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SEPARACION DE VARIABLES

Capítulo 2

Ecuaciones Diferenciales de PrimerOrden

2.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables SeparablesDefinición 2.1.1 Se dice que una ecuación diferencial ordinaria es de variables sepa-rables si se puede escribir en la forma

La ecuación (2.1) se expresa en forma diferencial como

y se resuelve integrando ambos miembros de (2.2).

EJEMPLO 1. Resolver

Solución. Separando las variables resulta

e integrando

Resolviendo las integrales

35

(2.1)

(2.2)

(2.3)

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36 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ya que la diferencia de constantes es una constante, podemos escribir c = C2 — C\, obte-niendo

Así, al momento de integrar sólo consideraremos una constante de integración.

EJEMPLO 2. Resolver

Solución. Separando variables la ecuación se escribe como

integrando

y calculando las integrales, se sigue que

Como el producto de constantes es una constante tenemos

EJEMPLO 3. Resolver

Solución. Tenemos que



Ya que la diferencia de constantes es una constante, podemos escribir c = C2 — C\, obte-niendo

Así, al momento de integrar sólo consideraremos una constante de integración.

EJEMPLO 2. Resolver

Solución. Separando variables la ecuación se escribe como

integrando

y calculando las integrales, se sigue que

Como el producto de constantes es una constante tenemos

EJEMPLO 3. Resolver

Solución. Tenemos que


2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

Ya que eu y lnt¿ son funciones inversas,

37

Como c\ es una constante, eci también es una constante, la cual podemos escribir sim-plemente como c; de modo que

EJEMPLO 4. Resolver

Solución. Procediendo como en los ejemplos anteriores, resulta

(2.6)

En este caso la solución queda en forma implícita.

EJEMPLO 5. Resolver

Solución. Tenemos




37


EJEMPLO 4. Resolver


(2.6)


EJEMPLO 5. Resolver

Solución. Tenemos




37


EJEMPLO 4. Resolver


(2.6)


EJEMPLO 5. Resolver

Solución. Tenemos



EJEMPLO 6. Resolver

Solución. Separando variables se sigue que

Por lo tanto

es la solución dada en forma implícita.

EJEMPLO 7. Resolver

Solución. Para separar variables es de gran ayuda factorizar donde sea posible, en estecaso tenemos

Finalmente, al integrar encontramos que



EJEMPLO 6. Resolver

Solución. Separando variables se sigue que

Por lo tanto

es la solución dada en forma implícita.

EJEMPLO 7. Resolver

Solución. Para separar variables es de gran ayuda factorizar donde sea posible, en estecaso tenemos

Finalmente, al integrar encontramos que


2.1. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables 39

EJEMPLO 8. Resolver el problema de valor inicial

Solución. Separando variables e integrando obtenemos

Haciendo x = 0 y ? / = l e n l a última igualdad, concluimos que

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial que cumple la condición dada es


Solución. Primero separamos variables




Solución. Separando variables e integrando obtenemos

Haciendo x = 0 y ? / = l e n l a última igualdad, concluimos que

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial que cumple la condición dada es


Solución. Primero separamos variables



En segundo lugar integramos, usando fracciones parciales para la integral respecto de y.Obtenemos

obtenemos así la solución explícita

Ahora, despejamos y en la última igualdad

Si hacemos x = 2 y y = 4 en (2.12), tenemos

Finalmente, sustituyendo el valor de c en (2.12), llegamos a la solución particular


La siguiente ecuación diferencial es de segundo orden, sin embargo, mediante uncambio de variable se reduce a una de primer orden. Corresponde a la ecuación diferencial(1.12) del ejemplo 5 del capítulo 1.



Solución. Separando variables e integrando se sigue que

Ahora despejamos y para expresar la solución en forma explícita

es decir

con c = c\ — 1.Se quiere una solución que cumpla con J/(TT) = 0, entonces

de donde

Sustituyendo en (2.14) obtenemos la solución del problema de valor inicial



Ahora podemos integrar fácilmente, encontrando la solución explícita siguiente

EJERCICIOS 2.1

Mediante separación de variables resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.


SOLUCIONES

219

Respuestas a los problemas

Ejercicios 1.2, Página 33

1. Primer orden, y si es solución.

2. Primer orden, y no es solución.





7. Segundo orden, y si es solución.

8. Tercer orden, y si es solución.

9. Segundo orden, y no es solución.

10. Segundo orden, y si es solución.


1. x = y/cy/i- 12 3 3

2. ^ + 2y + l l

3.0 = arccot (sen t + c)

5. y = «.(«

6. (y - 1)6» = ex - e~x + c

7. y-2 ln(y + l)=x-5 \n(x + 2) + c


220 Respuestas a los problemas

8. x =

9. r = 4

1-t2

1 + t2

10. \{y - I)3 + -Vx2 + 4 + 21n(> + Vx2 + 4) = có Z


1. y ~ x ln

2. y\2x2 -

3. sen - =X

A . »>ü J.XX 0«>0

5. x3 + y3

6. xy + y2

7. y - 2z H

8. ln(2x +

a;

- y2) = ex2

ex

— (x2 -4- v2)3/2

= cxy

= 2x3

h7 = c(x + y 4

3y + 2) = 2y -

9. y = x arctaníln x + 1)

- I ) 4

- x + c

x x10. sen — + tan — = cy 2

y y


1. xAy2 — x3y = c

2. y =

3. j / = (x-l)

4. No es exacta.

5. x sen y — y eos x + ln xy = c

6. ysent + t2ey + 2y = c


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