01 ecuaciones de bernoulli

MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: ECUACIONES

DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

ECUACIONES DE BERNOULLI.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones de Benoulli.

Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

1.11.- ECUACIONES DE BERNOULLI1.

Una ecuación no lineal muy conocida, que se reduce a una lineal por medio de una

sustitución apropiada, es la ecuación de Bernoulli nyxQyxPy )()( . Nótese que esta

ecuación es lineal si 0n y admite variables separadas si 1n . La solución general de la

ecuación de Bernoulli es CxdexQneyxdxPnxdxPnn

)()1()()1(1 )()1(

El procedimiento que conduce a la solución de una ecuación diferencial de Bernoulli es el

siguiente:

1. Escribir la ecuación diferencial en la forma normal:

nyxQyxPxd

yd)()( .

2. Multiplicar la ecuación normal por ny con el objeto de simplificar

ny en el miembro

derecho de la ecuación, obteniéndose:

)()( 1 xQyxPxd

ydy nn

.

3. Hacer nyu 1 en la ecuación obtenida en el paso 2, con lo cual:

xd

ydyn

xd

ud n )1( .

4. Sustituir xd

ud

nxd

ydy n

1

1 y uy n 1

en la ecuación obtenida en el paso 2. La

ecuación 2 se reduce a la ecuación diferencial lineal en u:

)()(1

1xQuxP

xd

ud

n

la cual escrita en forma normal se expresa como:

)()1()()1( xQnuxPnxd

ud .

1 Jakob Bernoulli (1654-1705). Matemático Suizo. Analizó por primera vez la ecuación diferencial que lleva

su nombre. También desarrolló el método de separación de variables. Otros miembros de la familia Bernoulli

también fueron prominentes matemáticos.



5. Determinar el factor integrante de la ecuación diferencial lineal de primer orden anterior:

xdxPne

)()1(.

6. Multiplicar la ecuación del paso 4 por el factor integrante

)]()1[()()1()()1()()1(

xQneuxPnxd

ude

xdxPnxdxPn

con lo cual se obtiene:

)]()1[()()1()()1(

xQneeuxd

d xdxPnxdxPn

.

7. La integración de la ecuación del paso 6 proporciona:

CxdexQneuxdxPnxdxPn

)()1()()1(

)()1(

de donde finalmente se tiene la solución de la ecuación diferencial de Bernoulli:

CxdexQneyxdxPnxdxPnn

)()1()()1(1 )()1( .

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. Si se da una condición inicial, determine

la solución particular.

1. 31yxy

xy

2. yxy

xy

1

3. 34 yxyyx 4.

2

1

yy

xd

ydx

5. 022 xeyyyx 6. yxyxd

ydx 22

7. 2yeyxd

yd x

8. 2yxyy

9. 33 yxyy

10. xeyxyy 23

11. xeyyy 22 12. )1( 3 yxy

xd

yd

13. 2

2y

x

x

y

xd

yd , 1)1( y 14.

3223 yxyxy



15. 22 yxyxy 16. yxyx

xd

yd32

17*. )21(2 2232 xyyxyx 18*. 33

21 )1(

1yx

x

yy

19. 02)23( 2 ydyxxdyx 20*. 02)( 2 ydyxxdyx

21*. xdyxyxydx )()1( 222 22. )3(2 223 xyyyx

23. 32 22 xyyyx . Hallar la solución que pasa por el punto )2,1( .

24. 03)2( 24 ydxxdyxy ; Cuando x = 2, y = 1.

25. 03)2( 233 ydyxxdxy ; Cuando x = 1, y = 1.

26. 04)6( 22 ydyxxdyx ; Cuando x = 1, y = 1.

27*. 03)2ln( 2234 ydyxxdyxxx 28. y

xxxy

xd

yd

2

cossen cot3 2

29*. )sen cos(cossen 2 3 xxxyxyyx

30*. xx

xyxyy

cossen

cossen 22

31*. )sen 1(coscos 2 xxyxyy

32. 2

2 1

2

2

2 x

x

ex

yyy

33*.

34*. 32 yyx

x

xd

yd

35*. 1

33

2

yx

x

xd

yd

36*. ydyxxdx )1sen (1

37. 0)3( 2 ydyxxdyx

38. 0)2(6 32 ydyxxxdy

Sugerencias:

1. Las ecuaciones (14), (15) y (16) son de variables separables.

2. Las ecuaciones (22), (25) y (26) son homogéneas.

3. Las ecuaciones (25) y (37) pueden hacerse exactas mediante la determinación de un

factor integrante.



4. Las ecuaciones (15) y (16) son ecuaciones de Ricatti que se pueden resolver con las

soluciones 21 y y 31 y respectivamente.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1.11.- ECUACIONES DE BERNOULLI.

1. Cxyx ln222 2. Cxyx 2

5

2

1

2

1

51

3. Cxyx 222

4. Cxyx 333

5. xCtdt

ex

y

t

2

21; también 0y 6. Cxyx ln1

7. Ceye xx 2

211

8. Cxeye xx )1(1

9. Ceexexexyexxxxx

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

481

2272

293

10. )( 222 Cxye x

11. Ceye xx 3

3224

12. Ceexye xxx 3

913

3133

13. 43 2

1

2

33

xyx

14. Ceye xx 33 2

3122

15. Ceye xx 22

211

16. Ceexye xxx 3

913

3113

17*.

xeC

y

x 11 2

18*. Cxyx 3

6111 )1()1(

19. xx )( , Cyxx 223

20*. 2)( xx , xCyxx 2ln

21*. )]1(ln1[1

11 2

212

21

2xxxxC

xy

22. 32 )( xxCy

23. )5( 22 xxy

24. )2(32 xyx

25. 45 532 xyx

26. )13(2 22 xxy

27*. 4)( xx , 233 )1(ln xCxxy

28. xx 3csc)( , Cxxy csccsc32

29*. xCxy

sen 1

2

30*. Cxxyx )2cot2(csclncsc 1

31*. Cxy

xx

sen

tansec

33*. 1

11

2

2

xx

xxxC

y

34. Ceyx y 2

)1( 22

35* 23 yeCx y

36*. Cyyex

e yy

)cossen (2

1

37. Cyyx 322 2 38. Cyxy 2

121

23

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