INVESTIGACIN OPERATIVA.Teora, Ejercicios y Prcticas con OrdenadorRosa Rodrguez Huertas Antonio Gmez Mellado10 de Septiembre de 2002Tema 8Teora de Colas8.1 IntroduccinPara un Ingeniero informtico es interesante saber que una de las herramientasmatemticas ms poderosas para realizar anlisis cuantitativos de las redes de orde-nadores es la teora de colas. Esta tcnica se desarroll primeramente para analizarel comportamiento estadstico de los sistemas de conmutacin telefnica, sin em-bargo, desde entonces, tambin ha sido aplicada para resolver muchos problemas deredes.Se pueden utilizar sistemas de colas para modelar procesos en los cuales losclientes van llegando, esperan su turno para recibir el servicio, reciben el servicio yluego se marchan.Ejemplos de sistemas de colas se encuentran en las cajas regis-tradoras de los supermercados, en las ventanillas de las entidades bancarias, en lassalas de espera de los consultorios mdicos, etc..Los sistemas de colas pueden denirse mediante cinco componentes (ver gura8.1):1. La funcin de densidad de probabilidad del tiempo entre llegadas.2. La funcin de densidad de probabilidad del tiempo de servicio.3. El nmero de servidores.4. La disciplina de ordenamiento en las colas.5. El tamao mximo de las colas.La densidad de probabilidad del tiempo entre llegadas describe el intervalo detiempo entre llegadas consecutivas. Podramos imaginarnos que contratramos aalguna persona (por ejemplo, a un estudiante de ingeniera informtica) para ob-servar la llegada de los clientes.A cada llegada de un nuevo cliente, el observadorregistrara el tiempo transcurrido desde que ocurri la llegada del anterior cliente.195196 TEMA 8. TEORA DE COLASSistemas de Colas Llegadas Disciplina de l a cola mecanismo de servicio Col aSalidas Figura 8.1: Esquema de un sistema de colas.Despus de que hubiese transcurrido un tiempo sucientemente largo de estar re-gistrando los intervalos de tiempo entre llegadas consecutivas, estos datos podranclasicarse y agruparse. La densidad de probabilidad de estas muestras caracterizael proceso de llegadas.Cada cliente requiere cierta cantidad de tiempo, el que precise el servidor pararealizar el servicio que este cliente demanda. El tiempo de servicio requerido porcada cliente es tiempo de trabajo activo para el servidor y vara entre un cliente yotro. Por ejemplo, en la caja de un supermercado un cliente puede presentar un carrolleno de artculos y el siguiente puede traer nicamente una lata de refresco. Poreso.para analizar un sistema de colas, adems de conocer la densidad de probabilidadde los tiempos entre llegadas, debe conocerse tambin la funcin de densidad deprobabilidad del tiempo empleado en prestar servicio.La cantidad de servidores se explica a travs de los ejemplos siguientes: Muchosbancos, por ejemplo, tienen una sola cola larga para todos sus clientes y, cada vezque uno de los cajeros se libera, el cliente que se encuentra primero en la cola sedirige a la caja que ha quedado libre. A este sistema se le denomina sistema de colamultiservidor. En otros bancos, cada cajero o cajera, tiene su propia cola particular.En este caso tendremos un conjunto de colas independientes de un solo servidor, yno un sistema multiservidor.La disciplina de una cola describe el orden segn el cual los clientes van siendoatendidos. Los supermercados utilizan el mtodo de servir primero al cliente que hallegado antes.En las salas de urgencia de los hospitales se utiliza, ms a menudo,el criterio de atender primero al que est ms grave. El primero en ser atendido noes el que haya llegado antes. En una ocina, ante la fotocopiadora, es frecuente quese despache primero al que tenga menor trabajo, esto es, entra primero el que tengaque hacer menos fotocopias.La capacidad de la cola es el nmero de clientes mximo que puede contener. Notodos los sistemas de colas poseen una capacidad ilimitada de recepcin de clientes.Cuando hay demasiados clientes que quieren hacer cola, pero slo existe un nmeronito de lugares de espera, algunos de estos clientes pueden no ser admitidos en lacola.En resumen: Las colas o lneas de espera son situaciones bastante corrientes.8.1. INTRODUCCIN 197Clientes esperando servicio en un banco, alumnos que esperan matricularse, pro-ductos en una lnea de produccin esperando ser procesados. Los sistemas que secaracterizan por elementos que tienen que esperar para recibir un servicio se llamanFenmenos de Espera. Las colas se pueden caracterizar por los momentos de lle-gadas de los clientes y por los momentos de salida de stos, cuando ya han recibidoel servicio solicitado. Las llegadas suelen describirse por medio de una distribucinde probabilidad para los intervalos de tiempo entre las llegadas de dos clientes conse-cutivos. Igualmente, los tiempos empleados en prestar cada servicio siguen tambinuna cierta distribucin de probabilidad. Adems, un sistema de espera soporta doscostes: El de dar servicio y el de tener elementos esperando.8.1.1 Costos de los sistemas de colasUn sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor importancia,la cola y la instalacin de servicio.Las llegadas son las unidades que entran en elsistema para recibir el servicio.Los elementos que llegan se unen primero a la cola, salvo que no haya lnea deespera en ese instante. En ese caso se dice que la cola est vaca. Desde la cola, lasllegadas van a la instalacin de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, esdecir, de acuerdo con la regla para decidir cul de las llegadas se sirve despus delque est actualmente recibiendo servicio. Que el primero en llegar sea el primeroen ser servido es una regla comn, pero podra servirse con prioridades, o siguiendoalguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten ensalidas.Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de conside-rarse.Costo de Espera.Esperar signica desperdicio de algn recurso activo que bien se podra aprovecharen otra cosa. El coste medio de una cola por unidad de tiempo esta dado por CL,donde C es el costo de espera por cliente y unidad de tiempo y L =Nmero promediode clientes en cola.Costo de Servicio.Este costo es el que est asociado a la compra de las instalaciones de servicio, ascomo los gastos de ponerlas en uso como pueden ser los gastos de mantenimiento ypersonal.Sistema de costo mnimo.Aqu hay que tomar en cuenta que tasas bajas de servicio normalmente darnlugar a largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el serviciodisminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio. Entonces elpropsito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mnimo.198 TEMA 8. TEORA DE COLAS8.1.2 Estructuras tpicas.Las llegadas pueden ser de personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermediosen una fbrica, etc... En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de variossistemas de colas.Ejemplos de sistemas de colasSituacin Llegadas Colas ServicioAutobs viajeros en las paradas viaje en autobsHospital Enfermos sala de espera consulta asistenciaAeropuerto Aviones Aviones espera Pista, Controladores, ...Dpto. Bomberos Alarma incendios Incendios Mecanismo extincinCa. telefnica Nomarcado Llamadas espera ConmutadorLavado coches Coches Coches en cola Mecanismo de lavadoJuzgados Casos Casos atrasados Juez: Sentencias,...Ocina correos Cartas Buzn Empleados correosServidor Web Peticin archivos Cola peticiones Transferir datosPermitiendo que varen el nmero de colas y el nmero de servidores, puedenhacerse los diagramas de los cuatro tipos de sistemas de la gura 8.2. Cada lnea deespera individual y cada servidor individual se muestra por separado.El primer sistema que se muestra en la gura 8.2, se llama un sistema de unservidor y una cola o puede describir un lavado de coches automtico. El segundo,una lnea con mltiples servidores, es tpico de una peluquera o una panadera endonde los clientes toman un nmero al entrar y se les sirve cuando llega el turno. Eltercer sistema, aquel en que cada servidor tiene una lnea separada, es caractersticode los bancos y las tiendas de autoservicio. El cuarto sistema es una lnea conservidores en serie, puede describir por ejemplo el comportamiento de una cadenade montaje en una fbrica.8.2 Terminologa8.2.1 Caractersticas fsicasServidor: Elemento que presta el servicio solicitado por los clientes.Cola: Elementos esperando recibir servicio.Sistema: Incluye cola, servidor y el elemento que est siendo servido.Cadena: Nmero de lneas de cola del sistema. Los sistemas de colas son monoo multicadenas. En los casos ms simples el nmero de cadenas es el nmero deservidores en paralelo.Nmero de fases: Es el nmero de servicios diferentes que hay que esperar antes de8.2. TERMINOLOGA 199Figura 8.2: Distintos tipos de sistemas de colas200 TEMA 8. TEORA DE COLAS(b)(c)(d)(a)Figura 8.3: Modelos de sistemas de colas.completar el servicio total. En los casos ms simples es el nmero de servidores enserie.Con objeto de claricar estos ltimos conceptos proponemos los siguientes ejem-plos. En la gura ?? pueden verse esquemas de cada uno de estos modelos.(a) Una cadena y una sola fase: Una taquilla de un cine(b) multi-cadena y una sola fase: Cajeros en un banco.(c) Una cadena y multi-fase: Una lnea de montaje con distintos elementos quehay que fabricar.(d) multi-cadena y multi-fase: Automviles esperando paso en distintos sem-foros.:8.2.2 Caractersticas de funcionalidadAparte de estas caractersticas fsicas de las colas, consideramos otros aspectos queafectan a su funcionamiento o dinmica como son: la distribucin del intervalo detiempo entre llegadas, la distribucin de los tiempos de servicio, o tiempos empleadospor el servidor para prestar los servicios requeridos por cada uno de los clientes, lasdistintas formas en que se reorganizan las colas en el supuesto de que haya variascadenas o varias fases y la disciplina de la cola que es la forma en que los clientesque estn esperando acceden al servidor. Frecuentemente se considera que el primeroque ha llegado es el primero al que se le presta servicio. No obstante en algunascircunstancias esto no es as. Otras disciplinas de colas pueden ser aleatorias, comola forma en que suben al tren los viajeros que esperan en una estacin. En este caso,el orden de entrada depende de lo cerca que haya quedado la puerta de cada viajero.Tambin puede haber algunas prioridades en determinados servicios, etc...Tambin se ha de considerar si existe abandono de la cola, es decir, elementos queal ver una cola demasiado larga no se deciden a esperar, o elementos que habiendoesperado un cierto tiempo no desean esperar ms y abandonan la cola.8.3. MODELOS DE LLEGADAS Y DE TIEMPO DE SERVICIO 201El sistema se dice que tiene una capacidad limitada si slo admite, como mximo,un cierto nmero de elementos.8.2.3 Parmetros de los sistemas de colasSi la cola es de comportamiento aleatorio no podemos saber exactamente la situacinque tendremos en cada momento. Por eso para describir su comportamiento se em-plean promedios y probabilidades. Entre los parmetros ms usuales consideraremoslos siguientes:Probabilidad de que no haya elementos en la cola.Probabilidad de que haya un cierto nmero de unidades en el sistema.Probabilidad de que un elemento que llega tenga que esperar para recibir servicio.Nmero promedio de elementos en cola.Nmero promedio de elementos presentes en el sistema.Tiempo medio que ha de esperar cada elemento que accede a la cola.Tiempo promedio que un elemento pasa en el sistema.8.3 Modelos de llegadas y de tiempo de servicioLos clientes o elementos pueden acceder al sistema de una forma determinada deantemano porque se sabe exactamente cuando van a venir cada uno de ellos (porejemplo a intervalos de tiempo de 3 segundos) o bien, puede ocurrir que los intervalosde llegada sigan una variable aleatoria, es decir, que aunque no sepamos exactamenteen qu momento va a llegar cada uno de los elementos, si conocemos la distribucinde probabilidad de los intervalos de tiempo entre llegadas consecutivas. En el primercaso hablamos de distribucin de llegada determinista, en el segundo decimos quelos tiempos de llegada siguen una distribucin aleatoria.La distribucin que se usa ms frecuentemente para modelar los intervalos detiempos entre dos llegadas consecutivas es la distribucin exponencial. Suponemosque en un instante slo puede haber una llegada.Notamos por ti la hora a la quellega el cliente i, y por Ti = ti+1 ti el tiempo transcurrido entre dos llegadasconsecutivas. Suponemos que los valores de Ti son independientes, que Ti es unavariable continua y que el estado es estacionario, es decir, admitimos la hiptesis deque la distribucin que modela la cola (probabilidad de que haya un cierto nmerode elementos en la cola) es la misma a todas las horas del da. Normalmente esto noes estrictamente cierto, pero puede cumplirse aproximadamente considerando ciertosintervalos horarios cada da.Si admitimos el modelo exponencial para la distribucin de la variable aleatoriaT202 TEMA 8. TEORA DE COLASf(t) = exp(t) ; > 0, t > 0la probabilidad de que una llegada ocurra en un tiempo t < c unidades despus quela anterior es:P (t < c) =c_0f(t) dt =c_0exp(t) dtSe puede comprobar que la media de esta distribucin es 1/, y la varianza12 .El parmetro hay que interpretarlo como el nmero promedio de elementos quellegan al sistema por unidad de tiempo.Ejemplo 85 El nmero promedio de llegadas por hora al consultorio de un hospitales de 60 pacientes. Si acaba de llegar un paciente, cul es la probabilidad de que elsiguiente venga dentro del siguiente minuto. Y de que tarde ms de 4 minutos?Tomamos para = 60pacienteshora= 60pacientes60 minutos= 1pacienteminutosP (t < 1) =1_0etdt = et10 = 1 e1= 0.632;P (t > 4) =_4exp(t) dt = 0 (e4) = 0.0183.Es conveniente resaltar que la distribucin exponencial cumple la siguiente relacinP (t h) = P (t c +h/t c) .Esta propiedad signica que en todo momento, la probabilidad de que el siguien-te elemento venga en un intervalo de h segundos no depende del momento concreto,c, sino exclusivamente del intervalo de tiempo, h, considerado. Esta probabilidad nocambia con el tiempo y es independiente de lo que haya pasado antes. Por eso estapropiedad se suele enunciar diciendo que la funcin exponencial carece de memoria.Esto quiere decir que la distribucin no guarda informacin sobre lo que ha pasadoantes de c y por tanto no se necesita tener informacin del pasado para predecir elfuturo.8.3. MODELOS DE LLEGADAS Y DE TIEMPO DE SERVICIO 2038.3.1 Relacin entre la distribucin de Poisson y la exponen-cialEl siguiente teorema nos da la relacin existente entre la distribucin del intervalode tiempo entre llegadas (bajo la hiptesis de distribucin exponencial) y el nmerode clientes que accede al sistema en cada intervalo de tiempo t.Teorema 14 Los intervalos entre llegadas siguen una distribucin exponencial deparmetro si y slo si el nmero de llegadas que ocurren en un intervalo de tiempot sigue una distribucin de Poisson de parmetro t.Si la distribucin de los intervalos entre llegadas es exponecial de parmetro , yNt es la variable aleatoria que indica el nmero de llegadas en el intervalo de tiempot, la probabilidad de que el nmero de llegadas en este intervalo sea n es:P (Nt = n) = (t)nexp(t)n!, n = 1, 2, 3....E(Nt) = V ar(Nt) = tCuando el nmero de llegadas sigue una distribucin de Poisson se cumplen lassiguientes propiedades:a) Las llegadas ocurridas en intervalos de tiempos que no se solapan son inde-pendientes.b) Para intervalos pequeos de tiempo (t) la probabilidad de que una llegadaocurra en el intervalo (t, t + t) es t +o(t)1.c) La probabilidad de ms de una llegada en el intervalo t es o(t).Ejemplo 86 El nmero de personas que entra en un comercio sigue una distribu-cin de Poisson con una media de 30 personas por hora.a) Hallar la probabilidad de que entren exactamente 50 personas entre las 10 alas 12 de la maana.b) Hallar la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre dos llegadas estentre 2 y 4 minutos.a) El intervalo de tiempo es de 2 horas, por lo tanto t = 30 2 = 60P (Nt = 50) = (60)50exp(60)50!= 0.02327 .1o(t) denota un innitsimo de orden superior a t204 TEMA 8. TEORA DE COLASb) Los clientes acuden a la tienda a razn de 30 personas por hora, as que la fun-cin densidad de la exponencial asociada es 30 exp(30t). Por tanto, la probabilidades :4/60_2/6030 exp(30t)dt = exp(30t)|4/602/60 = exp(30t)|4/602/60 = e1e2= 0.23254Si hiciramos los clculos en minutos:Los clientes acuden a la tienda a raznde 30/60 = 0.5 personas por minuto, as que la funcin densidad de la exponencialasociada es 0.5 . exp(0.5t). Por tanto, la probabilidad es:4_20.5. exp(0.5t)dt = exp(0.5t)|42 = e1e2= 0.23254.8.3.2 Otra distribucin de las llegadas. La distribucin deErlangA veces se modelan los intervalos de llegadas con una distribucin de Erlang, inge-niero dans que aplic a principios del siglo XX esta distribucin al estudio de lasaglomeraciones que se producan en las llamadas telefnicas. La funcin de densidadde esta distribucin viene dada por dos parmetros:f(t) = R(Rt)k1exp(Rt)(k1)!, t 0 , donde E(t) =kR y V ar(t) =kR2Si tomamos R = K, tenemos esta otra expresin para la funcin de densidad:f(t) = k(kt)k1exp(kt)(k 1)!, t 0 (8.1)siendo en este caso E(t) =1yV ar(t) =k(k)2 =1k2Si k = 1, la distribucin es una exponencial de parmetro . La representacingrca de la funcin 8.1. puede tomar muy diversas formas para los distintos valoresde los dos parmetros, por lo que es adaptable a distintas situaciones reales. Puededemostrarse que la distribucin de Erlang es la distribucin de la suma de k variablesexponenciales independientes de parmetro . Por tanto cuando los intervalos entrellegadas consecutivas se modelan con una funcin exponencial de parmetro , elintervalo entre k llegadas consecutivas sigue una distribucin Erlang de parmetrosk y .8.4. LA NOTACIN DE KENDALL 2058.3.3 Modelos de duracin de los serviciosSe suelen emplear los mismos modelos que para los intervalos entre llegadas; es decir,la distribucin exponencial o la de Erlang. A veces puede ocurrir que la duracindel servicio sea determinista. Por ejemplo, si todos los clientes vienen a solicitar unmismo servicio que tarda en realizarse una cantidad de tiempo constante.8.4 La notacin de KendallSe realiza sobre el esquema 1/2/3/4/5/6, expresando en los lugares ocupados porlos nmeros la siguiente informacin:En el lugar del 1 se indica la distribucin de las llegadas, que se representa de lasiguiente forma:M = intervalos entre llegadas independientes e idnticamente distribuidos (iid)que se rigen por la distribucin exponencial.D = iid y deterministas.Ek = iid y Erlang con parmetro k.GI = iid y gobernados por una distribucin general.En lugar del 2 se indica la distribucin de los servicios: M, D, Ek o GI, conidntico signicado que en las distribuciones de llegadas.En el lugar 3 se indica el nmero de servidores en paralelo.En el lugar 4 se indica la disciplina de la cola, que suele ser:FCFS (rst come rst served), que signica que el primero que llega es el primeroen ser servido, (tambin denominada FIFO = rst in rst out).LCFS (last come rst served), que signica que el ltimo en llegar es el primeroen ser servido, (tambin denominada LIFO = last in rst out).SIRO (service in random order), que signica que se atiende en orden aleatorio.GD (general queue discipline),que signica que la cola tiene una disciplinagenrica.En el lugar 5 se indica el nmero mximo de elementos que puede admitir elsistema (incluyendo los clientes que estn siendo atendidos).Por ltimo en el lugar 6 se indica el nmero mximo de clientes potenciales.206 TEMA 8. TEORA DE COLASSi un sistema de cola se representa con el esquema M/M/1/fcfs//signica:que los intervalos entre llegadas consecutivas y los tiempos empleados en prestar elservicio demandado se distribuyen con distribuciones exponenciales; que hay un soloservidor; que la disciplina de cola consiste en atender primero al que haya llegadoantes al sistema; que el sistema puede recibir un nmero ilimitado de individuos, yque el nmero de clientes potenciales es innito (muy grande).8.5 Estudio de una cola M/M/1Sobreentenderemos en este caso que la cola es del tipo M/M/1/fcfs/ / .Llamaremos Estado del sistema en t al nmero de elementos presentes en elinstante de tiempo t. Para t = 0, el estado del sistema sera el nmero de elementosque estn en el sistema inicialmente. Suponemos tambin que el sistema ha llegadoal Estado Estacionario, que se caracteriza porque la probabilidad de cada estadono vara con el tiempo. Llamaremos Pj a la probabilidad de que el sistema est enel estado j. Tambin puede interpretarse como la fraccin de tiempo en que hayj elementos en el sistema.Un sistema de colas M/M/1/fcfs// sigue las leyes siguientes:1. La probabilidad de un llegada entre t y t + t,puede darse por t +o(t). Una llegada incrementa el estado del sistema en 1.2. La probabilidad de una salida entre t y t+t (siempre que haya algn elementorecibiendo servicio en el instante t) puede darse por t +o(t). Una salidadisminuye en 1 el estado del sistema.3. Las llegadas y salidas son sucesos independientes.4. El Estado Estacionario se alcanza si < , siendo y respectivamentelas tasas de llegada y servicio (nmero de llegadas o servicios por unidad detiempo).5. Dos o ms sucesos (llegadas o salidas) no pueden ocurrir simultneamente (estoes una forma de decir que la probabilidad de ocurrencia de ms de un sucesoen el tiempo t es un innitsimo de orden superior a t).8.5.1 Probabilidad de que el sistema est en cierto estadoPara calcular la probabilidad de que el sistema est en el estado j en el instantet + t, calculamos esta probabilidad a partir de su estado en el tiempo t.Vamos a desarrollar primero el caso de P0(t+t) = Probabilidad de que no hayanadie en el sistema en el instante t + t. Se dar esta circunstancia en uno de lossupuestos siguientes:8.5. ESTUDIO DE UNA COLA M/M/1 2071. No haba nadie en el sistema en el instante t y no ha venido nadie en esteintervalo.La probabilidad de que ocurra este supuesto esP0(t) (1 t +o(t)).2. Haba 1 elemento en el instante t, no ha venido nadie en ese intervalo y se haido el que estaba.La probabilidad es ahora:P1(t) (t +o(t))(1 t +o(t)).3. Los casos restantes requieren que al menos dos sucesos (entradas o salidas)ocurran en el intervalo de tiempo t. Segn la propiedad 5, esta probabilidades de orden superior a t.Por lo tantoP0(t +t) = P0(t) (1 t +o(t)) +P1(t) (t +o(t))(1 t +o(t)) +o(t) P0(t + t) = P0(t) (1 t +o(t)) +P1(t) (t +o(t)) +o(t) P0(t+t)P0(t)t= P0(t) +P1(t) + o(t)t.Si t 0 obtenemos en el primer miembro la derivada de P0 (t) . Si considera-mos que estamos en Estado Estacionario P0 es constante, y por tanto su derivada es0. El ltimo sumando del segundo trmino tambin tiende a 0 puesto que el ordendel numerador es mayor que el del denominador (el numerador tiende a cero msrpidamente que el denominador). Por tanto ha de cumplirse cuando t 0:0 = P0 +P1,de donde se deduce queP1 = P0 = P0En el caso general, tras agrupar todos los innitsimos de orden superior a tse tiene:Pj(t) (t + t) = Pj1(t) (t))(1 t) +Pj(t) (1 t)(1 t)++Pj+1(t)(t)(1 t) +o(t).208 TEMA 8. TEORA DE COLASProcediendo de forma anloga a la empleada para obtener la expresin de P1 seobtiene:Pj( +) = Pj1 +Pj+1En concreto si j = 1P1( +) = P0 +P2Sustituyendo P1 =P0obtenemos :P0( +) = P0 +P2y despejando P2P2 = 2P02= 2P0Por induccin, se obtendra para el estado j :Pj = jP0jComo los posibles estados del sistema son: 0, 1, 2, 3,...

i=0Pi = 1 = P0 +P0 +2P0 +.... = P0(1 + +2+....) = P0_11_La serie representa la suma de los trminos de una progresin geomtrica derazn . Si el estado es estacionario = < 1 y en este caso1 + +2+.... =11LuegoP0_11_= 1de donde se deduce que P0 = 1 , y por tantoPj = (1 ) j8.6. TEOREMA DE LITTLE 2098.5.2 Nmero medio de elementos en el sistemaPara calcular L, nmero medio de elementos en el sistema, usamos el concepto deesperanza matemticaL = E(j) =

j=0jPj =

j=0j(1 )j= (1 )

1 jj= (1 )Ssiendo S =

1 jjy j la variable aleatoria que denota el nmero de elementos en elsistema.Para hallar S se parte de la igualdad S S =1, de donde se deduce S =(1)2 . Sustituyendo esta expresin en la de L obtenemos para el nmero medio deelementos en el sistemaL =18.5.3 Nmero medio de elementos en colaEn este caso hay que hallar la media de j, que es la variable aleatoria que denota elnmero de elementos en la cola. Su promedio esLq = 0 (P0 +P1) + 1P2 + 2P3 + 3P4 +...=

j=1(j 1)Pj =

j=1(j 1)(1 )j== (1 )

1 (j 1)j1= (1 )S =21.El nmero de elementos recibiendo servicio, es la diferencia entre los que estnen el sistema y los que estn en la cola. Su valor medio, Ls, es por tantoLs = L Lq =1 21 = (1 )1 = Este valor, , tambin puede interpretarse como la fraccin de tiempo en que elservidor est ocupado.8.6 Teorema de LittlePara cualquier sistema de colas en estado estacionario se verica:L = W, Lq = Wq, Ls = Ws210 TEMA 8. TEORA DE COLASDonde las W son, respectivamente, los tiempos medios de espera en el sistema,en cola y recibiendo servicio.Explicacin intuitiva: Supongamos que llega al sistema un elemento que per-manece en ste exactamente el tiempo promedio W. Cuando este cliente salga delsistema permanecen an en l los elementos que han llegado detrs durante el inter-valo de tiempo W. Por promedio su nmero ser W, puesto que es el nmero dellegadas por unidad de tiempo, es decir L = W.Usando el teorema de Little se pueden obtener expresiones para los tiemposmedios de estancia en el sistema, en la cola o recibiendo servicio.W =1=1=1 ,Wq =21=()21=( )Ws = Ls= =1Ejemplo 87 En un aeropuerto el nmero de personas que accede por minuto es 10.Las revisiones de equipaje se realizan a razn de 12 por minuto. Responder a lassiguientes cuestiones:1. Cul es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar antes de que lerevisen el equipaje?2. Por trmino medio, cuntos pasajeros esperan en cola?3. Cunto tiempo total tienen que esperar los pasajeros por trmino medio?1. Un pasajero tiene que esperar si, cuando llega, hay alguien en el sistema; esdecir, si el nmero de personas en el sistema no es 0.As que la solucin es 1 P0 = 1 (1 ) = = 10/12 = 0. 833 333.2. Lq =21 =2( ) =10212(12 10) = 4.16 667 es el nmero medio deindividuos en la cola.3. W =1 =112 10 = 0.5 minutos tendrn que esperar los pasajeros portrmino medio.8.7 Sistemas con capacidad limitadaSon los modelos de espera que slo admiten un nmero mximo c de clientes enel sistema.En este epgrafe se tratar el modelo de una cola, que con arreglo a lanotacin de Kendall se representa como M/M/1/fcfs/c/.8.7. SISTEMAS CON CAPACIDAD LIMITADA 211Para hallar la probabilidad de cada uno de los estados se pueden repetir losrazonamientos del prrafo 8.5.1, pero hay que tener en cuenta que el estado delsistema nunca ser mayor que c.Se tiene por tantoPj =jP0jsi 0 < j cPj = 0 si j > cEn este caso el estado estacionario puede lograrse aunque no sea menor que 1ya que el sistema se autorregula por el nmero mximo c de clientes en la cola. Losposibles estados del sistema son: 0, 1, 2, 3,...., c. por lo tantoc

i=0Pi = 1 = P0 +P0 +2P0 +.... +cP0 = P0_c+111_si = 1Esta expresin, slo es vlida si = 1, es decir, no es igual que . En estecaso, despejando P0, obtenemos queP0 =1c+11y Pj =(1)(c+11)jPor tantoL = E(j) =c

j=0jPj =c

j=0jj 1c+11 =(1)c+11c

1 jj=(1)c+11Ssiendo j el nmero de elementos en el sistema y S =

c1jjSS =c+11 cc+1luegoS =c+1cc+2+cc+1(1)2,y por tantoL =(c+1) c+1+cc+2(1)(c+11)El nmero de medio de elementos recibiendo servicio es :Ls = 0 P0 + 1(P1 +P2 +... +Pc) = 1 P0212 TEMA 8. TEORA DE COLASEl nmero medio de elementos en la cola, Lq se puede hallar restando las expre-siones L y Lsy obtenemos Lq = L Ls.En el caso particular de ser = 1 , o = , teniendo en cuenta la expresinanterior Pj = jP0jse deduce que todos los estados tendran la misma probabilidad,P0, as que 1 = (c + 1)P0 y por tantoP0 =1c+1= P1 = P2 = P3 = ... = PcL = 0 P0 + 1P1 + 2P2 +... +cPc) == P0(1 + 2 + 3 +.... +c) = P0 1+c2c =1c+11+c2c = c2Para cualquier sistema de colas en estado estacionario se verica el teorema deLittle:L = W, Lq = Wq, Ls = WsNo obstante, debe sustituirse en este caso por la tasa media real de llegada(R) , que ser menor que , puesto que est limitada la auencia de clientes.Latasa real se obtendr ahora restando del promedio de llegadas por unidad de tiempo el promedio de entradas en el sistema que se pierden por exceder su capacidad.El promedio de llegadas perdidas es Pc ya que Pc se puede interpretar como laproporcin de llegadas por unidad de tiempo que no ingresan en el sistema. Es decirque:R = PcPor tanto en este caso de sistemas con capacidad limitada se tiene:L = (1 Pc) W, Lq = (1 Pc) Wq, Ls = (1 Pc) WsEjemplo 88 La auencia de clientes a una peluquera es, por termino medio, de20 clientes por hora. El peluquero admite en su peluquera un mximo de 10 clientesy tarda en atenderlos un promedio de 12 minutos por cliente. Calcular: a ) Nmeropromedio de clientes atendidos por hora. b) Nmero medio de personas en la pelu-quera. c) Cul es el tiempo medio de permanencia en la peluquera para los clientesque entran?a) Todos los clientes que entran son atendidos, por lo tanto coincide con la tasareal de llegadas a la peluquera. (1 Pc) = 20(1 P10), Pj =(1)(c+11)j, as queP10 =(41)(4111)410= 0.75. Por lo tanto el nmero medio de clientes atendidos porhora es 20(1 0.75) = 5.Por promedio, cada hora hay 15 clientes que no pueden entrar en la peluquera.8.8. MODELO CON S SERVIDORES 213b) Para determinar el nmero medio de clientes en la peluquera, calculamos: = = 205 = 4L = (c+1) c+1+cc+2(1)(c+11)= 4(11) 411+10412(41)(4111)= 9.67Por lo que el nmero medio de clientes en la peluquera es 9.67 clientes.c) El tiempo medio de espera en el sistema ser:L20(1 P10) = 9.67/5 = 1.93 horas.8.8 Modelo con s servidoresDesarrollamos detalladamente el caso en que s = 2, omitiendo los innitsimos deorden superior a t.8.8.1 Clculo de la probabilidad de los diferentes estados delsistemaTambin ahora se cumple para el estado 0 queP0(t + t)=P0(t)(1 t) +P1(t)t(1 t)Si el estado del sistema es estacionario (se puede conseguir el estado estacionariopara el caso de 2 servidores si < 2y en general si < s), P0 es constante, ypor tanto la derivada es 0 , as queP0 = P1y por tantoP1 =P0Para el estado 1 se cumple:P1(t + t) = P0(t)t +P1(t)(1 t))(1 t) +P2(t)2t(1 t)Procediendo anlogamente a lo hecho en el caso anterior, se iguala a 0 la derivadade P1(t)) y se, sustituye el valor de P1 obtenido. De esta forma se obtiene:214 TEMA 8. TEORA DE COLASP0 2P0 P0 + 2P2 = 0y despejando P2 :P2 = 2P022= 122P0Para obtener un expresin similar para P3, se parte de la expresin:P2(t + t) == P1(t)t(1 t) +P2(t)(1 t)(1 2t) +P3(t)2t(1 t) P1( +) P2 + 2P3 = 0Sustituyendo los valores anteriores para P1 y P2, obtenemos:P3 = 3P043= 143P0 .En general, para el caso de dos servidoresPj = 3P043=12j1jP0si j = 0.8.8.2 Clculo de P0

i=0Pi = 1 = P0 +P0 + 122P0 +.... +12j1jP0 +... == P0_1 + + 122+.... +12j1j+..._El parntesis, omitiendo el primer trmino, es la suma de los innitos trminosdeuna progresin geomtrica de razn 2 que es menor que 1, ya que para el estadoestacionario < 2. Realizando la suma de la serie se obtieneP0_1 +1 2_= P0_2 +2 _= 1entoncesP0 = 2 2 +.Por tanto:Pj =12j1jP0 =12j1j 2 2 +.8.8. MODELO CON S SERVIDORES 2158.8.3 Clculo de los parmetrosEl nmero medio de elementos en cola esLq = 0(P0 +P1 +P2) + 1P3 + 2P4 +. . . =

j=1jPj+2 =

j=1j12j+1j+2P0 == P0 22

j=1j_2_j= P0222(12)2 = P03(2+)2=3(2+)22 2 + = 3(2+)(2+) =342En el sumatorio se ha sustituido una expresin hallada previamente en 8.5.2(tomando 2 en lugar de )Ls = 0.P0 + 1.P1 + 2(P2 +P3 +P4 +...) = P1 + 2(1 P0P1) == 2 2 + + 2_1 2 2 + 2 2 +_= Intuitivamente podamos tambin argumentar que la mitad de las llegadas iran aparar a cada uno de los servidores, ya que los clientes entran en uno u otro servidor.En ese caso la media de clientes atendidos por cada uno sera2 =12 =12. Portanto entre ambos atenderan una media 2 12 = .Para calcular el nmero promedio de elementos en el sistema empleamos la si-guiente expresin:L = Lq +Ls =342 + =442.Para calcular los tiempos medios se pueden emplear las frmulas de Little:Wq = Lq , W = L, Ws = Ls= 18.8.4 Sistemas de colas de tipo M/M/s/FCFS//. Expre-siones para el caso de s servidoresP0 =1

s1i=0ii! +ss!(1s)Pj =_jj!P0si j = 1, 2, 3, . . . , sjs!sjsP0si j s216 TEMA 8. TEORA DE COLASLq =s+1s s!_1 s_2P0Se pueden aplicar tambin las frmulas de Little:Wq = LqLs = Ws = LsL = Lq +Ls W = LEjemplo 89 Consideremos una sucursal bancaria con dos cajeros. Los clientesacuden al banco a razn de 80 por trmino medio cada hora. Cada cajero tarda unamedia de 1.2 minutos en servir a un cliente. Hallar:a) Nmero medio de clientes en el banco.b) Tiempo promedio de espera en el banco por cliente.c) Fraccin del tiempo en que un cajero determinado est ocupado.En este caso = 80 clientes por hora y = 60/1.2 = 50 clientes por hora escapaz de atender cada uno de los dos servidores.a) El nmero medio de clientes en el banco esL =442 =480504(8050)2 =6.41. 44 = 4. 444 4b) El tiempo medio de espera en el banco esW = L = 4. 444 480horas = 5. 555 5 102horas = 3.33 minutosc) La probabilidad de que un determinado cajero est desocupado es:P0 + 0.5P1 = 280502+8050 + 0.5 8050 280502+8050 = 0. 111 11 + 8. 888 9 102= 0. 2,as que la probabilidad de que ese cajero est ocupado es 1 0.2 = 0. 80.Si se pidiera la probabilidad de que al menos uno de los cajeros est desocupado(sin concretar quin) se calculara como:P0 +P1 = 280502+8050 + 8050 280502+8050 = 0. 288 89.8.9 El coste de un sistema de colasPor lo general un sistema de colas tiene dos costes: El de tener clientes esperandoy el de tener elementos sirviendo a stos.Ilustramos esta situacin en el siguienteejemplo.8.9. EL COSTE DE UN SISTEMA DE COLAS 217Ejemplo 90 En una lnea de produccin es frecuente que haya un almacn para lasherramientas ms caras. Los trabajadores que necesitan alguna de ellas esperan a queun empleado del almacn se las suministre. Si hay muchos trabajadores solicitandoherramientas se formarn colas y se perder tiempo de trabajo, lo que conlleva ungasto.Esto se resolvera poniendo ms empleados en el almacn, pero este arreglotambin supondra un mayor gasto en sueldos de estos empleados. El problema esdisear un sistema que minimice los costes. Suponemos que las llegadas de empleadosal almacn siguen una distribucin de Poisson de razn de llegada = 15 (nmerode personas que llegan por unidad de tiempo) y de razn de servicio = 18 (nmerode elementos que pueden ser servidos en cada unidad de tiempo). Se supone que lostrabajadores que esperan a que el empleado les suministre las herramientas ganan 10u. m. por hora, y los empleados que se las suministran tienen un sueldo de 9 u.m.por hora.Para resolver este problema consideramos los siguientes casos, obtenidos variandoel nmero de servidores (empleados en el almacen que se ocupan de suministrar lasherramientas).1. Caso de emplear slo un servidor:El nmero medio de trabajadores en el sistema esL =1 = =151815 = 5.0Coste por hora = 5 10 + 9 1 = 59 u.m.,ya que si por trmino medio hay 5 trabajadores en el sistema supone un gastode 510 =50 u.m. por hora, a lo que hay que aadir el gasto del servidor quees 9 u. m. por hora.2. Caso de dos servidores:L =442 =415184(1518)2 = 1. 008 4Coste por hora = 1.008 10 + 9 2 = 28. 08 u.m.3. Caso de 3 servidores:P0 =1

s1i=0ii! +ss!(1s) =1

31i=0 (1518)ii!+(1518)33!

1(1518)3

= 0. 432 13Lq =s+1s s!_1 s_2 P0 =_1518_3+13 3!___1

1518

3___2 0.43213 ==62512 168 0.43213 = 0.0 221 96L = 0.0222 + 15/18 = 0. 855 533Coste por hora = 0.855533 10 + 3 9 = 35. 555 u.m.218 TEMA 8. TEORA DE COLAS4. Con ms de tres servidores el gasto es siempre superior a 9 4 = 36 u.m., yaque ste es el gasto del sueldo de 4 servidores.Por lo tanto lo ms econmico es emplear dos servidores con un coste por horade 28. 08 u.m.