28

Unitatearen aurkezpena

•Unitatearenhasieran,zenbakiarruntenmultzoazabaldubeharraikustendaeta,zentzuhorretan,zenbakinegatiboakerabilibeha-rra,aurkakojokabideak(+,–)ageridituztenzenbaitegoerakuan-tifikatzeko.Ondoren,zenbakiosoenºmultzoaeraikikoduguetahoriennomenklaturaetaidazkera,egitura,ordenaetaadierazpi-deaikusikoditugu.

•Hortikaurrera,zenbakiosoenartekoeragiketaklandukoditugu.Zenbakioklantzenaurrekounitateanhasiginen,bainaunitatehonetanoraindikereprozesuhorretanjardungodugu.

•Zenbakipositiboetanegatiboenbatuketaketakenketakegitekooinarrizkoprozedurakikusiondoren,zailtasunarenaraberamaila-katurikohainbatariketaproposatzendira,etatartean,baitaari-ketaebatziakere.Azkenekozatian,parentesidunadierazpenkonplexuakproposatzendira.

•Eraberean,zenbakiosoenbiderketaetazatiketagogoratuos-tean,parentesiaketaeragiketakonbinatuakdituztenadierazpe-naklantzenjoangogara,ariketaebatziaketaproposatutakoari-ketakeginetaaztertuz.

•Berreturarenkontzeptuaberrekizunosoaetaberretzailearruntadutenberreturenkasuanerabilikodugu,etaaurrekoikasturteanzenbakiarruntekinlandugenituenpropietateakgogoratukodi-tugu.

•Unitateaamaitzeko,errokizunazenbakiosobatdeneanerroekzerjokabidedutenikusikodugu.

•Beraz,unitatehonetakoedukiakbiataletanbereizditzakegu:

–Kontzeptuzkoedukiak:

•Zenbakinegatiboenbeharra.

•ºmultzoaeraikitzea.

•Zenbakiosoeidagozkieneragiketak ingurukoegoerekinerlazionatzea.Problemakzenbakiosoakerabilizebaztea.

–Prozedurazkoedukiak:

•Zenbakiosoeneragiketakegitekooinarrizkoprozedurak.

•Parentesiaketaeragiketakonbinatuakdituztenadierazpenakebaztea.

•Unitatehonetakoatalmamitsuenaprozedurazkoedukiekhartzendute,etahelburunagusiadaikasleekzenbakiosoeneragiketakondo,ziurtasunezetatrebeegitenjakiteaetaerabiltzea,ezin-bestekotresnabaitiraondorengoikasketeibegira.

Gutxienekoezagutzak

•Informazioakuantifikatzekozenbakiosoakerabiltzendituztenmezuaksortzeaetainterpretatzea.

•Zenbakiosoakadierazteaetaordenatzea.Zenbakienzuzenosoainterpretatzea.

Unitatearen eskema

ZENBAKI OSOAK

2 Zenbaki osoak

28

BATUKETAETA

KENKETA

BIDERKETAETA

ZATIKETA

BERRETURAKETA

ERROAK

ERAGIKETAK

ERAGIKETAKONBINATUAK

ZENBAKIOSOENPROBLEMAKEBAZTEA

ZENBAKIPOSITIBOAKETANEGATIBOAK

•Beharrizanaetaerabilera

ZENBAKIOSOENºMULTZOA

ORDENAETAADIERAZPENA

29

•Zenbakipositiboenetanegatiboeneragiketakegitea,eragiketakonbinatuerrazakdituztenadierazpenetan.Zeinuenerregela.Parentesiakkentzea.Eragiketenhierarkia.

•Aritmetikakoproblemakzenbakiosoenbidezebaztea.

Osagarrigarrantzitsuak

•ZenbakienÚetaºmultzoakargietagarbibereiztea.

•Zenbakiosoeneragiketenpropietateakjakitea.

•Zenbakiosoeneragiketakonbinatuakdituztenadierazpenakebaztea.

•Zenbakiosoenmultzoanerregulartasunakaztertzea,manipulazioz-koariketenbidez:karratumagikoak,zenbakitriangeluarrak,etab.

Lanakaurreratu

•Zenbakiarrunteneragiketenpropietateakberrikustea.

•Parentesiaketaeragiketakonbinatuakdituztenzenbakiarruntenadierazpenetan,lehentasunazeinekduengogoratzea.

•Buruzkokalkulualantzeaetafinkatzea(arruntenartekobatuketaketakenketak).

•Zenbakiarruntaknolaordenatzendirenetazenbakienzuzeneanno-laadieraztendirengogoratzea.

•Zenbakipositiboaketanegatiboakerabilibeharraerakustendutenegoerakbilatzea.

Curriculumaegokitu

«Fotokopiatzekobaliabideak»atalean,ikaslearenliburuko2.unitatehonencurriculumegokituaagerida.Horretarako,hemenproposa-tzendirengutxienekoezagutzakhartuditugukontuan.

Hasierakoirakurgaiak,batetik,ulertuzirakurtzekogaitasunaindar-tzekobaliodu;eta,bestetik,matematikarenikasketajustifikatzendutenbialderdiaklantzeko:praktikoaetaintelektuala.

Edukiakeskatubeharrekogutxienetaraegokitutabadaude,edoezdutealdaketarikizan,edoapurbatmoldatudiraikasleekdutenmailakontuanhartuz.Gauzaberaesandezakeguproposatzendi-renariketapraktikoeiburuz.

Edukirenbateskatubeharrekogutxienetatikkanpobadago,edokendueginda,edoeskatzendenmailaraegokituda.

Azkenik,unitatearenamaieranageridirenariketaetaproblemeidagokienez,gutxiagojarridiraetamoldatuedoerraztuegindira,eskatubeharrekoraegokitzeko.Gauzaberaegindaautoebalua-zioarekin.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA DIZIPLINARTEKOTASUNA

29.or.3.,4.eta5.(*)ariketak 31.or.Orrialdeosoa(*) 31.or.3.ariketa(*) 30.or.P.D.-niradokitakoariketa

34.or.P.D.-niradokitakoariketa 33.or.8.(*)eta9.(*)ariketak 39.or.2.ariketa(*)

36.or.P.D.-niradokitakoariketa 35.or.20.(*)eta23.(*)ariketak40.or.4.ari-keta(*)

39.or.P.D.-niradokitakoariketa 42.or.32.ariketa(*) 42.or.30.eta31.ariketak

40.eta41.or.P.D.-niradokitakoariketa 43.or.34.ariketa(*)

44.or.«Joinformaziobila»ariketa(*)

IKTak EKIMENA PROBLEMAK EBATZI

28.or.P.D.-niradokitakoariketa(*) 29.or.1.(*)eta2.(*)ariketak I.L.-nproposatutakoproblemaguztiak.Hemenaipagarriakdirenbatzukadiera-zikoditugu.

30.or.3.ariketa(*) 42.or.«Ikasiproblemakebazten»ariketa(*)

40.or.6.ariketa(*) 43.or.35.ariketa

44.or.«Begiratu,hausnartuetaazaldu»eta«Begiratuetaegingogoeta»(*)ariketak

43.or.«Ebatziproblema»eta«+problemak»ariketak

45.or.«Trebatuproblemakebatziz»ariketa(*)

Ondorengotaulahonetan,lankidetzanikastea,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,eki-menaetaproblemenebazpenalantzekoetahorriguztiariarretajartzekoariketakbildutaageridira.Batzukikaslearenli-buruan(I.L.)proposatutadaude,eta,hemen,zerorrialdetandaudenetazerariketadirenadierazida.Bestebatzuk,argizehaztendenmoduan,ProposamenDidaktikoan(P.D.)iradokitadaude.

Iradokizunhauetakobatzukikurbatekinmarkatutadaudeikaslearenliburuan;hemen,(*)ikurraerabiliznabarmenduditugu.

30

2 Zenbaki osoak Antzinako Txinako zenbakiak Txinatarrek K.a. iii. mendetik aurrera erabili zituzten zenbaki negatiboak. Baina ez zituzten zenbakiz idazten; kalkulurako abako eta tauletan adierazten zituzten, kolorezko bolak eta hagatxoak erabiliz. 673 –187 49 –205 760

1 Zer zenbaki ikusten duzu lauki bakoitzean?

a) b) c)

d) e) f )

2 Hagatxoen sistema bera erabiliz, adierazi honako zenbaki hauek:

9, –5, 34, –56, 147, –283

TenperaturakErreparatu honako erloju analogiko eta digital hauek adierazten dituzten tenperaturei.

3 Zer irakurtzen duzu bakoitzean?

4 Marraztu honako tenperatura hauek termometro analogiko eta digita-letan:a) Hamabost gradu.b) Hamaika gradu zero azpitik.

Edukitzea eta zor izateaIrakurri aurreko orrialdeko idazle hinduaren bi esaldiak. Esaldi horiek honela gaurkotu daitezke:a) Bost euroko zorra barkatzen baldin badizute, bost euro gehiago izango dituzu.b) Bost euroko billetea ematen baldin baduzu, bost euro gutxiago izango dituzu.

5 Honako espresio hauetako zein esleituko zenioke aurreko esal-dietako bakoitzari?

+(+5) = +5 +(–5) = –5–(+5) = –5 –(–5) = +5

Gauzak existitzen dira, baina zenbakiak ideien eremuko gizakien asmakariak dira.

Europan, zenbaki negatiboak astiro eta gorabehere-kin sartu ziren.

Eduki horiei buruzko teoriak xvi. mendeko matema-tikari askok sortu zituzten, baina xix. mendera arte pentsamendu matematikoa ez zen modelo fisikoetatik askatu; orduan onartu zen zenbaki negatiboen multzoa eskubide osoko objektu matematiko gisa.

Zenbaki negatiboak vii. mendera arte ez ziren siste-matizatuta agertu, hinduen idazkietan agertu ere,

eta eguneroko arazoen inguruko galderekin eta jardue-rekin lotuta; esaterako, edukitzea zor izatearen aurrean.

«Ezerezetik kendutako zorra ondasun bihurtzen da».

«Ezerezetik kendutako ondasuna zor bihurtzen da».

Era horretako enuntziatuetan, zeroa eta zeinuen erre-gela erabiltzen zituztela ikusten da.

Zenbaki negatiboak arruntak baino askoz beranduago sortu ziren, merkataritza-

ren beharrei erantzuteko eta zero eta guztiko zenbaki-sistemak agertu eta gero; jakina denez, zeroa ezinbesteko osagaia da zenbaki-sistema eraikitzeko.

Zenbaki faltsu eta zenbaki absurdu esan zaie negatiboei; horrek zenbakion zailtasuna erakus-ten du eta ideien munduko maila landuagoan jartzen ditu era horretako zenbakiak.

Unitatearen hasieran• Hasierakoirakurgaian,gauregungauzaerrazetaegintzatjotzendugun

zenbakiosoenmultzoakontrolatuetamenderatzeko,gizateriakibilibeharizanduenbideluzearenzatibatzukerakustendira.Horrela,ikasleakezagu-tzahorieneraikuntzariburuzkoikuspegihistorikoazjabetukodiraetairaga-netikoinordetzanjasodugunezagutzabalioestenikasikodute.

• Bigarrenorrialdeanlehenengoanesandakoaazpimarratzenda,etazen-baitegoeraematendira,zenbakinegatiboakbeharrezkoaketalagunga-rriakdirelaerakusteko.

• Ariketaosagarriak:

–Informazioabilatzeabigaihaueiburuz:abakotxinatarrakzenbakine-gatiboekinnolaerabiltzendiren,etamatematikariarabiarrekizanzu-teneraginaEkialdekoezagutzakMendebalderazabaltzeko.

–Gogoetaegiteahistorianzeharzenbakinegatiboenbeharraeragindutenarrazoieiburuz:merkataritza,diruarenagerpena,etab.

–Zenbakinegatiboakezinbesteanerabilbehardituztenjarduerak,zere-ginak,lanbideak...kontuanhartzea.

Ikasleek zer dakiten argitzeko galderak• Zenbakinegatiboakzeregoeratanerabiltzenditugunaipatzea.

• Parentesiaketaeragiketakonbinatuakdituztenzenbakiarruntenadie-razpenakebaztea.

IKTak Ikasleeizenbakiosoenhistoriariburuzkoinformazioasakontzekoiradoki-tzenda.Adibidez,galderahaueierantzunez:

Zerherrialdetanerabilizutenlehenengoz«–»ikurrazenbakinegatiboakadierazteko?

Zermatematikarikbultzatuzuenadierazpidehori?

Lankidetzan ikasi Orrialdehonetan,etaeragiketentrebetasunaindartzekoorrialdeguztie-tan,lankidetzanikasteabultzatzenduenhonakometodologiahauerabil-tzeairadokitzenda:

• Ikasleek,binakaedohirunakajarrita,bakarkaebatzikodituzteariketak;gero,lortutakosoluzioaketaerabilitakoprozesuakkonparatukodituzte.

• Soluzioakbatezbadatoz, akatsanondagoenaurkitubehardute.Zalantzakargitzenezbadakiteedoadosjartzenezbadira,orduanira-kasleakeskuhartukodu.

Ariketen soluzioak

1 a)19 b) 841 c) 702

d)–8 e) –363 f) –72

2 9 –5 34 –56 147 –283

3 Analogikoetan,22ºCeta–12ºC.Digitaletan,–22ºCeta28ºC.

4 Eskatzendenamarraztu.

5 a)–(–5)=+5 b)–(+5)=–5

OHARRAK

31

Iradokizunak• Ikasleekgertukoakdituztenbizipenetatiketaezagundituztenegoereta-

tikabiatuta,zenbakiarruntenmultzoazabalduetazenbakinegatiboakonartzekobeharraikusikodugu.Horrezgain,zenbakinegatiboakadie-raztekoetapositiboetatikbereiztekoerabiltzenditugunidazkerakon-bentzionalakgogoratukoditugu.

• Zenbakipositiboenetanegatiboenerabileraridagokionez,bieratakoerabilerakbereizikoditugu:

–Mailajakinbatengainetikedoazpitikposiziofinkoakadieraztea:termo-metrobatentenperatura,urarenmaila,kontubatekosaldoa...

–Goranzkoedobeheranzkoaldakuntzakadieraztea:tenperaturaalda-ketak,kontubatekomugimenduak...

Indartzeko eta SakontzekoIndartzeko:

1.Idatzihirumezu-parehonakohaukontuanhartuz:parebakoitzekolehe-nengomezuanzenbakipositibobaterabilibeharda,etabigarrenme-zuan,testuinguruberean,zenbakinegatibobat.

Diziplinartekotasuna Honakoariketahauiradokitzenda:

Aurkituetadeskribatuzenbaitegoera,zenbakiosoakzientziarenzenbaitjardueraedoadarretan(medikuntza,fisika,ekonomia,estatistika...)erabil-garrietalagungarriakdirelaerakusteko.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)–2 b)+12 c)+500000

d)–150000 e)–120 f)+11000

2 A8–11 B8+9

3

Iradokizunak• Ikasleekzenbakipositiboetanegatiboeiburuzorainartedakitenabildu

etazenbakiosoenmultzoaeraikikodugu.Horrezgain,osoenidazkeraaurkeztukoduguetamultzohorrenegiturarenezaugarrigarrantzitsue-nakazaldukoditugu.

• Balioabsolutuarenkontzeptualagungarriizangoduguaurkakobalioa-renadefinitzeko.Bikontzeptuokfinkatzenlaguntzeko,zenbakienzuzenaerabilikodugu.

• Zenbakiosoakzuzeneanadieraztealagungarriaizangodazenbakiakkonparatuetaordenatzeko.Horrela,zuzenarenirudiabegiaurreandu-tela,ikasleekargiikusikodutebizenbakiosorenarteanhandienaeskui-neraegongodelabeti,zenbakiosoenmultzoakezduelaezhasierarikezamaierarik,arruntenmultzoaosoenmultzoarenbarruandagoela,etab.

Indartzeko eta SakontzekoIndartzeko:

1.Ordenatutxikienetikhandienera:–8,–15,+6,–2,–1,+7,0,+11,–18

2.Idatzizenbakihauetakobakoitzarenbalioabsolutuaetaaurkakoa.

a)–8 b)+10 c)–13d)+23e)–22f)+35

Sakontzeko:

1.Ordenatutxikienetikhandienera:I–6I,–11,–5,I–4I,–9,I+2I,+9,–1,I–10I

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)3eta+3b)8eta–8c)1eta+1d)23eta–23e)37eta+37f)60eta–60

2 –24<–13<–7<–1<0<+1<+5<+8<+10

3 a)Gezurrab)Egiac)Gezurrad)Egia

3130

Zenbaki negatiboak, positiboak ez bezala, aurkako balioak kuantifikatu beha-rretik sortzen dira: edukitzea eta zor izatea, igotzea eta jaistea, handiagotzea eta txikiagotzea…

Adibideak

•Hamabi zentimetro hazi naiz. → +12 cm

•Zortziehun gramo argaldu naiz. → –800 g

•Zenbaki negatiboak minus zeinua (–) aurretik dutela idazten dira.•Zeinurik izan ezik, zenbakia positiboa dela jotzen da.•Eragiketetan, zenbaki negatiboak parentesien artean idazten dira, bi zeinu

jarraian ager ez daitezen.

Adibideak

•8 + (– 4) → Zenbaki positiboa, +8, negatiboarekin, – 4, batzen da.

•(–2) · (–5) → Zenbaki negatiboa, –2, negatiboarekin, –5, biderkatzen da.

Zenbaki positiboen eta negatiboen erabilgarritasuna

■ posizio finkoak balioztatzea

•Bosgarren solairuan bizi naiz. → +5

•Automobila bigarren sotoan daukat. → –2

■ aldakuntzak edo bariazioak balioztatzea

•Bigarren sototik bosgarren solairura igo naiz (zazpi solairu). → +7

•Bosgarren solairutik lehenengora jaitsi naiz (lau solairu). → – 4

1 Zenbaki positiboak eta negatiboak

1. Elkartu enuntziatu bakoitzari zeinu eta guztiko zenbakia.

a) Paris gauez ikusten geundela, zero azpiko bi gra-duko tenperatura genuen.

b) Atzoko gorengo tenperatura hamabi gradukoa izan zen.

c) Enpresak milioi erdi euroko irabaziak izan zituen iaz.

d) Telebistako programak ehun eta berrogeita hamar mila ikusle galdu zituen.

e) Hondoratutako itsasontzia hogei metroko sakone-ran dago.

f ) Hegazkina hamaika mila oineko altueran doa.

2.Idatzi zenbaki bat zuzenaren gaineko mugimendu bakoitzerako.

0 5 10 15

A B

3. Marraztu aurreko ariketakoa bezalako zuzen batean:

a) –7 zenbakiari elkartutako mugimendua.

b) +4 zenbakiari elkartutako mugimendua.

c) Zer mugimendu ateratzen da aurreko biak kateatuz?

Pentsatu eta egin

Zenbaki arrunten N multzoa hartu eta, zero ez den edozein elementu bakoi-tzeko, +a, zeinu negatiboko beste bat, –a, gehituz gero, beste multzo bat lortuko dugu; multzo horri zenbaki osoen multzoa esaten zaio matematikan, eta Z letraren bidez adierazten da.

Z = , , , , ,

, , , , ,

888

1 2 3 4 501 2 3 4 5

…

– – – – – …

POSITIBOAK

ZERO

NEGATIBOAK

+ + + + +Z

[

\

]]

]]

Zenbaki osoaren balio absolutua eta aurkakoa

•Zenbaki osoaren balio absolutua zeinua kenduz ateratzen den zenbaki arrunta da eta barren artean idatziz adierazten da.

| a | → a-ren balio absolutua

Adibideak

|+7| = 7 |–7| = 7•Zenbaki osoaren aurkakoa balio absolutu bera baina kontrako zeinua duen

beste zenbaki oso bat da.

Adibideak

(+7)-ren aurkakoa → (–7) (–7)-ren aurkakoa → (+7)

Z multzoko ordena

Zenbaki osoen multzoa zenbakien zuzenean adierazten da, ordenan:… – 6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 …

Zenbakia bere ezkerrean duen beste edozein baino handiago dela eta bere eskui-nean duen beste edozein baino txikiago dela ikusten da horrela.

•Edozein zenbaki positibo zero baino handiago da eta azken hori, edozein zenbaki negatibo baino handiago.

•Zenbaki negatiboak zenbaki positiboen kontrara ordenatzen dira. Handiena balio absoluturik txikiena duena da.

2 Zenbaki osoen Z multzoa

Hartu kontuan

Zenbakiaren balio absolutua zenbakien zuzenean zerora duen distantzia da.

–8 0

|–8| = 8

0 +5

|+5| = 5

Adibideak

(–7) < 0 < (+1)(–12) < (–9) < (–2)

1. Idatzi honako zenbaki hauetako bakoitzaren balio absolutua eta aurkakoa.a) –3 b) +8 c) –1d) +23 e) –37 f ) +60

2.Ordenatu txikitik handira.–7, –13, +8, –1, +1, +5, 0, +10, –24

3. Egia ala gezurra?

a) Edozein zenbaki oso arrunta ere bada.

b) Edozein zenbaki arrunt osoa da.

c) Negatiboek baino ez dute aurkakoa.

d) Aurkako bi zenbaki osok balio absolutu bera dute.

Pentsatu eta egin

+13+2

0+5

–2–5 –1

–7–4

+1

+7 +4

…

…

–13

a) –7

c) –7 + 4 = –3

0 5 10

b) +4

32

3332

Zenbaki osoak batzea eta kentzea

Gogoratu zenbaki osoak dituzten espresioak ebazteko oinarrizko erregela batzuk:

Bi zenbaki oso batzeko (kentzeko):•Zeinu bera izanez gero, horien balio absolutuak batu eta batugaiek zuten

zeinua jartzen da.•Zeinu desberdina izanez gero, balio absolutuen arteko kenketak egin eta

balio absoluturik handiena duenaren zeinua jartzen da.

Adibideak

+4

0

0 0+6 –5

+11 –9 0

+7

+4 + 7 = +11

–6 –3

–3 – 6 = –9

–4

+10 –8

–4 + 10 = +6

+3

+3 – 8 = –5

•Gehi edo plus zeinua aurretik duen parentesia kenduz gero, barruko zeinuak ez dira aldatzen.

+(–3 + 8 – 2) = –3 + 8 – 2•Ken edo minus zeinua aurretik duen parentesia kenduz gero, barruko

zeinuak aldatu egiten dira: plus minusen ordez eta minus plusen ordez.–(–3 + 8 – 2) = +3 – 8 + 2

Bi zenbaki positibo eta negatibo baino gehiago izanez gero, bi bide har ditzakegu:

•Pausoz pauso, ageri diren • Positiboak alde batean eta negatiboak

ordenan eragitea. bestean taldekatzea. Gero, eragitea.

2 3–> ?;;

+ 4 – 8 = 7 – 5 + 4 – 8 – 3 =

= –1 4+> ?;;

– 8 = = 7 4 5 3 8– ––+> ?;; > ?;;;;

=

= 3 8–> ?;;

= –5 = 11 16–> ?;;;;

= –5

Adibidea

(7 – 10) – (2 – 5 + 4 – 9) = (–3) – (2 + 4 – 5 – 9) =

= (–3) – (6 – 14) =

= (–3) – (–8) = –3 + 8 = +5

3 Eragiketak zenbaki osoekin

Hartu kontuan

Beste era bat:(7 – 10) – (2 – 5 + 4 – 9) == 7 – 10 – 2 + 5 – 4 + 9 == 7 + 5 + 9 – 10 – 2 – 4 == 21 – 16 = +5

1. Kalkulatu buruz:a) 5 – 7 b) 2 – 9c) 3 – 4 d) 6 – 10e) 5 – 12 f ) 9 – 15g) –12 + 17 h) –22 + 10i ) –21 + 15 j ) –3 – 6k) –1 – 9 l ) –12 – 13

2.Ebatzi.a) 10 – 3 + 5 b) 5 – 8 + 6c) 2 – 9 + 1 d) 7 – 15 + 2e) 16 – 4 – 6 f ) 22 – 7 – 8g) 9 – 8 – 7 h) 15 – 12 + 6

3.Kalkulatu.a) –3 + 10 – 1 b) –8 + 2 – 3c) –5 + 6 + 4 d) –12 + 2 + 6e) –18 + 3 + 6 f ) –20 + 12 + 5g) –7 – 3 – 4 h) –2 – 13 – 5

4.Kopiatu eta osatu adibidean bezala.

• 7 – 4 – 6 – 2 + 5 + 3 – 4 = 15 – 16 = –1

a) 3 – 9 + 4 – 8 – 2 + 13 = – =

b) –15 – 4 + 12 – 3 –11 – 2 = – =

5.Kalkulatu.a) 3 – 7 + 2 – 5b) 2 – 6 + 9 – 3 + 4c) 7 – 10 – 5 + 4 + 6 – 1d) – 6 + 4 – 3 – 2 – 8 + 5e) 12 + 5 – 17 – 11 + 20 – 13f ) 16 – 22 + 24 – 31 + 12 – 15

6.Kendu parentesiak eta kalkulatu.a) (–3) – (+4) – (–8)b) –(–5) + (– 6) – (–3)c) (+8) – (+6) + (–7) – (– 4)d) –(–3) – (+2) + (–9) + (+7)

7.Ebatzi bi eratan, adibidean bezala.• 10 – (13 – 7) = 10 – (+6) = 10 – 6 = 4

10 – (13 – 7) = 10 – 13 + 7 = 17 – 13 = 4

a) 15 – (12 – 8) b) 9 – (20 – 6)c) 8 – (15 – 12) d) 6 – (13 – 2)e) 15 – (6 – 9 + 5) f ) 21 – (3 – 10 + 11 + 6)

8. Ebatzi adibideak eskaintzen dituen eretako batean.• (8 – 13) – (5 – 4 – 7) = (8 – 13) – (5 – 11) =

= (–5) – (– 6) = –5 + 6 = 1

(8 – 13) – (5 – 4 – 7) = 8 – 13 – 5 + 4 + 7 =

= 19 – 18 = 1

a) 4 – (8 + 2) – (3 – 13)b) 12 + (8 – 15) – (5 + 8)c) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2)d) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5)

9. Ariketa ebatzia

Kalkulatzea: 6 – [5 + (8 – 2)]

a) Lehenengo era: parentesiak kenduz. 6 – [5 + (8 – 2)] = 6 – [5 + 8 – 2] = = 6 – 5 – 8 + 2 = 8 – 13 = –5b) Bigarren era: parentesien barruan eraginez. 6 – [5 + (8 – 2)] = 6 – [5 + (+6)] = = 6 – [5 + 6] = 6 – [+11] = 6 – 11 = –5

10.Kalkulatu.a) 7 – [1 + (9 – 13)] b) –9 + [8 – (13 – 4)]c) 12 – [6 – (15 – 8)] d) –17 + [9 – (3 – 10)]e) 2 + [6 – (4 – 2 + 9)] f ) 15 – [9 – (5 – 11 + 7)]

11. Ebatzi.a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7]b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)]c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)]d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15]e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)]f ) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)]

Pentsatu eta egin

Batuketak eta kenketak egiteko ariketa gidatuak.

Webgunean

Praktikatu zenbaki osoak batuz eta kenduz.

Webgunean

Osatu karratu magikoak.Webgunean

Iradokizunak• Ikasleekaurrekoikasturteanikasizutenzenbakiosoenartekobatuketak

etakenketakegiten.Beraz,atalhonetan,parentesiaketazenbakienba-tuketaetakenketakonbinatuakdituztenadierazpenetankalkulurakoprozedurakhobetzekobaliodutenerregelapraktikoakgogoratukoditu-gu.Zailtasunenbatdutenikasleenkasuan,intuiziozkoeuskarriakerabilietabatuketaetakenketariburuzkoegoerenantzezpenaegingodugu:salduetaerosi,kobratuetaordaindu,irabazietagaldu,etab.

• Zenbaitzenbakipositiboetanegatibobatzean,adibideetanerakustendenbezalaegiteairadokitzendugu:urratsezurratsjoanetaeragiketakzenbakiakageridirenordenanegitea,edopositiboakaldebatetiketanegatiboakbestealdebatetikbatzeaetaemaitzenartekokenketaegi-tea.Ikasleekkasubakoitzeanzerbidehartzeakomenidenikasibehardute.Horrezgain,argiizanbeharduteezdiolaaxolabatugaiaknolael-kartzendireneragiketakegitean(elkartze-propietatea).

• Erregelakondoulertuondoren,horiekfinkatzekolanadator;eta,horre-tarakoonenahurrengoorrialdeanproposatzendirenenantzekoariketakegiteada.Ariketaebatziakosolagungarriakdirazalantzakargitzekoetaosoenartekobatuketaketakenketaktrebeegitenikasteko.Ariketokor-denatutadaude,errazenetikhasietazailenera.

Indartzeko eta SakontzekoAriketahauekgomendatzendira:

• MATEMATIKAKOARIKETAK1.koadernotik:

Indartzeko:15.orrialdeko1.ariketa.16.orrialdeko2.ariketa.

Sakontzeko:16.orrialdeko3.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)–2 b)–7 c)–1 d)–4 e)–7 f)–6

g)5 h)–12 i)–6 j)–9 k)–10 l)–25

2 a)12 b)3

c)–6 d)–6

e)6 f) 7

g)–6 h)9

3 a)6 b)–9

c)5 d)–4

e)–9 f)–3

g)–14 h)–20

4 a)20–19=1 b)12–35=–23

5 a)–7 b)6

c)1 d)–10

e)–4 f)–16

6 a)1 b)2

c)–1 d)–1

7 a)11 b)–5

c)5 d)–5

e)13 f)11

8 a)4 b)–8

c)3 d)0

9 Ariketahauikaslearenliburuanebatzitadago.

10 a)10 b)–10 c)13 d)–1 e)–3 f)7

11 a)–1 b)0 c)13 d)–4 e)–25 f)–14

33

3534

Zenbaki osoak biderkatzea

Bi zenbaki osoren biderkadura zenbat den kalkulatzeko, kontuan har dezakegu biderketa batugai berdineko batuketa dela:

(+3) · (– 6) = Hiru bider batuko dugu (– 6):+(– 6) + (– 6) + (– 6) = – 6 – 6 – 6 = –18

(–3) · (– 6) = Hiru bider kenduko dugu (– 6):–(– 6) – (– 6) – (– 6) = +6 + 6 + 6 = +18

Hala ere, azkar biderkatzeko, honako erregela hau aplikatzen da:

zeinuen erregela

Bi zenbaki osoren biderkadura:

•Positiboa da, faktoreek zeinu berdinak izanez gero. (+) · (+) = +(–) · (–) = +

•Negatiboa da, bi faktoreek zeinu desberdinak izanez gero. (+) · (–) = –(–) · (+) = +

Adibideak

(+4) · (+3) = +12 (–5) · (– 4) = +20 (+6) · (– 4) = –24 (– 4) · (+8) = –32

Zenbaki osoak zatitzea

Zenbaki osoen arteko zatiketak zenbaki arrunten arteko erlazio berberak ditu. Zatiketan, biderketako zeinuen erregela bera aplikatzen da:

(+4) · (+6) = +24 (+24) : (+4) = +6

(– 4) · (– 6) = +24 (+24) : (– 4) = – 6

(+4) · (– 6) = –24 (–24) : (+4) = – 6(–24) : (– 6) = +4

Eragiketa konbinatuak

Hartu kontuan zer ordenatan egiten ditugun eragiketak honako adierazpen honen balioa kalkulatzeko:

(–15) : (4 – 9) + 3 · (8 – 1)

↓

•Lehenengo, parentesien barruko eragiketak.

⎯⎯→ (–15) : (–5) + 3 · (–3)

↓

•Gero, biderketak eta zatiketak. ⎯⎯→ (+3) + (–9)

↓

•Azkenez, batuketak eta kenketak. ⎯⎯→ 3 – 9 = – 6

12. Biderkatu.a) (+10) · (–2) b) (– 4) · (–9)c) (–7) · (+5) d) (+11) · (+7)

13. Erreparatu adibideei eta kalkulatu.• (–3) · (+2) · (–5) = (– 6) · (–5) = +30

(–3) · (+2) · (–5) = (–3) · (–10) = +30

a) (–2) · (–3) · (+4) b) (–1) · (+2) · (–5)c) (+4) · (–3) · (+2) d) (– 6) · (–2) · (–5)

14.Egin honako zatiketa hauek.a) (–18) : (+3) b) (–15) : (–5)c) (+36) : (–9) d) (–30) : (–10)e) (–52) : (+13) f ) (+22) : (+11)

15.Kalkulatu zenbat balio duen x-k kasu bakoitzean.a) (–18) : x = +6 b) (+4) · x = –36c) x · (–13) = +91 d) x : (–11) = +5

16.Kopiatu, osatu eta konparatu. Zer ikusten duzu?(+60) : [(–30) : (–2)] = (+60) : [+15] = [(+60) : (–30)] : (–2) = [ ] : (–2) =

17. Kalkulatu.a) [(– 45) : (+3)] : (+5) b) (–28) : [(+12) : (–3)]c) [(–72) : (+9)] : (–8) d) (–100) : [(–36) : (–9)]

18.Kalkulatu adibideari jarraituz.• [(–8) · (+9)] : [(+6) · (–3)] = [–72] : [–18] = +4 –72 –18 +4

a) [(+5) · (–8)] : [(–2) · (–5)]b) [(+28) : (–7)] · [(+20) : (– 4)]c) [(–70) : (+5)] : [(–28) : (+4)]

19.Kalkulatu adibideetan bezala.• 15 – 8 · 3 = 15 – 24 = –9

18 : 6 – 5 = 3 – 5 = –2

a) 18 – 5 · 3 b) 6 – 4 · 2 c) 7 · 2 – 16d) 18 – 15 : 3 e) 5 – 30 : 6 f ) 20 : 2 – 11

20. Kalkulatu adibidean bezala.• 21 – 4 · 6 + 12 : 3 = 21 – 24 + 4 = 25 – 24 = 1

a) 20 – 4 · 7 + 11 b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2c) 15 – 20 : 5 – 3 d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6

21. Erreparatu adibideari eta kalkulatu.• (–3) · (– 4) + (– 6) · 3 = (+12) + (–18) = 12 – 18 = – 6

a) 5 · (–8) – (+9) · 4b) 32 : (–8) – (–20) : 5c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4)d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4)e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2)f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3)

22.Kalkulatu.a) 18 – 5 · (3 – 8)b) 4 · (8 – 11) – 6 · (7 – 9)c) (4 – 5) · (–3) – (8 – 2) : (–3)

23. Ariketa ebatzia

(–2) · [11 + 3 · (5 – 7)] – 3 · (8 – 11)

–3–2

–6 +9

+5

–10

–1

(–2) · [11 + 3 · (5 – 7)] – 3 · (8 – 11) == (–2) · [11 + 3 · (–2)] – 3 · (–3) == (–2) · [11 – 6] + 9 = (–2) · [+5] + 9 = –10 + 9 = –1

24.Kalkulatu.a) 15 + 2 · [8 – 3 · 5]b) (–3) · (+5) – 3 · [11 + 3 · (5 – 11)]c) 28 : (–7) – (– 6) · [23 – 5 · (9 – 4)]d) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7)e) [18 + 5 · (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)]

Pentsatu eta egin

Praktikatu zeinuen erregela.

Webgunean

Gogoratu zenbaki osoen biderketa eta zatiketa.

Webgunean

Eragiketa konbinatuak egiteko ariketa gidatuak.

Webgunean

Praktikatu zenbaki osoekin eragiketa konbinatuak eginez.

Webgunean

Iradokizunak• Zenbakiosoenartekobiderketalantzenhastean,kontuanhartukodugu

biderketabatugaiberdinenartekobatuketadela.

• Prozesuhorimekanizatzeko,ikasleeizeinuenerregelaburuzikasietalantzekoeskatukodiegu,oinarrizkoabaitazenbakiosoenartekobider-ketarenkalkuluaerrazteko.

• Zatiketalantzeko,kontuanhartukoduguzatiketabiderketarenkontrakoeragiketadela.Beraz,oinarrimoduanbiderketenadibideakhartu,etaemaitzabiderkagaietakobatekinzatitukodugubestebiderkagaialor-tzeko.Horrela,ikasleekargiikusikodutezeinuenerregelaberdinadelazatiketarenetabiderketarenkasuan.

• Azkenpartean,parentesiaketazenbakiosoeneragiketakonbinatuakdi-tuztenadierazpenetaneragiketekdutenhierarkiariburuzkoerregelakgogoratzendira.

• Eragiketakonbinatuakizenekoataleanageridenadibideaikustean,la-gungarriaizangodaadierazpenarenegituraetajarraitubeharrekopro-zesuazehaztea.

• Komenidaikasleekaurrekoprozedurahorilantzea,hasieranbehintzat.Horrela,adierazpenakbesterikgabeebaztenhasibainolehen,oroko-rreaninterpretatzekoohiturahartukodute.

Indartzeko eta SakontzekoAriketahauekegiteagomendatzenda:

•MATEMATIKAKOARIKETAK1.koadernotik:

Indartzeko:17.orrialdeko1.eta2.ariketak.18.orrialdeko1.eta2.arike-tak.19.orrialdeko3.ariketa.

Sakontzeko:17.orrialdeko3.ariketa.19.orrialdeko4.ariketa.

Lankidetzan ikasi Orrialdehonetan,etaeragiketentrebetasunaindartzekoorrialdeguztie-tan,lankidetzanikasteabultzatzenduenhonakometodologiahauerabil-tzeairadokitzenda:

• Ikasleek,binakaedohirunakajarrita,bakarkaebatzikodituzteariketak;gero,lortutakosoluzioaketaerabilitakoprozesuakkonparatukodituzte.

• Soluzioakbatezbadatoz, akatsanondagoenaurkitubehardute.Zalantzakargitzenezbadakiteedoadosjartzenezbadira,orduanira-kasleakeskuhartukodu.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

12 a)–20 b)36 c)–35 d)77

13 a)+24 b)+10 c)–24 d)–60

14 a)–6 b)+3 c)–4 d)+3 e)–4 f)+2

15 a)x=–3 b)x=–9 c)x=–7 d)x=–55

16 a)+4 b)–2;+1

17 a)–3 b)+7 c)+1 d)–25

18 a)–4 b)+20 c)+2

19 a)3 b)–2 c)–2 d)13 e)0 f)–1

20 a)3 b)–10 c)8 d)–1 e)11 f)4

21 a)–76 b)0 c)–2 d)–9 e)–17 f)29

22 a)43 b)0 c)5

23 Ariketahauikaslearenliburuanebatzitadago.

24 a)1 b)6 c)–16 d)10 e)2

34

3736

Gogoan izan berretura faktore bereko biderkadura dela:

an = a · a · a · … · an aldiz

BERRETZAILEA

BERREKIZUNA

Adibideak

•(+4)2 = (+4) · (+4) = +16•(–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = +81•(–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243

Zenbaki negatiboen berreturak

Zenbaki negatibo baten ondoz ondoko berreturetan, txandaka, emaitza positi-boak eta negatiboak lortzen dira:

(–3)1 = –3 (–3)2 = +9 (–3)3 = –27 (–3)4 = +81

Zenbaki negatibo bat berretuz gero:

•Berretzailea bikoitia izanez gero, emaitza positiboa da.

(– a)n (bikoitia) → positiboa

•Berretzailea bakoitia izanez gero, emaitza negatiboa da.

(– a)n (bakoitia) → negatiboa

4 Zenbaki osoen berreketak

Hartu kontuan

10n = 10 · 10 · … · 10 n faktore ↓

10n = 100 … 0 n zero

1. Idatzi berretura eran.a) (–2) · (–2)b) (+5) · (+5) · (+5)c) (– 4) · (– 4) · (–4) · (–4)d) (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2)

2.Kopiatu eta osatu koadernoan.

berreketa berrekizuna berretzailea berretura

(–1)7

(–2)4

(+3)3

(– 4)2

3.Idatzi biderkadura eran eta kalkulatu.a) (–2)6 b) (–3)1 c) (+3)4

d) (–5)2 e) (–10)5 f ) (–8)3

4.Lau eragiketako kalkulagailua erabiliz, kalkulatu adibidean bezala.

• 125 → 12**==== → {∫“¢°°«“…}a) 86 b) (–8)6 c) (–9)5

d) (–11)3 e) 175 f ) (–27)4

5.Kalkulatu zenbat balio duen x-k kasu bakoitzean.

a) (–2)x = +16 b) (–3)x = –27

c) (+6)x = +36 d) (–5)x = –125

e) (–10)x = +10 000 f ) (–10)x = –10

6.Kalkulatu zenbat den kasu bakoitzean berdintza betetzen duen x-ren balioa (edo balioak).

a) x 2 = +4 b) x 6 = +729

c) x 3 = – 64 d) x 7 = –1

e) x 4 = 2 401 f ) x 5 = –100 000

Pentsatu eta egin

Berreketen propietateak

Honako propietate hauek funtsezkoak dira berreturekin kalkuluak egiteko.Ikasi horiek buruz eta aztertu arretaz adibideetako bakoitza.

■ biderketa baten berreketa

Biderketa baten berretura eta faktoreen berreturen biderkadura berdinak dira.

[(–2) · (+5)]3 = (–2)3 · (+5)3

[–10]3 (–8) · (+125)

–1 000 –1 000

(a · b)n = a n · b n

■ zatiketa baten berreketa

Zatiduraren berretura eta zatikizunaren eta zatitzailearen berreturen arteko zatidura berdinak dira.

[(–10) : (+5)]3 = (–10)3 : (+5)3

(–2)3 (–1 000) : (+125)

–8 –8

(a : b)n = a n : b n

■ berrekizun bereko berreketen arteko biderketa

Berrekizun bereko bi berretura biderkatzeko, berretzaileak batzen dira.

(–10)2 · (–10)3 = (–10)2 + 3 = (–10)5

(+100) · (–1 000)

–100 000 –100 000

a m · a n = a m + n

■ berrekizun bereko berreketen arteko zatiketa

Berrekizun bereko bi berretura zatitzeko, berretzaileen arteko kenketa egiten da.

(–10)5 : (–10)3 = (–10)5 – 3 = (–10)2

(–100 000) : (–1 000)

+100 +100

a m : a n = a m – n

■ berreketa baten berreketa

Berretura bat berretzeko, berretzaileak biderkatzen dira.

[(–10)3]2 = (–10)3 · 2 = (–10)6

[–1 000]2

+1 000 000 +1 000 000

(a m)n = a m · n

Hartu kontuan

[(–2) + (–3)]2 = [–5]2 = +25

(–2)2 + (–3)2 = 4 + 9 = +13

[(–2) + (–3)]2 ≠ (–2)2 + (–3)2

Batura (edo kendura) baten berretura ez da batugaien berreturen baturaren parekoa.

Erreparatu

a 2 · a 4 = a · a · a · a · a · a = a 6

a 2 · a 4 = a 2 + 4 = a 6

a 6 : a 4 = a a a a

a a a a a a· · ·

· · · · · = a 2

a 6 : a 4 = a 6 – 4 = a 2

Beste adibide batzuk

• (a · x)4 = a 4 · x 4

• ( p : y)5 = p 5 : y 5

• b 3 · b 6 = b 9

• x 7 : x 4 = x 3

• ( y 5)3 = y 15

Iradokizunak• Zenbakiosoenberreketaklantzenhasikogara.Kontuanizandazenbaki

arruntenberreketakaurrekourteetanikasitaditugula,eremuhorizabal-duetaberretzailearruntekoosoenberreketaklandukoditugu,biderka-gaiberdinenartekobiderkaduralaburtuadirelajakinda.

• Hasieran,zenbakipositiboetanegatiboenberreketaerrazakegingoditu-gu,ariketakbehinetaberrizegitearenpoderiozkontzeptuafinkatzeko.

• Kontzeptuafinkatutadagoenean,edukiasakonduetaorokortuegingoduguzenbakinegatiboenberreturakzerzeinuhartzenduenjakitekomodua,berretzaileabikoitiaedobakoitiadenkontuanhartuz.

• Hainbatariketaproposatuetaegingoditugu,emaitzakikertuetaikas-leekberaiekondorioztadezatennoizhartzenduenberreturakzeinubatetanoizbestea,etalortutakoondoriohoriataleanageridenkoadroakematenduenarekinbatdatorrelaziurtadezaten.

Lankidetzan ikasi Orrialdehonetan,etaeragiketentrebetasunaindartzekoorrialdeguztie-tan,lankidetzanikasteabultzatzenduenhonakometodologiahauerabil-tzeairadokitzenda:

• Ikasleek,binakaedohirunakajarrita,bakarkaebatzikodituzteariketak;gero,lortutakosoluzioaketaerabilitakoprozesuakkonparatukodituzte.

• Soluzioakbatezbadatoz, akatsanondagoenaurkitubehardute.Zalantzakargitzenezbadakiteedoadosjartzenezbadira,orduanira-kasleakeskuhartukodu.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)(–2)2 b)(+5)3 c)(–4)4 d)(–2)6

2 berreketa berrekizuna berretzailea berretura(–1)7 –1 7 –1

(–2)4 –2 4 +16

(+3)3 +3 3 +27

(–4)2 –4 2 +16

3 a)+64 b)–3 c)+81 d)+25 e)–100000 f)–512

4 a)262144 b)262144 c)–59049

d)–1331 e)1419857 f)531441

5 a)x=4 b)x=3 c)x =2 d)x=3 e)x=4 f)x=1

6 a)x=+2 b)x=+3 c)x=–4 d)x=–1 e)x=+7 f)x=–10

Iradokizunak

• Berreketenpropietateezagunenakikusikoditugu.Metodologiamo-duan,propietatehoriekargiazalduetaerabilgarriakdirelaerakutsikodutenadibideakjartzeairadokitzenda.

• Lehenengobipropietateakaurkeztuondoren,komenidatartekianageriden«ezpropietatea»azpimarratzea:batuketabatenberreturaetabatu-gaienberreturenartekobatuketaezdiraberdinak.Ikasleeksarritanhutsegitendutehorretan.

• Hurrengopropietateaklantzeko,zailtasunarenaraberaantolaturikoari-ketamultzoakegiteairadokitzenda,horiekurratsezurratseginetaerre-gelaberezaurkitzeko.Azkenurratsaerregelaenuntziatzeaetamatema-tika-hizkuntzankodetzea(adierazpenaljebraikoa)izangoda.

Indartzeko eta Sakontzeko

Ariketahauekgomendatzendira:

• MATEMATIKAKOARIKETAK1.koadernotik:

Indartzeko:20.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.1.orrialdeko5.,6.eta7.ariketak,a),b),c)etad)atalak.

Sakontzeko:20.orrialdeko4.ariketa.21.orrialdeko5.,6.eta7.ariketak,e)etaf)atalak.

35

3938

7.Kalkulatu.a) (–2)6 + (–2)5

b) 104 + (–10)3 – 102 + (–10)c) (–5)2 – (–2)4 + (–1)6

d) (+4)3 : (–2)4 + (+9)2 : (–3)3

e) (+4)2 + (–2)3 : [(–2)3 + (–3)2]

8.Laburtu berreketa bakarrera adibidean bezala.• 25 · (–3)5 = [2 · (–3)]5 = (– 6)5

a) 32 · 42 b) (–2)3 · 43

c) (–5)2 · (+3)2 d) (–3)4 · (–2)4

9.Adierazi berreketa bakar baten bidez adibidean bezala.• (–15)4 : (+3)4 = [(–15) : (+3)]4 = (–5)4 = 54

a) 94 : 34 b) (+15)3 : (–5)3

c) (–20)2 : (– 4)2 d) (–18)4 : (+6)4

10.Laburtu, a m · a n = a m + n propietatea erabiliz.a) x 2 · x 3 b) m 3 · m 5

c) a 4 · a 4 d) z 5 · z

11. Kopiatu eta osatu koadernoan.a) (– 6)3 · (– 6)4 = (– 6)b) (+3)6 · (+3)2 = 3c) (–2)8 · (–2)2 = 2d) (–5)3 · (+5)2 = (–5)

12. Laburtu berreketa bakarrera.a) 25 · 27 b) (–2)3 · (+2)6

c) (–12)2 · (+12)2 d) (+9)4 · (–9)2

13. Laburtu, a m : a n = a m – n propietatea aplikatuz.a) x 7 : x 4 b) m 5 : m 4

c) a 7 : a 2 d) z 8 : z 3

14.Kopiatu eta osatu koadernoan.a) 59 : 53 = 5b) (–2)6 : (–2)3 = (–2)c) (– 4)8 : (+4)3 = 4d) (+6)8 : (– 6)5 = (– 6)

15. Laburtu berreketa bakarrera.a) (–7)8 : (–7)5 b) 109 : (–10)4

c) 124 : (–12) d) (– 4)10 : (+4)6

16.Erabili (a m)n = a m · n propietatea, eta laburtu.a) (x 3)2 b) (m 4)3

c) (a 3)3 d) (z 6)3

17. Kopiatu eta osatu koadernoan.a) (32)4 = 3 b) [(–2)4]3 = (–2)c) [(+5)2]2 = (+5) d) [(– 6)3]5 = (– 6)

18. Laburtu berreketa bakarrera eta kalkulatu.a) [(–2)2]2 b) [(+5)3]2

c) [(+7)3]3 d) [(– 4)2]4

19.Laburtu adibidean bezala.• (a 6 · a 4) : a 7 = a 10 : a 7 = a 3

a) (x 5 · x 2) : x 4 b) m 7 : (m 2 · m 3)c) (a · a 6) : (a 2 · a 4) d) (z 5 · z 3) : (z 4 · z 2)

20.Kalkulatu adibidean bezala.• [(– 4)7 · 43] : [(– 4)2]4 = (– 4)10 : (– 4)8 =

= (– 4)2 = 16

a) (58 · 54) : (52)5

b) [(–2)6 · (+2)3] : [(+2)3]2

c) [(–3)3]3 : [(–3)2 · (–3)3]d) [(–7)8 · 75] : (74)3

21. Kalkulatu adibidean bezala.• 125 : 65 = (12 : 6)5 = 25 = 32

a) 154 : 54 b) (–12)3 : 63

c) (–20)5 : (–2)5 d) 86 : (–2)6

e) (63 · 43) : (–8)3 f ) [84 · (–5)4] : (–20)4

22.Eragin eta kalkulatu.a) 106 : (54 · 24)b) (–12)7 : [(–3)5 · 45]c) [(–9)5 · (–2)5] : 184

d) [57 · (– 4)7] : 204

e) 84 : (25 · 42)f ) 253 : [(–15)5 : 35]

Pentsatu eta egin

Erro karratua

Gogoratu erro karratua karratura jasotzearen alderantzizko eragiketa dela.a = b ⇔ b 2 = a

Erro karratu osoa duten zenbakiei karratu edo berbidura perfektu esaten zaie.

Adibideak

ïï

49 7 7 49400 20 20 400

2

2= =

= =4 49 eta 400 berbidura perfektuak dira

Zenbaki positiboaren erro karratuak bi soluzio ditu; bata positiboa da eta bestea, negatiboa.

( )16+ = = +4 → (+4)2 = +16 delako= – 4 → (– 4)2 = +16 delako

Hala ere, anbiguotasunik ez sortzeko, hitzarmenez, honako hau hartuko dugu:

+ ( )16+ = +4 – ( )16+ = – 4

Zenbaki negatiboak ez du erro karraturik.

( )16– = x ⇔ x 2 = –16 → Ezinezkoa.

( )16– → Ez da existitzen, berbidura emaitza negatiboa duen zenbakirik ez dagoenez gero.

Beste erro batzuk

Erro karratuaz gain, bitik gorako errotzaileak dituzten erroak lor ditzakegu.Orokorrean:

ERROTZAILEA

ERROKIZUNA

Adibideak

a) ( )83 + = +2 ⇔ (+2)3 = +8 b) ( )8–3 = –2 ⇔ (–2)3 = –8

c) ( )814 + = +3 ⇔ (+3)4 = +81–3 ⇔ (–3)4 = +81

d) ( )81–4 → Ez dago.

5 Zenbaki osoen erroak

1. Kalkulatu, egonez gero, zenbat diren honako erro hauek.a) ( )1+ b) ( )1– c) ( )25+d) ( )36– e) ( )100+ f ) ( )100–g) ( )169– h) ( )400+ i ) ( )900–

2. Egin gogoeta eta kalkulatu, egonez gero.a) 273 b) 27–3 c) 164

d) 16–4 e) 325 f ) 32–4

g) 1–7 h) 1–8 i ) 646 +

Pentsatu eta egin

Praktikatu zenbaki osoen berreketen kalkuluak eginez.Webgunean

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

7 a)32 b)8890 c)10 d)1 e)8

8 a)122 b)(–8)3 c)(–15)2 d)64

9 a)34 b)–33 c)52 d)34

10 a)x5 b)m8 c)a8 d)z6

11 a)(–6)7 b)38 c)210 d)(–5)5

12 a)212 b)(–2)9 c)124 d)96

13 a)x3 b)m c)a 5 d)z5

14 a)56 b)(–2)3 c)45 d)(–6)3

15 a)–73 b)105 c)–123 d)44

16 a)x6 b)m12 c)a9 d)z 18

17 a)38 b)(–2)12 c)(+5)4 d)(–6)15

18 a)24 b)56 c)79 d)48

19 a)x3 b)m2 c)a d)z2

20 a)52 b)23 c)34 d)7

21 a)81 b)–8 c)100000 d)4096 e)–27 f)16

22 a)100 b)144 c)18 d)–8000 e)8 f)–5

Iradokizunak• Zenbakiarruntenkasuanikasibagenuenere,berrirogogoratukodugu

errokarratuarenkontzeptua,etazenbakiosoenkasuannolaerabiltzendenlandukodugu.

• Ikasleekkontzeptuakfinkatuetaadibideetaariketenbidezerakustendirenbiideiabarneratubehardituzte:

– Zenbakipositiboenerrokarratuekbalioabsolutuberaetaaurkakozei-nuadutenbisoluziodituzte.

– Zenbakinegatiboekezdutesoluziorikorainarteezagutzendugunzenbakieneremuan.

• Azkenik,edukiakzabaltzeko,bibainoerrotzailehandiagokoerroakexis-titzendirelaazaldukodugu.Proposatukoditugunariketakburuzkokal-kuluarenbidezebaztekomodukoakizangodira.

Lankidetzan ikasi Orrialdehonetan,etaeragiketentrebetasunaindartzekoorrialdeguztie-tan,lankidetzanikasteabultzatzenduenhonakometodologiahauerabil-tzeairadokitzenda:

• Ikasleek,binakaedohirunakajarrita,bakarkaebatzikodituzteariketak;gero,lortutakosoluzioaketaerabilitakoprozesuakkonparatukodituzte.

• Soluzioakbatezbadatoz, akatsanondagoenaurkitubehardute.Zalantzakargitzenezbadakiteedoadosjartzenezbadira,orduanira-kasleakeskuhartukodu.

Indartzeko eta SakontzekoAriketahauekgomendatzendira:

• MATEMATIKAKOARIKETAK1.koadernotik:

Indartzeko:21.orrialdeko8.ariketa,a),b),c)etad)atalak.

Sakontzeko:1.orrialdeko8.ariketa,e),f),g),h)etai)atalak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)±1 b)Ezdaexistitzen. c)±5

d)Ezdaexistitzen. e)±10 f)Ezdaexistitzen.

g)Ezdaexistitzen. h)±20 i)Ezdaexistitzen.

2 a)3 b)–3 c)±2d)Ezdaexistitzen. e)2 f)Ezdaexistitzen.g)–1 h)Ezdaexistitzen. i)±2

36

40 41

Ariketak eta problemak13. Kalkulatu.

a) (–2) · [(+3) · (–2)] b) [(+5) · (–3)] · (+2)c) (+6) : [(–30) : (–15)] d) [(+40) : (– 4)] : (–5)e) (–5) · [(–18) : (– 6)] f ) [(–8) · (+3)] : (– 4)g) [(–21) : 7] · [8 : (– 4)] h) [6 · (–10)] : [(–5) · 6]

Eragiketa konbinatuak zenbaki osoekin

14. Kalkulatu.a) 5 – 4 · 3 b) 2 · 9 – 7c) 4 · 5 – 6 · 3 d) 2 · 8 – 4 · 5e) 16 – 4 · 7 + 2 · 5 – 19 f ) 5 · 6 – 21 – 3 · 7 + 12

15. Eragin parentesiaren barruan eta, gero, bider- katu.a) –5 · (4 – 9)b) 5 · (9 – 4) – 12c) 1 + 4 · (6 – 10)d) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11)e) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15)

16. Kalkulatu eta hartu kontuan emaitza parentesien posizioaren arabera aldatzen dela.a) 17 – 6 · 2 b) (17 – 6) · 2c) (–10) – 2 · (–3) d) [(–10) – 2] · (–3)e) (–3) · (+5) + (–2) f ) (–3) · [(+5) + (–2)]

17. Kalkulatu pausoz pauso.a) 5 · (– 4) – 2 · (– 6) + 13b) – 6 · (+4) + (–3) · 7 + 38c) (–2) · (+8) – (–5) · (– 6) + (–9) · (+4)d) –(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (– 6)

18. Eragin.a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)]b) (– 4) · [12 + 3 · (5 – 8)]c) 6 · [18 + (– 4) · (9 – 4)] – 13d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)]e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)]f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)]

19. Kalkulatu pausoz pauso.a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)]b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)]c) [16 : (–8) + (–21) : (–3)] – 9 : (–3)

Zenbaki osoen berreketak

20. Kalkulatu.a) (–2)1 b) (–2)2 c) (–2)3

d) (–2)4 e) (–2)5 f ) (–2)6

g) (–2)7 h) (–2)8 i ) (–2)9

21. Kalkulatu.a) (–5)4 b) (+4)5 c) (– 6)3

d) (+7)3 e) (–8)2 f ) (–10)7

22. Erreparatu eta, gero, kalkulatu.(–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8(+2)3 = (+2) · (+2) · (+2) = +8

–23 = –(2 · 2 · 2) = –8+23 = +(2 · 2 · 2) = +8

a) (–3)4 b) (+3)4 c) –34 d) +34

23. Adierazi zenbaki bakar baten berreketa eran.a) 104 : 54 b) 127 : (– 4)7

c) (–9)6 : 36 d) 26 · 26

e) (– 4)5 · (–2)5 f ) 24 · (–5)4

24. Laburtu berreketa bakar batera.a) (x 2)5 b) (m 4)3

c) [a 10 : a 6]2 d) (a · a 3)3

e) (x 5 : x 2) · x 4 f ) (x 6 · x 4) : x 7

25. Adierazi berreketa bakar eran.a) 52 · (–5)3 b) (– 6)8 : (– 6)5

c) [74 · (–7)4] : (–7)6 d) (24)3 : 29

e) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 f ) (52)5 : [(–5)3]2

26. Eragin eta kalkulatu.a) [29 : (23)2] · 53 b) 102 : [(52)3 : 54]c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 d) [(62)2 · 44] : (23)4

e) [(34)2 : 36] · 22 f ) 72 · [98 : (93)2]

Zenbaki osoak

1. Elkartu enuntziatuetako bakoitza zenbaki oso batekin.

a) Atzo bost euroko komikia erosi nuen.

b) Bi euroko txanpona aurkitu dut.

c) 57 euroko faktura iritsi da.

d) 2 480 pertsona joan ziren kontzertura.

e) Hamaika tona olibako uzta lortu da.

f ) Tenperatura bost gradutik zero azpiko bi gradura jaitsi da.

g) Lehenengo sototik bosgarren solairura noa.

2. Ordenatu txikitik handira.

– 6, +8, –16, –3, +12, –7, +4, +15, –11

3. Marraztu zenbakien zuzena eta adierazi:

a) –5 baino txikiago diren zifra bateko oso guztiak.

b) –16 baino handiago eta 1 baino txikiago diren bi zifrako oso guztiak.

4. Egia ala gezurra?

a) Zenbaki oso batzuen balio absolutua kantitate negatiboa da.

b) Bere aurkakoaren berdina den oso bakarra zeroa da.

c) Oso positibo baten balio absolutua oso negatiboa den beste bat baino handiago da beti.

d) Zenbaki oso positibo baten balio absolutua bere aurkako negatiboaren berdina da.

e) a eta b bi zenbaki oso eta negatiboak izanik:

a < b baldin bada, orduan |a| > |b |.

5. Idatzi honako laukizuzen honen erpinen koorde-natuak.

Q

M

N

P

6. Marraztu aurrekoa bezalako laukizuzena, M erpina (–1, 0) puntuan duela, eta idatzi beste hiru-ren koordenatuak.

Zenbaki osoak batzea eta kentzea

7. Kalkulatu buruz.a) 5 – 9 b) 5 – 11 c) 13 – 9d) 22 – 30 e) 21 – 33 f ) 46 – 52g) –8 – 14 h) –21 – 15 i ) –33 – 22j ) –13 + 18 k) –22 + 9 l ) –37 + 21

8. Kalkulatu.a) 5 – 8 – 4 + 3 – 6 + 9b) 10 – 11 + 7 – 13 + 15 – 6c) 9 – 2 – 7 – 11 + 3 + 18 – 10d) –7 – 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11

9. Eragin.a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)]b) 8 – [(6 – 9) – (7 – 13)]c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)]d) (2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)]e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)]

10. Kendu parentesiak eta kalkulatu.a) 6 – (5 – [4 – (3 – 2)])b) 6 – (7 – [8 – (9 – 10)])c) 10 + (11 – [12 + (13 – 14)])d) 10 – (9 + [8 – (7 + 6)])e) [(3 – 8) – 5] + (–11 + [7 – (3 – 4)])

Zenbaki osoak biderkatzea eta zatitzea

11. Eragin zeinuen erregela aplikatuz.a) (– 4) · (+7) b) (–21) : (+3)c) (– 6) · (–8) d) (+30) : (+5)e) (+10) · (+5) f ) (– 63) : (–9)g) (–9) · (–5) h) (+112) : (–14)

12. Lortu x-ren balioa kasu bakoitzean.a) x · (–9) = +9 b) (–5) : x = –1c) (–5) · x = – 45 d) x : (– 4) = +3e) x · (+6) = – 42 f ) (+28) : x = –7

Lankidetzan ikasi Orrialdehonetan,etaeragiketentrebetasunaindartzekoorrialdeguztie-tan,lankidetzanikasteabultzatzenduenhonakometodologiahauerabil-tzeairadokitzenda:

• Ikasleek,binakaedohirunakajarrita,bakarkaebatzikodituzteariketak;gero,lortutakosoluzioaketaerabilitakoprozesuakkonparatukodituzte.

• Soluzioakbatezbadatoz, akatsanondagoenaurkitubehardute.Zalantzakargitzenezbadakiteedoadosjartzenezbadira,orduanira-kasleakeskuhartukodu.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a)–5b)+2c)–57d)+2480e)+11f)–7g)+6

2 –16<–11<–7<–6<–3<+4<+8<+12<+15

3 a)–12 –10 –8 – 6

–11 –9 –70

b)–12–14 –10 –8 – 6 – 4 –2

–11–13–15 –9 –7 –5 –3 –10

4 a)Gezurrab)Egiac)Gezurrad)Egiae)Egia

5 P=(–2,–3)Q=(–3,0) M=(3,2) N=(4,–1)

6

Q

M

N

P

N=(0,–3)

P=(–6,–5)

Q=(–7,–2)

7 a)–4b)–6c)4 d)–8 e)–12 f)–6

g)–22 h)–36 i)–55 j)5 k)–13 l)–16

8 a)–1 b)2 c)0 d)–8

9 a)3 b)5 c)–18 d)–7 e)3

10 a)4 b)8 c)10 d)6 e)–13

11 a)–28 b)–7 c)+48 d)+6

e)+50 f)+7 g)+45 h)–8

12 a)x=–1 b) x=5 c)x=9

d)x=–12 e)x=–7 f)x=–4

13 a)12 b)–30 c)3 d)2

e)–15 f)6 g)6 h)2

14 a)–7 b)11 c)2 d)–4 e)–21 f)0

15 a)25 b)13 c)–15 d)–6 e)2

16 a)5 b)22 c)–4 d)36 e)–17 f)–9

17 a)5 b)–7 c)–82 d)–2496

18 a)–25 b)–12 c)–25 d)0 e)36 f)–74

19 a)5 b)–3 c)8

20 a)–2 b)4 c)–8 d)16 e)–32

f)64 g)–128 h)256 i)–512

21 a)625 b)1024 c)–216 d)343 e)64f)–10000000

22 a)81 b)81 c)–81 d)81

23 a)24 b)–37 c)36 d)212 e)215 f)104

24 a)x10 b)m12 c)a8 d)a12 e)x7 f)x3

25 a)–55 b)–63 c)72 d)23 e)–33 f)54

26 a)1000 b)4 c)6 d)81 e)36 f)3969

37

42 43

Ariketak eta problemak

Zenbaki osoen erroak

27. Kalkulatu.

a) 49 b) 72 c) 49–

d) 152 e) 225 f ) 225–

g) 2 500 h) 502 i ) 2 500–

28. Kopiatu eta osatu.

a) 22 b) 92 c) 132

d) a 2 e) m2 f ) y 2

29. Erreparatu adibideari eta laburtu.

• ( )x x x·6 3 2 3 2= = = x 3

a) ( )x 2 2 b) ( )m3 2 c) ( )a 4 2

d) x 4 e) m6 f ) a 8

30. Kalkulatu, egonez gero, honako erro hauek:

a) x 2 b) ( )x– 2 c) x– 2

d) a 4 e) ( )a– 4 f ) a– 4

g) m2 h) ( )m– 6 i ) m– 6

31. Kalkulatu, egonez gero, honako erro hauek:a) 13 b) 1–3 c) 643

d) 6254 e) 625–4 f ) 10 0004

32. Kalkulatu.

a) a 33 b) x 44 c) m55

33. Erreparatu adibideari eta arrazoitu, kasu bakoi-tzean, antzeko eran.

• ( )x x x·124 3 44 3 44= = = x 3

a) a 123 b) m105 c) x 10

Interpretatu, deskribatu, adierazi

34. Honako paralelogramo honetan, bi zen-baki osorekin definituko dugu A puntutik B pun-tura eramango gaituen mugimendua.

A

B

C

DO

A-tik B-rako mugimendua

↓[+8, –2]

a) Nola definituko genuke, kode bera erabiliz, B-tik A-rako mugimendua?

b) Zer erpinetatik zer erpinetara joango zinateke [–2, – 4] mugimenduaren bidez?

c) Adierazi, kode bera erabiliz, O zentrotik erpine-tako bakoitzera doazen mugimenduak.

35. Itsasoko petrolio-plataforma jakin bat flota-gailuen gainean eusten da, uraren azaletik 55 m-ko altueran, 470 metroko sakonerako zonan ainguratuta.

Plataformaren gainean, 35 m-ko altuera duen garabia dago eta, horretatik, kablea dago esekita eta, kablea-ren muturrean, plataforma mantentzeko lanetarako erabiltzen den batiskafo laguntzailea dago.

Une honetan, garabiak 120 m kable bota du eta batiskafoak jaisten jarraitzen du 3 segundoko metro bateko abiaduran.

a) Honako adierazpen hauetako zeinek edo zeintzuek adierazten dute batiskafotik hondora une honetan dagoen distantzia?

470 + 55 + 35 – 120

470 – [120 – (55 + 35)]

(470 + 55) – (120 – 35)

b) Zenbat denbora beharko du batiskafoak hondora iristeko?

c) Zenbat denbora beharko du garabiak batiskafoa plataformaren gainaldera altxatzeko, jaitsi den abiadura berean igoz gero?

Ebatzi problemak

36. Robot baten beso mekanikoa honela programatu da:

– Piztea: programaren hasiera.

– Lehenengo minutua: 1 cm aurrera eta 5 cm atzera.

– Bigarren minutua: 2 cm aurrera eta 5 cm atzera.

– Hirugarren minutua: 3 cm aurrera eta 5 cm atzera.

Eta horrela jarraitzen du, harik eta, minutu jakin baten amaieran, hasierako posizioan dagoen arte. Orduan, prozesua berriro hasten da.

Zenbat bider errepikatzen du prozesua ordubete eta erdian? Justifikatu erantzuna.

37. Bi kontu ditut banku berean; batean, diru apur bat dut eta bestean, zenbaki gorriak. Bi kontuetako diruaren guztizko balantzea 6 € da eta balantzeen arteko kendura, 22 €. Zenbat da kontu bakoitzeko balantzea?

38. Bi zenbaki osoren batura –22 da eta horien balio absolutuen batura, 70. Zer zenbaki dira horiek?

39. –50etik +50era arteko zenbaki oso guztiak idatziz gero, zenbat bider erabiliko duzu 7 zifra? Eta 5 zifra? Eta 3 zifra?

«+» problemak

40. Nebarekin noa amarentzako aukeratu dugun oparia erostera. Nebak dioenez, bere partea jarri eta gero, 10 € izango ditu sobera. Mailegua eskatu diot, neure partea osatzeko 5 € falta zaizkidanez gero. Zenbat balio du opariak, jakinik, guztira, 85 € ditu-gula?

10R/2 R/2

N Ni

5

85

41. Marraztu koordenatu-ardatzak eta A (–2, 0) eta B (4, 2) puntuak.

Marratu erpinak puntu horiek dituzten karratuak (hiru desberdin dira).

Azkenik, idatzi karratu horien erpinen koordenatuak. Ez ahaztu AB diagonala duen karratua.

42

Ikasi problemak ebazten

Zenbat diru dago guztira? Zer alde dago bi kontuen balantzen artean? Zer galdetzen dizute?

Ezer baino lehen, zer esan dezakezu kontuen egoerari buruz?

Eta zergatik ez duzu adierazten dakizun guztia zuzen batean? Seguru asko, lagundu egingo dizu.

Eta orain, ba al dakizu problema amaitzen?

— Bigarrenak zenbaki gorriak (negatiboak) izan behar dituela, balantza totala 20 + 20 = 40 €-koa baino ez da eta. Horrez gainera, lehenengoan «dagoena» bigarrenean «falta dena» baino handiago da.

— Oso ondo. Bi balantzeak, batez bestekoa eta kendura adieraziko ditut:

20

0

200100 100

— Jakina:Berdea → 20 + 100 = 120 Gorria → 20 – 100 = –80

Soluzioa: Lehenengo kontuan 120 € daude eta bigarrenean, –80 €.

Bi kontu ditut banku berean. Lehenengoan bigarrenean baino 200 € gehiago daude, baina dirua batetik bestera pasatuz gero, biak parean utzita, bakoitzean 20 € egongo lirateke. Zenbat diru dago kontu bakoitzean? Egiaztatu enuntziatua ondo ulertu duzula.

Pentsatu zer bide hartuko duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?

31 a)1b)–1c)4d)±5e)Ezdaexistitzen.f)±10

32 a)a b)±x c) m

33 a)a12 b)m10 c)x10

34 a)B-tikA-rako mugimendua8[–8,+2]

b)A-tikD-ra joango ginateke;baita,B-tikC-raere.

c)O-tikA-rako mugimendua8[–3,+3]

O-tikB-rako mugimendua8[+5,+1]

O-tikC-rako mugimendua8[+3,–3]

O-tikD-rako mugimendua8[–5,–1]

35 a)Adierazpenguztiakdirabaliokideak.b)22minutubeharkoditu.

c)26minutueta15segundobeharkoditu.

36 Ordubeteetaerdian10bidererrepikatzenduprozesua.

37 Kontuetakobalantzea–8€-koaeta+14€-koada.

38 Zenbakihoriek24eta–46dira.

39 –7zifra10bidererabilikodut.

–5zifra12bidererabilikodut.

–3zifra30bidererabilikodut.

40 Opariak80€baliodu.

41

C(–4,6)D(2,8)E(0,–6)

F(6,–4)G(0,4)H(2,–2)

Ikasi problemak ebaztenAtalhonetan,adibidebatenjarraipenaeginez,ikasleeiproblemakebazte-koereduak,estrategiaketajarraibideakeskurajarrikodizkiegu.

• Enuntziatuabehinetaberrizirakurri,ondoulertuarte.

• Prozesuariburuzkogogoetaegin.Soluzioraheltzekodatuaketatartekourratsakerabaki.Kasuhonetan,osogarrantzitsuaizangodadatuakan-tolatzenetaerlazionatzenlagundukoduengrafikobategitea.Horreksoluzioraheltzenlaguntzekoideiakazaleratukoditu.

• Ikasleekargiikusikodutegrafikomotahoriekzeinlagungarriakdiren«+problemak»ataleko40.probleman.

• Prozesuadeskribatu.Eragiketabakoitzarenetahortiklortzendendatubakoitzarenesanahiaazaldu.

• Soluzioaadierazi.

Atalhonetakohelburuakahalikgehienustiatzeko,ikasleeiproblemabe-raiekbakarrikebaztekoeskadiezaiekeguhasieran,bakoitzakberebideabilatuz.Gero,taldehandian,jarraitutakoprozesuak,emandakoazalpenak,etab.konparatukoditugu.Azkenik,orrialdeanageridengarapenaaztertu-kodugu.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

27 a)±7 b)±7 c) Ezdaexistitzen.d)±15 e) ±15 f) Ezdaexistitzen.g)±50 h) ±50 i) Ezdaexistitzen.

28 a)2 b)9 c)13 d)a e)m f)y

29 a) x 2 b)m3 c)a4 d)x 2 e)m3 f)a 4

30 a)±x b)±x c) Ezdaexistitzen.d)±a2 e) ±a2 f) Ezdaexistitzen.g)±m3 h) ±m3 i) Ezdaexistitzen.

C

D

B

G

A

H

E

F

38

44 4544 45

Begiratu, hausnartu eta azalduHonako dado hauek jaurti eta emaitzak batuko dira.Emaitza positiboa ateraz gero, neuk irabaziko dut.Alderantziz gertatuz gero, zeuk irabaziko duzu.Biotako zeinek darama abantaila? Azaldu erantzuna.

Pentsatu eta atera ondorioaKalkulatu zer lege erabili den honako sail hauek eratzeko eta kopiatu sailok laukitxo hutsak betetzeko.

5–32 89341 –1

3 8–21 550 –1

1. Idatzi honako zenbaki hauen balio absolutua eta aurkakoa.a) (–1) b) (+13) c) (–16) d) (+9)

2.Kopiatu eta osatu.a) |– 6| = b) |+6| = c) –(|+6|) = d) –(|– 6|) =

3.Ordenatu txikitik handira.–7, –13, +8, –1, –11, +5, 0, +10, –24

4.Kendu parentesiak.a) +(+13) b) –(+17) c) +(–15) d) –(–23)

5.Kalkulatu.a) 6 – 11 + (9 – 13) b) 2 – (5 – 8)c) (7 – 15) – (6 – 2) d) 5 – [2 – (3 – 2)]

6.Kalkulatu.a) 4 · 5 – 3 · (–2) + 5 · (–8) – 4 · (–3)b) (10 – 3 · 6) – 2 · [5 + 3 · (4 – 7)]c) 10 – 10 · [– 6 + 5 · (– 4 + 7 – 3)]

7. Kalkulatu.a) (–3)4 + (–2)6

b) 103 + (–10)3 + 102 + (–10)2

8.Laburtu berreketa bakar batera.a) 35 · 32 b) (–12)4 : (–3)4

c) 23 · 43 d) (–5)7 : (–5)5

9.Eragin eta kalkulatu.a) 104 : (53 · 23)b) (–15)6 : [(–5)4 · 34]c) [(–9)5 · (–2)5] : 65

10.Kalkulatu, egonez gero, honako erro hauek:

a) ( )9+ b) ( )100– c) ( )2– 2

d) 8–3 e) 16–4 f ) ( )5 33 +

11. Laburtu honako erro hauek:

a) x 6 b) x 63 c) x 124

12. Bi zenbaki osoren batura 4 da, eta horien balio absolutuen batura, 16. Zer zenbaki dira?

Autoebaluazioa

Trebatu problemak ebatziz Hausnartu, jo haztamuka, egin proba•Azterketa batek 50 galdera ditu eta bakoitzak litezkeen lau erantzun. Erantzun zuzen

bakoitzeko 3 puntu ematen dira eta erantzun oker bakoitzeko, 1 puntu kentzen da. Erantzun ezik, ez da punturik kentzen. 42 galderaren erantzunak eman dituen ikasle batek 58 puntu atera ditu. Zenbat erantzun zuzen eman ditu?

•Rafak 37 urte ditu eta Elenek, 36. Horien hiru alaben adinen biderkadura 390 da. Zer adin dute alabek?Eman bururatzen zaizkizun soluzio guztiak.

•Zenbat balio du saltxitxoiak? Eta gaztak? Eta urdaiazpikoak?

Begiratu eta egin gogoetaIrudi bakoitzean, zona itxiak, puntu batzuk eta segmentu batzuk aurki ditzakezu.

Z → 2P → 7S → 8

Z → 4P → 8S → 11

Z → 0P → 12S → 11

•Bilatuzona,puntuerasegmentuhorienartekozenbakizkoerlaziobat.

(Laguntza: konparatu Z + P eta S).

•Marraztubesteirudibatzuketabegiratuerlazioabetetzendenalaez.

Matematika-lantegia

Jo informazio bila Marraztu karratua eta hartu aldea unitate.Marratu diagonal bat eta eraiki aldea diagonal hori izango duen beste karratu bat.Hartu kontuan bigarren karratuaren azalera lehenengoarena bi halako dela.

azalera berdea = 2 · laranja koloreko azalerax 2 = 2 · 12 → x = 2

1

–1 1

1

–1

1 –1

1

–1

1 1

0

1

0 0

00

1

1 x

1

eta ikasiizan ekimena

Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

4 € 5 € 6 €

Begiratu, hausnartu eta azalduDadoakegiteko,ikasleekitsasgarriakjarditzaketedadoestandarrengai-nean.Zeremaitzairtetendirenaztertueta,ondoren,problemarenanalisiaegitekoproposatzenda.Horretarako,kasuposibleguztiaketajokalariba-koitzarenaldekokasuakzeindirenaztertubeharda.

Soluzioak

Batekereezdaramaabantaila.Jokoorekatuadaeta,emaitza,bidezkoa.

Pentsatu eta atera ondorioaSaiakera-errorebidezbilatuetaaurkitzekoariketabatproposatzenda.Taldetxikietanegindaiteke.Ikasleekhainbaturratsemangodituzte:haz-tamuzjo,hipotesiakproposatu,horiekegiaztatu,etab.

Azkenik,soluzioaadostuetaelkarrekinidatzikodute,sailbakoitzaeratze-kozerlegejarraitudenargietagarbiazalduz.

Ariketasakontzeko,taldekaantzekobestebatzukasmatzekoeskadiezaie-keguikasleei,eta,gero,taldebakoitzakbestebatiemateko.

Soluzioak

1.saila:1,–1,2,–3,5,–8,13,–21,34,–55,89

2.saila:0,–1,1,–2,3,–5,8,–13,21,–34,55

Jo informazio bilaAtalhonetaneraikuntzageometrikobatageridaetaikasleekerrokarratuazergatikageridenjustifikatubehardute.

Begiratu eta egin gogoeta Lehenengoerlaziobataurkitzeaeta,gero,betetzenezduteneraikuntzakbilatuetaerlazioaezeztatzensaiatzeamotibazioarieragitendionariketamotada.Gainera,problemenebazpenarekinlotutadaudenjarreraetagaitasunaklantzekoariketaerebada.

Soluzioak

IrudiguztietanbetetzendaZ+P=S+1.

Trebatu problemak ebatziz

Hausnartu, jo haztamuka, egin proba

Soluzioak

• 25erantzunzuzenemanditu.

• 13,5,6 13,10,3 13,15,2

• Saltxitxoiak1,50€baliodu.Gaztak2,50€baliodu.Urdaiazpikoak3,50€baliodu.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a)+1 b)–13 c)+16 d)–9

2 a)6 b)6 c)–6 d)–6

3 –24<–13<–11<–7<–1<0<+5<+8<+10

4 a)+13 b)–17 c)–15 d)+23

5 a)–9 b)5 c)–12 d)4

6 a)–2 b)0 c)70

7 a)145 b)200

8 a)37 b)44 c)29 d)52

9 a)10 b)225 c)243

10 a)±3 b)Ezdaexistitzen. c)±2

d)–2 e)Ezdaexistitzen. f)+5

11 a)x3 b)x2 c)x3

12 Zenbakihoriek10eta–6dira.

39

OHARRAK