LA MOTIVACIÓN EN MATEMÁTICA

Muestra de algunas estrategias/actividades

I.-CONSTRUYE UN JUEGO MATEMÁTICO, EN BASE A REGLAS DE JUEGO ( PUNTO DE MEDIA MATEMÁTICO ) LO QUE TE PROPONGO ES UNA ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN LA QUE TÚ DECIDES CON QUÉ ELEMENTOS QUIERES TRABAJAR O “JUGAR”.Elementos principales con los que vamos a trabajar:Que te parece si escogemos, un palito, un gancho y una bolita.Tú puedes escoger otros elementos. Los que desees.Recuerda: Un palito, un gancho y una bolita.¿Cómo los representamos?¿Así?:Palito → │Gancho → ∩Bolita → О¿Cómo trabajamos o “jugamos?¿Te parece si acordamos nuestras Reglas de trabajo o “Juego”?Te propongo tres:

PRIMERA REGLA: Si se tiene una figura cualquiera a, se puede agregar un palito a cada lado, es decir uno a la derecha y otro a la izquierda.

SEGUNDA REGLA: Si se tiene una figura cualquiera a, se puede agregar sólo a la derecha un gancho.

TERCERA REGLA: Si se tiene una figura cualquiera a, que tenga ya un gancho a la derecha, se puede agregar a su vez una bolita hacia la derecha.¿Jugamos?Tenemos que escoger una figura inicial. ¿Te parece ∩?

A) Empecemos:Sugerencia:

A la derecha de casa paso indica la regla que estás usando.

1) Figura inicial → │

2) │∩ → Segunda regla

3) ││∩│ →Primera regla

4) ││∩│∩ →Segunda regla

5) ││∩│∩О →Tercera regla

6) │││∩│∩О│ →Primera regla

7) │││∩│∩О│∩ →Segunda regla

Podríamos seguir la actividad de usar las tres reglas para “jugar” con los elementos que hemos escogido.

B) ¿Quieres continuarlo tú?

C) Construye, utilizando las figuras y reglas anteriores, una figura, y comprueba su validez en la pizarra, utilizando la mota.

D) Construye un juego con otras figuras y otras reglas.

II.- LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS MANEJADAS EN BASE A REGLAS

PARA LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

PRIMERA REGLA (AS): “Signos iguales se suman”

Ejemplos:

SEGUNDA REGLA(AS): “Signos diferentes se restan”

Ejemplos

PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

PRIMERA REGLA (MD): “Signos iguales dan resultado positivo”

Ejemplos:

SEGUNDA REGLA (MD):

“Signos diferentes dan resultado negativo”

Ejemplos:

TERCERA REGLA (MD):

“El resultado de un número impar de factores negativos es negativo. El resultado de un número par de factores negativos es positivo”.

Ejemplos:

PARA POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

PRIMERA REGLA (PR):“Si la base (o radicando) es positivo, el resultado siempre es positivo”

Ejemplos:

SEGUNDA REGLA (PR):“Si la base (o radicando) es negativo y el exponente (o índice) es impar, el resultado existe y es negativo”.

Ejemplos:

TERCERA REGLA (PR):“∙Si la base es negativa y el exponente par, el resultado es positivo. ∙Si el radicando es negativo y el índice es par, no existe resultado en Z”

Ejemplos:

∄∄ ∄

PARA LOS SIGNOS DE COLECCIÓN

PRIMERA REGLA (SC):“Si entre dos signos + -, no hay número alguno, aquellos se están multiplicando”.

Ejemplos:

SEGUNDA REGLA (SC):“La raya de fracción funciona como signo de colección”

Ejemplos:

III.- ÁNGULOS EN EL POLÍGONO

Suma de los ángulos interiores de un triángulo

Veamos la figura, donde GD es paralelo a AC:

¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos 1, 2 y 3, que están sobre la recta GD?¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo?................

Suma de los ángulos exteriores de un triángulo.

Veamos la siguiente figura:

¿Cuáles son los ángulos exteriores?Si estos ángulos los colocamos alrededor de un punto O, así:

¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos 1, 2 y 3 que están alrededor del punto O?

A

E

B

C12

3

F

D

E

O

D

F

3 2

1

A

F E

D B

G

C 1

1

3

3

2

2

Entonces: ¿Cuánto es la suma de los ángulos exteriores de un triángulo?.........................

Medida de un ángulo exterior de un triángulo.Sea la siguiente figura:

¿Cuánto es m ∡x + m ∡c?Completa:m ∡x + m ∡c =………… (1)Entonces continúa el siguiente proceso:M ∢a +m ∢b +m ∢c =………………… (2)(1) = (2); entonces:m ∢x + m ∢c =…………………………m ∢x =…………………………………Entonces, la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos…………………………………………………………………………………….Si tenemos la siguiente figura, que es un cuadrilátero:

¿En cuántos triángulos se puede dividir?¿Cómo lo hiciste? ¿Así?

¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD?………………………………………….Si tenemos la siguiente figura, que es un polígono de cinco lados:

¿En cuántos triángulos se puede dividir?…………………………………………¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono ABCDE?…………………………………………Si un polígono tiene 6 lados. ¿En cuántos triángulos se puede dividir?

…………………………………………¿Cuánto es la suma de las medidas de sus ángulos interiores del polígono? …………………………………………Fórmulas:Si representamos por n al número de lados de un polígono; por #T al número de triángulos en que se puede dividir; por Si, la suma de las medidas de los ángulos interiores.Completa las siguientes igualdades:#T =...............Si =…………….

TALLER 01

I. Según la figura:

Completa:m ∢x = …… m ∢a = …… m ∢b ……

II. La suma de las medidas de los ángulos exteriores del cuadrilátero ABCD anterior es……………………………………………..

III. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 10 lados es………………………………………………..

IV. Según la figura.

Completa las siguientes expresiones:a) m ∢a =……. M ∢b =…… m ∢c =…... m ∢d =…… m ∢e =…… m ∢x =…… m ∢y =……

V. Construye una figura con triángulos, y coloca en ella algunas incógnitas que puedas calcular.

DIAGONALES EN EL POLÍGONO

Sea el cuadrilátero MNST siguiente:

¿Desde cada vértice, cuántas diagonales le puedes trazar? ……Cada diagonal une……. vértices.

b x

C

BA

a

c

ba xM

400

800

S

N

D

C

BA

D

C

BA

E D

C

B

A

d1600

y

1200

ab 1500

x

c

e

D

C

BA

Del vértice A, no puede trazarse diagonal alguna a dos vértices,…..y…..Con los 4 vértices sucede lo mismo.Es decir de cada vértice pueden trazarse n – 3 diagonales.OJO, cada diagonal cubre 2 vértices.¿Cuántas diagonales se pueden trazar en el cuadrilátero ABCD?.............

Si el número de vértices o lados es n.El número de diagonales es #D

#

¿Qué significa n?.............................................¿Qué significa n-3?.........................................¿Por qué sobre 2?...........................................

Sea el pentágono ABCDE siguiente:

¿Desde cada vértice, cuántas diagonales le puedes trazar? ……Cada diagonal une……. vértices.Del vértice A, no puede trazarse diagonal alguna a dos vértices,….. y…..De los otros vértices sucede lo mismo.Es decir de cada vértice pueden trazarse n – 3 diagonales.OJO, cada diagonal cubre 2 vértices.¿Cuántas diagonales se pueden trazar en el pentágono ABCDE?.............

Traza todas las diagonales del siguiente polígono:

Compruébalo utilizando la fórmula anterior.TALLER 02

I.-completa:

a) Una diagonal une……. vértices.b) Desde cada vértice se pueden trazar………diagonales.c) Desde cada vértice de un polígono de 14 lados se pueden trazar………..diagonales.d) El polígono con menor número de diagonales es ………………………..II.- Resuelve:a) ¿Cuál es el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 14 lados?..........b) Si la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono es 14400. ¿Cuántas diagonales se le puede trazar?............................c) Si el ángulo externo de un polígono regular mide 180. Cuál es el número total de sus diagonales?.........................d) ¿Cuántos lados tiene el polígono cuyo número de diagonales es 90?.................

IV.- ACTIVIDAD GENERAL: VISITANDO Y USANDO INTERNET

ACTIVIDAD 01

RESOLUCIÓN DE LA TAREA1) Descargar, descomprimir y usar “Ecuación”.

RUTA:

PRIMERA OPCIÓN: Google- ABCdatos – Windows –Educativos – Matemática- Cálculo – Ecuación. Clic en la barra verde (DESCARGAR), guardar en el escritorio, descomprimirlo y ejecutarlo.

SEGUNDA OPCIÓN: Google – Softonic – Educación y Ciencia – Matemática – Derive 6.1 –Clic en descargar –Clic en descargar gratis –luego similar a lo anterior.

2) Utilizando el programa “Ecuación”, realizar la tarea.

TAREA:DESCRIPCIÓN DE GRÁFICAS

I.-Describir las gráficas siguientes

1) y = x2

Nombre de la gráfica:

Posición en el plano:

Abertura de la gráfica:

Hacia arriba ( )Hacia abajo ( )(Marcar con una x)

2) y = 5x2

Nombre de la gráfica:

D

C

BA

E D

C

B

A

E D

C

B

A

C

A

G F

B

E

D

Posición en el plano:

Abertura de la gráfica:

Hacia arriba ( )Hacia abajo ( )(Marcar con una x)

3) y = 1/2(x2)

Nombre de la gráfica:

Posición en el plano:

Abertura de la gráfica:

Hacia arriba ( )Hacia abajo ( )(Marcar con una x)

II.-Proponer 03 funciones, no necesariamente del mismo tipo de las anteriores e indicar sus características1.-

Nombre de la gráfica:

Posición en el plano:

Describirla brevemente:

2.-Nombre de la gráfica:

Posición en el plano:

Describirla brevemente:

3.-Nombre de la gráfica:

Posición en el plano:

Describirla brevemente:

ACTIVIDAD 02

VISITA A PÁGINAS INTERACTIVAS1) Visita a la página “Walter-Fendt”:

Programa necesario: JAVA

RUTA: Google-Wálter-Fendt-Applets Java de Física- Clic en: Composición de fuerzas-Clic en péndulo, etc. Luego, en la parte baja de la página, hacer clic en Applets Matemáticas- Clic en: Suma de los ángulos de un triángulo

2) Visita a la página: “Física con ordenador”

RUTA: Igual a la anterior. Ir a Cinemática – Movimiento curvilíneo – Tiro parabólico- Observar algunas animaciones.

ACTIVIDAD 03

VISITA A PÁGINAS ESPECÍFICASVisita a “VITUTOR”RUTA: Google – VITUTOR – Matemáticas – Geometría – Geometría plana–Polígonos- Polígonos regulares.

ACTIVIDAD 04

MANEJO Y/O INSTALACIÓN DE PROGRAMAS DE LA CARPETA 02

1) Manejo de “GEOpint” y “Limix-geometric”RUTA: Doble clic en la carpeta amarilla- Doble clic en el dragoncito verde.Luego escoger la opción que brinda el programa.

2) Instalar el programa AGrapherSetup, (aceptando las condiciones del contrato)- Luego usarlo.

ACTIVIDAD 05(OPCIONAL)

VISITA AL BLOG “MIGUELAGIP.WORDPRESS.COM”RUTA: Google- Miguelagip.Wordpress.comClic en Profesor Agip- Clic en Trabajos- Doble clic en FÍSICA_I A –Luego descargar y abrir documento.

ACTIVIDAD 06

ENVÍO DE LA TAREA A LOS CORREOS:1) Abre tu correo – Ir a l bandeja de entrada – nuevo- escribir un mensaje – adjuntar – buscar el archivo- abrir – esperar que se cargue – enviar – esperar que aparezca: mensaje enviado.

ACTIVIDAD 07

Copiar en su USB todas las carpetas del Escritorio

PROFESORES:

BURGOS GONZALEZ RICARDOAGIP MEGO MIGUEL

Correos:

risheb10@hotmail.commiguel_agip@hotmail.comWeb: miguelagip.wordpress.com

V.- ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

Consideremos un sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal. En este caso tenemos, que dado un par de ángulos, se cumple una y sólo una de dos posibilidades:

a) Que sean congruentes ob) Que sean suplementarios.

I:-CONSTRUYENDO CONOCIMIENTOS

1.-En la siguiente figura donde L1 y L2 son rectas paralelas:

L1

L2

a) Según la figura, indica todos los pares de ángulos que son congruentes.

b) Cuáles pares son suplementarios.

2.-En la siguiente figura, donde L1 y L2 son rectas paralelas, calcular la medida de los otros siete ángulos: L1 L2

3.- Escribe en la figura, la medida de los ángulos que faltan:a)

L1// L2

b)

= 1020

L1// L2// L3 y L4//L5//L6

c)

ABCD: trapecio = 560°

II.- COMPROBANDO CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS

a) Construye 5 conjuntos de rectas paralelas, coloca algunas medidas de ángulos e incógnitas que se puedan calcular:

b) Construye 5 figuras geométricas (paralelogramos), coloca algunas medidas de ángulos e incógnitas que se puedan calcular:

VI.- EL CONJUTO Q

I. Efectúa las siguientes operaciones:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

II. Si a la unidad representada por el cuadrilátero, se efectúa las divisiones indicadas, y luego se

200

1000

L1

L2

L2

L3

L4 L5L6

L1

A B

CD

toman las partes que están sombreadas, indica el número que corresponde a cada zona.

1. =

2. =

III. Sombrea la parte que indica el número racional escrito a la derecha.

1.

2.

3.

VI. Construye dos figuras, divídelas en partes iguales y sombrea la parte correspondiente a un número racional que tú indiques, en cada una.

1.

2.

V. Coloca a la derecha de cada fracción la palabra propia o impropia

1. 2.

3. 4.

5. 5.

VII.- CONSTRUCCIÓN Y CÁLCULO DEL ESQUEMA PARA CALCULAR LA RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS REALES.

Calcular la raíz cuadrada de, 5836,369

Inmediatamente después del cálculo de la raíz cuadrada del primer periodo, insistir en la ruta del siguiente esquema: “Se baja el siguiente periodo, se duplica la raíz, y se prueba la siguiente cifra de la raíz”

Solución:

Comprobación:

76, 39 x76, 39 = 5835, 4321

5835, 4321 + 9369------------------5836, 3690

Ejercicio:

A) Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números reales:

10; 11; 13; 256

1) √10

2)√11

3)√134)√256

B) Calcula la raíz cuadrada de otros números que tú propongas.

1)

2)

VIII.- CONSTRUCCIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

A) Información necesaria:

Ángulos notables

Razones trigonométricas de 30º y 60º

La altura divide al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 60º y 30º.Si aplicamos el teorema de Pitágoras obtenemos la altura en función del lado:

√ 58 .36 ,36 .90 76,39

-49 146

9 36 1523

-8 76 15269

0 60 36

-45 69

14 67 90

-13 74 21

0 93 69

Razones trigonométricas de 45º

La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 45º y 45º.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras obtenemos la diagonal en función del lado

B) Visualiza imaginariamente los valores de las F T del ángulo señalado en las figuras.

¿Hacia dónde tienden los valores de las FT del ángulo α, cuando su medida tiende a 0°, así como a 90°?Completa la siguiente tabla:

sen

a

a

b

a

c

α

αb

c

a α c

b

a

c

b

α

a c

b

a

b

c

α

IX.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

CAPACIDADES FUNDAMENTALES:-COMUNICACIÓN MATEMÁTICA-RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

I.- RECUPERANDO CONOCIMIENTOS PREVIOS

PLANO CARTESIANO

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650).

EJERCICIO

Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:

(-2, 3), (2, -3), (2, 3), (-2, -3) (0, 5), (5, 0), (4, 4), (-4, -4)

Solución:Para facilitar su referencia, nombramos los puntos:

A(-2, 3), B(2, -3), C(2, 3), D(-2, -3) E(0, 5), F(5, 0), G(4, 4), H(-4, -4)

Ángulo en posición normal:

Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas en un sistema rectangular de ejes coordenados (Plano Cartesiano). Y cuyo vértice está en el origen de coordenadas (punto donde se intersectan los ejes).En la figura de la derecha se ilustra un ángulo en posición normal, el ángulo A0B.

 

Círculo trigonométrico:

Se llama círculo trigonométrico, a aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad.

Ángulo trigonométrico:      

 Supongamos el rayo 0A fijo y el rayo 0B móvil. Comenzamos con los dos rayos coincidiendo. Ahora, hagamos girar 0B alrededor de 0. En cada posición de giro, 0B determina un ángulo con 0A: el ángulo A0B. Se ha convenido considerar los ángulos generados en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivos, y a los generados en el mismo sentido de las manecillas del reloj como negativos. Antes de iniciar el giro, los rayos 0A y 0B coinciden, formando un ángulo de 0° (en el sistema sexagesimal). Al girar 0B, en sentido contrario a las manecillas del reloj, irá generando un ángulo cada vez mayor y cuando vuelva a coincidir 0B con 0A se habrá efectuado un giro completo, generándose un ángulo giro cuya medida es de 360°. 0B puede

continuar girando y engendrar un ángulo de cualquier medida; de lo anterior se deduce que 0A y 0B son los lados inicial y terminal, respectivamente, de una infinidad de ángulos.

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Funciones trigonométricas definidas mediante una circunferencia unitaria

Si es un número real y es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a , entonces:

II.-CONSTRUYENDO CONOCIMIENTOS

En el siguiente círculo trigonométrico. ¿Cómo construimos triángulos rectángulos para escribir las FT de los ángulos con posición en cada cuadrante?

X.- FRACCIÒN GENERATRIZ DE UNA EXPRESIÒN DECIMAL

I.-RECORDANDO LA DIVISIÓN EN Q:

1.- Efectúa las siguientes divisiones, hasta terminarla o encontrar una o varias cifras que se repitan en el cociente:

a) 34:8 b) 40:33 c) 23:12

2.- Indica la naturaleza decimal de las fracciones 2/15; 6/25 y 163/3.

x

y 1

3.- Busca la expresión decimal de 10/9; 11/9; 12/9; 13/9; 14/9;... 18/9. ¿Observas algo especial?

De lo anterior podemos concluir que al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal exacto o periódico.

Un número es decimal exacto porque tiene un número finito de cifras decimales.

En los decimales periódicos, decimos que un decimal:

Es periódico puro porque el periodo comienza inmediatamente después de la coma decimal.

Es periódico mixto, si el período no comienza inmediatamente después de la coma.

3.- Clasifica los números decimales obtenidos en 1, 2 y 3, según los nombres anteriores.

II.-CONSTRUYENDO CONOCIMIENTOS:

Cálculo de fracciones generatrices

a) Decimales exactos

;

La fracción generatriz de un decimal exacto es una fracción que tiene por numerador al número, escrito sin coma decimal, y por denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene.

b) Decimales periódicos puros

Consideremos el decimal , al que llamaremos x.

x = 4'313131....

Si multiplicamos los dos miembros por 100 (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) obtenemos:

100x = 431'3131....

Restando miembro a miembro las dos igualdades:

100x = 431,313131…

x = 4,313131…

------------------------------

99x = 431 - 4

Utilizando el método, calcula la generatriz de:

2,6666… y 1,081081081…

La fracción generatriz de un decimal periódico puro es una fracción que tiene por numerador al propio número, escrito sin los signos coma y periodo, menos el número formado por las cifras anteriores a la coma. Por denominador tiene tantos nueves como cifras decimales hay en el periodo.

c) Decimales periódicos mixtos

Consideremos el decimal 1,0636363…, al que llamaremos x:

 x = 1,063636363…

Si multiplicamos los dos miembros por 10 (un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales haya antes del periodo) obtenemos el decimal periódico puro:

10x = 10,63636363.....

Multiplicamos los dos miembros de la igualdad obtenida por 100 (un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el periodo) y obtenemos:

1000x = 1063,636363.....

Restando las dos últimas igualdades:

1000x = 1063,636363…

10x = 10,636363…

------------------------------------

990x = 1063 -10

Por tanto

 

Utilizando el método anterior calcula la generatriz de:

3,16666… y 0,237454545…

La fracción generatriz de un decimal periódico mixto es una fracción que tiene por numerador al propio número, escrito sin los signos coma y periodo, menos el número formado por las cifras anteriores al periodo quitándole la coma. Por denominador tiene tantos nueves como cifras hay en el periodo seguidos de tantos ceros como cifras hay entre la coma y el periodo.

NOTA: Si el número decimal es negativo, para calcular su generatriz se prescinde del signo, el que se restituye a la generatriz.

III.- ACTIVIDAD DE COMPROBACIÓN

Escribe dos números decimales exactos, dos periódicos puros y dos periódicos mixtos, y calcula la generatriz de cada uno.

XI.- IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

I.-RECUPERANDO CONOCIMIENTOS ANTERIORES:

¿Cuáles son las FT de ? (1)

sen = cos = tan =

csc = sec = cot =

II.-CONSTRUYENDO CONOCIMIENTOS:

Escribe la FT superior, en función de la que estáinmediatamente debajo de ella: (2)

sen = cos = tan =

¿Qué nombre les colocarías?

……………………………………………………………

Si utilizas, en el triángulo anterior, el Teorema de Pitágoras, completa:

Divide todos los términos de la igualdad entre

+ =

Si reemplazas cada cociente por la FT correspondiente, escribe:

(a)

Realiza el mismo procedimiento, dividiendo primero

entre y luego , luego completa:

= (b) (c)

¿Qué nombre le colocarías al grupo de FT (a), (b) y (c)?

……………………………………………………………

Si utilizas las fracciones de (1), completa los siguientes cocientes:

¿Qué nombre le pondrías?

……………………………………………………………

Utilizando las IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ANTERIORES, completa la siguiente tabla:

Función sen cos tan cot sec csc

sen

cos

tan

cot

sec

csc

III.-COMPROBANDO LOGRO DE APRENDIZAJES ESPERADOS:

1.- Comprobar las siguientes identidades:

a)

b)

2,- Construye 05 identidades:

a)

b)

c)

d)

e)

XII.- CONSTRUCCIÓN DEL TEOREMA DE THALES Y SU APLICACIÓN

A) Escribe 8 formas de la siguiente igualdad

(Proporción geométrica), y completa el cuadro:

PM

IR

PM

IR

PM

IR

PM

IR

PM = Permutando medios

IR = Invirtiendo razones

B) Información necesaria:

TEOREMA DE THALES

Para rectas:

Si dos rec tas cua lesqu iera se cor tan por var ias rec tas para le las , los segmentos de terminados en una de las rec tas son proporc iona les a los segmentos cor respond ientes en la o t ra .

En un t r iángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

C) Escribe otras igualdades para el caso del triángulo anterior:

1)

2)

3)

4)

5)

XIII.- CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS SÓLIDOS

TEOREMA DE VARIGNON:

‘’El momento producido por una fuerza resultante, respecto a un punto, es igual a la suma algebraica de los momentos producidos pos las fuerzas componentes, respecto al mismo punto.

= Sumatoria de los momentos de las fuerzas componentes, respecto al punto O.

MRO = momento de la resultante respecto al punto O.

MRO =

RESULTANTE DE FUERZAS PARALELAS

Procedimiento Para su cálculo:1.- La magnitud de la resultante se determina sumando algebraicamente las fuerzas dadas.2,- La dirección de la resultante es igual a la dirección de las fuerzas dadas.3.- El sentido de la resultante se determina de acuerdo al signo que tiene la suma algebraica.4.- El punto de aplicación de la resultante se determina mediante el Teorema de Varignon.

M0 R = M0 F comp

(W1 + W2).x = W1.x1 + W2 .x2

x =

CENTRO DE GRAVEDAD (Cg)

Definición.- Es el punto en el cual se considera aplicado el peso de un determinado cuerpo o sistema.La posición del Cg depende de la forma del cuerpo y de la distribución de su masa.

Coordenadas del Cg (x,y)

C1 (x1, y1)

C2 (x2, y2)

Cg (x, y)

Por Varignon:

M0 R = M0 F comp

(W1 + W2).x = W1.x1 + W2 .x2

x =

EN GENERAL:

x = y =

Nota importante:En las ecuaciones generales anteriores:- Se puede trabajar con los pesos y las masas.- Si los cuerpos tienen la misma densidad, se puede trabajar con los volúmenes.- Si los cuerpos son placas del mismo material y del mismo espesor, se puede trabajar con sus áreas.- Si son varillas unimateriales, del mismo grosor, se puede trabajar con sus longitudes.D) G = (2,2) E) G = (2,3)

Centro de Gravedad en dos y tres dimensiones

El centro de gravedad de un objeto es el punto donde el peso promedio de un cuerpo está localizado.Representaremos el centro de gravedad por las letras CG.

Para un objeto simétrico, tal como una pelota de béisbol, el CG está en el centro geométrico del objeto. Pero para objetos de forma irregular, como un bate de béisbol, que tiene más peso en un extremo que en otro, el CG estará desplazado hacia el extremo más pesado.Una figura plana como un triángulo isósceles tiene su CG está localizado a una distancia de la base, que es igual a un tercio de su altura. Para un cono

W1 W2

y

C1 C2

x

sólido como el que se ve en la figura, el centro de gravedad se localizará a la distancia de un cuarto de su altura.

CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA PIRÁMIDEEl centro de gravedad de una pirámide de densidad uniforme está situado a una distancia de la base igual a un cuarto de su altura.

EJEMPLOS

1). Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura:

Solución:

x1 =20 x2 = 25A1 = 800 A2 = 400 y2 =50 y2 = 20

x = =

= = 21,67

y = = = 40

Cg = (x, y) = (21,67; 40)

2). Determinar a qué distancia del extremo “A” se encuentra el centro de gravedad del sólido geométrico dado. Si es del mismo material y su sección transversal es muy pequeña.

Solución

L1 = 20 cm; L2 = 2 cm; x1 = 10 cm ; x2 = 20,5 cm

x = = = 10,95 cm

EJERCICIOS

1) Calcular la posición del centro de gravedad del grupo de pesos que están distribuidos tal como se muestra en la figura. Siendo:

m1 = 6 kg ; m2 = 8 kg; m3 = 6 kg; m4 = 8 kg

La figura m1; m2; m3; m4; es un rectángulo.

A) G = (6,2) B) G = (3,1) C) G = (1,2)D) G = (2,2) E) G = (2,3)

2) Hallar el Cg del cubo siguiente:

3) Hallar el Cg del prisma siguiente:

4) Hallar el Cg del siguiente cono:

h/3

hCG

h

h/4 CG

y

A1

A2

C1

C2

20 10 10

20

40

x

Cg

20cm 2cm

A B

y

m1

6

m4

2m2 m3

x

1m

1m

1m

6m

10m

4m

10m

8m

5) Hallar el centro de gravedad de la siguiente pirámide:

XIV.- DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA GENERAL, PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.

Sea dada la ecuación:

Donde para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.

Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:

Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:

Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por

lo que sumamos en ambos miembros de la ecuación:

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:

Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:

Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros:

Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:

Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:

Despejamos la incógnita que buscamos:

Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la fórmula general:

TEOREMA DE CARDANO-VIÈTE

Para toda ecuación cuadrática de la forma:

, de raíces .

Se cumplen los siguientes dos aspectos:

SUMA DE RAÍCES

Demostración:

Partiendo del uso de la fórmula resolvente

5m

3m

Sumamos los numeradores, por ello las raíces desaparecen al ser opuestas

Simplificando nos queda

PRODUCTO DE RAÍCES

Demostración:

Partiendo del uso de la fórmula resolvente

Realizando la multiplicación, por medio del producto de binomios conjugados en el numerador:

Resolviendo las potencias nos queda:

Distribuyo el menos y sumo en el numerador

Simplificando nos queda:

XV.- SISTEMA DE CUACIONES SIMULTÁNEAS DE 1er GRADO CON 2 VARIABLES

CONSTRUCCIÓN DE SIATEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE 1er GRADO CON DOS VARIABLES

A) Observa lo siguiente:

En la izquierda de la expresión reemplaza por “x” el 2 que se repite; y por “y” el 3 que se repite. ¿Qué expresión te queda?

B) Construye otras expresiones como la anterior 1)

2)

3)

4)

5)

C) Propón expresiones como las anteriores finales, y calcula el valor de cada letra o variable.

1)

2)

3)

XVI.- DIVISIÓN DE PPLINOMIOS

División de monomios

1.  Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor2.  Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"3.  En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Al igual que en el producto, no es necesario que dos monomios sean semejantes para poder realizar la división.ax n : bx m = (a : b )x n − m

Ejemplos

División de un polinomio entre un monomio

Cada término del polinomio se divide entre el monomio, considerando los signos del polinomio y el monomio, como en el caso anterior.

EjerciciosRealiza las divisiones de monomios1.- (12x3) : (4x) =2.- (18x6 y2 z5) : (6x3 y z2 ) =3.- (36 x3 y7 z4) : (12x2 y2) = 4.-

5.-

6.-

División de polinomios

Para dividir dos polinomios es conveniente ordenar los monomios de mayor a menor grado.Para dividir dos polinomios es necesario que el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor.La división de dos polinomios se realiza siguiendo estos pasos:

1.- El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor. 2.- Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y, el resultado, se le resta al dividendo. 3.- Con el nuevo dividendo obtenido se repite el proceso hasta que el grado resulte menor que el del divisor. Si el resto de la división P(x) : Q(x), es el polinomio nulo, es decir, si R(x) = 0, se dice que la división es exacta, o que el polinomio P(x) es divisible por Q(x). En caso contrario, hablamos de división entera de polinomios.

Ejemplos

Efectúa la división de los siguientes polinomios:a) (x5 + 7x3 - 5x + 1): (x3 + 2x)b) (x3 – 5x2 + x): (x2 – 1)

Ejercicios

Dividir:

1.- (x5 − 2x2 − 3): (x −1)

2.- (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10): (x + 2) 3.- (x4 − 3x2 +2): (x − 3)

4.- (x3 + 2x +70): (x+4)

5.- (x5 − 32): (x − 2)

6.- (x3 − 5x −1): (x − 3)

7. (x6 − 1): (x + 1)

8.- (x4 − 2x3 + x2 + x − 1): (x − 1) 9. -(x10 − 1024): (x + 2)

10.- (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20): (x2 + 3x −2)

11.- (x6+ 5x4 + 3x2 − 2x): (x2 − x + 3)

12.- P(x) = 2x5 + 2x3 − x - 8: Q(x) = 3x2 −2 x + 1

XVII.- ECUACIONES EN Z

Recordando

LAS REGLAS PARA LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

PRIMERA REGLA:

“Signos iguales dan resultado positivo”

Ejemplos:

SEGUNDA REGLA:

“Signos diferentes dan resultado negativo”

Ejemplos:

TERCERA REGLA (M):

“El resultado de un número impar de factores negativos es negativo. El resultado de un número par de factores negativos es positivo”.

Ejemplos:

EjercicioConstruye 10 multiplicaciones y 10 divisiones, y calcula su resultado.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN Z

Construyendo ecuaciones:

a) 2(+3) – 11 = -5

2x – 11 = -5

Resolviendo:

2x = -5 +11

2x = +6

→ x = +3

b) 4(-5) + 18 = -2

4x +18 = - 2

Resolviendo:

4x = - 2 – 18

4x = -20

c) 2(-3) +9(-3) +20 - 50 = -63

2x + 9x +20 – 50 = -63

Resolviendo:

2x + 9x = -63 -20 +50

11x = -33

Ejercicio:Construye tú 10 ecuaciones de primer grado con una variable en Z, y resuélvelas.

¿Empezamos?

XVIII.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS

En una expresión algebraica, se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.

E la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.

Coeficiente 3a2 Grado

Parte literal

Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.

Tipos de Expresiones Algebraicas:

1.- Racionales: Enteras y Fraccionarias

Cuando las variables no están afectadas por la radicación.

Ejemplo

2.- Irracionales:Cuando las variables están afectadas por la radicación.

Ejemplo

Expresión Algebraica Racional Entera

Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.

Ejemplo

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria

Una expresión algebraica racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.

Ejemplo

Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y; 45; m

En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal.

Polinomios

Son las expresiones algebraicas más usadas.Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma: A0 + a1 x + a2 x2 +…+ an xn

Ejemplos de polinomios

A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).Grado de un polinomioGrado relativo: es el exponente que tiene una variable. Ejemplo

4a3 b2 --> a con exponente 3 y b con exponente 2

El grado relativo será el exponente que afecta a cada letra. GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) y el GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)Otros ejemplo para poder entender:

x5 y3 z --> (x) con exponente 5, (y) con exponente 3, (z) con exponente 1.

GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)

Grado absoluto: es la suma de todos los grados relativos, exponentes o letras de cada variable. Ejemplo:4a3 b2 --> a con exponente 3; y b con exponente 2. Entonces:GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)

Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal.

Ejercicios:

Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado:

Ejercicio Signo

C. numéri

co

F. literal

Grado

– 5,9a2b3c menos

5,9 a2b3c 2+3+1=6

abc

– 8a4c2d3

Nombre, por el número de términos

Monomio: polinomio con un solo término.Binomio: polinomio con dos términos.Trinomio: polinomio con tres términos.

*Cada monomio aixi se llama término.El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es an xn con an¹0.A a0 se lo llama término independiente.A an se lo llama término principal.

Ejemplos

Es un polinomio de grado 4

Es un polinomio de grado 1

Es un polinomio de grado 0

El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x). No se le asigna grado

Ejercicio

1.- Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son.

Ejercicio:

Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

XIX.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PORCENTAJE.

TANTO POR CIENTO

I.- Escribe el número decimal que corresponde:

35/100

3.5/100

10/100

20/100

125/100

II.- Calcula:

1) 12 % de 406 ___________

2) 25 % de 9 ___________

3) 40 % de 300 ___________

4) 60 % de 1000 ___________

5) 75 % de 3.65 ___________

6) 90 % de 450 ___________

7) 80 % de 5.50 ___________

8) 50 % de 250 ___________

III.- Resuelve:

1.- Las ganancias de una panadería son: el 27% por la venta de pasteles y el 54% por la venta de pan. ¿Qué tanto por ciento corresponde a otros productos?El % que corresponde a otros productos es_____%

2.- Si el 63% de una botella está llena. ¿Qué tanto por ciento de la botella está vacía?El % que está vacía es______%

3.- En una página de un tebeo los dibujos ocupan el 78%. Si los márgenes son el 12%, ¿qué tanto por ciento de la página ocupan los textos?El % que ocupan los textos es_______%

4.- En un polideportivo una pista de hockey de 40m x 20m. ocupa el 28% del espacio total. ¿Qué tanto por ciento del polideportivo está dedicado a otros servicios? El % dedicado a otros servicios es______%

5.- En un campo de tenis hay 15000 espectadores. En un partido, el 60% de ellos apoya a uno de los jugadores. ¿Qué tanto por ciento apoya al otro?El % que apoya al otro jugador es_______%

6.- Julián gasta el 70% de la paga de cada semana. ¿Qué tanto por ciento ahorra? El % que ahorra es_______%

7.- Si 4 de cada 6 motos se pagan mediante un préstamo. ¿Qué tanto por ciento de motos se pagan al contado?El tanto por ciento aproximado es_______%

8.- En un árbol de naranjas 1/6 están listas para recoger y las restantes son todavía pequeñas. ¿Qué tanto por ciento de naranjas se pueden recoger? ¿Qué tanto por ciento quedará en el árbol?El tanto por ciento para recoger es aproximadamente______%El tanto por ciento restante es_______%

9.- En la liga de fútbol un equipo gana 2/3 de los partidos. ¿Qué tanto por ciento de partidos pierde o empata?2/3 = ______%El tanto por ciento restante es ______%10.-En la época de rebajas en una tienda descuentan el 22%. Una camisa cuesta 33.5 €

y un pantalón 42.45 €. ¿Cuánto tenemos que pagar por la camisa? ¿Cuánto tenemos que pagar por el pantalón?El precio de la camisa es______€

El precio del pantalón es______€

11.- Un coche usado se vende al 45% del valor de nuevo. Si el precio del coche nuevo es 20800 $, ¿cuánto será el precio del coche usado?El precio del coche usado es__________$

12.- El precio de una moto es 6350 €. Si por añadir unos accesorios aumenta el precio en un 3.5 %, ¿cuál es el precio final?El precio de la moto es_______€

13.- Si el 10% del precio de un balón es 2.8 S/. ¿Cuál es el precio del balón?El precio del balón es______ S/.

IV.-Completar los espacios que faltan:

0.31 ═ ═ ═ ___________%

0.7 ═ ═ ═ ___________%

0.2 ═ ═ ═ ___________%

0.75 ═ ═ ═ ___________%

V.- Completa las siguientes proposiciones:

1.- Tiramos un dado 29 veces y anotamos las veces que sale cada cara. Completa la tabla de frecuencias.

2.- Se ha realizado una encuesta sobre aficiones a 500 jóvenes. A 280 les gusta navegar. A 75 les gusta el teatro y al resto les gusta viajar. Con estos datos completa el histograma y la tabla de frecuencias.

TANTO POR CUANTO

VI.- Coloca el resultado a la derecha de cada expresión:

1.- de 60 es _________

2.- de 490 es ________

3.- de 990 es ________

4.- de 280 es ________

5.- de 6400 es _______

XX.- PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO - VARIACIONES

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEOEn este tema se inicia el tratamiento de las cuestiones elementales de teoría combinatoria, que puede definirse como la parte de la matemática que se dedica al estudio de los problemas relativos al cálculo del número de formas diferentes en que pueden agruparse una cantidad dada de objetos, que poseen características determinadas.Con problemas de este tipo se enfrentan desde el entrenador de un equipo al colocar los jugadores en posiciones determinadas, hasta físicos, ingenieros y aún lingüistas.

Veamos en primer lugar algunos conceptos generales.

Ejemplo

Considere un grupo de 367 personas. El principio de los cajones permite afirmar que hay al menos dos personas que cumplen años el mismo día. Acá p = 367, n = 365.

VARIACIONES

Variaciones de m elementos tomados en grupos de n.

Sea A = {a1,a2,...am} un conjunto de m elementos. Llamaremos variaciones de m objetos tomados en grupos de n a los subconjuntos ORDENADOS de A que poseen n elementos y se diferencian entre sí por poseer al menos un elemento diferente, o si tienen los mismos elementos, por el orden en que aparecen.Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: * Influye el orden en que se colocan. * Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

VARIACIONES SIN REPETICIÓN.

Las variaciones sin repetición de n elementos tomados en grupos de p, se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

Ejemplos:1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

2. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? m = 5n = 3 m ≥ n

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

3. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? m = 6n = 3 m ≥ n

Tenemos que separar el número en dos bloques: El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares), m = 5     n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.m = 6     n = 2

4. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? m = 10n = 3

No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.

Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.

No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.

5.- ¿Dados los dígitos 1, 3, 4, 5, 7 y 9, Cuántos números de 4 cifras, las 4 diferentes, pueden formarse con ellos?

Aquí: n = 6; p = 4Como dos números de 4 cifras, todas diferentes, son desiguales si tienen al menos dos dígitos desiguales, o si teniendo los mismos, estos se encuentran en orden distinto, estamos ante un caso de Variaciones con m = 6 y n = 4, o sea V6,4 = 6·5·4·3 = 360.

Acá una variación cualquiera, digamos (1, 3, 5, 7) se escribe 1357 y corresponde a ese número.

6.- En un equipo de fútbol se dispone de 12 jugadores, pero el portero y el centro delantero han de ser siempre los mismos. ¿De cuántas formas pueden colocarse los jugadores?Como en este caso se tiene un conjunto de 12 elementos, pero 2 de ellos están fijos, podemos

considerar que se tiene un conjunto de 10 elementos y se quieren formar los posibles conjuntos ordenados de 9 elementos (ya que 2 están fijos y un equipo de fútbol tiene 11 jugadores).

O sea V10,9 = 10·9·8·7·6·5·4·3·2 = 3.628.800

VARIACIONES CON REPETICIÓN

Se llaman variaciones con repetición aquellas en las cuales los elementos seleccionados del conjunto A pueden repetirse. Las variaciones con repetición se denotarán por VR.

Es posible demostrar que VRmn = mn y debe tenerse en cuenta que n puede ser en este caso mayor que m.

El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

Ejemplos

1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? m = 5     n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

= 125

2. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? m = 6     n = 3

Tenemos que separar el número en dos bloques: El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares), m = 5     n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.m = 6     n = 2

3. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?

m = 3     n = 15     m < n

Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

4.- Cuántos números diferentes de 3 cifras pueden formarse con los dígitos 3 y 5.En este caso el número es VR2,3 = 23 = 8.Los números son: 333, 335, 353, 355, 533, 553, 555.

5.- Calcular el número de palabras diferentes que pueden formarse con las letras de la palabra MATEMATICA.

En este caso m = 10. La letra M aparece a1 = 2 veces; la letra A, a2 = 3 veces; la T, a3 = 2 veces; la E, a4 = 1 vez; la I, a5 = 1 vez y la C, a6 = 1 vez, luego la cantidad pedida es:

PR10,2,3,2,1,1,1 = 10!/(2!x3!x2!x1!x1!x1!) = 302400

EJERCICIOS

1. Determine el número de enteros de seis dígitos, de forma que:*No se repita ningún dígito.*Se puedan repetir los dígitos.

2. Determine de cuántas formas puede responder un estudiante a un cuestionario de diez preguntas del tipo falso o verdadero.

3. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras en la palabra TRABAJAN?

4. Determine, en el ejercicio anterior, cuántas disposiciones tienen las tres A juntas.

5. ¿Cuántos caminos distintos hay de (0, 0) a (7, 7) en el plano xy si un camino avanza un paso cada vez, bien un espacio hacia la derecha o hacia arriba?

6. ¿De cuántas maneras se pueden pintar 12 oficinas de forma tal que 3 de ellas sean verdes, 2 rosadas, 2 amarillas y las restantes blancas?

XXI.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR MEDIO DE ECUACIONES DE 1ER GRADO.

I. TRADUCIENDO EXPRESIONES VERBALESFrase                       En símbolos

1. Un número aumentado en 7.            x + 7

2. Un número disminuido en 9.             x – 9

3. El doble de un número                      2x

4. La mitad de un número                      x

5. Un número es 4 más que un segundo número.

      Primero             Segundo         x + 4                       x

6. Un número es 5 menos que un segundo número.

    Primero      Segundo          x - 5              x

7. La suma de dos números es 25.

     Primero  Segundo            x         25 – x

8. Tres números consecutivos.

    Primero  Segundo  Tercero           x            x + 1         x + 2

9. Tres números consecutivos pares.

    Primero  Segundo  Tercero           x              x + 2        x + 4

10. Tres números consecutivos impares.

   Primero  Segundo  Tercero          x          x + 2         x + 4

11. Un número es el doble de un segundo número.

 Primero  Segundo        2x            x

12. Un número es la mitad de un segundo número.

  Primero  Segundo   1/2  x           x

13.  Un número es 3 más que 6 veces un segundo número. Primero  Segundo         6x + 3           x

14. El perímetro (P) de un rectángulo con largo L y ancho W P = 2L + 2W

15. El área (A) de un rectángulo con largo L y ancho W A = L W

16. La circunferencia (C) de un círculo con radio (r)

C = 2 r

17. Área(A) de un círculo con radio (r)

A = r2

18. El área (A) de un triángulo con base (b) y altura (h) A = 1/2 (b. h)

19. La suma de 2 y un número.                  2 + d  (la "d" representa la cantidad desconocida)

20. 3 más que un número                               x + 3

21. La diferencia entre un número y 5             a - 5

22. 4 menos que n                                          4 - n

23. Un número aumentado en 1                k + 1

24. Un número disminuido en 10             z - 10

25. El producto de dos números                     a · b

26. Dos veces la suma de dos números        2 (a + b)

27. Dos veces un número sumado a otro       2a + b

28. Cinco veces un número                            5x

29. El cociente de dos números           a/b  

II. RESOLVIENDO EJERCICIOS (CONSTRUYENDO)

A. Traduce usando símbolos:

1. La suma de dos números______________

2. 10 más que n_______________________

 3. Un número aumentado en 3____________

 4.  Un número disminuido en 2____________

 5. El producto de p y q__________________

 6. Uno restado a un número______________

 7. 3 veces la diferencia de dos números_____

    8. 10 más que 3 veces un número_________

    9. La diferencia de dos números___________     B. Escribe usando símbolos y simplifica el resultado:

    1. La suma de 24 y 19_______________

    2. 19 más que 33___________________

    3. Dos veces la diferencia de 9 y4______

    4. El producto de 6 y16______________

    5. 3 veces la diferencia de 27 y21______

    6. La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al         cuadrado___________________________

    7. El cociente de 3 al cubo y 9_________

    8. 12 al cuadrado dividido por el         producto de 8 y12________________    C. Resuelve:

Un empleado A se toma 5 veces más tiempo en hacer una tarea que un empleado B. SI t representa el tiempo que le toma a B en hacer la tarea, entonces 5t representa el tiempo que le toma a A.    ¿Cuánto le tomará a A si B se toma 30 segundos?

_________________________  

III. RESOLVIENDO EJEMPLOS DE PROBLEMAS

 1. Al dinero que tengo le sumo su doble y le resto 15, si me quedan 9 ¿Cuánto dinero tenía?A) 8 B) 6 C) 9 D) 7

2. He comprado 8 CD vírgenes y he pagado con un billete de 10 soles, me han devuelto 0'40 soles ¿Cuánto vale cada CD?A) 0,80 B) 1,20 C) 1,40 D) 0,90

3. Los dos sétimos de un número son 8 ¿De qué número se trata?A) 27 B) 32 C) 28 D) 29

4. Juan tiene el doble de dinero que Pepe y entre los dos tienen 123 soles ¿Cuánto dinero tiene Pepe?A) 39 B) 38 C) 42 D) 41

5. La edad de Juan es el doble que la de Pepe y la edad de Pepe es el triple que la de Antonio, si entre todos ellos suman 30 años ¿Cuál es la edad de Antonio?A) 6 B) 3 C) 8 D) 4

6. Antonio ha gastado 3,20€ más que Lola. Si entre los dos han gastado 15€ ¿Cuánto gastó Lola?A) 6,10€ B) 5,90€ C) 5,80€ D) 7,50€

7. Tengo el doble de monedas 0'20€ que de 0'50€. Si en total tengo 2'70€ ¿Cuántas monedas tengo de 0'20€?A) 5 B) 6 C) 4 D) 7

8. Un número más su doble suman 210

¿Cuál es ese número?A) 60 B) 65 C) 80 D) 70

9. En una urna hay el doble número de bolas verdes que amarillas y triple número de bolas rojas que verdes y amarillas juntas. Si en total hay 312 bolas, ¿cuántas hay de cada color?

10. La suma de dos números pares consecutivos es 102. Halla esos números.          (50 y 52)

11. La suma de tres números impares consecutivos es 69. Busca los números.      (21,23 y25)

12. La suma de dos números pares consecutivos es 210. Halla esos números.           (104 y 106)

13. La suma de dos números es 32 y uno de ellos es la séptima parte del otro. Halla los dos números.                            ( 4 y 28)

14.  La suma de dos números consecutivos es 107. Calcula esos números.                 (53 y 54)

15. La suma de dos números pares consecutivos es 54. Busca esos números.                  (26 y 28)

16. La suma de dos números impares consecutivos es 36. Busca esos números.        (17 y 19)

17. Halla dos números sabiendo que uno es triple que el otro y su suma es 20.            (5 y 15)

18. Halla dos números sabiendo que uno excede al otro en 6 unidades y su suma es 40   .(17y23)

19. Si dos números son tales que uno es el cuádruplo del otro y su suma es 125.¿Cuáles son esos números?                  (25 y100)

20. Se reparten bombones entre tres niños. Al 2º le dan el doble que al primero y al tercero el triple que al segundo. Si el total es de 18 bombones. ¿Cuántos bombones dan a cada niño?

(Al 1º 2 bombones, al 2º 4 bombones y al 3º 12 bombones)

21. En un salón hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de niños. Si en total hay 35 personas ¿Cuántos niños, niñas y adultos hay?   (niños 10,niñas 20,adultos 5)

22. En una reunión hay 4 veces más niños que mujeres y de hombres 3 veces más que la mitad de mujeres. Si en total hay 91 personas ¿Cuántos niños, mujeres y hombres hay? (Niños 56, mujeres 14 y  hombres 21)

23. En un avión viajan el cuádruple de hombres que de mujeres y la mitad de niños que de mujeres, en total viajan 165 personas .¿Qué número corresponde a cada tipo de persona?

24. (Hombres 120, mujeres 30 y niños 15)25. Un hombre legó su fortuna de la siguiente

manera: la mitad para su esposa, la tercera parte para su hijo, la octava parte para su sobrina y 180  € a una institución benéfica

¿Cuánto dinero poseía?         (4320 €)

26. En una clase hay niños de 13, 14 y 15 años. De 14 años hay el doble que de 15 años y de 13 años el triple que de 14. ¿Cuántos niños hay de cada edad si en total hay 27 alumnos?

(de13 años 18 niños, de 14 años 6 y de 15 años 3 niños)

27. En un autobús viajan triple número de mujeres que de niños y doble número de hombres que de mujeres y niños juntos. En total viaja 60 personas. Calcula cuántos niños mujeres y hombres viajan en dicho autobús.                    (Niños 5, mujeres 15 y hombres 40)

28. Luis tiene 16 años más que Manuel y dentro de 4 años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?               (Manuel 12 y Luis 28)

29. La hermana de Juan tiene 13 años más que él y dentro de 6 años tendrá el doble ¿Qué edad tiene cada uno?( Juan 7 años, hermana 20 )

30. Un padre tiene 25 años más que su hijo y dentro de 5 años tendrá el doble ¿Qué edad tiene cada uno?        

(Hijo 20 años, padre 45) 31. Ana tiene 7 años más que Pedro y hace 1 año

tenía el doble ¿Qué edad tiene cada uno? (Pedro 8 años y Ana 15)

32. María tiene 30 años más que Luis y dentro de 7 años tendrá el triple. ¿Qué edad tiene cada uno?                (María 38 años y Luis 8)

33. Ana tiene 36 años menos que su padre y dentro de 8 años, su padre tendrá el cuádruplo de los que entonces tenga ella ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad? (Ana 4 años y padre 40)

34. La madre de Luis tiene 26 años más que él y dentro de 3 años tendrá el triple. ¿Qué edad tiene cada uno? (Luis 10 años, madre 36)

35. Mariza tiene 20 años más que su hijo y dentro de 5 años tendrá el doble de edad que la que entonces tenga éste. ¿Qué edad tiene cada uno?       (Mariza 35 años, hijo 15)

36. La diferencia de edad entre dos hermanos es de es de 5 años y dentro de 2 años uno tendrá doble que el otro. ¿Qué edad tiene cada uno? 

(Un hermano 3 años y otro 8)

37. La diferencia de edad entre un padre y un hijo es de 32 años y dentro de 5 años la edad del padre será el triple de la que entonces tenga el hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?

(Hijo 11 años, padre 43)

38. 28.  La diferencia de edad entre un abuelo y su nieto es de 48 años y hace 4 años el abuelo tenía 5 veces la edad del nieto. ¿Qué edad tiene cada uno? (nieto 16 años, abuelo 64)

39. El perímetro de un rectángulo mide 34 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que la base mide 7 m más que la altura. 

(Base 12 m y altura 5 m)

XXII.- PRODUTOS NOTABLES

I.- RECORDAND CONOCIMIENTOS:

Efectúa las siguientes operaciones sin realizar la operación indicada dentro de los paréntesis; es decir, efectúa las multiplicaciones indicadas.

(2+3)2 = ___________________________________

__________________________________________

(3-2)2 = ____________________________________

__________________________________________

(3+2)3 = ___________________________________

__________________________________________

(3-2)3 = ____________________________________

__________________________________________

Si al número 2 lo representamos por “x” y al número 3 lo representamos por “y”, Efectúa lo anterior:

(x+y)2 = ___________________________________

__________________________________________

(y-x)2 = ____________________________________

__________________________________________

(y+x)3 = ___________________________________

__________________________________________

(y-x)3 = ____________________________________

__________________________________________

II.- CONSTRUYENDO CONOCIMIENTOS:

Desarrolla las siguientes expresiones:

(2a + 5)2 = ______________________________________________

______________________________________________

(5x2 -10)2 = ______________________________________________

______________________________________________

(m + 5)3 = ______________________________________________

______________________________________________

(2m – 10)3 = ______________________________________________

______________________________________________

(m+n)(m – n) = ______________________________________________

______________________________________________

¡A los productos o procesos anteriores se les llama PRODUCTOS NOTABLES, y hay más!

III.- COMPROBACIÓN DE CONOCIMIENTOS Y PROCESOS COGNITIVOS

Construye 05 productos, efectúalos como multiplicación y utilizando los esquemas (usando lo descrito por los productos notables).

1.- ______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

2.- ______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

3.- ______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

4.- ____________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

5.- ____________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

XXIII.- REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE

CASOS:

1) Reducción de ángulos positivos menores de 360º:

En este caso se descompone al Angulo original como suma o resta de un Angulo cuadrantal con un Angulo agudo; para luego aplicar el siguiente criterio:

RT(180º+/- α)=+/- RT(α)RT(360º+/- α)=+/- RT(α)

RT: Razón trigonométrica

Ejemplos

1) sen(1800 +/- α) = +/- sen(α)sen(1500) = sen(1800 -300) = sen(300)

2) tan(1800 +/- α) = +/- tan αTan(2000) = tan(1800 + 200) = - tan(200)

3) cos(3600 +/- α) = +/- cos(α)Cos (3000) = cos(3600 – 600) = - cos(600)

Observación: +/- depende del cuadrante del Angulo originalα, es un Angulo agudo

2) Reducción de ángulos mayores de una vuelta:

En este caso al Angulo original se le anula el mayor número de vueltas posibles y nos quedamos con el residuo.

RT(β) = RT("N" vueltas + β) = RT(β)

N pertenece a los números naturales positivos, "β" es un Angulo menor a una vuelta.

Luego se procede como en el primer caso.

Ejemplos

1) sen 19760 = sen(5 vueltas + 1760) = sen(1760) = sen(1800 – 40) = sen(40)

2) sec(39400) = sec(10 vueltas + 3400) =sec(3400) = sec(3600 – 200) = sec(200)

XXIV.- REGLA DE TRES COMPUESTA

Cuando la cantidad de magnitudes que aparece en un problema es mayor que dos, se aplica la regla de tres compuesta. Estos problemas son equivalentes a varios problemas de regla de tres simple encadenados. De acuerdo a si las magnitudes de cada uno de ellos son directa o

α α

β

y

x

α α

β

β

y

x

α α

β

β x

y

inversamente proporcionales, encontraremos tres casos:

Regla de tres compuesta DIRECTA Tres obreros pueden fabricar 18 piezas en 5 horas. ¿Cuántas piezas fabricarán 5 obreros trabajando 6 horas cada uno?

Obreros Horas Piezas 3 5 18 5 6 x d d

En general:

Regla de tres compuesta INVERSATres bombas, trabajando 4 horas diarias, llenan una pileta en 2 días. ¿Cuánto tardarán en llenarla 2 bombas trabajando 12 horas diarias?

Bombas Horas por día Días 3 4 2 2 12 x i i

En general:

Regla de tres compuesta MIXTAPara construir una pared de 12m de largo y 5m de alto se necesitan 400 ladrillos. ¿Qué altura tendrá la pared si tuviera 4m de largo y se cuenta con 200 lacrillos? Ladrillos Largo Alto 400 12 5 200 4 x

d i

En general:

Resuelve los siguientes problemas1. Una familia compuesta de 6 personas

consume en 2 días 3 kg de pan. ¿cuántos kg de pan serán consumidos en 5 días, estando dos personas ausentes?

2. Para cavar una zanja de 78 m de largo, 90 cm de ancho y 75 cm de profundidad, se necesitan 39 obreros .¿cuántos obreros habrá que disminuir para hacer en el mismo tiempo una zanja de 60 m de largo, 0,5 m de ancho y 45 cm de profundidad?

3. Se han pagado $144 000 a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿cuánto se abonará en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día?

4. Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón de 7 horas por día. ¿a qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas diarias?

5. Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6 horas diarias. ¿cuántos días se precisarán para llenar la misma pileta si se dejan abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18 l por hora?

Construye algunos problemas de regla de tres compuesta.

XXV.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Simbolización de enunciados verbales, mediante el lenguaje algebraico

A) Traduce a lenguaje algebraico:

1. El triple de un número………………………….2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades…………………………….3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos……………………..4. Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades…………………………….

5. Expresa algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado x………………………….

B) Asocia cada una de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponde:

 La suma de los cuadrados de dos números

 

El espacio recorrido por  un móvil es igual a su velocidad por el tiempo que está en movimiento

El área del circulo de radio x (x +y)2= x2+ y2+ 2xy

 Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5

 E = v .t

El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto

 x2+ y2      

C) Coloca ( V ) Verdadero o (F) Falso, según convenga:

a) 15x3-7x5-2 + es una expresión algebraica racional…………...………..( )

b) b) 2x + 4y es igual a 6xy…………...…………( )

c) 1 es el coeficiente de x ……………….( )d) xy es la parte literal de -2x2y …………( )

e) d) es un término algebraico( )

f) no es una expresión algebraica irracional……………….…..( )

D) Escribe la expresión algebraica que indique el perímetro y área de los siguientes gráficos.

E) Une cada enunciado con la expresión algebraica que le corresponde.(1,2,3,4 y a,b,c,d,e)

F) Escribe una expresión algebraica a partir del enunciado

ENUNCIADO EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

a. El quinto de un

GRÁFICO PERÍMETRO ÁREAa)

m

n

b)

3x

c) 4y 6

y

1. La diferencia de dos números pares es igual a 72

2. La suma de un número más su doble es igual a 72

3. La suma de la tercera parte de un número y 7 es 72.

4. La diferencia del quíntuplo de un número y 72 es el doble del número.

a.

b.

c.

d.

e.

número aumentado en cuatro es igual al mismo número.

b. El doble de un número más su mitad

c. El cuadrado de un número más el cuadrado de otro número.

d. Se compra “x” libros a “y” soles cada uno. ¿Cuál es el importe de la compra?

G) Identifica el coeficiente y la parte literal en los siguientes términos y luego escribe en el cuadro:

TÉRMINO ALGEBRAICO COEFICIENTE PARTE

ITERAL

0,0075

H) En el siguiente cuadro COLOREA DEL MISMO COLOR todos los términos semejantes:

2 pq5 3,3 p5q 0,6ab2 3y2

-1,5p5q -x3 33 y2 3,5 pq5 ab2

1,8y2 pq5 -3 x3 -15x3 18p5q

2 y2 -14ab2 pq5 3,5ab2

43

y2

I) Marca con una X indicando la clase de expresión algebraica a la que pertenece:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

RACIONAL ENTERA

RACIONAL FRACCIONARIA

IRRACIONAL

y2 + x2 + 2xy

XXVI.- SOLUCIÓN DE ECUACIONES POR LA FÓRMULA GENERAL

I. Recordemos expresiones algebraicas

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA GENERAL Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.Sea dada la ecuación:

. Donde para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:

Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:

Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por

lo que sumamos en ambos miembros de la ecuación:

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:

Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:

Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros:

Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:

Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:

Despejamos la incógnita que buscamos:

Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la fórmula general:

TEOREMA DE CARDANO-VIÈTE Para toda ecuación cuadrática de la forma:

, de raíces . Se cumplen los siguientes dos aspectos:

SUMA DE RAÍCES

Demostración:

Partiendo del uso de la fórmula resolvente

Sumamos los numeradores, por ello las raíces desaparecen al ser opuestas

Simplificando nos queda

PRODUCTO DE RAÍCES

Demostración:

Partiendo del uso de la fórmula resolvente

Realizando la multiplicación, por medio del producto de binomios conjugados en el numerador:

Resolviendo las potencias nos queda:

Distribuyo el menos y sumo en el numerador

Simplificando nos queda:

II. Construye 10 ecuaciones de segundo grado y resuélvelas

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

XXVII.- CONSTRUCCIÓN Y MANEJO DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

A) Información necesaria:

Ejemplo de progresión geométrica:

Es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15= 5 × 3

45 = 15 × 3

135 = 45 × 3

405 = 135 × 3

Podemos escribir estas igualdades así:

5 = 5 . 30

15 = 5 . 31

45 = 5 . 32

135 = 5 . 33

405 = 5 . 34

Si representamos al primer elemento de la serie 5 = a1; Razón r = 3; a5 = 405

Completa la siguiente serie de representaciones:

5 = 5 . 30 → a1 = a1. (3)1-1

15 = 5 . 31 → a2 = a1. (3)2-1

45 = 5 . 32 → a3 = a1. (3)3-1

135 = 5 . 33 → a4 = a1. (3)4-1

405 = 5 . 34 → a5 = a1. (3)5-1

Completa lo siguiente:

an = a1 . r …. - ….

Escríbela nuevamente dentro del cuadro

B) Escribe otras progresiones geométricas y calcula algunos datos que propones como desconocidos.

1)2)3)4)5)

XXVIII.- CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

A) Conociendo algunos elementos de los sólidos geométricos:

Ángulo diedro

Pol iedro

Es la región de l espacio l imitada por pol ígonos.

Elementos de un poliedro

B) ¿Serán poliedros las siguientes figuras?

C) Dibuja otros poliedros e identifica sus elementos, y averigua sus nombres.

XXIX.- SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE 1ER GRADO CON DOS VARIABLES.

Actividad a desarrollarse en forma individual y en grupo

1) Halla el resultado de las siguientes expresiones:

a) 3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

b) 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 =

c)

d)

2) Expresamos (a) y (c) así:

a) 3x -5 + 4y -8 + 5x

c) 2x - 6y =3x + 10y =

Haz lo mismo con las expresiones b) y d).

b)

d)

3) Construye 05 expresiones como las anteriores, exprésalas con variables.a)

b)

c)

d)

e)

4) Calcula el valor de cada variable en las siguientes expresiones:

a) x =

y =

b) x =

y =

c) x =

y =

d) x =

y =

e) x =

y =

XXX.-