04 aplicaciones. transformada de laplace

MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 4: LA TRANSFORMADA DE

LAPLACE.

APLICACIÓN A LA SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DIFERENCIALES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 4. La transformada de Laplace. Aplicaciones.

Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

4.4.- APLICACIONES.

Solución de ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y condiciones iniciales.

Ejemplo 4.1.

Resolver la ecuación ttyyy sen 7cos9107 ; 5)0( y , 4)0( y .

Solución.

Se aplica transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación:

}sen 7cos9{}107{ ttLyyyL

}sen 7{}cos9{}10{}7{}{ tLtLyLyLyL

}sen {7}{cos9}{10}{7}{ tLtLyLyLyL

1

17

19)(10)]0()([7)0()0()(

22

2

ss

ssyysysyyssys

Al sustituir el valor de las condiciones iniciales:

1

7

1

9)(10]5)([7)4()5()(

22

2

ss

ssysysssys

1

79)(1035)(745)(

2

2

s

ssysysssys

1

79395)(10)(7)(

2

2

s

sssysyssys

3951

79)107()(

2

2

s

s

ssssy

1

)1()395(79)5()2()(

2

2

s

ssssssy

)1()5()2(

)1()395(79)(

2

2

sss

ssssy

Solución de la ecuación diferencial:

)}({)( 1 syLty

)1()5()2(

)1()395(79)(

2

21

sss

sssLty

Se aplica descomposición en fracciones parciales.



152)1()5()2(

)1()395(7922

2

s

DsC

s

B

s

A

sss

sss

)1()5()2(

)5()2()()1()2()1()5(

)1()5()2(

)1()395(792

22

2

2

sss

ssDsCssBssA

sss

sss

Ecuación fundamental:

)5()2()()1()2()1()5()1()395(79 222 ssDsCssBssAsss

Al sustituir 2s obtenemos 8A .

Al sustituir 5s obtenemos 4B .

Al sustituir 0s obtenemos 0D .

Al sustituir 1s obtenemos 1C .

15

)4(

2

8

)1()5()2(

)1()395(7922

2

s

s

sssss

sss

15

4

2

8

)1()5()2(

)1()395(7922

2

s

s

sssss

sss

15

4

2

8

)1()5()2(

)1()395(79)(

2

1

2

21

s

s

ssL

sss

sssLty

15

4

2

8)(

2

111

s

sL

sL

sLty

15

14

2

18)(

2

111

s

sL

sL

sLty

teety tt cos48)( 52

Ejercicios propuestos.

En los problemas siguientes, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación

diferencial dada sujeta a las condiciones iniciales que se indican.

f (t) dada en forma explícita.

1. 034 yyy ; 3)0( y , 5)0( y .

2. 04 xx ; 5)0( x , 0)0( x

3. 02 xxx , 0)0( x , 2)0( x



4. 623 yyy ; 5)0( y , 3)0( y

5. 2423 tyyy ; 0)0()0( yy

6. xeyy 4216 ; 2)0( y ,

41)0( y

7*. tetyyy 12423 , 0)0( y , 1)0( y

8*. tetyyy 12423 , 6)0( y , 1)0( y

9. tetyyy 2344 ; 0)0( y , 0)0( y

10. tetyyy 3296 ; 2)0( y , 6)0( y

11. teyyy 2 ; 0)0( y , 5)0( y

12. teyyyy 1233 ; 1)0( y , 0)0( y , 3)0( y .

13. 42 yy ; 1)0( y , 4)0( y .

14. tyyy 122 ; 4)0( y , 1)0( y .

15. 0)( yy IV; 1)0( y , 0)0( y , 1)0( y , 0)0( y .

16*. teyy , 0)0( y , 0)0( y

17. teyy 209 ; 0)0( y , 1)0( y .

18. 22 tyy ; 1)0( y , 1)0( y

19. tAxax sen , bx )0(

20. tyy IV cos)( ; 1)0( y , 1)0( y , 0)0( y , 0)0( y .

21. xeyyy 43554 ; 8)0( y , 29)0( y

22. tetxtxtx 8)(5)(2)( , 2)0( x , 12)0( x

23. 100258 yyy ; 2)0( y , 20)0( y .

24. )3(sen22 tyyyy ; 0)0( y , 0)0( y , 1)0( y .

25. tyy IV )(; 0)0( y , 0)0( y , 0)0( y , 0)0( y .



f (t) dada mediante una función ramificada

26. )(4 tfyy ,

10

101)(

tSi

tSitf ; 0)0( y , 1)0( y .

27*. )(4 tfyy ,

2Si0

20Sicos)(

t

tttf , 0)0( y , 0)0( y

28**. )(4 tfyy ,

t

tttf

2Si0

20Sisen )( , 1)0( y , 3)0( y

29*.

2Si2

20Si4)()(

tt

ttyty , 0)0( y , 0)0( y

30.

21

21

,0

,1)()(

t

ttxtx ; 0)0( x , 1)0( x

31.

3,

3,1

tt

tyy ; 1)0( y , 2)0( y

32. )(tfyy ,

2;0

2;1

0;0

)(

t

t

t

tf ; 0)0( y , 1)0( y .

33.

2;1

21;0

10;1

t

t

t

yy , 0)0( y , 1)0( y

34. )4(6 tHyyy ; 0)0( y , 1)0( y .

35. )(86 tHyyy ; 0)0( y , 0)0( y .

36. )6()4()2(134 tHtHtHyyy ; 0)0( y , 0)0( y .

f (t) dada mediante una gráfica.

37. )(tgyy , 0)0( y



Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables y condiciones iniciales.

Ejemplo 4.2.

Resolver la ecuación 0)2()1(2 ytytyt , 1)0( y , 1)0( y .

Solución.

0)2()1(2 ytytyt

0222 yytyytyt

Se aplica transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación:

}0{}222{ LyytyytytL

0}2{}{}2{}2{}{ yLytLyLytLytL

0}{2}{}{2}{2}{ yLytLyLytLytL

0}{2}{}{2}{2}{ yLyLsd

dyLyL

sd

dyL

sd

d

0)(2)]([)]0()([2)]0()([2)]0()0()([ 2 sysysd

dysysysys

sd

dyyssys

sd

d

Al sustituir el valor de las condiciones iniciales:

0)(2)]([)]1()([2)]1()([2)]1()1()([ 2 sysysd

dsyssys

sd

dssys

sd

d

0)(2)]([]1)([2]1)([2]1)([ 2 sysysd

dsyssys

sd

dssys

sd

d

0)(2)(2)(2)]()([2]1)()(2[ 2 sysysyssyssysyssys

0)(2)(2)(2)(2)(21)()(2 2 sysysyssyssysyssys

0)()(2)(43)()(4 2 sysyssysyssys

03)44()()12()( 2 ssysssy



3)1()(4)12()( 2 ssysssy

3)1()(4)12()( 2 ssysssy

3)1()(4)1()( 2 ssyssy

2)1(

3)(

1

4)(

ssy

ssy

Se trata de una ecuación diferencial lineal en )(sy .

El factor integrante es:

4)1(ln)1(ln41

4

)1(4

seee ss

sds

2

44

)1(

3)1()(

1

4)()1(

sssy

ssys

24 )1(3)(1

4)()1(

ssy

ssys

24 )1(3)]()1[( ssyssd

d

sdssysd 24 )1(3)]()1[(

sdssysd 24 )1(3)]()1[(

Cssys 34 )1()()1(

44

3

)1()1(

)1()(

s

C

s

ssy

4)1(1

1)(

s

C

ssy

)}({)( 1 syLty

4

1

)1(1

1)(

s

C

sLty

4

11

)1(1

1)(

s

CL

sLty



4

11

)1(

1

1

1)(

sLC

sLty

4

11

)1(

!3

!3

1

1

1)(

sLC

sLty

tt etCety 3

6

1)(

tt etCety 3)(

Las condiciones iniciales se cumplen para cualquier valor de C.

Ejercicios propuestos.



38*. 0 yyty , 0)0( y , 3)0( y

39. 42 yyty ; 0)0( y , 0)0( y

40*. 02)21( yytyt , 1)0( y , 2)0( y

41. 0 yytyt ; 0)0( y , 1)0( y .

42. 2 yytyt ; 2)0( y , 1)0( y

43. 044 yytyt , 0)0( y y 2)0( y .

44. 2tyyt ; 0)0( y .

45. 2tyyt ; 2)0( y .

46. 02 ytyyt ; 0)0( y .

47. 1)2( yytyt ; 0)0( y .

48. 0)2( yytyt ; 0)0( y .

49. 0)21(2)41( ytytyt ; 0)0( y .

Ecuaciones diferenciales con condiciones de borde.



50. tyy 42 , 2)1( y .



51*. teyyy 244 , 0)0( y , 0)1( y

52. 0 yy ; 0)0( y , 4)(21 y .

53. 284 txx ; 3)0( x , 0)(

2x

54. 44 yy , 1)( y , 2)( y

55*. ttyyy sen 2cos82 , 1)(2y , 0)(

2 y

56. tyy sen 28 , 0)(4y , 4)(

4 y



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

4.4.- APLICACIONES.

Solución de ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y condiciones iniciales.

f (t) dada en forma explícita.

1. tt eey 23 2. )2(cos5)( ttx 3. tt eetx

322

32)(

4. tt eety 23)(

5. 7628)( 22 tteety tt

6. xxx exeety 4

4144)(

7*. ttt eeety 2611223

8. ttt eeety 2611223

9. tety 25

201

10.

tt eety 334

!42 2

11.

tt etety 2

215

12.

tettty )12( 23

13. tey t 22 2 14. 2412)920( tety t

15. ty cos 16*. ttey t sen cos

21

21

21

17. ttey t 3sen 3cos22

18. tttty sen cos)( 2

19. )cossen ()()( 2222 ttaebtxa

Ata

a

A

20. ttteey tt sen )2(cos41

41

81

85

21. xexeexy xxx sen cos7)( 224

22. )(2sen 4)2(cos3)( teteetx ttt

23. tetey tt 3sen 43cos24 44 24. tteeey ttt 3sen 3cos

651

13032

3916

2013

6013

25. teety t sen

21

41t

41

f (t) dada mediante una función ramificada

26. )1(}1)]1(2[cos{2sen 2cos41

21

41

41 tUttty

27*. )]}2(2[cos)2(cos{2coscos

31

31

31

31 tttty

28**. )2(})2(sen )]2([2sen { 2sen 2cossen )(31

61

34

31 tUtttttty

29*. )2()]2(cos1[cos44)( tUttty

30. )()(cossen cos1)(21

2 tUtttty

31. )3(])3(2[21)( 3

23)3(

21 tUeetety ttt

32. )2()]2(cos1[)()](cos1[sen tHttHtty

33. )2()]2(cos1[)1()]1(cos1[1cossen tHttHttty

34. )4()()( )4(3

151)4(2

101

613

512

51 tUeeeety tttt

35. )(][)( )(2

41)(4

81

81 tUeety tt

36.

)6(][

)4(][)2(][)(

)6(3

61)6(

21

31

)4(3

61)4(

21

31)2(3

61)2(

21

313

61

21

31

tUee

tUeetUeeeety

tt

tttttt



f (t) dada mediante una gráfica.

37. )2()2()1(]1[1)( )1( tUttUeetty tt

Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables y condiciones iniciales.

39. 22)( tty 40*. tey 2 42 tty 2)( 43. tetty 42)( 45. 2)( 3

312 ttcty 46. )cossen ()( tttcty

48 tetcty 3)( 49 tetcty 22)( Ecuaciones diferenciales con condiciones de borde.

51*. ttt eetety 2

21222

21

54. ty 2sen 1

55*. )()2(

53

511

57 2cossen

tt eetty

56. tty cos)4(2

2



BIBLIOGRAFÍA.

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