01. 1PRO DINADETER2012 Modo de Compatibilidad

122/10/2012 ROSMERI MAYTA H INVESTIGACIN OPERATIVA

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PROGRAMACIN

DINMICA

Mg. Rosmeri Mayta H.

2012


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PROGRAMACIN DINMICALa programacin dinmica es un enfoque general para lasolucin de problemas en los que es necesario tomardecisiones en etapas sucesivas. Las decisionestomadas en una etapa condicionan la evolucin futuradel sistema, afectando a las situaciones en las que elsistema se encontrar en el futuro (denominadasestados), y a las decisiones que se plantearn en elfuturo.

Es un mtodo de optimizacin, se opera por etapas afases.


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Conviene resaltar que a diferencia de laprogramacin lineal, el modelado deproblemas de programacin dinmica nosigue una forma estndar. As, para cadaproblema ser necesario especificar cadauno de los componentes que caracterizanun problema de programacin dinmica.


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TEOREMA DE OPTIMIDAD

El punto de partida de este mtodo es el llamadoTeorema de Optimidad . De Richard Bellman

Una poltica ptima slo puede estar formada porsubpolticas ptimas .o tambin


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Se explica tambin que dada una secuenciaptima de decisiones, toda subsecuencia de ellaes, a su vez, ptima. En este caso siguesiendo posible el ir tomando decisioneselementales, en la confianza de que lacombinacin de ellas seguir siendo ptima,pero ser entonces necesario explorar muchassecuencias de decisiones para dar con lacorrecta, siendo aqu donde interviene laprogramacin dinmica


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Cuando hablamos de optimizar nosreferimos a buscar la mejor solucin deentre muchas alternativas posibles. Dichoproceso de optimizacin puede ser vistocomo una secuencia de decisiones quenos proporcionan la solucin correcta. Si,dada una subsecuencia de decisiones,siempre se conoce cual es la decisin quedebe tomarse a continuacin para obtenerla secuencia ptima


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Aplicaciones :Determinacin de polticas de inventarios.Operacin de reservorios.Seleccin de inversiones.Determinacin de polticas de expansin de

capacidad.Problemas de caminos ms cortos


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ETAPASESTADOS ( Sn )VARIABLES DE DECISIN ( Xn )Etapa n = 1

Sn = 1Xn = 2, 3, 4.

Etapa n = 2Sn = 2, 3, 4Xn = 5, 6.

Etapa n = 3Sn = 5, 6.Xn = 7.


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TCNICAS DE SOLUCINHacia adelante.Hacia atrs.

CARACTERSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIN DINMICA.

1.El problema se descompone ensubproblemas denominados cada una destas se optimice sobre sus alternativas.

2. En cada etapa existe un nmero de estadosposibles.Ejm.: Caso de inventario.


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3. La decisin que se toma una etapadeterminada implica la transicin de unestado de sta etapa a un estado de lasiguiente etapa.

4. Al igual que otros problemas de optimizacinexiste una funcin objetivo sujeto arestriccin.

5. La F.O. se identifica mediante la formula derecurrencia o rendimientoprevia identificacin de la variable dedecisin.


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6. La ecuacin recursiva permite que seoptimice por etapas separadas.

Tambin mantiene informacin derendimiento ptimo acumulado de las etapasanteriores considerando de manera, cuandose llega a la ltima etapa se tiene elrendimiento ptimo total.


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ELEMENTOS BSICOS DE PROGRAMACIN DINMICA

Etapa: La etapa representa una posicin delproblema para lo cual se debe tomar unadecisin.

Estado del sistema: El estado representa lascondiciones iniciales de cada etapa y sirvede liga a travs de la aplicacin de la funcinde rendimiento.

Alternativa o variable de decisin:Asociado a cada etapa, esta da la funcin derendimiento de una variable de decisin lacual evala cada alternativa.


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Etapas: n = 1, 2, 3, 4.Etapa 1 Etapa 2

Sn = 1 Sn = 4, 3, 2.Xn = 4, 3, 2. Xn = 5, 6, 7.

Etapa 3 Etapa 4Sn = 5, 6, 7. Sn = 8, 9.Xn = 8, 9. Xn = 10.


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FUNCIN DE RENDIMIENTO

f n ( Sn, Xn ) = min [ C( Sn, Xn ) + f n-1 ( Xn-1 ) ]

f n ( Sn, Xn ) : Costo total cuando se ha recorrido n etapas.

C( Sn, Xn ) : Costo de la etapa n.f n-1 ( Xn-1 ) : El mejor costo total cuando se

ha recorrido n-1 etapas.


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PROBLEMA.En la siguiente red se muestra los costos paratrasladarse de la ciudad 1 a la ciudad 10. Sepide hallar el camino de valor mnimo utilizandola programacin dinmica.

SOLUCIN.n = 1Sn = 1Xn = 2, 3, 4.f 1 ( 1, Xn ) = min [ C(1,2) + f(Xn) ] = 4 + 0 = 4

f1* (2) = 4 22/10/2012 ROSMERI MAYTA H

INVESTIGACIN OPERATIVA18

f 1 ( 1, Xn ) = min [ C(1,3) + f(Xn) ] = 3 + 0 = 3 f1 *(2) = 3

f 1 ( 1, Xn ) = min [ C(1,4) + f(Xn) ] = 5 + 0 = 5 f1 *(2) = 5

n = 2Sn = 2, 3, 4.Xn = 5, 6, 7.f 2 ( Sn, 5 ) = min [ C(2,5) + f1*(2) ; C(3,5) +

f1*(3) ][ 10 + 4 ; 10 + 3 ] = 13 ;

f2* (5) = 13


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f 2 ( Sn, 6 ) = min [ C(2,6) + f1*(2) ; C(3,6) + f1*(3) ; C(4,6) + f1*(4) ]

[ 11 + 4 ; 9 + 3 ; 12 + 5 ] = 12 ; f2* (6) = 12

f 2 ( Sn, 7 ) = min [ C(2,7) + f1*(2) ; C(3,7) + f1*(3) ; C(4,7) + f1*(4) ]

[ 13 + 4 ; 8 + 3 ; 13 + 5 ] = 11 ; f2* (7) = 11


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n = 3Sn = 5, 6, 7.Xn = 8, 9.f 3 ( Sn, 8 ) = min [ C(5,8) + f2*(5) ; C(6,8) +

f2*(6) ; C(7,8) + f2*(7) ][ 7 + 13 ; 4 + 12 ; 5 + 11 ] = 16 ;

f3* (8) = 16f 3 ( Sn, 9 ) = min [ C(5,9) + f2*(5) ; C(6,9) +

f2*(6) ; C(7,9) + f2*(7) ][ 8 + 13 ; 3 + 12 ; 3 + 11 ] = 14 ;

f3* (9) = 14


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n = 4Sn = 8,9.Xn = 10.f 4 ( Sn, 10 ) = min [ C(8,10) + f3*(8) ;

C(9,10) + f3*(9)]

[ 6 + 16 ; 4 + 14 ] = 18 ;


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RESPUESTAEL CAMINO DE VALOR MINIMO ES 18


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MODELO DE INVERSIONUn inversionista tiene $500 y ha limitado sus

posibles alternativas a 3 compaas. En la tabla se presentan los retornos estimados para diferentes cantidades capital invertido. En cada compaa la asignacin


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- Cada compaa representa una etapa.- El objetivo es maximizar el retorno total.

Etapa 3 Etapa2 Etapa1

Comp. 3 Comp. 2 Comp. 1

F2(S2,X2) F1(S1,X1)


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i : 1, 2, 3 etapas.Xi : Cantidad invertida en la etapa i.f i (Si, Xi) : mejor retorno total cuando se tiene

Si y XiSi : Cantidad disponible en la etapa i.f i-1 (Si-1, Xi-1) : Mejor retorno total en la etapa

i-1.fi (Si, Xi) = max [ ri (Xi) + fi-1 (Si-1, Xi-1) ]


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Etapa 1 : Compaa 3


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Etapa 2 : Compaa 2


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Etapa 3 : Compaa 1

Solucin :Alternativa 1 Alternativa 2

Compaa 1 300 400 Compaa 2 100 100Compaa 3 100 0


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MODELO VOLUMEN CARGAEste modelo aborda el problema de cargarartculos en un barco con un volumen o unacapacidad de pesos limitados. Cada artculoproduce un nivel de utilidad. El objetivo escargar el barco con la carga mas valiosa.Tambin se le conoce con el nombre dePROBLEMA DE LA MOCHILA, en el cual unsoldado ( aficionado a la caminata ) debedecidir cules son los artculos mas valiososque debe llevar e su mochila.


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P.L.F.O. : max z = r1 m1 + r2 m2 + .... + rn mnS. a :

W1 m1 + W2m2 + .... + Wn mn Wm1 , m2 , .... mn 0

Elementos del modelo1. La etapa i est representada por el artculoi = 1, 2, ,n.2. Las alternativas en la etapa i estn

representadas por el nmero de unidades delartculo i incluidas en la carga. La utilidadasociada es ri mi . Si definimos [ W / Wi ]como el entero ms grande menor o igual a [W / Wi ] de ello se sigue que mi = 0, 1, 2, ,[ W / Wi ].


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3. El estado en la etapa i se representa pormedio de Xi , el peso total asignado a lasetapas (artculos) i, i+1, ,n combinado.Esta definicin refleja el hecho de que larestriccin del peso es la nica restriccinque une a todas las etapas n.

fi (Xi) : Utilidad mxima para las etapas i,i+1,,n dado el estado Xi.


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Ecuacin recursiva.Exprese fi (Xi) como una funcin fi+1(Xi+1) 1) fi (Xi) = max { r1 m1 + f i+1 (X i+1) }

mi = 0, 1, ..., W / WiXi = 0, 1, 2, ..., W

2.fi (Xi) = max { r1 m1 + f i+1 (Xi - Wimi) }i = 1, 2, ..., n

mi = 0, 1, , W / WiXi = 0, 1, , W


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Por definicin Xi Xi+1 representa el peso consumido en la etapa i, es decir; Xi Xi+1 = Wimi o Xi+1 = Xi + Wimi


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PROBLEMA.Un barco de 4 toneladas se carga con 1 o ms

de 3 artculos. la siguiente tabla proporcionael peso por unidad (Wi en TN.) y la utilidadpor unidad es ri (miles de $) para el articuloi. Cmo se debe cargar el barco paramaximizar la utilidad total?


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Etapa III :f3(X3) = max [ r3 m3 ] , [ W / Wi ] = [ 4/1 ] = 4ri =14 , mi = 0, 1, 2, 3, 4f3(X3) = 14 m3


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Etapa II :f2(X2) = max [ r2 m2 + f3(X2 3m2) ] ,

m2 = [ 4/3 ] = 1m2 = 0, 1.f2(X2) = 47 m2 + f3(X2 3m2)


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Etapa I :f1(X1) = max [ 31 m1 + f2(X1 2m1) ] , m1 = [ 4/2 ] = 2m2 = 0, 1, 2.


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Respuesta:Solo se puede llevar 2 unidades del

articulo 1 y los otros artculos ninguno


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PROBLEMA DE LA MOCHILLA.Se quiere llenar una mochila de 10 lb. con los siguientes artculos. Para maximizar el beneficio total cmo se debe cargar la mochila?


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SOLUCION:


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SOLUCIONART.1 1 11ART.2 2 14ART.3 0 ___

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PROBLEMA.Se tiene 4 equipos de investigacin, se puede

asignar de 0 a 3 a cada equipo y el objetivoes maximizar la probabilidad de xito de lainvestigacin, es decir que los 4 equipospueden tener de 0 a 3 integrantes y estogenerar una probabilidad de xito la cual sequiere maximizar. En la siguiente tabla seencuentra la probabilidad de xito por equipodependiendo del nmero de cientficos que loconforman.


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FUNCIN DE RECURRENCIAfi (Xi) = max { ri (Si.Xi)* fi (X i-1)}


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Etapa I: Equipo 4


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Etapa II: Equipo 3


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Etapa III: Equipo 2

Etapa IV: Equipo 1

Lo optimo ser 1 cientfico en el equipo uno y 2cientficos en el equipo 2.


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PROBLEMA Para que una computadora trabaje en forma correcta,

debe trabajar en forma correcta sus tres subsistemas.Para aumentar la confiabilidad de la computadora sepueden aadir unidades de reserva a cada subsistema.Cuesta 350 agregar una unidad al subsistema1, 200soles agregar una unidad de reserva al subsistema 2, y150 soles agregar una unidad de reserva al subsistema3, como una funcin del numero de reserva aadidas(Se puede agregar un mximo de 2 reservas a cadasubsistema), la probabilidad de que trabaje cadasubsistema se presenta en la siguiente tabla. Se tienedisponible 1200 soles


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Para que la computadora trabaje demanera correcta se debe aadir unaunidad de reserva al subsistema 1, y 2unidades de reserva a los subsistemas 2 y2 al subsistema 3.


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PROBLEMA DE ASIGNACIN

En la siguiente tabla se presenta el nmero de crmenes en cada uno de los tres distritos que dependen del nmero de patrullas asignadas. Se dispone de 5 patrullas (Si en el distrito 1 se le asigna 0 patrullas habr 14 crmenes). Optimiza la asignacin de crmenes a cada distrito.


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SOLUCIN:


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SOLUCIN. A1 A2 A3 A4 A5

Distrito 1 1 1 2 2 3Distrito 2 1 2 1 2 1Distrito 3 3 2 2 1 1


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PROBLEMA El alguacil Bassam esta postulando para su

reeleccin en el condado de Washington. Losfondos disponibles para la campaa son dealrededor de 10000 dlares. Aun cuando elcomit de reeleccin le gustara iniciar lacampaa en los cinco distritos del condado, losfondos limitados dictan lo contrario. La siguientetabla enumera la poblacin votante y la cantidadde fondos necesaria para iniciar una campaaefectiva en cada distrito. La eleccin para cadadistrito es que reciban todos los fondosasignados, o ninguno. Cmo se deben asignarlos fondos?

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Respuesta:3500 al distrito 12500 al distrito 24000 al distrito 3La poblacin votante es de 9200.


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PROBLEMA 2Se desea llenar una mochila de 13 lb

con los productos que se muestran enla siguiente tabla. Con que se debellenar la mochila si se desea maximizarel beneficio total?



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Respuesta:Llenar la mochila con una unidad del

producto 2 y una unidad del producto 3.El mximo beneficio es de 75+0 = 75


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PROBLEMA Un explorador debe cargar tres artculos: alimentos,

botiqun y ropa. La mochila tiene tres pies cbicos decapacidad. Cada unidad de alimento ocupa un piecbico. Un botiqun ocupa de pie cbico y cadaprenda de vestir ocupa pie cbico. El excursionistaasigna los artefactos de prioridad 3, 4, y 5 al alimento,botiqun y ropa, lo que significa que la ropa es el msvalioso de esos artculos. De acuerdo con laexperiencia, el excursionista debe llevar al menos 1unidad de cada artculo, y no ms de dos botiquines.

Cunto de cada artculo debe cargar el excursionista?Resolver utilizando la programacin dinmica.



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El excursionista debe llevar:

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