02 Matrizeen Aljebra Soluzioak

2. unitatea. Matrizeen aljebra1

49. Orrialdea

HAUSNARTU ETA EBATZI

Presidentea aukeratzen

n Taula horren laguntzaz, ikertu zehatz-mehatz botazioaren emaitzak, aztertuparte hartzaileen ezaugarri batzuk, eta esan zure ustez zeinek izan beharkolukeen presidente.

( )Taulatik gauza asko jakin dezakegu:

A aholkulariak bere lankideetako bakar bat ere ez du ikusten egoki presidenterako.

B-k hautagai bakarra du (C).

C eta E aholkulariek hautagai berdinak ikusten dituzte egoki presidentetzarako (B,C eta D).

F aholkulariak ez du inoren alde egingo.

E hautagaia inork ere ez du egoki ikusten, berak ere ez du bere burua kargu horre-tarako egoki ikusten.

B eta D hautagaiek emaitza berdinak lortu dituzte.

A eta C dira bakarrak euren burua presidente kargurako egoki ikusten dutenak.

...

Emaitzen arabera, C aholkularia da egokiena enpresa-buru izateko (edo hori ustedute, behintzat, gainontzeko aholkulariak).

A B C D E F

1 1 1 1 1 11 0 1 0 1 00 1 1 1 0 01 0 1 0 1 01 1 1 1 1 01 0 0 0 1 0

A

B

C

D

E

F

MATRIZEEN ALJEBRA2

Nazioarteko hegaldiak

n Hona hemen astearteetan B herrialdetik C herrialdera dauden hegaldiak adie-razita, gezien bitartez. Adierazi diagraman ageri den informazio hori taulabaten bitartez, aurreko kasuan bezala.

Hegaldien arteko loturak

n Pentsa ezazu pertsona batek astelehenean A-tik abiatu nahi duela, eta gauaB-n egin ondoren, asteartean C-ra heldu nahi duela.

Zenbat konbinazio ditu irteera-puntu bakoitzeko eta helmuga-puntu bakoitzeko?Hau da, zenbat modutan joan daiteke A1-etik C1-era, A1-etik C2-ra, A2-tik C1-era, etab.?

Eskatzen diguten erantzuna emateko modu on bat honelako taula bat betetzeada:

C1

C2

A1 5 2

A2 2 2

A3 0 2

C1

C2

B1 3 2

B2 1 0

B3 1 0

B4 0 2


51. orrialdea

1. Idatzi matrize hauen irauliak:

A = B = C =

D = E = F = (5 4 6 1)

At = B t = C t =

D t = E t = F t =

2. Idatzi X matrize bat, X t = X beteko duena; hau da, simetrikoa izango dena.

Adibidez: X =

3. Idatzi honako hau deskribatuko duen matrize bat:

( )2 1 0 0 00 1 0 2 00 0 1 1 00 0 0 0 00 0 0 1 20 0 0 1 0

)1 2 12 3 01 0 4(

)5461()1 7 47 1 04 0 3()7 2 0 64 1 1 31 0 7 2(

)1 0 63 2 15 4 01 1 3()2 45 17 0()3 2 71 5 6(

)1 7 47 1 04 0 3

()7 4 12 1 00 1 76 3 2

()1 3 5 10 2 4 1

6 1 0 3()2 5 74 1 0()3 12 5

7 6(


2

52. orrialdea

1. Matrize hauek izanda:

A = B =

C = D =

Kalkulatu E = 2A 3B + C 2D.

E = + =

55. orrialdea

2. Egin honako matrize hauen artean egin daitezkeen biderketa guztiak:

A = B = C = D =

A C = ; A D = ; B A =

C B = ; D C = ; D D =

3. Saiatu 3 3 dimentsioko I3 matrize bat lortzen, A(3 3) edozein matrizekarraturekin biderkatuz gero, berdin geldituko dena.

Hau da: A I3 = I3 A = A

Aurreko berdintza hori egiaztatzen duen I3 matrizeari 3 ordenako unitate-matrize esaten zaio.

Zer itxura duen dakizunean, edozein ordenatako unitate-matrizea lortzenjakingo duzu.

I3 = )1 0 00 1 00 0 1(

)3 3 44 31 44 4 17()6 1 2 526 5 2 028 38 1 10()22 2839 39 4()7 14 213 3 22 5 1

5 26 13()7 18 40 30 5()8 2 4 524 4 1 10(

)1 1 10 5 22 3 3

()2 7 1 56 3 0 02 5 1 0

()7 01 10 13 4

()1 2 32 5 1(

)18 1 1816 15 23()6 2 1012 4 8()7 1 18 10 0()3 0 312 3 9()2 0 48 2 6(

)3 1 56 2 4()7 1 18 10 0()1 0 14 1 3()1 0 24 1 3(


56. orrialdea

1. Egiaztatu zenbakien eta matrizeen arteko biderketaren 2 eta 3 propietateak,matrize hauek hartuz:

a = 3, b = 6 A = B =

2. PROPIETATEA

9A =

3A + 6A = + =

9A = 3A + 6A

3. PROPIETATEA

3(A + B) = 3 =

3A + 3B = + =

3(A + B) = 3A + 3B

57. orrialdea

2. Egiaztatu banatze-propietateak honako matrize hauetarako:

A = B = C = D =

A (B + C) = A =

A B + A C = + =

A (B + C) = A B + A C

(B + C) D = D =

B D + C D = + =

(B + C) D = B D + C D

)2460()2412()048()2460()3 6 12 73 1 14 3(

)15 2 68 1915 5 70 1521 0 96 25()4 3 26 200 5 25 254 5 36 30()11 5 42 115 0 45 1017 5 60 5()15 2 68 1915 5 70 1521 0 96 25()3 6 12 73 1 14 3(

)1253

()4 1 6 00 1 5 5()1 5 6 73 0 9 2()1 40 51 6(

)30 9 018 9 24()21 6 312 18 24()9 15 36 9 0()30 9 018 9 24()10 3 06 3 8(

)27 45 918 27 0()18 30 612 18 0()9 15 36 9 0()27 45 918 27 0(

)7 2 14 6 8()3 5 12 3 0(


2

59. orrialdea

1. Kalkulatu, Gaussen metodoa erabiliz, honako matrize hauetako bakoitzarenalderantzizkoa, edo aurkitu alderantzizkorik ez dutela:

a) b) c)

a)

Horrela, 1

=

b)

Horrela, 1

=

c)

Ezkerraldeko zatian, 2. errenkada 0-z osatuta dago. Beraz, matrizeakez du alderantzizkorik.

2. Kalkulatu honako matrizeetako bakoitzaren alderantzizkoa, edo aurkitu ezdutela:

a) b) c)

a)

Ezkerraldeko zatian, 3. errenkada 0-z osatuta dago. Beraz, matrizeak ez du alderantzizkorik. )1 2 34 5 67 8 9(

)1 0 04 1 01 2 1|1 2 30 3 60 0 0((1.a)

(2.a)

(3.a) 2 (2.a))1 0 04 1 07 0 1|1 2 30 3 60 6 12((1.a)(2.a) 4 (1.a)(3.a) 7 (1.a))1 0 00 1 00 0 1|1 2 34 5 67 8 9()1 1 31 2 1

2 0 0()1 2 30 1 2

1 2 4()1 2 34 5 6

7 8 9(

)1 22 4()1 02 1|1 20 0((1.a)(2.a) + 2 (1.a))1 00 1|1 22 4(

)2 13/2 1/2()1 23 4()2 13/2 1/2|1 00 1((1.a)(1/2) (2.a))2 13 1|1 00 1(

(1.a) + (2.a)

(2.a))1 03 1|1 20 2((1.a)(2.a) 3 (1.a))1 00 1|1 23 4()1 10 1()1 10 1(

)1 10 1|1 00 1((1.a) (2.a)(2.a))1 00 1|1 10 1()1 22 4()1 23 4()1 10 1(


b)

Horrela,

1

=

c)

Horrela,

1

=

61. orrialdea

3. Kalkulatu x, y, z, t honako hau bete dadin:

=

= =

2x z = 5 x =

2y t = 1 y = Soluzioa: =

z = 0 z = 0

t = 2 t = 2

)5/2 3/20 2()x yz t(325

2

)5 10 2()2x z 2y tz t()x yz t()2 10 1()5 10 2()x yz t()2 10 1(

)0 0 2/51/5 3/5 1/52/5 1/5 1/10()1 1 31 2 12 0 0()0 0 2/51/5 3/5 1/52/5 1/5 1/10|1 0 00 1 00 0 1((1.a) (2.a)(2.a)(3.a))1/5 3/5 3/51/5 3/5 1/52/5 1/5 1/10|1 1 00 1 00 0 1(

(1.a) 3 (3.a)

(1/5) (2.a)

(3.a))1 0 01 3 12/5 1/5 1/10|1 1 30 5 00 0 1((1.a)

5 (2.a) + (3.a)

(1/10) (3.a))1 0 01 1 04 2 1|1 1 30 1 20 0 10((1.a)

(2.a)

(3.a) + 2 (2.a))1 0 01 1 02 0 1|1 1 30 1 20 2 6((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) 2 (1.a))1 0 00 1 00 0 1|1 1 31 2 12 0 0()0 2 12 1 21 0 1()1 2 30 1 21 2 4(

)0 2 12 1 21 0 1|1 0 00 1 00 0 1((1.a) 2 (2.a)(2.a)(3.a))4 0 32 1 21 0 1|1 2 00 1 00 0 1((1.a) 3 (3.a)

(2.a) 2 (3.a)

(3.a))1 0 00 1 01 0 1|1 2 30 1 20 0 1((1.a)(2.a)(3.a) (1.a))1 0 00 1 00 0 1|1 2 30 1 21 2 4(


2

4. Matrize hauek izanda A = , B = , C = , egiaztatu hau:

a) A (B + C) = (A B) + (A C)

b) (A + B) C = (A C) + (B C)

c) A (B C ) = (A B) C

a) A (B + C ) = A =

A B + A C = + =

b) (A + B) C = C =

A C + B C = + =

c) A (B C ) = A =

(A B) C = C =

5. A = eta B = dira. Aurkitu hau betetzen duen X: 3 X 2 A = 5 B

3X = 5B + 2A = + = 8 X =

6. Aurkitu honako hau betetzen duten 2 2 dimentsioko bi matrize, A eta B:

2A + B = A B =

2A + B =

A B =

B = A = =

Soluzioa: A = , B = )1 00 0()0 21 0()1 00 0()1 21 0()0 21 0()1 21 0(

)1 21 0()1 42 0(

)1 21 0()1 42 0(

)2 105 17/3()6 3015 17()6 010 2()0 305 15()0 61 3()3 05 1(

)1 5107 3()1 526 3()1 5107 3()1 515 1(

)5 530 6()1 515 1()4 015 7()5 530 6()0 56 6(

)3 541 10()4 015 7()1 526 3()3 541 10()3 55 0(

)4 01 1()1 54 1()1 02 7(


A (B + C ) = A B + A C

(A + B) C = A C + B C

A (B C ) = (A B) C

Batuz: 3A = 8 A = )0 21 0()0 63 0(

7. Aurkitu hau egiaztatzen duten X eta Y bi matrize:

2X 3Y = eta X Y =

2X 3Y = 2X 3Y =

X Y = 2X + 2Y =

Batuz: Y = 8 Y =

X = + Y = + =

Soluzioa: X = , Y =

8. Esan zelakoa izan behar duen honako baldintza hau betetzen duen Xmatrize batek:

X = X

X =

X = =

X = =

Soluzioa: X = , x eta y edozein zenbaki erreal izanda.)x y0 x(

x = t

z = 0

x = x + z

x + y = y + t

z = z

z + t = t

)x + z y + tz t()x yz t()1 10 1()1 10 1()x x + yz z + t()1 10 1()x yz t()1 10 1(

)x yz t()1 10 1()1 10 1(

)3 52 10()4 55 16()4 55 16()3 52 10()1 03 6()1 03 6(

)3 52 10()3 52 10()2 06 12()1 03 6(

)1 54 2()1 54 2()1 03 6()1 54 2(


2

Berdinak izan behar dira

9. Egin honako eragiketa hauek, emandako matrize horiekin:

A = B = C =

a) (A B) + (A C)

b) (A B) C

c) A B C

a) A B + A C = + =

b) (A B ) C = =

c) A B C = =

10. A = matrizea emanda, egiaztatu (A I )2 = 0 dela.

(A I )2 = =

11. Aurkitu matrize hauen alderantzizkoa:

a) b) c) d)

a) = 8 =

Beraz, alderantzizkoa honako hau da:

b) = 8 =

Beraz, hauxe da: )5 28 3(

y = 2

t = 3

3y 2t = 0

8y + 5t = 1

x = 5

z = 8

3x 2z = 1

8x + 5z = 0

)1 00 1()3x 2z 3y 2t8x + 5z 8y + 5t()1 00 1()x yz t()3 28 5()1 32 7(

y = 3

t = 7

7y + 3t = 0

2y + t = 1

x = 1

z = 2

7x + 3z = 1

2x + z = 0

)1 00 1()7x + 3z 7y + 3t2x + z 2y + t()1 00 1()x yz t()7 32 1()1 2 30 1 2

0 1 1()1 0 00 2 0

0 0 1()3 28 5()7 32 1(

)0 00 0()0 20 0()0 20 0()1 20 1(

)23 129 9()1 13 2()2 79 0()10 156 9()1 13 2()5 53 3(

)9 1018 6()7 39 6()2 79 0(

)1 13 2()4 73 0()1 20 3(


c) = 8 =

a = 1, b = 0, c = 0, 2d = 0, 2e = 1, 2f = 0, g = 0, h = 0, i = 1

Beraz, da alderantzizkoa.

d) = 8

8 =

Beraz, da alderantzizkoa.

62. orrialdea

1. Kontuan hartu 8u(7, 4, 2),

8v(5, 0, 6),

8w(4, 6, 3), a = 8, b = 5 ditugula, 3

eta -ko elementuak.

Egiaztatu goian aipatutako zortzi propietateak.

Elkarkorra: (8u +

8v ) +

8w =

8u + (

8v +

8w)

(8u +

8v ) +

8w = (12, 4, 4) +

8w = (16, 10, 1)

8u + (

8v +

8w) =

8u + (9, 6, 3) = (16, 10, 1)

Trukakorra:8u +

8v =

8v +

8u

8u +

8v = (12, 4, 4) =

8v +

8u

Bektore nulua: 8v +

80 =

8v

8v +

80 = (5, 0, 6) + (0, 0, 0) = (5, 0, 6) =

8v

Aurkako bektorea: 8v + (

8v) =

80

8v + (

8v) = (5, 0, 6) + (5, 0, 6) = (0, 0, 0)

)1 1 10 1 20 1 1(

c = 1

f = 2

g = 1

c + 2f + 3i = 0

f + 2i = 0

f + i = 1

b = 1

e = 1

h = 1

b + 2e + 3h = 0

e + 2h = 1

e + h = 0

a = 1

d = 0

g = 0

a + 2d + 3g = 1

d + 2g = 0

d + g = 0

)1 0 00 1 00 0 1()a + 2d + 3g b + 2e + 3h c + 2f + 3id + 2g e + 2h f + 2id + g e + h f + i()1 0 00 1 00 0 1()a b cd e fg h i()1 2 30 1 20 1 1(

)1 0 00 1/2 00 0 1(

)1 0 00 1 00 0 1()a b c2d 2e 2fg h i()1 0 00 1 00 0 1()a b cd e fg h i()1 0 00 2 00 0 1(


2

Elkarkorra: (a b) 8v = a (b

8v)

(a b) 8v = (8 (5)) (5, 0, 6) = 40 (5, 0, 6) = (200, 0, 240)

a (b 8v) = 8 [5 (5, 0, 6)] = 8 (25, 0, 30) = (200, 0, 240)

Banakorra I: (a + b) 8v = a

8v + b

8v

(a + b) 8v = 3 (5, 0, 6) = (15, 0, 18)

a 8v + b

8v = 8 (5, 0, 6) 5 (5, 0, 6) = (40, 0, 48) (25, 0, 30) = (15, 0, 18)

Banakorra II: a (8u +

8v) = a

8u + a

8v

a (8u +

8v) = 8 (12, 4, 4) = (96, 32, 32)

a 8u + a

8v = 8 (7, 4, 2) + 8 (5, 0, 6) = (56, 32, 16) + (40, 0, 48) = (96, 32, 32)

Bider 1: 1 8v =

8v

1 8v = 1 (5, 0, 6) = (5, 0, 6) =

8v

64. orrialdea

Egiaztatu n-koteen multzo hauek L.I. ala L.M. diren.

2. (3, 0, 1, 0), (2, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 1), (4, 2, 0, 5)

Oinarrizko propietatea aplikatuz:

x (3, 0, 1, 0) + y(2, 1, 5, 0) + z (0, 0, 1, 1) + w (4, 2, 0, 5) = (0, 0, 0, 0)

Ondoko honetara heltzen gara:

(3x + 2y + 4w, y 2w, x + 5y + z, z 5w) = (0, 0, 0, 0)

Berdintza honek alboko sistema hau sortzen du:

Sistema honen soluzio bakarra x = 0, y = 0, z = 0, w = 0. Beraz, bektore haueklinealki independenteak dira.

3. (3, 0, 1, 0), (2, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)


x (3, 0, 1, 0) + y (2, 1, 5, 0) + z (0, 0, 1, 1) + w (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0)

Eragiten, ondoko honetara heltzen gara:

(3x + 2y, y, x + 5y + z, z + w) = (0, 0, 0, 0)

3x + 2y + 4w = 0

y 2w = 0

x + 5y + z = 0

z 5w = 0


Berdintzatik alboko sistema hau ondorioztatzen da:

Sistemak daukan soluzio bakarra: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0. Beraz, bektoreaklinealki independenteak dira.

4. (2, 4, 7), (1, 0, 2), (0, 1, 2)

Oinarrizko propietatea aplikatzen dugu:

x (2, 4, 7) + y (1, 0, 2) + z (0, 1, 2) = (0, 0, 0)

Eragiketak eginez, honetara heltzen gara:

(2x + y, 4x + z, 7x + 2y + 2z) = (0, 0, 0)

Berdintza honetatik alboko sistema ondorioztatu daiteke:

Sistemak daukan soluzio bakarra x = 0, y = 0, z = 0. Beraz, bektoreak linealki inde-pendenteak dira.

5. (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 0)

Azaldu bektore multzo batean zero bektorea badago, zergatik diren orduanL.M.


x (1, 0, 0) + y (1, 1, 0) + z (0, 0, 0) = (0, 0, 0)

x = 0, y = 0, eginez z-k edozein balio har dezake, beraz, bektoreak linealki men-pekoak dira.

8u1,

8u2, ,

8un bektore multzo batean bektore nulua badago lortu ahal da euren

arteko K.L. bat:

x18u1 + x2

8u2 + + xn 1

8un 1 + xn

80 = (0, 0, 0, , 0)

x1 = x2 = = xn 1 = 0 eta xn ? 0. Koefiziente guztiak nuluak ez direnez bek-toreak linealki menpekoak izango dira.

2x + y = 0

4x + z = 0

7x + 2y + 2z = 0

3x + 2y = 0

y = 0

x + 5y + z = 0

z + w = 0


2

66. orrialdea

1. Kalkulatu honako matrize hauen heina:

A = B =

C = D =

A = 8 hein (A) = 3

B = 8 hein (B) = 2

C =

8 hein (C ) = 2

D =

8 hein (D) = 3)1 0 2 1 10 2 1 1 20 0 11 5 40 0 0 0 0((1.a)(2.a)(3.a)

(4.a) + (3.a))1 0 2 1 10 2 1 1 20 0 11 5 4

0 0 11 5 4(

(1.a)

(2.a)

2 (3.a) + (2.a)

(4.a) 4 (2.a))1 0 2 1 10 2 1 1 20 1 5 3 1

0 8 7 9 4((1.a)(2.a)(3.a) + (1.a)

(4.a))1 0 2 1 10 2 1 1 21 1 3 2 0

0 8 7 9 4(

)1 2 0 30 1 1 10 0 0 0((1.a)

(2.a)

(3.a) 5 (2.a))1 2 0 30 1 1 10 5 5 5((1.a)(2.a) + (1.a)(3.a) 2 (1.a))1 2 0 31 3 1 42 1 5 1()1 3 10 7 70 0 0((1.a)(2.a)(3.a) + (2.a))1 3 10 7 70 7 7((1.a)(2.a) 2 (1.a)(3.a) (1.a))1 3 12 1 51 10 8()1 4 10 7 10 20 0((1.a)(2.a)(3.a) 2 (2.a))1 4 10 7 10 6 2((1.a)(2.a) + (1.a)(3.a) 2 (1.a))1 4 11 3 22 2 0(

)1 0 2 1 10 2 1 1 21 1 3 2 00 8 7 9 4

()1 2 0 31 3 1 42 1 5 1()1 3 12 1 5

1 10 8()1 4 11 3 2

2 2 0(


67. orrialdea

ESTILO MATEMATIKOA

1. Egiaztatu (7, 2, 1, 0), (0, 4, 0, 5), (0, 0, 2, 0) bektoreak L.I. direla.

a(7, 2, 1, 0) + b(0, 4, 0, 5) + g (0, 0, 2, 0) = (0, 0, 0, 0)

Lehenengo koordenatua da 7a + 0b + 0g = 0 8 a = 0

Berdinketa geratzen da: b(0, 4, 0, 5) + g (0, 0, 2, 0) = (0, 0, 0, 0)

Bigarren koordenatua da: 4b + 0g = 0 8 b = 0

Berdinketa geratzen da: g (0, 0, 2, 0) = (0, 0, 0, 0)

Hirugarren koordenatua da 2g = 0 8 g = 0

a = 0, b = 0 eta g = 0 direnez, bektoreak linealki independenteak dira.


2

72. orrialdea

PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK

Eragiketak matrizeekin

1 A = eta B = matrizeak izanda, kalkulatu:

a) 2A + 3B b) A B c) B (A) d) A A B B

a) b) c) d) =

2 Egin (3 2) biderketa.

(7 7) = (7)

3 a) Berdinak dira A = eta B = (2 3) matrizeak?

b)Aurkitu, ahal bada, AB; BA; A + B; At B matrizeak.

a) Ez, A-ren dimentsioa 2 1-ekoa da eta B-rena 1 2-koa. Bi matrize berdinakizateko dimentsio berdinekoak izan behar dira eta posizio bereko gaiak berdinak.

b) A B = ; B A = (1 3); A + B ezin da egin, ez dira dimentsio

berdinekoak.

At B = (2 3) (2 3) = (0 0)

4 Matrize hauek emanda A = eta B = . Egiaztatu honako hauek:

a) (A + B)t = At + B t

b)(3A)t = 3At

a) (A + B)t = t=

At + Bt = + = )5 12 10 1()4 20 11 0()1 32 01 1()5 12 10 1()5 2 01 1 1(

)4 0 12 1 0()1 2 13 0 1(

)4 66 9(

)23()01(

)01()1 15 2()34 1622 9()9 02 4()43 1624 5()21 68 6()17/2 211/2 1()23 412 4(

12

)3 02 2()7 23 1(

TREBATZEKO


(A + B)t = At + Bt

b) (3A)t = t=

3At = 3 =

5 Kalkulatu 3AAt 2I, kontuan izanda A = dela.

3A At 2I = 3 = 3 =

= =

6 A = eta B = matrizeak emanda, egiaztatu (A B)t = B t At dela.

A B = 8 (A B)t =

Bt At = =

7 Kalkulatu, kasu hauetako bakoitzean, berdintza egiaztatuko duen B matrizea:

a) + B = b)2 3B =

a) B = =

b) 2 3B = 8 3B = 2 =

B =

8 Egiaztatu A = matrizeak (A + I )2 = 6I egiaztatzen duela.

A = 8 A + I = + =

(A + I )2 = = = 6I

Beraz, (A + I )2 = 6I

)6 00 6()0 23 0()0 23 0()0 23 0()1 00 1()1 23 1()1 23 1(

)1 23 1()1 4/32 1(

)3 46 3()5 40 1()1 43 2()5 40 1()1 43 2()1 1 11 2 1()3 1 51 0 3()4 0 60 2 2(

)5 40 1()1 43 2()4 0 60 2 2()3 1 51 0 3(

)3 25 1()3 21 3()1 02 1()3 25 1()3 52 1(

)1 20 1()3 12 3()28 5151 85()2 00 2()30 5151 87(

)2 00 2()10 1717 29()2 00 2()3 51 2()3 15 2()3 15 2(

)3 96 03 3()1 32 01 1()3 96 03 3()3 6 39 0 3(


2

(3A)t = 3At

(A B)t = Bt At

9A = matrizea emanda, egiaztatu (A + I )2 = 0 dela, eta adieraziA2 matrizea A eta I-ren konbinazio lineal moduan.

A + I = + =

(A + I )2 = =

A2 idazten dugu A eta I-ren konbinazio lineal moduan.

(A + I )2 = 0 8 (A + I ) (A + I ) = A2 + A + A + I = A2 + 2A + I = 0 8

8 A2 = 2A I

Ekuazioak matrizeekin

s10 Aurkitu 2X + Y = , X Y = sistema egiaztatzen duten X eta Y

matrizeak.

2X + Y =

X Y =

3X = 8 X =

Y askatzen dugu 2. ekuazioan:

Y = X = =

Beraz, X = eta Y = .

s11 Kalkulatu X matrizea X B2 = A B bete dadin, kontuan hartuta:

A = B = )1 0 11 1 10 0 1()1 0 11 1 00 0 2(

)1/3 20 0()2/3 11 0()1/3 20 0()1 11 0()2/3 11 0()1 11 0(

)2/3 11 0()2 33 0()1 11 0()1 42 0(

)1 11 0()1 42 0(

)0 0 00 0 00 0 0()4 0 83 0 62 0 4()4 0 83 0 62 0 4()4 0 83 0 62 0 4()1 0 00 1 00 0 1()3 0 83 1 62 0 5(

)3 0 83 1 62 0 5(


Bi ekuazioak batuz:

X = A B + B2

A B =

B2 =

s12 Zehaztu m-ren zer baliorekin beteko duen X = matrizeak:

X 2 X + I = 0

X2 X + I = + =

= + = =

Ondoko hau bete behar da:

m2 m + 1 = 0 8 2m2 5m + 2 = 0 8

8 m = =

Soluzio bi daude: m1 = 2; m2 =

s13 Ebatzi:

=

= 8 = 8

8

Batuz:

4x = 5 8 x = 8 y = 3 x = 3 + =

Soluzioa: x = ; y = 74

54

74

54

54

x + y = 3

3x y = 2

x y = 3 + 2x

3x + 2y = 3y 2

)3 + 2x3y 2()x y3x + 2y()32()1 xy 1()xy()1 13 2()32()1 xy 1()xy()1 13 2(

1

2

m = 21

m = 2

5 3

4

5 25 164

5

2

)0 00 0()m2 (5/2)m + 1 00 0()1 00 1()m 00 2(52)m2 00 4()1 00 1()m 00 2(52)m 00 2()m 00 2(52

52

)m 00 2(

)1 0 22 1 10 0 1()1 0 02 1 00 0 2(


2

X = )2 0 24 2 10 0 3(

s14 Aurkitu honako hau beteko duten A eta B matrizeak:

2A + 3B =

A + 5B =

2A + 3B =

2A + 10B = 2. ekuazioa bider 2 egingo dugu.

13B = Ekuazio biak batuz.

B = Bider egingo dugu.

2. ekuazioan A kalkulatuko dugu:

A = 5B = =

Soluzioa: A = , B =

15 M = et N = matrizeak emanda, aurkitu beheko hori egiaztatuko

duten X eta Y bi matrize:

X 2M = 3N; M + N Y = I

X = 3N + 2M = 3 + 2 = + =

Y = M + N I = + = )1 52 2()1 00 1()1 03 0()1 51 3()5 107 6()2 102 6()3 09 0()1 51 3()1 03 0(

)1 03 0()1 51 3(

)2 0 34 1 22 1 3()1 2 13 4 01 0 2()1 2 13 4 01 0 2()9 2 1617 1 109 5 13()10 0 1520 5 1010 5 15()9 2 1617 1 109 5 13(

1

13)2 0 34 1 22 1 3()26 0 3952 13 2626 13 39(

)18 4 3234 2 2018 10 26()8 4 718 11 68 3 13(

)9 2 1617 1 109 5 13()8 4 718 11 68 3 13(


Alderantzizko matrizea

16 Egiaztatu A matrizearen alderantzizkoa A1 dela:

A = A1 =

A A1 = I

17 A = matrizea emanda, frogatu honako matrize hauetako zein den

horren alderantzizkoa:

M = N =

A M = = . M ez da A-ren alderantzizkoa.

A N = = . N da A-ren alderantzizkoa.

18 Aurkitu A = , B = eta C = matrizeen alderantzizkoak.

|A| = 2 8 A1 =

|B | = 4 8 B1 =

|C | = 1 8 C1 =

73. orrialdea

Matrize baten heina

19 Aztertu honako matrize hauen heina:

A = B = C =

D = E = F = )0 0 11 0 00 1 0()1 0 3 00 2 0 30 1 0 1()1 2 32 4 03 6 0()1 2 32 4 612 24 36()1 3 01 0 0()1 2 3 42 4 6 8(

)1 1 10 1 00 1 1()1 01/2 1/4(

)0 11/2 1/2()1 0 10 1 00 1 1()1 02 4()1 21 0(

)1 00 1()1 1/20 1/2()1 10 2()1 11 1()3/2 3/21/2 1/2()1 10 2(

)1 1/20 1/2()3/2 3/21/2 1/2()1 10 2(

)3 6 10 1 02 4 1()1 2 10 1 02 0 3(


2

A = 8 hein (A ) = 2

B = 8 hein (B ) = 2

C = 8 hein (C ) = 1

D =

8 hein (D ) = 2

E = 8 hein (E ) = 3

F = 8 hein (F ) = 3

s20 Aztertu matrizeen heina, eta esan, kasu bakoitzean, L.I. dituzten zutabeenkopurua:

A = B = C = D =

A =

8 hein (A) = 3

3 zutabe linealki independenteak daude A-n.

B = 8 hein (B) = 2

2 zutabe linealki independenteak daude B-n.

)2 1 30 0 70 0 0((1.a)(2.a)(3.a) (2.a))2 1 30 0 70 0 7((1.a)(2.a) 2 (1.a)(3.a) 3 (1.a))2 1 34 2 16 3 2(

)1 1 1 20 1 3 70 0 11 41(

(1.a)

(2.a)

(3.a) + 2 (2.a))1 1 1 20 1 3 70 2 5 27((1.a)(2.a) 2 (1.a)(3.a) (1.a))1 1 1 22 3 5 111 1 6 29()1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1()1 3 1 11 5 3 31 1 1 1

3 7 5 5()2 1 34 2 16 3 2()1 1 1 22 3 5 111 1 6 29(

)0 0 11 0 00 1 0()1 0 3 00 2 0 30 0 0 1((1.a)(2.a)2 (3.a) + (2.a))1 0 3 00 2 0 30 1 0 1(

)1 2 30 0 60 0 0(

(1.a)

(2.a)

6 (3.a) 9 (2.a))1 2 30 0 60 0 9((1.a)(2.a) 2 (1.a)(3.a) 3 (1.a))1 2 32 4 03 6 0()1 2 30 0 00 0 0((1.a)(2.a) + 2 (1.a)(3.a) 12 (1.a))1 2 32 4 612 24 36(

)1 3 01 0 0()1 2 3 40 0 0 16((1.a)(2.a) + 2 (1.a))1 2 3 42 4 6 8(


C =

8 hein (C ) = 2

Bi zutabe linealki independenteak daude C-n.

D = 8 hein (D) = 4

Lau zutabeak linealki independenteak dira D-n.

s21 Egiaztatu A2 = 2A I dela, honako hau izanda A = ( ) da, eta I da3 ordenako unitate-matrizea. Erabili berdintza hori A4 kalkulatzeko.

A2 = A A =

2A I = =

A4 kalkulatzen dugu:

A4 = (A2)2 = (2A I )2 = (2A I )(2A I ) = 4A2 2A 2A + I2 =

= 4(2A I ) 4A + I = 8A 4I 4A + I = 4A 3I =

= 4 3 =

= = )17 16 88 7 416 16 7()3 0 00 3 00 0 3()20 16 88 4 416 16 4()1 0 00 1 00 0 1()5 4 22 1 14 4 1(

)9 8 44 3 28 8 3()1 0 00 1 00 0 1()10 8 44 2 28 8 2()9 8 44 3 28 8 3(

5 4 22 1 1

4 4 1

EBAZTEKO

)1 1 1 10 2 0 20 0 2 20 0 0 2((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) (1.a)

(4.a) (1.a))1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1(

)1 1 1 10 4 2 20 0 0 00 0 0 0((1.a)(2.a)(3.a) + (2.a)

(4.a) (2.a))1 1 1 10 4 2 20 4 2 2

0 4 2 2(

(1.a)

(2.a) (1.a)

(3.a) (1.a)

(4.a) 3 (1.a))1 1 1 11 5 3 31 3 1 1

3 7 5 5((3.a)(2.a)(1.a)

(4.a))1 3 1 11 5 3 31 1 1 1

3 7 5 5(


2

A2 = 2A I

s22 A = , matrizea emanda, aurkitu A B = beteko duen B

matrize bat.

A B = 8 A1 AB = A1 8 B = A

A1 kalkulatzen dugu: |A| = 3; A1 =

Beraz:

B = = =

s23 A = matrizea emanda, frogatu A3 matrize nulua dela.

Egiaztatu gero I + A + A2 matrizea I A matrizearen alderantzizkoa dela.

* Biderkatu I + A + A2 matrizea I A matrizearekin.

A2 = ; A3 = A2 A =

Ikus dezagun I + A + A2 matrizea I A matrizearen alderantzizkoa dela:

(I + A + A2) (I A) = I A + A A2 + A2 A3 = I A3 = I 0 = I

(I + A + A2) (I A) = I denez, orduan I + A + A2 matrizea I A matrizearenalderantzizkoa da.

s24 Kalkulatu An eta Bn hau kontuan hartuta:

A = B =

A2 = A A = =

A3 = A2 A = =

Honela, An = . Indukzio- metodoaz frogatuko dugu:

Frogatu dugu n = 2 lehen kasu adierazgarrirako betetzen dela.

)1 n/7 n/70 1 00 0 1()1 3/7 3/70 1 00 0 1()1 1/7 1/70 1 00 0 1()1 2/7 2/70 1 00 0 1()1 2/7 2/70 1 00 0 1()1 1/7 1/70 1 00 0 1()1 1/7 1/70 1 00 0 1()1 00 3()1 1/7 1/70 1 00 0 1(

)0 0 00 0 00 0 0()0 0 20 0 00 0 0(

)0 2 10 0 10 0 0()2 11 2()0 11 0()1 22 1()0 33 0()1 22 1(13

)1 22 1(13)0 33 0()0 33 0()0 33 0(

)0 33 0()1 22 1(


Demagun n 1 kasurako egiazkoa dela:

An = An 1 A = =

B2 = = =

B3 = B2 B = = =

Beraz, Bn = . Indukzioz frogatuko dugu.

Aurreko kasuan bezala badakigu n = 2 kasurako betetzen dela.

Demagun egia dela n 1 kasurako:

Bn = Bn 1 B = =

s25 A = matrizea emanda, kalkulatu A2, A3, , A128.

A2 = A A = ; A3 = A2 A = = I; A4 = A3 A = I A = A

A128 = A42 3 + 2 = (A3)42 A2 = I 42 A2 = I A2 = A2 =

26 Zehaztu, ahal bada, (A k I)2 matrizea nulua egingo duen k-ren balio bat,honako hau kontuan hartuta:

A =

A kI = =

(A kI )2 = = =

= 8 k = 1)0 0 00 0 00 0 0()k2 1 2k 2 4k 42k 2 k2 1 4k 42 2k 2 2k k2 6k + 5()k 1 21 k 21 1 3 k()k 1 21 k 21 1 3 k(

)k 1 21 k 21 1 3 k()k 0 00 k 00 0 k()0 1 21 0 21 1 3()0 1 21 0 21 1 3(

)4 4 13 3 10 1 1()1 0 00 1 00 0 1()4 4 13 3 10 1 1(

)4 5 13 4 13 4 0()1 00 3n()1 00 3()1 00 3n 1(

)1 00 3n()1 00 33()1 00 27()1 00 3()1 00 9(

)1 00 9()1 00 32()1 00 3()1 00 3()1 n/7 n/70 1 00 0 1()1 1/7 1/70 1 00 0 1()1 n 1/7 n 1/70 1 00 0 1(


2

27 Aztertu honako bektore multzo hauen menpekotasun edo independentzialineala:

a)8u1 = (1, 1, 3, 7),

8u2 = (2, 5, 0, 4) eta zein den

8u1 eta

8u2 zutabeak dituen

matrizearen heina.

b)8v1 = (1, 0, 2, 3, 1),

8v2 = (2, 1, 3, 0, 2),

8v3 = (4, 1, 1, 6, 4) eta esan zein

den 8v1,

8v2,

8v3 errenkadak dituen matrizearen heina.

a) M = 8 hein (M) = 2

8u1 eta

8u2 linealki independenteak dira.

b) M =

8 hein (M) = 2

8v1,

8v2,

8v3 bektoreen multzoa linealki menpekoa da. Bektore bi baino ez dira

independenteak.

28 Aztertu honako bektore multzo hauen menpekotasun lineala, t -ren bekto-reen arabera.

a)8u1 = (1, 1, 0, 2),

8u2 = (2, 0, 1, 2),

8u3 = (3, 1, 1, t)

b)8v1 = (2, 2, 0, 0),

8v2 = (1, 5, 3, 3),

8v3 = (1, 1, t, 1),

8v4 = (2, 6, 4, 4)

a) Matrizearen heina aztertu behar dugu:

M =

8 hein (M) = 3 edozein t-ren baliotarako.

Hiru bektoreak linealki independenteak dira t-ren balioa edozein izanda ere.

)1 1 0 20 2 1 60 4 1 t + 6(

(1.a)

(2.a)

(3.a) 2 (2.a))1 1 0 20 2 1 60 4 1 t 6((1.a)(2.a) 2 (1.a)(3.a) 3 (1.a))1 1 0 22 0 1 23 1 1 t(

)1 0 2 3 10 1 7 6 00 0 0 0 0(

(1.a)

(2.a)

(3.a) (2.a))1 0 2 3 10 1 7 6 00 1 7 6 0((1.a)(2.a) 2 (1.a)(3.a) 4 (1.a))1 0 2 3 12 1 3 0 24 1 1 6 4(

)1 20 70 00 0((1.a)(2.a)6 (2.a) + 7 (3.a)

10 (2.a) + 7 (4.a))1 20 70 6

0 10((1.a)(2.a) + (1.a)(3.a) 3 (1.a)

(4.a) 7 (1.a))1 21 53 0

7 4(


b) Matrizearen heina kalkulatzen dugu:

M =

t = 1 bada, hein (M) = 2 8 Bi bektore linealki independenteak dira.

t ? 1 bada, hein (M) = 3 8 Hiru bektore linealki independenteak dira.

s29 Aztertu honako matrize hauen heina, k parametroaren balioaren arabera:

M = N = P = Q =

M = 8

N = 8 1 + 2k = 0 k = bada

k = bada, hein (N ) = 2.

k ? bada, hein (N ) = 3.

P =

k = 2 bada 8 hein (P) = 1

k ? 2 bada 8 hein (P) = 2

Q =

k = 2 bada 8 hein (Q) = 2

k ? 2 bada 8 hein (Q) = 3

)1 1 0 20 4 1 20 0 0 k 2((1.a)

(2.a)

(3.a) 3 (2.a))1 1 0 20 4 1 20 12 3 k + 4((1.a)(2.a) + (1.a)(3.a) + 2 (1.a))1 1 0 21 3 1 02 10 3 k(

)1 3 2 10 0 0 00 0 0 k + 2((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) 2 (1.a))1 3 2 11 3 2 12 6 4 k((1.a)(3.a) : 4(2.a))1 3 2 12 6 4 k4 12 8 4(12

12

12)2 1 40 0 70 1 + 2k 0((1.a)(2.a) + (1.a)2 (3.a) (1.a))2 1 42 1 31 k 2(

hein (M ) = 3 k-ren edo-zein baliotarako.)1 1 10 0 30 3 k + 2((1.a)(2.a) (1.a)(3.a) 2 (1.a))1 1 11 1 22 1 k(

)1 1 0 21 3 1 02 10 3 k()1 3 2 12 6 4 k4 12 8 4()2 1 42 1 31 k 2()1 1 11 1 22 1 k(

)1 1 0 00 2 1 10 0 0 00 0 t 1 0((1.a)(2.a)(3.a) (2.a)

(4.a) (2.a))1 1 0 00 2 1 10 2 1 1

0 2 t 1((1.a)(2.a) : 3(3.a) : 2

(4.a))1 1 0 00 6 3 30 4 2 2

0 2 t 1(

(1.a)

(2.a) (1.a)

(3.a) (1.a)

(4.a) (1.a))1 1 0 01 5 3 31 3 2 2

1 1 t 1((1.a) : 2(2.a)(4.a) : 2

(3.a))2 2 0 01 5 3 31 1 t 1

2 6 4 4(


2

s30 Eraikin batean hiru etxeb izitza mota daude: L3, L4 eta L5. L3 etxeek 4 leihotxiki eta 3 handi dituzte; L4 etxeek 5 leiho txiki eta 4 handi dituzte, eta L5etxeek, 6 leiho txiki eta 5 handi. Leiho txiki bakoitzak 2 kristal eta 4 bandaditu, eta handiek, 4 kristal eta 6 banda.

a) Idatzi etxebizitza bakoitzeko leiho kopurua eta tamaina adieraziko duenmatrize bat, eta leiho bakoitzeko kristal eta banda kopurua adierazikoduen beste bat.

b)Kalkulatu etxebizitza mota bakoitzeko kristal eta banda kopurua adierazikoduen matrizea.

T HK B

a) ;

T HK B

K B

b) =

74. orrialdea

s31 Lantegi batean bi bonbilla mota egiten dituzte: gardenak (G) eta opakuak (O).

Mota bakoitzetik lau modelo egiten dituzte: M1, M2, M3 eta M4.

G O

( )Taula honek mota eta modelo bakoitzeko bonbillek astean zer produkzioduten erakusten du.

Bonbilla akastunen ehunekoa % 2koa da M1 modeloan, % 5ekoa M2 mode-loan, % 8koa M3 modeloan, eta % 10ekoa M4 modeloan.

Kalkulatu bonbilla garden eta opakuen, ondo daudenen eta akastunenkopurua adieraziko duen matrizea.

M1 M2 M3 M4

G O

G O G O

= )96 611354 869(AO)96 60,91 354 869,1(AO)300 200400 250250 180500 300(M1M2M3

M4

)0,02 0,05 0,08 0,10,98 0,95 0,92 0,9(AO

300 200400 250250 180500 300

M1M2M3M4

)20 3426 4432 54(L3L4L5)2 44 6(TH)4 35 46 5(L3L4L5

)2 44 6(TH)4 35 46 5(L3L4L5


s32 Aurkitu itxura izango duten X matrize guztiak, kontuan hartuta

X2 = dela.

X 2 = = =

Soluzio bi daude: eta

s33 Kalkulatu A matrizearekin trukagarria den X matrize bat; hau da, A X = X A

beteko duena, A = izanik. Gero, kalkulatu A2 + 2A1 X.

A X = =

X A = =

X = , eta a, b

A2 + 2A1 X = + 2 = + 2 =

=

Begi bistan dago lortu dugun matrizea A-rekin trukagarria den horietako bat dela.

s34 A eta B honako matrize hauek dira:

A = B =

a) Aurkitu zer baldintza bete behar dituzten a, b, c koefizienteek A B = B Aegiaztatu dadin.

b)a = b = c = 1 kasuan, kalkulatu B10.

)a b 0c c 00 0 1()5 2 02 5 00 0 1(

)1 + 2a 2 + 2b 2a0 1 + 2a()a b a0 a()1 20 1()a b0 a()1 10 1()1 20 1(

)a b0 a(

c = 0

d = a

c = 0

a + c = a

b + d = a + b

d = c + d

)a a + bc c + d()1 10 1()a bc d()a + c b + dc d()a bc d()1 10 1(

)1 10 1(

)1 1 00 1 10 0 1()1 1 00 1 10 0 1(

a = 1 8 b = 1 8 c = 1a = 1 8 b = 1 8 c = 1

a = 1

a = b

b = 1

c = b

c = 1

a2 = 1

a + b = 0

b2 = 1

b + c = 0

c2 = 1

)1 0 10 1 00 0 1()a2 a + b 1

0 b2 b + c0 0 c2()a 1 00 b 10 0 c()a 1 00 b 10 0 c(

)1 0 10 1 00 0 1()a 1 00 b 10 0 c(


2

Berdinak izan behar dira.

X = 8)a bc d(

a) A B = =

B A = =

A B = B A, izateko ondoko hau bete behar da:

a = b = c

b) B =

B2 = =

B3 = B2 B = = =

B4 = B2 B2 = = =

Honela, B10 =

s35 Matrize karratu bati ortogonal esaten zaio, bere matrize alderantzizkoa etabere matrize iraulia bat datozenean. Kalkulatu x eta y, honako A matrizehau ortogonala izan dadin:

A =

* Egin A At = I.

A1 = At bada, A At = I izan beharko da, orduan:

A At = =

= = )1 0 00 1 00 0 1()9/25 + x2 (3/5)y (3/5)x 0

(3/5)y (3/5)x y2 + 9/25 00 0 1(

)3/5 y 0x 3/5 00 0 1()3/5 x 0y 3/5 00 0 1(

)3/5 x 0y 3/5 00 0 1(

)29 29 029 29 00 0 1()23 23 023 23 00 0 1()8 8 08 8 00 0 1()2 2 02 2 00 0 1()2 2 02 2 00 0 1(

)22 22 022 22 00 0 1()4 4 04 4 00 0 1()1 1 01 1 00 0 1()2 2 02 2 00 0 1()2 2 02 2 00 0 1()1 1 01 1 00 0 1()1 1 01 1 00 0 1(

)1 1 01 1 00 0 1(

c = b

c = a

7c = 7c

7c = 7c

5a + 2c = 5a + 2b

5b + 2c = 2a + 5b

2a + 5c = 7c

2b + 5c = 7c

)5a + 2b 2a + 5b 07c 7c 00 0 1()5 2 02 5 00 0 1()a b 0c c 00 0 1()5a + 2c 5b + 2c 02a + 5c 2b + 5c 00 0 1()a b 0c c 00 0 1()5 2 02 5 00 0 1(


+ x2 = 1 x2 = x =

y x = 0 y = x y = x

y 2 + = 1 y 2 =

Soluzio bi daude: x1 = , y1 = ; x2 = , y2 =

s36 Ebatzi honako ekuazio matrizial hau:

X =

1= ;

1=

Beraz:

X = 8 X = =

= =

Soluzioa: X =

s37 Justifikatu zergatik ez den egia berdintza hau,

(A + B) (A B) = A2 B2

A eta B edozein bi matrize direnean.

(A + B) (A B) = A2 AB + BA B2

Berdintza egiazkoa izateko AB = BA izan beharko litzateke; eta orokorrean, ezda betetzen edozein bi matrizerentzat.

s38 A matrizea 2 3 dimentsiokoa da:

a) Badago A B matrizea errenkada bakarrekoa egingo duen B matrizerik?

b)Eta B A matrizerako?

Jarri kasu bakoitzerako adibide bat, kontuan hartuta honako hau:

A = )1 0 02 1 0(

GALDERA TEORIKOAK

)1 61 8()1 61 8()0 11/2 2()2 24 2(

)0 11/2 2()6 422 14()4 13 1()6 422 14()4 21 0()1 13 4(

)0 11/2 2()4 21 0()4 13 1()1 13 4()6 422 14()4 21 0()1 13 4(

45

45

45

45

1625

925

35

35

45

1625

925


2

a) Ez; A B-k nahitanahiez 2 errenkada izan beharko ditu. Demagun, A =

eta B = , orduan: A B =

b) Bai; 1 2 ordenako matrize bat hartzen badugu, emaitzak errenkada bakar batedukiko du. Adibidez:

A = eta B = (1 2), orduan: B A = (5 2 0)

s39 A eta B ordena bereko bi matrize karratu dira. A eta B simetrikoak badira,horien A B biderkadura ere simetrikoa da?

Erantzuna baietz bada, justifikatu, eta ezetz bada, jarri kontrakoa erakustenduen adibide bat.

A eta B tamaina bereko bi matrize karratu badira eta gainera simetrikoak, eurenarteko biderkadura matrizeak ez du simetrikoa izan beharrik. Adibidez:

A = eta B = 8 A B = ez da simetrikoa.

s40 A = matrizea emanda, frogatu A3 + I = 0 egiaztatzen dela eta

erabili berdintza hori A10 lortzeko dela.

* Egin A10 = (A3)3 A eta kontuan hartu A3 = I dela.

A2 = ; A3 = 8 A3 + I =

A10 lortuko dugu. (A3 + I = 0 denez 8 A3 = I ):

A10 = (A3)3 A = (I )3 A = I A = A =

s41 A bi errenkada eta bi zutabeko matrize bat da, heina 2 duena. Alda dezakebere heina errenkada edo zutaberen bat gehituz gero?

Ez, L.I. diren errenkada kopurua eta L.I. diren zutabe kopurua berdinak direlako.Errenkada bat gehitzen badugu, A-k bi zutaberekin jarraituko du eta zutabe batgehituz gero A-k bi errenkadarekin jarraituko luke. Beraz, edozein kasutan heinabi izango litzateke.

)0 3 41 4 51 3 4(

)0 0 00 0 00 0 0()1 0 00 1 00 0 1()1 0 11 4 41 3 3(

)0 3 41 4 51 3 4()5 1 12 5 14 1 1()1 3 13 1 01 0 1()1 2 02 1 10 1 1(

)1 0 02 1 0(

)14()120()1 0 02 1 0(


s42 3 errenkada eta 3 zutabe dituen matrize batek heina 3 du.

a) Nola aldatu daiteke heina zutabe bat kenduta?

b)Errenkada bat eta zutabe bat kenduta, lortuko dugun matrizearen heina 2izango dela ziurta genezake?

a) Heina bi izango da.

b) Ez. Izan liteke 2 edo 1. Adibidez:

A = matrizean 1. errenkada eta 3. zutabea kentzen baditugu ,

geratzen da eta bere heina 1 da. A-ren heina 3 zen.

43 A matrize karratu bat da, 3 ordenakoa, eta aij = 0 da baldin eta i fi j bada (A matrize diagonal bat da). Egiaztatu bi matrize diagonalen arteko bider-kadura beste matrize diagonal bat dela.

A = eta B = , eta euren arteko biderkadura hauxe da:

A B = , matrize diagonala, frogatu nahi genuenez.

s44 Ordena 2 duen A matrize karratu baten traza definitzeko, tr (A) = a11 + a22esaten dugu.

Frogatu A eta B matrizeak 2 ordenako bi matrize karratu badira, orduan tr (A B) = tr (B A) dela.

A = eta B = badira, orduan:

A B = 8

8 tr (A B) = a11b11 + a12b21 + a21b12 + a22b22

B A = 8

8 tr (B A) = a11b11 + a21b12 + a12b21 + a22b22

Beraz, tr (A B) = tr (B A).

)b11a11 + b12a21 b11a12 + b12a22b21a11 + b22a21 b21a12 + b22a22(

)a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22()b11 b12b21 b22()a11 a12a21 a22(

)a11b11 0 00 a22b22 00 0 a33b33()b11 0 00 b22 00 0 b33()

a11 0 00 a22 00 0 a33

(

)0 10 0()1 1 10 1 10 0 1(


2

75. orrialdea

45 A eta B ordena bereko bi matrize karratu dira.

A B = A C berdintzatik ezin daiteke ondoriotzat B = C atera, orokorrean.

a) Frogatu baieztapen hori, A B = A C beteko duten B eta C bi matrize

desberdin bilatuz, A = izanik.

b)Zer baldintza bete behar du A matrizeak A B = A C matrizetik B = Cdela lortzeko ondoriotzat?

a) Adibidez, B = eta C = , orduan:

A B = = A C, baina B ? C.

b) A1 existitu behar da.

s46 a) A matrize erregular bat bada, n ordenakoa, eta AB + BA = 0 betetzen duenB matrize bat existitzen bada, frogatu BA1 + A1B = 0 dela.

b)A = bada, aurkitu AB + BA = 0 beteko duen B ? 0 matrize bat.

a) Bider A1 eginez ezkerretik:

AB + BA = 0 8 A1AB + A1BA = 0 8 B + A1BA = 0

Jarraian, berdintza berrian bider A1 egingo dugu eskuinetik:

BA1 + A1BAA1 = 0 8 BA1 + A1B = 0

b) Baldin B = bada, orduan:

A B = =

B A = =

Honela:

AB + BA = =

3a 2b + c = 0a + d = 0

d = aa + d = 0

2b c + 3d = 0 8 3a 2b + c = 0 88 c = 3a + 2b

6a + 4b 2c = 0

2a 2d = 0

4a + 4d = 0

4b 2c + 6d = 0

)0 00 0()6a + 4b 2c 2a 2d4a + 4d 4b 2c + 6d(

)3a + 4b 2a + 3b3c + 4d 2c + 3d()3 24 3()a bc d()3a 2c 3b 2d4a + 3c 4b + 3d()a bc d()3 24 3(

)a bc d(

)3 24 3(

)3 23 2()3 10 1()1 12 3(

)1 11 1(

SAKONTZEKO


Beraz:: B = , a ? 0 eta b ? 0 izanda.

Adibidez, a = 1 eta b = 1 badira, B = geratzen da.

s47 Aurkitu 2 ordenako matrize karratu bat, I eta I-tik desberdina izangodena, eta alderantzizkoa eta irauli bat dituena.

Biz A = . A1 alderantzizkoa eta At iraulia berdinak badira ondoko haubeteko da: A At = I. Hau da:

A At = = =

Adibidez, beste batzuen artean hauexek:

s48 a) Idatzi 2 ordenako matrize antisimetriko baten (A t = A) forma orokorra.

b)Matrize antisimetriko bateko diagonal nagusiko elementuak zero dira.Egiaztatu.

a) A = bada: At = eta A = .

At = A izateko ondoko hau bete behar da:

= 8

Beraz, 2 ordenako matrize antisimetriko bat honelakoa izan beharko da:

b) A = (aij )n n bada, diagonal nagusiko elementuak hauexek dira:

aii , i = 1, 2, , n.

Iraulia At = (aji)n n izango da. Diagonal nagusiko elementuak aii izangodira (A matrizekoen berdinak).

Irauliaren aurkakoa At = (aji)n n denez, diagonal nagusiko elementuak aiiizango dira.

At = A izateko, hauxe bete behar da: aii = aii; beraz, aii = 0, i = 1, , n(hau da, diagonal nagusiko elementuak zero izatea).

)0 bb 0(

a = 0

c = b

d = 0

a = a

c = b

b = c

d = d

)a bc d()a cb d(

)a bc d()a cb d()a bc d(

a2 + b2 = 1

ac + bd = 0

c2 + d2 = 1

)1 00 1()a2 + b2 ac + bdac + bd c2 + d2()a cb d()a bc d()a bc d(

)1 11 1()a b3a + 2b a(


2

; ; ; )0 11 0()0 11 0()0 11 0()0 11 0(

49 Matrize karratu bat k batura duen matrize magikoa da, errenkada, zutabe etabi diagonaletako bakoitzeko elementuen arteko batura, kasu guztietan, kdenean.

Zein da k-ren balioa matrize magiko bat antisimetrikoa bada? Aurkitu 3 orde-nako matrize magiko antisimetriko guztiak.

Aurreko ariketan, matrize antisimetriko batean diagonal nagusiko elementu guz-tiak zero direla ikusi dugu. Beraz, matrize antisimetrikoa bada, k = 0.

3 ordenako matrize antisimetrikoak bilatuko ditugu, jakinik kasu horretanbatura zero izan behar dela.

Ikus dezagun nolakoa den 3 ordenako matrize antisimetriko bat:

A = 8 At = A antisimtrikoa baldin At = A bada,hau da:

= 8

Beraz, 3 ordenako matrize antisimetriko bat honelakoa da:

A =

A magikoa izateko batura guztiak zero izan behar dira:

, hau da:

Beraz, 3 ordenako matrize magiko antisimetrikoak honelakoak izango dira:

A = , non b .

50 Lortu 3 ordenako matrize magiko simetriko guztiak, k = 0 denerako.

3 ordenako matrize simetriko bat honelakoa da:

A = (A = At delako). Magikoa izateko k = 0 izanda:)a b cb d ec e f(

)0 b bb 0 bb b 0(

c = b

f = b

b c = 0

b f = 0

c + f = 0

b + c = 0

b + f = 0

c f = 0

)0 b cb 0 fc f 0(

a = a b = d c = g

d = b e = e f = h

g = c h = f i = i

)a b cd e fg h i()a d gb e hc f i()a d gb e hc f i()a b cd e fg h i(


88

8

8

8

Beraz, 3 ordenako matrize magiko simetrikoak k = 0 kasurako itxura honetakoakdira:

A = , non f .

51 Lortu 3 ordenako matrize magiko simetriko guztiak, k = 3 denerako.

3 ordenako matrize simetriko bat honelakoa da: A =

Magikoa izateko, k = 3 den kasurako, ondokoa bete behar da:

)a b cb d ec e f(

)f f 0f 0 f0 f f(

a + b + c = 0 8 a = b c = fb + d + e = 0 8 b = e = f

c + e + f = 0 8 c = 0d + e + f = 0 8 e = f

3d = 0 8 d = 0

)1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 00 0 0 1 1 1 00 0 0 3 0 0 0

)

(1.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) : 2

(5.a) + (4.a))1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 00 0 0 2 2 2 0

0 0 0 1 2 2 0)

(1.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) + (3.a)

(5.a) 2 (3.a))1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 00 0 1 2 1 1 0

0 0 2 1 0 0 0)

(1.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) + (2.a)

(5.a))1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 00 1 1 1 0 1 0

0 0 2 1 0 0 0)

(1.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) (1.a)

(5.a))1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 01 0 0 1 0 1 0

0 0 2 1 0 0 0)

a + b + c = 0

b + d + e = 0

c + e + f = 0

a + d + f = 0

2c + d = 0


2

88

8

8

Beraz, 3 ordenako matrize magiko simetrikoak, k = 3 den kasurako, honelakoakdira:

A = , non f

Adibidez, f = 0 baliorako: A = )2 0 10 1 21 2 0()2 f f 1f 1 2 f1 2 f f(

a + b + c = 3 8 a = 3 b c = 3 f 1 = 2 fb + d + e = 3 8 b = 3 d e = 3 1 2 + f = f

c + e + f = 3 8 c = 3 e f = 3 2 + f f = 1d + e + f = 3 8 e = 3 d f = 3 1 f = 2 f

3d = 3 8 d = 1

)1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 30 0 0 1 1 1 30 0 0 3 0 0 3

)(1.a)(2.a)(3.a)(4.a) : 2(5.a) + (4.a)

)1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 30 0 0 2 2 2 60 0 0 1 2 2 3

)

(1.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) + (3.a)

(5.a) 2 (3.a))1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 30 0 1 2 1 1 3

0 0 2 1 0 0 3)

(1.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) + (2.a)

(5.a))1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 30 1 1 1 0 1 0

0 0 2 1 0 0 3)

(1.a)

(2.a)

(3.a)

(4.a) (1.a)

(5.a))1 1 1 0 0 0 30 1 0 1 1 0 30 0 1 0 1 1 31 0 0 1 0 1 3

0 0 2 1 0 0 3)

a + b + c = 3

b + d + e = 3

c + e + f = 3

a + d + f = 3

2c + d = 3


75. orrialdea

AUTOEBALUAZIOA

1. Kalkulatu M = P2 3P 2I matrizea, I ordena 2 duen identitate-matrizea izanik,

eta P = .

P2 = P P = =

3P = 3 =

2I = 2 =

2. Kalkulatu honako hau egiaztatzen duten A eta B matrizeak:

A + B = 2A 2B =

2. ekuazioko atal biak bider egingo dugu eta gero ekuazioak batuz geratzen da:

A B =

A + B + (A B ) = 2A = 8 A =

Lehenengo ekuazioan B askatuko dugu:

B = =

3. a) Egiaztatu A-ren matrizea A1 dela:

A = A1 =

b) Kalkulatu XA = B egiaztatzen duen X matrizea, A aurreko matrizea izaniketa B = (1 2 3).

a) A A1 = I

)1/5 2/5 03/5 6/5 10 1 0()5 0 20 0 13 1 0(

)3 1 01 0 1()0 1 12 1 2()3 2 13 1 3(

)0 1 12 1 2()0 2 24 2 4()3 0 11 1 1(

1

2

)6 0 22 2 2()3 2 13 1 3(

)2 00 2()1 00 1()3 96 3()1 32 1(

)7 00 7()1 32 1()1 32 1()1 32 1(


2

M = = )8 96 2()2 00 2()3 96 3()7 00 7(

b) X A = B 8 X A A1 = B A1 8 X = B A1

Beraz:

X = (1 2 3) = 2

4. Zehaztu a eta b-ren balioak, A = matrizeak A2 = A egiazta dezan.

A2 = A A = =

A2 = A 8 = 8

Beraz, a = 2 eta b = 1.

5. Kalkulatu zenbatekoa izan behar duen k-ren balioak A matrizearen heina 2izateko.

A =

A =

hein (A) = 2 izateko k 2 = 0 izan beharko da; hau da, k = 2.

6. Arrazoitu matrize honi errenkada edo zutaberen bat gehitu dakiokeen, lortzenden matrizearen heina 4 izan dadin.

Kalkula dezagun emandako matrizearen heina:

Heina 2 da; beraz, errenkada bat gehituz lortzen den matrize berriaren heina ezin da4 izan. (2 edo 3 izan beharko litzateke).

)1 2 0 30 1 1 20 0 0 0((1.a)(2.a)(3.a) 3 (2.a))1 2 0 30 1 1 20 3 3 6((1.a)(2.a)(3.a) 2 (1.a))1 2 0 30 1 1 22 7 3 0(

)1 2 0 30 1 1 22 7 3 0(

)5 5 60 2 70 k 2 0((1.a)(2.a)(3.a) + (2.a))5 5 60 2 70 k 7((1.a)(2.a) + (1.a)(3.a))5 5 65 3 10 k 7()5 5 65 3 10 k 7(

4 a = 2 8 a = 22 b = 1 8 b = 12a + ab = a 8 4 2 = 2a + b2 = b 8 2 + 1 = 1

)2 1a b()4 a 2 b2a + ab a + b2(

)4 a 2 b2a + ab a + b2()2 1a b()2 1a b()2 1a b(

)1575()1/5 2/5 03/5 6/5 10 1 0(


7. Kalkulatu A22 12A2 + 2A, jakinda A = dela.

A = 8 A2 = =

A3 = A2 A = =

A4 = A2 A2 = = 8 An =

A22 =

A22 12A2 + 2A = 12 + 2 =

= =

8. Honako taula honek P, Q, R, S produktuetako bakoitzak pisu-unitateko A, Beta C bitaminen zenbateko kantitatea duen erakusten du:

A B C

( )a) Dieta bat egin nahi dugu produktu horiekin guztiekin, baina A bitaminako 20

unitate, B bitaminako 25 eta C bitaminako 6 izan behar dituela kontuan hartuta.

Egin daiteke? Zenbat modutan?

b) Dieta horretan sartzen den Q-ren kantitatearen funtzioan, lortu gainerakoproduktuen kantitateak.

Zer balioren artean egon behar luke Q produktuaren kantitateak?

a) Izan bitez (x y z t ), dietan parte hartzen duten P, Q, R eta S produktuen kanti-tateak.

Dietak behar dituen bitaminen kantitateak edukitzeko, honako berdintza hau betebehar du:

A B C

P Q R S P 1 2 0 A B C

(x y z t ) Q ( 1 0 2 ) = (20 25 6)R 2 1 0S 1 1 1

1 2 01 0 22 1 01 1 1

PQRS

)9 00 9()1 12 + 2 22a 24a + 2a0 1 12 + 2()1 a0 1()1 2a0 1()1 22a0 1(

)1 22a0 1()1 na0 1()1 4a0 1()1 2a0 1()1 2a0 1(

)1 3a0 1()1 a0 1()1 2a0 1()1 2a0 1()1 a0 1()1 a0 1()1 a0 1(

)1 a0 1(


2

Matrizeak bidertuz eta berdinduz ondorengo sistema hau lortuko dugu:

Gauss-en metodoa erabiliz ikusiko dugu sistema bateragarri indeterminatuadela.

Beraz, P, Q, R eta S produktuak erabiliz, behar diren bitaminak dituzten infinitudieta desberdin ahal dira egin.

b) Sistema y-ren arabera ebatziko dugu (dietan parte hartzen duen Q produk-tuaren kantitatea).

y = l eginez ondorengo soluzioak lortuko ditugu: (8 + l, l, 3, 6 2l), hauda, dieta bakoitza osatzeko behar diren P, Q, R eta S produktuen kantitateak.

Kantitate horiek negatiboak ez izateko l-k 0 eta 3 bitartean egon behar du.Hau da, 0 < l < 3.

x + y + 2z + t = 20

2x + z + t = 25

2y + t = 6


02 Matrizeen Aljebra Soluzioak

Documents

Transcript of 02 Matrizeen Aljebra Soluzioak