مه روخ یضایر - کنکوریوkonkuru.ir/wp-content/uploads/riazikhor-dahom-gh4.pdf ·...

ریاضی خور دهم

(مچهاربخش -)نسخه دست نویس

موشکافی مسائل کتاب درسی

حسین ایزنحسین ایزن : حسین ایزننویسنذه

حسیه ایشن بٍ سبک آببداوی ریبضی خًر یبسدَم )تجزبی(

مقذمٍ

یعىمی قبلمی مثم کتمبة َمم تممًش ضمذ "ریبضی خًر دَمم "بٍ لطف خذا وًضته قسمت ايل کبر جذیذ مه یعىی َز چىذ کیفیمت اسم ه وًیس مىتطز کىم بٍ صًرت دست قصذ دارش وسخٍ ايلیٍ ایه کتبة ري ریبضی خًر یبسدَم

ايوطًر کٍ می خًاستم وطذ يلی مطمئه ببضیذ کٍ اس خًوذن کتبة لذت می بزیذ.

در مًرد سبک وًضته کتبة َم ببیذ خذمتتًن عزض کىم کٍ حتی االم بن سعی کزدش چُبرچًة َبی کتبة درسی ري کىمیم ي در ابیمبن َمز در رعبیت کىم یعىی ايل اس َمٍ تمزیه َب ي مسبئ کتبة درسی ري بب َمم بزرسمی ممی

کم ش مث َمیطٍ سعی کزدش کٍ حبص کبر.قزار دادش کٍ مخصًظ بچٍ َبی سروگ تز َست مسبئ ت میلی ري َم اضتببٌ اس آة در بیبد امیذيارش ایه تالش مًرد قبًل داوص آمًسان سزسمیىم ي دبیزان عشیش قزار بگیمزٌ. مطمتبقبوٍ

ستم.اذیزای وظزات ارسضمىذ َمٍ عشیشان َ

کى مممًر، امممی سمممی داولمممًد ای داضمممتٍ ببضمممم اس ممممذیزان م تمممزش سمممبیت َمممبی در آخمممز السممممٍ تطممم ز يیممم ٌ (http://konkur.in ،) ریبضی سمزا(http://riazisara.ir) ً امبر بمً (، http://konkuru.ir) کى ًریم(www.parsbook.org ،) کتببىب (http://ketabnak.com )ري بمز قبلی مه ُبیي ... کٍ سحمت اوتطبر کتبب

عُذٌ گزفته.

ي امب ريضُبی ارتببط4

riazikhor@کبوبل تلگزاش ریبضی خًر

SMS: 0938 572 5274

integralkhor.blogfa.comيبالگ اوتگزال خًر4

[email protected]ایمی اوتگزال خًر4

حسیه ایشن

6931 ضُزیًر 82 – آببدان

http://konkur.in/

کتاب اس هي چاج ضذُ چْارهی کٌي خذهتتَى تگن کِ فعال ایي چَى دٍستاى سیادی اس هي در هَرد کتاتْام سَالکِ در سیز عکسطَى رٍ هالحظِ هی کٌیذ ٍ تزای تْیِ ایي کتاتْا کافیِ تِ کتاتفزٍضی ّای هعتثز ضْز خَدتَى هزاجعِ

ّوِ ّستي. )تگذرین کِ عذُ ای ایي کتاتْا رٍ تِ طَى تِ صَرت رایگاى در ایٌتزًت در دستزسوًکٌیذ !! چَى ّ اسن خَدضَى تِ هلت هی فزٍضي!!(

اٍلیي کتاتن اًتگزال خَر )جلذ اٍل ( ّستص کِ حذٍد پٌج سال پیص هٌتطز ضذُ ٍ در هَرد اًتگزال ًاهعیي ّست ٍ تیطتز تِ کار داًص جَّا هیخَرُ الثتِ داًص

لثی تَی ایي آهَسای سرًگ ٍ عالقوٌذ ّن چیشّای جا. ایي کتاب عالٍُ تز ایزاى در کتاب پیذا هی کٌي

!افغاًستاى ّن طزفذارای سیادی دارُ

رٍضْای عذم هَفقیت در کٌکَر اسن دٍهیي کتاب هي ّست کِ چٌذ هاّیِ هٌتطز ضذُ ٍ الثتِ تِ هعزٍفیت

اًتگزال خَر ًیست. ایي کتاب در اصل تزای داًص ضزکت در کٌکَر سزاسزی رٍ آهَسای دتیزستاًی کِ قصذ

دارى ًَضتِ ضذُ ٍ حاصل تجزتیات هي در سهیٌِ کٌکَر ّست. ایي کتاب تِ ستاى طٌش ًَضتِ ضذُ ٍ هیتًَِ

ٍاسِ داًص جَّایی کِ هیخَاى کٌکَر ارضذ تذى ٍ کال ٍاسِ کسایی کِ دًثال ضیَُ ّای هٌاسة هطالعِ ّستي

.هفیذ تاضِ

ّست ایي کتاب سَهیي کتاب هي اسوص دًثالِ خَر هی کٌِ ٍ در هَرد دًثا لِ ّای حساتی ٍ ٌّذسی صحثت

تزای داًص آهَسای دتیزستاًی ٍ داٍطلثاى کٌکَر ًَضتِ ضذُ.

ریاضی ٍ اها چْارهیي ٍ جذیذتزیي کتاتن اسوص ّست خَر یاسدّن )تجزتی( تِ سثک آتاداًی!

یِ کتاب جذاب ٍ هتفاٍت تزای تچِ ّای سال یاسدّن تِ صَرت دستٌَیس ّست ٍ تا االى ضص تجزتی کِ

قسوت اس اٍى هٌتطز ضذُ ٍ اًتطارش اداهِ دارُ

حسین ایزن دنباله خور

1

حسابیدنباله

:خب بریم سراغ اولین مبحثمون یعنی دنباله ها

مثال دنبالهگیم م قرار گرفتند میاصوال به چند تا عدد که پشت سر ه

� ,� ,�� ,�� ,… .

یه جمله دنبالهبه هر کدوم از این عددها میگیم !دقت کنید که بین عددها هیچ عالمتی نیست

و... میشه جمله سوم 12 ،میشه جمله دوم 5 ،میشه جمله اول 2بنابراین

و...جمله دوم میشه ��،میشه جمله اول �� معموال جمالت یه دنباله رو با حروف اندیس دار نشون میدیم مثال

بنابراین در دنباله باال داریم:

�� = � �� = � �� = �� = ��,…

اکثر اوقات جمالت یه دنباله از نظم خاصی پیروي می کنند مثال دنباله زیر رو در نظر بگیرین:

2 , 4 , 8 , 16,…

خب بگو ببینم ارتباط بین جمالت باال چیه؟

جمله �� میشه جمله دوم ��میشه هستند یعنی جمله اول 2جمالت دنباله باال توانهاي آقا اجازه :

.... ��سوم

و نویسیمه شده رو می :احسنت معموال به جاي نوشتن همه جمالت فرمولی که این جمالت از روي اون ساخت استاد

��جمله عمومی و اون رو با بهش میگیم نشون میدن! ��(جدیدا مد شده جمله عمومی رو با هم می دیم.نشون

که البته هیچ فرقی نمی کنه)

�� واضحه که در اینجا جمله عمومی میشه : = ��


2

n=2قرار بدیم تا جمله اول بدست بیاد و n=1با داشتن جمله عمومی می تونیم تمام جمالت دنباله رو بنویسیم کافیه

قرار بدیم تا جمله دوم و...

� = � ⇒ �� = �� = �

� = � ⇒ �� = �� = �

� = � ⇒ �� = �� = �

��بنابراین یعنی اندیس جمالت باید حتما اعداد طبیعی باشه nحواستون باشه که ��و ...قابل قبول �� و

نیستند.

)!(سختاش رو می دم خودتون حل کنینسوال آسون با هم حل کنیم چندتاحاال بریم

�� :اگر 1مثال = �� − جمله عمومی یک دنباله باشد چند جمله اول دنباله را نوشته و بگویید چه ارتباطی بین �

جمالت وجود دارد؟

ار می دیم تا رو قر 2 رو قرار می دیم تا جمله اول بدست بیاد عدد 1 عدد nبه جاي آقا اجازه :

...دوم بدست بیاد جمله

�� → n=1 جمله اول = �(�)− � = �

�� →n=2 جمله دوم = �(�)− � = �

�� →n=3 جمله سوم = �(�)− � = �

پس دنباله مورد نظر اینطوري میشه

1 , 4 , 7 , 10 ,…

خب خوبه حاال بگو ارتباط بین جمالت چیه؟استاد :


3

تا اضافه میشه تا جمله بعدي بدست بیاد 3به هر جمله : آقا اجازه

!به همین راحتیاحسنت به این نوع دنباله میگن دنباله حسابی یا عددي استاد :

براین :بنا

.تا ما بتونیم تمام جمالت دنباله رو بنویسیم دقت کنید که جمله اول دنباله و قدر نسبت باید مشخص باشنالبته

دنباله هاي عددي با جمله اول و قدر نسبت داده شده را بنویسید. زچند جمله ا :2مثال

�� الف) = d=3و �

(قدر نسبت برابر سه هست) و به جمالت بعدي سه تا سه تا اضافه میشه 5خب این که خیلی آسونه! جمله اول میشه

یعنی:

5 , 8 , 11 , 14 ,…

��ب) = =d و ��

�

باالیی هستش هم مثلاین

� ,�

�,� ,

�

�

در نظر بگیریم که روي هر پله یک جمله از دنباله قرار میگیره واضحه مثل یه پلهدر واقع دنباله حسابی رو میتونیم تذکر مهم:

.dکه فاصله بین دو پله میشه همون قدر نسبت

از اضافه کردن یک مقدار ثابت به جمله ) �� یعنی (به جز جمله اول در دنباله حسابی هر جمله

.نشون می دیمd که اون رو با قبلی بدست میاد به این مقدار میگیم قدر نسبت


4

را بیابید. �� و d و �� مقادیر …,2,7,12,17: در دنباله عددي 3مثال

2جمله اول یعنی همون که میشه �� :جواب

d 5عنی قدر نسبت هم میشه ی

...کنیم اما نگران نباشین یه کاریش می !جمله دنباله رو بنویسیم 100قاعدتا انتظار ندارین که �� ا برايام

بیاید یه نگاه دیگه به جمالت دنباله باال بندازیم :

جمله اول = 2

دومجمله → 2+5=7 = d + اولجمله

12 = 2+10=2+2*5 → =جمله سوم اولجمله +2d

17 = 2+15 =2+3*5 →=جمله چهارم اولجمله +3d

بنابراین می توانیم بگوییم که:

جمله صدم = 99d + جمله اول

!پله ها هم این موضوع واضح هستبا توجه به

�� = �� + �� → �� = � + ��(�)= ��

با توجه به این مثال حالت کلی یک دنباله حسابی رو می تونیم به صورت زیر بنویسیم:

d

d

d


5

��

, �� + � ��

, �� + ��

, �� + ��

… ,�� + (� − �)��

یک دنباله حسابی در حالت کلی از رابطه زیر بدست می آید:( همون جمله عمومی) ام nبنابراین جمله

�� سریع مینویسیم ��به ما گفتن اگه مثال خب دیگه قضیه خیلی آسون شد پس = �� + ��

�� میشه ��یا = �� + ��

به بیان خودمونی

بازم تاکید می کنم که:

�� = �� + (� − �)�

جمله � ام تصاعدحسابی = جمله اول + (� − �قدرنسبت� (�

براي نوشتن جمله عمومی دنباله حسابی به جمله اول و قدر نسبت نیاز داریم.


6

بنویسید.در دنباله حسابی زیر جمله عمومی و جمالت هفتم و سیزدهم را :4مثال

3, 7, 11, 15 , …

:عبارتند ازمواد مورد نیاز براي نوشتن جمله عمومی ! خب

d) قدر نسبت 2 ��) جمله اول 1

�� = � ,� = �

:بنابراین جمله عمومی میشه

�� = �� + (� − �)� → �� = � + (� − �)(�)→ �� = �� − �

چند میشه؟ n پس : آقا اجازه

!باز تو شوت بازي در آوردي :استاد

همینطور می موند اما اگر به شما شماره جمله رو دادن مثال گفتن nام) پارامتر nتوي جمله عمومی (یا همون جمله

رو قرار می دي. 5عدد nجمله پنجم اونوقت در جمله عمومی به جاي

سیزدهم:حاال می ریم سراغ جمالت هفتم و

�� = �(�)− � = ��

�� = �(��)− � = ��

رو بنویسیم: ��و �� مالبته توجه داشته باشید که بدون نوشتن جمله عمومی هم می تونی

�� = �� + �� = ��

�� = �� + �� = ��


7

و �� به ترتیب جمله اول و قدر نسبت یک دنباله حسابی باشند عبارت هاي زیر را بر حسب dو �� اگر :5مثال

d .بنویسید

الف( �� + �� (ب �� − �� + ��

�� (ج − �� (د �� − ��

له کافیه توجه داشته باشیم که فرمول جمله عمومی تصاعد ئبراي حل این مس .پارامتري هست خب این یه مسله ساده

حسابی به صورت زیر است :

�� = �� + (� − �)�

بنا براین:

�� (الف + �� = (�� + ��)+ (�� + ��)= �� + ��

�� (ب − �� + �� = �(�� + ��)− (�� + ��)+ (�� + ��)

= �� + �� − �� − �� + �� + �� = �� + ��

�� (ج − �� = (�� + ��)− (�� + ��)= �� + �� − �� − �� = ��

�� (د − �� = (�� + ��)− (�� + ��)= �� + �� − �� − �� = �� −

�� = ��

نگاه کنید. (د) و(ج) حاال یه بار دیگه به جواب قسمت


8

�� (ج − �� = ��

�� (د − �� = ��

ه؟رتون چه ارتباطی اینجا وجود داربه نظ

می تونیم اینطوري بنویسیم: : آقا اجازه

�� − �� = (�� − �)� = ��

�� − �� = (�� − ��)� = ��

:نگاه کردالبته یه جور دیگه هم میشه به مسئله ! احسنت دارم بهت امیدوار می شم:استاد

��در واقع وقتی میگیم − )جمله دهم -جمله سوم(یعنی: ��

یه پله در نظر بگیریم جمله دهم روي پله دهم قرار میگیره و جمله سوم روي پله شبیه حاال اگر مثل قبل دنباله حسابی رو

��سوم پس: − پله 7یعنی اختالف بین پله دهم و پله سوم که میشه ��

به طور کلی می تونیم بگیم:

جمله می تونیم قدرنسبت رو در بیاریم 2با داشتن بنابراین همیشه یادتون باشه که

مثال دوجمله متوالی رو از هم کم کنیم:یه حالت خاص ولی مهم زمانی هست که

�� − �� = (� − �)� = �

�� − �� = (�� − ��)� = �

�� − �� = (� − �)�


9

البته اگه به پله ها هم نگاه کنید این ( اون دنباله که میبینید اختالف دو جمله متوالی دنباله حسابی میشه قدر نسبت همانطور

. )مطلب واضحه

دقت داشته باشد این تمرین که با هم حل کردیم در عین سادگی خیلی مهم و کاربردیه و در زمان حل تست توجه:

به منظور افزایش سرعت سعی کنید حتی االمکان این عبارات رو به صورت ذهنی ها زیاد به کارمون میاد بنابراین

بنویسید واسه تمرین بیشتر چند عبارت زیر رو ذهنی حل کنید.

)ذهنیبنویسید.( dو ��عبارت هاي زیر را بر حسب :1تمرین

A) �� − ��

B) �� − ��

C) �� + ��

D) �� + �� + ��

E) �� − �� + ��

F) 2�� − ��

:1جواب تمرین

, D) �� + �� , E) �� + �� , F) �� + �� + �� A) d , B) 7d , C)

�� ام یک دنباله حسابی باشد n جمله �� اگر :2تمرین − برابر است با:��

1)�� − �� 2)�� − �� 3)�� − �� 4)�� − ��

گزینه یک :2جواب تمرین


10

ه در مورد جمله عمومی تصاعد عددينکت چند

همونطور که دیدید جمله عمومی یک تصاعد حسابی به صورت زیر هست :

�� = �� + (� − �)�

عدد بزارید به یک چند d و ��از درجه اول هست یعنی اگر شما به جاي nجمله عمومی نسبت به :نکته اول اینکه

می رسید مثال: nجمله اي درجه اول نسبت به

�� = � ,� = � → �� = � + (� − �)(�)= �� − �

باشند : دنباله حسابیعباراتی به صورت زیر نمیتونن جمله عمومی یه نتیجه گیري مهم اینکه

�� = �� − �� + �� و � =

��

�� و = �� (�� − �)

توي جمله عمومی میشه قدر نسبت تصاعد حسابی nضریب :هکنکته دوم این

:مثال

�� = �� − � → � = �

�� = � − � → � = −�

�� =�� − �

�→ �� =

��

�−�

�→ � =

�

�

ولی...) قرار بدیم (البته این مطلب واضحه n=1 براي بدست آوردن جمله اول از جمله عمومی کافیه :هکنکته سوم این

مثال :

�� = � − �� → � = � → �� = � − �(�)= �

�� =�� − �

� → � = � → �� =

�(�)− �

�=−�

�= −�


11

�� در دنباله حسابی با جمله عمومی :6مثال =��

� هفتم چه قدر از جمله سوم بیشتر است؟جمله

1( 10 2( 6 3( 4 4(2

خب اول ببینیم مسئله اصال چی میخواد .

��یعنی جمله هفتم چه قدر از جمله سوم بیشتر است − �� =?

��از طرفی یادمون هست که − �� = (� − �)� = و داشته باشیم یعنی مسئله قدر ر dبنابراین کافیه ��

d ) حاال میریم سراغ یافتن !رو میخوام dنسبت رو می خواد (خب از همون اول مثه بچه آدم میگفت

نکتش چی بود؟ :آقا اجازه

dمیشه nضریب استاد:

اومد پس داریم: ونیادم آقا اجازه :

� =�

�→ �� − �� = ��

�

��= �

کنکور که من نیستم می خواي چکار کنی؟ اگه یه نکته اي یادت رفت چی؟ امتحان یاجلسه حاال سر استاد:

!ش نمیدونم تا حاال بهش فکر نکردمراست آقا اجازه :

میخوام توجه تو رو این نیست که سریع بري حفظش کنی بلکه وقتی من میگم نکته منظورم !ببین پسر خوب استاد:

بنابراین وقتی توي یه کتاب یا جزوه نکته به اون قسمت از درس جلب کنم و اهمیت اون مطلب رو نشون بدم

عالوه بر این همیشه باید این احتمال رو بدي .اي میبینی باید سعی کنی خوب بفهمیش نه اینکه فقط حفظش کنی


12

ه امتحان ممکنه یه نکته اي فراموشت بشه پس باید بلد باشی که بدون اون نکته هم کارت رو راه که سر جلس

��قرار بدي تا n=1میشه قدر نسبت اونوقت کافیه یه بار nبندازي متال فرض کن یادت رفت که ضریب

��در بیاد اونوقت ��قرار بدي تا n=2در بیاد و یه بار − روشهاي "(توي کتاب میشه قدر نسبت. ��

راجع به این موضوع مفصل صحبت کردم.) "عدم موفقیت در کنکور

�� =� + ��

� → �� =

� + �

�= �

�� =� + �

�=��

� → �� − �� =

��

�−�

�=�

�= �

رو حساب کرده و از هم کم کنید. ��و ��البته توي این مسئله می تونستید از همون اول

� = � ⇒ ��= ��(�)

� = �� n=3 ⇒ �� =

��(�)

�= �

⇒ �� − �� = �� − � = �

می شود؟ 175 برابر …,3,7,11: چندمین جمله از دنباله حسابی 7مثال

1( 41 2( 42 3( 43 4( 44

حل:

جمله عمومی رو بنویسیم dو �� پس کافیه با داشتن رو می خواد nوقتی در صورت مسئله میگه چندمین جمله یعنی

® �� = � , � = � ® �� = � + (� − �)(�)= �� − �

�� حاال کافیه = بدست بیاد (یعنی برعکس دفعه هاي قبل) nقرار بدیم تا ��

�� = �� ® �� − � = ��® �� = �� ® � =��

�= ��


13

می شود؟ 200بزرگتر از …,5,8,11: چندمین جمله از دنباله 8مثال

�� > ��® � =?® �� = � � = �

® �� = � + (� − �)(�)= �� + � > ��

�� + � → �� > �� → � >��

� → � > �� → � = ��

مثال 9: در مثال قبل مقدار اولین جمله بزرگتر از 300 چقدر است؟

!خب اینجا یکم دقت نیاز داره

در جمله بدست آمده n اري رو بدست بیاریم) بعد با جایگذ nمیشه (یعنی 300م کدوم جمله بزرگتر از یاول باید ببین

(دقت کنید که جمله عمومی رو از مثال قبل داریم). می می تونیم جواب رو بدست بیاریمعمو

�� > �� + � > �� > �� >��

�

� ≥ ��.� → � = �� → �� = �(��)+ � = ��

است؟ چقدر …,3,10,17 اولین جمله سه رقمی دنباله حسابی مقدار :3تمرین

101 :3جواب تمرین

رقمی دنباله حسابی باال کدام است؟ جمله سهبزرگترین :4تمرین

��: 4جواب تمرین

وجود دارد؟ 15رقمی مضرب چند عدد سه :10مثال

45 , 30 , 15 …؟ چی هستند 15خب اعداد مضرب


14

�� با یعنی یه تصاعد عددي = :پس d=15و ��

�� = �� + (� − �)(��)= ��

،گفتن 15nیعنی 15البته خیلی راحت می تونستیم این مطلب رو ذهنی بگیم پس دقت کنید وقتی گفتن مضرب

پس: )999تا 100حاال گفته اعداد سه رقمی (یعنی اعداد بین 7n میشه 7 مضرب

�� ≤ �� ≤ �� ⇒ ��

��≤ � ≤

��

��

6.6 ≤ n ≤ 66.6 ® n=7,8,..66 ® عدد 60میشه

تا ؟59 که میشه 7-66 آقا اجازه:

7...,3,4دقت کن پسر جان فاصله رو که نخواستیم ،تعداد اعداد رو خواستیم مثال تعداد اعداد استاد :

میشه

5 عدد ®3,4,5,6,7

60=1+7-66توي این مثال هم مینویسیم 5=1+3-7براي محاسبه یاد بگیریم

وجود دارد؟ 501چند عدد چهار رقمی مضرب :5تمرین

عدد 18 :5جواب تمرین

هستند؟ 15د سه رقمی مضرب درصد از اعداچند :6تمرین

درصد 6.6 :6جواب تمرین


15

واحد اضافه کنیم به جمله پنجم دنباله حاصل چند واحد اضافه می شود؟ 2اگر به قدر نسبت یک دنباله حسابی :11مثال

��جمله عمومی دنباله هندسی میشه )روش پارامتري( روش اول: = �� + (� − واحد به 2حاال اگه �(�

قدرنسبت اضافه کنیم داریم :

�¢� = �� + (� − �)(� + �)

در حالت اول جمله پنجم میشه:

�� = �� + ��

در حالت دوم جمله پنجم میشه:

�¢� = �� + �(� + �)= �� + �� + �

: بنابراین

�¢� − �� = �

و �� 1=خودمون براش سته حسابی چندچون در صورت سوال نگفته که جمله اول و قدرنسبت تصاعد روش دوم:

d=2 : در نظر میگیریم اونوقت دنباله ما میشه

1,3,5,7,9® �� = �

��واحد به قدر نسبت اضافه کنیم داریم 2حاال اگه = . d=4 و �

و دنباله ما میشه:

� ,� ,� ,�� ,�� → �� = ��

بنابراین:

�¢� − �� = �


16

)80کدام است؟(انسانی yعدد x,35,y,125در دنباله حسابی :12مثال

1( 10 - 2 (5- 3 (0 4 (5

، در این تست جمله اول و سوم به ما داه شده و جمله چهارم رو از ما میخوان !یه تست جالب

�� = �� = �� = � =?

) !جمله می تونیم قدر نسبت رو دربیاریم (یادتون که نرفته 2گفتیم که با داشتن

�� − �� = �� ® �� − �� = �� ⇒ � = −��

→ � = �� = �� + �� = �� + �(−��)= −��

!!کاري نداریم همx به جمله دوم یعنی

چند جمله دارد؟ 209,…,1,5,9دنباله حسابی :13مثال

جمله چندم هست ؟ 209خب کافیه ببینیم

�� = � � = � ®�� == � + (� − �)(�)= ��

� + �(� − �)= �� ® �(� − �)= ��

� − � =��

�® � − � = ��® � = ��

به عنوان تمرین خودتون حساب کنید که این دنباله چند جمله سه رقمی داره. جمله دارد. 53پس دنباله داده شده

��در یک دنباله حسابی :14مثال + �� + �� = جمله پنجم دنباله کدام است؟ ��

��خیلی سریع عبارت + �� + می نویسیم : d و aرو بر حسب ��

�� + �� + �� = (� + �)+ (� + ��)+ (� + ��)= �� + �� ®

�� + �� = ��


17

تقسیم کنیم 3خب کافیه عبارت باال رو بر a+4dمسئله از ما چی میخواد ؟ جمله پنجم یعنی

�� + ��

�=��

�® � + �� = �®�� = �

�� در مثال باال :7تمرین + است؟ چقدر حاصل ��

8 :7جواب تمرین

است جمله چهارم کدام است؟ 11و مجموع جمالت پنجم و ششم برابر 10در یک دنباله حسابی جمله اول برابر : 8تمرین

1( 6 2 (7 3 (8 4 (9

2گزینه : 8جواب تمرین

است قدر 5.5و مجموع جمالت سوم و چهارم برابر 7.5در یک دنباله حسابی مجموع دو جمله اول برابر :15مثال

است؟ چقدرنسبت آن

��.��.�

دومعادله دو مجهول

�� −(�� + �)= �.� �� + �� = �.�

® 4d = -2® d = ��

�

خوریم خوب یادش بگیرید. زیاد بر می ) a , d(برحسب ها به دستگاه دو معادله دو مجهولتوي مبحث دنباله توجه:

است جمله نهم کدام است؟ 4و مجموع جمله اول و چهارم برابر -7جمله هفتم یک تصاعد حسابی برابر :9تمرین

)77(انسانی

1( 10 - 2 (11- 3 (12- 4 (13-

2گزینه :9جواب تمرین


18

��در یک تصاعد حسابی :10تمرین + �� + �� + �� = �� اگر �� = برابر است با؟ �� باشد �

)67(ریاضی

1( 5 2 (6 3 (7 4 (8

3گزینه :10 جواب تمرین

سه جمله متوالی یک دنباله حسابی

دنباله عددي زیر رو در نظر بگیرید

� ,� ,� ,�� ,�� ,…

حاال بگو ببینم ارتباط بین دو جمله کناري یعنی 11 , 8 , 5سه جمله متوالی از این دنباله رو در نظر بگیرید مثال

چیه؟ 8با جمله وسط یعنی 5,11

برابر جمله وسط یعنی : جمعشون میشه دو آقا اجازه :

5+11=2×8

سه جمله متوالی دنباله a,b,cاین خاصیت واسه هر سه جمله متوالی دنباله حسابی برقراره یعنی اگر !احسنت استاد:

حسابی باشند داریم:

� + � = �� → � =� + �

�

دو جمله کناریه.(واسطه عددي) به عبارت ساده تر می تونیم بگیم جمله وسط میانگین

این مطلبی که گفتین واضحه چون پله دوم وسط پله هاي اول و سومه. اگر مثال پله رو در نظر بگیریم آقا اجازه:


19

این قضیه رو میشه واسه وقتی که سه جمله متوالی نباشند تعمیم داد اما اول البته !احسنت این رو خوب اومدي استاد:

هم حل کنیم. بزار چند مثال با

سه جمله متوالی یک دنباله عددي هستند قدر نسبت این دنباله کدام است؟ 2p+3و 3p+4و 5p-1اعداد :16مثال

1( 4 2 (5 3 (6 4 (7

)م.دو جمله متوالی رو از هم کم کنیباید dفقط یادتون باشه براي درآوردن (! یه تست خیلی آبکی

(�� + �)+ (�� − �)= �(�� + �) → �� + � = �� + � ® � = �

می تونیم مقدار عددي سه جمله رو بدست بیاریم pبا معلوم شدن

P=6® �� + � = ��

, �� + � = ��

�� − �� = �® � = �� − �� = �

بوده 14اولین جمله و قدر نسبت یک تصاعد حسابی به ترتیب به صورت دو عدد متوالی و جمله سوم آن برابر :17مثال

)82(آزاد انسانی قدر نسبت تصاعد چقدر بوده است ؟

1( 2 2 (3 3 (4 4 (5

کنیدوب دقت خاك! البنیه تست ج

� اونوقت قدر نسبت میشه باشه �فرض کنید اولین جمله برابر + پس جمله دوم میشه �

�� = �+ � = � + � + � = �� + �

پس سه جمله تصاعد حسابی میشه

� , �� + � , ��


20

® � + �� = �(�� + �) ® � + �� = �� + �

®�� = �� ® � = � → �� + � = � → � = �

و +�1√ واسطه عددي بین دوعدد :18مثال �

��√� کدام است؟

1( 0 2 (√� 3 (�

� 4 (1

واسطه عددي همون میانگینه. !نترسید

�

� − √�+� + √�

�

� =

� + � − �

� − √��

= �

� = �

�√ واسطه عددي بین :11 تمرین + و ��

√�� است؟ چقدر

�√: 11جواب تمرین + �

�اعداد aبه ازاي کدام مقدار :12تمرین + � ,�� + � ,�� − جمالت متوالی یک تصاعد عددي هستند؟ �

1( 5 . 2 (1 3 (1.5 4 (2

گزینه یک :12جواب تمرین

زوایاي یک مثلث قائم الزاویه سه جمله متوالی یک تصاعد عددي هستند کوچکترین زاویه مثلث کدام است؟ :19مثال

!یه مسله ساده ولی جالب


21

تصاعد حسابی له این سه زاویه سه جمله متوالی یک ئباشد طبق فرض مس a,b,cفرض کنید سه زاویه مثلث به صورت

هستند پس داریم :

�+ � = ��

است پس : °��از طرفی می دانیم جمع زوایاي یک مثلث برابر

� + � + � = ��° → �� + � = �� → � = ��°

درجه 90میشه c اما در مورد دو زاویه دیگه! دقت کنید که در صورت مسئله گفته مثلث قائم الزاویه پس زاویه بزرگ مثلث یعنی

)180- 90- 60=30درجه ( 30میشه aیعنی بنابراین زاویه کوچک مثلث

��° , ��° , زوایاي مثلث °��

خب حاال بریم سراغ تعمیم قضیه قبل (رابطه بین سه جمله متوالی ) دوباره همون پله معروف رو در نظر بگیرید

وسط پله هاي اول و پنجم است بنابراین می تونیم بنویسیم :واضحه که پله سوم

�� =�� + ��

� ⇒ �� + �� = ��

اثبات ریاضی رابطه باال هم خیلی ساده است :

�� + �� = �� + (�� + ��)= �� + �� = �(�� + ��)= ��

:باشند رابطه باال برقراره مثال فاصلههم به طور کلی بین هر سه جمله تصاعد حسابی که

�� فاصله�⎯⎯� ��

� فاصله�⎯� �� ⇒ �� + �� = ��

:به همین صورت

�� + �� = ��

�� + �� = ��


22

اونوقت می تونیم بنویسیم: ��و ��بنامیم و جمالت کناري را ��به طور کلی اگر جمله وسط را

��اگر در یک تصاعد حسابی :20مثال = ��,�� = باشد جمله پنجم این تصاعد کدام است؟ �

هم فاصله هستند پس داریم: �� , �� , ��با استفاده از نکته باال سه جمله ي : روش اول

�� + �� = �� ® � + �� = �� ® �� = �

دستگاه دو معادله دو مجهول: : روش دوم

�� = �� + �� = �� = �� + �� = ��

�−� × (�� + �� = �)

�� + �� = �� ® �

−�� − �� = −�� + �� = ��

� ® با جمع دو معادله داریم = �® �� + �(�)= � → �� = �

�� = �� + �� = � + �(�)= �

�� در یک دنباله حسابی :13تمرین + �� + �� = �� اگر �� = باشد قدرنسبت تصاعد چقدر �

است؟

1( �

� 2 (

��

� 3 (4 4 (-4

3گزینه : 13تمرین جواب

�� فاصله�⎯� ��

� فاصله�⎯� �� ⇒ �� + �� = ��


23

�� تصاعد حسابی یک :در 14تمرین = � ,�� =�

� حاصل عبارت

��

�� کدام است؟

1( ��

�� 2 (

��

�� 3(

�

�� 4 (

��

��

1گزینه : 14جواب تمرین

درج واسطه حسابی

تا درخت 3تا درخت 2متر از هم فاصله دارن اگر بخواهیم بین این 12فرض کن دوتا درخت داریم که یه سوال ساده:

افته؟فاصله می دیگه با فاصله یکسان بکاریم بین هر درخت چقدر

تا فاصله هست پس فاصله بین دو 4تا درخت داریم که بینشون 5اونوقت روي هم رفته : آقا اجازه

درخت میشه ��

�= � .

فاصله هست! 4درخت 5بین

ما همین ) حاال !(البته در اینجا واسطه درختی به این میگیم درج (قراردادن) واسطه حسابی بین دوعدد! احسنتاستاد :

کار رو با اعداد انجام می دیم.


24

م قدر نسبت تصاعد حاصل چقدر است؟سه واسطه عددي درج کردی 5و 21بین اعداد :21مثال

فاصله 4 عدد 5عدد اصلی = 2واسطه عددي + 3

:طبق شکل باال با قرار دادن سه واسطه داریم

�� = �� − � ق � =�� − �

�� ق = �

یعنی: میشه جمله پنجم 21رو جمله اول فرض کنیم 5اینطوري هم میشه گفت که اگر

�⏟��

, �� ,�� , �� ,��

بنا براین :

�� − �� = (� − �)� ⟹ �� − � = � ق �� = �

بنابراین : n+2 میشه جمله bمیشه جمله اول و a درج کنیم a,bواسطه حسابی بین دو عدد nبه طور کلی اگر

�� − �� = � − � = (� + �)�

⇒ � = � − �

� + �

!فرمول باال را حفظ نکنید بلکه بفهمینش

را (�


25

�√ :بین دو عدد 23مثال − �√و � + چند عدد میتوان قرار داد که رشته حاصل تشکیل تصاعد حسابی با �

بدهد. یکقدرنسبت

1( 8 2 (9 3 (10 4 (11

!جالبیه خوب دقت کنیداین تست

عدد بین دوعدد داده شده درج کردیم بنابراین داریم: nفرض کنید

√� − ��

�√ , � عدد , + ��

�� = √� − � , �� = √� + �

�� − �� = (� + �)� = �√� + �� − �√� − �� = ��

(� + �)� = �� (� + �)= � ق �� = �

درج کرده ایم قدر نسبت این تصاعد کدام است؟ -11,19 یازده واسطه حسابی بین دو عدد :15تمرین

1( 3- 2 (2.5- 3( �

� 4 (

�

�

2: گزینه 15جواب تمرین

میتوان درج کرد؟ 4چند واسطه حسابی با قدر نسبت 19و 3بین دو عدد :16تمرین

1( 3 2 (4 3 (5 4 (6

1: گزینه 16جواب تمرین

26

fullfool

29

q

aq

34

m5

35

b

bac

Cab

36

Cab

bac

38

Cover 2.pdf (p.1)Title.pdf (p.2)Introduction.pdf (p.3)My books3.pdf (p.4-5)دنباله حسابی 2.pdf (p.6-30)دنباله هندسweی 2.pdf (p.31-43)

مه روخ یضایر - کنکوریوkonkuru.ir/wp-content/uploads/riazikhor-dahom-gh4.pdf ·...

Documents

Transcript of مه روخ یضایر - کنکوریوkonkuru.ir/wp-content/uploads/riazikhor-dahom-gh4.pdf ·...