000013_Sistemas Con Dos Grados de Libertad

SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

Detalles Pág.

Coordenadas principales........................................................................................................... 87

Modo normal de vibración....................................................................................................... 87

Acoplamiento de coordenadas.................................................................................................. 98

Acoplamiento estático.............................................................................................................. 99

Acoplamiento dinámico........................................................................................................... 100

Acoplamiento estático – dinámico........................................................................................... 101

Ecuación de Lagrange.............................................................................................................. 102

Ecuación de Lagrange para una partícula................................................................................. 103

Cálculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................ 106

Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas............................................................... 107

Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos............................................................................. 109

Vibración armónica forzada..................................................................................................... 113

Absorbedor de vibraciones dinámicas...................................................................................... 115

Vibración libre amortiguada..................................................................................................... 118

Vibración forzada con amortiguamiento.................................................................................. 120

Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad, cuando se requieren dos coordenadas para

describir su movimiento. Este sistema es la clave para el estudio de sistemas con varios grados

de libertad.

Si las masas “ ” y “ ” se restringen a moverse

verticalmente; se necesita por lo menos una coordenada “

” para definir la localización de cada una de las masas en un

instante cualquiera, así el sistema necesita en total dos

coordenadas para determinar su posición (Es de dos grados de

libertad).

“Sistemas con dos grados de libertad” Página: 85

Facultad de Ciencias y TecnologíaIngeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

Si la masa “m” se restringe a moverse verticalmente, se necesitan

dos coordenadas para determinar el comportamiento del sistema.

Una de estas coordenadas es un desplazamiento rectilíneo y

la otra coordenada será un desplazamiento angular que tiene

que ver con la rotación de la masa.

Las dos coordenadas son independientes una de la otra.

Para el sistema de péndulo doble, es claro que se necesitan dos

coordenadas para especificar la posición de las masas “ ” y “

” en un instante cualquiera; por tanto el sistema es de dos

grados de libertad “ ” y “ ” con “ ”, “ ” o “ ” y “ ” son

los posibles pares de coordenadas.

Un sistema de dos grados de libertad tiene dos ecuaciones de movimiento, una para cada masa; es

decir, un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales.

Las frecuencias naturales se encuentran resolviendo “La ecuación de frecuencia” en un sistema

sin amortiguación o la “Ecuación característica” de un sistema amortiguado.

Cuando las masas de un sistema oscilan de tal forma que llegan simultáneamente a los

desplazamientos máximos y pasan por sus puntos de equilibrio también simultáneamente, o sea,

que todas las partes móviles del sistema están oscilando en fase con una frecuencia. Tal estado se

llama modo normal o modo principal de vibración.

Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación

definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y la configuración correspondiente es un

modo normal.



Coordenadas principales.

Es posible encontrar un par de coordenadas, tal que cada ecuación de movimiento contenga

únicamente una cantidad desconocida, entonces cada ecuación puede resolverse

independientemente una de la otra.

A este par particular de coordenadas se denomina coordenadas principales.

Los dos grados de libertad del sistema tendrán dos modos normales de vibración

correspondientes a las dos frecuencias naturales.

La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos

modos normales de vibración.

Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurriría a la frecuencia de excitación y la amplitud

de las dos coordenadas tenderá a un máximo a las dos frecuencias naturales.

Modo normal de vibración.

Considerando el sistema no amortiguado, usando las coordenadas “ ” y “ ”, medidas desde

una referencia inercial.

Las ecuaciones del movimiento son:

(1)

(2)



Se define un modo normal de oscilación, como uno en el cual cada masa experimenta un

movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando simultáneamente por la posición de

equilibrio.

Para tal movimiento se puede escribir:

(3)

(4)

Derivando (3) y (4)

; pero

; pero

Sustituyendo en (1) y (2)

En (1)

(5)

En (2)

(6)

Formando un sistema con (5) y (6)

Estas son ecuaciones lineales homogéneas y la solución A=B=0 define la condición de equilibrio.

La otra ecuación se obtiene igualando a cero el determinante.



y se satisfacen, si el determinante siguiente es cero

Haciendo cambio de variable , el determinante cambia a:

Desarrollando:

Resolviendo:

Retornando a la variable inicial



Sustituyendo cada una de estas frecuencias en las condiciones (5) y (6) permite hallar la razón de

las amplitudes.

Para

Para

1. El sistema libre masa resorte de dos grados de libertad, está restringido a tener oscilaciones

verticales únicamente. Determinar la ecuación de la frecuencia y las razones de amplitud del

sistema.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Planteando a cada cuerpo

Ordenando

(1)

(2)

Suponiendo que el sistema es periódico y se compone de movimientos armónicos de diferentes

amplitudes y frecuencias

(3)

(4)



Donde A, B, son constantes arbitrarias y una de las frecuencias naturales del sistema

Derivando (3) y (4)

(5)

(6)

(5) y (6) en (1) y (2)

(7)

(8)

Formando un sistema con (7) y (8)

Es una ecuación lineal homogénea: La solución A=B=0; define la condición de equilibrio del

sistema.

La otra solución se obtiene igualando a cero el determinante.

sea

Desarrollando el sistema

Ordenando



(9)

De esta ecuación saldrán dos frecuencias y

La razón de amplitudes o forma modal se obtiene de las ecuaciones (7) y(8)

Cualquier vibración libre puede considerarse como la superposición de sus modos normales; así

los dos desplazamientos pueden escribirse como:

Llamadas soluciones generales:

Se puede representar gráficamente los dos modos normales:

Para la función de forma del modo normal, se esa la siguiente notación:



2. La figura muestra dos cilindros circulares idénticos de masa “m” y radio “r” unidos por medio

de un resorte “K”. Si los cilindros pueden rodar libremente sobre la superficie horizontal,

deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema.

Pero



3. Encuentre la ecuación de frecuencia del péndulo acoplado.

Para oscilaciones pequeñas

(1)

(2)

Sean:

En (1) y (2)

Como



(3)

(4)

Desarrollando

4. En la figura, suponga que la tensión en el alambre permanece constante cuando los ángulos de

oscilación son pequeños. Deduzca las expresiones de las frecuencias naturales.

Pero



Por tanto:

(1)

(2)

Sean: (3)

(3) en (1)

(4)

(3) en (2)

(5)

Diferencia de cuadrados



5. La masa “m” suspendida dentro de un marco rígido por medio de cuatro resortes. Determine

las frecuencias naturales de vibración.

(1)

(2)

Sean: (3)

(3) en (1)

(3) en (2)



Acoplamiento de coordenadas.

Las ecuaciones de movimiento para el sistema de dos grados de libertad, están generalmente

“Acopladas” en el sentido de que las dos coordenadas aparecen en cada ecuación.

En el caso más general, las dos ecuaciones tienen la forma:

Que en forma matricial:

Que inmediatamente revela el tipo de acoplamiento presente.

* Existe acoplamiento dinámico o de masa, si la matriz de masas es no diagonal

* Existe acoplamiento estático o de rigidez, si la matriz de rigidez es no diagonal.

- Dependiendo del sistema de coordenadas elegido, tanto el acoplamiento dinámico y estático

pueden estar presentes.

- También es posible encontrar un sistema de coordenadas con ninguna forma de acoplamiento.

Cada ecuación puede ser resuelta independientemente. Tales coordenadas son las

“Coordenadas principales” (Llamadas también coordenadas normales).

Aunque es posible siempre desacoplar las ecuaciones de movimiento para el sistema no

amortiguado, esto no siempre es posible en el sistema amortiguado.

La siguiente ecuación matricial muestra un sistema que no tiene acoplamiento estático ni dinámico, pero las coordenadas están acopladas por la matriz de amortiguamiento.



Si se da que se dice que el amortiguamiento es proporcional (A la matriz de rigidez o de masa) y las ecuaciones del sistema se desacoplan.

Ejm. Una barra rígida está soportada por dos resortes y . La figura representa un sistema

de dos grados de libertad, puesto que se requieren dos coordenadas para describir su movimiento.

Acoplamiento estático:

El centro de masa no coincide con su centro geométrico

[La decisión de escoger las coordenadas, definirá el tipo de acoplamiento que tiene]



Formando el sistema:

En forma matricial:

Por la teoría se dice que tiene un acoplamiento estático. Si el acoplamiento estático

desaparece.

Acoplamiento dinámico:

Existe algún punto C a lo largo de la barra en donde una fuerza aplicada normalmente produce

traslación pura; es decir:



En forma matricial:

Pero como

En este caso, las coordenadas elegidas eliminan el acoplamiento estático e introducen el

dinámico.

Acoplamiento estático – dinámico:

Se obtiene al elegir “x” en el extremo de la barra.



En forma matricial:

Ecuación de Lagrange.

Son ecuaciones diferenciales de movimiento, expresadas en términos de coordenadas

generalizadas.

Ecuación de Lagrange para una partícula:

Considerando la ecuación del movimiento de una partícula

De aquí se obtiene tres ecuaciones escalares



(0)

Considerando un desplazamiento virtual:

El trabajo virtual realizado por la fuerza es:

(1)

(2)

Sean un conjunto de coordenadas generalizadas para la partícula, entonces se tiene:

(*)

Se puede expresar los desplazamientos virtuales en términos de

Sustituyendo en (1):

Como el miembro izquierdo es el trabajo virtual y son coordenadas generalizadas, se

llamará a los coeficientes fuerzas generalizadas y se designará por .

Por tanto:

ó



ó

ó

Ahora se transformará los miembros derechos de estas ecuaciones. Se hará solo para el término:

Derivada de un producto

Despejando: (a)

Derivando (*)

(Se deriva a todos pero en este caso son cts..) (b)

(c)

(b) y (c) en (a)

Haciendo las transformaciones de las partes derechas ,se llega por ejm. Para

De donde:

Siendo: Energía cinética de la partícula



Análogamente se puede obtener para y en general:

(Ecuación de Lagrange)

Si las fuerzas son conservativas (Las generalizadas) Se tiene:

Donde V es la energía potencial de la partícula y la ecuación de Lagrange puede escribirse:

Como V es función de solamente,

Sea (Lagrangiano)

Entonces la ecuación de Lagrange tiene la forma:

Si consiste tanto de fuerzas conservativas como no conservativas, entonces sería:

Parte no conservativa

ED = Energía disipativa ED=

Por tanto la ecuación de Lagrange será:



Cálculo de las fuerzas generalizadas.

Se puede calcular por medio de tres métodos:

a) A partir de la fórmula:

Ctte.

a) Este método se aplica solamente con fuerzas conservativas; es decir:

Ejm. Deducir la ecuación de movimiento para las vibraciones libre y forzada de un sistema de un

grado de libertad, que consiste en una masa y un resorte.

Usando la ecuación de Lagrange de la forma:

(*)

La energía cinética es:

La energía potencial es:

El lagrangiano es:

Encontrando los términos de (*)



La fuerza generalizada no conservativa es: Para vibración libre – forzada

Por tanto la ecuación de movimiento es:

Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas.

Puede extenderse directamente hasta cubrir un sistema de partículas y sea “n” el número de

partículas.

Nótese que se requieren “n” coordenadas independientes para describir un

sistema de “n” grados de libertad, donde .

1) Forma general.

Donde

2) Sistemas conservativos.

Donde

3) Para la forma alternativa.

T y V son la energía cinética y potencial del sistema de partículas en conjunto.

Ejm. Dos partículas en vibración libre. Deducir las ecuaciones de movimiento para el sistema de

dos grados de libertad.



Para

vibración libre - forzada

Como el sistema es conservativo:

Donde: y

La energía cinética del sistema es:

La energía potencial del sistema es:

El Lagrangiano:

Para la coordenada :

Para la coordenada :



Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos.

Un cuerpo rígido puede considerarse como un conglomerado de partículas infinitamente grande

distribuidas continuamente.

Usando las energías cinética “T” y potencial “V” del cuerpo rígido, de un sistema de cuerpos

rígidos o de un sistema de partículas y cuerpos rígidos.

Ejm. Un disco circular homogéneo y uniforme de masa “m” y radio “R” está oscilando alrededor

de su posición de equilibrio. Deducir las ecuaciones del movimiento para la vibración libre

La energía cinética:

a)

Como (Disco) y

(1)

La energía potencial:

Según el gráfico:

Por proporcionalidad



Pero: (b)

(2)

El Lagrangiano es:

Para vibración forzada:

1. Usando las ecuaciones de Lagrange, deducir las ecuaciones del movimiento para pequeñas

vibraciones del péndulo doble, que consiste en dos cuerpos rígidos suspendidos en “O” y

articulados en “A”. Los centros de gravedad son y y los momentos de inercia respecto de

y son y respectivamente, siendo las masas y

Sean las coordenadas generalizadas de y



(1)

(2)

Derivando (1) se obtiene la velocidad

Factorizando:

Derivando (2):

Desarrollando y simplificando:

La energía cinética del sistema es:

(3)

La energía potencial es:

(4)

2. Deducir las ecuaciones del movimiento para el sistema mostrado en la figura.



Energía Potencial (1)

Energía Cinética

(*)

Para :

Derivando respecto al tiempo

(a)

Por tanto: (**)

La energía cinética total es: (2)

Lagrangiano:



Por tanto:

Por tanto:

Vibración armónica forzada.

Considerando un sistema excitado por una fuerza armónica

De los diagramas de cuerpo libre:

(1)

(2)



Suponiendo que el movimiento es periódico y se compone de movimientos armónicos de

diferentes amplitudes y frecuencias: Sea uno de los componentes armónicos.

Reemplazando en (1):

Ordenando: (3)

Reemplazando en (2)

(4)

Formando el sistema:

Resolviendo por determinantes:



Por tanto la solución es:

Absorbedor de vibraciones dinámicas.

Es sencillamente un sistema de un grado de libertad, generalmente de la forma simple masa–

resorte.

Cuando a este sistema se adiciona como sistema auxiliar otro sistema de un grado de libertad,

transformará todo el sistema en uno de dos grados de libertad, en dos frecuencias naturales de

vibración.

Una de las frecuencias naturales está por encima de la frecuencia de excitación, mientras que la

otra por debajo, de tal forma que la masa principal del sistema completo tendrá una amplitud de

vibración muy pequeña, en lugar de una amplitud muy grande bajo la excitación dada.

Sea una masa “M” que tiene vibración forzada. Con el fin de disminuir la amplitud de “M”

agregar un sistema auxiliar masa-resorte.



El sistema acoplado tiene dos grados de libertad y las ecuaciones de movimiento son:

(1)

(2)

(a) y (b) en (1)

(3)

(a) y (b) en (2)

(4)

Formando un sistema entre (3) y (4)



Para anular la vibración de M, se hace A=0 entonces:

Por consiguiente se debe diseñar el absorbedor de modo que su frecuencia natural sea igual a la

frecuencia impresa. (Cuando esto ocurre, la amplitud de “M” es prácticamente cero).

En general, un absorbedor se usa únicamente cuando la frecuencia natural del sistema original es

casi igual a la frecuencia de la fuerza. Por tanto, es aproximadamente cierto para el

sistema completo.

Vibración libre amortiguada.



(1)

(2)

Como las componentes de vibración de un sistema amortiguado no son periódicos, es decir, son

movimientos oscilatorios con amplitudes decrecientes.

Reemplazando (a) y (b) en (1)

Ordenando: (3)

Reemplazando (a) y (b) en (2)

(4)

Cuando el sistema es homogéneo, la solución únicamente tiene sentido si:

Desarrollando el determinante:

Ecuación característica.



La solución de esta ecuación de grado dará 4 valores de s

Por tanto, el movimiento general completo puede expresarse como:

Donde los cuatro coeficientes desconocidos .

(Las B no son incógnitas diferentes, puesto que ).

Se hallan de las cuatro condiciones iniciales, a saber:

Las razones de amplitud se hallan de (3) y (4)

Donde

Vibración forzada con amortiguamiento.



(1)

(2)

Formando el sistema entre (1) y (2)

La solución general de estas ecuaciones, consiste en la solución general de la ecuación

homogénea y una solución particular de las ecuaciones no homogéneas.

La solución homogénea representa una vibración amortiguada (No tiene interés en el estudio de

problemas del absorbedor dinámico amortiguado, ya que esta vibración se amortigua

rápidamente).

La solución particular de las ecuaciones no homogéneas, que representa la vibración forzada se

halla haciendo:



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