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AULA 360

Divisibilidad en los números naturales

1. Múltiplos y divisores de un número

2. Propiedades de múltiplos y divisores

3. Criterios de divisibilidad

4. Números primos y compuestos

5. Descomposición factorial

6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

UNIDAD 03

1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

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AULA 360

1. Múltiplos y divisores de un número

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

• Un número natural a se dice que es múltiplo del número natural b si podemos obtener a como resultado de multiplicar b por un número natural k.

a = b · k

• Un número natural a se dice que es divisor del número natural b si b es divisible entre a, es decir, b se puede dividir entre a y la división es exacta.

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2. Propiedades de múltiplos y divisores

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

Algunas de las propiedades de los múltiplos y divisores son:

• Los múltiplos de un número son infinitos:

= 5, 10, 15, 20, 25, ...

• Los divisores de un número no son infinitos:

D (12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12

5

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2. Propiedades de múltiplos y divisores

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

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• Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo:

a = a · 1

• El cero es múltiplo de todos los números naturales:

a · 0 = 0

• Los divisores de un número pueden formar parejas cuyo producto es ese mismo número:

D (15) = 1, 3, 5, 15 1 · 15 = 3 · 5 = 15

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3. Criterios de divisibilidad

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

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• Un número es divisible entre 2 si acaba en cifra par.

• Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

• Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 o en 5.

• Un número es divisible entre 11 si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan lugar par es cero o múltiplo de 11.

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4. Números primos y compuestos

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

• Un número es primo si solo admite como divisores a él mismo y la unidad.

Por ejemplo: 2, 3, 13, 57, ...

• Para un número primo a solo es posible una descomposición en factores:

a = a · 1

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4. Números primos y compuestos

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

• Un número es compuesto si admite otros divisores distintos de sí mismo y de la unidad.

D (18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18

• Dos números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es el uno.

D (8) = 1, 2, 4, 8, D (15) = 1, 3, 5, 15

8 y 15 son primos entre sí porque el único divisor común es el 1.

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5. Descomposición factorial

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

Cualquier número se puede descomponer en el producto de sus factores primos.

180 5 36 3 12 3 180 = 22 · 32 · 5 · 1 4 2 2 2 1

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6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

• El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de los divisores comunes. Si descomponemos los números en factores primos, multiplicamos los factores comunes elevados al menor exponente.

90 = 2· 32 · 5 m.c.d. (90, 84) = 2 · 3 = 6

84 = 22 · 3 · 7

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6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de los múltiplos comunes. Si descomponemos los números en factores primos, se multiplican todos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

90 = 2· 32 · 5 m.c.m. (90,84) = 22 · 32 · 5 · 7 = 1 260

84 = 22 · 3 · 7