0331 - Actualización en Geometría:Simulación por Ordenador

Guillermo Gallego Bonet

21 febrero 2012

Guión

• Teoría: segunda parte del capítulo 1.

• Cónicas y cónicas duales. Polaridad

• Homografías y jerarquía

• Ejercicio en Octave sobre jerarquía de geometrías.

• Sistema de formación de la imagen.

Recordatorio: El plano proyectivo

Coordenadas homogéneas de puntos y rectas.

Sigamos con la lectura del capítulo 1.

Cónicas del plano proyectivo

Jerarquía de geometrías

Felix Klein (1872) propuso clasificar las propiedades geométricas en función de su invariancia respecto de distintos grupos de transformaciones.

• Cada geometría está asociada a un grupo de transformaciones.– Geometría Euclídea: movimientos

– Geometría conforme: semejanzas

– Geometría afín: afinidades

– Geometría proyectiva: Homografías

• Jerarquía:

{movimientos} ϵ {semejanzas} ϵ {afinidades} ϵ {homografías}

• La geometría proyectiva incluye a las otras tres.

Jerarquía de geometrías

Jerarquía de transformaciones del plano

Estructura de grupo: un conjunto de elementos G y una operación • que verifican:

1. Clausura: si dos elementos a, b ϵ G, entonces el elemento (a•b) ϵ G (también pertenece al grupo).

2. Prop. asociativa: si a, b, c ϵ G, entonces (a•b)•c = a• (b•c)

3. Elemento neutro (o identidad): existe un elemento e ϵ G tal que para todo elemento a ϵ G se verifica a•e = e•a = a.

4. Elemento recíproco (o inverso): para todo elemento a ϵ G existe un elemento del grupo, b ϵ G, tal que a•b = b•a = e.

Jerarquía de transformaciones del plano

Ejercicio: verificar que el conjunto de las transformaciones del tipo

(Euclídeas), siendo R una matriz de rotación (RTR=RRT=Id y det(R)=+1) y t un vector de traslación, junto con la operación • dada por la concatenación de transformaciones tiene la estructura de grupo.

(Verificar los 4 axiomas de grupo)

Jerarquía de transformaciones del plano

El plano proyectivo:

- Elementos: puntos, rectas, cónicas.

- Transformaciones: homografías y particularizaciones, según las estructura de Grupo (matemático).

Jerarquía de transformaciones del plano

Práctica

• Ejercicio en Octave sobre jerarquía de geometrías: ejecutar el guión de comandos en el archivo script_cuadrado_Eucl.m

• Interpretar los resultados.

Definición de imagen

• Imágenes de intensidad: adquiridas por las cámaras de fotos y TV.– En ellas se almacena la intensidad de luz que llega a un dispositivo

fotosensible (película o CCD).

• Imágenes de rango; adquiridas por sensores especiales como el sonar y el scanner láser.– En ellas se almacena la forma y la distancia de los objetos (estiman

directamente la estructura 3D de la escena vista a través de varias técnicas).

• Independientemente del tipo de imagen, ésta se puede ver como una función bidimensional f(x,y), cuya amplitud o valor será la medición en el punto (x,y) de: intensidad, distancia o cualquier otra cantidad física.

Parámetros que intervienen:– Parámetros ópticos de las lentes que caracterizan la óptica del

sensor: tipos de lentes, distancia focal, campo de visión, apertura del diafragma, etc.

– Parámetros fotométricos que caracterizan la energía de la luz que es reflejada por los objetos de la escena y que llega al sensor: tipo, intensidad y dirección de la iluminación, propiedades reflectivas de las superficies de la escena, etc.

– Parámetros geométricos que determinan la posición del punto 3D de la escena dentro de la imagen 2D: modelo de proyección, posición y orientación de la cámara en el espacio, etc.

Formación de una imagen de intensidad

Cadena de elementos que intervienen:– Fuente luminosa

– Escena 3D

– Apertura del diafragma

– Lentes

– Plano de la imagen

Objetos a distintas distancias son enfocados en distintos planos.

Enfoque: imágenes nítidas (enfocadas) si todos los rayos procedentes de un único punto 3D convergen en un único punto del plano de la imagen. En caso contrario, la imagen se difundirá sobre un círculo (imagen desenfocada).

Óptica básica

Óptica: enfoque de la imagen

• Círculo de confusión: nitidez aceptable (inapreciable al ojo humano).

Óptica: enfoque, profundidad de campo

El enfoque se consigue de dos maneras: 1)sistema óptico con un grupo de lentes, 2)reduciendo la apertura de la cámara a un punto (ojo de aguja o “pinhole”).

Imagen desenfocada Imagen enfocada.(poca profundidad de campo). Sigue el modelo de ojo de aguja

Óptica: (des)enfoque artístico

Imagen desenfocada Imagen con enfoque moderado(poca profundidad de campo).

• Cámara de ojo de aguja (pinhole)

• Modelo matemático incluye 3 operaciones:- Proyección cónica- Cambio de sistema de referencia en el plano - Cambio de sistema de referencia en el espacio

Modelo geométrico de cámara

Proyección cónica (perspectiva)

Elementos del modelo de cámara con de ojo de aguja (pinhole):• Plano (virtual) de la imagen ∏: plano de proyección• Centro de la proyección C (centro óptico o foco): pinhole.• Distancia focal f: distancia entre ∏ y C.• Eje óptico o principal: recta perpendicular a ∏ y que pasa por C.• Punto principal: intersección entre ∏ y el eje óptico. Suele estar cerca del centro de la imagen.• Proyección x (o imagen) del punto 3D X: punto de intersección entre la recta PC y el plano ∏.

Sistema de referencia de la cámara:• origen en el punto C• eje Z es perpendicular al plano ∏

Coordenadas: • Punto 3D: X = (X, Y, Z)• Proyección x = (x, y, z), pero como z = f (sobre el plano de la imagen), escribimos coordenadas: x = (x, y).

Ecuaciones de proyección (por semejanza de triángulos):

Proyección cónica (perspectiva)

Ecuaciones de proyección:

• No son lineales debido al factor 1/Z.• No preserva distancia entre puntos ni ángulos entre rectas.• Sí convierte líneas en líneas.

En coordenadas homogéneas, las ecuaciones ¡son lineales!

Proyección cónica (perspectiva)

El modelo completo incluye 3 operaciones:- Proyección cónica- Cambio de sistema de referencia en el plano: K - Cambio de sistema de referencia en el espacio: (R,t)

En coordenadas homogéneas: , con matriz de proyección:

Modelo geométrico de cámara