01 preliminares interpolacion y aproximacion polinomica

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 3: INTERPOLACIÓN Y

APROXIMACIÓN POLINÓMICA.

PRELIMINARES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Preliminares.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Métodos Numéricos para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de

Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y

Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Métodos Numéricos para

Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además

de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el

crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Métodos Numéricos, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



3.1.- PRELIMINARES.

En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una

función desconocida o difícil de manejar, y nos interesaría sustituirla por otra más sencilla

(por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de valores. Este es el problema de

interpolación polinómica que introduciremos en este tema. Cuando en una tabla se busca el

valor de una función para un determinado valor de la variable que no figura explícitamente

en ella, se realiza una tarea de interpolación por medio de reglas simples y muy precisas.

Una de las clases de funciones más útiles y mejor conocidas que “manda” al

conjunto de los números reales sobre sí mismo es la de los polinomios algebraicos, o sea, el

conjunto de funciones de la forma

n

n

n

nn xaxaxaxaaxP

1

1

2

210 ...)( (3.1)

donde n es un entero no negativo y nn aaaa ,,...,, 110 son constantes reales. Su importancia

se debe a que aproximan de manera uniforme a las funciones continuas; esto es, dada una

función, definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que está tan

“cerca” de la función como se desee.

Teorema 3.1. (Teorema de Aproximación de Weierstrass).

Si f está definida y es continua en ],[ ba , dado 0 , existe un polinomio P ,

definido en ],[ ba , con la propiedad de que

)()( xPxf (3.2)

Ejemplo ilustrativo 3.1.

En la figura 3.1 se ilustra la función xexf )( y los polinomios de grado cero a tres:

1)(0 xP

xxP 1)(1

2

21

2 1)( xxxP y

3

612

21

3 1)( xxxxP



Figura 3.1. La función xexf )( y sus polinomios de aproximación de grado cero a tres.

Los cuatro polinomios indicados son los polinomios de aproximación en torno a 00 x .

Obsérvese que conforme incrementamos el grado del polinomio, éste se aproxima mejor a

la función. De igual manera, se observa que el valor de la función y de todos los polinomios

coinciden en 00 x . Finalmente, con excepción del polinomio de aproximación de grado

cero, los tres restantes tienen la misma pendiente que la función en 00 x , esto es



1

00

xxd

yd. Este último resultado se puede verificar analíticamente derivando la función y

los tres polinomios citados y evaluándolos en 00 x .

Otro aspecto importante para considerar la clase de polinomios en la aproximación

de funciones es que es sencillo determinar la derivada y la integral indefinida de cualquier

polinomio y el resultado es otra vez un polinomio. Por estas razones, la clase de polinomios

se usa con frecuencia para aproximar otras funciones que se conoce o se supone son

continuas.

Cuando la función está dada mediante una tabla, también es posible definir un

polinomio que reproduzca los valores de la función en cada abcisa de la tabla.

Propiedad.

Si las abcisas 0x , 1x ,…, 1nx y nx son distintas, existe un único polinomio )(xPn de grado

n que cumple las condiciones iin yxP )( para ni ...,,1,0 .

Decimos que )(xPn es el polinomio interpolador de la tabla

ix 0x 1x … 1nx nx

)( ixf )( 0xf )( 1xf … )( 1nxf )( nxf

Cuando los valores iy se generan empleando una función )( ii xfy , para ni ...,,1,0 ,

decimos que )(xPn es el polinomio interpolador de la función )(xf en las abcisas o nodos

ix .


Hay solo una línea recta (polinomio de primer grado) que une dos puntos.

Dados los datos

ix 1 3

)( ixf –0.5 3.5

El polinomio interpolante de primer grado es xxP 25.2)(1 . Gráficamente



Figura 3.2. Polinomio interpolante de orden 1 que une los puntos del ejemplo ilustrativo 3.2.


Únicamente una parábola une un conjunto de tres puntos no alineados (interpolación de

segundo grado o cuadrática). Dados los datos

ix 0 2 3

)( ixf 1 3 –2

El polinomio interpolante de segundo grado es 2

2 251)( xxxP . Gráficamente



Una parábola cúbica (polinomio de tercer grado) une un conjunto de cuatro puntos. Dados

los datos



ix –0.5 –0.1 0.6 1.0

)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000

El polinomio interpolante de grado 3 es 32

3 432)( xxxxP . Gráficamente


Definición del problema de interpolación.

Dada la tabla de valores ),( ii fx se desea estimar )(xf para valores de x que no están en la

tabla.

Planteamiento del problema de interpolación.

Dada la tabla de valores

ix 0x 1x … 1nx nx

)( ixf )( 0xf )( 1xf )( 1nxf )( nxf

donde:

0x , 1x , 1nx y nx son n + 1 abcisas distintas.

)( 0xf , )( 1xf , …, )( 1nxf y )( nxf son n + 1 valores arbitrarios.

Se tienen los problemas siguientes:

Problema general.



En un caso general, queremos determinar un polinomio de grado n

n

nn xaxaaxP ...)( 10 que verifique las n+1 condiciones )()( jjn xfxP , para

nj ...,,1,0 .


Dados los datos

ix –0.5 –0.1 0.6 1.0

)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000

Hallar el polinomio interpolante de grado 3.

Cuando se apliquen las técnicas de esta sección, se encontrará que dicho polinomio

interpolante es 32

3 432)( xxxxP .

Problema particular.

En un caso particular, queremos determinar el valor aproximado de )(xf que cabe asignar

como correspondiente a un valor de x, distinto de todos los ix conocidos y comprendidos

en el intervalo de trabajo ],[ 0 nxx .


Dados los datos

ix –0.5 –0.1 0.6 1.0

)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000

Hallar )2.0(f utilizando el polinomio interpolante de grado 3.

Este problema se puede resolver determinando el polinomio interpolante de grado 3

(ejemplo ilustrativo 3.5) y luego evaluando )2.0(3P . También es posible hallar mediante

utilización directa de las fórmulas apropiadas y calcular )2.0(3P .

Intervalo de interpolación.

El intervalo de interpolación es el menor intervalo que contiene los nodos ix , lo

representamos por ]max,[min,...,,, 110 iinn xxxxxx . Si los nodos están ordenados en

forma creciente nn xxxx 110 ... , entonces el intervalo de interpolación es ],[ 0 nxx .




Dados los datos

ix –0.5 –0.1 0.6 1.0

)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000

El intervalo de interpolación es ]1,5.0[ .

Tipos de interpolación.

1.- Interpolación con espacios equidistantes.

El caso más frecuente: problemas de interpolación cuya tabla tiene valores equidistantes de

la variable x. Se dará por presupuesto que hxxxxxx nn 11201 ... (La

diferencia entre valores consecutivos de ix es constante).


Dados los datos

ix –0.5 –0.1 0.3 0.7

)( ixf 4.250 2.314 1.082 –0.982

Se trata de un problema con espacios equidistantes, pues

4.0)5.0(1.0 mientras que

4.0)1.0(3.0 y finalmente

4.03.07.0 .

2.- Interpolación con espacios no equidistantes.

La diferencia entre valores consecutivos de ix no es constante.


Dados los datos

ix –0.5 –0.1 0.6 1.0

)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000

Se trata de un problema con espacios no equidistantes, pues

4.0)5.0(1.0 mientras que

7.0)1.0(6.0 y finalmente



4.06.01 .

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