ECUACIONES DIFERENCIALES 1a parte

1

IntroduccinUna gran cantidad de problemas del mundo real se escriben en lenguaje matemtico; para aquellos que son estticos basta plantear relaciones que se resuelven mediante las herramientas que entrega el lgebra. Sin embargo, los fenmenos naturales ms interesantes involucran cambios y se describen por medio de ecuaciones que relacionan las cantidades que cambian. Como la derivada y ' = dx de la funcin y = y(x) es la razn a la cual y esta cambiando con respecto a la variable independiente x, es natural describir esos fenmenos mediante ecuaciones que incluyen derivadas. Una ecuacin que relaciona una funcin y una o ms de sus derivadas se llama ecuacin diferencial.dy

2

Algunos ejemplos (1) Crecimiento y decrecimiento naturales. La ecuacin diferencialdy dt

=ky

expresa que la tasa de crecimiento / decrecimiento, con respecto al tiempo, es proporcional a su tamao actual. Esta ecuacin modela ciertos fenmenos como, por ejemplo, crecimiento demogrfico, desintegracin radiactiva, eliminacin de un medicamento presente en la sangre. (2) La capitalizacin continua de inters queda modelada mediantedS dt

= rS

, donde S(t) es la cantidad de dinero acumulada al cabo de t meses y r es la tasa de inters mensual, compuesto continuamente.

3

(3) La Ley de enfriamiento de Newton asegura que la rapidez con que se enfra un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura T(t) y la del medio que le rodea A (temperatura ambiente):dT dt

= k ( T A )

(4) La Ley de Torricelli (hidrodinmica) indica que la tasa de cambio, con respecto al tiempo, del volumen V(t) del agua en un tanque que se vaca, es proporcional a la raz cuadrada de la profundidad g del agua en el tanque:dV dt

= k g

4

(5)

Diseminacin de una enfermedad: Cuando se analiza la diseminacin de una enfermedad contagiosa, se supone que la tasa con que se difunde no slo es proporcional a la cantidad de personas, x(t), que la han contrado en el momento t, sino tambin a la cantidad de sujetos, y(t), que no se han contagiado. Si la tasa es dx/dt, entonces,dx dt

=kxy

En el desarrollo de este curso mostraremos en detalle otros problemas que involucran ecuaciones diferenciales: Problemas de mezclas Problemas de trayectorias Problemas de vibraciones y pulsaciones Problemas de circuitos elctricos

5

Definiciones bsicasYa expresamos que una ecuacin que relaciona una funcin y una o ms de sus derivadas se llama ecuacin diferencial. Ejemplos de tales ecuaciones son las siguientes:dy + 4y = ex, dx d2 y dx2

dy + 5 y = 0, dx

y ' ' y ' = senx

El orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada de mayor orden en la ecuacin. Por ejemplo,dy = ky , dx

3 y ' y = e 2 xd2 y dx 2

son de primer orden.dy = xy dx

xy ' ' y '+ 2 y = 0,2

x

son de segundo orden.

dy + y 2 = x + 1 es una ecuacin diferencial de primer orden. dt 6

En general, una ecuacin diferencial de orden n con variable independiente x y funcin desconocida o variable dependiente y = y(x) se representa por F(x, y, y, y, ., y(n)) = 0 (*) La funcin u = u(x) es una solucin de la ecuacin diferencial (*) en un intervalo I si las derivadas u, u, ...., u(n) existen en I y F(x, u, u, u, .., u(n)) = 0, para todo x en I. En estas condiciones se dice tambin que u = u(x) satisface la ecuacion diferencial (*).

Ejercicio: En cada caso, determine si la funcin dada essolucin de la ecuacin diferencial.

a) b) c) d)

y = e cos x , y=x x, y' = 2

x

d2 y dx2

2

dy dx

+ 2y = 0

y x 2 y ' ' xy ' + 2 y = 0 y' ' + (y' ) 2 = 07

y = x cos(ln x), x > 0, y = ln x + C 1 + C 2 ,

Soluciones implcitasLa relacin x2 + y2 4 = 0 es una solucin implcita de la dy ecuacin diferencial = x en ] 2, 2 [ . En efecto, derivando implcitamente la relacin obtenemosdx y

2x + 2y

dy =0 dx

dy =x dx y

Note que toda relacin de la forma x2 + y2 C = 0 satisface formalmente la ecuacin diferencial. Sin embargo, debemos entender que la relacin debe tener sentido en ; por ejemplo, no podemos decir que x2 + y2 + 4 = 0 es una solucin implcita de la ecuacin diferencial.8

Solucin general Soluciones particularesAl resolver una ecuacin diferencial de primer orden F(x, y, y) = 0, por lo general, obtenemos una solucin con una constante arbitraria. Por ejemplo, y = C cos5x es una familia monoparamtrica de soluciones de la ecuacin diferencial y+ 25y = 0. Al resolver una ecuacin diferencial de orden n se busca una familia n paramtrica de soluciones. En consecuencia, una ecuacin diferencial puede tener una infinidad de soluciones que corresponden a la eleccin ilimitada de la o las constantes o parmetros. Una solucin que no tiene constante arbitraria constituye una solucin particular de la ecuacin diferencial. Por ejemplo, y = 2cos5x es una solucin particular de y + 25y = 0.9

La funcin y = 3 e es una solucin particular de y = 2xy; las x 2 forman una familia monoparamtrica de funciones y = Ce soluciones de y = 2xy. y = C1ex + C2e-x es una familia biparamtrica de

x2

soluciones de y - y = 0. Soluciones particulares de esta ecuacin son y = 0, y = ex, y = e-x, y = 2ex 7e-x. En algunos casos, una ecuacin diferencial tiene una solucin que no se puede obtener dando valores a la o las constantes que aparecen en una familia de soluciones. Esa solucin se llama solucin singular. Por ejemplo, y = ( x + C)2 son soluciones de 4 y = x y , pero y = 0 no es elemento de esta coleccin; y = 0 es una solucin singular de la ecuacin diferencial.2

10

Si toda solucin de una ecuacin diferencial de orden n se puede obtener a partir de una familia n-paramtrica dando valores adecuados a las constantes (o parmetros), entonces se dice que esa familia es la solucin general de la ecuacin.

Problema con condicin inicialA menudo interesa resolver una ecuacin diferencial sujeta a condiciones que se imponen a la funcin y = y(x) o a sus derivadas. Por ejemplo, (1) Resolver y = f(x, y) sujeta a y(xo) = yo (2) Resolver y = f(x, y, y) sujeta a y(xo) = yo, y(xo) = y1 (1) y (2) constituyen problemas con condicin inicial de primero y segundo orden respectivamente.

11

Campos direccionales y curvas solucinEs conveniente interpretar en forma geomtrica el posible comportamiento de las soluciones de una ecuacin diferencialdy = f ( x, y) dx

En puntos (x, y) del plano rectangular, el valor f(x, y) determina una pendiente m = y(x) = f(x, y). Una solucin de la ecuacin diferencial es una funcin diferenciable cuyo grfico (curva solucin) tiene pendiente y(x) en cada punto (x, y) por la que el grfico pase. En consecuencia, una curva solucin de una ecuacin diferencial es una curva en el plano XY cuya recta tangente en cada punto (x, y) tiene pendiente m = f(x, y). Este hecho nos permite construir soluciones aproximadas de la ecuacin diferencial : escogemos una coleccin de puntos (x, y) y por cada uno de ellos dibujamos un pequeo segmento de recta que tenga pendiente m = f(x, y).12

El conjunto de todos estos segmentos se llama campo de direcciones o campo direccional o campo de pendientes para la ecuacindy = f ( x, y) . dx

As, podemos intentar dibujar una curva solucin trazando su camino a travs del campo direccional de tal forma que la curva sea tangente para cada uno de los segmentos de recta que intersecte.

campo direccional de la ecuacin y = 2y.Con calculadora Class Pad 300

13

Ejercicio: Dado los campos de direcciones de las figuras, quecorresponden a las ecuaciones y= yx e y= ysen x, dibuje una curva solucin que pase por (1, 3) y (, - 3 ) respectivamente.2

14

Ecuaciones diferenciales de primer ordendy = f ( x, y) dx

La ecuacin diferencial de primer orden ms sencilla tiene la forma:dy = f ( x) dx

()

Es decir, la funcin f es independiente de la variable y (variable dependiente). En este caso, integrando se obtiene,

y = y( x) = f ( x) dx + C

Solucin general de ()

Ejercicio: Resuelvaa) La ecuacin diferencial

y' = xex , y(0) = 1 b) El problema con condicin inicial15

dy dx

= x x2 + 9

Observaciones sobre existencia y unicidadConsideremos el problema siguiente: Resolver la ecuacin y = f(x, y) con la condicin y(xo) = yo Existe una solucin al problema planteado? Si existe, es nica? Observe la diferencia entre Exhibir una solucin y Afirmar que existe una solucin de la ecuacin El siguiente teorema establece condiciones suficientes (pero no necesarias) para la existencia y unicidad de soluciones del problema (*).16

(*)

Teorema: Si la funcin real f(x, y) es continua en un rectnguloR del plano XY que contiene el punto (xo, yo) en su interior,f

entonces el problema (*) tiene al menos una solucin definida en un intervalo J que contiene a xo. Si adems, la derivada parcial y es continua en R, entonces la solucin de (*) es nica en un intervalo abierto Jo que contiene a xo. Comnmente, el intervalo Jo es mas pequeo que J ( Jo J) . Si no son vlidas las hiptesis de continuidad de f y de f , y puede ocurrir que (*) tenga solucin nica o tenga varias soluciones o no tenga solucin.

Ejercicio: El problema con condicin y' = 2 y , y(0) = 0 tieneuna nica solucin?

17

Ecuaciones de variables separablesUna ecuacin diferencial de primer orden se dice separable o de variables separables si tiene la forma:

dy = g( x) h(y) dx f ( y)dy = g( x) dx

()

Observe que esta ecuacin se puede escribir,

e integrando con respecto a x,

es decir,

f ( y( x))

dy dx

dx =

g(x) dx + Co bien F(y) = G(x) + C, donde

F(y) y G(x) son antiderivadas de f(y) y g(x) respectivamente.

f(y) dy = g(x) dx + C

18

Ejemplo: Resolvamos el problema con condicin inicialdy x = , dx y dy x = dx yla expresamos como

y(4) = 3.y dy = -x dx e integramos:

y dy = - x dxObtenemos 1 y2 = 1 x2 + C1 o equivalente x2 + y2 = C22 2

Por lo tanto, las soluciones de la ecuacin diferencial es una familia de circunferencias concntricas. Pero buscamos aquella que pasa por (4, 3); as el problema con condicin inicial tiene como solucin a x2 + y2 = 25.

19

campo direccional de la ecuacin y = -x/y . Adems una solucin particular

Observaciones: 1) Es habitual expresar las soluciones de una ecuacin diferencial de variables separables de manera implcita.

20

2) Se debe tener cuidado al separar las variables con las divisiones. Al ser los divisores distintos de cero, podra ocasionar prdida de soluciones.

Ejemplo: Resolvamos la ecuacin y ' = x 1 y 21 1- y 2

dy = xdx

arcsen y = 1 x2 + C2

y = sen( 1 x2 + C)2

La funcin y = 1 es solucin de la ecuacin?

Ejemplo: Resolvamos (2 + x) y = y.(2 + x)dy =y dx

1 dy = 1 dxy 2+x

ln(|y |) = ln(|2 + x |) + C1 y = C(2 + x)21

y = eln|2+x| eC1

campo direccional de la ecuacin y = y/(2+x) y soluciones particulares y = 2 + x e y = -(2 + x)

22

Ejemplo: Resolvamos el problema de valor inicialdy dx1 dy = senx dx y

= y senx ,

y(0) = 1 .

ln | y |= cos x + C1 y = ecos x +C1 = ec1ecos x C y= ecosx

Pero si x = 0, y = 1; reemplazando obtenemos C = e. As, la solucin del problema es:

y = e1 cos x

23

Ejercicio: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales,1) 3)dy dx dy dx

= e3 x + 2y =( x 1) y 4 x 2 ( 2 y 2 1)

2) 4)

dy dx

=

ysenx 1+ 2 y 2

sec 2 x dy + cos ec y dx = 0 .

Ejercicio: Resuelva la ecuacin diferencial sujeta a la condicindada.

1) 2) 3)

dy = y - xy , dx dx = 4( x 2 + 1) , dy

x2

y(-1) = 1 x( ) = 14

x

dy y = 2x 2y , dx

y(1) = 1

24

Ecuaciones homogneasUna funcin z = f(x, y) se dice homognea de grado n, n , si f(tx, ty) = t n f(x, y) Por ejemplo, f(x, y) = x3 + y3 es homognea de grado 3 pues f(tx, ty) = t 3x 3 + t 3y 3 = t 3(x 3 + y 3) = t 3 f(x, y) Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 se dice homognea si los coeficientes M y N son funciones homogneas del mismo grado. Una ecuacin diferencial homognea se puede resolver mediante la sustitucin y = ux o bien x = vy, donde u y v son nuevas variables dependientes. De este modo la ecuacin diferencial se reduce a una ecuacin de variables separables.25

En efecto, si escogemos y = ux, entonces dy = u dx + x du, y sustituyendo en la ecuacin tenemos, M(x, ux) dx + N(x, ux) (u dx + x du) = 0. Luego, x n M(1, u) dx + x n N(1, u) (u dx + x du) = 0

[M(1, u) + u N(1, u)] dx + x N(1, u) du = 0 1 N(1, u) dx + du = 0 (Var. Separables) x M(1, u) + u N(1, u)

Ejemplo: Resolvamos la ecuacin xy 22 3 3 expresa tambin, xy dy = ( y - x ) dx

dy dx

= y 3 - x 3 , que se

Las funciones M(x, y) = xy2 y N(x, y) = y3 x3 son homogneas de grado 3.26

Haciendo y = ux, dy = u dx + x du y obtenemos, x(u x)2 (u dx + x du) = (u3 x3 x3) dx x3 u3 dx + x4 u2 du = u3 x3 dx x3 dx u2 du = - x-1 dx. Luego,1 u 3 = ln | x | + C 1 3 y3 1 = ln | x | + C 1 3 3

y3 x3

x

= -3 ln | x | + C 2

y 3 + 3 x 2 ln | x |= C x 3

Ejercicio: Resuelva, 1)2)

( x + y )dx + ( x y )dy = 0( 2 x 2 + y 2 )dy = xy dx, y(-1) = 1

3 ) senx cos 2 y dx + cos 2 x dy = 027

Ecuaciones exactasUna ecuacin diferencial de primer orden de la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es exacta si la expresin M(x, y) dx + N(x, y) dy corresponde a la diferencial de alguna funcin F(x, y). Por ejemplo, la ecuacin diferencial 2xy dx + (x2 1) dy = 0 es exacta puesto que D(x2y y) = 2xy dx + (x2 1) dy, es decir, F(x, y) = x2y y. En consecuencia, F(x, y) = x2y y = C define de forma implcita una solucin general de la ecuacin diferencial. Surgen dos interrogantes: 1) Cmo determinar si la ecuacin diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es exacta? 2) Si la ecuacin diferencial es exacta, cmo determinar la funcin F(x, y) con la propiedad Fx = M y Fy = N?28

Teorema: Supongamos que las funciones M(x, y) y N(x, y) soncontinuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en el rectngulo R = {(x, y) / a < x < b, c < y < d}. Entonces la ecuacin diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es exacta si y slo siN M = y x

en cada punto de R.

Demostracin: ) Si la ecuacin diferencial es exacta, existe una funcin F(x, y) M N = F xy = F yx = . tal que Fx = M y Fy = N. Entonces y x ) La demostracin en este sentido equivale a encontrar la

funcin F(x, y) y por tanto la solucin general F(x, y) = C de la ecuacin diferencial.29

Observe que la funcin F( x, y ) = M( x, y ) dx + g(y), satisface Fx = M, para cualquier funcin g(y). Necesitamos seleccionar una funcin g(y) de modo queN = Fy = y

M ( x , y ) dx + g' (y)

es decir,

g' ( y ) = N

y

M( x, y ) dx

(*)

Por otra parte, N M( x, y ) dx = N M( x, y ) dx x x y x y N N M M( x, y ) dx = =0 = x y x x y

M ( x , y ) dx es slo funcin de y. En Esto significa que N y consecuencia, podemos determinar g(y) mediante integracin, con respecto a y, de g(y) (*)30

Ejemplo: Consideremos la ecuacin diferencial( e 2 y y cos xy )dx + ( 2 xe 2 y x cos xy + 2 y )dy = 02y Aqu, M( x, y ) = e y cos xy,

N(x,y) = 2xe2y x cos xy + 2y

M = 2 e 2 y cos xy + xysenxy = N y x

y la ecuacin es exacta.

F( x, y) = (e2y y cos xy) dx + g(y) = xe2y senxy + g( y)y

Fy = N 2 xe 2 y x cos xy + g' ( y ) = 2 xe 2 y x cos xy + 2 y g' (y) = 2y g(y) = y 2

Por lo tanto, F(x, y) = C, es decir, xe2y senxy + y2 = C es una solucin general de la ecuacin diferencial.31

Ejercicio: Verifique que la ecuacin diferencial dada es exactay luego resulvala.

1) 2) 3)

(3 x 2 + 2 y 2 )dx + ( 4 xy + 6 y 2 )dy = 0 (y 3 y 2 senx x )dx + ( 3 xy 2 + 2 y cos x )dy = 0 (3 x 2 y + e y )dx + ( x 3 + xe y - 2y)dy = 0

Ejercicio: Resuelva los problemas con condicin inicial,1) 2) (e x + y )dx + ( 2 + x + ye y )dy = 0, (cos x + ln y )dx + ( x + e y )dy = 0,y

y(0) = 1 y( ) = 1

Ejercicio: Determine el valor de k de modo que la ecuacindiferencial (2xy2+ yex)dx + (2x2y + kex -1)dy = 0 sea exacta.

32

Ejercicio: Determine una funcin M(x, y) de manera que laxy 1 ecuacin diferencial M( x, y )dx + ( xe + 2 xy + x )dy = 0 exacta.

sea

El hecho que una ecuacin diferencial sea exacta o no lo sea est relacionada con la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 en que est dada. Por ejemplo, las ecuaciones,

y 3 dx + 3 xy 2 dy = 0 ydx + 3 xdy = 0tienen las mismas soluciones pero una es exacta (la primera) y la otra no.33

Ecuaciones que se hacen exactas mediante factores de integracin que contienen una sola variableSi la ecuacin:

Mdx + Ndy = 0

(1)

no es exacta, entonces es posible que podamos convertirla en exacta multiplicndola por un factor de integracin adecuado,

de modo que:

Mdx + Ndy = 0 (M ) = (N) y x

sea exacta, o sea: (2)34

Simplifiquemos nuestra tarea dividindola en dos casos:

Caso I:

es funcin solo de x

En este caso podemos escribir la ecuacin (2) como:

M N d = +N dx y x

(3)

de donde se obtiene:

d 1 M N = ( )dx N y x

(4)

35

Si el coeficiente de dx en el segundo miembro de (4), solo es funcin de x, supongamos f(x), tendremos entonces :

d = f ( x )dx de donde:

ln = f (x )dxo sea:

f ( x ) dx =e36

(omitiendo la constante de integracin)

Tenemos entonces el siguiente: Teorema 1:Si:

1 M N ( ) = f (x) N y x

entonces:

f ( x ) dx e

es un factor de integracin.

37

Caso II:

es funcin solo de y.

En este caso podemos escribir (2):

(M ) = (N) y xcomo:

de donde:

M N d +M = dy y x

d 1 N M = ( )dy M x yTenemos entonces el siguiente:38

Teorema 2 Si:

1 N M ( ) = g ( y) M x yentonces:

g ( y ) dy ees un factor de integracin.

39

EJERCICIOS1) Resolver:

ydx + (3 + 3x y)dy = 02) Una curva cuya pendiente est dada por:

dy 2 xy = 2 dx x y 2pasa por el punto (2, 1). Hallar su ecuacin. 3) Resolver la ecuacin cuando x = 040

y= x y

dada la condicin y = 2

Ecuaciones diferenciales lineales de primer ordenEstas ecuaciones tienen la forma estndar dy + P( x ) y = Q( x ) (*) dx Para encontrar una solucin de (*) en un intervalo J sobre el cual las funciones P y Q sean continuas, multiplicamos la ecuacin por el factor integrante

P ( x ) dx ( x ) = e

La ecuacin resultante es,

P ( x ) dx dy e

P ( x ) dx dx + y ( x )P ( x ) e

P ( x ) dx dx = Q ( x )e

donde reconocemos en el lado izquierdo de la igualdad la derivada del producto: D x ( y ( x ) ( x )). Integrando obtenemos,41

P ( x ) dx y(x ) e

=

P ( x ) dx Q ( x ) dx e

+ C

de donde podemos despejar la solucin general de la ecuacin, P ( x ) dx P ( x ) dx e y( x ) = e Q ( x ) dx + C

Teorema: Si las funciones P y Q son continuas en el intervaloabierto J que contiene a xo, entonces el problema dy + P ( x ) y = Q ( x ), y(x o ) = y o dx tiene una nica solucin y(x) en J dada por

(*)

y= e

P ( x ) dx

e

P ( x ) dx

Q ( x ) dx + C

(**)

para cierto valor de C.42

El Teorema anterior asegura que toda solucin del problema (*) est incluida en la solucin general (**); luego una ecuacin diferencial lineal de primer orden no tiene soluciones singulares.

Ejemplo: Resolvamos la ecuacin diferencial x y = x senx. Laecuacin equivale ady dx

+ 1 y = senxx

Q(x) = senx y el factor integrante esdy

1 dx e x

y se tiene P(x) = x

1

,

= e ln | x | = x

Observe que, x dx + y = xsenx equivale a Dx(x y) = x senx Luego, xy = senx x cosx + C, de donde y = senx cos x + C es la solucin general en ] 0 , [.x x

43

En el ejemplo anterior, al dividir por x surge la condicin x 0 y la continuidad de P(x) y Q(x) queda garantizada en ] 0 , [.

Ejemplo: Encontremos una funcin continua que resuelva elproblema condicin inicial y(0) = 0.dy + y = f ( x ) , en donde f ( x ) = dx

1 si 0 x 1 con la si x > 1 0

En este caso la funcin f(x) tiene una discontinuidad en x = 1; el problema lo resolvemos en dos partes. dy (1) + y = 1, para x [0, 1]. dx que resolvemos para obtener y = 1 e x solucin en [0, 1].(2) dy + y = 0, para x ]1 [ . , dx

Aqu la solucin es y = Ce x44

1 e x La solucin y = Ce - x

si 0 x 1 si x > 1x 1+

no es continua en x = 1.

x = 1 e 1 Para que lo sea es preciso que lim Ce

lo que nos conduce a C = e -1. Por lo tanto, la funcin

1 ex y= (e - 1 )e - x

si 0 x 1 si x > 1

resuelve el problema planteado.

45

Ejercicio: Resuelva las ecuaciones diferenciales

1) 3)

x 2 y ' + x(x + 2)y = e xdy dx

2) 4)

dr d

+ r sec = cos dy dx

+ (tan x ) y = cos 2 x

(x + 1)

+ y = ln(x)

46

Ecuacin de BernoulliUna ecuacin diferencial de primer orden de la forma dy + P( x ) y = Q( x )y n , n dx se llama ecuacin de Bernoulli. Si n = 0 o n = 1 esta ecuacin es lineal; para otros valores de n, 1 n la sustitucin u = y reduce esta ecuacin a una ecuacin diferencial lineal del tipo du + (1 n ) P ( x ) u = (1 n ) Q ( x ) dx

Ejemplo: Resolvamos la ecuacin x dy + y = x 2 y 2 dx2 La ecuacin es dx + 1 y = xy , es decir, P(x) = 1/x, Q(x) = x, n = 2. x dy dy Usamos la sustitucin u = y -1; entonces dx = du du = u 2 du dx dx47

dy

dy 1 + 1 1 = x 1 , es decir, obtenemos la y obtenemos x u u 2 dx u2

ecuacin lineal

du dx

1 u = xx

que la resolvemos

multiplicando por el factor integrante

1 dx e x

= e ln( x ) = x 1 :

As, D(x -1 u) = -1, de donde, x -1u = -x + C y u = -x2 + Cx. 1 Luego, y = son soluciones de la ecuacin diferencial 2 Cx x (no lineal) original. Observe que y = 0 tambin es una solucin (singular).

Ejemplo: La ecuacin diferencial xde Bernoulli con n = 4 3 .

dy dx

+ 6 y = 3 xy

4

3

no es

de variables separables, ni homognea, ni lineal; es una ecuacin

48

La sustitucin u = y

1

3

nos conduce a la ecuacin diferencial lineal

du dx

2 u = 1x

y finalmente a la solucin y =

1 ( x + Cx 2 )3

Ejercicio: Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli,1) 2) dy = y ( xy 3 1) dx 2 dy x + y 2 = xy dx

49

Ecuacin de RiccatiUna ecuacin diferencial de primer orden de la forma:

dy = P ( x ) y + Q( x ) y 2 + R ( x ) dxse llama ecuacin de Riccati.

(1)

En general, no se puede resolver por mtodos elementales.

y = ( x ) Pero si se conoce una solucin particular Entonces se puede facilmente hallar la solucin de la ecuacin haciendo: (2) y = ( x ) + zdonde z es una funcin desconocida por determinar con la ayuda de la ecuacin diferencial (1) de Ricatti.

50

Derivando miembro a miembro con respecto a x se recibe de la ecuacin (2) la siguiente expresin:

dy dz = x) + ( dx dxDe acuerdo con esto la ecuacin (1) de Ricatti toma la forma:

( x ) +o bien:

dz = P ( x ){ ( x ) + z } + Q ( x ){ ( x ) + z }2 + R ( x ) dx

dz { ( P + 2Q) z Q z 2 } + { P Q 2 R} = 0 dx51

Pero como por hiptesis ( x ) satisface la ecuacin dada, entonces el segundo sumando es igual a cero. Por esto se tiene:dz dx

{P( x ) + 2Q( x ) ( x )}z = Q( x ) z

2

(3)

A partir de esta ecuacin de Bernoulli se puede obtener la funcin z, y de acuerdo a lo expuesto sea:

z = f ( x , C)Entonces la solucin general de la ecuacin (1) de Ricatti es:

y = ( x ) + f ( x, C)

52

Ejemplo:dy 2 sen x 2 + y sen x = 2 dx cos xUna solucin particular de esta ecuacin es: (4)

1 y(x) = cos xEntonces la solucin general de la ecuacin dada ser:

1 y = + z cos x

( 5 )53

Sustituyendo ( 5 ) en ( 4 ) se obtiene la siguiente ecuacin:

dz 1 {2sen x } z = ( sen x ) z 2 dx cos xDe donde se deduce que:

3 cos 2 x z= C cos 3 xEntonces la solucin general de (4) es:2

1 3 cos x y= + 3 cos x C cos x54

Ejercicios1)2)

dy = 3y + y 2 4 dx

(una solucin es

(x) = 1 )

1 2 dy 1 = y + 2 y 1 dx x xdy 1 1 2 = y y +1 2 dx x 4x

(una solucin es ( x ) = x )

3)

(una solucin es ( x ) =

1 + tg x 2x

)

55

SolucionesC + 4e 1) y = 5x Ce 2 x ( 2C + x ) 2) y = 2 2C x 1 C sen x + cos x 3) y = + 2 x C cos x sen x5x56

EJERCICIOS MISCELANEOS1.- Demostrar que una condicin necesaria y suficiente para que la ecuacin:

f ( x )dx + g ( x )h ( y) = 0sea exacta, es que

g( x )

sea constante.

2.- Demuestre que una condicin necesaria y suficiente para que la ecuacin:

[f1 ( x ) + g1 ( y)]dx + [f 2 ( x ) + g 2 ( y)]dy = osea exacta es que

g1 ( y)dx + f 2 ( x )dy

sea una diferencial exacta.57

3.- a) Demuestre que una solucin de la ecuacin diferencial parcial:

+ f ( x , y) =0 x yest dada por

= U ( x , y)

donde

U ( x , y) = c

es la solucin general de

y= f ( x , y)

b) Utilizando el resultado de (a) hallar una solucin de:

x + ( 2 x y) =0 x y

58

( c ) Demuestre que:

donde

= [U(x, y)]es una funcin arbitraria, es una solucin ms general

de la ecuacin diferencial parcial de (a). Ilustre este resultado hallando otras soluciones de la ecuacin de (b) 4.- a) Demuestre que si la ecuacin

Mdx + Ndy = 0 es tal que

N M 1 x y = F( xy) xM yN es decir, una funcin del producto xy, entonces de integracin, siendo

F( u ) du e

es un factor

u = xy

59

b) Use el mtodo de la parte (a) para resolver la ecuacin:

( y 2 + xy + 1)dx + ( x 2 + xy + 1)dy = 05.- a) Demuestre que la ecuacin diferencial

y+ Py = Qy ln yln y = v

donde P y Q son funciones de x, puede resolverse haciendo:

b) Resolver la ecuacin:

xy = 2 x y + y ln y260

6.- Resolver :

2 y= x + 2y 3

haciendo:

x + 2y 3 = v

61

ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO QUE SE RESUELVEN CON FACILIDAD1.- ECUACIONES QUE SON INMEDIATAMENTE INTEGRABLES.Consideremos la siguiente ecuacin

y IV = xcuando

dadas las condiciones y=0, y=1, y=y=0

x=0

La solucin se halla integrando sucesivamente cuatro veces y hallando en cada sub paso el valor de las constantes usando las condiciones iniciales. La solucin es:

x y= +x 12062

5

2.- ECUACIONES QUE NO CONTIENEN UNA DE LAS VARIABLES

CASO A: No aparece la variable dependiente y En este caso , el mtodo consiste en hacer

y= v

Entonces

y= v

y la ecuacin se transforma en una ecuacin diferencial de primer orden en v (como variable dependiente) y en x como variable independiente. EJEMPLO: Resolver la ecuacin: Solucin:

xy+ y= 4 x263

y = x + c1 ln x + c 2

CASO B: No aparece la variable independiente x.

Se hace

y= v

como en el caso anterior y se obtiene una ecuacin

con tres variables x, y, v

Para eliminar una de ellas (por ejemplo x) se usa la regla de la cadena:

dv dv dy dv = = v dx dy dx dy

64

EJEMPLO:

2 yy= 1 + ( y)SOLUCIN:

2

2 c1 y 1 = c1x + c 2

65