ÏL² Áe² Ð Áe² Ð K�86%�©)+9M"7A+�©�.��-$%�.�!�."*�%��&�)+�§9M�5<=)*#%�5%�-�'&��.�-��)*�1EG"+,�,."7�8�7? ¦ "+�1)*� � ² �!6B)*�1�.��&�"*� A+����C*��� �8�.�§)«C+��A+���u²8TB,.���$%�8#%�'æ%�%�:�-6%�a�G� ½�½�õ*¹L» �^"+E ² ���a²;T\#%���%"+�!�'#�Ù�+ ÏL² Áe² Ð T\)*�

Ù�+ ÏL² Áe² Ð ³�Ü Ï|² Á�² Ð y Ü Ï � ÏL² Áe² Ð Áe² Ð Â�86%�.�8�-�.<=%,.�J��)7��;�-6%)*�8�-6%�:�-����'#% a$%^)*&Q6%�.��A+��#J9 �«�-6%�:&��'�-�-��æB&�)*�-�Z���F��� $%)*,l�-"(�.�!�1&�"*���;#%�.¨M�'�-�'�%&��:EG��"*<ñ�-6%�"*���.C*�.�%)*, ² Ï �!6B���b� $%)+� �!�.�L�§�8��,.,D)+,���)7� ��9����%"+�% ��B��C*)+�!�.A*� Ð ?�ç1"7� �-6%�����!)*�-��<=��� �Z�!6B)*�]_a&'�����!�.æ%&�)+�!�'���-6%��"7�)7��)7�(&'"*<=%$%�-)*�-��"+�%b=���8EG"+�-<=)*,.,.�«&�)+%�!$%����#X9 �J�-6%�:EG"*,.,�"7�8�.�%C(�-�'�-$B,���UCb»VË ìMÖ�Ë ÊEDGFHDGx Ù�+ ÏL² Áe² Ð ³�Ü�â Ï|² Á�² Ð Kòc &W��ô*¶|õ"�mO��G�+½Y�G�\½�½�õ+¹L» ����# �*·G½@ö@½�õ©º �-,3�K»\¶Q· ó �7·$&.B/. ² ·$����¶|½%#@·$��½@¼��½ �'»F�+¼T�aô�G�+½Y#�ô+¸<�K»F�G�"��·Gô"&H�*¼C#�ô��%�Oô ó ² KÝ Ö�ìWì�×gf��;�N#%��æ%�B���-��"+�HT

Ù�+ ÏL² Áe² Ð ³�Ü Ï|² Á�² Ð y Ü Ï � ÏL² Áe² Ð Áe² Ð Â Ï c ? �"_�Ð�;�«���'<=<() c ? c�S T:Ü Ï � Ï|² Á�² Ð Á�² Ð ³tÜRá ÏL² Áe² Ð T 6%���B&�� c ? ��_ C*�.A*�'�

Ù�+ Ï|² Á�² Ð ³ºÜ ÏL² Áe² Ð y Ü á Ï|² Á�² Ð Â Ï c ? � Õ Ð�;$%�;9 �J�86%�'"*����< c ? . TVÜ Ï|² Á�² Ð ³ºÜÓâ ÏL² Á�² Ð �ÉÜÓá Ï|² Á�² Ð T )+�%#X�!6 $%� c ? � ÕF� �.��,.#%�&Ù�+ Ï|² Á�² Ð ³tÜÓâ ÏL² Á�² Ð ?

�;������#%�'�Z���%&'�-�')*����#§�'>=&��.���%&'�T�&��'�-�-��æB&�)*�-���Z6%)7A+���!6B�()+#%A�)*� �!)+C*�©"+E�9����.�%CX%$%���5#%�'#%$%&'�!�."*�%�7T�)*�%#]6%�'�%&��A*�'�-�5�-�.<=%,.�F)*�%#��')*���5�-"©�!��$%���@?H�86%�.��<=��)+�%���-6%)*�O)©&��'�-�-��æB&�)*�-�� aC*�'�%����)*�-���%CZ�L� ��� gª�.� �!�'�-%�����-���D��$%&Q6�)+�kA��)*,.,."7�8�D$%���!"�6B)7A*�F�-6%�19������O"+El9M"+�!6«��"*��,.#%�1/Ü�!6B�F��¬ %�������-�.A*�8�"7������"+El�L� M�' hgµ�����H��)*�B#«�!6%������<=%,.��&'���L�="+E$!0

ü@{pý�{pý��@�Q};}���ýa~1N(}jü�~Q};}jü�z�y�z|ýa���p}j{p��þ©�|z!y�}�{21@�!~Q}jz > {p�p�±O4z�~Q�����@}�{p�;~Q�W��z|���@�!}j{p�Q�J{p��~Q��N5ýaz|��ýaz��437~QyOÿ�y��Q�Ý{p}D�B{p} > {p�p��p{��Qz|��N�ü�~1�Qz;ýaze�Qz|ya~Q�Mýa�Q��y��|z!ý��Qÿ�yaz|�������@~Q���eN:��~Q{��Qz|��N:�!y�z|~Q}�z|��O�N:}jü�z;zR�8��~Q��ýa{p�Q��~Q�pþQ�Qya{p}jü��b�7~Q�p}jü��Q��þQü(���Qýa}/�QÿK}jü�z|ýaz��!~Q��O4z�;z|� ü�~Q�@{p�!~Q�p��N1yaz|�;�1�Qz|�=O�NI~8ýa�;~Q�p� ������O4z!yH�QÿMý�{p�����pzD����}j{p�;{25|{p��þ8}jya~Q��ý�ÿ��Qy��;~Q}�{p�Q�@ý ÿ ýaz|z76 ü�~���}jz!y í �Qÿ<K98/z|���Q}j~Q}j{p�Q��~Q��:Mya���Qÿ; ~Q��þQ�@~QþQz!ýGM�� ì � �

S�.

Page 41: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

H@IKJ�LNMPO>J1bVXcXZd ÿ< WKYVbVg1TVYVLNon^mW+TVYVbVg1|}LhWeYVLhoY�IKJ�LNMPO�^mWKYVLNbVJ+bVLNYVLNb = = =�>Z¿

? ? ?�@x&LNbVYV^_¢1qK[�YVLBA C

H&bVg1TVYVLNoYkIKJ�LNMP�¯^_WKYVLNbVJ+bVLNYVLNb ¿

¦ �.C*$%��� c ? c�� UW�86%�:C+���%�'�-)+�!�."*�N)*�%#XA�)*,.��#%)+�!�."*�^"*EH&��'�-�-��æ%&')*�-���7?

�L� M�' -�(�������7?l�86B)*���.�7T@�O�O&�)*�:�8���.�!��)I#%��#B$%&��-��"+� ² �.�©)1�L� ��� g��I�O��T�<=)*P ���BCFEG$%,.,$B�-�O"*E\�!6B�O&'"*� A*�'�%���'�%&��"*EK<=���-6%" #%�7T4����&'$%�-���."*�HT��'�!& ?�T*)*�%#�"+�%&�� ² ���OEG$%�%&��-��"+�%)*,M)*�%#�&'"*���-�'&��-,��5%�-" #%$B&������!6%�I#%����������#=&'"*�%&',�$%���."*�R¿�T���:&�)*�X��$%�R���8�-6%��"*$%C+6X�-6%�©&'�����!�.æ%&�)+�!�� aC*�'�%����)*�-���BC5�.� �!����%�����-���8)*�B#X"+9%�!)+���^)+�X��� $%��A�)+,��'��8B$%�-�:#B��#%$%&'�!�."*�`�?��86%���§�.E/�O��6%)7A*�©�-"«&�"+� A�.�%&'�:)«�-P+��%�-��&')*,H)*C*�'� �=|ª)*9�"*$%�5¿�T%���©����<=%,.�N��$%9%<=�.�1�-6%��&'�����!�.æ%&�)+�!�2`Í)*�"*$B�V�'A ��#%�'�%&�� ?(|X&�)+��&Q6%�'&QP2` �8�.�!6=)I�L� ��� ��«�.��-����%�����!�'�/EG"*�/%$%���;#%��#%$B&��!�."*�B��T4�86%��&Q6(&�)+��9��8��<=%,.��<=�'��-��#�.�X)+9M"+$%�F"+�%�:%)*C+�:"*EV&�" #%� ?D�86%)+�8"*�%�:B)*C*�:"+EH&'" #%�©�.�F$%,.�!�.<()+�!�',��X�!6%��"*�%,.�J&'"*<=M"+�%��� �8�-6%)*�b|å�%�'��#%�I�!"�!��$%���@?I�86%�.�IB�-" &��'�-�7TM#%��B��&'�!��#Y��� ¦ ��C+$%�-� c ? c�� T%�.�Z�!6%�(<=)*�.�§��#B��)X9M�'6%���B#��!6B�5�����Ü)*%B�-"+)*&Q6R�!"@#�½'¶��a· �8½�õ#�ô*¸X��»F�����a·Gô�&^0 � 3L?

é�êZé�D : T>ð8�uADCFADEkT � í � ô S ö =

®ª¯©° i± #%�'#%$%&'�!�."*�%�5&�)*�å9��J"+�-#%�'�-�'#Y)+,�"+�%CR)§&'"*� �!�.� $%$%< "*�ª�!6B�«9%)*���.�©"*E;6%"7�ù<�$B&Q6ª&�"*<=%$B�!)*�-��"+�å�!6%�'������EG"*��<R? � �X"*�%�Z�'�%#^"*E��-6%�:��M�'&��!��$%<ñ���:6%)7A+�I%$B�-�Z#%�'#%$%&��-��"+�%�7T�86%��&Q6^6%)7A+�[2'����"5&'"*<=%$%�-)*�-��"+�%)*,l&'"*���@?��$B�-�Z#%�'#%$%&��-��"+�%�F)+�-�ZEG" &�$%����#VT\%��" &����'#N�.�RA*�'�-�J�-<=)*,.,l���!��B��T%)*�%#^&�)+�^9M�:&Q6%�'&QP*�'#N�.�R,��.�%�')*�8�!�.<=�? � �X�-6%�"*�-6%���H���%#5�O�O6%)7A*��EG$%,�,. a9%,�"7�8���L���� g�%��" "*EG�7T@�86%��&Q6�$%�-�O$%�%�������!����&'�!�'#©���-����)*�-��"+�©)*�%#�&�"*�B#%���-��"+�%)*,9%��)*�%&Q6B���%C)*�B#]&')*�å�!6 $%�����%&'$%��)+�-9B���-�-)+�-�.,��R,.)*��C*�=&'"*<=%$%�-)*�!�."*�B)*,D&'"*���@? ] $%&Q6å%�-" "+EG�©&�)+�]�'¬ M�'�%#ª)R,�"+�:"*E;��¨�"*���:"*�����)*��&Q6%�.�%C�TB&�)+���-)*P*�5,�)+�-C+�����!�'%�ZA�.)J#B������A+��#��.�%EG�'�-�'�%&��(�-$B,��'� Ï #%��æ%�B��#]<(�'�!6%" #%� Ð Tl)*�%#Y&�)*�B�%"*�����YC*�'�%����)*,9��N&Q6%�'&QP*�'# ��>=&��.��� �-,�� ?]SL�µ9����L�������ð�!6%�'�-�X�L��"Y�'¬�-�-�'<=���(,��.���=)�6B���'�-)+�-&Q6 �]"*EF&',�)+�-�����("*EFB�-" "*EG�7T/����)+#%��,.��.#%��� �!�.æ%)+9%,��=9 �R���� �-)*&��-��&=&'�-�.�!�'�-�.)N)+�%#]&Q6%)*��)*&'�!�����°2���#�9�R�-6%��)*<="+$%� �I"+EO&'"*<=%$%�-)*�!�."*�Y�!6%)+�:��)+&Q6�)*,.,."7�8��?�86%�����Z&�,.)*�������;"*EH%�-" "+EG�8)*%���)+�8%)*���!�.&�$%,.)*��,.����� �!�'�-�'�-�-���BC()+�%#X$%�-�'EG$%,LU

*,+'*FE�+'* G ú�ûFôBüIH û  l�lkÓ �÷ �:#%��æ%�B��)�K¶|ô��\ô���·$�a·Gô�&f�*¼7ó@ô*¶Q¸KJè)+�8EG"*,.,�"7�8�7U

JéU.U�³@�XÄ\ÓÔÄ\Õ�Ö�ÉVË=Ä× Ç%Ø�È'Ë�Ä%Ù�J ÄLJ À Û(J Æ ÄMJ À Þ(J Æ ÄLJ À àNJ Æ ÄLJ À áOJ Æ Â91�'�%&�� T\)+�F)*9%���!��)*&'�;�-� � �!)+¬J�!�����'��T\%�-"+M"+�-�.�!�."*�B)*,lEG"*��<=�F6%)7A+�:�!6%�©��)*<=�:���!��$%&��-$%���:)*�F%��"*�"*���.�!�."*�%�7T ��¬ &'��%��!6B)*���.#%�'��-��æB������)*���«)+,���"§)*,.,."7�O�'#])+���-6%�J,.��)7A+���©)+,�"+�%C§�8�.�!6 )+�!"*<=�5)*�%# �-6%�J&'"*�%���!)+� �!��Õ'Ö�ÉHËN)+�%# × Ç%Ø�È'ËB?ç1"7�`)=�L���� ²!��¶|ô@ôaó ² p ���1#%��æ%�B��#^)*�8EG"+,�,."7�8��U

² p U.U.³ �8�PJ À 68686QJ Ö Ä Ç%È'È@ÉVʪËRJ ÌjÎ ² p ÄÈ'ÉVëVëDìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ@ÉHÖ�ïSJ Ì�Î ² pÄ ïVØjË Õ�� À ³UT À 686�6Í� à ³ST à ÌjÎ ² p

TY¹ U.U.³ JÍÄ ² p

2�¬

Page 42: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

ò1���-6%���.���-� � �!)+¬©<=)*�%�.EG�����!�7T��L� ��� ²^%��" "*EG�/)*���;A*�'�-�:����<=�.,�)+�/�!"Z%$%���;#%��#%$B&��!�."*�B��?��86%�;"*�%,.�©#%�.¨��������%&'���.��!6B)*��ïVØjË Õ1#%��#B$%&��-��"+�%�F)*���Z$%����#^���B�-�-��)*#^"+EDîDËn �ÌjÎ ²«À Å868686WÅ ²©Ã Ë ÎHï]9%,�" &QP �7T �86%�.&Q6HT �.�R&�"*<59%�.�%)*�-��"+�N�8�.�!6%��"*�"*�����-��"+�%)*,KEG"+�-<=�7T )*,.,�"7�8�8EG"+�F�!6B�©)*9%�.,.���L�N�!"�����EG���1�!"�%��"*�"*�����-��"+�%�89 �J�%)+<=�?��86B���F&')*�^����#%$%&'�:�!6%���-�°2��"*ElB$%�-�I#%��#B$%&��-��"+�%�;9�=����%,.)*&'���BC©<�$%,.�!�.%,.�I" &'&�$%���-�'�%&��'��"+EW�!6%����)*<=�1%��"*�"*���.�!�."*��9 ��)��%)+<=�?Hò1��)�����<=%,.���¬ )+<(B,��Z&�"+�%����#%�'�;�!6%�:EG"+,�,."7�8���BC(B$%�-�Z�L� ��� ��§#%��#B$%&��-��"+�X"+E�ÓµÛXãÔà ã�ÛXÓ�UÇ%È@È'ÉVʪ˧ӵÛXã Ì�Î

�QîDì�Õ8» Ï �QÖ@ÌG f»lÕ|í@Ç%ÎVï�ÓµÛXã ÐÏ �QØjË × ÕLí@ÇBÎHï�Ó ÛXã Ð

�86%�.�8&�)+�N9��:��¬ %�������-�'#N)+�8)=�L���� ² #%��#B$%&��-��"+�X)+�;EG"*,.,�"7�8�7UïVØ�Ë Õ�¿Ò³ßÓðÛNãèÌ�ÎÇ%È@È'ÉVʪË�¿¤Ì�Î

�QîDìMÕ�» Ï �tÖ�Ì  �»lÕLí�Ç%ÎVï ¿ Ð Ï �tØjË × ÕLí�Ç%ÎHïñ¿ Ð�86%�;��%)*&'�O��)7A ���%C+�H9���&'"*<=�;<="*���O��$%9%���!)+��-��)+, "*EB&'"*$%�����O)+�V�-6%�8���32'��)+�%#�� $%<59M�'��"*EM"&'&�$%�����B&����/"+EB�!6B����)*<=�%��"*�"*�����-��"+�J�.�%&�����)+�-� ?W�86B��EG"+,�,."7�8�.�%C5&')*�X9M�:B�-"7A+��#«9 �«)=���!��)*�.C*6 �!EG"+�-��)*��#����B#%$%&��-��"+�^"*�J�-6%�:���!��$%&��-$%�-�Z"+E² p UCb»VË ìMÖ�Ë ÊEDGFHDG�_Iú�G�D�\½'¹�² õ*½�õ*»F# ��·Gô"& ² p #%��&Wº�½E#��+½%#�l@½�õN·$&Y¼¾·$&B½%�*¶=�a·G¸(½5ô"&W�*ö@½@¶e��B\½�KSL�=�-�.�!$B�!)*�-��"+�%���86%�'�-�;"*�B�8�O)+��-���!6%�8���.<(B,��'�-��%��" "*EG���"*���-�.9%,.�;���="*��#%�'���!"Z<=���%�.<=�32'�F�!6B�8�!��$%�-��B,�)+&���#($%�"*��!6B�F%��""+EM&Q6B��&QP*�'��9%$%�O)*,.�-":��)*� �!���!"©����#%$B&��8�!6B�F�-�°2��1"*EK%��""+EG�D)*��<�$%&Q6�)+�DM"+�-���.9%,�� Ï �����6%)*%�O9M�'&�)+$%�-�8�-6%�%��" "*EG�V)*���O�-"�9��;�-6B��%���#("7A*�'�H)��%�'�L�O"+�-P Ð T@�L� ��� ²^B�-" "*EG�/�8�.,�,\9��;)I9����-�!�'��)*,.�!�����%)+�!�.A*���!6%)+���L� M�' -��B�-" "*EG�7T9���&�)+$%���5�-6%���§)+�-�(��������� �!�.)*,.,��([!$B�-�Z)*�:���.<(B,��=)*�Z�L� ��� ��ª%�-" "+EG��ÅK�-6%����&�)*�]9��(&Q6B��&QP*�'#�[!$%���Z)*�Z��>=&'���'��-,�� T)*&'&�"+�-#%�.�%C5�!"��!6B�:%�-�'&��'#%���BC(������$%,.�@Å)+�%#N�-6%���N)*&Q6%�.��A+�Z9M�'�!�!�'�F&�"+<=%)*&'�!�%�'�-�;�!6B)*�%P �8�!"��B)*<=���BC�?

*,+'*FE�+.Ú G ú�ûFôBüIVÿû  l�lkÓ ����'� Aݳ ¼%� À Á�Â'Â�Â'Á��XWY½(9M��)X�-�'�Z"*E��.#%�'��-��æB������?5òù�L� M�' ZYµ%��" "*E��F�*¶r�*¸(½��a½'¶Q· [4½�õ]ô*ö@½'¶�Aß���:#B��æ%�%�'#Y9 �§�-6%�EG"*,.,."7�8���%C()*9B�-�-�-)+&��;C*��)*<=<=)*�7U

²]\ 0 A�3 U.U�³ �84 J«À*6�686^JbÖ(ÄÇ%È@È@ÉHʪËRJ ÌjÎ ²]\ 0 AH3�Ä È'ÉVëHë�ìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ'ÉVÖ�ïSJ ÌjÎ ²]\ 0 A�3Ä ïVØjË Õ[�\ÀF³STXÀ±68686���Ã^³ST(ÃYÌjÎ ²]\ 0 A�3�Ä ïHʪÇ%Õ���»OJ Ï�� À ² À\ 0 AH3 Ð 686�6 Ï�� à ² Ã\ 0 A�3 Ð

T ¹ U.U�³ J Ä ²]\ 0 AH34 U.U�³ �8Ä � À8Äj6�6868Ä � W

�86%�'�-�4J �.��)(%��"*�"*�����-��"+�%)*,�EG"*��<ù)*�;#%�'æ%�%��#X%����A �."*$%��,�� ?W�86B�����1)*�����L�O"5�%"*�-)*9%,.�I#B��¨��������%&'���;EG��"*<ù�L� M�' h²%��" "*EG�7? ¦ �.���-��TB<=�'�!6%" #§)+%%,.��&')*�!�."*�B�1)*���©"+E��!6%�5EG"*��<7�84 J À 68686QJ Ö �86%�����©�-6%���'¬B�-�'�-����"+�@4 �%"J,."*�%C+���6%)+���!":9��F)Z&�"*�B�-�-)*� �@Å4���D&')*�=)*,.��"�9��8)*�=�.#%��� �-��æ%�'�D#%��)7�8�5EG��"*< A;? ] ��&'"*�%#VT7<=)*�-&Q6%���BC:���D)+,�,."7����#H?Wòß�L���� _Y%��" "*E��.�8�%"7�`#%��æ%�B��#^)*�8)=%��" "*E�"+EH�-6%�:EG"*��<ïVØ�Ë Õû4ðÀ8³�ø(� ÀÀ Á'Â�Â'ÂtÁ�� ÀÖ ¤  ² À\ 0 ,t3

4 Æ ³�ø(� ÆÀ Á'Â�Â'ÂtÁ�� ÀÖ §  ² Æ\ 03¼ 4 À ½t3???4YÃX³Ôø�� ÃÀ Á'Â�Â'Â�Á�� ÀÖ m  ²

Ã\ 03¼ 4ðÀQÁ�Â�Â'ÂtÁ84]à æ À8½t3Ìjβ]\ 03¼ 4ðÀQÁ�Â�Â'Â�Á�4Yà æ ÀQÁ84Yñ½�3

2 c

Page 43: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

�86 $%�F)«�L� ��� _Y]%��" "*E/�.��-�-" #%$B&����1)«�-�'�-�.���1"*E/<=���!6B"#B�Y4 À Á�Â'Â�ÂtÁ�4 à T%�')*&Q6^"*E/�86%�.&Q6R&�)+�REG�-�'��,.�N$B�-�©)+� �N"+E�!6B��<=�'�!6%" #%�8%����A �."*$%��,.����� �!��" #%$%&'��#H?H�86%�Z9�"#B�J"*E�4 À T �.�X%)*���!�.&�$%,.)*�7T+<=)7��"*�%,.�«$%���IB�-�.<=���-��A+��<=�'�!6%" #%�7?�;��&')*$%���O�B"�EG"+�-<Ò"+EB�.�!�'�-)+�!�."*�(����)+,�,."7�O�'#HT@��A�)+,�$%)+�!�."*�5�-�-��,.,%"*�B,��©�B����#B���!"Z�-&')*�5�!6%�8%��" "*E%�-�-�'�;"*�%&'��EG��"*< �!"*�!"Z9�"*�-�!"*<§T4�86%��&Q6=<=��)+�%���!6B)*���!6B�F%��""+EB&')*�(9M�8&Q6%�'&QP*�'#5�.�=,��.�%��)+���!�.<=� Ï )*����$%<=���%Ca` Ï c*Ð )+�-��$%<=%�!�."*�B �9%)+�-�� $%�����.��� Ð ?X91"7����A*�'��TB%��" "*EG�1�B"7� )*���©�%"+�[� $%�.�!�()*���-�.<=%,.�5)+�I�-6%���.�I�L� ��� ��å"*���L���� ²Ü&'"*$%� �-����%)*���!�7T%���.�%&����$%9%���!�.�!$%�-��"+�X)+�%#X%)*�-�!�����^<=)*�!&Q6B���%C=)+�-��)*,.,�"7����#V?

'§"*����<=�'�!6%" #%�/�!6B)*��)+�-��"*9%�-)*�.�%)*9%,.��A �.)1��&Q6%��<=)+�!�.&D)*9%���!��)*&'�!�."*�:&')*�©9��O�'¬ %�-�'�-����#:�8�.�!6B���5�L���� _Y(B�-" "*EG�7?¦ "+�8���B�-�-)*�%&'�T6%�'�-�Z�.�8)��L���� _Y�%��" "*E��-6%)*�8EG"+�-<5$%,.)*�!�'�;)*�%#^)*B%,��.���8<=" #%$%�1�!"*,.,.���%�7UïVØjË ÕJ¸E�K³�ø>�K¶|½'¸(¹ c ÁD��¶|½@¸(¹ � Â�ïVÊ]ÇBÕ8��»¸��¶!½'¸(¹ c Û,��¶|½@¸5¹ �

Ï ¿ßàñÑ Ð Û^Ù/Ñ!) È'ÉVëVëDìMÈ@Ë'í@Ç%îVÈ@ÉHÖ�ïÔ¿ùÌjÎ�QÇ%îVÈ'ÉVÖ�ï Ï �Qʪë­��¶!½'¸(¹ c ¿ Ð �K¶|½'¸(¹ �

ÌjÎÇ%È@È'ÉVʪË�ÓµàñãèÌ�ÎÇ%È'È@ÉVʪËYÙ/ã Ì�Î

��¸E�^Óðàñã Ù/ãSL�§EG)+&���)*,.,H"+E��!6%�(<=���!6B"#B������#B��æ%�%�'#�9 �^�-&Q6B��<=)*�-��&5)*9%���!��)*&'�!�."*�R�.� ] ��&'�!�."*� c ?°ÕZ&�)+�§9M�()*������<�9B,��'#§)*�%#$%����#X���^)=�L� M�' ZY�B�-" "*E!UïVØjË ÕJ»F&M¹�#'»\¶Q¶��(³ 686�6

#@»\¶Q¶��=³ 68686õ+¸5¹ c ³ 6�686õ+¸5¹ � ³ 6�686õ+¸5¹ S ³ 6�686õ+¸5¹G2J³ 6�686õ+¸ ³�686�6½rd0#'¼ ¹L¸5·Gõ+õ%¼¾½(³ 6�686#%�"��½ ��³�6�686¶!½onI½rd\¹L½ �@»\·Gö(³�6�686�"&Bõ+¹�#�ô"&.BR³ 6�686???

ÌjÎ686�6

�86 $%�1�L� ��� _Y]%��" "*EG�IC*�.A*�©$%���%"+�% ��-�-�.A ��)+,�)+9%�-�-�-)+&��-��"+�X&')*%)+9%�.,��.�L�N�86B��,.��%����������A ���BC���>=&��.���%&'�n/ð%��" "*EG�I&�)*�9��N�8�����-�!�'�µ�.�ð)vc%$%�.#ð���L� ,��X9%$%�(&�)+�µ���!�.,�,;9��X&Q6B��&QP*�'# ��¬ ���#%�.�!�."*$B�-,.�?�9I"7�O�'A*���7TH�O�X)*���J���!�.,.,8$%�%)*9B,��X�!"EG"*��<�$B,�)+�!���-�'&�$%���-�.A*��<=���-6%" #%��?

*,+'*FE�+cb G ú�ûFôBüXd l Â�û Â�÷´Ã ÷�ó�÷'�0ô Âaô¨��� Â%��÷'�0ô û# l�lkÓ ������� fe1B�-" "*EG�;)+�-�Z����<=�.,�)+�8�!"=�L� M�' ZY�%��" "*EG�7T��¬ &��'%�8�!6B)*�8��)+&Q6N<=�'�!6%" #54v£8�.�8"*EV�!6B�:EG"*��<

�9�b4v£HÂ�ø�� £  ²g\ 0�4ÜÀQÁ�Â'Â�ÂtÁ�4v£ æ À�Á84�£!3�86%�'�-�,4v£F<()7�J"*�8<=)7�«�%"+�86%)7A*�ZEG�����:" &�&'$%�-�'�%&��'�;�8���-6%��� ²]\ 0�4ðÀtÁ�Â'Â�Â�Á�4v£ æ ÀtÁ84v£-3 Ï ��E/�.�8#%" ���F�B"*�@T\�!6%�'�X�.��.��)^����C+$%,�)+�I�L� ��� _Y <(�'�!6%" #HTW9 �R�!6%������<=)*� �-��&'��"+EB�9� Ð ?�SLE[4�£Z���:����&'$%���-�.A*�5�!6%�'�Y���=�-���$B�����5�-6%)*�Z�'A*���������&�$B�-����A+�1&')*,.,W�!"=�.�8)*%���)+�-�;�8�.�!6%�.�R)NïHʪÇ%Õ���»]#%�'#%$%&��-��"+�N�.�^"*�%�:"+E��-6%�:EG"*,.,�"7�8�.�%C=�!6B�-�'��EG"+�-<=�7U

c ?8ïVʪÇ%Õ�� »!� £ 6�686 Ï Ù/Ñ!) 686�6D�84v£åÑ�6�686 Ð Å "*�

2 �

Page 44: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

� ?8ïVʪÇ%Õ�� »!� £ 6�686 Ï Ñ À IðÑ Æ Ð ) 6�686��84 £ Ñ À 6�686 Ð Å "*�S ?8ïVʪÇ%Õ�� »!� £ 6�686 Ï Ñ À IðÑ Æ Ð ) 6�686��84 £ Ñ Æ 6�686 Ð T

EG"*�Izp5¼*Û/Á@Þ/Á'àðÁ|ᦽ+?�ò1&'&�"*��#%�.�%C*,.�T*�!6B�1<=���-6%" #C� ��EG"*��<=)*,M%)*��)*<=���-���7T � £ T4<5$%�-�O�-)+�%C*�1"7A*����%�-"+M"+�-�.�!�."*�B��T)*�B#§�!6%�=)+�-C+$%<=��� �1�-"N�'A*�����^�-�'&�$%������A+�©&�)+,�,/<�$B�-��9M�=)+���.<(<=�'#%��)+�!�(�-$B9%�!�����("*Ez� £ TK,��'¬ ��&')*,.,��^"*9B�!)*�.�%�'#�9 �#%�'&�"*<=�"*�����BC� £ �8�.�!6]%)*�-�!�����%�7?Y91���B&��=�!6%�.�©P �.�%#Y"+EO<=�'�!6%" #]�-�'&�$%���-�."*�Y���:�-6%����)*<=�=P�.�%#]"*E«_a%����<=�.�!�.A*�����&�$B�-����"+�%bå���%&'"*$%� �-������#ß�.�ÔEG$%�%&'�!�."*�%�X"7A*�'�91�'�-9%��)*�B#ß$%�%�.A*���������Y0 ��c 3LT;�86%�'�-�'9 �ð�-6%��)+�-C+$%<=��� �«�!"µ��)*&Q6����&�$B�-����A+�«&�)+,�,;�.�=)*�µ�.<=<=��#%�.)*�-�X��$%9%�-����< "*EF�-6%�^%)*��)*<=�'�!���7TV"*9B�!)*�.�%�'#µ���.�!6B���=A ��)]%)*�-�!�'�-�ð<()+�!&Q6%�.�%CY"*�A ��)N�!6%�5)*%B,��.&�)+�!�."*�§"+ED�-"+<=��)*B%�-"+%����)+�!�©����,.��&'�!"*�IEG$%�%&'�!�."*����$%&Q6§)+�§_ ÏeÌ�Í%Ü bN"*�R_ Ü�ÐQh%Ï�i\Ï�ÕKÐ�Ð bK? Ï ������<=�.�!�.A*�����&�$B�-����"+�Y"+�591����9%��)*�%#å�-����<(�����5)R�%)*�-$%�-)+,DC*�'�%����)*,.�°2�)*�-��"+�Y"+EOB�-�.<=���-��A+�«�-�'&�$%������"+�Y"+�]�-6%�«�%"+�% a�%��C+)*�!�.A*��.��-��C+������Å+�.�%�-�-��)+#X"+E�����&'$%�-���.�%C5"+�^�!6%�:%����#B��&��'�-��"*�;"+E�)�� $%<�9����7T��������&'$%���-�Z"*�X�!6B�:�!)*�.,W"+EH)=,.�����@T �-6%�:,.��EG�"*�:���.C*6 �©9%��)*�%&Q6å"+EO)§9B���%)+�-�Y�!����� TW)+�%#ª�-"R"+�H?J�86%�«&�"+�%�%�'&��!�."*�ª�-"R"*$%��&�)*�����.��)*B%)*����� �:"*�B&������«A ���'�%��"*�"*�����-��"+�%�;)*�8)=�!�'�-<è)*,.C*�'9%�-)K? Ð

�;��&�)+$%���8�!6%�F���°2��8"*EK�-6%�F)*��C*$B<(�'� �V���!���.&��!,.�(#%��&'�-�')*�������8�.�!6���)+&Q6=�-�'&�$%���-�.A*�;&')*,., T4�!����<=���B)*�!�."*�=�.��C+$%)*��)*�% �!�'��#5EG"*�/�L� M�' IeO%�-" "+EG��?WòÜ�L� %�.&�)+, �L���� feD<=���-6%" #5�.���!6B�©¶!½D#@»\¶���½O<=���!6B"#(�8�����-�!���(C*�.A*�'���8�.�!6%�.�§½%�@»\·Gö@¹�#�ô"&.B ?

­ "*� �!�.� $%�.�%C1�.�©�!6B���/EG)*��6%�."*�©����&')*�©�'¬ �!���B#©�!6%��6%�.����)*��&Q6 �19 �Z#%��æ%�B���%CI�L� M�' IjK%��" "*EG�7T��L� ��� fkOB�-" "*EG�7T')*�%#��"�"+�HT��8�.�!6��')*&Q6(,��'A*��,\)+,�,."7�8�.�%CIEG"+�D<="*���;&�"*<=%$B�!)*�-��"+�5�-6%)*�=�.�!�DB�-�'#%��&'�����-"+�-�/)*�B#(�'A*�'��-$%)*,.,.�©&�$%,.<=���B)*�!�.�%C�.�5$%�B�-�'�-�-�-�.&��-��#=�L� M�' hgå%�-" "+EG�V�-6%)*��<=)7�©#B��A+����C*�? ÷ �8���!���������!6B)*��)*,.,\"*EM�!6%�'�-�8&',�)+�-�����/"+EM%��" "*EG��)+�-���8� $%)+,�,.��"7�O�'�-EG$%,�EG�-"+< )�#%��#%$B&��!�.A*�JA�.���8�"*�.� �@TV<=��)+�%�.�%C§�!6B)*�©�-6%���å)*���«)+,�,O,�"+C*�.&�)*,.,.��&�"+<=%,��'�!� Å/��E8)�&�"*�B&�,.$%�-�."*�EG"*,.,."7�8�F,�"+C*�.&�)+,�,.�NEG��"*< )*�R)+�-��$%<=%�-��"+�§9%)*���©�-6%���§�.�1&')*�R9���#%�'�-�.A*�'#R9 �X)J�L���� ��]%�-" "+E!? è �86%�5#%�.¨M�'�-�'�%&��,.���'�F������¬ %�������-�.A*�'�%������T)+9%���!��)*&��-��"+�HT )+�%#R$%��)*9%�.,��.�L�?O��� M�' -�Y%�-" "+EG�1&�)+�^9M�5&Q6%��&QP+��#©� $%��&QP ,.�J9%$B�1&�)+�R)*,.�-"9��J�!�'#%�."*$%�5�!"��8���.�!�JEG"+���%"+�% a�!����A �.)*,��-6%��"+�-�'<=��?^òI�5���«���!)+�-�©<="7A �.�%C§�!"Y�!6%�N�L� M�' h²`)+�%# �L� ��� _YÜ,.��A*�',��7T�!6B�J%��" "*EG��9���&'"*<=�J��<=)*,.,��'�5)+�%# �')*�����'���!"Y�8�-�.�!�N9%$%�5�-"+<(�'�86%)*�5<="*���«��¬ ����%����A+�J�-"�&Q6%�'&QPlÅ���� )Y�-�'�%���T���()+�-�=�-�-)+#%���BCR�-%)+&��=EG"*���!�.<(� ?��86%���-�-)+#%��"+¨ &�"+� �!�.�$B���:�!"R�.� �!�'�%�-�.EG�])*�:����<("7A+�=�!6%��"*$%C+6Y�-6%�«A�)*���."*$%�,.��A*�',���)+�%#=�-�')*&Q6%�'�/���-�DM�')*P5�8���-6�$%�%�������!����&'�!��#(�L� M�' hgª%��" "*EG�7T��86%�.&Q6(<=)7�©�'¬ &Q6%)*�%C+�;���%æB�%���-��,.��<5$%&Q6=�-%)+&��EG"*�I���Bæ%�%�.�!��,.�§<5$%&Q6§�!�.<=�?I�86%�.�I6B���'�-)+�-&Q6%�.&�)+,�&',�)+�-����æB&�)*�-��"+�R)*,.�-"J�-�'�-A+���1)+�I)N�-�.C*"+�-"+$%�F&Q6%)+�-)+&��-�����32')*�!�."*�^"+E�!6B���.� �!$%�.�!�.A*�Z#%�.���!�.�%&��-��"+�N9����L�����'�N%��" "*EW&Q6B��&QP ���BC�T+�86%�.&Q6N�.�;C*���B����)*,.,���&'"*�%����#B������#«�-"(9��Z&�"+<(B$%�!)+�!�."*�%)+,�,.��!��)*&'�!)+9%,�� T\)+�%#R)*$%�-"*<=)*�-��#§�-6%��"+�-�'<èB�-"7A �.�%C�T �86B��&Q6§�.��&�"*<=%$B�!)*�-��"+�%)*,.,.�J��¬ ����%���.A*�?8�86%��6%�.����)*��&Q6 �«�!6B)*���¬ �-���%#%��EG�-"+< �L� ��� ��J%��" "*EG�D�-":�L���� g %��""+EG�D��������� �!�.)*,.,��5&�)+%�!$%�������!6%�F�����&��-�-$B< �-6%)*�D,.�.���D9����L�����'��%�-" "+E&Q6%�'&QP�.�%C()*�%#X)*$B�!"*<=)+�!��#X#%�'#%$%&��-��"+�H?

é�êZé�é : X � ì �pADC=� � ADC=� �mlonBprqts�nBpvuxw y{zm|�} ~������U�Q���I�f���f�g�����I�x�Q���������&�������M�m�f���������g���M�&�I���&���������Q�r�������]�m��   ��¡�¡��I��¢��Q��¡�¡������I¡��m�I�M���r���r�f�����Q��£M�����g��¡����I�f������¡�M�f���x���f���I�����M��¡¤¡���¥�����¦/§����7�¨�f��¥��&�Q�������I�M�������I�7�I�x�Q����£��g���a�������$¡���¥����©���f�7�f�&��¡�¡F���M�ª�Q���I�(���a���I��¡�������«¬ ¦'­R���f�m���������]�Q���M�I�I�������f®-���M�]���I�������I���������M��¡F���I���&�X¯M���M�4�Q���M�I�I�������g°Q±X²´³ª���M�¶µ!·M¸º¹�³�¯M�I�M�]£M¢��]�M�f���x��»�f���������M��¡F�Q�����I�I�I�M�������I�¼¯����M�ª���M�g���I���&���I��¢��g�*�����M���M�¼¦

½ ¦'§����g�M�Q£M�����I�����ª���   �M�����Q���M�I�I���I�M�������a�M�f���x���f���I�����´¯�����¥���¢����¿¾�� ¬ ¦ À¤¦À¤¦'§����g�I���������a�¨���f�*�7·�¹�¹Á²´Â�³*���M�P¹Á²´Ã�ÃÅÄx¹�³�ÆÁ·�Ç´¹Á²´±XÈŦ

§��M�P�Q�f�I�����I����¡É���M�Q���¿¾x�Q�����M�Ê���]�m�� ®-�&���f�(�M������¾�¡���¯$���M�¶�   ��»������Q�(�f���������-�����S���M�¶�f�Q�&���������Ë��¾M�I�I�I���Q»�������¶���%���f�f�M�&�M�������¶¾M���f�Q�f®-���f�4���M�M�������M�M�Q���]���������Ë�M���f�����Q��¡����7¡���¥�����¦*Ì��M�M���Q�´¯#�Q¢����I�R�I���������Q�����&�¨���f�O���Í�Î�ÏfÐxÑ�Ò�Ñ�ÓÕÔ�Ö_×XÑ´Ø�Ù2Ú�ÛºÛ�Ñ�Û¤Ú�ӺѴØ�Ñ�Ó�Ö_Ú�Ü2ÝXÙ2Þ$ÝXÏ�ÖxÑ�ßQàXÚ�Ù2Ù2Þ�á�ÏIФÑ�Ó�â9àXÙ�â�ÓºÏ�ã{Ö_×XÑ�Ñ�äQÖºÑ�ÝXÛºÜ2Ï�ÝXÚ�Ù�ÒQÜ2Ñ�Ð#á�Ï�Ü2ÝQÖ¤Ï�â�Ð/×ÁÚ�ÖxáXÓºÏ�á�Ï�ÛºÜ2ÖºÜ2Ï�ÝÁåcÞ�Ü2Ñ�Ù2æXÜ2ÝÁçâ9àXÝXØ�ÖºÜ2Ï�ÝÁÛ�Ï�ÝXÑ%Ø�Ú�Ýgâ9Ï�Ó�ã'àXÙ2Ú�Ö_Ñ�Ü2ÝgÖ_×XÑ�ãUÚ�Û�ã$Ñ�Ö_×XÏ�æÁÛ�è´é¼Ï�Ó�Ü2ÝÁÛ�Ö_Ú�ÝXØ�ÑÁÔ¼Ü2Ö�Ü2Û´ÝXÏ�Ö�æXÜ2ê%Ø�àÁÙ2Ö�Ö_ÏÉÛºÑ�Ñ%Ö_×XÚ�Ö�Ö_×XÑ�Ó�Ñ'Ú�Ó�Ñ'ã$Ñ�Öº×XÏQæXÛrÐ#×XÜ2Ø!×Ï�ÝXÑrØ�Ú�Ý7æÁÑ�ëÁÝXÑÅÜ2Ý)àXÝÁÓ�Ñ�Û�Ö_Ó�Ü2Ø�Ö_Ñ�æ7Ö¨Þ�á�Ñ�å¨ìaí*î'ï´ðñ7Öº×XÚ�Ö/Ø�Ú�ÝXÝXÏ�Ö/ò�ÑrÑ�äQáXÓºÑ�ÛºÛ�Ñ�æ7Ú�Û/Ö¨ÞQá�Ñ�å¨ó'ã$Ñ�Öº×ÁÏ�æXÛÕè

ô À

Page 45: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

���]� �� ���M���f�����(���7·�¹�¹Á²´Â�³õ�����-¹�²�ôÃ'Ä�¹Á³�ÆÁ·MÇ�¹�²�±XÈ-���4�I�M���f����¥��M¡��R¥��Q�M���I����¦ªö����*���M�f�����M�Q��¯´�*�����M�������M»�M¡��������I�����M�g÷Qøúù�û/üQüQü^ù¤ýþ���M�õ�����Q���É�f�Q�&���������Q�¼¯����É¥���¢��Q�þ¾��þ�I�M¡��Q�&ÿ��gû���¯�ÿ�������¯����M�õ�I�M�B���M�É�f�M¡��¿ÿ������!¯��M�¼¢���M�����M���M¥{�����M�   ����� ��¡����I�f������¡Q���I��»º���I���Q�*¡���¥������$�I�M�Q� ���f�¿���M�M¡�������¾M¡��õ�����I���Q�a�I�{������¡���¥����þ���M��� ���M�M�M���Q��¶���f���M�f���I��¢��¿���I�¼¢X��¾���¡������{�f�Q¡����I�����´¦� /�����   ���f�ª�¨���&�M�Q���M�Q�I�����M�a���)���M�þ�¨���f� È�¸_³�°����Kù������¿¯møNÇ����¿¯È�Â�·M°�� �Kù"!$# û � û�% ü�üQü&!$# ý � ý�% ¯����M�¿�f�&���´¦

§��M���B�&�Q���M�B�I�M���]�I�M�(�f���&�a�����f�a�I���������R�������I���*���������Q�B�&�¼�P¾��¿�M�I�����¨���]�   ���M�(¢Á���I���Q���¶���$¡���¥������X¦' �¿�M���Q�����M¡������M���M¥�� �����¿�����M�f�������I�X¯�������I���Q�B�I�P�������f���M�M�Q�¿�M��(����I�����*�M�f���x���f���I�����M��¡��Q���M�I�I�I���Q�����I�4���M��M��(����I�����É�M�f���&������¢��4�*�����M���M�¼¦*)%�Q�����f�����M��¡�¡��   �4�&�¼�ª��¡��f� �M���Q�P���(�������f���M�M�Q�4�I���&�B�f�����Q����¡��I���������¿�¨���I�&��¨�����M�Q���M�Q�I�����M�X¯��f�M��� �������M�B·M¹Á¹�²�Â�³g�Q�����I�I�I�M���Á¯����(���f�M�Q�Å�I�B�����M�I�M�I�)�Q���I�I�����a�*���M�������F�����¨�Q�f�Q�M���m���M�������I��M��+&�Q�M¡����������&�����I�f��¾M¡��7���*�&���M�Q¡   �����ª�M�I���&���I��¢��)�&�����M���M�¼¦-,%���%�I�M���%���$�B�����x�Q»/.õ�Q�����Q�Q�f�´¦�)%�M�Q�7�B�����x�Q»/.021 {�M����¾x�Q���þ�¨���f�B�M¡����I�Q�ª�¨�����&¥���¢����¿¡���¥�����¯�¡����¨�����M¥a�������a�����7�����x�Q»�3 ¡��Q¢��Q¡F�����I�I���M�����f�¿���M�¿���&�&�Q�M�����I��¦

§��M���m��¾M�f�Q�f¢X���I�����(¡��Q�þ���a�I�M�g�M�Q¢��Q¡����M�&���������´�I�M�547698�:/;=<�:�>?<�>?@Éÿ ÀA��¯����þ��¾M�I�I�I���Q�$�¨�f���&�   ���/�a�¨���������x�Q»�3021 /�¼¦F§����B4C6�»��Q��¡����M¡����r�M���r�I�M���I���&�%���M¢X��������¥����´�¨���r���M���f���M���]���x��������»D3 0�1 /�r�����������M�B4�»��Q��¡��Q��¡��M�r������¨���7�����4�f���M���õ���Å�¨�M���Q����������¡��M�f��¥��f���&�&���M¥ ¡����M¥��M��¥��Q�¼«'���©�E(x�Q�f�)�¿�����I�f�B�¨���I�&��¡��f���f�����v���M���)�f���f���M�©�   �¼����M�Q�f�I����������¡��¨�Q�����M�f�Q�g���M�P���I���f����¡�¡��F��Q�g�I�M�*���Q�R���M�����g���������x�Q»�3 021 /�g���¶�ª�f���M¥�¡��&�M�M���¨���f�O�¨�f���&�   ���/�þ���  �M�����]�����%�I�M�Q���I�©���L�I�M��� 0�1 /���Q���]¾x���f���M�������4���B���I��¡����������g�¨�f��� �����©�M���I�I�����M¡�����¡����M¥��M��¥���¦ ' �M���   �'¥���������%¥��Q�M���I��¡������&���M�ª�*�M�Q���������M�M�M���I�f�����M�M���M¥4���#�����g�Q�f�I�����I����¡����f�I�M���X¦´ö����$�����I�I���M����¯������7�f�����M�M�M���I�$�f�Q�f�M¡��$���§��M�����f�Q� ¬ ¦ ô �Q���ª¾x�g��¾��������M���¿���þ�a�*���I�7¥����M�Q�f��¡F�¨���I� ���þ�����g�I���������M¥a���´�I�M�5476�»��Q��¡����M¡��M�I®   �7�����ª�I���  �������#�I�M�����I�¼¢X��¾���¡������)�I��¡����������g���M�M�M���Q�]¾��G;EHJI������x�Q»�3 021 (�������M��¡������f�#§����f�K�������©�I��¡����������g�I�M���´�I���I�x�Q�����/�I�M��M�f���&������¢��*�&�Q���������]���M�¶�f�����Q����¡r�f�����I���õ�¨���f�&�©���'�I�M�a¡����M¥��M��¥���¦g§����*�f�����M�M�M���I�©�����þ�M���f�����Q�M¡����©�����x�Q»�3021 ���M��� �¨��¡�¡��   �a���a�¶�����f��¡�¡����I�{�f���&�M¡��¾�� �M�Q�&�����I�I�I�������M¥P�I�M�õ�f���M�M���M�Q�f�a���7���I� �M�f���&������¢��þ�&�Q�I�M���M������¶�f�x�Q�Q����¡'�¨���f�*�¼¯   �����������]�M�f�M��¡�¡��ML��M����� �f���f����¥������¨���   ���f�N!Z��¦ ¥x¦�¯#�M�õ���M�M���Q����¢��(���f¥��M�&�Q���©���]�I�&L��M���f�Q� % ¦Ì��M�M���Q�´¯��&���I�$���´���M�g�����M���Q�M�I�����M���   �©�M�¼¢��)�������f�����M�Q���¿���þ���M���m�M�������X¯��f�M���¿�������M�g�������������%���´���Q�M�M������¢�������¶�����&�M�M�I���I�����M��¡Å�����f�Á¯#���M� �������I���I�����Ë���������x�Q»�O 0�1 /�¼¯F��������»DP 0�1 /�¼¯#���M�{�I�õ�¨���I�I�´¯#�����{¾x� �M�Q£��M�Q������¿�f���M�������ª���þ���M�g��¾M�f���f���Q�%�f�Q���I����¥a�������M�5476�»º����¡��Q�M¡��M�¼¦

QSR&QST U u9Vgu9W&X uxw y{z �´w(�´u´zZY �s�n4pvu�w y{zm|�} ~ � ������]� �� ���g���P���������x�Q�¶¡����M¥�����¥���¦gÌ��©���g�ª�����f�����M¥������f�M���M¥þ�¨�Q���I�M�f�*��� 021 ´�g���M���7�I�M�Q�P�����M���Q¢��B�f���M���M�M�Q�f��M���M���*���Q��¡�¡���¯¼¾��B¢����f���M�����������Q���Å���f�I���*���������M»�¾M���f�%�Q¢X��¡��M���I�����4�f�Q�&�����I�����X¯¼�I�����M���r���M���*¾��]¢����I�I�M�������g�I�I���I������������I���f�����õ¦#§��M���´���´���]�&���/�����g�Q�����I�I���I�/���[ \�ö�»º¾M���I���g�I���f�����*�´�I�����]���C]^)� $¯   �M���I�'�I���M�M�M�M���I�´�M�Q�x�Q���M����&�&¡����f¥��7�Q�������������¿�a�f�x�Q�Q��£M�©�f�����I���g�����x�g�M���I�����M¡����M��¦

_ ��¢��Q�f�����Q¡��Q�f�X¯Å�I�I�I���M¥�¡������������ 021 ´�a���f�¿��¡��f�¶�����I�f��¾�¡���¦­R�������M��(����I�����*�����x�õ�M���I�����M¡����M�Q�a�����M¡�� ¾x����*�x���f�Q�R���Ë�����ª¥���¢���� 021 %¯������Ë���R���M���©�I���Q�������   �   ��¡�¡���¡�¡��M�f���f���I�B�I�M���7¾��þ�¨���f�B�M¡����I���M¥(�(�x��¡����&���I�M�����]É���M�M¡��Q��»�­Ë��¡��M���É�����x�]�I���f����� �¨�������]� �� ¦ ' �4��¡��I�a�M�f�Q�f�Q���m�(�����x�]���M�¨�Q�f�Q���Q�B���I���Q���M�M�f�g�¨���)���M���)�f���I�I�Q�˯��¡�����¥g���M�)¡����M�Q�%���F­R��¡��M�Q�a` �'���f��¥����M��¡M��¡�¥����f���I�M�˯¼�I�M�������M�¨���I�%�����É�&���f�'¥��Q�M���I��¡M�������)���F�]�M���I���I��¦#§����M�����M����������B�I���f���Q� ���cb;d<e;M\��M�f�f�¶ÿ fA�!«'���������É�M���Q�þ�M���m¾��B�Q���M¡��������I¡��ª�M�Q��¡����I���þ¾��ª�����g���]� �� �M�f�Q�a�L�I�M�Q�ª�Q���ª¾x����������&�������Q��¡�¡��a���M�¨���I�f�Q�ª¾��(�I�M�g�I���f�����õ¦

' �4�I�I�I���I�É���M���m� �������B�I���f���Q� ���*Hhg=i��M�Q���Q�f�I���I�(�¨���É�I�M�]¡���¥�������¡#�f���M���M�M�Q�f�m�����I�M�B¡�����¥��M��¥���¯   �M�����õ���¥������f���������Q�þ¾��¿�����7�Q¢X��¡��M���������õ�f�Q�&���������Q�¼¦%Ì��Ë�M���I�I�����M¡����¼¯L�����Q�f�B���É�M�¿�M�Q���Ë�¨���)�����¿�����x�kjKl�m�n o�pEn/q r¤¦$§��M�¾x�Q�M��£M�)�I�M���7�(�f���������4�����x�4�f���I�I�Q�   ���M¡��Ë�Q���M�¨�Q�7���P� 021 ���©�f���&��¡����)�I�(�����4¾x�Q�M��£M�©�Q���M�¨�Q�f�I���˾��þ�I�M����f���f�����&�B�������I��¥��f���&�&���M¥þ¡����M¥��M��¥��Q�¼«g���   ���M¡����f�����I������¡�¡��   �Q�Q�����M�]�Ë���Q�f����������¡����I�4���$�������¿�Q�f�I���I�s!Z��������*�����f�&���'� 021 $¯x�I�M���¶���g���M�M¡������M¥PÂ�Ä#È�²�¹�ÆXÃÅÄJ��³t�´¹©���õ���P�������Q¥��Q� %   �������{�Q���M¡��P�����M���   ���I�*����¡��˾x��M�����Q������� �����I�M��»º�I���&��¦´§��   �M���'�����I�Q���'�f���������)�����x�É�f���I�I�Q�&�����I�É���M¢X�����I��¥������M�'���%�B���������f�¼¢����I�f����¡��I�M¾?u��Q�Q�X¯�����*���Å���Å�M���r���M�Å�����������I�����&�M�Q�f�����]�I�E���%�f���M�Q�¼¦ ' �����M¡��   ���f�a���g�f�M�   ���M���r���'�����I�I�I����¥����I�¨���   ���I�B���g�M��£M�M��f���M�M���f�����Q���I�Q�P�I�I�������&�������&�M���I������¡����M�Q�g�¨���©�����x�Q»�3 021 ´�X¦v!¨Ì��¶�¨�����Á¯¤¾x�Q�����M�f�&�I���M�M�M�M���I�©���g¥��M���I�������Q���˾�������g�M���M���&���g�I���*���������Q�¼¯ 0�1 /�����f�©¡����¨�   �����þ¥��f�Q�����Q�$�¨�f�Q���M��� ���a���M�����f�7�a�I�I�������g�������g�f���I�I�Q�˦ ' �M���I�����

ô�ô

Page 46: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

]^)� R���%Ì��I��¾���¡�¡��m�B���I�%¾��*���Q�Q���I�f�����4�M�f�É�4�I�x�Q����£��É�������)�I���f�����õ¯�� 021 P���%�M���'¡����w���Q� �������4�����4�����f�����Q�M¡�������M��������¦ %

' �g���Q£M�M�g�I�M�g�������������´���]�m�� ¾�� ���M�g�¨��¡�¡��   ���M¥&¥��f���&�&���¼«x «�«F��.My�Ã�±XÄ�Ã�y x û[zRüQü�üJz x ý2{ x y x û[zRüQü�üJz x ý| Ã�±ÁÄxÃ}yh!�~�. % x

  �M���I��.�f����¥��Q�g�¼¢��Q�g���¶���M�I�x�Q����£��Q�{�Q���M������¾�¡��P���M£��M���I� �f�Q�]���Bi�I/�t�v��;E�w��;E��<���@f¯��M����u��������]�¨�f���O�I�M�a�f�Q�]������M�Q������£M���I�¼¦&ö��f�Q�a���M�{¾����M�M�����Q���M�f�I���M�Q���g���%�õ�����x� ¢X���f����¾M¡��&�����õ¥���¢��Q�¶�����x� ���I�&�M��£M�M�Q�����{���M�(�M�I����¡�&���M���Q�a����¦ ¥x¦�¯L���ª�I�M�]�����x�s!�. û z�. �?% {�!�~�. �?% !�. � {�. �t% ¯�. û ���Q���M�f���¨�I���   �M��¡��G. � ���Q���M�I��¾x���I�õ�¨�I���g���M�¾x���M�M��¦ ' �   ��¡�¡   �I�����G���*! x % �¨���B����� �I���g���$�������(¢Á���I����¾�¡����g���M���]���Q�Q���]�¨�I���a��� x ¦¿§%�������]���$����� �¨���f�x û z{üQü�ü�z x ý | Ã�±ÁÄxà   ��¡�¡��M���I���I��¾��*�&�Q�I�M���M�X¦��M���M�Q�*�¿�&�����M���¶�B�M�f�©��¡   �¼���É�f�Q�I�M�f�R�ª�M�I�������I����������¯��I�M��������)Ã�±XÄ�Ã(���M�������f��¾��B�M�Q�¨���M¡����I�7�I�M���f��¥������������M�����I�f�   | ¦#§%�������r�����I�M�$�¨���f� x û z]üQüQü�z x ý { x �M�Q�f�Q�f��¾���¨�M�M���������M�������M�f�M��¡�¦

,$����i�I/�t��@�>?��@�i���i�>?i���g=H�!Z����u��M�f��j!�I��¾M�I�I���I�M�������hr %S�   �   ��¡�¡$�&�Q����P�¨�M�M�Q�I����� �¨�f��� �I�M�þ�I���B���É�����x�¢X���f����¾M¡��Q�$���&�����7�f�Q�����/�����x�Q�����������������M�g���M�Q���I����� ��¡��&���I�$�Q¢��Q�f�   �M�Q�f��¦/ö����%�����f�����M�Q�B.rû������&����.FýF¯   �   �I�����

� . û�{ x û �&��������. ýd�{ x ý���¨���$�I�M�©�I�M¾��I�I���I�M�������þ�������$�&���M�$�Q�����M.������ x �f¯����M�ª�Q¢��Q�f�&�������Q���������©¢X���f����¾M¡��É�I�*�����f�Q¡���¦�§����M� � � �M���M���I�Q������m�����Q���������4�¨���M�Q�I����� ���&�����É�f�Q�Å���x�����x�m¢X���f����¾M¡��Q�¼¦Fö����I�I�M�Q�¼¯   �   �f���I� � ÿe. �{ x �x�¨���Å�I�M�É�f�M¾M�f���������������a��������&���M�2.õ��� x ���M�(��¢����I�&���I�M�Q�$�����x�)¢X���f����¾M¡���.��F��� � !�.J� % ¦ �%��¢����(�*�I��¾M�I�I���I�M������� � ¯   �)�M��£M�M�©�B�¨���M�Q�I����� ��¨�f���N�I�M�g�I���$������¡�¡F�����x�Q�É���&���I�I��¡��������¨��¡�¡��   �¼«

� !�. % � � !�. %� !�Ã�±XÄ�à % � ô±XÄxÃ

� ! x û zRüQü�üJz x ý { x % � � ! x û&% zRüQü�ü�z � ! x ý9% { � ! x %� ! x û[zËü�üQüJz x ý| Ã�±XÄ�à % � � ! x û % zRüQü�ü�z � ! x ý % | Ã�±XÄ�Ã

� !K!$~�. % x % � !$~�. % � ÿe. �{¡.���! x %§��M�)�¨�M�M�Q�I����� � �Q��¡�¡��Q� �I�M�s<�� ¢�i���� � ¦ £ _ ���I�)�I�M���%�����M¡������M¥ � ���*�B�����x� x �Q����¡��¿�I���I�M¡��'���(¢X���I����¾M¡��É�����M�I�M�f���¾M�M�)���   �M���)�¨��¡�¡��   �   �   ��¡�¡��&�E���B�I�M�f�B�I�M���)���M���©�M�Q¢��Q�)�M���M�x�Q���X¦ ¤ö����7�(¡����f�É���r�����x�Q�^¥¦��ÿ § û �&���&����§ ý ��¯  �*���Q£M�M� � !�¥ % ���(ÿ � !�§ û�% ���&����� � !$§ ý�% ��¦*ö����M��¡�¡���¯#¥���¢��Q�¶�����Ë�   �þ�I��¾M�I�I���I�M��������� ��û � ���   �&�Q���¶�M��£M�M�a�õ�M�  �f�M¾M�f�������M�I����� ��û7¨��� ���¼«

�¼û©¨�/� ��4[.�� ��û ! ��� !�. %K% � ! ¬ ¦ ½=ª %' �¿�f�Q�¨���*�I� � û ¨B� �¿���*�I�M�«:�gE¬[�tg=@/��i���gEH ��� � û4���M� � ��¦¦!Z§��M�þ¡������I�Q��4���� ¬ ¦ ½Eª ���&�M�f�Q� ���&�M���I�*���m���M��&�Q�I��¡����M¥��M��¥������������m�M�����I��¡������Q�¿���a�I�M�54 ���������g��¾tu����Q�$¡����M¥�����¥��)���]�m�� ¦ %� ������� x �]���É���«��Hh@�i�;EHh:��g�����a�����x� x û%��(R�I�M�Q�f�g���m� � �I�����¿�I�M��� � ! x û % � x ��¦ ' �B�I�¼� �I�M��� x û$���*¬�g=���­ �&HJ�&��;=<F�I�M��� x ��¦Åö����É�Q�����&�M¡���¯��I�M�]�����x�*ô±XÄxÃ*{Ã�±XÄ�ö���m���þ���M�f�����M�Q�g���.�{®.P�M�M�M���m���M�B�I�M¾��I�I���I�M�������� . �{�ô±XÄxà � ¦´§   �&��������� x û�¯ x �g���f�s>?Hh� ¯Z;E��<��©��(Ë�����Q�f�g����� � �I�����¿�I�M��� � ! x û % � � ! x � % ¦§��M�þ�¨��¡�¡��   ���M¥¶��¡�¥����I�����M�±° ���=���Q�&�   �²L��M��������£M�Q�f»º�¨�f�Q�ª��������� x ûQ¯ x �þ����� �M�f���M�M���Q�&�{�M�M���¨�����M¥{�f�M¾M»�f�������M�I�������¨���B�I�M�Q�˯´��� x û ����� x � ���I�a�M����£M��¾M¡���¦¿Ì����M���X¯#�I�M�(��¡�¥����f���I�M�O�f�����f�Q�g���������Q�Q���������´¦¿§��M� ��¡�¥���»�f���I�M�N���   �f���������¿���I���M¥&­� /»��f����¡��7�M���I���Q�f�(�&�������M���M¥x¦��)¡��f�x¯��¨�����4¾x����¡��Q����»º¢X��¡��M���(�Q���M�f�Q�f�f������³*¯   �   �I�����³¦´Nø7û���ø©�g���&�&�Q���¦j!����³ ���M���{ø)û%�Q¡��I�&ø©��rx¦

µ·¶¨â�ÐxÑ/Ñ�äQØ�Ù2àXæXÑ/ß�àXÚ�ÝQÖ_Ü2ëXØ�Ú�ÖºÜ2Ï�ÝXÛÕÔ^Ö_×XÑ/Ó�Ñ�ã$Ú�Ü2ÝXÜ2ÝÁç�Ö¨Þ�á�Ñ�Û¤â9Ï�Ó�ãPÚrâ�ÓºÑ�ÑFÖ_Ñ�Ó�ã{Ú�Ù2ç�Ñ�òXÓºÚrÏfÒ�Ñ�ÓxÖ_×XÑ/Û�Ñ�Ö�Ï�â�Ö¨ÞQá�Ñ/ÒIÚ�Ó�Ü2Ú�òXÙ2Ñ�ÛÕÔfÚ�ÝXæ ¸�Ö_×XÑ�ÝØ�Ï�Ü2ÝXØ�Ü2æXÑ�Û´Ð#Ü2Ö_×7Ö_×XÑÅàXÝXÜ2ßQàXÑr×XÏ�ã$Ï�ã%Ï�Ó�áX×XÜ2ØrÑ�äQÖºÑ�ÝXÛºÜ2Ï�ÝgÏ�⹸�ètºgÜ2Ù2ÝXÑ�Ów» ÛFÜ2ÝXâ9Ñ�Ó�Ñ�ÝXØ�ÑÅÚ�Ù2ç�Ï�Ó�Ü2Ö_×Xã Ñ�ÛºÛ�Ñ�Ý�Ö_Ü2Ú�Ù2Ù2ÞmÜ2ç�ÝXÏ�Ó�Ñ�Û/ß�àÁÚ�Ý�Ö_Ü2ëXØ�Ú�ÖºÜ2Ï�ÝÁÛÚ�ÝXæ)ÖºÓºÑ�Ú�Ö_Û/Öº×XÑÅÛºÑ�Ö#Ï�âLÚ�Ù2Ù�Ö¨Þ�á�Ñ�Û�Ú�Û#Ú$â9Ó�Ñ�ÑrÚ�Ù2ç�Ñ�òXÓ�Ú�è¼�½ âLØ�Ï�àÁÓ�Û�ÑrÜ2ÝÉáXÓºÚ�Ø�Ö_Ü2Ø�ÑÅÖº×XÜ2Û#Ø�Ú�Ý©Ú�Ù2ФÚIÞ�Û#ò�ÑrÑ�ÝXÛ�àÁÓ�Ñ�æ©òQÞÉÚ�Ù2áÁ×XÚ�ò�Ñ�Ö_Ü2Ø�Ú�Ù2Ù2ÞmÓ�Ñ�ÝXÚ�ã$Ü2ÝXç¾)ò�Ñ�â�Ï�ÓºÑrÚ�áXáXÙ2ÞQÜ2ÝXç ¸�è

ô f

Page 47: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

¿�ÀÂÁÄÃ�Å=ÆÈÇGÉ�É/É?Ç2Å Ê-ËÍÌ�Î�ÏtÌ ¿²ÀÂÐÂÆCÃ�Å=Æ�É�É�É�¿�ÀÂÐ7ÊBÃ�Å Ê Ñ Ò ÆDÓ¿MÀ[Ô�Á®Ð Æ É/É�É�Ð Ê ÃAÌ�Î�ÏtÌ

¿²ÀÂÁÕÃEÌ�Î�ÏtÌ ¿MÀÂÖ×ÃEÌ�Î�Ï�Ì Ñ Ò9Ø Ó¿MÀZÙ�ÚwÚwÛ�Ü�Ý�ÁßÞ�àvÖáÃAÌ�Î�ÏtÌ¿MÀÂÁÕÃEÌ�Î�ÏtÌ ¿²ÀÂÖÍÃEÌ�Î�Ï�Ì Ñ Òãâ Ó¿²À[ÚwÛ�Ì�ÌãÏtÚwÝ�ä�Ù�å�ÚwÛ�Î�æ�ÁßÞ�àvÖáÃaÌ�Î�ÏtÌ

¿MÀÈÐÕÃ�Å ç�èhé�Å�ê�Ã�à ëìÀÂÖáÃaÌ�Î�ÏtÌ Ñ Ò�í Ó¿MÀ[æ�î�ÝEï�èSð�Ð×Þ�à�Ö×ÃEÌ�Î�ÏtÌ¿MÀÂÁÕÃEÌ�Î�ÏtÌ ¿MÀÂÖ×ÃAÌ�Î�Ï�Ì Ñ Òãñ Ó¿MÀÂÁ�åJòsÖÍÃEÌ�Î�Ï�Ì

¿MÀÂÐ�ÃEÌ�Î�Ï�Ì óõô$ö9Æø÷�ù*¿MÀÂÖGÆCÃEÌ�Î�ÏtÌ óõô$ö�Ê=÷�ù*¿MÀÂÁ[ÊõÃAÌ�Î�ÏtÌ Ñ Òãú Ó¿MÀ[æ�Ü�Ù=ï�û�üýÐþô$ö-ÆøÿBÖsÆK÷=É�É�É�ô$ö�Ê=ÿõÖ^Ê�÷ãÃEÌ�Î�ÏtÌ

Ñ Ò Í Ó¿MÀÂèSÃ�Å����������� ¿7ô$è¹÷ãð�Å

ç�è=ÆKé�ÅEÆ/ê�Ã�Ã�É�É�É�ç�è Ê�é�Å Êtê�Ã�à ¿�ÀÂÖáÃAÌ�Î�ÏtÌ Ñ Ò µ Ó¿²À��9è=Æøé � ����é�è�Ê���ÖáÃ�Å=ÆÈÇGÉ/É�É?Ç2Å Ê-ËÍÌ�Î�ÏtÌ

¿²ÀÂÁÕÃ�Å=ÆÂÇ5É�É�ÉtÇõÅ�Ê��ÕÅ ¿MÀÂÐÈÆ7Ã�Å=Æ�É�É�Éõ¿²ÀÂÐ7ÊBÃ�Å Ê Ñ Ò ¼ Ó¿MÀÂÁ ÐÈÆhÉ�É�É�Ð7ÊBÃ&Å

ç�èhé�Å�ê�Ãeà ¿MÀÂÁÕÃ&Å Ñ Ò Æ ñ Ó¿²À���� è���ÁÄÃ�Å¿²ÀÈÐÕÃ�Å ç�èhé�Å�ê�Ã�à ëìÀÂÖÍÃEÌ�Î�ÏtÌ Ñ Ò Æ�Æ Ó¿MÀZæ�î�ÝAï è�ð ÐßÞ�à�ÖÍÃEÌ�Î�ÏtÌ

¿²ÀÂÐ�ÃAÌ�Î�ÏtÌ óõô$ö Æ ÷�ù*¿MÀÂÁ Æ Ã&Å óõô$ö Ê ÷Jù5¿�ÀÂÖ Ê Ã�Å Ñ Ò Æ Ø Ó¿²À[Ü�Ù=ï�û&ü�Ðþô$ö Æ ÿõÁ Æ ÷tÉ�É�ÉKô$ö Ê ÿBÁ Ê ÷ãÃ�Å

¿²ÀÈÁýÃ�Å Ñ Ò Æ â Ó¿MÀÂÁÕÃ�ô����7÷&Å����������� ����! �" ô�¿7÷

¿MÀÂÁÕÃ�ô����7÷&Å Ñ Ò Æ í Ó¿²ÀÈÁýà #$�&%�ÍÅ('*)&ô$Å�÷

ö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬ Àx«�\����f�©�I�M¡��Q�����/�I�M�g�I�I���I���g�����x�7�f���I�I�Q� ���#���B���� ¦

+ô�Ì�Î�ÏtÌ-éøÌ�Î�Ï�Ì9÷9ð,#-)+ô��©é�Å�÷ ð/. 01����! �" ô$Å�÷325476�89#$�&%�ÍÅ�)�6�:<;$6�ô�. 01��ð Å=25476�89#>)?6�:<;@6A6�B$BDC>BKô�÷�÷+ô$Å?éE� ÷ãðF+ô�� é�Å�÷+ô$Å=Æ©Ç5É�É�É�Å Ê-ËÍÌ�Î�Ï�Ì-é�Å 'Æ Ç5É/ÉwÉ�Å 'Ê Ë�Ì�Î�ÏtÌ9÷9ð,+�Gaô Ñ ÅEÆKé�� � ��é�Å Ê Ó é Ñ Å 'Æ é �H� ��é�Å 'Ê Ó ÷+ô$Å=Æ©Ç5É�É�É�Å Ê���Å?é�Å 'Æ Ç5É�É�É�Å 'Ê ��Å ' ÷9ð,+ G ô Ñ Å=Æ/é � �H�wé�Å Ê�é�Å Ó é Ñ Å 'Æ é �H� ��é�Å 'Ê é�Å ' Ó ÷+ô é ÷ãðI6�BJB*C7B�ô�÷+�Gaô Ñ Ó é Ñ Ó ÷9ð,#>)+ G ô@KwÃeà L Æ/é*M�Ã�à L Ø ÷-ðON '�P N�Q�R�S � ��� NBð,+ô@K�é*M�÷�éEN ' ð,+ G ô Ntô�L ÆK÷�é Ntô�L Ø ÷�÷+ G ô é ÷ãðI6�BJB*C7B�ô�÷

,$�P���Íj!���I���&���a�����x� ���f�f��¥��M�&�Q���ør   �   ��¡�¡'�&���������{���I�M���I���{�M�����!T$��� xVU �Q���M�I���f�����M¥õ���$�������M�����I��£��Q��R�����P�þ������� x ¦ ' �   ��¡�¡   �f���I�*�f�M���¶�þ�M�����©�*���I�&�f�M¥�¥��Q�f����¢���¡��þ���2�« x ¯#���M�   �   ��¡�¡Å����¡�¡C�R���M� x �I�M��f�M¾tu��Q���]������¢X��¡��M� �����I�M���B���f�I��¥��M�&�����X¯´�I���I�x�Q������¢��Q¡���¦v,$�¶�ci�I/�t� :�gEHJi��$W¹i   �   ��¡�¡��&�Q�����Ë£M�����I�(¡����f�B���

ôYX

Page 48: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

���I���&���7���I�f��¥��M�&�Q���I�X«ÿ ��ûm« x û����&�������Xýþ« x ý���� ! ¬ ¦ ½�Z %

' �   ��¡�¡��M�f�]���M�4¡������I�Q�A[���¿�I���M¥��g�¼¢��Q�m�����x�B�������������I�X¦�ö����)�����ª¥���¢��Q�õ�f�M¾M�f��������������� � ���M�Ë�����x�B�Q�������Q���[-���Å�I�M�&�¨���f� ¬ ¦ ½YZ ¯   �   �f����� � !5[ % �¨���©���M�&�Q�������Q���aÿ � û « � ! x û�% �&���&����� ý « � ! x ýã% ��¦g§����4�������I���I�f�����M���*!\[ %  ��¡�¡��M�Q�������B���M�4�I���É���r�����x�B¢X���f����¾M¡��Q�)���M���É���Q���M�É�¨�f�Q�]���Ë�I�M�4¢X��¡��M�B���r�f���&�]���f�f��¥��M�&�Q���m���=[%¦ ' �   �I�����[�!$� % � x �I�õ�I��¥������¨�P���M���2� « x ���]�I�M� £M�f�f�5!Z¡����¨���&���f� % ���f�I��¥����*�����7���][   ���I���I��¾tu��Q���2�#¦ ö����M��¡�¡���¯#�¨���]��M���������I�s#   ���I�_^�`ã!�# % � ÿ � û �&��������� ý ��¯   �©�M�Q£M���?a !$# % �����I�M�g�������©�������������BÿbT$� û �^ô±XÄxà U �����&���>T$� ý �^ô±XÄxà U �!¦§��M�Su��M�M¥��&�����I�&���m�I�M�¿�����x�¿�f���I�I�Q� ���I�¿���m�I�M�¿�¨���I�c[Id*ù « x ¯����f�I���I�I����¥R�������*���M�ª�M�M�f���f�RùN������������ x   �����R�f�Q�f�x�Q�Q�7���¿���M�*�Q�������Q���e[%¦É§��M�4�����f�]�f�M¡����)���Å�����4�f���I�I�Q����f�]�f�M�   �Ë���Rö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬ À¤¦�§%��������������&�g�¨���g�I�M�a�Q���M�f�������I�]���f�&���f��¢�����¡�«   �a�M�¼¢��f[Id1gN«/Ã�±XÄ�à �¨���]��¡�¡Å�������&�hg©¯i[Id1j «/ô±XÄxÃ*{ Ã�±XÄ�Ã'¯[kdhl�«�Ã�±XÄ�ÃNzËô±XÄxÃ*{ Ã�±XÄ�Ã��¨���1lnm �Yo �>p �&´«�@qÄ�-r � ¯������=[Idts©«�Ã�±XÄ�Ã��¨���ts�m � °�±X²´³¹��µ!·M¸º¹�³ � ¦�§��M����������g�¨���g�I�M�a�M�f���&������¢��a�&�Q�I�M���M�g���f�&��¾�¢������M�X¯F��¦ ¥x¦9¯   �&�M�¼¢��1[Id]Ç'Ä�°&�Ê«#Ã�±XÄ�Ã�z¶Ã´±XÄxÃB| Ã�±XÄ�Ã�¦ _ ������������B���Q�M�M���������M�*���f� ��¡   �¼���]���������x�õÃ�±ÁÄxÃ'¯��I���M�Q�¿�¨���*��¡�¡'�f�M¡��Q�*���M���B�Q�f����¾M¡����f���Q���M�Q¡��M�f�����M�B�������M�¿�¨���f�[kd*�N« x !Z�M���&��¡���¯��I��¡����Bÿ u�û���® ÿ uiv�� % ¯   �©�M�¼¢�� x �Uô±XÄxÃŦ

� �����x�B���)����¡�¡����c@ wE;=<�<�gYx �F({���É���7���r���M�*�¨���f� !$~�.rû % ü�üQü�!$~�.Fý % x �¨���)�f���&��y{z{|¿���M��L��M��������£M�Q�f»º�¨�f�Q�x ¦r§����������X¯M�a�����x�g���m�I����¡�¡��   �F(P���m�����m�M�5L��M��������£M�Q�f��������¡��f�g�Q¢��Q�f�GL��M��������£M���m���É�M�õ�¨�I�����%���M�õ�����m�f�Q��������M�Q¡��M�M���]�Q¢��Q�f���I�M���M¥¿�I�õ���I�]�f��¥����X¦&§��M���g������� �f���I�I�Q�K��¡�¡��   �g�M�]�I�õ�M�f�¼¢��*���M���g�Q�Q�f�������{�������I���I�f�����M�©�M�¼¢���M���M»º�f�M��¡�¡��   �����x�Q�¼¦´ö����%�Q�����*��¡���¯��I�M�Mj��f�Q¡��¨»º���M�M¡��������������hrG4 �õ����� �Q��� ¾x�)�f�M�   � �I�B�M�¼¢��m���M�7�M���M»º�f�M��¡�¡��  �������

ÿF!�~�. % .*{�.��={�ÿF!�~�. % .^{®.��!   �����þ�f�Q�f�����Q�$���a�I�M�g�Q�&�M���(�Q�����I�Q��� % �����¨��¡�¡��   �¼«¬ ¦*ÿ �þ«¹!$~�. % .5{®.��Vd[�þ«¹!�~�. % .^{®. ÿ u � �½ ¦*ÿ �þ«¹!$~�. % .5{®.��Vd[�þ«Mÿ�!$~�. % .*{®.��={ ÿ�!$~�. % .*{�.�� ¬ ¯Fÿ u�ûE}��Àx¦*ÿ �þ«¹!$~�. % .5{®.��Vd[���þ«h!$~�. % .^{�. ½ ¯ ¬ ¯Fÿ u ¤ �ô ¦*ÿ �~d*4 �õ�����þ«�ÿF!�~�. % .*{®.��={�ÿF!�~�. % .*{�.�� À¤¯Fÿ u ¤ �

)%�M�$�������7�������7�����¨�Q�f�Q�M���5;=< ­ g=�w��i*w=¬B¯L�M�   ��¢����X¯�¡������7­Ë��¡����Q�a` �%���f��¥�������¡x��¡�¥����f�����M�Kÿ ½ ÀA��¯   ��¡�¡¤���M¡��a��¾�¡��7������M�¨�Q�)�I�M��¡�¡��   �����x�Q�¼¦$ö����É���M�f�����M�Q��¯M�I�M�B��¡�¥����f���I�M�   ��¡�¡��¨����¡/���Ë�����B��¾x�¼¢��g�f�Q¡��¨»����M�M¡����Q���I�����´¦�§��M�B���I��¾M¡�������7�I�M���©�I�M�Q�f�&���g�M�ª��(x�Q������¢���!¨��¡�¥����f���I�M�&��� %   �¼�õ���'�M�Q�M���Q���M¥þ�M���M»��f�M��¡�¡��   �����x�Q�¼¦]�)�Q�����f�M����¥�¡���¯Eu��M�f�©¡������­Ë��¡����Q�a` ���M�f���Q���M�M�f��¯����M����¡�¥����f���I�M�   ��¡�¡/¾��g���M�Q���&�M¡������   �����þ�I���I�x�Q�������&�����g�����x�g�f���f�����N����ö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬ Àx«�Q¢��Q�a�I�M���M¥�� �Q���I�I�����õu��M�M¥��&�Q�����%���f�m�M�f�¼¢X��¾M¡��m��� ���M�7�f���f�����˯��I�M�)��¡�¥����f���I�M�   ��¡�¡������'���Q�f��¢��m���M���˦��É¡����Q�f»�M������¢��Q¡���¯   �B�Q���M¡��Ë�I���������Q�I������¡�¡��ª�I���I�I�I���Q�É���M�7�I���É���r�����x�Q�©¾��   ���Q�M���M¥ ���M�É�����M»��I����¡�¡��   ���������)���M�Ë�I�M�Q��f¡���¥�����¡��õ�f�Q�¨���f�B��¡��������M¥¿�I�M�a�f�M¡����©�I�þ���g�I�þ�*�=���*���M�a��¡�¥����f���I�M�v�Q���&�M¡������   �����{�I���I�x�Q���©���þ���M�a���M�¨���I���M�Q��f���f�����˯   �M�����õ���)�I�M�B���M�M�f�������þ����­R��¡��M�Q�7����� 0 ���*���*ÿ ¬ ÀA��¦S)%���É�����M�I�������ª�M�Q�f�B���É�f���*��¡����É�I�²\����f�M��¡�¡��·` �ÿ ª �!¦

§��M�&��¡�¥����I�����M��� ���M�x�Q���I�©���¶ö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬ ô ���¶�Q����¢��Q������������¡�­� /»�¡��F���4�M�������������´¦BÌ��©�M�I���g���¶���M����¡������f��¨�M�M���������!� �I�M���%���=�������4�M�M�f���f�BùS���M�(�4�Q�����I�Q����[P���M�¿�I�����M�f�M�%�4�������õ! x � �=% �����M�f���f�����M¥4���#�4�����x� x !¨�I�M��&���f�m¥����M�Q�f��¡´�������4����ù   ¦ �X¦ �Á¦�[ % ¯����M�Ë�(�f�M¾M�f��������������� � ���M���É���)�M�f�Q�R���(�����M�����4���M�7�Q�M�f�f�Q����j�¥��M�Q�f�f�Q�/r��¾x�������I�M�$���������r���x���M�$¾x���M�M�&¢X���f����¾M¡��Q�����´ùB¦#§����%���Q£M�M���������&������!�ù �$[ % ���r¥���¢��Q�4¾��B�M���I���Q�f�*�*�������M���M¥©���ùB¦ ' �m���&���Å�I�M�m�����f�Q�   �M���õù ���'�g�����M�f�������Á¯¼���Å�������f�����f�����f��¢�����¡�¦#�)¡��I�M���M¥��   �   ��¡�¡��M���Å�M�f�¼¢��$���M���'���Q�f��¯  ���Q¡������o�I�M���'����� !�ù �J[ % � x �����Q�h[Id&ù « x ¦´­Ë���f�Q�¼¢��Q�¼¯-� !@� ��g % �����S���w��HJ:&� �?;E<¤�����x��¯���¦ ��¦�¯��&���f�m¥����M�Q�f��¡�������'�����*�����M���������x�)�I�M�����Q��� ¾��7�M���I��¢���� �¨���7ù   ���I�(�f�Q�f�����Q�����t[%¦´ö����I�&��¡�¡��F«/�¨���%��¡�¡ x ¯����i[Id*ù « x �I�M�Q�x ����������Hh@�i�;EHJ:/�©���i� !�ù �$[ % ¦ 1 �f���M�Q���M��¡������*�¨��¡�¡��   �$�¨�I���N�����7�¨���Q�$���������M�M��£M�����������¿�������I���¿�I�«j!¥��M���I�/rB�I�M����������)���r¾����M�M�õ���B���� ���M�Q������£M���I�¼¯M���M�Ë�M����£M�����I�����Ë��¡   �¼���)�I�����M�f�M�É�I�M�*�*���I�)¥����M�Q�f��¡#�x���f�f��¾M¡��B���M���¨�����M¥�f�M¾M�f�������M�I�����´¦

ô��

Page 49: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

�&���-�������!���H���-���\���b�����$���t�����-�\�����H �¡�¢��£\¤/¥�¦�§@§$§E¥�¨���©����ª�5«�¬�­(«����@®¢¯��-¦��H�����-���\���b�°�5�$���h�¢��¤��b©Y�J���E± ��¦H�@²@²@²$��� ¨�³*���>¦����O´�¢�E± ¥�¦J�@²$²@²@�5¥�¨�³*�µ± ©��@²@²@²$�b©�³*���J�J��$®¶�!·3� �>¦@����� ����¦�¸¹§J§@§ ¸º� ¨�»I«�¬�­(«���¢� ¼-½�½�¾Y¿�Àº¤,Á�ÂAÃe��©����=�5«Y¬5­(«����@Ä¢¯��$ÅV¯(�@®¢¯(�-¦�� � ���-���\���b�����-¦5���h�¢��¤Æ�b©��J���$®¶�!·3���-¦J�*«�¬�­(«��J��b�>Ç*�5�@Å$���h�¢��ÃA� �@®¢¯��>¦@� ©Y�\�J���$Ķ�!·3���7Ç*�*«�¬�­�«���¢� ½�¾�«Y«-­-½�À È5¼(É�½�¾Y¬5ʹ¤,Á�Â�Ãe�b©����ª�\«Y¬�­�«(��� Ä ¯(� Å ¯�� ® ¯(� ¦ �H���������E�������� ¦ ���h�¢�¤��b©��H��� ® �!·���� ¦ �D«Y¬�­�«��J��b� Ç �5� Å ���h�¢��ÃA� � ® ¯�� ¦ � ©Y�\�J��� Ä �!·3��� Ç �*«�¬�­�«���¢� Ê�Ë À Ì�Í~�!¥]Á�Â�Ãe�b©����ª�5«Y¬�­�«(��� Å ¯(� ® ¯(� ¦ �H��������\����� ¦ �5� ¦ ���h����¥i�b©��J��©�Ç>�ª�Í��µ�<Î¶Ï ¦ ��§@§@§$� ÎiÏ ¨ �7� ¦ � Ð Ð � ¦ � ©��H����� ® ��� ® ���h�¢��Ãe��©�Ç � �5� Å �!·3�� ® �D«Y¬�­�«���H �¡ÒÑµÏ ¦ �@²@²$²@��Ï ¨�Ó �ªÔiÕ3��� ¦ ��Ö¹ÔiÕ�� � ¦ � ©��E��¢� Ê�¿�¼�̵×-Ø�¤Ù��Ú�¦�Û�Ãܦ���§@§@§@��Ú�¨�Û�Ã�¨�� �b©����ª�\«Y¬�­�«(����Ç�¯(�J�J� �������\�Æ������-¦5���h�¢�¤��b©������@®¶�Ý·3��°�µ«Y¬�­�«��J�± ©�¦H�@²@²@²$�b©�¨�³>�ªÞ3ßDà!áâ± Ú�¦J�@²@²J²@��Ú�¨�³\���E± ��¦H�@²@²@²$��� ¨�³*���J���O´�¢�\± ÃܦJ�J²@²@²@�5Ã�¨�³E��± ©�¦�ãÜ©¶�@²@²@²@��©�¨�ãÜ©Y³E�5�@®V¯(�>¦��J���Ç>�Ý·~ä��\± �-���-¦�� �@²$²@²@� �>��� ¨��E³E�D± «�¬�­(«��@²$²@²$�*«Y¬�­�«�³ ��¢��¤IÉHå¹ÃA�b©����ª�5«�¬�­�«(��� Ä ¯(� Å ¯�� ® ¯(� ¦ �H� �������\�������� ¦ ���h�¢�Ãe�b©��J��� ® �!·3��°�D«Y¬�­�«���b�>Ç*�5� Å ���h�¢��¤Æ� � ® ¯(� ¦ �<©��\�J��� Ä �!·3���7Ç*�D«Y¬�­�«���¢��Í��©����ªæ ç1©��Í$�(�ª� ÎiÏ�¦5�(§@§@§@�<ζÏ�è��7�{é�ê�ë$ì,� ѵÏ�¦¶íî Ï Ç ¦ �@²@²@²@�5Ï�è�íî Ï Ç è Ó ����� �DÑ Ó �fë$ï ð*ëhëJñµñ\ò�ñµ� �J��������\�¢Ï�Ç ¦ �@²@²@²$��Ï�Ç è �H�\�~ó�\��ô\����õºö ��¢��÷¶Í ¦ �@²@²@²@�5Í ¨ ²�¤Æ�b©����ª� �>��Ï ¦ ¸f§$§@§ ¸ºÏ ¨ î �������$� ��������\��������J���h�¢��¤Æ�µ± �Í ¦ �5Ï ¦ ���@²$²@²@�µ�bÍ ¨ ��Ï ¨ �E³�ãÜ©����H �¡�Ï ¦ �@²@²@²J��Ï ¨ �H�\�~ó�\��ô\��¢��øiÍ ¦ �@²@²@²$��Í ¨ ²�Ãe��©����ª� � ® ��Ï ¦ ��¸¹§@§@§�¸ � ® ��Ï ¨ �>»k«�¬�­�«(�5� ® �J��������\��������J���h�¢��ÃA�µ± �Í�¦J��Ï�¦\���@²@²$²@�µ�ÍJ¨(�5Ï�¨��*³�ãÜ©�� �5�-¦��!·3��°�D«Y¬�­�«�� ���$®¶�!�-¦�¯(�>���J -¡ÆÏ�¦H�$²@²@²@��Ï�¨��J�\�Vó��\��ô\��¢��¤/¥�¦�§$§@§\¥�¨��b©����ª� �$®-��ÏY� ���$®V¯(�-¦5�H� �������\�Æ������J���h�V��¤Æ�b©��J�Y�E± ��¦J�$²@²@²@����¨�³*���-¦\���O´�¢�\± ¥�¦H�@²@²@²$��¥�¨�³*�µ± ©��$²@²@²@�b©Y³E�5�$�H��$®¶�!·3� �>¦@����� ����¦�¸¹§J§@§ ¸º� ¨ î Ï��H���H �¡ÜÏ�ù ô�ó��E��ô\��¢� ú�û�Í~²�¤���©����ª��$®-��ÏY� ���$®@�H���������E��������J���h�¢�¤��µ�bÍ°��ÏY�HÐ Ð ©�� �5�-¦��!·3��°�5�>�Ï��\�����@®¶�Ý�>¦�¯(�7�H�J -¡�Ï�ù ô�ó��E��ô\��¢��Ë À Ì�Íi�!¥kÁ�Â�¤��b©����=��� ® ��� ® ¯(� ¦ �J��������\����� ¦ �5� ¦ ���h����¥i�b©��J��©�Ç>�ª�Í��µ�<Î¶Ï ¦ ��§@§@§$� ÎiÏ ¨ �7� ¦ � Ð Ð � ¦ � ©��H����� ® ��� ® ���h�¢��¤Æ�b©�Ç ��H �¡ÒÑµÏ ¦ �@²@²$²@��Ï ¨�Ó �ªÔiÕ3��� ¦ ��Ö¹ÔiÕ�� � ¦ � ©��E��¢��¿3¼�̵×-ØA¤n��Ú�¦�ÛA¤�¦5��§@§@§$��Ú�¨�Ûe¤V¨�� �b©Y���ª� � Ç ����¦5� ����Ç�¯(�J�H���������E�����¦H���-¦5���h�¢�¤��b©������@®¶�Ý·3���¦H�D«Y¬�­�«��J�± © ¦ �@²@²@²$�b© ¨ ³>�ªÞ3ßDà!áâ± Ú ¦ �@²@²J²@��Ú ¨ ³\���E± � ¦ �@²@²@²$��� ¨ ³*���J���O´�¢�\± ¤ ¦ �$²@²@²@��¤ ¨ ³*�µ± © ¦ ãÜ©��$²@²@²@�b© ¨ ãÜ©�³*��� ® ¯(� ¦ �J���Ç>�Ý·~ä��\± �-��� ¦ � �@²$²@²@� �>��� ¨�ü¶¦ �\³*�µ± �>��� ® ���@²@²@²@� �-��� ¨ �\³ ��J -¡´�¢��ýV� Öî ©��5�$���þï ëJéiÿ(�\± ³E��± ³*�����������ª������ Ö���ÿ(��¥3Ð Ð ý~�b©�Ð Ð ý�Ç*�����������9ï ë$é3�b������Ç ��������¥i� �>� ©��\�æ�ì ÿ(��ýV��ý�Ç*����Ç�¯(������Ð Ð����æ�ì

ÿ(��ý¢� Öî ©º�����µ± ³ �

ö���¥��M�I� ¬ ¦ ¬ ô «/� ­Ë��¡��M���I»��I����¡��©�����x�Q»����M�¨�Q�f�Q�M���©��¡�¥����f�����M� �¨���$���]� �� ¦

_ �����õ�����Ë�M��(����I���M�Q�õ��� ���M�Ë�����M�M¡����M¥{���B¸_³�°f»�¾����M�M� �����ÊÈ�¸_³�°I»�¾x���M�M� ���M�Q���I��£M���I�(¢��¼¦Ä4�»º¾x�����M�U���M�6�»º¾x�����M�U�����Q������£M�Q�f�¼¦ ' �M���   �Ë���M�Q���M�������a���¨�M�M��������� 4 � û �&��������� ý ��øv���a�&�Q�I�M��� 6©� û ���&���&��� ý ���ª¯   �����¥��&�Q���������]�Q�M�f�f�Q�����������]�������������   ���I�þy����I�f��¥��M�&�Q���I���ûÉ«h.rû��&���������XýË«h.FýF¯M�¨���m�¨�I���I��.��¼¯M���M�þ�&�¼¢��g���  �����*���M��¾x���M�(ø-��� �¿¦�)%�M���%�©�����x��¢Á���I����¾�¡��2.�'¾x�Q�Q���&�Q�r���M�I�I�����������I�Q�*���©�f���&�$�����x� x �   ���I�M���&�I�M��¾����M��¯���r�I���*�������Å���&���M�I�I���M������� x � ���M�f����¥��M���M�Á¦#§��M�����&�Q�����r���M���Å���M�É�����x�����h� � �Q���M�M���r¾��m�¨�f�Q�f�M¡��B���M�f�������I�������Q������M���Q�M���B�����M��(����I�����´�M¡������Q�   �����M���4�I�M�%¾����M�aø !¨���Â� % «F����])�����M¡�����»º­Ë��¡��M�Q���M���I¡����M����¯�� � �����5HJgEHJ8 ­ ��Hh���w��:���M�Q������£M���X¦�'¢����I�7���Q���M�I���M�Q�'���t���   ���I�M���4���M�%¾x�����7�4�M�f�´�M�¼¢��Å�������f���&�2!Z�M�f���M��������¡ % �����x��¦F§����������   ���7�I�M���¡�¥����I������� �����M�M��¾M¡��É���g���M�¨�Q���M���M»��f�M��¡�¡��   ���������X¦-,$�B���������f���f�Á¯��¨���Å���*�����M�I���I�f�����&�I�����*���$¸_³�°õ���Sù����Sø���©�þ�M���M�M�Q�I������È�¸_³�°2�N�où����¦�¿¯   �&�����¶�M�I�����Q�f�7�I�M�&�M�M�f���f�¿ù £M�f�I�X¯F��¾��������¶�¿�����x�2u��M�M¥��&������� « x ¯�����Q� ­ ��Hh����;=<�� A� x �¼¢��Q�$�����É�¨�f�Q�g¢X���I����¾M¡��Q�B. û �����&����. õ ���a¥��Q���2u��M��¥��&�Q����Ë«J!�~�. û&% üQüQü�!$~�. õ % x ¯M���M�þ�I�M�Q��¨�f�Q�Q¡��(�f�x�Q�Q����¡���Q�g�������)¥��Q���Q�f���©�������B���m�M���Q�M���   ���I�M���õ���M�]¾x���M�¶ø !¨���S� % ¦'§��M���É���   ���   �g�f�¼� �I�M���m�I�M��¨�f�Q�7�����Q�M�f�f�Q�M���Q�%�����   �����M���ª���M�©¾x���������gøÊ�����²� ���f� ­ �&HJ�&�w��:�¦ _ �����©��������� �����I�¨���I�&�$�f�����Q����¡��F����������(��������g�Q¡����M�f�)�¨���m���M�Q�������¨�Q�f�¼¯   �M�����þ����ô$èhé�¿ ÷9ðI. 0²¿7ô$è¹÷�ð�ô���� Æ ÷�É�ÉwÉKô������&÷�Å 254>6�8ßç #$� Æ %�n� ' Æ é ��� �/é*���Ü%�n� ' � )�ô$Å�÷�éH#>)&êt6�:<;@6]6�B$BDC7B�ô�÷�QR�S � ��� � ' Æ é �H� ��é*� ' ��� ����������� S�Q��������

ô ª

Page 50: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

]É���M�Q��¯¤��� �R���g¥��Q���Q�f����¯x�!¦ ��¦�¯¤���'���   ���7���I��¢��������I¡��þ¾����M�M�{¾��õ�R¸º³�°©���BÈ�¸_³�°X¯F���M���¶�����g�����x�&���¶���M�&���M�I�f�Q����Q�������Q���%�������/�I�M�©�¨���f��!$~�.rû % ü�üQü�!$~�. õ % x ¯����M�¿�I�M�©��¾x�¼¢��7�Q¡����M�f�   ��¡�¡F�I�����M�f�(�&�������a��� x   ������.�û����&�����&. õ�f�Q�M¡������Q�(¾��¿�¨�I���I�ª�������g¢X���f����¾M¡��Q�õ.�� û ���&���&��.�� õ ¦

QSR&Q � ! w y{zm|�} ~������ Vg�yõprn#"Bp VBY Y W%$&"('�V)$&"+* V)"Bzm�Ì��ì�M���Q������� ¬ ¦ Z   �P�I�   �������(�I�M�Q�f�R���ª���U���I���*���I���M���f� ¾����   ���Q�U���]� � ���M�U�����R�f�Q�(���g�M�M�f�õ���]�m���M���M�M�Q�I�����M�-,/.˯   �������¿�*�������%���M���%¾��a�f�Q�f���f���������M¥*���M�f�I��¡�¢��Q�   ���I�M����,/.   �)�����(���I�7���]� �� ���$�4�����x�Q»/.021 %¦/Ì���I�M���4�f�Q���������   �   ��¡�¡$�f����¥�¡��(�����4�P�I���B���vj!�M�M�f�(�������I���I�f�����M�/r�,&0S���M���f�M�   �I�M���4���M���I�ª���*������I���*���I���M���f��¾x�Q�   �Q���1,20ª���M� �I�M�É�f�Q¥��M¡����Z4�»º����¡��Q�M¡��M�X¦/§������   ��¡�¡x�Q��������¡x���M���'¾��*�I���������Q�����Q��¡�¡��*�I���I�I�I���Q�I���M¥�����I�f�Q¡�¢����   �����M����,20   �©�Q���ª�M�f�©���]�m�� �����a�Q����¢��Q���I�����M��¡x�M�f��¥��f���&�&���M¥4¡�����¥��M��¥���¦)%�M�'�����f�Q�M�f�f�����a�M�Q�f�   ��¡�¡x¾��)�Q���M�Q���I�M���a���M¡��   ���I� �����[�����I���Q¡����x���]���� ¯�¾M�M�����M�)���M�����%�I�����M��¡��B�Q���I�Q�M����R���M� �¨��¡�¡%¡����M¥�����¥���¦ ' �   ��¡�¡'�f�¼�R�I�M���4�õ���]� �� �Q���M�f�Q�f�f�����-ø ���^��>?���(��(���B�Q�����������M�4�M�Ë�M���M�M�Q�I�����M��¿¦7§��M���)���¼¯x¢����   ���M¥¶ø����7�ª�M���I�f�B�I�I����¯��M�ª�I�M¾����f�Q�*���Å���©���©�ª�M�Q�M���Q��������¦ ' �   �f���I�#,20��I�¿�M���M���I�4�I�M��f�Q�g���$��¡�¡��M�M�f� �Q���M�f�Q�f�I�������g���$�Q���I�*���]�m�� ¦¿§��M�(�����������I���������M���B�M�M�f�a�Q���M�f�Q�f�f�����M�aøN¡����=�R���M�{¾����M�¼¢��u��M�f�g¡������a�f�Q¥��M¡����*4�»��Q��¡����M¡��M�]�Q���M�f�Q�f�f�����M�g�Q���P¾x� �&���M�a���I���Q���I�&¾��R�M��£M�M���M¥õ�õ�f�Q¥���¡����^4�»��Q��¡��Q��¡��M�]�����M������Q����I�I��¾M¡����I�M���M¥¶��� ���f���&���f�M�M���f��¾x�Q�   �Q����� �����3,20r¦{�É���Q���f�M���M¥�¡���¯r¡����4�M�&�M��£M�M�þ�¶¡����M¥��M��¥��a� ����Q���M�f�Q�f�f�����M�)ø �����¨��¡�¡��   �¼« ø «�«��cs y��vy?4©��û������&�����Xý��Qø yLø ø)ûFüQü�ü^ø�ý ! ¬ ¦ À�| %�É�������M�f���������?s   �©�I�E���©�I�M�g�M�f���x���f���I�����M��¡¤���I���&�¼¯�°Q±X²�³�¯xµ�·�¸_¹Á³M¯��I�M�g£M¢��7���I�������I���������M��¡F�Q���M�I�I�I���Q�����I�¼¯����M������m�M�f���x���f���I�����M��¡M�&L��M��¡������4�¨�M�M���������ªr]¯����M�a�������I�Q�f�M�7#R���I���M��£M�M���a���'¾x�Q�¨���I��¦ã���   �É�M�¼¢����M���I�É���M�m�f���&��Q���M�f�������I���I�M���   �$�M���&���*���]� �� �����Q�Q���r�¨���r�������M�I���&���I��¢����&�Q���������X¦ ' �����Q£M�M�����I�������I���������M�54-���r¾x�Q�¨���I������¿�I�M�g�I�������´¢Á��¡����Q�)6 ���

6 «�«�� s y74Äy?4 �98ã��øB�ö��f�Q�����M�&¾����M�M�a���M�Q���I��£M���Å���Q���M�I�f�Q���Q�Q�r���I�����Q£M�M���&���Å�M�f�M��¡!¯��Q���M�f�Q�f�I�����M�r���I��¢����   �Q�&���r���M�����I������¡��*���M��¡����¡��M�M��¾��������a�Q����¢��Q�f�I������¯¤���M���I�M� �f�M¾M�f�������M�I���������x�Q�f���I����� ø4ÿ9ø û ���&������ø ý�: � û ���&���&��� ý �'���4�������f���M�M���Q�{�����I�M��Q���I�I���&���f�(�&�����M�Q�¼¦$�o�¨���f�*��¡/�f�M¾M�f�������M�I�����M»�¾M���f�Q�õ����¡�¡�»�¾���»�¢X��¡��M�]�f�Q�&�����I�����É�Q���õ¾��*¥���¢����õ¾��¿�I�M�I���B�f�M¡��Q��������$�Q�f����¾M¡����f�Su����M¥��&�Q���I���������M�g�¨���I� d*ø<; {=6*«

> ï Æ@?ACBED F3B AHGID FKJ A9GML%D FKB7L AHJNB Æ�OPOQO B Ê D FKB > ï Ø ?AHGRG Æ�OSOSO G Ê D FKBA9G�D FUT9V Æ�WQXSXSXQW V Ê X G ' AHG�L%D FKB7L AHG ' > B�Y[Z\V]Y ? D F3B > ï â ?ACGRG Æ7OSOQO G Ê D FKB

��¡�����¥   �����þ�   �«j�^�»º���������*�/rB�¨�������M�g�&L��M��¡������(�¨�M�M�Q�I�����´«

> ï í ?AC_2`N_1D Fba�c�d7e> ï ñ ?AC_f`hgID F<ikjml�nSeÐ#×XÑ�Ý _Kopqg

§����M�4�o���&�R�Q����¢��Q���I�����M��¡����M�M¡����Q�¦4�»º����¡��Q�M¡��M�Ëÿ ½�½ ��«&���4�����M�f���f���*���É���M�ª�M�f�M��¡24�»��Q��¡����M¡��M�&�Q���f�²!Z¢Á���I����¾�¡���f�Q�¨�Q�f�Q���Q�Q�¼¯L��¾M�f���f���Q�I�����M�¼¯M���M�Ë�����M¡����Q���������M� % ¯����M¥��&�Q���I�Q�   �����R�����M�f���������7���M���É�f�Q�M�f�Q�f�Q���m���Q�f�������Ë��¾tu��Q���������� �Q���*���M����¾M¡��)���x�Q�f���I�����M�'��� �B�M���I�I�����M¡����'�����&����� ���/���������I���I�I® ��� �I�M���$�����f��¯����M�7�I���'���F�M�I�������I����������������Q¡����f�f������¡�Q���I��»º���I�M���'¡���¥�����¦

_ �����m�I�M���r� �����Q�B¾x�Q���M�Q�a�����������   �����M���a���]� �� ¦/�É���Q���I�M���M¥�¡���¯¼�����m���f���&���I�M�����f���&�����M����¥g¾����   ���Q�&������I,20Ë�������M�©���M�Q���I����� �¨���M�Q�I�����´¯��f���M���)��¢����I�a�������I���I�f����� ���/�U�����*�M�M�f�©�Q���M�f�Q�f�I����� ���#���]� �� �����¿��¢��Q�f��M�M�f���Q���M�f�Q�f�f�����*���x���]� �� ���'���a�Q���M�f�Q�f�f�����*�����]¦/§��M����¥���¢����Å�]���f��¢�����¡��I���������Q������¾M� u��Q��������� ¾x�Q�   �Q���4�-���M�,20r¦/§����É�M�������I���I��¡����*�=�����'�������%¾M� u��Q�Q�I�����(�������]��� ���f���&���I�M�����f� ¾��*�I���   ���M¥B���M���'�����)�f���&��¡����I�����*�Q�������M�M�

ô Z

Page 51: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

���¿���M�*�f�Q�&���������Q�¼«%�Q¢��Q�f�¿�����M�I���I�f�����Ë���Ë�����4�������Q�f�f�Q�Q�I�����Ë���Å� ���M�õ���]� �� �M���7���M�*�Q�����Q�É�f���&�4�*�����M���M¥���¿¾x���I�ª¡�����¥��M��¥��Q�¼¦r ��³�Ä�±X³� D�sHD�t<uQv ²´±X³Ë³�wFÃ�±X³�¹Á¹��_Ä��c�º¹�ÄxÂ�Äx±ÁÃC�C�_¹ÁÂKx d*øy; {=6 � z !�~O % ÿ O,d*øK{|6[�Q}v ±XÄ#Äxµ�~B� �f���f����¥����I�¨���   ���I� ���M�M���Q�������þ���Pø4¦§��M�7�¨�������I�M���$�������$��L��M��¢X��¡��Q�M���)����¡��M�$�¨����;E<�<JO������M�I�M�I�����I�M�©�����I�M���I�����¿�I�M���%�����7¾x�Q���¼¢����������´�M�M�f�m���]�m���Q���M�f�Q�f�f�����M�)���g�Q���&�M¡�������¡��õ���M�M�������M�M�Q���g���'�����*���I�f�M�&�M�I�����P¾M���I��¦gÌ��¶�M���f�����Q��¡����X¯   �4�����¶���M�����f�BO�����¯  �M�����¿�&�����M���I�M�����M���I�©�Q���M�f�Q�f�f�����M�$�*�¼�   ��¡�¡#¾x�g�Q¢X��¡��M�������¿���þ���M�g���*����� ���f�I���*���������ª¾M���f��¦§��M�Q�f�%���M�������Q�������M�B�I�)�I�M�%�¨�M¡�¡����B���� ¡����M¥��M��¥���¦�¢��Q�f�7�M�M�f���������I���I�f�����g��� ���B���� ¡����=���´���M�B¾x�Q�M�¼¢��Q�¡��F���É�*�I��¥��M¡����sj��M�f��¥��I���*rg���ª�4����¥��M�Q�f»º���I���Q�'����¡�¡�»�¾���»º¢X��¡��M�m¡��Q�����Q��¡�¡���»º�f�Q������� ¡����M¥�����¥���¦#§������$�Q���M¡��¿�f�Q���M��¡��¾x�g�*���M�©�M�f�Q�Q���f�7¾�� �������Q���M����¥a���M�54�»º����¡��Q�M¡��M�$�S¥���¢��Q�(¾�� ¬ ¦ ÀY|*���a�Nj��¨�M¡�¡�rv4�»��Q��¡��Q��¡��M� �S�����¨��¡�¡��   �¼«ø «�«F� üQü�ü�y��Cw �õ�Qø y�¸_³�°2���Êø)û����Sø©�Sy�Ç'³������Sø)û#üQüQüQø�ý¶³t��È}y�Â�·M°&� �Oø"!�#Åû%�õø)û % üQüQü�!�##ý��þø�ý %

� �M¡��Q�ªÿ �]û���® ÿ �����   ���M¡��������Q��¾x� ���M¥��&�Q�������   ���I���I�M¡��Q�B���M���]¥���¢��a�I�M� �f�Q�&���������Q�B���$���M���I�(�M�   �f�����I����¨���f�&�m���õ���M�]���I�M��¡#�&���M���Q�¼¯L�����ª§����Q���f�Q� ¬ ¦ ¬ X   ���M¡��õ¾��B�Q�������M�M�Q�õ�I�a���f�I���I�����þ���f���&���f�M�M���f� ¾x�Q�   �Q�Q�� ���M� �I�M�)���M�I�)�Q���M�f�Q�f�I�������'��� ���B���� ¯����M�7�I��¡���¢X�����'¾M� u��Q���������¿��¥������a¾x�Q���M¥4�I���&�M¡��a�I�M�É���M�����I�����a�¨���M�Q�I�����´¦§��M�$�M�f���Q�I������¡����&�x���f�������I�M���r�Q�����I�����M�&�Q���´���r���������7�����x�Q»�3 021 þ�Q���M¡��4¾��$�M�f�Q�*�����7�I��¥��M¡������M�f��¥��I���*»�&����¥¿¡����M¥��M��¥���¦©Ì��P���M�&�����f�4���Å���]�m�� ¯   �*�Q���   �f���I�*���I¾����I�I���I�ª�¨�M�M���������M�g�I�ª�������I�����4���¶�M�I�������I�����������X¯��¦ ¥x¦�¯��¨�M�M���������M�É���&�Q���*���M���g�M���I�&��¡x�¨���I�&���¨�����M�I�������I�����������B!Z�I�����ª���S\ _ ö ��� 0�_ ö % ¯L�¨���M�Q�I�����M�m���&���&�M¡���»�&�Q���Å�M�f���Q���M�M�f�Q�Å�f�M���&���Å�f�Q�f��¡��M�I�����´¯¼���Å���M� 0 �¼¢����I» 1 �����M��� ��¡�¥����I�����M�˯����Å�f�Q�&�����I�����I��¾M¡��Q���M�#¯����M�&�I�]���´¦Ì��M�M���Q�´¯x�I�M�Q�f�*���g�M��;*���w��gE�w�%�f�Q���I���   ���õ���M�&�Q���&�M�M�����������M��¡��M���f�)���Å�ª�����x�Q»�3 021 �f�M���M¡��R¾x�&¡����&���I�Q����*�M�f���x���f���I�����M�¼¦Â)%�M�7�Q���M¡��(�Q���I��¡��a�������f���M�M���)���M�M���������M��¡��M�f���*������¢��7¢X��¡��M�Q��!Z�I���M�I���I�������Q�¿���%�Q���M�I�I������� % �¨��������I�Q¥��Q�f�X¯��f�Q��¡��¼¯��I�I�I���M¥��X¯�¡����f���¼¯����M�þ�������Q�m�f�Q��¡����%���M�þ�Q���*�x�����M�þ�M���I�a�����x�Q�¼¦�§��M�g�f�Q�����´���M�I�g�����M�I���I�f�����M�  ��¡�¡����M����Q���M�f�������M�I� �R�x�   ���I�¨��¡'�M��¥��M���I»����f�M���g�¨�M�M�Q�I�����M��¡%¡����M¥��M��¥��a�����I�M�(�I�I���M���I����������M�����Q�&�(���B­� !¨���Q�x�Q�M�M���M¥þ�&�����M¡��õ���   �M�Q�I�M�Q�©���©�M���©�¿�f���������*�����x�&�M���f�Q���M¡������*���©�Q�M�¨���I���Q�-�F�I���^���Q�Q�I����� ¬ ¦ ¬^½ % ¦]Ì��R�¨���Q��M�����*�����x�Q���f�M���ª���$�����I�Q¥��Q�f�%���M�ª¡����I�I�����f�)¢��Q�f�&�M�I���¨�M¡#�¨���   �f�������M¥&���   �Q�f�¨�M¡¤���M���M������¾M¡��©�*�����M���M�����M�ª�I������õ�f���M�����f�����Q�����Q�{�����x�Q»�3 021 ���B¡�������¡��Ë�I�õ�E(x�Q�g�I�M�Q�˦&�)�Q�Q���I�����M¥�¡���¯¤�f�M���P� 021   ���M¡��¶�Q�����I�I���I�M���a�¥����M�Q�f��¡�»��M�M�f�����I�©�M�f��¥��I���*�&���M¥a¡����M¥��M��¥���¦$�)�)���Ë�Q�����&�M¡���¯��������Q�M�{ÿ ¬ �´���)�¿��������»D3 021   �M���f�]�Q���&�M�M»�����������M��¡#�M���I�������&�M�f���f�Q�m�(�I�����þ�M�I��¥��f���&�&����¥*¡�����¥��M��¥��©�¨�Q�����M�f����¥a�I�I�I���M¥��¼¯L���M�4¾����I�¼¯L¡����I�I�X¯M���M���M�S�����M�I�M�M��¨������¡��������Q�¼¯��I���M�g��(x�Q�����¼¯������¿�f�&���´¦

Ì��a�Q¡����f����¥x¯   �m�M�f�   �����I�Q���������a�I�]�M�   gE�wiDwEg ­ gEHh;=<�<�IB��������»D3 021 /�������I�Q¥��f���I���Q���*���M�����������a�����a�M�Q�M���Q»��������¦È)%�M�$�Q���M¡��B¾x�%���I���M¥7�)�����x�Q»�3 0�1 ¿�����)�f�Q¥��M¡����´���I��¥��f���&�&���M¥É¡����M¥��M��¥����¨�����&�������M�����B�Q���   �����M���M��Q¢��Q� ¾x�Q���M¥*�   ���I�É���#�I�M�)���Q�M�M������¢��7���f�����Q�I�����#���M�©¡����M¥��M��¥���¯�¾����Q�����I�7���M���I�)���f�����Q�I�%���I�)�M����»º�������f�M�I��¢��É����Q¢��Q�f�a�I���I�x�Q���Á«

�y� IaHhi�;E:�i���:�;=<�<�IX¯��M�g�I�x�Q������¡¹�����   ���I�M�����Å�I���������]�¨���f�&�Å���f���f��L��M���I���4���¤���M���f���&�M¡��   �����I�r���   �f���I�m�M�f��»¥��I���&�X¦ 1 �I��¥��f���&�&�Q�f�F�Q���   �I�����%�Q���M�����4��������»D3 021 ´�¹u��M�f���������M���   ����¡��   �f�����%�������B�É�Q����¢��Q���I�����M��¡�&���M���I�ª¡����M¥�����¥��7�f�M���þ��� �M���M���&�7����­� %¦�y� �&¬^;EHJi���:�;=<�<�IX¯���������»D3�M�f��¥��I���&�2!¨���M�I�)�Q���M�f�Q�f�I������� % ���¼¢��m�I�M�)�������Q���I���&�É�&�Q���M����¥B�������%���M�   ���M¡�����������Q�����M�����I�7���¼¢��%���*�©�Q����¢��Q���������M��¡��&���M���I�4�M�I��¥��f���&�&����¥É¡����M¥��M��¥���¾M���I���B���4�I�M�$�Q��¡�¡�»º¾���»º¢X��¡��M�

4�»��Q��¡��Q��¡��M�¼¯����%�&���M�)�M�I���Q���I�)¾��*§����Q���f�Q� ¬ ¦ ¬ X ¦/§��M�)���I���I���M�Q�)���F���f�f�M�&�M������� ¾����f�Q�%�M���%�M�B¾x�Q���I���M¥���¿�I�M�g�&�Q���M����¥*���´�f�M���ª�Q���M�f�Q�f�I�������X¦

� ^2��; ­ ¬�;=i���:�;=<�<�IX¯#�����x�Q»�3 �M�f��¥��I���*�)�����Q�M�õQ���I�¿�I�I���I���*���M�²Q���I�¿�I�M��»º�I���&�*�����M��¡�����¯x¾x�Q�����M�f�4���M�*���M¡��j!�M�¼���Kr&�¨���m���M�B�M�Q�M���Q����¢��B�*�����M���M�Q�f� ���r���M�g�M�f�Q�É���X¦ 1 �M�f�g�Q���M�f�Q�f�I�����M���������������þ�M�a���Q�M�M���������M�)���M����Q�M���B�����Q�õ�M��¢��Q�)�����M���Ë�����4���I�f�M�&�M�������R¾M���f�Q®-���õ�������M���������P�¨���f�*��¡�¡��ª�Q�������M�f�Q�Ë���˧��M�����f�Q� ¬ ¦ ¬ X¾�� �I�M�g�M�M��¢����I�f��¡�L��M��������£M�Q���������(�¼¢��Q�$��¡�¡#���I�f�M�&�M�������ª¾M���I���X¦

fY|

Page 52: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

\�����¢����I�f�Q¡���¯#���$�Q���M�f�I��¯F����� �Q���M¡���¾x� �M�f���M¥Ë�õ��������»D3 021 S���]�Ë�����x�Q»/. 021 S¾��¶�I���*���������M¥   ��������������¿�f�Q�4���m�M���I�ª�M�Q���M�Q�I�����M�X¯   ���������M�&�Q¢��Q��¾x�Q���M¥¶�   ���I�a�I�M���*�¶�¨�M¡�¡�»�¾M¡��   ��M��¥��M�Q�f»����f�M�Q�4�M�I��¥��f���&�&����¥¡����M¥��M��¥��É���m�¼¢X����¡���¾M¡��7��¡�����¥��f���M�7�����g�M�Q�M���Q����¢��g�¨�f���&�   ���K�#¦

QSR&Q � � z�'�Vgu´z�� lonBprq

' �)�M�¼¢��É�f�Q���(�������$�4�����x�Q»�3 021 P� �����¿¾��7�M�f�Q�ª¾������(�¨���$�M�I�����#�M�f�Q�f�Q�������������´¯   �M���   �)�f���&�M¡��   ���I�ª����Q���M�f�Q�f�'�4�M�f�����F���(�B�¨���f� ���M��������� ¾x�7���M�Q�w���Q�a��+&���������I¡��ã�����M� �¨���%�M�f�����F�f�Q���f���´¯   �M�Q�   �   �����'���   �I������]�I�M�Q���I���o���I�¼¢��Q�   �����¿�B�f���f���M¥]�f�����M�M�M���I��¥��M���I�����I�Q��¦FÌ��(�I�M�É£��I�f�'�����f��¯����M�7��������»K.ª�I��¾M�I�������¤� ���$�M�I���-����P�I�M�&�I���Q�����R�Q���I��¯x���M�a�¨��¡�¡r�f���M¥��4���'�����x�Q»�3 �¨�Q�����M�f�Q�©���'� �Q���¶¾x�*���I���´¦ ' �   ��¡�¡r£M�f�I�©�M���f�Q�M�f�©�I��¡������Q�  ���/�a���ª�M�I�����/�M�f�Q�f�Q�������������¿���M�þ���M���w�����M¥¤¯����M�þ���M���þ�I��¡������Q�   ���/�a���ª�M�I�����/�f�Q���f���´¦§��M�Q�f�m���I�m�&�����4�I���f�����*���¨�����M�I�����x���I���I�����I���I�����a���M�a���M���w�����M¥¤¦ 1 �I���&���M�����r���&���M¥B���M���o���I���f���I�I�Q�&��M���I��¢����M¥¿�¨�I���v�É�M�I���&���I� ÿ � ��¯¤�f�M���R���©���M��\���¡��Q��¡��M�©����\����M�f���f�M���������M� ÿ ¬�¬ ¯ ¬ |=�!¯ _ �M�M�f¡Éÿ Z �!¯x���M�} /ö�ÿ ¬ � ��¦§��M���I�&�f���f�����&�g���f�*¡����f¥���¡��õ¾����f�Q�{���¶���M�{���M�f�M���f�Q�{¾��Ë�I�M�M\��M�f�I��»�]É�   ���f�Ë���f���&���I�M�����f�úÿ ¬wª �Å���M�¶�*�=����M���¼¢��)�M�f�Å�����¨�����f¡��)�I���M�M���I�I�����������g�������Å�I�M�Q���I���Q�¼¦¤� �M�I���������/�f�Q�M�f�Q�f�Q���I�Q�©¾��)�m�I�Q�f� �������M�Å�����x�Q�G4�»��Q��¡��Q��¡��M�X¯�M�f����¥*�a�f�¹+&�Q���Q���I¡��¿�I�����þ�����x�g�����Q���f� �I�a¥��M���I�����I�Q�©�������������]�M�f�����/���m�f���M�M�þ��(R�I�M�g�����I� ���M�����I���M�f�Q�f�Q��������É���   �Q¡�¡�»����������´¦$Ì��Å�����x�B���M���w�����M¥a���)���Q�Q���M��¾M¡��B���Ë�I�M�B�I�M�Q���I�ª���)�M�����´¯M�I�M�Q�P���M���7�I���M�M�Q�I�����õ�&�Q�����É��������M�f�����¨�$�Q���¿¾x�]���M���w���Q�¿�&�Q���M���M������¡�¡���¦

1 �f�����¨�g���¶�f�M���{�f���f�����&�g���f�a������������¡�¡��Ë���M�M�������I�Q�   �����{�õ¡����I¥��&���&���M���©���%�������(���M�¨���I�&���������´¯   �M������B���I�)���¨�����R¾x�B������¡����Q����¡��õ¥���¢����õ���P���f�M�Q�)���(�&�=���B�f�M�f�]�������7�����x�*���M�Q�w�����M¥ ���)�M���Q���M��¾�¡���¦m§��M���7���M���I�����f�Q������a�I��Q�&���%�����a�M�I�����¨�g���M�{�&�E���Q�©���M��� �����f�M�Q�©���õ�f�Q���P���M�   �I������¦&Ì��{���M�M����������¯F���f�f�M�&�M�������¶�I�����x�&���\��M�f�I��»�]É�   ���f�]�f���f�����&�Å���'�Q�������M�f�Q�&¾��4�I�M��¡��Q��������¡M�f�Q���������74�»�¾����M�M�a¢X���f����¾M¡��Q�¼¦�,$�B���������f���f�Á¯¼���a�g�����x�Q»�3021 -�I�M���P���7���]� �� ���M���I�*���f�*�   �¿�M���f�����M���g�M���I�����M�©���Å�f�Q������¯x���M�&¡��Q��������¡��f�Q���x�*���'���M�����I��£��Q�f�7���M�R�I�M����f�f�M�&�M�������P�I�����x�*�������I�������I���������M�¼¦ ' �a¾x�Q¡�����¢��&�������g�������f����¥¿���M���f�©���M���I�&�   �ª�������������g���'�f�Q�����&�f�Q�f�M¡�������¶�4�M���{�Q¡��Q���M�Q�]���Q�M�M���������M�¼¦aö����]���M�M���������M��¡Å�Q���&�*�������]���¶�I�M� �M��(x�Q�f�Q�M���a¾����   ���Q� 021 /�B���M�¦\��M�f�I��»]É�   ���f�a�f���f�����&�X¯��f�Q�¨�Q�%���^�M���Q������� ¬ ¦ ô ���#���M�7�M�������Gj!§����x�Q»/. 021 ´�Krþÿ ô �!¦�� �M�Q�������$�Q���&�M���I���f���a��� 0�1 /������d ´ö�¯L���þ�M���I�I�����M¡����X¯������ª¾��g�¨���M�M�þ����\��M���M������À&���Sj 0 �Q�M�������I�����M��¡ 1 �I�����- /���M¥��M��¥����Krþÿ ÀA��¦

)%�¿�I�M�©�M�f�����/�M���f�Q�¼¢����I�&�¨�f�����Á¯��I�M�©�I���f�����*���I�M���$���I�7�Q¡����f�Q�f�$���*�����x�Q»�3 021 ´�����f�)�I�M���f�©�M�Q�f��¢��Q�¿�¨�I��� �\�ö ÿ ¬ fA��¯��I�����¿��� ]^)� Êÿ ¬ X ��¦�§��M���(���f�©���M�g���M¡�� �I���f�����*�   �©���f�©�   ���I�7�������������&�E���7�f���f����¥4�f���M���M�M�Q�f�¥������f���������Q�B��� �I�M�þ¾M���f���a���É�f��¥����f�����I¡��P�¨���I�4�M¡���������f�Q�&�����I�����X¦�§��M�Q�����I�ª�f�M¾M�f�������I����¡�¡����M��(����I�����&�I�M���021 /�¼¯F���   ��¢��Q�¼¦�]^)� U���B�þ�M�f��¥��I���*�&���M¥ª¡����M¥��M��¥���!¨­M % ���M¥��&�Q���I�Q�   ���I���I���*�a��¾M�f���f���Q�©�M�����õ�����x�Q��������m�&���M�Q¡��f��L��M�Q���I�m���M�õ¢X���I�����M�ɾM�M��¡��I»º���Ë�¨�M�M���������M�7�¨���)�Q���M�I�I�I���Q�����M¥a¢X��¡����õ�I�&L����Q�����¼¦%§��M�Q�f�]���É�M�����M���M¥���õ���M�]�����f�g�I���&���������Q�m���7]^)� ��I�M���m�x�Q�f���������m��� ���I�����¨�¼¦'§��M���)�Q�f�I����������¡�¡��¿�*�����M�É���M���É�Q¢��Q�f�����M���M¥&�M���)���¾x� �M����� ¢����õ�f�Q¥��M¡����g�¨�M�M���������M��¡'��¾��I�I�I���Q�������{���M�����M��¡����Q���������´¯   ���I���õ¡����]���$�I���M»�¡���¢���¡Å�M�Q¡��x�Q�B�¨���M�Q�I�����M�������{�I�I�I���M¥R�����x�õ�I���f����� �*���M������� ��� �I���-���¶¥��M���I�����I�Q�¿�I���M�M�M�M���I�¼¦ ' ����¡��õ���M���a���a�����I�f��¾�¡���¯r���*������f�Q¢����I��¡��M�f�   ¾M���w���¼¦F­R���f���M������¾M¡���¯����M�©¾M�M�f�M���(���´�����x���I�M�Q�f���%�&���M��¥��Q�&�Q���'�¨��¡�¡��$���¿���M�©�M�f�Q�f�X¯   �M�*�B�M�f��Q���M¡����Q����¡��G�����Q�ª���f���w� ���/�����Q���m���f�I���*���������M�����M�¿���������I�&�Q���������©�Q���M�Q¡��M�f�����M��¾�� �&���M���M�M¡����I���M¥a�f��L��M�������¼¦

§��M� �M��(x�Q�f�Q�M��� ¾����   ���Q�����I�f�M�&�M��������¾����f�Q�]���M���I�&L��M�Q�����4���4�¨�M�M�M���&�Q������¡!¦¿Ì��B���B�=�����{���R���M�¿�M�F(x�Q�f»�Q���Q�*¾����   ���Q�R�f�Q���M�f�I�����Ë¢��Q�f�I���)������¡����Q���©�*���M���M�M¡����������P�������M�*�Q�����I�I��¡´�f�����w�#¦©Ì��R�ª¡����M¥�����¥��4���M���©��¡�¡��   ��f�Q�Q���I�f�����´¯��I�M�õ�M�f�Q�&�&���M���M�M¡����I�Q�a�����õ�Q�����I�I��¡%�f�����w�Õ��¬Z��<���:���i�<�IX¦S§��M�þ�����M����� ���)�M�M�f�M���M¥{���M� �x���M�M���M¥�f�����w�4�¨�I���&�Q�'���%�I��¡���¥����I�Q�a�I�]���M�7¡����M¥��M��¥������&�M¡��Q�&�Q���I����������¦/§����ɾx�Q�M��£M���%���f�   �Q¡�¡h���M�   �´«/�M�f��¥��f���&�Å���I��f�M���f�����X¯��Q���I���Q�7���ª�I�����Ë���M�   �f������¯x���M�R�����M�I���I�f�Q�R���7�¿�M��¥����Q�7¡���¢��Q¡����Å��¾M�f���f�����������´¦� ´�F���   ���I��¯x��� 0�1 /������B�M�f�Q�)�*���M���M�M¡��������É�I�M�4���I�f�M�&�M�I�����õ¾M���f�]���*��¡����Q����¡���¦m§��M�B�I�Q�M���M�v���r���I�f�M�&�M�I�����õ�*���M���M�M¡����������c!¨��¦ ¥x¦�¯�M���I�������f¥����M¥B�����������M���I��� % ���m�f�Q¡��Q¥��������(���a�I�M� 021 {�I���&���������Q�¼¦

ö��M�f�����Q�f�*���I��¯X���Å���'�M���r�I�M�m�Q���I�$�I�M���r�I�M�m��¾��I�I�I���Q�������*�Q���M��¾���¡����I�����r���M�&�f�����&�����x���I���f���Q� ���x�g¡����M¥�����¥���f�M���þ���m­� �Q���õ�&��¥����Q��¡�¡��ìj������M�&ra���M�B�����M�m�����f��L��M�����m�&���M���M�M¡����I�����´¦�§´�a�f�Q�]�I�M���X¯M���)���)�M�I���¨�M¡/�I� �M�f�  �����������Q�7�M���f��¡�¡���¡!¯��I�M���g�I���&�&¾x�Q�   �Q�Q�P���f�I���*���������R¾����f�Q�©���M�P�I�I���f�Q�¼¦ ' �M��¡��&���R�M�f�����Q���M¡��&��¢��Q�f�����M���M¥¿�Q���

f ¬

Page 53: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

¾x�g�M���M�   �����õ�f�Q¥��M¡����$�¨�M�M���������M��¡/��¾��I�I�I���Q�������¿���M�õ���M�M¡��������I�����´¯������I�����M�m���þ�����M�M�Q�   �����õ�&�������]�f���I�I�Q�˯�f���&�É���M�M¡����������������I®-��¦ ¥x¦ ¯��I�M���f�É���Q��¡����M¥   �����¿¾M���¹�a���Q�����M�����f®-�M�¼¢����f�M��� �*�I�I�I���M¥]�f�������7�Q���&�x���M�����'������������Q�R�����{¾x� �Q���M�f�Q�f�I���{�B�M���{�&���f�a�M���I�M�f��¡�¡��P�������¶���&�����I������¢��a�M�f��¥��I���&�*���M¥ª¡����M¥�����¥��&�I�M���]���I�¼¢����M�Q��f�����f�Q�$���M�þ�B�M�I����������¦[)%���Q�����I�f�   �g�����M¡��´¯����þ�M�I���M�����M¡���¯L�M�Q¢��Q¡����þ���M�g���M�M¡��������I�����ª���þ�a�M�M�f�Q¡�� �¨�M�M���������M��¡¡����M¥��M��¥����   �a�Q���M¡��¶�f�Q���I���I�����©�I�M�a�I�I���f�&�M�I���M¥õ�f�������a¡����f���]���M�{�I���B��¡������a�����B�&���M�����M¡����������{¾��Ë�Q���M¡����Q����¡���M���I�f����¥B�������f�7¡����I�I�����f���M�M�¿���$�f�M�¿�I���&��¦C]É�   �Q¢����X¯��������   ����¡��¿¾��g���M���f�M���M���I�Q¡��a�Q�M�4¾����I�f���&��¦ _ �&�*�����I�Q��M�     ���M�M���I�¨�M¡�¡����¾��I�I�I���Q�a�����Ë�¨�M�M���������M��¡É¡����M¥��M��¥��ª�&��¥���� ¾x�Ë���U�������Q� �f�Q�f�����Q�I�X¯����S�I���&�õ�Q���f�Q�a���(����f���&�M¡��]�B�����B�Q���I���Q���I�7���I�%���*���&�x�Q�f���I��¢����M�f��¥��I���&�*���M¥)¡����M¥��M��¥������M���r�����I�������������I�I���f�������7�¨�M�M�����&�Q������¡��¾��I�I�I���Q�������þ���M�Ë�f�M���¨�I�)�I�M�B¾��M�I���Q�Ë���������7�&���M��¥����*�����m���¿���M�4�¨���f�*��¡/�f�Q�&�����I�����X¦$Ì��R���M�4�Q���f�]�������I�����¨�¼¯�����(�f��¡�� �����I�M�¿�f�����I�(���*�M¡��¼���Q��¾��{�����(���f�f�M�&�M��������¾����f��¦�]*)� Ê�f�Q�M�f�Q�f�Q�����4���f�I���*����������¾M���I���B¾��{¡����f���!¨�f��L��M������� % ���M�¶�Q���M¡��������I¡��Ë�����f�I���7�I�M���f�&���f���M���R���g�f�M�¶�����&� !Z��¦ ¥x¦�¯F��¢��Q�f�õ�M�f���&������¢��*]^)� ���M�¨�Q�f�Q���Q�&�I��¡�����x�Q�f���I�Q�Å��� �f��L��M�Q���I� % ¯��4�M���a���%�]�M���I��¡��&�¨�M�M���������M��¡�¡�����¥��M��¥��   ���M¡��a�f���4�M¡������)�I�I���f�Q�'¾��&�M���I�f����¥]���f���M����f�����I�4¡����I�I�7���������&������¡�¡���¦ ' �M��¡��*���M���   ���/���¼¯����©���7���M���I�M���M�����Q¡��õ�Q���B¾x�Q�f�I���*��¦)Ì��7���©�B�M���P�Q���I���Q�7���ª�M�f�4�¡����M¥��M��¥��]���M���)�x���f�����7���M�&���f�f�M�&�M�������˾����f�B���7�ª�¨�M�M�M���*��������¡���¾��I�I�I���Q�������R���M�Ë�f�M���¨���g�I�M�4¾��M�I���Q�R���r���I��&���M��¥����*�����m�¨�I������M�*�M�f�Q�7���(�I�M�*�¨���f�*��¡/�f�Q�&�����I�����X¦É§��M���)���7�Q�����Q��¡��   �M��� 021 /�7�M�¤¯M���M�   �B¾x�Q¡�����¢�����������I�a¾��g�I�M�g���M���Q���I�����f���   ��� ���I�����¨�����M�ª�M�I�����/�&�Q�I�M���M�m���f�©�Q���I���Q�$���&�������I���I�����þ�I�M���ª¡����M¥��M��¥��Q�¼¦

û �

QSR&Q#� � n#$ X '%*&� W�$&" przZY Vgprq �,$�Q¥����M�����M¥&�M�f�Q�f��������������»D3 0�1 /�m�����Q���f�����M��¡�¡��a�M�f�������I�$�I�M�����a�M�f�����´���þ�f�M���þ�a¡����M¥��M��¥��7��� j��M���%�f�Q��¡�¡�� ��M�f������r¿¾M�M�©�I�����M���)�ª�M�f�����Å�f�Q�����x�Q®-���Ë��¡�¥����f���I�M�v�¨���7�Q���M�f���f�M�Q�I���M¥ª�ª�M�I������¯   �������´¯x¡������*�����õ��¡�¥����I�����M�˯�&��¥����Å�����*��¥������M���Å�f�M���Q�Q���´¦´§��M�����f���M���Q�I�'�]�&���I�M���M�Q�f�I�I���M�����M¥B���F�����É�¨�M�M�����&�Q������¡������f�����M�Q�I����� ¾x�Q�   �Q�Q��Q���M�f�Q�f�f�����M�2!Z�Q���&�M�������I����� % ���M�¿�M�Q�M���Q���������B!Z�����¨�Q�f�Q�M��� % ¦ ' �����$�I����� �M�f�Q�f���&�Q���(¾��cj��4�M�f�����#�f�Q�Q���x��rx¯�����Q���M�f�I��¯����$�4�&�Q�I�M���´¦��É���¿�I�M�Q� ���I��L��M���I�©�Q���f�f�Q�Q�����¿���M���$�4�&�Q�I�M���¿���$�M���%¾��a���I�I��¡��´�4���I�����/���#�������I�M����¥x¦§%���x�Q»�3 021 /�©�&�E���B�I�M���©������¡����Q���©¾��õ��¡����I�f���¨�����M¥¿�*�����M���M�©���)�������I���I�f�����M�¼¯������7���7�M�Q�M���Q���������X¦©Ì��7���7�I�M�;w�=��<���:�;=i���g=H �����©�&�Q�I�M���a���M���r�Q���M�I�I���I�M�����Å�g�M���M�M�Q�I�����´¦/§´�g�M���Å���r���a�f���&�M¡����I���������Q�I���$�����I�&�¼«#�©�M�f�����x���&���������»D3 0�1 õ���5j��*��rx«#�g�M���f�f�%�I�I���$¥��Q���Q�f�������4¾��4���M����¾M�I�I�I���Q��¥��f���&�&�����¨���Å�M�Q���M�Q�I�����M�X¦/§��M����¢Á��¡���������������x�����*¥���¢����v� ���a�����4���f�I�M�&�M�I�����&¾M���f�O   ��¡�¡���¡   �¼���r�I���I��¡��r��� �f���&���I�x�Q����£��m�M�f���x���f���I������4B¯����F���Å�f�Q�f�M¡�������¿�������I�M����¥4���%��¡�¡�¯   �M�����ª����¡���¥�������¡�¡��f�E���w�����]�¿�¨�f����O$¦��É�M�   �)���I¥��M�7���M�������M���������f�¹+&�Q���Q���-u��M�f����£M�Q����������¨�����f�Q¥����f�M���M¥s� �����&�M���M�M���������M®-�&�M�Q�M���Q�������þ���´�I�M�g�Q���M�Q¡��M�f�����f4 �¨�I���N���M�g���I���*���f�Q�����sO�¦

� �&���f�©���������I���I�I����¥a���f�I���g���m�f�����f�Q�þ¾��(���þ���M������¡#�I�a���M�B���f���M���������M��¡F¢����   ���´�a���I���������É���þ���f¥��M�&�����  �M���I�4¢Á��¡����M�����þ�Q���P¾��*���M���w���Q������:&����Hhi�<�IX¦5)%�M�*�&��¥����)���I¥��M�]�������   �M���I�Q¢����)�¿�M�f�����r���¼¯x���)���M¥����É�I�¿¾x��f���&�Q�I�M����¥(�������   �4�B�M�f�)¾x�*��¾M¡��B�I�¿���M���w�þ�M�I���&�M��¡���¦ 0 �Q�����I�&���M���M¥   �M�����M���©���Ë���I¥��M�&�Q���É�f�M�Q���Q�f�I�¨��¡�¡���M���I��¢����7�����B�M�I���¨�Q�f�I���R�����M��¡��M�f�����¶�I�M���M¡��P¾x�a���{�Q���x�Q�M�����������g�M�I�����Q�f�I®-���©�����Ë�f���I��¯¤�þ�M�f���Q���I�©�������g���]���¡��Q���f�$¥��M���I�������Q���(�I�*�I�Q�f�&���M������¦

§��M�Q�f�B���I�B�   � �&�����Ë�&������¢Á���������M�7�¨���7�������7¢����   ���������Á¯����M�B�I�M�Q���I�������Q��¡´���M�R���M�4�������Q�7�M�I���Q�I������¡�¦�§��M������Q���f�Q�I������¡´�*������¢X���������R���7���M���É���Å�M�f���������M�Q�w�����M¥ �I�Q�f�*���M�����Q�7�����Q�´¯����f�f�M�&���M¥(�(�Q���M������¾M¡��B�I���É���r���I�����¨�¼¯  �É�Q���(�&�Q�������M���Q��¡�¡��&�Q���M�&�Q�f���I�É��¡�¡¤���M�����f�Q�&�%���M���������(¾x�7�M�Q�f��¢��Q� �¨�f��� �4¥���¢����(�f�Q�%���F���������&�ÈO�«   �)¥�������I���M¥��4�Q�����4�M�f�����9�¿¯¼���M�Q�w�]���Á¯����M�*���   �%£��M�&���M����� �M���I��¢������)�����M��¡��M�f������4�¨�f���ÄO������Q�   �$���������M��4���&���M�$¡����I�$���/�����Q���f�Q�&�¼¯����I�M�Q�   ���f�   �©�Q�������������   �����þ�����g�M�Q���$�M�f������¦C�É�f���M¥&�f�����M�M���f�}�)����M�Q¡F���M�4¾����I���M¥�f���M�Q�&�Q�¼¯%�������þ�&�Q���M�¿�I�M���   �R�Q���S���M�Q�������¨�U£M�f�I�I»º���I���Q� �I�M�Q���I���Q�f® �f�Q�I�(���g���M�����f�Q�&�I®   �����S�f�Q���M�I�f��¢��Q¡���Q���M�&���I��¾M¡��a�f�Q�I�B���%��������¥��Q�f�¼¯#���M�����M���B�����B��¡������f�����g�Q���M�I�&L��M�Q�M���Q�¼¦ ö����4���M�f�����M�Q��¯#�&�����¶�Q���M�Q���M���4���M��f�Q�f�M¡��I�a�¨�I��� �I�M�Ë�����Q���f�����)�f�Q���M�I�f��¢��Q¡����������*���I��¾M¡��ª�f�Q�I�X¯��f�M��� ���a�M�f���M�M������¢��õ�f�Q���¼¯��Q�f�Q������¢��ª�I�����¼¯'�I�M�Æ ñ[� Ñ�Ö�Ú�ÝÁÏ�Öº×XÑ�ÓÅÛ�Ü2ã%Ü2Ù2Ú�Ó´Ú�ÝXÚ�Ù2Ï�ç�Þ7ã$ÚfÞ©ò�Ñ'æXÓ�ÚIÐ#ÝBò�Ñ�֨ФÑ�Ñ�Ý�º)�aÚ�ÝÁæ������#è���Ü2Ó�Ñ�Ø�Ö�ã%Ú�ÝXÜ2áXàXÙ2Ú�Ö_Ü2Ï�Ý]Ï�âxæXÚ�Ö_Ú�òXÚ�Û�Ñ%ÖºÚ�òXÙ2Ñ�ÛrÜ2ÝBº)�ФÏ�àXÙ2æ�ò�Ñ/ß�àÁÜ2ֺѴÏ�ÝXÑ�Ó�Ï�àXÛÕè7�ªÙ2Ú�ÝXç�àXÚ�ç�Ñ�ÛºàXØ!×�Ú�ÛM�����gÖ_×XÚ�Ö¤á�Ï�Û�Ü2Ö_Û¤ëXÝÁÜ2ֺѴÓ�Ñ�Ù2Ú�ÖºÜ2Ï�ÝÁÛFÚ�Û¤ÚÅâ�àXÝÁæXÚ�ã$Ñ�Ý�Ö_Ú�Ù�Û�Ñ�ã$Ú�ÝQÖºÜ2Ø´Ú�òXÛ�Ö_Ó�Ú�Ø�Ö_Ü2Ï�Ý)Ú�ÝXæÏ\��Ñ�Ó�Û#áXÓ�Ü2ã%Ü2ÖºÜ2Ò�Ñ�ÛºÞ�ÝQÖ_Ú�Ø�Ö_Ü2Ø'Ø�Ï�ÝÁÛ�Ö_Ó�àXØ�Ö_Û�â9Ï�ÓFã$Ú�ÝXÜ2áXàXÙ2Ú�Ö_Ü2ÝXç�Ö_×XÑ�ã-Ü2ã$áÁÙ2Ü2Ø�Ü2Ö_Ù2Þ�ФÏ�àXÙ2æÉò�Ñrã�àÁØ!שã$Ï�ÓºÑ�Ú�áXáXÓºÏ�áXÓ�Ü2Ú�Ö_Ñ�è

f ½

Page 54: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

�x���f���I��¢��)�f��¡��M�������ª��� 1 ���I� ` �$�M�f��¾M¡��Q�˯�������¦�¯������f�I�a�¼¢��Q�%���&�&�Q�M�����I�Q¡��(�I�*�I�M�©�I��¾tu��Q�������/£��I�f��»����f�M�Q�%�����Q���f���Q����¿�&���I�M�Q�&�������Q��¡/¡���¥�����¦

,$�M�$���$�����Q���f�a���*�f�Q�©���M���$���M�©�f�Q�Q���I�f��¢��Q¡��&�Q���M�&�Q�f��¾M��¡������a���#���M�����f�Q�&�$�������I���I���I¢��Q� ��¢��Q�   �M�Q�ª�M�f�����¨��Q���R�M��¢����I¥���¦��M�����Q��£M�Q��¡�¡���¯#¡�����O�¾x�a�þ�I���Q�M�f�f��¢��B�f�Q�©�������������&�X¯x¡��Q�5� ¾��a�ª�M�f������¯¤���M�P¡��Q� �©���&<��E@\¡Ë¾��a�¾M���M���f�õ�f�Q¡����������¶�¨�f���O���I�����¨�©�I�õ�M�I�������I�����������7�f�M���{������� � ����<¢�=@\¡�!��G�%4 % �M��¡��M�]��(¦��M���M�M�Q���14 �¨�f���®O$¦§��M���¿�I�M�g�I�������´���M�����f�Q�&�����9O��Q���ª¾x�g�M�Q£M���Q�þ���

£ ¡ � � 4Õyh!S¤� % � ����<¢�=@ ¡ !��s��4 %K� �' �M���¥�©���&<��E@ ¡ ���g���Q�Q���M��¾M¡���¯F�I�M�a��¾x�¼¢��*�I���©���]���§¦�ûQ¯#�!¦ ��¦�¯F���g���g�f�Q���M�f�I��¢���¡��õ�������*���I��¾M¡���¦BÌ��¶�I�M�a�Q���I�&���021 /�¼¯�� ����<¢�=@ ¡ !��G�%4 % �M��¡��M�©��(}OFd��y{|4B¯   �M�����¶���7�����©�M�Q��������¾M¡��4���¶���M�&��������»D3 �Q���f��¦ _ ��¢��Q�f�����Q¡��Q�f�X¯£ ¡ �f�Q�&�����M�©�f�Q�Q���I�f��¢��Q¡��¿�����M�&�Q�f��¾M¡��B���P�I�M�*�����x�Q»�3 �����f�4¾x�Q�����M�f�B�I�M�&�I��¡�����������OFd^�y{(4 ���©�I�I��¡�¡[@��&¬^� »�M���Q���M��¾M¡���¦ ' �g�M�Q���þ���M¡�� �M�����g������� £ ¡ �����þ¾x�g�Q���M�f�Q�f�I���(¢����&���¿���M�M���������M��¡#�Q�����I�I�Q��������¡F�M�f�au����Q�I�����(���

£ ¡s� � 4Õy�!Q¤� % !Q¤Vy % �©���&<¢�=@�8 � i���� ¡ !��G�%4 ��y %K����¼¯����þ�I�M� 0�1 ��Q���I��¯

£ ¡d� � 4Õyh!S¤� % !S¤Vy % O d ý �<{|4 � ! ¬ ¦ À ¬ %  �M���I�]�I�M�B���I���M�������I�K� ����<¢�E@�8 � i��ø� ¡ !��G��4 �@y % !Z���¼¯L���Ë���M� 0�1 �����f��¯�O&dMý��<{|4 % ¯M����¡��M�É��(N� �M�Q�f��¢��Q�+4�¨�f��� O����c;=i ¬�g=@/iiy�@/i��ø��@f¦ �M���M���BO&dMý��<{|4 ��@©�M���Q���M��¾�¡��]�¨���É�����x�Q»�3Ê�M�I�����¨�X¯   �4�Q�����Q¡��M�M�]�¨�f��� ¬ ¦ À ¬�������������g�I�������/�I�M�Q���I���&� £ ¡ �����f�Q�Q���I�f��¢��Q¡��a�Q���M�&�Q�f��¾�¡���¦ !¨§��a�I���7�I�M���m��¡�¥����I�����M�&���Q��¡�¡���¯��M�����©�������   �©�Q����Q���M�&���I�����%��¡�¡������M��¡����I�����M���������*���M£M�M�����$¡����f�����������x�Q»�3¶�M�f�����¨�� û �&� � ��� � �&�����¼¾����=gE���&i�;E��<e��H ­ «   ���x�Q�f�¨���f������7�f�����¿�¨�f��� � û ¯������Q�þ�   �&�f�����M�m�¨�f����� û ���M�þ���M�©�¨�I����� � ¯��I�M�Q�þ�����I���7�f�����M�m�¨�f����� û ¯��   �*�¨�f����� ������¿���M�©�¨�I����� � ¯����M�þ�I�&�¨���f����¦ %

§��M�©�M�f���Q�I������¡x�&������¢X���I�����¿�¨���%���M�f���f�����M¥*���ª�����I�&���M���I���M¥*�M�f�����¨�$���M�x�Q���I�%���&�f�����N�¨�I��� ���M�©�f���Q����¡¤¢����  �����M�f�����¨�m���m���f¥����*�������m���M�M�M���Q�õ���Ë�a�M�Q¾�������«Å�I� �f�Q���I¡��4�I�����ª�&���������I�)�Q���M�Q¡��M�f��¢��Q¡���¯   �]�B���I�m¾x�B��¾M¡��]�������¡�¡����a�g£��M���I�É�I���&�m�x�Q�f�����   �M�����M���Å���'�M���Å�g¥���¢��Q�&���f¥����*�����r����¢Á��¡����´¦9]É���I�   ���f���&�M¡��4�x�������Å�����Å���M���Å�M��f������������¡���¥������©¨   ���M¡�� �Q¢��Q�����M�M���Q�É�4�M�f����� �����(���I�M���'�I�B�Q����¢����M���É���I�M�Q�f�%���M���'�*�Q�����Q¡��M�I�����&4Ê�¨��¡�¡��   ��¨�f��� �I���*�B�M�I���&���f�Q�ZO����M¡����I�q¨����)��¡��f�Q���M�(���Q�f�������õ�������É�I�M� u����M¥��&�Q���ZOFd��y{|4 ����¡��M�X¦ 1 �f�Q�f�M�&��¾M¡���¯¨õ�M���'��¡��f�Q�����B�M�f��¢X�����Q¡��*���M�Q�w���Q��� �����a�M�������f�Q�Q�f���������Q�&���M���'���'�M���I��¢�����4 �¨�I���×O$¦´Ì��a�¨���Q��¨õ�&��¥������M�¼¢��  �Q¡�¡r�Q�������I�Q�¶���M�a���M�4¾����g�����I�I�Q�M�]���©�����E�R���õ���M���w�k�¿¯F����¡�¡r���Ay%¯¤���M�{�Q���P�����M£M���Q����¡��Ë��¡�¡��   ���I�M�Q�f�g����M��¡��$�����Q���m��(x���f�������¨���Q��y��f���Q���X¦

' �©�����ª¥������(�f���&�©�����M���I�����M��¡¤���M�f��¥����$�������*���M���m���I�f�M�7¾��(�M�I�   ���M¥4���ª���M��¡���¥��   ���I�þ���M�©�¨���f�&��¡��F����I��������$��¡�¥����f���I�M�&�g���B§��M�f����¥Ë�&�����M���M�Q�¼¦ 1 �f�����g���Ë�I�M� ½ | é�ê ���Q�����M�f�¶������¡�¥����I�������   ���]���M�I�I���&���f��¡��P¢����   �Q����a�{�M�f���Q���M�M�f�ª�I�M���a��¡   �¼���&���Q�f�&�����������   ���I�U�   ��¡�¡�»º���Q£M�M��� �I���I�M¡���®   �M���*��� �I�M�õ�M�f��¯����¨�I�Q�a��¡�¡�¯Å���)��f�Q�Q���x�)�I�M���$�M��¢��Q�$�M�f���M�M���Q�$���������M���M¥�*,$�M�$���M�©�M����¥����M��¡���Q��������� ���I¥��M�&�Q�����   �M�����¿�f�M�   �Q�(�I�M���$�M�&��¡����I����'���Q�f�&�����������M¥¿�*�����M���M�Q�©�Q���M¡��R�Q¢��Q�7�Q���M�I�I���I�M���*�ª���M���I���M¥��Ë�¨���I�&��¡���Q���������Ë���Å���M�&�����M���Q�M�7���Å��¡�¥����f���I�M�¡��Q� �I���I�����f���M�Q�f�&�������M���M�a����¢��Q�f¥����M¥{�Q���&�M�������I�����M�¼¦ì�M�   ������I�õ§��M�f����¥��*�����M���M�Q�a¢����   �Q� ��� ��¥�������¨���f�&��¡��F����I�����¶�������M�¿�Q���M�Q���M�B������¡�¥����f�����M���Q¢��Q���������M¥������M���{�Q����M��¢��Q�f¥���� §��M�(���M�   ���B�M���Q�*�M���]¡�����&�Q�f�Q¡��¿���Ë�I�M�4���I��¥��&���I���g�M���I���f�B���¿�¼¢����I���I�M�4������¥�������¡��F����������þ��¾M�I�I����¡���¦ � ���I�M�Q�¼¯����7���7�&�����M¡��¿¾x�Q�����M�f�B�§��M�I���M¥&�&�����M���M�g���B¾x���������m��¡�¡F���M�B�Q�f�I�����I����¡F���M���f���������I���I�I�����$���M���   �g���M�¨���f�&��¡�¡��(�����I�I��¾M�M�I�g���a��¡�¥����f���I�M�&�X«���4���M�&���I�*�¶£M�M�����þ�M���I���I���M�I�����´¯����4�������I�����Q�*��� �¶�M���I���I�����(�f�����   ���f�¿�¨���I�������´¯�������f�P���Õ!¨�f�Q�þ�M�f���x�Q�f�����Q�¬ ®cfR����I�M�þ¡����f�4¥���¢��Q�¾�� � ��¥��Q�f�*���N�M�Q��������� ¬ ¦ ¬ ���É�M���Nj!§��M�Q���I�{���É�I���Q�M�f�I��¢��(�¨�M�M�Q�I�����M�a�������(x�Q������¢���Q���&�M�M����¾M��¡������tr-ÿ ½ � ��¦ % §´���I�&���M���I��������*�����&��� �&@�@��&HJi���;=<$�M�f���x�Q�f���{���m��¡�¥����f���I�M�&�X¦¶Ì��)���   �Q�f��¯��I�M�Q�-�M��¨���f�&��¡��F����I�����a���M���'��¡�¡��   ���a���M£��M���I�©�Q���&�M�������I�����M�%�Q����¡�� ��¢����'�Q¡������ ���*�Q���M���M�f�É�I�M�7�Q�����Q�Q���'�f�M�Q���Q�f�I�¨�M¡�¡���¦

/�����   ���f��¯   �R�f�M¾M�&���¿�I�M���ª�����I�&���M���I�����Ê���¿�����ª���S���I�f�Q��������¡7���M���I���Q�����I���f�����õ���]�M�f�����¨�¼¦ ' �¶�I���R�M�ª >?;E<���i�;Ei����&�õ�M��(����I���M�Q�ª¾����   ���Q�-��������»K.U�M���M�M���������M�¼¯   �M�����-���M�M���I�ª���¶�����ª������¢������������M��¡�¢����   ���m�M�f�����¨������U�Q���U¾x�Ë���M���w�����-�&+&�Q���Q����¡���¯$���M� ���]�m�� �M���M�M���������M�¼¯   �M�����S�&�¼����=���Ë���M�M��£M�M������¡�� ¡����M¥��I�������¡��

f�
Page 55: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

�R�����M��¡����I�����´¦M,$���I�����f��<�g ­ ��:/;=<5�E��¬�g=Hh@�i��ø;Ei���gEHh@�«a�f�����f�����M¥Ë�¨�f��� ���Q�f�����������I�f�M�&�M�I������¾M���f�Q�¼¯´���M����¾�������M�f���Q�Q������ �¶�f�����   ���f�¿�&���M�M�Q�¼¯'�M�Q�M���Q���M¥{¢Á���I�������*���������I�&�Q���������þ�M�f���x���f���I�����M�&¾���I���M�M�-�*���M���M�M¡�������������r�I�M�*���f�I�M�&�M�I�����˾M���I��¯������I��¡������4�M¡������&���I�4�����M��¡��M�f�����Ë���)£��M��¡�¡��õ��¾M���������Q�Ë���É�f���&�B¡���¥�������¡��¼¢��Q�f�f��¥���������M�M���¼¢����I���´¦©§��M�&����¡��õ�M��(x�Q�f�Q�M���*���BL��M�����I���I������¢���«   �M���I�&�¿���]� � ���I�����   ��¡�¡Å�M�f���&�M�I¡��õ�f�Q�����R�ª¢��Q�f�M���Q�!¨�����I�M�Q�g�I�M�a�M���I���I���P�����M��¡����I�����P���g���¶�Q�f�f��� % ¯x�ª���]�m�� �M�f�����'�&��¥����©���E���&�B�M���¶¡����M¥����I®-���M�M�Q���´¯x���¶�I�M��Q���I�I���*�É�Q���f�m���'�&��¥����'�I�E���É�¨���f�Q¢����X¦ã,$�M�   �É�f���f�Q�f�Å�������%���M�����������'�M���'�����M�f�������M�I�É�]���F(x�Q�f�Q�M���É��� �Q�f�f�Q�M����¯���$¡��Q���I�$�M�&�&���f�©���M���ª�����M���Q�����þ���M�g�����f�©���/��¡�¥����f���I�M�&�X¦

)%�M�%�Q����¡��*��¡��I�)�����I�����M�����f¥����'����������������»K.a�M�f�����¨�����f�-¢�g&:�>?@��]�g¾����Q���M�I�$�I�M�Q�g�M�¼¢��Â��Q�f�É�����&�M�M�I������������¡�Q���I�X¯   �M���I�������M�M�f�Q�f���f���Q�����þ�����x�Q»�3-���I�����¨�É�*��¥����   ���M���Q�����f�����M�þ�����I�¨���I�&���M¥&�I�����f���´¯����M�þ�I�M���m�I�M���É¡����w����)�¨���Q�M� �����M�f�����������Q�a��L��M��¡�����������¢��þ�M��(����I���M�Q��¦«,$�M�   �þ�M���I�õ���M���&�����x�Q»/.S�M�f�����¨�a�����-��¡��I�¶¾��õ�I�Q�f�I��¾M¡���M�M�¨�����M�I��� ¾��   �¼�*���F���Q�����M�f�����M� �f�M�����P���M���M�%�����I�Q�f�&�Q�M�����I�É�Q���M�Q¡��M�f�����M�f® �����M�f�����Q�'�4¾M��¡�¡������M»�¡����M�É�����x�Q»/.�M�f�������I�M���'�M�Q�f��¢��Q�������m�M�f���x���f���I����� °�±Á²�³�¦´ö����Q�M�'���Å���g�*���I�$���*���I�f�Q���I����¡L�¨�Q���I�M�f�����x�M�I�����¨�r���M���a��+&�Q���Q�M�������������¡�¥����f�����M�&�¼¦

)%�������M�f�f��¯Á�¨���'�Q�M¥����M���Q�f����¥)�M���I�x���f�Q�¼¯   ���*�¼�B¾����x�Q�f�¨�Q����¡�� u��M�f����£M�Q�a���&�I���I�I�I���Q�I����¥7�����I�Q���������*���g��¡����I�f�Q������M�f�����¨�m�I�M���m���¼¢��©�Q���*��¡����������ª�M�I�������I�I���������M���I���M�I�����I�©�¨���m�I�M�B���M�M¡��������������þ�����M���M��¦ÅÌ��   �]�M�   �M¡������¿��M�f�����¨»��Q���f�f�����M¥Bÿ ½ ô ���������Q�M�I��¾M¡��%���M�*�M�Q���B�I�)���M���w�g���M�%�M�f�����M�I�)�&�E�����f�M�f���I�M���������%�����M�����������M�����Q���I�f�M�M������¿���r�����É�f���f������` �)�I���I���M�I���Q�¼¯   �   �����m�����B�M�f��������� ¾x�B¢X��¡����M���I�Q�Ë���Ë�M�(�*���I�B���M���Ë� �¨�   �f�Q�����M���X¦%Ì���������g�Q���I�&���g�&�¼�   �Q¡�¡r¾�� �f�Q���I���M��¾�¡��*���õ���Q�Q���M�g����¡��Ë�����x�Q»/.����B�����x�Q»�OS�M�f�����¨�X¦ )%�{�I�M�a���I�M�Q�]�����M�´¯#����f���&�Q���M�$�M���M���Å�M�'���&��¡�¡���¥��Q�*�M�f�����x���©�%��¡��M¾M�����-` �r����� u����Q�I�M�I�   �����f���M�f��¾M��¾M¡��   ��¡�¡����M¥B���g¡��Q�Å�g�����&�M�M�I�Q����M���w�4�I�M���%�M�f�����F�¼¢����'�B�x�Q�f�����(���   �Q�&���¼¯����%�Q¢���� �&�������������#�M���Q�(¾x��¦-,$�M�%���¿�����&�Q¢��Q���   �É�f�M����¡�� �f�Q�f���I������m�����*�������I����� ���4�M�f�   �����I��¡���¥�������¡M�����M��¡��M�f�����M�Å��¾����M�'�I�M�m�M�����M�f�É���¤�M�Q�M���Q�������(���a�����ɾM���I���'���x���M�'�   ��M�f���������Q��¡¤�M���Q�M�É���M�ª¡����&���I���I�����M�X¦�§����7���Q¢���¡����M�&�Q���$�������M�g�I�M�Q���I�(���/��¡�¥����f���I�M�&�����������M���%���m���I�M�Q�   ���f��¦

QSR&Q « ¬ Y y&'Qz[Y z�$ u-Vgu9W�n#$Ì��Ë�I�M���©�f�Q���������   �B�M�f�Q�f�Q���)�(�Q���&�M¡������4���&�M¡��Q�&�Q���I���������P���r�I�M�4�¨��¡�¡����]�m�� ¡����M¥��M��¥��]���Ë�¨�   ���)�I�M��� ô |Y|¡����M�������ã�M­� P�Q���M��¦/§����)���&�M¡����&�Q�������������(�����M�f���I�I�'���/���M�f�Q���M­� ¶�I�I�I�M�����M�f�Q�¼¯7­�®�¯�l p±°�²�l´³%µ%¶al±°�·L¯¸³an�q�°�¶Alº¹�²�¯�¯�����§­º¯�¯�»&qm¼Alº¹�o�¶´½±°m¯�n�¦ ' �õ�M���M���a�����Q¡��M�M�õ���M���I�f�Q�a�M���I�þ¾x�Q�����M�f�   �   �����a�����f���f�Q�f�a�������a�����õ���M�����Q����%�Q���M�Q�f�Q�I� �f�����I���R���B¡����f¥���¡��R���f¾M���I�I���I�R���M�����M�M�������M�M�Q���4���$���M�(��¾M�f���f�����g�I���������R�������I���*���������Q�a�/���B����������f�I�M�(���M���B�f�M���M¡���¾x�(�f�M���f�M¡��P�M���Q���M�M¡��Q���������M�¿¡����M¥�����¥��a���Q�f��¥����M�I�����Q�f�X¦ ûIû 1 ���I�����M�g�I�M�(�f���&�M¡��Q�f������M�I�������ª���)���¿�M�I�B� �Q���M�Q�f�Q�I�]�I���������(¾M���I���õ�I»��Q���M�f�Q�f�f�����M�X¯L¾M�M�É���M£M�þ¢X���f���������m���I�g��¡��f� �x���f�I��¾M¡��]�����   ��Q���Q�����I��¥��É�I�M�g�f�Q�����Q�$���a�����x�Q�f���*�����   �����þ�M��(x�Q�f�Q������¡������I�M������¢����X¦

ûD�§��M���f���f�M�Q�I�M�I��­%®�¯�l p´°m²�l´³%µ�¶Al±°�·)�&���M�Q¡��Å�����m��¾M�f���f�������I���������B���x�M�f���x���f���I�����M�¼¯X�M�Q���M�Q�I�����M�X¯��Q���M�f�Q�f�I�������X¯�����¿�M���I���I���X¦/Ì��������f�M�   �ª���þö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬ fx¦´§��M�©�f���f�M�Q�I�M�I�+­º¯�¯�»&qm¼Alº¹�o�¶´½±°m¯�n©�*���M��¡������I�f�M�&�M�I�����¿¾M���I�������M������M�Q£M���Q�þ�����M�¼«

¾S¿\À�Á�ÂS¿�ÁÃÀ�Ä1Åƾ\¾QÁ�ÇÃÈÿÆÉ]ÊPËÃÌ�Í�¾]Ä�ξS¿\À�Á�ÂS¿Ï Í\ÐIÄSÇÃÈÿ\Ñ%Ò�ÍPÓ�ÎÕÔ�Ö�×Ø Á\Ë1ÇÆÄSÇÃÓ%Ä]À7ÙkÚÜÛ�Å�Ó�¾S¿\À�Í�ÂS¿�Ý]Ñ�Ëÿ�Í]ÞÜß�Ú\À�ÊPȸà%Ô�Ö�áEÎ Ø Í\Ð�¾]Äâ ÇÆÄSÇÃÓ%Ä]À7ÙkÚ7àäã�Û\Û�À�Ä�¾S¿�á�ÎEÉ Ø ÚEÎ�ãq¿�å%ÄPË�¿\À�Á%Ä�Ä\Ð�¾]ÄqÇÆÄSÇÃÓ%Ä]À7ÙkÚ7àkÀ�Ä�¾S¿�á´×Æ�Æ ��ÚfÒQÜ2æBºgÚ�Ø%�xàXÑ�Ñ�Ý >çæ�è\? ç�Ü2Ò�Ñ�Û�Ö_×XÑ%â9Ï�Ù2Ù2ÏfÐ#Ü2ÝXç�Ú�æÁÒ�Ü2Ø�Ñ%Ö_ÏÉÙ2Ú�ÝXç�àXÚ�ç�Ñ%æÁÑ�ÛºÜ2ç�ÝXÑ�Ó�Û�Ú�ò�Ï�àXÖ�Ø�Ï�ÝÁØ�ÓºÑ�ÖºÑ$ÛºÞ�ÝQÖ_Ú�ä�éFæXÏmÜ2Ö�Ù2Ú�ÛºÖÕè�êxÑ�Ö_Ö_Ü2ÝXçò�Ï�ç�ç�Ñ�æBæÁÏfÐ#ÝgÜ2ÝgáXÓ�Ñ�ã$Ú�Ö_àXÓºÑ�æXÑ�òXÚ�Ö_Ñ�ÛrÚ�ÝXæ]æXÜ2Ù2Ñ�ã$ã$Ú�Û´Ú�ò�Ï�àÁÖ�Ø�Ï�ÝXØ�Ó�Ñ�ÖºÑ�Û�ÞQÝ�Ö_Ú�ä©Ø�Ú�Ý]ç�Ó�Ñ�Ú�Ö_Ù2Þ7×XÜ2ÝXæÁÑ�Ó�Öº×XÑ�æXÑ�Û�Ü2ç�ÝgÏ�â�ÚmÙ2Ú�ÝXç�àXÚ�ç�Ñ�è

¶¨âxÖ_×XÑ�Ú�òXÛ�Ö_Ó�Ú�Ø�ÖrÛ�ÞQÝQÖºÚ�ägÚ�ÝXæ]Ö_×XÑ%ÛºÑ�ã$Ú�Ý�Ö_Ü2Ø�ÛrÚ�Ó�Ñ'Ø�Ù2Ñ�Ú�ÝLÔ�Ö_×XÑ%Ù2Ú�ÝXç�àÁÚ�ç�Ñ$Ð#Ü2Ù2ÙLò�Ñ�Ó�Ñ�Ú�æXÚ�òXÙ2Ñ�Ú�ÝXæ]Ð#Ó�Ü2Ö_Ú�òXÙ2Ñ%Ð#Ü2Ö_×gáXÓ�Ñ�Ö_Ö¨Þgã�àXØ�×BÚ�ÝQÞÛ�Ñ�ÝXÛºÜ2òXÙ2Ñ�Ø�Ï�ÝXØ�Ó�Ñ�Ö_ÑÅÛ�ÞQÝ�Ö_Ú�ä�è7ëFàXÖ#Ü2âLÖ_×XÑræXÑ�Û�Ü2ç�ÝXÑ�Ó/æXÏQÑ�Û#ÝXÏ�Ö/ç�Ñ�Ö#Öº×XÑrÚ�òÁÛ�Ö_Ó�Ú�Ø�Ö´ÛºÞ�ÝQÖ_Ú�ä)Ú�ÝXæ)Öº×ÁÑrâ�Ï�Óºã$Ú�Ù�ÛºÑ�ã$Ú�Ý�Ö_Ü2Ø�Û´ÓºÜ2ç�×�ÖfÔQÖ_×XÑÅò�Ñ�Û�ÖØ�Ï�ÝXØ�Ó�Ñ�Ö_Ñ'ÛºÞ�ÝQÖ_Ú�ä)Ü2ÝÉÖº×ÁÑ'ÐxÏ�Ó�Ù2æÉÐ/Ü2Ù2Ù�ÝXÏ�Ö/Û�ÚIÒ�ÑrÖº×XÑrÙ2Ú�ÝÁç�àXÚ�ç�Ñ�èÆ Ø�ì Ñ�Ò�Ñ�Ó�Ö_×XÑ�Ù2Ñ�ÛºÛ�Ô´â9Ï�Ó©Ö_×XÑ*ÛºÚ\í�Ñ4Ï�â�Ï\��Ñ�ÓºÜ2ÝXç(Ú(Ø�Ï�ã$áÁÙ2Ñ�Ö_Ñ*ÐxÏ�Ó�íQÜ2ÝXç Û�ÞQÛ�Ö_Ñ�ãgÔ�Öº×XÑ4Ï�ÝXÙ2Ü2ÝXÑBØ�Ï�á�ÞþÏ�â�Öº×ÁÜ2Û©Ü2ã$áXÙ2Ñ�ã$Ñ�ÝQÖºÚ�Ö_Ü2Ï�ÝMÔ�Ú�Öî�î�îCï °m¹ ï q�¹�l ï n%ðû�ñ\¼ApEo%òanm²�lº¯%ñ%ðƵ%¶�óÆ°\¶´ô�¯Æñ%ðü�ó´¯Æñ o�q?nÃô±° Ô^Ü2ÝÁØ�Ù2àÁæXÑ�Û/Ú'Ù2Ñ�ä�Ñ�ÓFÚ�ÝXæÉÚ'áXÚ�Ó�ÛºÑ�ÓMõ2â9Ï�Ó¤Ú�Ý)ÛºåcÑ�ä�áÁÓ�Ñ�Û�ÛºÜ2Ï�ÝÉØ�Ï�ÝXØ�ÓºÑ�Ö_ÑrÛ�ÞQÝXåÖ_Ú�ä�ö_è÷�ËÛºÏ�àXÓ�Ø�ÑrëXÙ2Ñrâ9Ï�Ó#Öº×XÑ©�øº)��å ìHø Ø�Ï�ã$áÁÜ2Ù2Ú�ÖºÜ2Ï�Ý)ã$Ú�ÝXÚ�ç�Ñ�Ó´Ø�Ú�Ý)Ú�Ù2Û�Ï$ò�Ñrâ9Ï�àXÝXæ7Ö_×XÑ�Ó�Ñ�è

f ô

Page 56: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

Ø Á\Ë1ÇÆÄSÇÃÓ%Ä]Àƾ±Ù%Ô�Ö�àäÒ�áIÎ/¿\À�Á%Äâ ÇÆÄSÇÃÓ%Ä]Àƾ±ÙkÚÜÛ\Û�À�Ä�¾S¿7à@ÍPÓmá�ÎqÇÆÄSÇÃÓ%Ä]À7ÙkÚ7à@ÍPÓmá�ÍPË�ùÃÍ\Ð�¾]Ê/ÇÆÄSÇÃÓ%Ä]Àƾ±ÙkÀ�Ä�¾S¿7à@ÍPÓmá´×Ï Í\ÐEÉQË�¾]Ä]À\¿�ÎIÊPȸÛ\Û]×Ï Í\ÐIÍPÁÃú]ÇÆÄPËÿ�Î�ÊPÈ�û�×ÄPË�ù�×

§����M�����f�I���*���������ª¾M���f�Q�$���f�7�*���M��¡�¡��Q�ª¾�� ¡����f�����I�M����¥��I�   ���M�¿�f�M�f���h� ���ª���M�©¡��Q�¨���f������¯����ª�*�f�����w��»�¡�������¨���f�M�����´¦�§������m���m��¡������f¡�� �a������¢��©���&�M¡��Q�&�����I���I�����´¦r­Ë���I�©�&+*�������������&�M¡��Q�&�Q���I�����������   ���M¡��ª�f�Q�f�M¡��$¾��¿�I���M»�f�Q�f�Q�������M¥©���f�I���*���������*¾M���f�Q�Å���r���f�����X¯��¨���Å�������&�M¡���¦/Ì��r���Å���������I���I�I���M¥g�I�g�M���I��¯��M�   ��¢����X¯Á�I�M���r���&�M¡����&�Q�������M¥���f�f�M�&�M�������4¾M���f�Q�r���r�I���&�M¡��$¡����f���'���r�M�   ���Q�f�����r¾M���*���r���M�   ���M¡��*�������¹�4����£M�f�I�X¦#ö����r���M�f�������Q��¯¼�����M���M�s!¨���������»D3 021 ��¨���É�x��¡����&���I�M�����g�4�M¡��I��»��f���f���Q�õ£��I�f��»����f�M�Q��¡���¥���� % �M�f�Q�É�(�M�Q�¼¢���¡��¿���M�I���&��Q�Q�õ���&�M¡��Q�&�Q����������������É���f�I�M�&�M�I������¾M���I���4¾M���I�������M���I� ����¾�¡����4���M�¾M��¡����M�Q����f�Q���I�����I�I���Q�¼¦ýür�Q�   �M�Q�   �ª�Q���&�M���f�Q���I�M��x�Q�f�¨���f�*���M�Q�¿���m�I�M���&���&�M¡����&�Q�������������   �����-�����ª�x�Q�f�¨���f�&���M���(���m�P������¢��ª¡����I�&���&�M¡����&�Q�������������   �ª���M¡���¨�����M�P�ª�f�M¾M�f�������I����¡r�M�F(x�Q�f�Q���Q�&���¶�Q���I���©����¢���¡�¢����M¥(¢��Q�f�õ¡����I¥��B���I�f�M�&�M�������¶¾M���I���5!Z�Q�����I�����M���M¥¿�I�M�����I���M�M����É�M�I�������I����������� % ¦RÌ��-�&���f�(�����&�&��������f�Q�*���M���I�   ���*¡������I¡��þ�M��(����I���M�Q��¯��������� �¨���Q�*���-�I���&�(�Q���I���4�I�M��M����¢��g���&�M¡��Q�&�Q���I���������   ���É�I¡���¥�����¡��¿�¨���I�I�Q�¼¦'��¡������I¡��4�I�%�M�Q���������   ��¡�¡��I��¢��Q��¡F���M�4�I�����f���ª�¨���)���M���X¦%��������������¡�M���M�M�Q�I�����õ�M�f�����Q���M�ɾ��ª���M�¨���I�f���M¥ � ¡��Q�&�&�24B¯��M�M���I����¥(���É���Ë���M�4���f�I���*���������õ¾M���I��¯L�����Q�Ë���M���I�M�Q�)¡����*�&�þ ¯����M���I���M¥(���M�������õ�I�M�g���f�I���*���������þ¾M���f�©�����x¯M���M�þ�I�M�Q�þ�����M¡������M¥a�f���&�g�M�f���&������¢��g�&�Q�I�M���ª�I�M���É�I�&L������f�Q�4����M� þ ¯¤�f� 4 ���M� þ   ��¡�¡'¾��a¡����E�����R�M�{�&���f�&���g¡��Q�f�g���&�&�Q���������Q¡��R���¨�����g���M���R���f�&�M�M�g���P�I�M�a�I�I���w�#¯  �M��¡��)���M���&���f�É�f����¡�¡x���%���M�)�����´¦´­Ë���f�Q�¼¢��Q�¼¯X���M���   ��¡�¡x�I���I��¡��*�Q¢��Q�'¾x�7�M�I��� ��¥������a���¨�I�Q�   ���I�M�¼¦/�É�Q�����f�M���M¥�¡���¯  �*���I�M��¡�¡��Ë�M�õ�����g�M�¼¢��4�I�õ�I�����f���R�����a�I�I���w�Ë���g�����Ë¥��f�Q���©�M�Q�M�I�´¯F���M�{�����M�]¢��Q�f�Ë�¨�   �Q���&�M���f���f�����7���I��������M��¡�¡��(�&���M��¦È�M� �I�M�   ���f�I�$�Q���I�   ���Q�f�]���M�B�Q�������I�g¡����I�m�4�M�f�m¾��B�I�����f���M�Q�   ��¡�¡´�I���I��¡�� �����Q�M�m¾x�Q�����M�f�]��������   �¼�a�M���M�M���������M�m���I�   �f���I���Q��«����M���I�©���m�M�f�M��¡�¡�� �&¢��Q�f� �f�&��¡�¡F¥����ª¾x�Q�   �Q�Q�þ�I�M�g�M�Q�f��¢Á���������ª���´�a¡����*�&������¿�����m£��I�f��®-���M�ª���¨�I�Q�þ¡����f��®-�M�I��¦

§��M�]�f���f�M�Q�I�M�f�1³ n�q�°\¶Al±¹�²�¯7���É�����]¥����I���������M�]�f���I�I�Q�Ë¦È /�Q�����Q��¡#�Q��¢����f�����*��������!Z���&�M¡��Q�&�Q���I�Q�õ���)�M��¥��M���I»���f�M���B�¨�M�M���������M�&�¨���4�f���&�M¡����Q����� % ���I�¿�M�I�������M�I�I�Q������É�I�M¾��I�I���I�M�������M�¼¦¶§��M�ª�����I�Q�f�M�I�������dn�ÿ���mAp±°m¯�n ���=�����4��M�M�f���f�q¼ mAp�¯x���P�Q��¢����f�����*�����)�f�Q�¨���I���M�Q�vn�¶´ÿ�¯¤���M�R���R���I�f�M�&�M�������P¾M���f��°�®a���M�P�Q¢X��¡��M���I�Q�N¼ mAp4����n\¶´ÿ4���M�°\®�¯M�M¡������&���I�Q¡��ª���I���M�M������¥ ���Ë��¡����&�Q���É�����I�M�B���������������Iÿ´°�ó\»�n�¯M���É��¡��f�]�M��¢����I¥����M¥a���É�f�����I���M¥a���Ë�Q���Q���M�������� ÿ±°Æó � p pEo�pL¦9���¢����f���M�&�Q���Å�f�Q�¨���I���M�Q�������I�)�M�f�Q� ���(���I�M�����I�B���&�M¡����&�Q���$�I���Q�M�f�I������¦FÌ��(�����f�����Q�M¡����¼¯��¨���M�Q�I�����M������Ë�&�Q���������7���I�4�I���M�f�Q�f�Q�������Ë���7¡�����������¡��Q¡����f�M�f�Q�É�I�M���7�Q�����������R�x�����������I�7���ª���M�*�Q���I�f�Q�f�x���M�M���M¥ ����¢����f���M»�&�Q�����¼¦F§����%���&�M¡��Q�&�Q�������������4�����±¹Ã·��M�M�I�r���M���r���7�M�f��¾��g�f�Q�f�Q�I�����M¥É�I�M�$�Q��¢����f���M�&�����´���������I�Q�����M���I���M�I�����I�Q¡���¯�����Q�f�Q¾��}j��������M¥É�I�M��������ør7���4�I�M�$�M�I����¡��&���M�M���Z!¨�f�Q��\��M�������Q� ª ���j!ö��M���Q����������¡ 1 �f��¥��I���*�&���M¥Z ´���M¥��M��¥��Q�/rÿ ½ X �M���M��\��M�������Q�Èf7����j�'�f�f�Q��������¡������ 1 �f��¥��f���&�&���M¥[ ´���M¥��M��¥��Q�7r(ÿ ¬ ô ���¨���r�g�M���I���M�I�f�����&���x���M���Å�I�Q���M�M��L��M� % ¦§��M�$�f�Q¡��Q¢X�������M���I�©�����x�Q�r���M�*���M���M�����I�Q�f�4�&���I���M�Q�r���I�%�f�M�   �4���&ö���¥��M�I� ¬ ¦ ¬ X ¦F§��M�������M�I���I�f�����B���������I�M�f�Q�I�Q������������f�%���þö���¥��M�I� ¬ ¦ ¬ � ¯����M�þ�I�M�g�M�Q���M�Q�I�����¿�������Q�f�M�f�Q�I�Q�����ªö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬wª ¦

'��¢����f�����*������»�¾M���f�Q�-���&�M¡��Q�&�����I���I�����M� ���©�����x�Q»�3 021 ´�(�f�M��� ��� �I�M�Ë�����Ë¥���¢����-���Q�f�õ�M��¥��M¡���¥����a�I�M��M��(����I���M�Q����¾����   ���Q�*���f�I�M�&�M�I�����4¾����f�Q�����M�*¡��Q��������¡L����¢����I���M�&�Q�����¼¦¤§��M���&���I�����&�x���f���������M��(x�Q�f�Q�M���%���r��������&�Q�I�M���M�����M�]�¨���M�Q�I�����M�r���f�Å�f�����I������¡�¡��g��¡����I���]�¼¢����/����¢����I���M�&�Q�����´¾M�M�©�EIaHJ;E¬^��:�;E<�<�I7��¡����I���]�¼¢����/���I�f�M�&�M�������¾M���I���X¦´Ì��ª�M���f�����Q�M¡����¼«

� §����7���I�f�M�&�M�I�����¿¾M���I�©���   �������   �©��¢Á��¡��������©�*�&�Q�������þ�������M�f�   �ª�   �¼��¦�,$� �Q�������f���f�Á¯��&������������������I�M�g¡��Q��������¡F����¢����I���M�&�Q���$���   �M�����   �©�Q¢X��¡��M�����©�����g�*�����M���õ�����I���������M���¿���þ���M�g�&�����M���-` �m�Q¡����f�M�f��¦� �����&�&�Q�I�I���Q��¡�¡���¯��I�M�4���M�M¡��������I�����Ë���r�¿�*�����M���P���E���Q�7�M¡����Q�4���P���M�*�Q��¢����I���M�&�Q���m�������   ���)�f�����I���õ����I�M�*�*�����M���-` �©�Q¡����f�M�f��¯����Ë���M�*�M���M��¯����M�R���R�I�M��:&>?�w����Hhi����I�f�M�&�M�I�����R¾M���I�4���Ë�I�M�4�����M���X¯���¦ ��¦c¯��I�M����I�f�M�&�M�I�����¿¾M���I�©���   �M�����þ�I�M�g���M��¡����Q���������(�����Q�M�f�X¦

Ì��ª�*�f�Q���I��¯����I�f�M�&�M�I�����¿¾M���I���$���f�7�*�Q�f���f�$¾����   ���Q�ª¡�����������¡F�Q��¢����I���M�&�Q�����$�����¿�f�����I���X¦9 /�����©�Q��¢����I���M�&�Q������������M�M¡��F���(�f�����f�Q�¼¯/���M����¥��f�   ���M���I���I���¹�{����Ë�Q�����I�Q����»��¨�f�Q� �¨���I�M��������M�����I� �¨�f�Q�¿�����f����� ��(x�Q�����¼¦ ,$�M�

fEf

Page 57: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

¡��F���4�f�����I���g���M�¶�M�M¡��F���&�Q��¢����f���M�&�����I�X¯x�I�M�Q�P���f�4���������&���&�f���I�M�Q�g�I�M���¶�I�I���I����¦B� ���Q�M�������I�����M��¡�»��I����¡��B�¨���f»�&��¡´�I���*���������Q�   ����¡��õ��¡����I���¨�¿�I�M�Q�f�]�M��(x�Q�f�Q�M���Q�É�f��¥����f�����I¡���¯����M�   ���M¡��õ��¡��I�(�I���I¢��g��� ���*���M���f�F��]�������É�I�M��&�Q���M����¥*���/�&�M���M�M�Q�I�����þ���m�&�¨�M���Q�������þ�¼¢��Q�$���f�I���*���������ª¾M���f�Q�¼¦ û �

Æ â ¶¨ÝXæXÑ�Ñ�æMÔXÖº×XÑÅÓºÑ�Ú�ÛºÏ�Ý©Ð#×�ÞÉÖ_×XÑ�Û�Ñ'æXÜç��Ñ�ÓºÑ�ÝXØ�Ñ�Û�Ú�Ó�ÑròXÓºÏ�àXç�×�Ö´Ï�àXÖ�Ü2Ý)Ü2Ý�Ö_Ñ�Ó�áXÓºÑ�ÖºÑ�Ó�Û´Û�àXØ�שÚ�Û�Ö_×XÑÅÏ�ÝXÑ'áXÓ�Ñ�Û�Ñ�ÝQÖºÑ�æg×XÑ�ÓºÑ'Ü2Û/ò�Ñ�Ø�Ú�àÁÛ�ÑÖ_×XÑ�Û�ÑrÜ2ÝQÖºÑ�Ó�áÁÓ�Ñ�ÖºÑ�ÓºÛ´Ú�ÓºÑrÑ�ÛºÛ�Ñ�ÝQÖºÜ2Ú�Ù2Ù2ÞmÜ2ã$áXÙ2Ñ�ã$Ñ�ÝQÖºÚ�Ö_Ü2Ï�ÝXÛ/Ï�âMæXÑ�ÝXÏ�ÖºÚ�Ö_Ü2Ï�ÝXÚ�ÙMÛ�Ñ�ã$Ú�ÝQÖ_Ü2Ø�ÛÕè

f X

Page 58: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

¾S¿\À�Á�ÂS¿�ÁÃÀ�Ä�Å�Ó�¾S¿\À�Í�ÂS¿�Ý]Ñ�Ëÿ�Í]Þ&Î�¾S¿\À�Á�ÂS¿ùÃÍ]¿�Í]¿\Ñ�È%ÄIÈÃÀÆÉ[Ç�Ò Ø Á\Ë�Î�Ä�����Á\Ë â Ë%Ê]¿���Á\Ë â ÍPË�ù���Á\Ë â Ê]À���Á\Ë â É Ø ��Á\Ë â É Ø\Ø ��Á\Ë÷×ùÃÍ]¿�Í]¿\Ñ�È%ÄIÈÃÀÆÉ[Ç�ÒQÇÆÄ]¿�å%Ê�ùEÎ�Â]Ð\Í�É[Ç â ù]Ë â ÇÃÈ â Ó%Ê]¿�å â Ð\Ä Ø ¿\Å�Ë�ù â ÀÆÉSú�åÿ\Å�Ë�ù â ÂPù â Ð\Ä Ø ¿�ÆÉS¿�å%Ä]Àâ ÀÆÉSú�åÿ�ÆÉS¿�å%Ä]À â Ä��]Á�É Ï â Ð\Ä Ø ¿� Ø\Ø â ÀÆÉSú�åÿ� Ø\Ø â ÍPÓ�¾QÁÃÀÃù â ¿\À�Á%Ä�QËÿ\À�Ê�×ùÃÍ]¿�Í]¿\Ñ�È%Ä&Â]ÊPË�¾S¿�ÍPËÿEÎ/ÈÃÀÆÉ[Ç� %Ä]¿�å%Ê�ù��ÃÊPË�¾S¿2Ê Ø ÈÃÀÆÉ[Ç�ÒQÇÆÄ]¿�å%Ê�ùâ ÈÃÀÆÉ[Ç���Á\Ë��ÃÊPË�¾S¿2Ê Ø ÈÃÀÆÉ[Ç�Ò Ø Á\Ëâ ÈÃÀ�ÊPÈÃÅ\¿�ÊSÇ��ÃÊPË�¾S¿2Ê Ø ¾S¿\ÀÆÉQËÃúâ ¿\À�Á%Ä��ÃÊPË�¾S¿â Ø Í\Ð�¾]Ä��ÃÊPË�¾S¿7׿\Ñ�È%Ä�ÉPùÃÄ1ÎE¾S¿\ÀÆÉQËÃú7×ùÃÍ]¿�Í]¿\Ñ�È%ÄIÈÃÀ�ÊPÈEÎ Í]¿�ÊSÇ�Ê Ø ¾S¿\ÀÆÉQËÃúâ ¿\À�Á%Ä]Ú\À�ÊPÈâ Ø Í\Ð�¾]Ä]Ú\À�ÊPÈâ Ë%Ä]úEÊ Ø ÈÃÀ�ÊPÈâ Â]ÊPË��IÊ Ø ÈÃÀ�ÊPÈ��#ÈÃÀ�ÊPÈâ ù%É\¾��IÊ Ø ÈÃÀ�ÊPÈ��#ÈÃÀ�ÊPÈâ Â]ÊPË�ù�Ê Ø ÈÃÀ�ÊPÈ��#ÈÃÀ�ÊPÈâ Ó�É��ÃÊPË�ù�Ê Ø ÈÃÀ�ÊPÈ��+ÈÃÀ�ÊPÈ÷×ùÃÍ]¿�Í]¿\Ñ�È%Ä�Ä]Þ�ÈEÎEÂ]ÊPË�¾S¿�\Þ�È2Ê Ø Â]ÊPË�¾S¿�ÍPËÿâ ÉPù�\Þ�È�Ê Ø ÉPùÃÄâ Ø Á\Ë�\Þ�È�Ê Ø�� È%Í]À�ÍSÇm¾�ÛhÉPùÃÄIÐ�É\¾S¿7à©Ó%Ê�ù�ÑÜÛkÄ]Þ�È��â ÇÆÄ]¿�å%Ê�ù�\Þ�È2Ê Ø�� È%Í]À�ÍSÇm¾�ÛhÉPùÃÄ�Ð�É\¾S¿7à�Ó%Ê�ù�ÑÜÛ�ùÃÄ�ù��â Ø Á\ËÃÅ�È\È�\Þ�È2Ê Ø Ä]Þ�È��+È\åÃÀ�Í�¾]ÄEÐ�É\¾S¿â Ð\Ä]¿�\Þ�È�Ê Ø Ù\Ù�ÉPùÃÄ��+È\åÃÀ�Í�¾]Ä%á1Ð�É\¾S¿�á��/Ä]Þ�Èâ Ø ÉSÞ�\Þ�È�Ê Ø ÉPùÃÄ��1Ä]Þ�Èâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå�\Þ�È2Ê Ø�� ù%É\¾\ÂSÀÆÉ[ÇmÉQË%ÍPËÿÜÛ©È\åÃÀ�Í�¾]Ä�à)Â]Í�¾]Ä�¾�Û1Ù�È%Í]¿��/Ä]Þ�Èmá/Ð�É\¾S¿��â ¾]Ä���\Þ�È�Ê Ø Ä]Þ�È�Ð�É\¾S¿ÍPË�ù ùÃÄ�ùIÎ+ÇÆÄ]¿�å%Ê�ù�Å�È\È��%Ä�ù&Ê Ø Ä]Þ�È��ýÙ�È\åÃÀ�Í�¾]ÄEÐ�É\¾S¿�áâ Í�¾\¾QÁ�ÇÆÄ��%Ä�ù�Ê Ø Ä]Þ�È��/ùÃÄ�ùâ ¾QÁ\ÈÃÅ�Ó��%Ä�ù�Ê Ø Ä]Þ�È��/ùÃÄ�ùâ Ð\Ä]¿��%Ä�ùEÊ Ø Ù\Ù�ÉPùÃÄ��+È\åÃÀ�Í�¾]Ä%á1Ð�É\¾S¿�á��qùÃÄ�ùâ ÓÃÑ��%Ä�ùEÊ Ø Ä]Þ�È��/ùÃÄ�ùâ ¾]Ä����%Ä�ùEÊ Ø ùÃÄ�ù�Ð�É\¾S¿â ÇÆÍ]¿ÆÂQå��%Ä�ù�Ê Ø�� ù%É\¾\ÂSÀÆÉ[ÇmÉQË%ÍPËÿÜÛ©È\åÃÀ�Í�¾]Ä�à)Â]Í�¾]Ä�¾�Û1Ù�È%Í]¿��qùÃÄ�ùÆá/Ð�É\¾S¿��ÍPË�ù È%Í]¿�ÎEÉPù�Ú�Í]¿�Ê Ø ÉPùÃÄâ Í]¿�ÊSÇ�Ú�Í]¿&Ê Ø ¾S¿\ÀÆÉQËÃúâ ¿\À�Á%Ä]Ú�Í]¿â Ø Í\Ð�¾]Ä]Ú�Í]¿â ÍPËÃÑ\Ú�Í]¿â Ë%Ä]ú\Ú�Í]¿�Ê Ø È%Í]¿â Â]ÊPË��]Ú�Í]¿&Ê Ø È%Í]¿��#È%Í]¿â ù%É\¾��]Ú�Í]¿&Ê Ø È%Í]¿��#È%Í]¿â Â]ÊPË�ù�Ú�Í]¿&Ê Ø È%Í]¿��#È%Í]¿â Ó�É��ÃÊPË�ù�Ú�Í]¿&Ê Ø È%Í]¿��+È%Í]¿ÍPË�ù È\åÃÀ�Í�¾]ÄIÎ�Ä]Þ�ÈÃÀ�Ä�¾\¾\É]ÊPË2Ê Ø Ä]Þ�È â ùÃÄ�ù]Á�ÂS¿ÆÉ]ÊPË2Ê Ø ùÃÄ�ù�×ÄPË�ù�×

ö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬ fx«/§��M�g��¾M�I�I�I���Q�%�I��������� �f���f�M�Q�I�M�I��¦

f �

Page 59: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

¾S¿\À�Á�ÂS¿�ÁÃÀ�Ä�Ý\ÄSÇÆÍPËÿEÎ�¾S¿\À�Á�ÂS¿¾S¿\À�Á�ÂS¿�ÁÃÀ�Ä�Å�Î/Å�Ó�¾S¿\À�Í�ÂS¿�Ý]Ñ�Ëÿ�Í]Þ7×¾S¿\À�Á�ÂS¿�ÁÃÀ�Ä�Å\Ì�Î/Åƾ\¾QÁ�ÇÃÈÿÆÉ]ÊPËÃÌ�Í�¾]Ä�×ùÃÍ]¿�Í]¿\Ñ�È%Ä Ï Í\ÐPÁ%Ä1Î/ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\ÐEÊ Ø ÅÜß ÈÃÀ�ÊPÈâ ÈÃÀÆÉ[Ç� %Ä]¿�å%Ê�ù���Í\Ð�Ê Ø ÅÜß ÈÃÀÆÉ[Ç�ÒQÇÆÄ]¿�å%Ê�ùâ ÈÃÀÆÉ[Ç���Á\Ë���Í\Ð�Ê Ø ÅÜß ÈÃÀÆÉ[Ç�Ò Ø Á\Ëâ Ø Á\Ë��ÃÐ\Ê�¾���Í\Ð�Ê Ø�� È%Í]À�ÍSÇm¾�Û�ÅÜß@ÉPùÃÄ�Ð�É\¾S¿7à�Ó%Ê�ù�ÑÜÛ�ÅÜßkÄ]Þ�È÷à@ÄPË Ï ÛkÄPË Ï ÉSÀ�ÊPË\ÇÆÄPË�¿fÀ�Ä Ø �â ÇÆÄ]¿�å��ÃÐ\Ê�¾���Í\Ð�Ê Ø�� È%Í]À�ÍSÇm¾�Û�ÅÜß@ÉPùÃÄ�Ð�É\¾S¿7à�Ó%Ê�ù�ÑÜÛ�ÅÜß�ùÃÄ�ù�à@ÄPË Ï ÛkÄPË Ï ÉSÀ�Ê]Ë�ÇÆÄ]ËÿfÀ�Ä Ø �ÍPË�ù ÄPË Ï ÒSÓ�ÉQË�ù%ÉQËÃú�Î/Á\ËÃÌ�ÊPÁ\Ë�ù â Ó�ÉQË�ù�Ê Ø Ï Í\ÐPÁ%Ä ÉS¿�åÿ\Ñ�È%Ä�ÄPË Ï ÉSÀ�ÊPË�ÇÆÄPËÿ�ÎIÅÜß@ÉPùÃÄ�!�"1ÄPË Ï ÒSÓ�ÉQË�ù%ÉQËÃú7×Ä]ÞÆÂ]ÄPÈÿÆÉ]ÊPË� Ï Í\Ð�\À\À�Ê]À�Ê Ø ¾S¿\ÀÆÉQËÃú7×Ø Á\Ë�Ä Ï \À\À�Ê]À7Ù�¾S¿\À�áIÎ1À�Í�É\¾]Ä� Ï Í\Ð�\À\À�Ê]À7Ù�#%$SË&#�']¾S¿\À('�#%$SË)#Pá´×Ï Í\ÐIÄSÇÃÈÿ\Ñ%Ò�ÄPË Ï Î Ø Ë&ÉPù1Î�"qÁ\ËÃÌ�ÊPÁ\Ë�ù�×Ø Á\Ë�Ä]Þ\¿�ÄPË�ù�Ù Ø à%Ô�ÖÆáIÎ Øâ Ä]Þ\¿�ÄPË�ù�Ù Ø à\Ù@Í�à�ÓmáºÛ\Û�À�Ä�¾S¿�á�ÎIÄ]Þ\¿�ÄPË�ù�Ù Ø Ë�ÞEÎ�"IÉ Ø Þ�ÎIÍ/¿�å%ÄPËIÓ�Ä\Ð�¾]Ä Ø ÙkÞ�á´àkÀ�Ä�¾S¿�á´×Ø Á\Ë�ÍPÁÃú]ÇÆÄPËÿ��Ë Ï Ù@ÄPË Ï(* à@ÄPË Ï�+ á�Î Ø Ë&ÉPùIÎ�"ýÙ�Â]Í�¾]Ä�ÄPË Ï�+ Ù�ÉPùÆá1Ê Ø Á\ËÃÌ�ÊPÁ\Ë�ùEÎ�"1ÄPË Ï(* Ù�ÉPùÆá â ÓEÎ�"+Ómá´×Ø Á\Ë Ø Í�É]Ð� %Í]¿ÆÂQå÷Ù áIÎIÄ Ï \À\À�Ê]À7Ù�#,��Í�É]Ð\Ä�ùEÇÆÍ]¿ÆÂQå¸ß-#Pá´×Ø Á\Ë1ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÚ7àkÅÜß@ÉPù�Ú�Í]¿7Ù�ÉPùÆá´à@ÄPË Ï áEÎÙ�Â]Í�¾]ÄIÄPË Ï Ù�ÉPùÆáIÊ ØÁ\ËÃÌ�ÊPÁ\Ë�ù�Î�"1Ä]Þ\¿�ÄPË�ù�Ù@ÄPË Ï à%ÔPÙ�ÉPù�à�Ó�ÉQË�ù�Ù�ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�ÙkÚ�á\áÃáSÖÆáâ Ó�ÉQË�ù�Ù�ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�Ùäã�á\á�Î�"�É Ø ÚEÎ�ãq¿�å%ÄPË�ÄPË Ï Ä\Ð�¾]Ä Ø Í�É]Ð� %Í]¿ÆÂQå÷Ù áâ Ò/Î�" Ø Í�É]Ð� %Í]¿ÆÂQå÷Ù á\áâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙäÒºàkÅÜßkÍPËÃÑ\Ú�Í]¿7à@ÄPË Ï á�ÎIÄPË Ïâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÅÜß�¿\À�Á%Ä]Ú\À�ÊPÈ÷àkÅÜß�¿\À�Á�Ä]Ú�Í]¿÷à@ÄPË Ï áEÎ�ÄPË Ïâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷Ù\ÙkÅÜß Ø Í\Ð�¾]Ä]Ú\À�ÊPÈ÷àkÅÜß Ø Í\Ð�¾]Ä�Ú�Í]¿÷à@ÄPË Ï áEÎEÄPË Ïâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÅÜßkÍ]¿�ÊSÇÜÙ�¾ * á´àkÅÜßkÍ]¿�Ê]Ç�Ú�Í]¿÷Ù�¾ + á´à@ÄPË Ï á�ÎEÉ Ø ¾ * ÎE¾ + ¿�å%ÄPË&ÄPË Ï Ä\Ð�¾]Ä Ø Í�É]Ð� %Í]¿ÆÂQå÷Ù áâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÅÜß Ë%Ä]ú7ÙkÚ�á´àkÅÜß Ë%Ä]ú\Ú�Í\¿7Ù�È%Í�¿�á´àäÄPË Ï á�Î/ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÚ7à�È%Í]¿7à@ÄPË Ï áâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÅÜß@Â]ÊPË���ÙkÚ * àkÚ + á´àkÅÜß�Â]ÊPË���Ú�Í]¿÷Ù�È%Í]¿ * à�ÈÆÍ]¿ + áºà@ÄPË Ï áEÎ1¿�åÃÀ�Ä\Í�ù�ÙkÚ * à�È%Í]¿ * àkÚ + à�È%Í]¿ + àäÄPË Ï áâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÅÜß�ù%É\¾���ÙkÚ * àkÚ + á´àkÅÜß ù%É\¾���Ú�Í]¿÷Ù�È%Í]¿ * à�ÈÆÍ]¿ + áºà@ÄPË Ï áEÎ1¿�åÃÀ�Ä\Í�ù�ÙkÚ * à�È%Í]¿ * àkÚ + à�È%Í]¿ + àäÄPË Ï áâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÅÜß@Â]ÊPË�ù�ÙkÚ * àkÚ + á´àkÅÜß�Â]ÊPË�ù\Ú�Í]¿÷Ù�È%Í]¿ * à�ÈÆÍ]¿ + áºà@ÄPË Ï áEÎ1¿�åÃÀ�Ä\Í�ù�ÙkÚ * à�È%Í]¿ * àkÚ + à�È%Í]¿ + àäÄPË Ï áâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÅÜß Ó�É��ÃÊPË�ù�ÙkÚ * àkÚ + á´à@ÅÜß Ó�É��ÃÊPË%ù�Ú�Í]¿÷Ù�È%Í�¿ * à�È�Í]¿ + á´à@ÄPË Ï á�Î/¿�åÃÀ�Ä\Í�ù�ÙkÚ * à�È%Í]¿ * àkÚ + à�È%Í]¿ + à�ÄPË Ï áâ ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙäÒ�á1Î Ø Í�É]Ð� %Í]¿ÆÂQå÷Ù áÍPË�ù1¿�åÃÀ�Ä\Í�ù�ÙkÚ * à�È%Í]¿ * àkÚ + à�È%Í]¿ + à@ÄPË Ï áEÎqÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÚ + à�È%Í]¿ + à�ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÚ * à�ÈÆÍ]¿ * à@ÄPË Ï á\á´×Ø Á\Ë Ø ÉQË�ù� %Í]¿ÆÂQå÷ÙkÚ7à�Â]Í�¾]Ä�¾Ãá�ÎÐ\Ä]¿ Ø Á\Ë�¿\À\Ñ��ÃÍ�¾]Ä�¾±Ù%Ô�ÖÆáIÎ Ø Í�É]Ð� %Í]¿ÆÂQå÷Ù áâ ¿\À\Ñ��ÃÍ�¾]Ä�¾±Ù\Ù�È%Í]¿\¿�Ä]À�Ë÷à�È\åÃÀ�Í�¾�Ä%áºÛÃÛ�À�Ä�¾]¿�á�ÎÙ�È\åÃÀ�Í�¾]Ä�à�ÇÆÍ]¿ÆÂQå÷ÙkÚ7à�È%Í]¿\¿�Ä]À�Ë÷àäÄSÇÃÈÿ�Ñ%Ò�Ä]Ë Ï á\á�å%ÍPË�ùÃÐ\Ä�Ò/Î�"+¿\À\Ñ��ÃÍ�¾]Ä�¾±ÙkÀ�Ä�¾S¿�áÉQË ¿\À\Ñ��ÃÍ�¾]Ä�¾±Ù�Â]Í�¾]Ä�¾ÃáÄPË�ù�×

ö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬ X «/§��M�g�f�Q�&�����I�������I�I�I�M�����M�f��¯������f� ¬ ¦

f ª

Page 60: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

Ø Á\Ë ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù�ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�ÙkÚ�á´à Ø á�Î�" Ø ÙkÚ�áâ ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷ÙäÒ�áIÎIÄ Ï \À\À�Ê]À7Ù�#/.ÃÀ�ÊPËÃú�0�ÉQË�ù�Ê Ø Ï Í\ÐPÁ%Ä�×�Í+ÈÃÀ�ÊPÈ%Ê�¾\ÉS¿ÆÉ]ÊPË Í�¾/Ä]Þ�È%Ä�ÂS¿�Ä�ù�å%Ä]À�Ä7ß-#Pá´×Ø Á\Ë�Ä Ï Í\Ð� %Ä]¿�åÃÅ\À\úƾ±Ù@Í]À\úƾ±à@ÄPË Ï à�ÍPÓ÷à@Ä Ï Í\ÐÆáEÎÐ\Ä]¿ Ø Á\Ë Ø Ù%Ô�Ö�à Ï Í\Ð�¾±à@Ð\ÄSÇ\ÇÆÍ�¾Ãá�ΠÙkÀ�Ä Ï Ù Ï Í\Ð�¾Ãá´à@Ð\ÄSÇ\ÇÆÍ�¾Ãáâ Ø Ù@Í]À\úEÍ�¾+ÅÜßkÄ]Þ�ÈÃÀ�Ä�¾\¾\É]ÊPË÷ÙäÒ�áºÛ\Û�À�Ä�¾S¿7à Ï Í\Ð�¾�à@Ð\ÄPÇ\ÇÆÍ�¾�áEÎØ ÙkÀ�Ä�¾S¿7à@Ä Ï Í\Ð�Ù@Í]À\ú7à@ÄPË Ï à@ÍPÓ´áºÛ\Û Ï Í\Ð�¾ºà@Ð\ÄSÇ�Ç\ÇÆÍ%¾Ãáâ Ø Ù@Í]À\úEÍ�¾+ÅÜß�ùÃÄ�ù]Á�ÂS¿ÆÉ]ÊPË÷ÙäÒ�áºÛ\Û�À�Ä�¾S¿7à Ï Í\Ð�¾±à�Ð\ÄSÇÃÇÆÍ�¾Ãá�Î

ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù@Ä Ï Í\Ð�Ù@Í]À\ú7à@ÄPË Ï àäÍPÓmá´à Ø ËýÚIÎ�" Ø ÙkÀ�Ä�¾S¿7à�ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�ÙkÚ�áºÛ\Û Ï Í\Ð�¾ºàkÚÜÛ\Û Ð\ÄSÇÃÇÆÍ�¾Ãá�áÉQË Ø Ù@Í]À\úƾ±à%Ô�Ö�à%Ô�ÖÆáÄPË�ù�×Ø Á\Ë�Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß@Â]ÊPË�¾S¿�\Þ�È÷ÙkÅÜß ÈÃÀÆÉSÇ� %Ä]¿\å%Ê�ù��ÃÊPË�¾P¿7Ù�DZá\á´àäÒ�àäÒ�á�ÎqÈÃÀÆÉ[Ç� %Ä]¿�å%Ê�ù���Í\Ð�Ù�Ç´áâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß@Â]ÊPË�¾S¿�\Þ�È÷ÙkÅÜß ÈÃÀÆÉSÇ���Á\Ë��ÃÊPËm¾S¿7Ù Ø á\á´à�ÒºàäÒ�á�Î/ÈÃÀÆÉ[Ç���Á\Ë���Í\Ð�Ù Ø áâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß@Â]ÊPË�¾S¿�\Þ�È÷ÙkÅÜß�¿\À�Á�Ä��ÃÊPËm¾S¿�á±àäÒºàäÒ%áEÎ1ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�ÙkÅÜß�¿\À�Á%Ä]Ú\À�ÊPÈmáâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß@Â]ÊPË�¾S¿�\Þ�È÷ÙkÅÜß Ø Í\Ðƾ]Ä��ÃÊ]Ë�¾S¿má´àäÒºà�Ò�á�ÎqÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�ÙkÅÜß Ø Í\Ð�¾]Ä]Ú\À�ÊPÈmáâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß@Â]ÊPË�¾S¿�\Þ�È÷ÙkÅÜß ÈÃÀ�Ê�ÈÃÅ\¿�ÊPÇ��ÃÊ]Ë�¾S¿7Ù Å�á\á±àäÒºàäÒÆáEÎ/ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�ÙkÅÜßkÍ]¿�ÊSÇÜÙkÅ�á\áâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß@ÉPù�\Þ�È÷Ù�ÉPùÆá´à@ÄPË Ï à Ò�áEÎÙ�Â]Í�¾]ÄKÙ�1�ÄPË Ï ÉPùÆáqÊ Ø Á\ËÃÌ�ÊPÁ\Ë�ùEÎ�"/Ä Ï \À\À�Ê]À7Ù�#32ÃË\Ó%ÊPÁ\Ë�ùbÉPùÃÄPËÿÆÉ Ø É]Ä]ÀÜÛ4#�']ÉPùÆáâ Ó�ÉQË�ù�Ù Ï á/Î�" Ï áâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß Ø Á\Ë�\Þ�È÷Ù � È÷à�Ó��%á´à�ÄPË Ï à�Ò�á�Î Ø Á\Ë��ÃÐ\Ê�¾���Í\Ð�Ù � È%Í]À�ÍSÇm¾PÎ]È÷à�Ó%Ê\ù�ÑÃÎ\Ó÷à@ÄPË Ï ÎÃÄ]Ë Ï �%áâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß�ÇÆÄ]¿�å%Ê�ù�\Þ�È÷Ù � È÷à�Ó��%á´à@Ä]Ë Ï à�Ò�áEÎqÇÆÄ]¿�å��ÃÐ\Ê�¾���Í\Ð�Ù � È%Í]À�ÍSÇm¾PÎ]È÷à�Ó�Ê�ù�ÑÃÎ�Ó÷à@Ä]Ë Ï ÎÃÄ]Ë Ï �Æáâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß Ø Á\ËÃÅ�È\È�\Þ�È÷Ù Ø Ä]Þ�ȸà@Í]À\ú�¾Ãá´àäÄPË Ï àäÍPÓmá�ÎÐ\Ä]¿ Ï Í\Ð Ù Ø Ï Í\Ð�à Ï Í\Ð�¾Ãá1ÎKÙ@Ä Ï \Þ�È÷Ù Ø Ä]Þ�È÷à@ÄPË Ï à@ÍPÓmá´à�ÇÆÍPÈ Ù Ø ËIÈ�Î�"IÄ Ï Ú�åÃÀ�Í�¾]Ä�Ù�È÷à@ÄPË Ï à@ÍPÓmá\á�Í]À\úƾÃáÉQË Ù�Â]Í�¾]Ä Ø Ï Í\ÐIÊ ØÈÃÀÆÉ[Ç���Á\Ë���Í\Ð�Ù Ø áIÎ�"1ÍPÈ\È%Ð]Ñ\Ú\ÀÆÉ[Ç���Á\Ë÷Ù Ø à@Í]À\ú%Ò Ï Í\Ð�¾±àäÍPÓmáâ Ø Á\Ë��ÃÐ\Ê�¾���Í\Ð�Ù � È%Í]À�ÍSÇm¾±à�Ó%Ê�ù�Ñ÷à�Â]Ð\Ê%¾�Ò�Ä]Ë Ï �%á�Î�"Ä Ï \Þ�È÷Ù�Ó%Ê�ù�Ñ7àkÀ�Ä Ø Ù@Ä]Þ\¿�ÄPË�ù�Ù�1 Â]Ð\Ê%¾�Ò�Ä]Ë Ï à65mÉQÈ÷ÙkÈ%Í]À�ÍPÇm¾±à�ÇÆÍPÈbÓ�ÉQË�ù�Í]À\ú%Ò Ï Í\Ð�¾Ãá\á\á´à@ÍPÓmáâ Ò/Î�" Ø Á\ËÃÅ�È\È�\À\À�Ê]À7Ù á\áÄPË�ùâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜßkÐ\Ä]¿�\Þ�È÷Ù%Ô�Ö�à�Ó%Ê�ù�Ñ´á´à@ÄPË Ï à@Í]ÓmáEÎ�Ä Ï \Þ�È÷Ù�Ó%Ê�ù�Ñ7à@ÄPË Ï à@ÍPÓmáâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜßkÐ\Ä]¿�\Þ�È÷Ù\Ù�ÉPù�à�ÈmáºÛ�Û�À�Ä�¾P¿7à�ÓÆÊ�ù�Ñ�á±à@ÄPË Ï à@ÍPÓ±áEÎÄ Ï \Þ�È÷ÙkÅÜßkÐ\Ä]¿�\Þ�È÷ÙkÀ�Ä�¾S¿7à�Ó%Ê�ù�Ñ�á±àkÀ�Ä Ø Ù@Ä]Þÿ�ÄPË%ù�Ù�1�Ä�Ë Ï àÆÔPÙ�ÉPù7à�Ó�ÉSË�ù�Ù@Ä Ï Ú�å%À�Í�¾]Ä�Ù�È÷àäÄPË Ï àäÍPÓmáÃá\áSÖÆá�á´à@Í]Ómáâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß Ø ÉSÞ�\Þ�È÷ÙkÞ7à�Ó%Ê�ù�Ñ�áºà@ÄPË Ï à@ÍPÓ´áEÎÐ\Ä]¿ Ï Í\Ð/À�Ä�Â�Ò�ÄPË Ï ÎIÀ�Ä Ø Ù�1�ÄPË Ï áÏ Í\Ð/À�Ä�Â�Ò Ï Í\ÐPÁ%ÄEÎIÄ Ï \Þ�È÷Ù�Ó%Ê�ù�Ñ7àkÀ�Ä�Â�Ò�ÄPË Ï à@ÍPÓmáÏ Í\ÐqË%Ä Ò�ÄPË Ï ÎEÄ]Þ\¿�ÄPË�ù�Ù�1�ÄPË Ï à%ÔPÙkÞ7à�Ó�ÉQË�ù&À�Ä�Â�Ò Ï Í\ÐPÁ%Ä%áSÖÆáÉQË ÙkÀ�Ä�Â�Ò�ÄPË Ï Û�Î/Ë%Ä Ò�ÄPË Ï ×kÀ�Ä�Â�Ò Ï Í\ÐPÁ%Ä%áÄPË�ùâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß�ÇÆÍ]¿ÆÂQå�\Þ�È÷Ù � ù%É\¾\Â]ÀÆÉ[ÇmÉSË%ÍPË�¿7à�Â]Í%¾]Ä�¾��%á´à@Ä�Ë Ï àäÍPÓmá�Î

ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù@Ä Ï Ú�åÃÀ�Í�¾]Ä�Ù ù%É\¾\ÂSÀÆÉ[Ç´ÉQË%Í]Ëÿ7à@Ä]Ë Ï àäÍPÓmá´àØ Ë�Ú�Î�"/Ð\Ä]¿ Ø Á\Ë Ø Ù�È%Í]¿7à@Ä%áqÎ�" Ù�È%Í]¿7àkÅÜßkÄ]Þ�ÈÃÀ�Ä�¾\¾\É]ÊPË÷Ù@Ä%á\áÏ Í\РÙ@ÄPË Ï87 à@Ä%áqÎ Ø ÉQË�ù� %Í]¿ÆÂQå÷ÙkÚ7à�ÇÆÍPÈ Ø Â]Í�¾]Ä�¾ÃáÉQË Ä Ï Ú�åÃÀ�Í�¾]Ä�Ù@Ä�àkÀ�Ä Ø Ù@ÍPÁÃú]ÇÆÄPËÿ�\Ë Ï Ù�1kÄPË Ï à@ÄPË Ï97 á\áºà@ÍPÓmáÄPË�ùÆáâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß@¾]Ä���\Þ�È÷Ù%Ô�Ä�ÖÆá´à@ÄPË Ï à@ÍPÓ´áEÎ�Ä Ï \Þ�È÷Ù@Ä�à@ÄPË Ï à@ÍPÓmáâ Ä Ï \Þ�È÷ÙkÅÜß@¾]Ä���\Þ�È÷Ù@Ä7Û\Û�À�Ä�¾S¿´á´à@ÄPË Ï à@Í]ÓmáEÎKÙ@Ä Ï \Þ�È÷Ù@Ä�à@ÄPË Ï à@ÍPÓmá´×@Ä Ï \Þ�È÷Ù@ÅÜß@¾]Ä���\Þ\È÷ÙkÀ�Ä%¾S¿�á±à@ÄPË Ï à@ÍPÓ´á\áÍPË�ù

ö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬ � «/§��M�g�f�Q�&�����I�������I�I�I�M�����M�f��¯������f� ½ ¦

f Z

Page 61: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜß�ÇÆÄ]¿�å%Ê�ù�Å�È\È��%Ä�ù�Ù�ÇÆÄ�Þ�È÷à�Í]À\úƾ�á´à@Ä]Ë Ï à@Í]Ómá�ÎÐ\Ä]¿ Ï Í\Ð+Ç Ï Í\ÐIÎIÄ Ï \Þ�È÷Ù�ÇÆÄ]Þ�È÷à@ÄPË Ï à@ÍPÓmáÏ Í\РÙ@Í]À\ú%Ò Ï Í\Ð�¾±à@Ð\ÄSÇ\ÇÆÍ�¾Ãá�Î�Ä Ï Í\Ð� %Ä]¿�åÃÅ\À\úƾ±Ù@Í]À\úƾ±à@ÍPÓ÷à@Ä Ï Ú�åÃÀ�Í%¾]Ä%áÏ Í\ÐqË%Ä Ò�ÍPÓ�Î1Å\ÌÜßkÍPÁÃú]ÇÆÄPËÿ7Ù@ÍPÓ÷à@Ð\ÄSÇ\ÇÆÍ�¾ÃáÉQË Ù�Â]Í�¾]Ä+Ç Ï Í\Ð�Ê ØÈÃÀÆÉ[Ç� %Ä]¿�å%Ê�ù���Í\Ð�Ù�Ç´á�Î�"1ÍPÈ\È%Ð]Ñ\Ú\ÀÆÉ[Ç� %Ä]¿�å%Ê�ù�Ù�ÇÜà@Í]À\ú%Ò Ï ÍÃÐ�¾±àkË%Ä Ò\ÍPÓmáâ ÇÆÄ]¿�å��ÃÐ\Ê�¾���Í\Ð�Ù � È%Í]À�ÍSÇm¾±à�Ó%Ê�ù\Ñ7à@Ä]Ë Ï Î%Â�Ð\Ê�¾\Ò�ÄPË Ï �%á�Î�"Ä Ï �%Ä�ù�Ù�Ó%Ê�ù�Ñ7àkÀ�Ä Ø Ù@Ä]Þ\¿�ÄPË�ù�Ù�1 Â]ÐÃÊ�¾�Ò�Ä]Ë Ï à:5ÆÉQÈ÷Ù È%Í]À%ÍSÇm¾±à�ÇÆÍPÈfÓ�ÉQË�ùEÍ]À\ú%Ò Ï Í\Ð�¾Ãá\á\á´à�Ë%Ä Ò�ÍPÓmáâ Ò/Î�"#ÇÆÄ]¿�åÃÅ�È\È�\À\À�Ê]À7Ù á\áÄPË�ùâ Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜßkÍ�¾\¾QÁ�ÇÆÄ��%Ä�ù�Ù�åÃÑ�È÷à�Ó%ÊÃù�Ñ�á´àäÄPË Ï à@ÍPÓmá�Î ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù@Ä Ï \Þ�È÷Ù�åÃÑ�È÷à@ÄPË Ï à�ÍPÓmá´à Ø ËbÚIÎ�" ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù@Ä Ï �%Ä�ù�Ù�Ó%Ê�ù�Ñ7à@ÄPË Ï àkÅ\ÌÜßäÉQË�¾�Ä]À\¿7Ù Ú7à@Í]Ómá\á´àØ Ë�ã/Î�"+ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�ÙkÅÜß@Â]ÊPË�ù�ÙkÚ7àäã�á\á\á\áâ Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜß@¾QÁ\ÈÃÅ�Ó��%Ä�ù�Ù�åÃÑ�È÷à�Ó%Ê�ùÃÑ�á´à@Ä]Ë Ï àäÍPÓmá�Î ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù@Ä Ï \Þ�È÷Ù�åÃÑ�È÷à@ÄPË Ï à�ÍPÓmá´àØ ËIÚ�Î�" ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù@Ä Ï �%Ä�ù�Ù�Ó%Ê�ù�Ñ7à@ÄPË Ï à@Å\ÌÜßäÉQË�¾]Ä�À\¿7Ù Ú7à@ÍPÓ´á\á´àØ Ë�ã/Î�"�É Ø ãqÎ1ÅÜß Ø Í\Ð�¾]Ä]Ú\À�ÊPÈ�¿�å%ÄPËEÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�ÙkÅÜß Ë%Ä]ú7ÙkÚ�á\áÄ\Ð�¾]Ä�¾QÁ\È\È%Ê�¾]Ä]Å�Ó�¾QÁÃÀÃù�\À\À�Ê]À7Ù á\á\áâ Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜßkÐ\Ä]¿��%Ä�ù�Ù%Ô�Ö�à�Ó%Ê�ù�Ñ�á´à�ÄPË Ï àäÍPÓmá�ÎIÄ Ï �%Ä�ù�Ù�Ó%Ê�ù�Ñ7à@ÄPË Ï à@ÍPÓmáâ Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜßkÐ\Ä]¿��%Ä�ù�Ù\Ù�ÉPù�àkÅÜßkÄ]Þ�È%À�Ä�¾\¾ÃÉ]ÊPËÜÙ@Ä%á\á�Û\Û�À%Ä�¾S¿7à Ó%Ê�ù\Ñ�á´à@Ä]Ë Ï àäÍPÓmá�ÎÄ Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜßkÐ\Ä]¿��%Ä�ù�ÙkÀ�Ä�¾S¿7à�Ó%ÊÃù�Ñ�á´à À�Ä Ø Ù@Ä]Þ\¿%ÄPË�ù7Ù�1�ÄPË Ï à%Ô]Ù�ÉPù�àkÓ�ÉQË%ù�Ù@Ä Ï \Þ�ȸÙ@Ä�à@Ä]Ë Ï àäÍPÓmá\áÃáSÖÆáÃá´à@ÍPÓ±áâ Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜßkÐ\Ä]¿��%Ä�ù�Ù\Ù�ÉPù�àkÅÜß�ùÃÄ�ù\Á�ÂS¿ÆÉ�ÊPË÷Ù@ùÆá\áºÛÃÛ�À�Ä%¾S¿7à�Ó�Ê�ù�Ñmá´à@ÄPË Ï à@Í]ÓmáEÎ ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù@Ä Ï �%Ä�ù�Ù ù�à@ÄPË Ï à@Í�Ómá´àØ Ë�ÚIÎ�"1Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜßkÐ\Ä]¿��%Ä�ù�ÙkÀ�Ä�¾S¿7à�Ó%Ê�ùÃÑ�á´àÀ�Ä Ø Ù@Ä]Þ\¿�ÄPË�ù�Ù�1�ÄPË Ï à%ÔPÙ�ÉPù�à�Ó�ÉQË%ù�Ù�È�À�ÊPÈ��%Í\Ð2Ú�á\áSÖÆá\á´àÅ\ÌÜß@ÉQË�¾]Ä]À\¿7ÙkÚ7à@ÍPÓmá\á\áâ Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜß ÓÃÑ��%Ä�ù�Ù@Ä�à ùÆá´à@ÄPË Ï à@Í�ÓmáEÎÙ�Â]Í�¾]Ä3Ù@Ä Ï �%Ä�ù�Ù ù�à@ÄPË Ï à@ÍPÓmá´à@Ä Ï \Þ�È÷Ù@Ä�à@ÄPË Ï à@ÍPÓ´á\á�Ê ØÙ Ï Í�¾#ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�ÙkÚ�á´à�ÈÃÀ�ÊPÈ���Í\Ð�Ùäã�á\á�Î�"�É Ø ÚIÎEã+¿�å%ÄPË Ï Ä\Ð�¾]ÄEÄ Ï \À\À�Ê]À7Ù�ÓÃÑ%Ò�Ä]À\À\À�Ê]À�á\áâ Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜß@¾]Ä����%Ä�ù�Ù%Ô�ù\ÖÆá´à@ÄPË Ï à�ÍPÓmá�ÎIÄ Ï �%Ä�ù�Ù ù�à@ÄPË Ï à@ÍPÓmáâ Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜß@¾]Ä����%Ä�ù�Ù ù÷Û\Û�À�Ä�¾S¿�á´à�ÄPË Ï àäÍPÓmá�Î ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù@Ä Ï �%Ä�ù�Ù ù�à@ÄPË Ï à@Í�Ómá´à Ø ËfÚ�Î�"1Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜß@¾]Ä����%Ä�ù�ÙkÀ�Ä�¾S¿�á´à@ÄPË Ï àkÅ\ÌÜßäÉQË�¾�Ä]À\¿7Ù Ú7à@Í]Ómá\á\áâ Ä Ï �%Ä�ù�ÙkÅÜß�ÇÆÍ]¿ÆÂQå��%Ä�ù�Ù � ù%É\¾\ÂSÀÆÉSÇmÉQË%Í]Ëÿ7à Â]Í�¾]Ä%¾��%á±à@ÄPË Ï à@ÍPÓ´áEÎ ÉS¿�åÃÚ\À�ÊPÈ÷Ù@Ä Ï Ú�åÃÀ�Í�¾]Ä�Ù ù%É\¾\Â]ÀÆÉ[ÇmÉSË%ÍPË�¿7à@ÄPË Ï à@Í]Ómá´àØ Ë�ÚIÎ�"1Ð\Ä]¿ Ø Á\Ë Ø Ù�È%Í]¿7à ùÆá/Î3Ù�È%Í]¿7àkÅÜß�ùÃÄ�ù]Á�ÂS¿ÆÉ]ÊPË÷Ù ùÆá\áÏ Í\РÙ�ÂQå%Ê�¾]ÄPËÆÒ]ùÃÄ�ù�à�ÇÆÍ]¿ÆÂQåÆÒ�ÄPË Ï á�Î Ø ÉQË�ù� %Í]¿ÆÂQå÷ÙkÚ7à�ÇÆÍPÈ Ø Â]Í�¾]Ä�¾ÃáÉQË Ä Ï Ú�åÃÀ�Í�¾]Ä�Ù�ÂQå%Ê�¾]ÄPËÆÒ]ùÃÄ�ù�àkÀ�Ä Ø ÙäÍPÁÃú]Ç�ÄPËÿ��Ë Ï Ù�1�ÄPË Ï à�ÇÆÍ�¿ÆÂQå�Ò�ÄPË Ï á\á´àäÍPÓmáÄPË�ùÍPË�ùÄ Ï Ú�åÃÀ�Í�¾]Ä�ÙkÅÜßkÄ]Þ�ÈÃÀ�Ä�¾\¾\É]ÊPË÷Ù@Ä%áºà@ÄPË Ï à@ÍPÓ´áEÎ�Ä Ï \Þ�È÷Ù@Ä�à@ÄPË Ï à@ÍPÓmáâ Ä Ï Ú�åÃÀ�Í�¾]Ä�ÙkÅÜß�ùÃÄ�ù]Á�ÂS¿ÆÉ]ÊPË÷Ù ùÆá´à�ÄPË Ï àäÍPÓmá�ÎIÄ Ï �%Ä�ù�Ù ù�à@ÄPË Ï à@ÍPÓmá´×

ÄPË�ù�×

ö���¥��M�f� ¬ ¦ ¬wª «/§��M�g�f�Q�&�����I�������I�I�I�M�����M�f��¯������f�%À¤¦

X |

Page 62: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

ÿ ¬ �<;(¦��É�/�����M�M���X¦´�������Q�M�¤¦/ö����f���M�����&���M¥&­ËÌ�§ �)Ì�­R�Q�&�x¦ÿ ½ �<;(¦��É�/�����M�M���X¦\��Q�f����£M����\����*���M�����������´¦�­ËÌ�§ �ÉÌ%�&�Q�&� ½ |�| ¬ »D| � ¦ÿ ÀE�<;(¦��É�/�����M�M���X¦ 0 �Q�M�������I�����M��¡ 1 �I�����ã /���M¥��M��¥�����¦ 1 � 0 �I�M�Q�f���X¯�­RÌ�§B¯ ½ |�|Y|x¯��¼¢X����¡���¾M¡��)�¨�f���

=?>?>)@BA%C?C?D)D?DBE%FHG�E%IHG�>JE%K)L?M&C?@?N&O?P)KHQ�>�R�C&L?S?T)U)F)T?VWR�C?L)@)U�R�C?L&@?U)X)>)=?KHR&G?R�E-@HR ¦ÿ ô �<;(¦��É�/�����M�M���X¦´§%���x�Q»/. 021 /�¼¦�­ËÌ�§ �ÉÌ%­Ë�Q�&� ½ |�| ¬ » ½ fx¦ÿ fE�õ]*¦ 1 ¦9,%���I���M�M�f�Q¥��Á¦v /���B¾x�M�Ë����¡��Q�M¡��   ����������x�Q�¼¦õÌ��«�´¦#�)¾M�f���&�K����¯ 0 ¦/­ ¦Â�%��¾M¾M�¼��¯/���M��§B¦9�´¦97¦

­Ë����¾M���M�˯Å���M�������f�¼¯ZY�;E:�[ ­ ��g=>?HÜ�]\_^-gE¬[��>?i�;Ei���gEHJ;E<�@/i��w>?:�i�>?����@f¯r¢���¡��M�&� ½ ���Z`*;EHÜ�=��g&g&[²g·¢�a7g ­ ��:}��H^-gE¬[��>?i��&� � :&����Hh:���¦ã)%���¨���f�d���Q���Q�M��� 1 �M¾M¡����Q���I�����M�¼¯ ¬�ZYZ�½ ¦

ÿ X � � ¦=�´¦=,$�¼�����Å���M��b¤¦=�´¦�­Ë�����f��¦Wc :�gE¬[��>?i�;Ei���gEHJ;E<�<�g ­ ��:¹wE;=HÜ�=�/g�g][�¦/�É�Q���M�Q�&��� 1 �I���I�¼¯ _ �   ür���K�#¯ ¬�ZEª=ª ¦ÿ � � _ ¦9�g¦ 0 �B,$�f� u����´¦�§��M�g�É�������&�����þ���M�Q�w�����M¥&�M�f�au��Q���Á¦´Ì�� 1 ¦�,$�I�=(����I�X¯��Q�M�������X¯(^��øg&:������E��H ­ @Bg�¢ � Ia¬Z�?gE8

@���>?¬ g=H�ce^Ja�¯ 1 ���I���X¯�ö��I���M�Q��¯ 0 ���Q�Q�4¾���� ¬�Z � À¤¦ÿ ª �õ %¦�\����I�M��¡�¡���¦�,$���f���)����¡����&���f�M�M���É�����x�)���M���w�����M¥¤¦ � :����&HJ:��Sg�¢�^-gE¬[��>?i����3^��øg ­ ��;E¬^¬^��H ­ ¯ ª ! ½ % « ¬ ô���d ¬ � ½ ¯¬�Z=ª � ¦ÿ Z � � ¦9 %¦�\����M�f����¾M¡��(�Q�4��¡�¦=` ¬Z��<��&¬^��Hhi���H ­fe ;EiDwE��¬�;=i���:�@!x ��iDw�i*w=�hg^>����w<¶^���g�g�¢�i5�&���&<egw��¬^��Hhi � Ia@�i��&¬4¦

1 �f�Q���I�����Q»�]É��¡�¡�¯±��M¥�¡�� ' ������\�¡��F(x�¼¯ _ �   b��Q�f�I����¯ ¬�Z=ª X ¦ÿ ¬ |E�7§B¦ \��tL��M���M��¦�­Ë�������&�����M�������Q��¡$����¢��Q�f����¥����������M�*���)��\���¡����M¡��M�&���^\����M�f���f�M�Q�I�����M�X¦�Ì�� 1 ¦ )%�M���¨�f�Q�M�M��¯

�Q�����I���¼¯?a7g ­ ��:*;=HÜ�j^-g=¬Z��>?i���� � :����&HJ:��Q¯�����¥���� Zx¬ d ¬�½�½ ¦��É�����M���*��� 1 �f�Q�f�X¯= ´���M�M���´¯ ¬�Z�Z |¤¦ÿ ¬�¬ �7§B¦�\���L��M���M�a�����M�g¦A])�M�Q�X¦x§��M�^\���¡����M¡����'���È\����M�f���f�M�Q�I�����M�X¦�`�H�¢�gE�w¬^;Ei���gEH ;=HÜ�k^-gE¬[��>?i�;Ei���gEH�¯ ��X « Z f d

¬�½ |x¯ ¬�Z=ªEª ¦ÿ ¬�½ �5�g¦9\����M�f���M�����þ�����«�g¦?]É���Q�Á¦%§����]�Q���*¡/�M�I���&�Q�¼¦Å§��Q�����M������¡´�I�������I�X¯�Ì _©� Ì��&¯ � ���&L��M�Q�M�����M�f�Á¯Lö��f���M����¯

¬�Z�Z |¤¦ÿ ¬ ÀE�2 %¦ 0 ���&���a���M� � ¦�­Ë��¡����Q�¼¦ 1 �I���M�Q���M��¡%�����x�þ�I���M���&�Q�&�¨���a�¨�M���Q����������¡��M�f��¥��I���*�¼¦{Ì��lg^��HJi*w�cSHJHh>?;E<

� Ia¬[�?gE@���>?¬ g·¢e^��w��HJ:&� ��<��&@Bg·¢e^���g ­ ��;E¬^¬���H ­ a7;=H ­ >?; ­ �&@f¯��M��¥���� ½ | ��d ½x¬^½ ¯ ¬�ZEª�½ ¦ÿ ¬ ô � 0 ¦ 1 ¦�ö��f���Q�M�&���ª�Q����¡!¦nm�@�@���Hhi���;E<�@Bg·¢º^���g ­ ��;=¬�¬^��H ­ a ;EH ­ >?; ­ ��@f¦�­Ë���%�f�   »�])��¡�¡�¯ ¬�ZYZ�½ ¦ÿ ¬ fE�7­ ¦Jb¤¦��%���f�M���´¯'�*¦Jb¤¦Å­Ë��¡�¡��Q�¼¯����M�Í\�¦ 1 ¦ ' ���M�   ���I�I�´¦om��=��Hh��>?� ­ wkap^¹�q\rc e ��:>wE;=Hh� A���ka g ­ ��:�g�¢

^-gE¬[��>?i�;Ei���gEH�¯L¢���¡����*� � ª ���na ��:&i�>?���sg*gEi��&@2��Ht^-g=¬Z��>?i���� � :����&HJ:��Q¦7���M�I���M¥��Q�f»/ur���I¡���¥¤¯ ¬�Z � Z ¦

X ¬

Page 63: people.csail.mit.edupeople.csail.mit.edu/kostas/dpls/ndlOmega.pdf · :=@?BADCFEG? H@IKJ LNMPO#Q6R S&TDUVQBLNW1XZY\[]YV^_X%W []`aR bVXcX%deSD[]W+f%g []f%LhT\ij[]bVLB`k[ W1fZgj[]fZLNT

ÿ ¬ X �7­ ¦vbF¦C\�¦7�%���I�M���Ë�����R§B¦�öm¦x­Ë�Q¡��M���˦�` Hhi���g%�=>?:&i���gEH�i�gh`�wHayx�; iDwE��gE����¬ß����gE����H ­ �&HJ�&����g=Hh¬^�&HJiJ¢�gE�wE� ­ wE���w8�gE�S�E���S<�g ­ ��:�¦Z\����B¾M�f����¥��h�É�M��¢����I�f����� 1 �f�Q�f�X¯�\����4¾M�f���M¥���¯���M¥�¡����M��¯ ¬�ZYZ Àx¦

ÿ ¬ � � � ¦&]É���I�x�Q�¼¯�öm¦�])���M�f�Q¡�¡!¯Á���M�d�g¦ 1 ¡����K�����´¦���¨�f���&�   ���/�7�¨�����M�Q£M�����M¥)¡���¥����Q�¼¦vztgE>?�wHJ;E<�g�¢�iDwE�{c*@/@�g�:&��;=i���g=H¢�gE��^9g=¬Z��>?i���H ­�e ;=:-w=��Hh���wIX¯ ô |�! ¬ % « ¬ ô À d ¬�ª ô ¯�b������M���f� ¬�Z�Z Àx¦

ÿ ¬wª � ' ¦¤�&¦�]É�   ���f�´¦g§��M�&�¨���I�4�M¡����Q»����f»º�����x�Q�7�M���I�����P���'�����M�f���f�M�Q�I�����´¦BÌ��|bF¦�]É���M�M¡��Q�P���M�jb¤¦ � ¦��M�Q¡��M���´¯�Q�����I���f�X¯~}¹g�`q}HY-}B^->?�w�wI(\~m2@/@�;=Ia@ZgEH�^-gE¬^�&��HJ;Ei�gE�wIsa g ­ ��:�x9a ;E¬^���E;�^-;E<�:�>?<�>?@ ;=HÜ�[�7g=�w¬�;=<���@�¬�@f¯��M��¥��Q�ô�� Z d�ô Z |¤¦��)�Q���M�Q�&��� 1 �I���I�¼¯ ¬�Z=ª |x¦

ÿ ¬�Z � 0 �¼¢����S,]¦�­Ë���)�%�M���Q�´¦ � �%�M�Q���������M�����4�I�I���M�����f�]­� %¦�Ì�� 1 �Q�I�Q�H7¦& /���M�Q�¼¯��Q�M�������X¯ � >?Hh:�i���g=Hh;=<>^���g ­ ��;=¬�8¬^��H ­ x4^-gEHJ:&>?�w�ø�&HJ:&I(x � ��¬^>?<�;Ei���gEHN;EH¸��cS>?i�gE¬^;Ei������2��;=@/g=Hh��H ­ ¯´¢���¡����*� X Z À¤¯F�M��¥��Q�BÀ ½ d�ôYX ¦��M�M�f���M¥��Q�ur�Q�f¡���¥x¯ ¬�ZYZ ô ¦

ÿ ½ |E���#¦�­R���M�M�¤¦ e ;=i*w=�&¬^;Ei���:�;E<s}VwE��gE�wIGg·¢�^-gE¬[��>?i�;Ei���gEHM¦r­Ë���%�f�   »�])��¡�¡È\����&�M�����Q� ���Q���Q�M���B�M�Q�f�����X¯ ¬�Z �^ô ¦ÿ ½x¬ � 0 �¼¢�����&¦´­Ë�Q�)¡�¡��Q�f�����4���M�f;g���I�I���B�)�K�����M�����¼¦ ' ��¡����M���*�f�Q���M�f�I�����´¦ËÌ���^-gEH�¢��&�ø�&HJ:/�MgEH|cS>?i�g=¬�;=i����

i5�]�=>?:&i���gEH�¯��M��¥��Q� X�ô À d�X f � ¯ ¬�ZYZ X ¦ÿ ½�½ �7�*¦ � ¦¤­Ë�������X¦ ' �����g���]�õ�&�����Q¡'�����I�M�a¡����B¾x�M�õ����¡��Q�M¡��M�m� ` H/¢�gE�w¬^;Ei���gEHc;EH¸�t^-gEHJi��øgE<2¯9f ½ « ª ��d ¬^½�½ ¯

¬�Z=ª�½ ¦ÿ ½ ÀE� � ��¾M���*­Ë��¡����Q�¼¦�� �I�M�Q���I�g���M�������$�x��¡����&���I�M�����f� ���4�M�f��¥��f���&�&���M¥x¦WztgE>?�wHh;=<?g�¢�^-gE¬[��>?i�����;=HÜ� � Ia@�i���¬

� :�����Hh:��&@f¯ ¬ � « À ô ª d À � f¤¯ ¬�Z � ª ¦ÿ ½ ô �5�g¦ _ �Q���M¡�����M� 1 ¦7 ´�Q��¦¦�M���¨�������I���Q¡m�����I�Q�M�f�����M�   ���������M�¿�I�M��»º�I���&�Ë���M���w�����M¥¤¦UÌ��{^��øg&:������E��H ­ @ g�¢

iDwE� � ��:�gEH¸� � Ia¬[�?gE@���>?¬ gEHow��?����;Ei���H ­&� Ia@�i��&¬^@Bi*��@�� ­ H};EH¸�Ò` ¬Z��<��&¬^��Hhi�;Ei���gEHM¯¹�M�Q�����I¡���¯ ' ���f�M����¥������´¯)%�Q�I��¾x�Q� ¬�ZYZ X ¦

ÿ ½ fE�2 %¦-\�¦ 1 ����¡��f���´¦ e aM¢�gE�Si*w=�tx g=��[&��H ­ ����g ­ �ø;E¬^¬����Õ¦õ\����B¾��I���M¥��h�)�M��¢��Q�f�I����� 1 �I���I�¼¯�\����4¾M�I���M¥���¯���M¥�»¡����M�´¯ ½ �M�ª�Q�M����������¯ ¬�Z�Z X ¦

ÿ ½ X �5\�¦ � �����M��¦?m�<���¬���Hhi�@g�¢�¢�>?Hh:�i���gEHh;=< ���øg ­ ��;E¬^¬^��H ­ ¦��É�M�����f��� ' ���I¡��Q��¯XÌ��������I�M���������M��¡ã\����&�M�M�I�Q� �M�������M�Q��M���I���Q�¼¯ ¬�Z=ªYZ ¦

ÿ ½ � �2]*¦ � ��¥����I�¼¦�}VwE��g=�wIvg·¢G�ø�/:�>?�w@����&��¢�>?Hh:�i���g=Hh@�;=HÜ� �kzõ��:&i����&�s:/g=¬Z��>?i�;=�&��<e��i�IX¦7­Ë�t�%�I�   »�]É��¡�¡-,$���E�k\����&»�M������¯ ¬�Z X�� ¦

X ½