Ecuaciones Diferenciales Primer Orden (1)

Mat-171

Instituto de Matemática, Física y Estadística Página 1

Unidad 4 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

4.1 DEFINICIONES BÁSICAS........................................................ 2

4.2 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN .................................................. 3

4.2.1 Ecuaciones de Variables Separables.................................................................. 3

4.2.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas ............................................................. 5

4.2.3 Ecuaciones Exactas ............................................................................................ 8

4.2.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden ...................................... 11

4.3 MODELAMIENTO ................................................................. 15 4.3.1 Crecimiento y Decrecimiento de Población:.................................................... 15

4.3.2 Ley de Enfriamiento de Newton: ...................................................................... 17

4.3.3 Problemas de Mezcla: ...................................................................................... 19

4.3.4 Aplicaciones a la Economía:............................................................................ 21

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4.1 Definiciones Básicas

Definición: Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden, es una Ecuación que contiene una derivada de primer orden de una función desconocida en una variable, es decir cualquier ecuación del tipo 0)',,( =yyxF . Las Ecuaciones diferenciales más simples de primer orden son de la forma:

)(xfdx

dy =

o en forma equivalente )(´ xfy =

Definición: Una Solución de una Ecuaciones Diferencial es una función que satisface la Ecuación Diferencial sobre algún intervalo abierto. Definición: Un problema de valor inicial (PVI)de primer orden es un problema que busca determinar una solución a una Ecuación Diferencial sujeta a una condición sobre la función desconocida. Esta condición se denomina condición inicial. Ejemplo: xy 2'= ; 5)2( =y Definición: Una Ecuación Diferencial de orden uno tendrá una solución que involucra una constante arbitraria y se llamará solución general de la Ecuación Diferencial. Una Solución Particular se obtiene de la solución general, al determinar el valor de la constante arbitraria. Observación: Cuando se resuelve un PVI, se encuentra una solución particular.

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4.2 Métodos de Resolución

En este apunte se estudiará las Ecuaciones Diferenciales de primer orden para las que se tienen métodos generales de solución. 4.2.1 Ecuaciones de Variables Separables Una Ecuación Diferencial de primer orden es de variables separable si puede escribirse en la forma

)(')( xgyyh = ⇒)(

)(

yh

xg

dx

dy =

Que reformulamos en términos de diferenciales para resolverla:

dxxgdyyh )()( = A continuación integramos a ambos lados:

dxxgdyyh )()( ∫∫ =

La justificación del paso anterior proviene de la regla de la cadena

∫∫∫∫ === dxxgdxxyh

xgxyhdx

dx

dyxyhdyyh )(

))((

)())(())(()(

Ejemplos: Ecuaciones de Variables Separables

a) )1(' 2yxy += es de variables separable ya que puede escribirse como xdxy

dy =+ 21

,

en este caso 21

1)(

yyh

+= mientras que xxg =)(

b) 15

12'

4 ++=

y

xy es de variables separable ya que puede escribirse como

12')15( 4 +=+ xyy , en este caso 15)( 4 += yyh mientras que 12)( += xxg

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Ejemplos: Ecuaciones que no corresponden a Variables Separables: a) )1(2' 2yxy +−=

b) 1

'−−=

y

yxy

Procedimiento para resolver una Ecuación de Variable Separable 1.- Exprese la Separación de Variable, es decir, )(')( xgyyh = 2.- Integre ambos lados de la ecuación y combine las constantes de integración: ∫ dyyh )( ; ∫ dxxg )( .

3.- Si es posible escriba la función de manera explícita. 4.- Si es PVI, encuentre la constante. Ejemplo: Resuelva: )1(' 2yxy +=

Al realizar la Separación de variable se obtiene xdxy

dy =+ 21

Mediante la integración se encuentra la solución

cx

y +=−

2tan

21

Ejemplo :

Resuelva el PVI 1)1(;' =−= yy

xy

La separación de variable da xdxydy −=

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Mediante la integración se obtiene:

cxy +−=22

22

Condición inicial ⇒+−= cy

2

1

2

)1(2

12

1

2

1 =⇒+−= cc por lo tanto la solución

particular es 122

22

+−= xy lo que es equivalente a 222 =+ yx

4.2.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Conceptos Previos: Una función ),( yxf se dice que homogénea de grado n, si satisface

),(),( yxfttytxf n= ; ℜ∈t

Ejemplo: xyyxf =),( es un función homogénea de grado 2. En efecto:

),(),( 22 yxftxyttytxtytxf ==⋅= Para resolver una Ecuación Diferencial Homogénea es conveniente escribir las ecuaciones diferenciales de primer orden en la forma:

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

Definición: Una Ecuación Diferencial de primer orden se dice que es homogénea si las funciones ),( yxM y ),( yxN son funciones Homogéneas del mismo grado. Note que si la Ecuación Diferencial está escrita de la forma

),(' yxfy =

Entonces la Ecuación es Homogénea si ),( yxf es una función Homogénea de grado cero.

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Ejemplos: Ecuaciones Diferenciales Homogéneas a) dyyxydxx )(2 443 ++

b) 0)( 2 =−+ dyxdxxyy x En efecto: En el ejemplo a) yxyxM 32),( = ; 44),( yxyxN += , observemos que

),(2)()(2),( 4343 yxMtyxttytxtytxM === , es decir homogénea de grado 4

),()()()(),( 444444 yxNtyxttytxtytxN =+=+= , es decir, homogénea de grado 4 se deduce que ambas funciones son homogéneas del mismo grado por lo tanto la Ecuación Diferencial es homogénea. Ejemplo b) Ejercicio Ejemplos: Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas. a) 022 =+ dyyydxx

b) 0)( 2 =++ xdydxyx En el ejemplo a) se tiene que ),()()(),(),( 32322 yxMtyxttytxtytxMyxyxM ===⇒= ,

por otro lado ),()(),(),( 222 yxNttytytxNyyxN ==⇒= En este caso ambas funciones son homogéneas pero de distinto grado por lo tanto la ecuación no es homogénea. En el ejemplo b) fallas pues 2),( yxyxM += no es homogénea, ya que

),()()()(),( 22 yxtNtyxttytxtytxM ≠+=+= Procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial Homogénea El procedimiento se basa en que una Ecuación Diferencial Homogénea siempre puede reducirse a una Ecuación de Variables Separables por medio de una apropiada sustitución algebraica. 1.- Verifique que la Ecuación Diferencial es Homogénea 2.- Realice la sustitución algebraica uxy = ; xduudxdy +=

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3.- Reordene la Ecuación respecto a la nueva variable. La Ecuación que obtendrá será de Variable Separable. 4. Resuelva la Ecuación Diferencial de Variable Separable

5.- Vuelva a la variable original a través de la sustitución ux

y =

Ejemplo: Resolver 0)()( 222 =−++ dyxyxdxyx 1.- 22),( yxyxM += ; xyxyxN −= 2),( son funciones Homogéneas de grado 2, luego la Ecuación Diferencial es Homogénea. 2.- Realice la sustitución algebraica uxy = ; xduudxdy += para obtener:

0))(()( 22222 =+−++ xduudxuxxdxxux

3.- Reordene la Ecuación: (Factorice por duydx )

0)1()1( 32 =−++ duuxdxux 4.- Resuelva la Ecuación de Variables Separable:

dxx

duu

u∫∫ −=

+− 1

1

1

dxx

duu ∫∫ −=

++− 1

)1

21(

cxuu +−=++− ln1ln2

Al sustituir x

yu = se tiene:

cxx

y

x

y +−=++− ln1ln2

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Utilizando Propiedades de los logaritmos se tiene :

x

y

x

y

cx

y

cxeyx

cex

yx

ex

yx

inversafunciónlaaplicandocx

y

x

yx

cx

yx

x

yx

cx

yx

x

y

=+

=+

=+

+=

+

+=

⋅+

+=+

+

+

2

2

2

2

2

2

2

)(

)(

)(

)(ln

)(ln

ln1ln

la solución general puede escribirse en la forma alternativa

x

y

cxeyx =+ 2)( 4.2.3 Ecuaciones Exactas

Para resolver una Ecuación Diferencial Exacta es conveniente escribir las ecuaciones diferenciales de primer orden en la forma:


Teorema Si ),( yxFF = tiene derivadas parciales continuas yx FF ; , entonces

cyxF =),( (c constante) es una solución implícita de la Ecuación Diferencial

0),(),( =+ dyyxFdxyxF yx

El siguiente teorema permite determinar si una ecuación Diferencial de primer orden es Exacta

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Teorema : Suponga que M y N son continuas y tienen derivadas parciales continuas

yM y xN en un rectángulo abierto R. Entonces:


Es Exacta en R si y sólo si

),(),( yxNyxM xy =

Para todo ),( yx en R. Ejemplo: La Ecuación Diferencial 0)63()34( 224233 =+++ dyyyxdxxyx es Exacta, en efecto: )34(),( 233 xyxyxM += ; )63(),( 224 yyxyxN += 2312),(),( yxyxNyxM xy == .

Por el Teorema anterior se tiene que la Ecuación es Exacta. Ejemplo: La ecuación Diferencial 043 32 =+ dyxydxx no es exacta En efecto : yxyxM 23),( = ; 34),( xyxN = . Observe que 23),( xyxM y = y 212),( xyxNx =

),(),( yxNyxM xy ≠ luego no es exacta.

La solución de una Ecuación Diferencial Exacta es de la forma ),( yxF = C. Para encontrarla realice el siguiente procedimiento.

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Procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial Exacta 1.- Verifique que la Ecuación

0),(),( =+ dyyxNdxyxM (1)

Satisface la condición para ser Exacta ( ),(),( yxNyxM xy = ).

2.- Integre ),(),(

yxMx

yxF =∂

∂ respecto a la variable x para obtener:

)(),(),( yhyxGyxF += (2)

Donde G es una antiderivada de M respecto de x , y hes una función desconocida de y . 3.- Derive (2) respecto de y para obtener

)´(),(),(

yhy

yxG

y

yxF +∂

∂=∂

∂

4.- Iguale el lado derecho de la ecuación a ),( yxN y encuentre 'h

⇒=+∂

∂),()´(

),(yxNyh

y

yxG

y

yxGyxNyh

∂∂−= ),(

),()('

5.- Integre h́ respecto de y , tomando la constante de integración igual a cero, y sustituya el resultado en (2) para obtener ),( yxF 6.- Haga cyxF =),( para obtener una solución implícita de (1) . De ser posible exprese y explícitamente como una función de x . Ejemplo: 046 322 =+ ydyxdxyx En este caso 226),( yxyxM = y yxyxN 34),( =

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1.- Verifique la condición para determinar si la ecuación es Exacta

212),(),( xyxNyxM xy ==

2.- Integre ),(),(

yxMx

yxF =∂

∂ respecto a la variable x para obtener:

)(2)6(),( 2322 yhyxdxyxyxF +== ∫

3.- Derive parcialmente el resultado de la integral respecto de y para obtener:

)('4),( 3 yhyx

y

yxF +=∂

∂

4.- Iguale el lado derecho a ),( yxN para obtener

)('44 33 yhyxyx += 0)(' =⇒ yh

5.- Integre h́ respecto de y , tomando la constante de integración igual a cero, y sustituya el resultado para obtener ),( yxF

1)( cyh =

Por lo tanto ccyxyxF =+= 1232),( , esto implica que la solución implícita de la

Ecuación es Cyx =232 , con 1ccC −= 4.2.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

Una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden es una Ecuación de la forma

)()()( 01 xgyxadx

dyxa =+

Donde );(1 xa )(0 xa representan funciones que dependen de la variable x .

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Ejemplo: Ecuación Diferencial Lineal

a) xexydx

dyx 64 =− . En este caso xxa =)(1 y 4)(0 −=xa

b) 1'2 =+xyyx En este caso 2

1 )( xxa = y xxa =)(0 Ejemplo: Ecuación Diferencial no lineal

xexydx

dyx 624 =− ( observe que y está elevado a 2)

Para resolver las Ecuaciones Diferenciales Lineales utilizaremos el Método del factor Integrante. Definición : Dada la Ecuación Diferencial

)()( xfyxPdx

dy =+

Se define el factor integrante como la función ∫=dxxP

ex)(

)(µ

Ejemplo: Dada la Ecuación 03 =− ydx

dy

Se observa que 3)( −=xP luego el factor integrante está dado por :

xdxeex 33

)( −−=∫=µ

nota: al resolver la integral no se utiliza la constante de integración Para resolver una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden

)()()( 01 xgyxadx

dyxa =+ (1)

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Realice los siguiente pasos: Procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial Lineal de Primer orden 1.- Verifique que la Ecuación Diferencial es Lineal.

2.- Multiplique la Ecuación (1) por )(

1

1 xa para darle la forma:

)()( xfyxPdx

dy =+ (2)

3.- Determine el factor Integrante utilizando la forma ∫=dxxP

ex)(

)(µ 4.- Multiplique la Ecuación (2) por el Factor integrante.

)()()()()(

xfeyxPedx

dye

dxxPdxxPdxxP ∫=∫+∫ (3)

5.- Observe que el lado izquierdo la Ecuación (3) corresponde a la derivada del

producto del factor integrante y la variable dependiente: yedxxP

⋅∫ )(

Luego la Ecuación queda expresada:

)()()(

xfeyedx

d dxxPdxxP⋅∫=

∫ (4)

6.- Integre ambos miembros de la Ecuación Diferencial (4) y exprese la solución y .

Ejemplo: Resuelva xexydx

dyx 64 =− (1)

1.- Verifique que la Ecuación Diferencial es Lineal.

2.- Multiplique la Ecuación por xxa

1

)(

1

1

= para obtener:

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xexy

xdx

dy 54 =− (2)

3.- En este caso x

xP4

)(−= luego el Factor Integrante está dado por

44ln)ln(4

4 1)(

4

xxeeex xx

dxx ====∫= −−

−−

µ

4.- Multiplique la Ecuación Diferencial (2) por el Factor integrante:

xexx

yxxdx

dy

x5

444

1141 =−

xxey

xdx

dy

x=−

54

41

5.- El lado izquierdo de la Ecuación corresponde a

y

xdx

d4

1 luego

xxeyxdx

d =

4

1

6.- Integrando ambos lados de la Ecuación se tiene:

)(1 4

4cexexycexey

xxxxx +−=⇒+−=

∴La Solución general de la Ecuación es: 445 cxexexy xx +−= Utilizando el mismo procedimiento de resolución se puede obtener una formula general para la solución de una Ecuación diferencial lineal. En efecto, dada la ecuación

)()( xfyxPdx

dy =+ , multiplicando por el factor integrante ∫=dxxP

ex)(

)(µ , se tiene

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)()()()()(

xfeyxPedx

dye

dxxPdxxPdxxP ∫=∫+∫ , lo que es equivalente a

)()()(

xfeyedx

d dxxPdxxP⋅∫=

∫ , integrando se tiene

⋅∫∫=⇒⋅∫=

∫ ∫∫−

dxxfeeydxxfeyedxxPdxxPdxxPdxxP

)()()()()()(

Obteniendo la fórmula general para la solución de una ecuación diferencial lineal.

⋅∫∫= ∫−

dxxfeeydxxPdxxP

)()()(

4.3 Modelamiento Para aplicar los métodos matemáticos a un problema de la vida real es necesario formular el problema en términos matemáticos, es decir, debemos construir un modelo matemático para el problema. La mayoría de los problemas físicos tienen que ver con relaciones entre cantidades variables. Como las razones de cambio se representan matemáticamente por derivadas, los modelos matemáticos a menudo corresponden a Ecuaciones Diferenciales. Analizaremos Modelos clásicos como:

- Crecimiento y Decrecimiento de Población - Ley de Enfriamiento de Newton - Problemas de Mezcla - Problemas aplicados a la Economía

4.3.1 Crecimiento y Decrecimiento de Población: Aunque el número de miembros de una población en cualquier tiempo t es necesariamente un número entero, los modelos de Ecuaciones Diferenciales deben basarse en que el número de miembros de la población se puede considerar como una

función diferenciable )(tPP = . El modelo Malthusiano supone que la razón de cambio de la población en el tiempo t es proporcional a su valor en ese tiempo, se tiene entonces el Modelo:

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kPdt

dPkPP =⇔='

donde k es la constante de proporcionalidad. Se observa que esta Ecuación diferencial es Separable luego

cktckt eCconCeePcktPkdtP

dP ===⇒+=⇒= +∫∫ ln

Esto implica que la solución general es de la forma

ktCetP =)(

Si consideramos la condición inicial 00)( PtP = , tenemos la solución particular:

)(0

0)( ttkePtP −=

Ejemplo: La población de una pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitante en dicho instante. Su población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años ¿Cuál será la población dentro de 30 años? Desarrollo: Del enunciado se infiere que el modelo corresponde al modelo Malthusiano por lo que se tiene

ktCetP =)(

Observemos que la población inicial es de 500, es decir, 0;500500)0( 00 ==⇒= tPP luego

ktetP 500)( =

Utilizando la información 575)10( =P se tiene la ecuación:

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014.0

10500

575ln

500

575

500575

10

10

=

=

=

= ⋅

k

k

e

e

k

k

Por lo tanto la función que permite determinar la población en un instante cualquiera está dada por:

ttk eetP 014,0* 500500)( == Como se requiere conocer la población aproximada dentro de 30 años, se debe calcular

98.760500)30( 014.0*30 == eP

Respuesta: La Población será de 761 habitantes aproximadamente 4.3.2 Ley de Enfriamiento de Newton: La ley de Enfriamiento de Newton establece que si un objeto con temperatura )(tT en el tiempo t está en un medio con temperatura )(tTm , entonces la razón de cambio de la

temperatura T en el tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T en el tiempo t y la temperatura del medio, es decir:

)(' mTTkT −−=

con 0>k constante de proporcionalidad y suponemos mT constante. ( Si

00 >⇒<−⇒>dt

dTTTTT mm , es decir la temperatura del objeto aumenta. Si

00 <⇒>−⇒<dt

dTTTTT mm , es decir la temperatura del objeto disminuye)

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Para resolver la ecuación observamos que es Separable, luego

cktm

ktccktmm

m

eCconCeTTeeeTTcktTTkdtTT

dT =+=⇒==−⇒+−=−⇒−=−

−−+−∫∫ ln

)(

Obteniendo como solución general:

ktm CeTtT −+=)(

Si consideramos la condición inicial 00 )( TtT = se obtiene la solución particular:

)(0

0)( ttkmm eTTTT −−−+=

En efecto: 00 )()( 000

ktm

ktm eTTCTCeTtT −=⇒=+= −

Reemplazando se tiene )(

0000 )()()( ttk

mmktkt

mm eTTTeeTTTtT −−− −+=−+= en el caso particular 00 =t se tiene kt

mm eTTTT −−+= )( 0 Ejemplo Un material para realizar artesanía se cuece a Co400 y se enfría en una habitación a una temperatura de Co25 . Después de 4 minutos la temperatura del material está a Co200 . Encuentre la función que permite determinar la temperatura del material en cualquier instante t ¿cuál será la temperatura del material después de 8 minutos? Observemos que la temperatura inicial es Co400 , es decir, 4000 =T y la temperatura

del medio es de Co25 , es decir, 25=mT , luego la función queda dada por :

kt

kt

etT

etT

−

−

+=

−+=

37525)(

)25400(25)(

Determinamos el valor de k de la condición 200)4( =T , es decir:

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19.0

415

7ln

15

7

37525200

37525200

4

4

4

=

−=

=

=−

+=

−

−

⋅−

k

k

e

e

e

k

k

k

Luego la función queda determinada por: tetT *19.037525)( −+= y la temperatura a los 8 minutos es: 107)8( =T grados Celsius aproximadamente. 4.3.3 Problemas de Mezcla: En los problemas de mezcla se necesita calcular la cantidad de sustancias )(ty presente

en un tanque en el instante t . Dado que dt

dy es la razón de cambio de la sustancia

presente en el tanque, se cumple la relación:

Sust. la de salida deRazón - sust. la de entrada deRazón =dt

dy

Para determinar la razón tanto de entrada como de salida de la sustancia, debemos considerar: Para la razón de entrada: La razón a la que un fluido que contiene la sustancia entra al tanque y la concentración de la sustancia. Estableciendo la siguiente relación.

Razón de entrada = razón de flujo entrada x concentración

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Para la razón de salida: La razón a la que un fluido que contiene la sustancia sale del tanque y la concentración de la sustancia. Estableciendo la siguiente relación.

Razón de salida = razón de flujo de salida x concentración Suponiendo que la concentración de la sustancia es uniforme, para calcular la concentración necesaria para calcular la razón de salida se divide la cantidad de sustancia presente en el tiempo t por el volumen de la mezcla que hay en el tiempo t . Ejemplo: Un tanque contiene 100 galones de líquido uniforme, se agrega agua azucarada que contiene 5 cucharadas de azúcar por galón, a una razón de 2 galones por minuto. Si se extrae del tanque agua azucarada, a razón de 3 galones por minuto. Encuentre la cantidad de azúcar que contiene el tanque en función del tiempo. Desarrollo:

)(ty : representa la cantidad de azúcar (cucharadas) en el tanque en el tiempo t . El modelo establecido es:

=dt

dy Razón de entrada de la sust. – razón de salida de la Sust.

Donde: Razón de entrada = razón de flujo entrada x concentración

= gal

cuchgal5

min2 ×

= min

10cuch

(Razón de entrada de la sustancia es 10 cucharadas por minuto) Razón de salida = razón de flujo de salida x concentración

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= gal

cuchygal

100min3 ×

= min100

3 cuchy

Luego

100

310

y

dt

dy −=

Ordenando la ecuación observamos que es separable, quedando

100

31000 y

dt

dy −= ⇒ ∫∫ =− 10031000

dt

y

dy ⇒ cty +=−−

100

131000ln

3

1

⇒ cty +−=−100

331000ln ⇒ tcety 03,0

3

1000)( −−=

Esta función representa la cantidad de azúcar (cucharadas) en el tanque en el tiempo t 4.3.4 Aplicaciones a la Economía: Interés compuesto capitalizado continuamente significa que en un instante cualquiera la cantidad de dinero aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante, es decir, si )(tQ representa la cantidad de dinero en un instante t , entonces el modelo queda determinado por:

rQdt

dQ =

En donde r es la tasa de interés anual. Es claro que esta Ecuación es separable luego su solución general está dada por.

rtCetQ =)(

Si consideramos la condición inicial 0)0( QQ = se tiene la solución particular:

rteQtQ 0)( =

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Ejemplo:

En una cuenta de Ahorro se depositan $5000 en un banco que paga 5% de interés anual con capitalización continua. Calcule la cantidad de dinero acumulado después de 5 años.

Desarrollo: La función queda determinada por:

tetQ 05,05000)( =

Luego 127.64205000)5( 5*05,0 == ⋅eQ Respuesta: Tendrá acumulado una cantidad de $6420 aproximadamente. Funciones Marginales: Costo marginal, ingreso marginal, precio marginal, etc. Ejemplo: La razón a la cuál está cambiando el precio y de un artículo, respecto de la cantidad demandada x , está dada por:

16

2422 +

+−=x

xxy

dx

dy

Encuentre la función precio, sabiendo que cuando la cantidad demandada es 4, el precio es 7.5 Desarrollo: Se puede comprobar que esta ecuación diferencial es separable y resolver utilizando el procedimiento estudiado:

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dxx

xdy

y

yx

x

dx

dyx

yx

dx

dyx

xxy

dx

dy

∫∫ +−=

+

+⋅+

−=

++−=

++−=

16

2

12

1

)12(16

216

)12(216

242

2

2

2

2

16

112

16

112

ln16ln12ln

16ln12ln

2

2

2

2

++−=

+=+

++−=+

++−=+

xcy

xcy

cxy

cxy

Determinamos el valor de la constante utilizando la condición 5,7)4( =y , Reemplazando en la solución general se tiene:

6245,1932164

1125,7

2=⋅=⇒

++−= cc

Por lo tanto la función precio queda definida:

16

62412

2 ++−=

xy

Nota : Los ejemplos están desarrollados con una aproximación de 3 decimales. Bibliografía : Trench, William. (2002) Ecuaciones Diferenciales. Thomson Learning Zill D.(2003) Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, (6ª Ed.)

Spieguel,M ( ). Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall, (3ª Ed.)

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