TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICOInstituto Tecnolgico de Lzaro Crdenas

ECUACIONES DIFERENCIALES

INVESTIGACION IIECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

NOMBRE DEL ALUMNO:APELLIDO PATERNOAPELLIDO MATERNONOMBRE

VALENCIA

SNCHEZ JUAN CARLOS

CARRERA: ING ELECTRONICAGRUPO: 41SSALON: M2SEMESTRE: ENERO-JUNIO 2015

FECHA DE ENTREGA: LUNES 23 DE FEBRERO DEL 2015

INDICE2.1 TEORIA PREELIMINAR.. PAG. 12.2 SOLUCION DE E.D.L HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES.PAG. 182.3 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS..PAG. 212.4 APLICACIONESPAG 25

2.1 TEORIA PREELIMINAR2.1.1 Definicin de E.D. de orden n.

Definicin de la ecuacin diferencial de orden n Los nombres de la ecuacin diferencial se colocan de forma muy significativa. Como su nombre lo indica, una ecuacin diferencial de primer orden es aquella que consiste en un diferencial de primer orden, esto es, y o (dy/dx). Del mismo modo, una ecuacin diferencial de segundo orden consiste en un diferencial de segundo orden. Un concepto similar se puede extender para definir la ecuacin diferencial de orden n. Esto es, una ecuacin diferencial de orden n es aquella que consiste en un diferencial de orden ensimo. Un diferencial de orden ensimo es del tipo y(n) o (dny/ dxn).Una ecuacin diferencial general de orden ensimo puede representarse como,

Muchos de los problemas matemticos en el campo de la fsica, ingeniera, etc. pueden ser modelados con la ayuda de la ecuacin diferencial de ensimo orden. Por ejemplo, sea un sistema de resortes y masa m. La constante elstica del resorte sea k. entonces el sistema mecnico que representa este sistema para la fuerza de restauradora del resorte es,

En la ecuacin anterior, g(t) representa las fuerzas externas y, la fuerza de amortiguacin es directamente proporcional a la velocidad del sistema. Sea la posicin inicial x(t0) en el tiempo t0. Entonces, la velocidad inicial puede ser determinarse, esto es, x(t0). Por lo tanto, al resolver el diferencial de segundo orden, obtenemos el problema de valor inicial,

El orden de la ecuacin diferencial de ensimo orden es n. Esto es, el orden de la ecuacin diferencial es igual al orden del mayor diferencial que aparece en la ecuacin diferencial dada. Como se mencion anteriormente, el concepto de una ecuacin diferencial de orden n es una extensin de la ecuacin diferencial de primer o segundo orden. Esto implica que es posible implementarlos resultados formulados para la ecuacin diferencial de primer y segundo orden se pueden tambin fcilmente para la ecuacin diferencial de ensimo orden. Algunos de estos resultados se discuten a continuacin:

1. Si en la ecuacin de mayor diferencial de la funcin conocida, esto es, Q(x) y los coeficientes de la funcin desconocida, es decir, f0(x), f1(x), f2(x) fn-1(x) son definidos para alguna variable x en algn par de intervalos cerrados de forma continua, es decir, ninguna de la funciones resulta cero en cualquier punto dentro del intervalo dado, entonces por cada punto en ese intervalo y para todas las constantes c0, c1, c2 cn-1 tenemos una funcin nica que puede satisfacer los pre-requisitos iniciales dados como:

2. La transformacin lineal de la ecuacin diferencial de orden ensimo puede representarse como:

Extendiendo el resultado anterior, si tenemos y1, y2, y3 , yn como las soluciones a la ecuacin L(y) = 0, entonces puede existir ms de una solucin a esa ecuacin, la cual puede representarse como,

La transformacin lineal de una ecuacin diferencial de orden ensimo tiene n soluciones linealmente independientes. 3. El Wronskiano de las funciones diferenciables puede ser dado por:

4. La solucin general de una ecuacin diferencial de orden n se puede dar como,

Aqu yc es la solucin general de la ecuacin y yp es la solucin particular de la ecuacin.

2.1.2 Problemas de Valor Inicial.

Un problema de valor inicial puede ser considerado como una ecuacin diferencial que est sujeta a algunos pre-requisitos iniciales o condiciones iniciales que ayudan en la determinacin de una solucin particular para la ecuacin diferencial dada. Las condiciones iniciales son expresadas en trminos de la funcin indefinida dada en la ecuacin diferencial.

Matemticamente, un problema de valor inicial es una ecuacin diferencial ordinaria como:

Teniendo en cuenta que:

En la ecuacin anterior, es un intervalo abierto, el cual tiene un punto dentro del dominio de la ecuacin diferencial dada. Por tanto, el pre-requisito inicial puede ser dado como:

La solucin del problema de valor inicial es tambin la solucin de la ecuacin diferencial junto con la cual est dada. Adems, la solucin debera satisfacer la condicin:

El concepto de problemas de valor inicial puede ampliarse fcilmente para las ecuaciones diferenciales de ensimo orden. Para las ecuaciones diferenciales de ensimo orden, tenemos una ecuacin diferencial de ensimo orden y junto con estas son establecidos pre-requisitos n inicial. Entre estos pre-requisitos n iniciales, uno es dado para la funcin indefinida misma, la cual es dada en la ecuacin diferencial y el resto de las condiciones(n - 1) son establecidas para los diferenciales de la funcin indefinida hasta (n - 1) orden. Tambin es esencial que el diferencial ensimo de la funcin indefinida no sea igual a cero en la ecuacin diferencial dada. Un problema de valor inicial para una ecuacin diferencial de orden superior puede ser dada como:

Dadas las condiciones iniciales tenemos que:

Un punto digno de mencin es que todos los pre-requisitos iniciales son establecidos con respecto a un punto, este es a, sin el cual no es posible resolver el problema de valor inicial. Tambin es irrelevante si la ecuacin diferencial es una ecuacin diferencial homognea de orden superior o una ecuacin diferencial no homognea de orden superior, todava es posible establecer un problema de valor inicial. Un problema de valor inicial tambin puede ser modificado de manera talque se convierta en un problema de valor de contorno. En un problema de contorno se nos dan n condiciones de una ecuacin diferencial de orden ensima de manera talque cada una de las condiciones nos dan el valor de la funcin indefinida en n puntos diferentes para el intervalo par cerrado I, para el cual la ecuacin diferencial dada est definida. Con la ayuda de estas condiciones n iniciales tenemos que obtener el valor de la funcin en algn punto (n + 1)ensimo que tambin se encuentra dentro de ese intervalo par cerrado. Tal problema puede ser descrito como: Ejemplo.y+ y = 0, dadas las condiciones iniciales que, y(0) = 2 y(0) = 3 El primer paso para resolver el problema planteado es la construccin de una ecuacin auxiliar que pueda ser sustituida por la ecuacin diferencial dada, por lo tanto, la ecuacin auxiliar para el problema anterior dado puede ser, r2 + 1 = 0 o, r2 = 1 Al resolver la ecuacin anterior obtenemos las races de la ecuacin como, i. Por lo tanto, el valor de = 0 y el valor de = 1. Esto nos da la solucin de la ecuacin diferencial, y(x) = c1cos(x) + c2sin(x) Esto nos da, y(x) = -c1 sin(x) + c2cos(x) Usando las condiciones iniciales tenemos que el valor de c1 = 2 y el valor de c2 = 3. Por lo tanto, la solucin es, y(x) = 2cos(x) + c3sin(x)

2.1.3Teorema de existencia y unicidad de una solucin nica Sea una ecuacin diferencial de ensimo orden definida como,

Y esta satisface el pre-requisito inicial establecido como,

Ahora, imagina que la funcin que define la ecuacin diferencial de ensimo orden, es decir, f, es una funcin continua, cuyos argumentos, x, y, y, y yn-1se encuentran en una regin R tal que tenemos ecuaciones definiendo la regin R como,

| x x0 | k0 | y a0 | k1 | y a1 | k2 | y a2 | k3 | yn-1 an-1 | kn Tambin asume que la funcin f satisface una condicin Lipschtiz establecida como,

| f(x, y1, y1, y1 y1n-1) - f(x, y2, y2, y2 y2n-1) | N(| y1 y2 | + | y1 y2 | + | y1 y2 | + + | y1n-1 y2n-1 |)

En la condicin anteriormente expuesta, los puntos(x, y1, y1, y1 y1n-1) y (x, y2, y2, y2 y2n-1) son dos puntos que se encuentran en la misma regin dada R.

Si las condiciones anteriores se cumplen, entonces podemos concluir que debe existir un intervalo I, de modo tal que tenemos una funcin continua nica en dicho intervalo, sea y(x), cuyo diferencial continuo de orden ensimo satisface cada uno de los pre-requisitos iniciales establecidos arriba.

La prueba del teorema anterior se da a continuacin.

Comenzamos con la premisa de que una funcin y(x) es la solucin de la ecuacin diferencial dada. Ahora definimos algunas funciones, sea y 1(x), y2(x), y3(x) yn(x) usando las relaciones siguientes, y(x) = y1(x) y(x) = y1(x) = y2(x) y(x) = y1(x) = y2(x) = y3(x) y(x) = y1(x) = y2(x) = y3(x) = y4(x) yn-1(x) = y2n-1(x) = y2n-2(x) = y3n-3(x) = = yn-1(x) = yn(x) (i) Ahora, diferencia la ltima ecuacin a partir del conjunto de ecuaciones que figuran arriba. Tenemos que, yn(x) = y1n(x) = y2n-1(x) = y3n-2(x) = = yn-1(x) = yn(x) Mediante el uso de la ecuacin de diferenciales anterior podemos reescribir la ecuacin de la funcin como, yn(x) = f(x, y, y, y yn-1) Ahora bien, si calculamos la dos ecuaciones anteriores, podemos concluir que el sistema de funciones y, y, y yn-1 satisface el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, lo que se puede escribir como, y1(x) = y2(x) y2(x) = y3(x) y3(x) = y4(x) yn-1(x) = yn(x) (ii) Esto nos da, yn(x) = f(x, y, y, y yn-1) Sin embargo, mediante el uso de las condiciones antes mencionadas (i), podemos decir quey1(x0) = y(x0), y2(x0) = y(x0), y3(x0) = y(x0) yn(x0) = yn-1(x0).Por lo tanto, los pre-requisitos iniciales pueden ser sustituidos por las nuevas condiciones establecidas como, y1(x0) = a0 y2(x0) = a1 y3(x0) = a2 yn(x0) = an-1 Por consiguiente, se ha demostrado que el teorema de existencia y unicidad tambin es vlido para una ecuacin diferencial de orden ensimo. Inversamente, tambin podemos probar lo mismo mediante empezar por las condiciones iniciales y el sistema (ii), y definiendo y continuando la relacin y(x) = y1(x).

2.1.4 Ecuaciones Diferenciales lineales homogneasUna ecuacin diferencial ordinaria lineal y homognea es una ecuacin diferencial lineal que puede ser expresada como un conjunto de sumandos cada uno de los cuales es lineal en la incgnita o una de sus derivadas. El caso ms sencillo se da para una funcin escalar de una nica variable, si una ecuacin diferencial para dicha funcin es homognea entonces admitir una representacin de la forma:

Ntese que el hecho bsico es que en ninguno de los miembros aparezca un trmino que sea simplemente una funcin de la incgnitaSi una ecuacin lineal diferencial es homognea entonces el conjunto de soluciones formar un espacio vectorial de dimensin n (siendo n el orden de la ecuacin diferencial). En particular una ecuacin diferencial lineal y homognea del tipo de la ecuacin anterior admitir soluciones de la forma:

2.1.4.1Principio de superposicin.Sean y1,y2,y3, yn-1,yn soluciones de una ecuacin diferencial homognea de orden n, entonces la combinacin lineal de estas esY= C1y1 + C2y2 + C3y3 + +Cn-1yn-1+Cnyn

2.1.5 Dependencia e indepencia lineal Wronskiano.Dado un conjunto de n funciones que son (n-1)-veces derivables, f1, ..., fn, el Wronskiano W(f1, ..., fn) est dado por:

El Wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer rengln (o fila), la primera derivada de cada funcin en el segundo rengln, y as hasta la derivada n-1, formando as una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.El Wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado: si el wronskiano es distinto de cero en algn punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.Esto es til en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuacin diferencial de segundo orden son independientes, quizs podamos usar el wronskiano. Ntese que si el wronskiano es cero uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente independientes. si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, esto implica obligatoriamente que el wronskiano correspondiente es uniformemente cero en el intervalo, pero lo segundo no implica lo primero.Una malinterpretacin comn (desafortunadamente promulgada en muchos textos) es que si en cualquier lugar, implica una dependencia lineal - lo que es incorrecto. Sin embargo s ... son funciones analticas y en todas partes, entonces ... son linealmente dependientes.

Ejemplos.Considrese las funciones y definidas para un nmero real x. Obtngase el wronskiano:

Se ve que no son cero uniformes, as que estas funciones deben ser linealmente independientes.Considrese las funciones , , y . Estas funciones son claramente dependientes, ya que . As, el wronskiano debe ser cero, siguiendo un pequeo clculo:

2.1.6 Solucin general delas ecuaciones diferenciales lineales homogneas.Un formato general para denotar una ecuacin diferencial como una ecuacin diferencial homognea es el que se indica a continuacin:

El nombre se mantiene as porque si colocamos los trminos que contienen la funcin indefinida y los diferenciales de la funcin indefinida en un lado de la ecuacin diferencial, entonces el otro lado de la ecuacin es igual a cero. Esto puede verse claramente en la ecuacin dada ms arriba. Por este motivo, se le conoce como homognea.

Ejemplo.

Solucin:La ecuacin auxiliar es: Factorizando se tiene

Las races son

Entonces la solucin general es

2.1.6.1 Reduccin del orden de una ecuacin diferencial lineal de segundo orden a primer ordenResolver una ecuacin diferencial de orden ensimo puede ser, en ocasiones, un poco engaoso. En consecuencia, sera mucho mejor si tuviramos una ecuacin diferencial lineal de primer orden o un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de primer orden para sustituir la ecuacin diferencial de orden ensimo. Esto se puede hacer con la ayuda del mtodo de reduccin. Existen tres tipos especficos de ecuaciones diferenciales de segundo orden que pueden ser reducidas a ecuaciones de primer orden: 1.-Ecuacin diferencial de segundo orden que no posea variable dependiente: Una ecuacin diferencial de segundo orden cuya variable dependiente no existe es de la forma:

En las ecuaciones de este tipo, la variable dependiente no aparece de forma explcita en cualquier lugar de la ecuacin. Las ecuaciones de este tipo pueden ser transformadas en una ecuacin diferencial de primer orden, haciendo sustituciones como:

Esto implica que:

2. Ecuacin diferencial no lineal de segundo orden que contiene las variables independientes: Una ecuacin diferencial no lineal de segundo orden que contiene las variables independientes es de la forma,

En las ecuaciones de este tipo, la variable no aparece de forma explcita en cualquier lugar de la ecuacin. Las ecuaciones de este tipo pueden ser transformadas en una ecuacin diferencial de primer orden, mediante primero sustituir,

Y el segundo diferencial no se sustituye directamente, como en la ecuacin diferencial de segundo orden de tipo 1 descrita anteriormente. En cambio, el segundo diferencial de la variable dependiente se describe en trminos del primer diferencial de la variable dependiente. Esto puede hacerse mediante el uso de la regla de la cadena como se muestra a continuacin,

Esto nos da el valor del segundo diferencial de la variable como,

Realizar las sustituciones de la forma descrita transformara la ecuacin diferencial de entrada en una ecuacin diferencial de primer orden para la variable w. Despus de la determinacin de la ecuacin definida por w, debes integrarla para obtener el valor de y. 3. Ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden cuya nica solucin es conocida: Sea la ecuacin de entrada diferencial lineal homognea de segundo orden cuya nica solucin es conocida denotada por,

Es posible determinar la otra solucin con la ayuda del mtodo de identidad de Abel para las ecuaciones diferenciales. La segunda solucin se obtiene como,

2.2 SOLUCION DE E.D.L HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES.

Solucin de ecuaciones diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes Una ecuacin diferencial lineal homognea es de la forma:

En general, estas ecuaciones donde los mismos trminos coeficientes son las funciones definidas para alguna variable, sea x, y que estn libres de cualquier tipo de restricciones impuestas sobre ellas, carecen de una solucin que puede ser expresada en trminos de las funciones generales. Y en el caso de la funcin dada, esta es una excepcin a la regla anterior, entonces es muy difcil reducirla a esa forma.La dificultad anterior puede superarse cuando los trminos coeficientes son constantes. Por lo tanto, la mayora de las ecuaciones diferenciales lineales homogneas son de la forma:

La ecuacin anterior es una ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes constantes de orden ensimo. En esta ecuacin, a1, a2, a3 an son las constantes y el valor de anno debera ser igual a cero. Los siguientes son los pasos para resolver una ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes constantes de orden ensimo. Para la ecuacin diferencial, encuentra la ecuacin caracterstica correcta. Por ejemplo, para la ecuacin diferencial anterior dada, la ecuacin caracterstica puede darse como:

Ahora determina las races de la ecuacin caracterstica arriba. Las races de esta ecuacin pueden ser de dos tipos simples y mltiples. Y a partir de estas n races, los resultados independientes de la ecuacin diferencial pueden determinarse.

2. Caso de la raz simple: Sea r un nmero real, entonces el resultado de la ecuacin diferencial ser erx. Y si r es un nmero complejo de la forma , entonces tenemos una raz para la ecuacin como . Esto es porque los coeficientes de la ecuacin caracterstica son nmeros reales. Esto nos da dos soluciones para la ecuacin caracterstica dada como, cos ( x) y sin ( x). 3. Caso de las races mltiples: Asumamos que r es la raz de la ecuacin caracterstica dada cuya multiplicidad viene a ser m. Ahora, sea r un nmero real, entonces los resultados m independientes de la ecuacin diferencial son dados como:

Y en el caso que r sea un nmero complejo de la forma , entonces tenemos una raz de la ecuacin . La multiplicidad de ambas races ser igual que m. Por lo tanto, tenemos 2 resultados m independientes de la ecuacin caracterstica dada como, cos ( x), x cos ( x) xs-1 cos ( x)sin ( x), x sin ( x) xs-1 sin ( x)Ahora, con la ayuda de las propiedades generales de las ecuaciones polinmicas las soluciones independientes de la ecuacin diferencial pueden ser determinadas. La ecuacin para la determinacin de la solucin se da de la forma:

2.2.1 Solucin De Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogneas De Coeficientes Constantes. Una ecuacin diferencial de segundo orden es de la forma

Si Se llama Ecuacin homognea, como por ejemplo

Si Se llama Ecuacin no homognea, como por ejemplo

Ejemplo1) Las funciones; para ser linealmente independientes debe cumplir

Remplazando los valores de las funciones se obtiene

Como los nicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es entonces las funciones; son linealmente independientes.

2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS.Una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y trmino F(x) variable es de la forma

La solucin general es una combinacin lineal de dos tipos de soluciones, una solucin complementaria y una solucin particular

La solucin complementaria satisface la ecuacin homognea

Esta ecuacin se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuacin homognea de coeficientes constantesLa solucin particular satisface la ecuacin no homognea

Esta ecuacin se la puede determinar empleando el llamado mtodo de los coeficientes indeterminados.En estas condiciones, de acuerdo a la forma de la solucin particular tiene los siguientes casos1) Si entonces,

Ejemplos:Si entonces,

Si entonces,

Si , entonces,

Ejemplo.Hallar la solucin general de Solucin:La solucin general es de la forma a) Resolviendo La solucin complementaria debe satisfacer la ecuacin homognea, es decir,

La ecuacin auxiliar es Resolviendo la ecuacin auxiliar

Remplazando en

b) Resolviendo Como entonces La solucin particular debe satisfacer la ecuacin no homognea, es decir,

Calculando la primera y segunda derivada para

Remplazando en

Eliminando parntesis

Agrupando

Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces

Resolviendo el sistema. Despejando de la primera ecuacin

Remplazando el valor de A en la segunda ecuacin

Remplazando valores en la tercera ecuacin

Por lo tanto al remplazar en se tiene

Finalmente la solucin general es

2.3.2 Mtodo de variacin de parmetrosMatemticas, la variacin de los parmetros, tambin conocida como la variacin de las constantes, es un mtodo general para resolver las ecuaciones lineales diferenciales no homognea. Fue desarrollado por Joseph Louis LaGrange. Por orden primero las ecuaciones lineales diferenciales no homognea por lo general es posible encontrar soluciones a travs de la integracin de los factores o coeficientes indeterminados con menos esfuerzo considerable, aunque los mtodos heursticos de apalancamiento que implican adivinar no funcionan para todas las ecuaciones diferenciales lineales inhomogneas. La variacin de los parmetros se extiende a las lineales ecuaciones en derivadas parciales y, en concreto a los problemas no homogneos de ecuaciones de evolucin lineal como la ecuacin del calor, ecuacin de onda, y la placa vibratoria ecuacin. En este contexto, el mtodo es ms a menudo se conoce como principio de Duhamel, el nombre de Jean-Marie Duhamel el primero que aplic el mtodo para resolver la ecuacin del calor no homognea. A veces la variacin de los parmetros de s mismo se llama el principio de Duhamel y viceversa.

2.4 APLICACIONES.Problemas elctricos: Muchos de los circuitos elctricos pueden ser reducidos para solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales. Sea un circuito elctrico dado como,

Ahora, mediante la aplicacin de Kirchhoff se tiene la ecuacin del flujo de corriente en un nodo como,

Esta ecuacin puede ser reducida como,

De manera similar, la ecuacin del flujo de corriente del nodo dos se da como,

Ahora, aplicando la ley de Kirchhoff a la parte izquierda del circuito dado. Por lo tanto tenemos,

Del mismo modo, mediante la aplicacin de la ley de Kirchhoff a la parte derecha del circuito dado obtenemos,

Ahora, diferencia las dos ltimas ecuaciones para obtener el sistema de ecuaciones como,

Las ecuaciones anteriores pueden ser resueltas para las variables i1, i2y el valor de la variable i puede determinarse con la ayuda de estas dos variables. Un punto importante a mencionar es que pueden existir ms que ecuaciones para el ejemplo anterior. Por ejemplo, una de las ecuaciones puede ser,