1
Departamento de Sistemas y Computacin
Algebra Lineal ACF-0903
Notas correspondiente al tema
Captulo 1 Nmeros Complejos
M. en C. Carolina Yolanda
Castaeda Roldn
1.5 Frmula de Moivre, potencia de funciones trigonomtricas
La frmula de Moivre nombrada as por Abraham de Moivre afirma que para cualquier nmero
complejo (y en particular, para cualquier nmero real) x y para cualquier entero n se verifica que:
Frmula de Moivre
Esta frmula es importante porque conecta a los nmeros complejos (i significa unidad
imaginaria) con la trigonometra.
Se parte de la siguiente ecuacin, donde a = cos y la parte imaginaria es b = sen , la potencia de funciones trigonomtricas, se calcula con la siguiente frmula:
Ejemplo 1:
Calcular (cos + i sen )2 = ?
Solucin:
P1) Ocupamos la ecuacin anterior , donde n= 2 y subst i tuimos:
(cos + i sen )2 = (cos 2 + i sen 2)
Ejemplo 2:
Calcular (cos + i sen )5 = ?
Solucin:
P1) Ocupamos la ecuacin anterior , donde n= 5 y subst i tuimos:
(cos + i sen )2 = (cos 5 + i sen 5)
1.6 Frmula de Moivre, raz de complejos en forma polar
Part iendo de la ecuacin , se dice que, la raz ensima de nmero
complejo es otro nmero complejo tal que :
2
Su mdulo es la en raz ensima del mdulo .
(1)
Su argumento es:
(2)
Donde: k = 0,1 ,2 ,3 , (n -1)
Ejemplo 1:
Obtener la raz cbica de z1 = -2+2i y graficar las races.
Solucin:
P1) El nmero Complejo est en forma binmica, por lo que primero que se
debe hacer es pasarlo a forma polar .
P2) Part iendo de que a = -2 y b = 2, calculamos el valor de r :
8
8222222
r
bazr
P3) Se calcula con la ecuacin:
1tan2
2tantan arcarc
a
barc
P4) De tablas o de Matlab: atan(1) = 0.7854radianes ===> atand(1) = 45o
,
recordando tambin que se t iene a
b
por lo que el nmero complejo est en el
II cuadrante y se debe calcular como: = 180 o-45 o = 135 o
P5) El nmero complejo en forma polar es :
o1358 P6) Evaluamos la expresin:
y
P7) r ' es entonces:
1.4142'
1.41428888'
'
611
3 623
r
r
rr n
P8) Se evala ' que qued pendiente:
3
3
360452'
00 k
n
k
o
o
o
k
k
kk
2553
236045
1353
136045
153
036045
2
1
0
3
36045'
00
3
00
2
00
1
00
P9) Por lo que las races son:
000 25561356156 8",8',8 rrr
P10) Para dibujarlo escribiremos:
000 25561356156 83,82,81 zzz
P11) Pasarlo a t r igonomtrica rSenbrCosa
P12) Usando Matlab cosd y sind que calculan el coseno y seno de un nmero dejando el
resultado en grados. La instruccin compass significa brjula, por lo que una brjula grfica
muestra los vectores con componentes en nuestro ejemplo (z1, z2, z3) como flechas que emanan
desde el origen. z1, z2, z3 estn en coordenadas cartesianas y se representan en una rejilla
circular.
r = 8^(1/6)
z1 = r*(cosd(15)+ i*sind(15) )
z2 = r*(cosd(135)+ i*sind(135) )
z3 = r*(cosd(255)+ i*sind(255) )
%Se guardan las races en un vector
z =[ z1, z2, z3];
compass(z,'b'); %Dibuja el contenido del vector z con flechas 'b'
text(real(z1), imag(z1),'z1'); %Escribe con text la parte real de z1 y la imaginaria
text(real(z2),imag(z2),'z2');
text(real(z3),imag(z3),'z3');
grid
r = 1.4142
z1 = 1.3660 + 0.3660i
z2 = -1.0000 + 1.0000i
z3 = -0.3660 - 1.3660i
4
P13) El resul tado en MATLAB es:
r = 1.4142
z1 = 1.3660 + 0.3660i
z2 = -1.0000 + 1.0000i
z3 = -0.3660 - 1.3660i
P2) Cuya grfica es :
Ejemplo 2:
Obtener la raz sexta de: 6 1 i
Solucin:
P1) El nmero Complejo est en forma binmica, por lo que primero que se
debe hacer es pasarlo a forma polar .
P2) Part iendo de que a = 1 y b = 1, calculamos el valor de r :
2
2112222
r
bazr
P3) Se calcula con la ecuacin:
1tan1
1tantan arcarc
a
barc
P4) De tablas o de Matlab: atan(1) = 0.7854radianes ===> atand(1) = 45o
,
recordando tambin que se t iene a
bpor lo que el nmero complejo est en el
cuadrante I y se debe calcular como: = 45 o
0.5
1
1.5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
z1
z2
z3
5
P5) El nmero complejo en forma polar es :
o452 P6) Evaluamos la expresin:
n rr ' y 5,4,3,2,1,0,62
'
knconn
k
P7) r es entonces:
1.0595'
1.05952222'
'
1212
116 26
r
r
rr n
P8) Se evala que qued pendiente:
6
360452'
00 k
n
k
'303076
5360455
'302476
4360454
'301876
3360453
'301276
2360452
'30676
1360451
'3076
0360450
6
36045'
00
3
00
3
00
3
00
3
00
2
00
1
00
o
o
o
o
o
o
k
k
k
k
k
k
k
P9) Por lo que las races son:
'30307
12
6'30247
12
5'30187
12
4
'30127
12
3'3067
12
2'307
12
1
000
000
2',2',2'
,2',2',2'
zzz
zzz
P10) Pasarlo a t r igonomtrica rSenbrCosa
P11) Usando Matlab cosd y sind que calculan el coseno y seno de un nmero: r = 2^(1/12)
z1 = r*(cosd(7.30)+ i*sind(7.30) )
z2 = r*(cosd(67.30)+ i*sind(67.30) )
z3 = r*(cosd(127.30)+ i*sind(127.30) )
z4 = r*(cosd(187.30)+ i*sind(187.30) )
z5 = r*(cosd(247.30)+ i*sind(247.30) )
z6 = r*(cosd(307.30)+ i*sind(307.30) )
z =[ z1, z2, z3, z4, z5, z6]; %Se guardan las races en un vector
compass(z,'b'); %Dibuja el contenido del vector z con flechas 'b'
6
text(real(z1), imag(z1),'z1'); %Escribe con text la parte real de z1 y la imaginaria
text(real(z2),imag(z2),'z2');
text(real(z3),imag(z3),'z3');
text(real(z4), imag(z4),'z4');
text(real(z5),imag(z5),'z5');
text(real(z6),imag(z6),'z6');
grid
P12) Cuyo resul tado en MATLAB es: r = 1.0595
z1 = 1.0509 + 0.1346i
z2 = 0.4089 + 0.9774i
z3 = -0.6420 + 0.8428i
z4 = -1.0509 - 0.1346i
z5 = -0.4089 - 0.9774i
z6 = 0.6420 - 0.8428i
P13) Cuya grfica es :
Ejemplo 3:
Obtener la raz cbica de: z1 = -5+5i
Solucin:
P1) El nmero Complejo est en forma binmica, por lo que primero que se
debe hacer es pasarlo a forma polar .
P2) Part iendo de que a = 1 y b = 1, calculamos el valor de r :
50
50552222
r
bazr
P3) Se calcula con la ecuacin:
1tan5
5tantan
arcarc
a
barc
0.5
1
1.5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0z1
z2z3
z4
z5z6
7
P4) De tablas o de Matlab: atan( -1) = 0.7854radianes ===> atand(1) = 45o
,
recordando tambin que se t iene a
b
por lo que el nmero complejo est en el
cuadrante II y se debe calcular como: = 180 o-45o= 135 o
P5) El nmero complejo en forma polar es :
o13550 P6) Evaluamos la expresin:
n rr ' y 2,1,0,32
'
knconn
k
P7) r es entonces:
1.9194'
1.919450505050'
'
66
113 23
r
r
rr n
P8) Se evala que qued pendiente:
3
3601352'
00 k
n
k
o
o
o
k
k
k
k
2853
123601352
1653
13601351
453
03601350
3
360135'
00
3
00
2
00
1
00
P9) Por lo que las races son:
000 28563165624561 50',50',50' zzz
P10) Pasarlo a t r igonomtrica rSenbrCosa
P11) Usando Matlab cosd y sind que calculan el coseno y seno de un nmero: r = 50^(1/6)
z1 = r*(cosd(45)+ i*sind(45) ) %Directo en grados = 45
z2 = r*(cosd(165)+ i*sind(165) )
z3 = r*(cosd(285)+ i*sind(285) )
z =[ z1, z2, z3]; %Se guardan las races en un vector
compass(z,'b'); %Dibuja el contenido del vector z con flechas 'b'
text(real(z1), imag(z1),'z1'); %Escribe con text la parte real de z1 y la imaginaria
text(real(z2),imag(z2),'z2');
text(real(z3),imag(z3),'z3');
grid
P12) Cuyo resul tado en MATLAB es:
8
r = 50^(1/6)
z1 = r*(cosd(45)+ i*sind(45) ) %Directo en grados = 45
z2 = r*(cosd(165)+ i*sind(165) )
z3 = r*(cosd(285)+ i*sind(285) )
z =[ z1, z2, z3]; %Se guardan las races en un vector
compass(z,'b'); %Dibuja el contenido del vector z con flechas 'b'
text(real(z1), imag(z1),'z1'); %Escribe con text la parte real de z1 y la imaginaria
text(real(z2),imag(z2),'z2');
text(real(z3),imag(z3),'z3');
grid
r = 1.9194
z1 = 1.3572 + 1.3572i
z2 = -1.8540 + 0.4968i
z3 = 0.4968 - 1.8540i
P13) Cuya grfica es :
Ejemplo 4:
Obtener la raz quinta de: z1 = 10+10i
Solucin:
P1) El nmero Complejo est en forma binmica, por lo que primero que se
debe hacer es pasarlo a forma polar .
P12) Cuyo resul tado en MATLAB es: r = 200^(1/10)
z1 = r*(cosd(9)+ i*sind(9) ) %Directo en grados = 9
z2 = r*(cosd(81)+ i*sind(81) )
z3 = r*(cosd(153)+ i*sind(153) )
z4 = r*(cosd(225)+ i*sind(225) )
z5 = r*(cosd(297)+ i*sind(297) )
z =[ z1, z2, z3,z4,z5]; %Se guardan las races en un vector
compass(z,'b'); %Dibuja el contenido del vector z con flechas 'b'
text(real(z1), imag(z1),'z1'); %Escribe con text la parte real de z1 y la imaginaria
0.5
1
1.5
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
z1
z2
z3
9
text(real(z2),imag(z2),'z2');
text(real(z3),imag(z3),'z3');
text(real(z4),imag(z4),'z4');
text(real(z5),imag(z5),'z5');
grid
r = 1.6986
z1 = 1.6777 + 0.2657i
z2 = 0.2657 + 1.6777i
z3 = -1.5135 + 0.7712i
z4 = -1.2011 - 1.2011i
z5 = 0.7712 - 1.5135i
P13) Cuya grfica es:
Tarea
Ejercicio 1:
Obtener la raz de: 33435 53)553)435)32)22)1 iiiii
a) En forma polar manualmente
b) En forma t r igonomtrica manualmente
c) Checar los resul tados en su calculadora de Excel (agregar chequeo)
d) Real izar su grfica en MATHLAB.
Fecha de la ltima correccin 08 de Septiembre de 2014
Bibliografa
0.5
1
1.5
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
z1
z2
z3
z4
z5
10
http://matematica1.com/category/formula-de-moivre/
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