01-05_03-MonvreRaiz-06Sep2013.pdf

1

Departamento de Sistemas y Computacin

Algebra Lineal ACF-0903

Notas correspondiente al tema

Captulo 1 Nmeros Complejos

M. en C. Carolina Yolanda

Castaeda Roldn

1.5 Frmula de Moivre, potencia de funciones trigonomtricas

La frmula de Moivre nombrada as por Abraham de Moivre afirma que para cualquier nmero

complejo (y en particular, para cualquier nmero real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Frmula de Moivre

Esta frmula es importante porque conecta a los nmeros complejos (i significa unidad

imaginaria) con la trigonometra.

Se parte de la siguiente ecuacin, donde a = cos y la parte imaginaria es b = sen , la potencia de funciones trigonomtricas, se calcula con la siguiente frmula:

Ejemplo 1:

Calcular (cos + i sen )2 = ?

Solucin:

P1) Ocupamos la ecuacin anterior , donde n= 2 y subst i tuimos:

(cos + i sen )2 = (cos 2 + i sen 2)

Ejemplo 2:

Calcular (cos + i sen )5 = ?

Solucin:

P1) Ocupamos la ecuacin anterior , donde n= 5 y subst i tuimos:

(cos + i sen )2 = (cos 5 + i sen 5)

1.6 Frmula de Moivre, raz de complejos en forma polar

Part iendo de la ecuacin , se dice que, la raz ensima de nmero

complejo es otro nmero complejo tal que :

2

Su mdulo es la en raz ensima del mdulo .

(1)

Su argumento es:

(2)

Donde: k = 0,1 ,2 ,3 , (n -1)

Ejemplo 1:

Obtener la raz cbica de z1 = -2+2i y graficar las races.

Solucin:

P1) El nmero Complejo est en forma binmica, por lo que primero que se

debe hacer es pasarlo a forma polar .

P2) Part iendo de que a = -2 y b = 2, calculamos el valor de r :

8

8222222

r

bazr

P3) Se calcula con la ecuacin:

1tan2

2tantan arcarc

a

barc

P4) De tablas o de Matlab: atan(1) = 0.7854radianes ===> atand(1) = 45o

,

recordando tambin que se t iene a

b

por lo que el nmero complejo est en el

II cuadrante y se debe calcular como: = 180 o-45 o = 135 o

P5) El nmero complejo en forma polar es :

o1358 P6) Evaluamos la expresin:

y

P7) r ' es entonces:

1.4142'

1.41428888'

'

611

3 623

r

r

rr n

P8) Se evala ' que qued pendiente:

3

3

360452'

00 k

n

k

o

o

o

k

k

kk

2553

236045

1353

136045

153

036045

2

1

0

3

36045'

00

3

00

2

00

1

00

P9) Por lo que las races son:

000 25561356156 8",8',8 rrr

P10) Para dibujarlo escribiremos:

000 25561356156 83,82,81 zzz

P11) Pasarlo a t r igonomtrica rSenbrCosa

P12) Usando Matlab cosd y sind que calculan el coseno y seno de un nmero dejando el

resultado en grados. La instruccin compass significa brjula, por lo que una brjula grfica

muestra los vectores con componentes en nuestro ejemplo (z1, z2, z3) como flechas que emanan

desde el origen. z1, z2, z3 estn en coordenadas cartesianas y se representan en una rejilla

circular.

r = 8^(1/6)

z1 = r*(cosd(15)+ i*sind(15) )

z2 = r*(cosd(135)+ i*sind(135) )

z3 = r*(cosd(255)+ i*sind(255) )

%Se guardan las races en un vector

z =[ z1, z2, z3];

compass(z,'b'); %Dibuja el contenido del vector z con flechas 'b'

text(real(z1), imag(z1),'z1'); %Escribe con text la parte real de z1 y la imaginaria

text(real(z2),imag(z2),'z2');


grid

r = 1.4142

z1 = 1.3660 + 0.3660i

z2 = -1.0000 + 1.0000i

z3 = -0.3660 - 1.3660i

4

P13) El resul tado en MATLAB es:

r = 1.4142

z1 = 1.3660 + 0.3660i

z2 = -1.0000 + 1.0000i

z3 = -0.3660 - 1.3660i

P2) Cuya grfica es :

Ejemplo 2:

Obtener la raz sexta de: 6 1 i

Solucin:



P2) Part iendo de que a = 1 y b = 1, calculamos el valor de r :

2

2112222

r

bazr


1tan1

1tantan arcarc

a

barc

P4) De tablas o de Matlab: atan(1) = 0.7854radianes ===> atand(1) = 45o

,


bpor lo que el nmero complejo est en el

cuadrante I y se debe calcular como: = 45 o

0.5

1

1.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

z1

z2

z3

5



n rr ' y 5,4,3,2,1,0,62

'

knconn

k

P7) r es entonces:

1.0595'

1.05952222'

'

1212

116 26

r

r

rr n

P8) Se evala que qued pendiente:

6

360452'

00 k

n

k

'303076

5360455

'302476

4360454

'301876

3360453

'301276

2360452

'30676

1360451

'3076

0360450

6

36045'

00

3

00

3

00

3

00

3

00

2

00

1

00

o

o

o

o

o

o

k

k

k

k

k

k

k


'30307

12

6'30247

12

5'30187

12

4

'30127

12

3'3067

12

2'307

12

1

000

000

2',2',2'

,2',2',2'

zzz

zzz


P11) Usando Matlab cosd y sind que calculan el coseno y seno de un nmero: r = 2^(1/12)

z1 = r*(cosd(7.30)+ i*sind(7.30) )

z2 = r*(cosd(67.30)+ i*sind(67.30) )

z3 = r*(cosd(127.30)+ i*sind(127.30) )

z4 = r*(cosd(187.30)+ i*sind(187.30) )

z5 = r*(cosd(247.30)+ i*sind(247.30) )

z6 = r*(cosd(307.30)+ i*sind(307.30) )

z =[ z1, z2, z3, z4, z5, z6]; %Se guardan las races en un vector


6




text(real(z4), imag(z4),'z4');



grid

P12) Cuyo resul tado en MATLAB es: r = 1.0595

z1 = 1.0509 + 0.1346i

z2 = 0.4089 + 0.9774i

z3 = -0.6420 + 0.8428i

z4 = -1.0509 - 0.1346i

z5 = -0.4089 - 0.9774i

z6 = 0.6420 - 0.8428i


Ejemplo 3:

Obtener la raz cbica de: z1 = -5+5i

Solucin:



P2) Part iendo de que a = 1 y b = 1, calculamos el valor de r :

50

50552222

r

bazr


1tan5

5tantan

arcarc

a

barc

0.5

1

1.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0z1

z2z3

z4

z5z6

7

P4) De tablas o de Matlab: atan( -1) = 0.7854radianes ===> atand(1) = 45o

,


b

por lo que el nmero complejo est en el

cuadrante II y se debe calcular como: = 180 o-45o= 135 o



n rr ' y 2,1,0,32

'

knconn

k

P7) r es entonces:

1.9194'

1.919450505050'

'

66

113 23

r

r

rr n

P8) Se evala que qued pendiente:

3

3601352'

00 k

n

k

o

o

o

k

k

k

k

2853

123601352

1653

13601351

453

03601350

3

360135'

00

3

00

2

00

1

00


000 28563165624561 50',50',50' zzz


P11) Usando Matlab cosd y sind que calculan el coseno y seno de un nmero: r = 50^(1/6)

z1 = r*(cosd(45)+ i*sind(45) ) %Directo en grados = 45

z2 = r*(cosd(165)+ i*sind(165) )

z3 = r*(cosd(285)+ i*sind(285) )

z =[ z1, z2, z3]; %Se guardan las races en un vector





grid

P12) Cuyo resul tado en MATLAB es:

8

r = 50^(1/6)


z2 = r*(cosd(165)+ i*sind(165) )

z3 = r*(cosd(285)+ i*sind(285) )

z =[ z1, z2, z3]; %Se guardan las races en un vector





grid

r = 1.9194

z1 = 1.3572 + 1.3572i

z2 = -1.8540 + 0.4968i

z3 = 0.4968 - 1.8540i


Ejemplo 4:

Obtener la raz quinta de: z1 = 10+10i

Solucin:



P12) Cuyo resul tado en MATLAB es: r = 200^(1/10)


z2 = r*(cosd(81)+ i*sind(81) )

z3 = r*(cosd(153)+ i*sind(153) )

z4 = r*(cosd(225)+ i*sind(225) )

z5 = r*(cosd(297)+ i*sind(297) )

z =[ z1, z2, z3,z4,z5]; %Se guardan las races en un vector



0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

z1

z2

z3

9





grid

r = 1.6986

z1 = 1.6777 + 0.2657i

z2 = 0.2657 + 1.6777i

z3 = -1.5135 + 0.7712i

z4 = -1.2011 - 1.2011i

z5 = 0.7712 - 1.5135i

P13) Cuya grfica es:

Tarea

Ejercicio 1:

Obtener la raz de: 33435 53)553)435)32)22)1 iiiii

a) En forma polar manualmente

b) En forma t r igonomtrica manualmente

c) Checar los resul tados en su calculadora de Excel (agregar chequeo)

d) Real izar su grfica en MATHLAB.

Fecha de la ltima correccin 08 de Septiembre de 2014

Bibliografa

0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

z1

z2

z3

z4

z5

10

http://matematica1.com/category/formula-de-moivre/

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