01 preliminares. ecuaciones de primer orden

MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: ECUACIONES

DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

PRELIMINARES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Preliminares.

Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática IV (Ecuaciones diferenciales)

para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática IV en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



1.1.- CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO, ORDEN Y LINEALIDAD.

Ecuación diferencial.

Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes

con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial.

Tipos de ecuaciones diferenciales.

Ecuación diferencial ordinaria.

Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con

respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación

diferencial ordinaria.

Ecuación diferencial parcial.

Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes con

respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial.

Orden de una ecuación diferencial.

El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación.

Grado de una ecuación diferencial.

El grado de una ecuación diferencial es la potencia más alta a la que está elevada la

derivada de mayor orden (siempre que la ecuación esté escrita en forma polinómica en

cuanto a las derivadas y a la variable dependiente).

Linealidad de una ecuación diferencial.

Se dice que la ecuación diferencial es lineal si tiene la forma

)()()()()( 011

1

1 xFyxaxd

ydxa

xd

ydxa

xd

ydxa

n

n

nn

n

n

Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:

a) la variable dependiente “y” junto con todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la

potencia de cada término en “y” y sus derivadas es 1; y

b) cada coeficiente depende sólo de la variable independiente “x”.

La ecuación diferencial de primer orden escrita en forma diferencial

0),(),( ydyxNxdyxM será lineal si se cumplen las tres propiedades:

a) la variable dependiente “y” es de primer grado, esto es, la potencia de cada término en

“y” es 1;

b) no existe el producto de “y” con su diferencial “d y”.



c) “y” no es el argumento de ningún tipo de función trigonométrica, logarítmica,

exponencial, hiperbólica, etc.

Una ecuación que no es lineal se dice no lineal.

Ejercicios propuestos.

En los ejercicios siguientes, diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no

lineales. Indique el orden de cada ecuación.

1. 03423 yyxyxyx IV 2. 2)(cos)(sen yxyx

3*. 4)sen ()sec( yxyx 4. xeyyy 354

5. xyyxyx cos54)1( 6. 02

4

3

3

y

xd

yd

xd

ydx

7*. 0)( 2 ydyxxdyx 8.

2

2

2

1

xd

yd

xd

yd

9*. 212 xyyy 10*. xyyyy tan54)1(

11*. xyyyy sec54)1( 12. yyxd

ydsen 9

2

2

13. 0)(2 xdexyxyydx x 14. yx

yd

xdsen 3

2

2

15*. yyyd

xdcos3

2

2

16. 0)1( 2 ydxxdy

17*. 0)23( ydyxxxdy 18*. 0)1( 2 ydyxdx

19. 0)3()2( ydyxxdyx 20. tstd

sd

td

sd3

3

2

22

3

3

21. 22

2

r

k

td

rd 22.

r

d

rd

23*.

2rd

rd



1.2.- SOLUCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS.

Solución de una ecuación diferencial.

Se dice que una función f cualquiera, definida en algún intervalo I, es solución de una

ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una

identidad.

Solución trivial.

A una solución de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en un intervalo I, se le

denomina a menudo solución trivial.

Solución general.

Una solución que contiene una o más constantes arbitrarias, se denomina solución general

de una ecuación diferencial dada.

Solución particular.

Una solución particular de una ecuación diferencial es toda solución obtenida asignando

valores específicos a las constantes que intervienen en la solución general (El valor de la

constante se obtiene a través de condiciones iniciales).

Solución singular.

Solución que no es posible obtener a partir de la solución general asignando valores a las

constantes arbitrarias.

Solución explícita.

Una solución explícita de una ecuación diferencial es una función de la forma )(xfy ó

)(yfx .

Solución implícita.

Se dice que una relación CyxF ),( (C es una constante arbitraria) define implícitamente

una ecuación diferencial en un intervalo I, si define una o más soluciones explícitas en I.

Ejemplo 1.1.

Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.

042 yyxy ; 4

12121 xxy

Solución.

A partir de la función dada, se determina y y y .

4

12121 xxy



3

312 xxy

22 xy

Al sustituir en la ecuación diferencial:

042 yyxy

0)1(4)2()2(2 4

12123

312

yyy

xxxxxx

044224 4

3124

3122 xxxxx

Al simplificar términos en el miembro izquierdo de la ecuación:

00

Puesto que la sustitución de y y sus derivadas en la ecuación diferencial conduce a una

igualdad, se dice que la función 4

12121 xxy es solución de la ecuación diferencial

042 yyxy . Esta ecuación se resuelve aplicando solución en series de potencias, y

se encuentra resuelta en el ejemplo 3.1 del capítulo 3.

Ejemplo 1.2.

Verificar si xCxdx

xxy

sen es solución de xyyx sen .

Solución.

A partir de la función dada, se determina y .

xCxdx

xxy

sen

Para derivar el miembro derecho de la ecuación, se recurre a la regla del producto y

adicionalmente para determinar xdx

x

xd

d sen se recurre a la regla de Leibniz, según la

cual )()( xfxdxfxd

d . De esta manera la derivada de y es

Cx

xxxd

x

xy

sen sen



Cxxdx

xy sen

sen


xyyx sen

xxCxdx

xxCxxd

x

xx

yy

sen sen

sen sen

xxCxdx

xxxCxxxd

x

xx sen

sen sen

sen


xxx sen sen

Puesto que la sustitución de y y su derivada en la ecuación diferencial no conduce a una

igualdad, se dice que la función xCxdx

xxy

sen no es solución de la ecuación

diferencial xyyx sen . Esta ecuación se resuelve aplicando ecuaciones diferenciales

lineales de primer orden y se encuentra resuelta en el ejemplo xxx del capítulo 1.

Ejemplo 1.3.

Verificar si )2(cos xy es solución de xxyyy cossen 44 .

Solución.


)2(cos xy

)2(sen 2 xy

)2( cos 4 xy


xxxxx

yyy

cossen 4)2(cos4])(2sen 2[)2(cos4

xxxxx cossen 4)2(cos4)(2sen2)2(cos4


xxx cossen 4)(2sen2



En apariencia, la expresión anterior no es una igualdad, sin embargo, cuando se aplica la

identidad trigonométrica xxx cossen2)(2sen en el lado izquierdo de la misma, se

obtiene:

xxxx cossen 4)cossen2(2 , con lo cual

xxxx cossen 4cossen4

Puesto que la sustitución de y y su derivada en la ecuación diferencial conduce a una

igualdad, se dice que la función )2(cos xy es solución de la ecuación diferencial

xxyyy cossen 44 . Esta ecuación se resuelve aplicando ecuaciones diferenciales

lineales de orden superior y se encuentra resuelta en el ejemplo xxx del capítulo 2.

Ejemplo 1.4.

Demuestre que las funciones xxy )(1 y 1)( 2

2 xxy son ambas soluciones de la

ecuación 0)1( 2 yyxyx .

Solución.

Verificación de la primera solución.


xxy )(1

1y

0y


0)1( 2 yyxyx

0)1()0()1( 2 xxx

0 xx


00


igualdad, se dice que la función xxy )(1 es solución de la ecuación diferencial

0)1( 2 yyxyx .



Verificación de la segunda solución.


1)( 2

2 xxy

21

)1()( 2

2 xxy

21

)1( 2 xxy

23

21

)1()1( 222 xxxy


0)1( 2 yyxyx

0])1[(])1([])1()1[()1( 2

1

2

1

2

3

2

1222222

yyy

xxxxxxxx

0)1()1()1()1( 21

21

21

21

222222

xxxxxx


00


igualdad, se dice que la función 1)( 2

2 xxy es solución de la ecuación diferencial

0)1( 2 yyxyx .

La ecuación diferencial propuesta en este ejemplo se resuelve aplicando solución en series

de potencias, y se encuentra resuelta en el ejemplo xxx del capítulo 3. Adicionalmente se

hace mención a ésta ecuación diferencial en el ejemplo xxx del capítulo 2.

Ejercicios propuestos.

Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde

sea apropiado, 1C y 2C son constantes.

1. 324 yy ; 8y 2. 02 yy ; x

ey 2

1

3. xeyxd

yd 32 ; xx eey 23 10 4. xyy sen ; xexxy 10cossen

2

1

2

1



5. xyyx cos ; x

xy

sen

6. yyyx lntan' ;

xey arcsen

7. x

y

xd

yd ; 2

1 )( Cxy , 0x 8. 0136 yyy ; xey x 2cos3

9*. 044 yyy , xx

exCeCy 2

1

2

1

21

10*. 096 yyy , xexCCCy 2

321 )(

11. 042 yyxy ; 4

12121 xxy .

12. 02)1(3)3(2 yyxyxx ; 2

91

321 xxy .

13. Compruebe que una familia uniparamétrica de soluciones de 2)(yyxy es

2CxCy . Determine el valor de k tal que 2xky sea una solución singular de la

ecuación diferencial dada.

14*. Si 02

1

yxy , demostrar que

22

4

C

xy es solución general y explique por qué

0y es solución singular.

15*. Si 12 yxy . Demostrar que 22

41 )(1 Cxy es solución general y verifique

si tiene soluciones singulares.

16*. Verificar si la función 21 xxy es solución de la ecuación diferencial

32 xxyy

17*. Verificar si

Cxd

x

exy

x

es solución de 0 xexyyx .

18. Verificar si

x

x

txx td

t

eexey

0

42

412

41 ln es solución de

x

eyy

x2

4 .

19. Muestre que una solución de yxy 21 sujeta a 0)1( y es

xtx tdeey

1

22

.

20*. Demuestre que Cxdexxeyyxfxx

4

4

34

4

3 sensencossen 2),( es solución de la

ecuación diferencial 0sec)sen32(sen 2 ydxxdxyx



21. Muestre que la ecuación de primer orden 0)()( 222 yxyyxyyx es

equivalente a dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Muestre que xCy y

Cyx 22, donde C es cualquier constante, son soluciones de la ecuación. Sugerencia:

La ecuación dada es una ecuación de segundo grado en y .

22. Muestre que 0y , CxCy 22 y x

y1

son soluciones de

2

11

x

yxy .

Encuentre valores de m tales que xmey sea una solución de cada ecuación diferencial.

23. 02 yy 24. 02 yy 25. 0 yy

26. 06 yyy 27. 065 yyy 28. 043 yyy

29. 02510 yyy 30. 023 yyy 31. 06116 yyyy

Encuentre valores de m tales que mxy sea una solución de cada ecuación diferencial.

32. 02 yyx 33. 0462 yyxyx 34. 0242 yyxyx

35. 0442 yyxyx

1.3.- SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Muestre que cada ecuación diferencial tiene por solución la correspondiente relación.

Obtenga las soluciones particulares que satisfagan las condiciones dadas.

1. 0tan xyy , xAy cos , 4)( y

2. xyy 4 , xeCeCy xx 421 , 2)0( y , 0)0( y

3. 0y , 2

321 xCxCCy , 1)0( y , 2)1( y , 9)2( y

4. xy

xyy

, Cyxyx 222

, 3)2( y

5. 02)( 2 yyxyyyx , BxAyx 2, 1)3( y , 2)3( y

1.4.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS.

Obtenga la ecuación diferencial de la familia dada de curvas.

Familia uniparamétrica.

1. xeCy 1 2.

xx eCey 1 3. 21 xCy



4. xeCxy 2

1

23 5. xCxy sen 1 6. 321 xyC

7. )1(1

2 xCy 8. xyC 2

1 )1( 9. 12

1

2 yCx

10. xCxy 1ln

Familia biparamétrica.

11. xeCCy 21 12.

xx eCeCy 4

2

3

1

13*. xx eCeCy 2

2

1 14. xxCxCy 4cos4sen 21



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1.1.- CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO, ORDEN Y LINEALIDAD.

1. Lineal. Orden 4. 2. Lineal. Orden 3.

3*. Lineal. Orden 3. 4. Lineal. Orden 2.

5. Lineal. Orden 2. 6. No lineal. Orden 3.

7*. No lineal. Orden 1. 8. No lineal. Orden 2.

9*. No lineal. Orden 1. 10*. No lineal. Orden 2.

11*. No lineal. Orden 2. 12. No lineal. Orden 2.

13. Lineal. Orden 1. 14. Lineal en x . Orden 2.

15*. Lineal en x. Orden 2. 16. Lineal en x . Orden 1

17*. Lineal en x. Orden 1. 18*. No lineal. Orden 1.

19. No lineal. Orden 1. 20. No lineal. Orden 3.

21. No lineal. Orden 2. 22. No lineal. Orden 1.

23*. Lineal en r. Orden 1.

1.2.- SOLUCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS.

1. Es solución. 2. Es solución.




9*. Es solución. 10*. No es solución.

13. 41k

23. 2m 24. 2m 25. 1m , 1m 26. 2m , 3m 27. 2m , 3m 28. 1m , 4m 29. 5m 30. 0m , 1m , 2m

31. 1m , 2m , 3m 32.2

51m

33. 1m , 4m 34. 1m , 2m 35. 1m , 4m

1.3.- SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

1. xy cos4 2. xeey xx 43

3. 2321 xxy 4. 17222 yxyx 5. 36132 xyx .

1.4.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS.

Familia uniparamétrica.

1. 0 yy

2. xeyy 2 3. 2 yyx 4. 2662 xxyy 5. xxyxy cot1)(cot 6. 02)23( yyx



7. yyx )1(2 8. 12 yyx 9. yxyx )1( 2

10. 0)ln1()ln( xyyxx Familia biparamétrica.

11. 0 yy 12. 012 yyy

13. xyy 1616 14*) 02 yyy

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