02 ANOVA DCA

Maestría en Ingeniería de Calidad

IBERO TORREON

18/01/2013 Carlos Zea Rivera 2

Diseño Completamente al azar: DCA

• La principal característica es que los tratamientos se asignan a las

unidades experimentales aleatoriamente (al azar) sin ninguna

restricción. Su uso es muy frecuente cuando el experimento se

llevará a cabo bajo condiciones homogéneas.

• El material experimental (unidades experimentales) debe ser lo mas

homogéneo posible


X ij i ij

• El modelo matemático:

• Respuesta = Constante + Efecto tratamiento + Error

El ANOVA de Un criterio


Variación Total

Variaciones Debido al Factor Nivel

Variaciones Debido al Ruido Experimental = +

SCT

Suma Total de los

Cuadrados

SCF

Factor de la Suma de los Cuadrados Entre los Grupos

SCE

Suma de Cuadrados dentro

de los Grupos

• Descomposición de la variación total en componentes básicos

TEST DE ANOVA

• Ventajas – a. Su análisis estadístico es fácil

– b. Permite máxima flexibilidad en cuanto al número de tratamientos y número de

repeticiones.

– c. El análisis estadístico sigue siendo fácil aunque haya una pérdida de unidades

experimentales.

– d. El número de grados de libertad para el error es máximo en comparación con

otros diseños.


• Desventajas – a. Cuando el número de unidades experimentales es muy grande es difícil

encontrar lugares grandes que presenten la homogeneidad requerida.

– b. Generalmente otro diseño suele ser más eficiente (preciso).

TEST DE ANOVA

Aleatorización • Por aleatorización se entiende la asignación al azar de los tratamientos a las

unidades experimentales usando ya sea una tabla de números aleatorios, o una

función aleatoria.


• Procedimiento

– a. Determinar el número de unidades experimentales (n) y numerarlas. Es posible obtener n

al multiplicar el número de tratamientos por el número de repeticiones. ( k x n ).

– b. Asignar el número de unidades experimentales a cada tratamiento usando la tabla de

números aleatorios o bien cualquier otro herramienta que sirva a este propósito. Ejemplo: Si

cada tratamiento se repite cuatro veces; los 4 primeros números aleatorios obtenidos se

asignan al tratamiento A; los siguientes cuatro números aleatorios al tratamiento B; y así

sucesivamente.

– c. Una vez hecha la distribución anterior (b), se numeran las unidades experimentales y se

localizan los tratamientos de acuerdo al número que les corresponde y se obtiene así la

distribución de campo. (croquis de campo).

TEST DE ANOVA

Modelo Aditivo Lineal

i = 1,2,3… k (tratamientos)

j = 1,2,3… n (repeticiones)


X ij i ij

• Xij : variable de respuesta de la ij-ésima unidad experimental

: Efecto de la media general del experimento

i : Efecto del i-ésimo tratamiento

ij : Efecto del error experimental asociado a la ij-ésima unidad experimental

TEST DE ANOVA

• Análisis de Varianza

• Hipótesis

• Ho: = i (Todos los tratamientos producen el mismo efecto)

Ha: ≠ i para al menos un i; i = 1,2, . . . t. (Al menos uno de los

tratamientos produce efectos distintos).


• El criterio de decisión es de:

– Si Fc > Fe Se rechaza la Ho

Caso contrario, se acepta la Ho

– Si p < a se rechaza la Ho


TEST DE ANOVA

• En el trabajo analítico suelen presentarse a menudo

comparaciones en las que intervienen más de dos

medias.

• Ejemplos


FUENTES DE VARIACION


Tablero de datos


T1 T2 T3 … Tk

1 X11 X21 X31 … Xk1

2 X12 X22 X32 … XK2

3 X13 X23 X33 … XK3

4 X14 X24 X34 … XK4

: : : :

n X1n X2n X3n … Xkn

Total X1. X2. X3. Xk.

Prom

1 2 3 .. . n

.1x .2x .3x .kx

Partición de la Sumas de Cuadrados


2

1 1

k

i

n

j

ij xxSCTotal

2

1 1

..

k

i

n

j

iiij xxxx

2

1 1 1

2..

k

i

n

j

k

i

iiij xxnxx

2

1 1

..

k

i

n

j

iiij xxxx

SCTratSCErrorSCTotal

(1) (3) (2)

1. Sumas de Cuadrados Total


2

1 1

k

i

n

j

ij xxSCTotal

k

i

n

j

ijij xxxx1 1

2

2

k

i

n

j

k

i

n

j

k

i

n

j

ijij xxxx1 11 1

2

1 1

2 12

knxxxxk

i

n

j

k

i

n

j

ijij

1 1

2

1 1

2 2

knkn

x

xkn

x

xSCTotalk

i

n

j

k

i

n

j

ijk

i

n

j

ij

k

i

n

j

ij

ij

1 1

2

1 1

1 1

1 12 2

1. Sumas de Cuadrados Total


k

i

n

j

k

i

n

j

ij

k

i

n

j

ij

ijkn

x

kn

x

xSCTotal1 1

2

1 1

2

1 12 2

k

i

n

j

k

i

n

j

ij

k

i

n

j

ij

ijkn

x

kn

x

xSCTotal1 1

2

1 1

2

1 12 2

k

i

n

j

k

i

n

j

ij

ijkn

x

xSCTotal1 1

2

1 12 2

1 1

kn

x

TCSi

k

i

n

j

ij

k

i

n

j

ij TCxSCTotal1 1

2

2. Sumas de Cuadrados Tratamientos


2

1

.

k

i

i xxnSCTrat

k

i

ii xxxxnSCTrat1

22 .2.

k

i

k

i

k

i

ii xxxxnSCTrat11

2

1

2 1.2.

kxxxxnSCTratk

i

k

i

ii

1

2

1

2 .2.

kxxxkxnSCTratk

i

i

1

22 2.

2. Sumas de Cuadrados Tratamientos


kxxxkxnSCTratk

i

i

1

22 2.

knxxxknxnSCTratk

i

i

1

22 2.

knxn

xSCTrat

k

i

i

1

22

.

knxxnSCTratk

i

i

1

22.

k

i

i TCn

xSCTrat

1

2

.

3. Sumas de Cuadrados Error


k

i

n

j

iij xxSCError1 1

2.

k

i

n

j

iiij xxijxxSCError1 1

2

...2

k

i

n

j

k

i

n

j

i

k

i

n

j

ijiij xxxxSCError1 1

2

...2

k

i

n

j

k

i

iij

n

xxSCError

1 1 1

2

.

SCTratSCTotalSCError

RESUMEN


2

1 1

2

1

22

1 1 1

.

.

k n

ij

i j

ki

i

k n ki

ij

i j i

SC Total x TC

xSCTratam TC

n

xSCError x

n

donde TC

X

kn

ijj i

n

i

k

1

2

Tablero ANVA


Fuentes de

Variabilidad

Grados

Libertad

Sumas de

cuadrados

Cuadro

Medio

F Fisher Prob

Tratamientos SC Trat

Error SC Error

Total SC Total

Tablero ANVA


Fuentes de

Variabilidad

Grados

Libertad

Sumas de

cuadrados

Cuadro

Medio

F Fisher Prob

Tratamientos k-1 SC Trat SCTr/(k-1)

Error k(n-1) SC Error SCEr/k(n-1)

Total kn-1 SC Total

Tablero ANVA


Fuentes de

Variabilidad

Grados

Libertad

Sumas de

cuadrados

Cuadro

Medio

F Fisher Prob

Tratamientos k-1 SC Trat SCTr/(k-1) CMT/CME

Error k(n-1) SC Error SCEr/k(n-1)

Total kn-1 SC Total

HIPOTESIS

• Las Hipótesis serán del tipo

– Ho: 1 2 3 ... k

– Ha: al menos una diferente

• El criterio de decisión es de:

– Si Fc > Ft(gl trat, gl err, a) Se rechaza la Ho


– Si p < a Se rechaza la Ho


• Supuestos:

Las suposiciones que validan el análisis de varianza son:

– a. Los errores son independientes

– b. Los errores están normalmente distribuidos con media cero y varianza constante

– c. Existe homogeneidad de varianzas entre los tratamientoe:


Ejemplo 1 DCA

• Se probaron concentraciones de 1, 2, 3 y 4 ppm de una cierta enzima mas

un control (en que no se añadió enzima) para estudiar su efecto en la

separación de un jugo de naranja.

• Cada tratamiento se replicó 4 veces y se usó un diseño completamente al

azar. Se añadió agua a las 20 muestras y se midió el tiempo de separación

(minutos) en cada muestra.

• Los resultados pueden observarse en el tabla adjunta.

• Interesa responder a las siguientes preguntas:

– 1. La presencia de enzima retarda la separación comparada con la ausencia de

la misma?

– 2. Hay algún efecto diferencial del nivel de enzima agregado?


Ejemplo 1 DCA

• Con el propósito de comparar el precio de la papa en cuatro

Municipios de una ciudad, se llevo a cabo un determinado

experimento.

• En los distritos 1,2 y 3 se tomo una muestra del precio de la papa

en 8 tiendas, en el cuarto distrito -por omisión- se tomo muestras

de solo 7 tiendas.

• Se empleo un diseño completamente aleatorizado.

• Constituyen los datos recogidos evidencia suficiente para afirmar

que existe diferencia en el precio promedio de la papa entre los 4

municipios de la LAGUNA?


Ejemplo 2 DCA

• Cuatro grupos de vendedores de una agencia de ventas de revistas

fueron sometidos a diferentes programas de entrenamiento de

ventas.

• Debido a que hubo deserciones durante el entrenamiento, el

numero de asistentes fue diferente en cada grupo. Al final de dicho

programa a cada vendedor le fue asignada al azar alguna zona de

ventas, que tiene similar potencial de ventas que otra.

• Hay suficiente evidencia que indique una diferencia en los

resultados promedio de los cuatro programas de entrenamiento?

• Si la Ho es rechazada, que pares de promedios son diferentes??


Ejemplo 3 DCA

• Tres secciones de un curso de Estadística están a cargo de tres

diferentes profesores.

• Cada uno de ellos aplica un método de enseñanza, el mismo que

se evalúa a través de las notas obtenidas en cada curso.

• Hay alguna diferencia significativa en el procedido de las

calificaciones dadas por los tres profesores?


Ejemplo 4 DCA

• De un producto en observación se tomo 14 muestras tan similares

como fue posible, luego se procedió a su estocamiento utilizando

para tal efecto 5 métodos de almacenamiento diferentes.

• Después de cierto tiempo se determino la cantidad de agua que

contenía cada muestra y se obtuvieron los resultados abajo

indicados.

• Los métodos de almacenaje influyen en el contenido de agua?


Ejemplo.

Tres compañías se ofrecen a transportar nuestro producto.

Para probarlas en cuanto a su oportunidad de entrega,

medida por el porcentaje de retraso a tiempo estimado de

entrega.

¿Qué experimento sugiere?


Construya, con su equipo otro ejemplo de un experimento

totalmente al azar.

Reporte:

• Descripción del experimento.

• De dónde viene lo aleatorio.

• Cuál es la asignación y cómo se hizo.


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