04 teorema del momento cinético

Este cuadernillo:

04 Teorema del Momento Cinético

2011

Teoremas de la Dinámica Cinemática

Sistemas de Partículas Ecuaciones Cardinales de la Dinámica

Dinámica del Movimiento Plano Campo de Fuerzas

Oscilador Lineal Unidimensional Función Lagrangiana

Diego E. García Teorema del momento cinético 58

Presentación

El presente texto “Teoremas de la Dinámica”, corresponde a una selección de contenidos tomados

del amplio campo de la Mecánica Clásica. Está destinado a los estudiantes de diversas ramas de Ingeniería, que

hayan completado los cursos de Análisis Matemático y de Física. Parte de ellos, corresponden a las clases Mecánica

Analítica (Ingeniería Civil), en el Departamento de Física de la F. de C.E.F y N. de la UNC, a mi cargo entre 2001 y

2010. El trabajo lo desarrollé a partir de una Mecánica de nivel intermedio, necesariamente limitado a un curso breve,

por las restricciones de tiempo en la formación de grado en Ingeniería. En el presente cuadernillo se analizan el

Momento Cinético y el Teorema del Mometo Cinético en los Sistemas de Particulas, en el Movimiento Plano y en el

Movimiento Rototraslatorio en el espacio, como asi también, las Ecuaciones Dinámicas de Euler.

4 Teorema del momento cinético Contenidos de este cuadernillo

Momento cinético de una partícula y de un sistema de partículas 59

Teorema del momento cinético baricéntrico para un sistema de partículas 61

Segundo grupo de ecuaciones cardinales de la dinámica 62

Impulso angular y momento cinético, ley de conservación del momento cinético 64

Momentos de inercia de áreas 65

Momentos de inercia de masas 65

Placa o cuerpo plano, definición 68

Momento cinetico en el movimiento de un cuerpo plano, referido a diversos polos: 69

Respecto al centro de masas 70

Respecto a un polo “O” que puede, o no, pertenecer al cuerpo, con datos de G 70

Respecto al centro instantáneo de rotación 71

Respecto a un polo del cuerpo, con datos del polo 71

Momento cinético de un cuerpo con movimiento rototraslatorio no plano, placa en rotación sobre eje no principal de inercia

73

Teorema del momento cinetico, en el movimiento de un cuerpo plano plano, referido a diversos polos:

75

Con respecto un polo “O” que puede, o no, pertenecer al cuerpo, con datos referidos a G 75

Con respecto al centro de masas 76

Con respecto a un polo del cuerpo, con datos del polo 76

Con respecto al centro instantáneo de rotación 77

Teorema del momento cinético con polo en el centro de rotación, en varilla con extremo deslizante, aceleración angular

77

Teorema del momento cinético en una esfera con resistencia a la rodadura 79

Teorema del momento cinético en el movimiento rototraslatorio no plano de un cuerpo, con polo en G, ecuaciones dinámicas de Euler

81

Cálculo de las reacciones de vínculo en la rotación de placa alrededor de eje no principal de inercia

83

Conservación del momento cinético en el movimiento del cuerpo plano 86

Conservación del momento cinético en sistema partícula-tubo en rotación 86

Conservación del momento cinético en la percusión excéntrica de una placa, centro instantáneo de rotación

88

Percusión en esfera sobre plano liso 90

Derechos reservados. Ley 11723 ISBN 978-987-05-4041-0 Impreso en la ciudad de Córdoba, Argentina 2º edición, marzo 2008 Reimpresiones en 2009, 2010, 2011

Prof. Diego Edgardo García Córdoba, marzo de 2008

Teoremas de la dinámica Teorema del momento cinético 59

4 Teorema del momento cinético

Momento cinético de una partícula, definición

Consideramos, en primer termino, una partícula de masa im , con los siguientes significados:

iP

es la posición que dicha partícula ocupa en un determinado instante t . Recordemos que el

símbolo iP

(sin trazo de vector), representa el vector posición de la partícula, el cual lo podríamos

simbolizar también como iP , figura 1.

iv

es la velocidad que tiene la partícula im , en la posición y en el instante considerados. Esta

velocidad esta referida al sistema inercial de referencia XYZ , al que, por una cuestión de brevedad de lenguaje, le llamamos “sistema fijo”. es el origen de este sistema.

“O” representa un punto cualquiera, el cual, en un instante considerado tiene una velocidad 0v . “O ”

también representa, de acuerdo con la nomenclatura que usamos, el vector posición, que va desde

hasta “O ” y que también lo podemos representar como O . En el punto “O ” no hay ( o no

necesariamente hay), una masa del sistema. En el instante considerado, el punto “O” se mueve con velocidad Ov .

0iP representa el vector que va desde el punto 0 hasta iP .

Estamos ahora en condiciones de definir el momento cinético de la partícula de masa im

con

respecto al polo 0, de acuerdo con el siguiente producto vectorial:

0O i i ii

L P m v (1)

el momento cinético se conoce también como momento de la cantidad de movimiento. En algunos textos, traducidos del inglés se lo suele designar como momento angular y también

cantidad de movimiento angular.

Momento cinético de un sistema de partículas.

Analizaremos a continuación, un sistema de N partículas, 1 2 3; ; ;...; im m m m , con velocidades

1 2 3; ; ;... iv v v v como se muestra en la figura 2.

G es el punto donde se encuentra el centro de masas del sistema en el instante considerado. G

también representa el vector posición del mismo, en el sistema XYZ , es decir, el vector G que va

desde

hasta G . A cada instante, le corresponde una cierta posición del centro de masas porque,

como cada partícula se mueve con iv , a cada instante le corresponde una distribución de las masas

diferente del instante anterior. Entonces, G

describe una cierta trayectoria en el espacio y llamaremos

Gv a la velocidad del centro de masas en el instante considerado.

Z

Y

X

Figura 1: momento cinético de una partícula con respecto a un polo “O”

iv

0

0 iL

iP

0v

im


En este sistema, el vector momento cinético con respecto al polo “0” es la suma de los vectores momento cinético de cada una de las N partículas del sistema, es decir:

0O i i ii

L P m v (2)

A partir de la expresión (2) demostraremos que:

0O G GL L G Mv (3)

La (3) permite calcular el momento cinético de un sistema de partículas con respecto a un polo 0, elegido arbitrariamente, a partir de datos concernientes al centro de masas: su posición relativa al

polo 0G , su velocidad Gv

y el momento cinético del sistema con respecto a G

o momento

cinético baricéntrico. M es la masa del sistema :

iM m .

Es importante destacar que el movimiento del polo 0

es totalmente independiente del

movimiento de las partículas del sistema y que el momento cinético OL con respecto a dicho polo, no depende de cómo se mueve el mismo, es decir, no depende de su velocidad Ov , tal como surge de la (3).

De la (3) surge también el siguiente corolario: si 0Gv , el momento cinético con respecto a

cualquier polo, es invariante, e igual al momento cinético baricéntrico. Esto es así, porque, en este caso, se anula el segundo término del segundo miembro de la (3).

La demostración de la expresión (3), se realiza a continuación: Partimos de la definición de momento cinético de un sistema de partículas:

O i i ii

L P O m v

Pero i iP O P G G O

Entonces

O i i ii

L P G G O m v

Si tenemos en cuenta que i i Gm v Mv

y si distribuimos el producto vectorial en el corchete,

podemos escribir:

O i i i Gi

L P G m v G O Mv

Como el primer miembro de la expresión anterior es el momento cinético baricéntrico, resulta finalmente la (3):

O G GL L G O Mv (3)

XY

Z1m

1v

2v

im

iv

G

Gv

0

0L

Ov

2m

Figura 2: momento cinético de un sistema de partículas con respecto a un polo 0


Teorema del momento cinético baricéntrico para un sistema de partículas.

Sobre una partícula genérica im actúan una fuerza exterior eiF y una fuerza interior ik

k

f como

se indica en la figura 3. Exterior, significa que esa fuerza proviene de fuera del sistema, que no es producida por ninguna

de las partículas del mismo, por ejemplo, la fuerza de la gravedad, la fuerza de interacción con el medio, o fuerzas de interacción que provengan de otros cuerpos que no pertenecen al sistema de N partículas considerado.

En cambio las fuerzas interiores que actúan sobre la partícula im , provienen exclusivamente del

resto de las partículas del sistema.

Una partícula genérica km ejerce sobre la partícula im

una fuerza i kf

de manera tal que la

fuerza interior que actúa sobre im

se expresa como i kk

f

y la fuerza resultante sobre una partícula im

es en definitiva: e

i i i kk

F F f

El momento con respecto al polo O

de todas las fuerzas (interiores y exteriores) obrante sobre las N partículas del sistema se expresa como:

0 0eO i i i i k

i i k

P F P f (4)

pero resulta que la suma de los momentos de las fuerzas interiores (segundo término del segundo miembro de la (4)), vale cero, porque las fuerzas de interacción mutua entre dos partículas son iguales, de sentido contrario, y además consideramos que actúan sobre la misma recta de acción. Debe aclararse, no obstante, que si se tratase de fuerzas de origen electromagnético entre 2 cuerpos cargados en movimiento relativo, dichas fuerzas ya no se encontrarían sobre la misma recta de acción, pero no consideraremos esta situación.

De manera que: El momento de las fuerzas obrantes sobre un sistema de partículas, coincide con el momento de

las fuerzas exteriores. O sea que podemos expresar:

e

O O

0e eO i iP F (5)

Aclaraciones con respecto a la notación empleada.

Es importante destacar que para el momento de las fuerzas, usaremos el símbolo

que es una letra eme cursiva mayúscula y no la eme de imprenta mayúscula M, porque ésta última indica la masa. Si bien es cierto que el trazo de vector es suficiente para distinguir una de otra, aún así es conveniente usar letras diferentes.

eiF

iPim

iv

GGv

ikk

f

Figura 3: Teorema del momento cinético en un sistema de partículas

0

Ov

X

Y

Zeo

eG

oL

GL


Con respecto al supraíndice “e”, que aparece en el momento de las fuerzas: como ya se dijo, al ser

nulo el momento de las fuerzas interiores, el momento resultante de todas las fuerzas coincide con el

momento de las fuerzas exteriores, o sea e

o o , de manera que sería redundante usar el supraíndice “e”. No obstante ello, se lo ha conservado en la escritura de las ecuaciones, para tener presente, en las aplicaciones, que los momentos de las fuerzas internas no deben tomarse en cuenta.

Habiendo formulado las consideraciones precedentes, presentaremos a continuación, el importante teorema conocido como teorema del momento cinético para un sistema de partículas, cuya demostración se hará al final de este artículo y que se expresa de cualquiera de las dos siguientes formas:

eO

O O G

dLv Mv

dt (6)

y también:

0e

GO G

dLG Ma

dt (7)

Las (6) y (7) son equivalentes y sus demostraciones pueden consultarse al final de este artículo. Si bien ambas expresiones indican el mismo resultado, es importante tener en cuenta que la

utilidad de una u otra, dependerá de los datos que se dispongan en cada problema particular. Así, debemos destacar que:

La (6) vincula el momento de las fuerzas externas con magnitudes concernientes al polo elegido,

como lo son su velocidad Ov y OdL

dt y con la cantidad de movimiento del sistema, GMv .

En cambio, la (7) permite prescindir de datos relacionados al polo y en lugar de ello aparecen

magnitudes concernientes al centro de masas, como lo son su aceleración Ga y GdL

dt.

De la (7) podemos extraer el siguiente importante corolario: si la aceleración del centro de masas vale cero, el segundo término de la misma se anula y resulta que:

eG

OdL

dt (7’) (para 0Ga )

Es decir que, si la aceleración del centro de masas del sistema es cero, entonces el momento de las fuerzas externas con respecto a cualquier polo 0, no cambia al cambiar el polo.

Este resultado es coherente con el hecho que si 0Ga , por ser eGi

dvM F

dt, resulta que la

resultante de las fuerzas exteriores deberá ser cero, 0eiF .

En consecuencia, si 0eiF

y 0Ga , el sistema de fuerzas exteriores obrantes sobre el

sistema, equivale a un par de fuerzas, y el momento de un par de fuerzas es invariante con respecto al punto con respecto al cual se toma el momento. Si el polo 0 permanece fijo, es 0Ov , y la (6) toma la forma

eO

OdL

dt (8) (polo fijo)

si el polo coincide con G, el segundo término de la (7) se anula y queda el teorema del momento cinético baricéntrico:

eG

GdL

dt (9)

Este resultado se obtiene, igualmente, de la (6), porque si en esa expresión hacemos O Gv v , el segundo término se hace cero

Segundo grupo de ecuaciones cardinales de la dinámica.

El teorema del momento cinético baricéntrico, e

GG

dL

dt

es una expresión vectorial. Si

proyectamos cada uno de los miembros de (9) sobre los ejes XYZ, se tendrá:

Teorema del momento cinético baricéntrico


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

eG G XX

e eGG G G YY

eG G ZZ

dL IV

dt

dL dL V

dt dtd

L VIdt

(10)

Las (10) se conocen, por su importancia, como segundo grupo de ecuaciones fundamentales, o cardinales de la dinámica.

Corresponden a las proyecciones del teorema del momento cinético baricéntrico sobre los ejes. Seguidamente, se desarrollarán las correspondientes demostraciones de las (6) y (7).

Demostración de:

e OO O G

dLv Mv

dt (6)

Sabemos que:

O i i ii

L P O m v

Derivando con respecto al tiempo:

iO ii i i i

i i

d P OdL dvm v P O m

dt dt dt

O i ii i i i

i i

dL dP dvdOm v P O m

dt dt dt dt

Oi O i i i i i

i i

dLv v m v P O m a

dt

Oi i i O i i i i i

i i i

dLv m v v m v P O m a

dt (a)

Pero

0i i ii

v m v

y

O i O Gi i

v m v v Mv

por lo tanto la (a) queda:

Oi i i O G

i

dLP O m a v Mv

dt (b)

por otra parte:

exti i i ik

k

m a F f

entonces, el primer miembro de la (b) es: ext

i i i i i i iki i i k

P O m a P O F P O f (c)

El segundo término de la (c) se anula, por ser el momento resultante de las fuerzas interiores, luego:

exti i i i i

i i

P O m a P O F

con: ext e

i i Oi

P O F (c’)

Segundo grupo de ecuaciones cardinales de la dinámica


Finalmente, si reemplazamos el primer miembro de (b) por su igual de (c’) llegamos finalmente a

la (6):

e OO O G

dLv Mv

dt (6)

Demostración de la (7):

e GO G

dLG O Ma

dt (7))

Partimos de la expresión (3) del momento cinético:

O G GL L G O Mv

Derivamos con respecto al tiempo:

O GG G O G G

dL dLv Mv v Mv G O Ma

dt dt O bien:

O GO G G

dL dLv Mv G O Ma

dt dt (a)

además, de acuerdo con la (6) podemos expresar:

eOo G O

dLv Mv

dt (b)

Si ahora igualamos los segundos miembros de (a) y de (b), resulta finalmente la expresión que queríamos demostrar:

e GO G

dLG O Ma

dt (7)

Teorema del impulso angular y del momento cinético, conservación del momento cinético en un sistema de partículas

A partir del teorema del momento cinético baricéntrico, dado por la (9), es posible expresar: e

G Gdt dL

y también: e

G i ii

dL P G F dt

La variación de momento cinético que tendrá lugar en un intervalo de tiempo, entre un instante inicial 1t y un instante final 2t será:

2 2

1 1

eG i i

i

dL P G F dt

o bien:

2 1

2

1

eG G i i

i

L L P G F dt (11)

y también:

2 1

2

1

e

GG GL L dt (11’)

La integral que aparece en el segundo miembro de la (11), se llama impulso angular. La (11) expresa el teorema del impulso angular y del momento cinético, que lo enunciamos de la siguiente forma:

El momento cinético baricéntrico final de un sistema es igual al momento cinético inicial, más el impulso angular aplicado durante el intervalo de tiempo considerado.

La (11) es igualmente válida si el polo, en vez de ser G, fuese un punto fijo 0. Ello podría comprobarse si hiciéramos el mismo desarrollo anterior, pero partiendo de la (8), (correspondiente a polo fijo “O ”), en vez de partir de la (9).


Si el momento de las fuerzas exteriores es cero, de la (11) se obtiene el importante teorema de

conservación del momento cinético que se expresa:

2 1G GL L (12)

y también, si el polo de momentos es fijo:

2 10 0L L (12’)

El teorema de conservación del momento cinético establece, entonces que: Si no hay momento de fuerzas exteriores, el momento cinético baricéntrico (o también con

respecto a un punto fijo) se conserva.

Momentos de inercia de áreas

Importancia de los momentos de inercia de áreas

El momento de inercia de un área plana con respecto a determinado eje, resulta de subdividir la misma en áreas elementales y sumar los productos de cada una de ellas por el cuadrado de sus

distancias al eje. Sus unidades son 4m .

El término “inercia”, que se usa para definir esta magnitud no es, en rigor, el adecuado, porque la inercia es un concepto que aparece en el estudio de la dinámica de los cuerpos. No obstante se lo emplea por analogía con el momento de inercia de masas. En realidad, podríamos decir que, el momento estático del área es un “momento de primer orden”, porque involucra áreas por distancias, en tanto que el momento de inercia de un área, lo es de “segundo orden”, porque en él intervienen los cuadrados de la distancias.

El momento de inercia de áreas no es de interés directo en el estudio de la dinámica de los cuerpos, en donde sí lo son los momentos de inercia de masas. En cambio, el conocimiento de los momentos de inercia de áreas, reviste máximo interés en la Mecánica de Estructuras, en el diseño de elementos de máquinas y en la estática de fluidos. Por otra parte, las fórmulas para el cálculo de momentos de inercia de áreas, son útiles para conocer momentos de inercia de masas de placas delgadas, porque hay una similitud formal, en donde a cada elemento diferencial de área, le corresponderá, como se puede consultar en el apéndice, un diferencial de masa.

Mencionamos a continuación algunas fórmulas muy conocidas en el diseño de elementos de estructuras, en donde intervienen momentos de inercia de áreas:

yI

: Tensión de compresión o de tracción en la flexión de una barra prismática a la distancia

y , en donde es el momento flector , I es el momento de inercia del área de la sección de la barra con respecto a la línea neutra (que pasa por el baricentro), e y es la distancia a dicha línea .

t

p

rI

:Tensión de corte a una distancia r , en la torsión de una barra de sección circular, donde

t es el momento torsor, e pI es el momento de inercia polar del área de la sección

I : En una placa rectangular sumergida en un líquido y que por lo tanto tiene una compresión

linealmente distribuida debido a la presión, es el módulo del momento de las fuerzas de presión con

respecto el borde que se encuentra a nivel del líquido, 4I m es el momento de inercia del área de la

placa con respecto a dicho borde y 3

N

mes el peso específico del líquido.

Momentos de inercia de masas

Importancia de los momentos de inercia de masas El momento de inercia de un sistema de masas puntuales, o de partículas, con respecto a

determinado eje, resulta de sumar los productos de cada una de las masas por el cuadrado de sus

distancias al eje. Sus unidades son 2kg m .

(Válido para 0e

o ; punto “O “fijo.)

(válido para 0

e

G )


El momento estático de las masas, con respecto a un punto o “polo” es una magnitud vectorial y

es un “momento de primer orden”, porque involucra masas por vectores posición, en tanto que el momento de inercia de masas , es una magnitud escalar y es un momento de “segundo orden”, porque en él intervienen los cuadrados de la distancias .

En la dinámica del movimiento plano que abordaremos en los siguientes capítulos, es importante el momento de inercia de masas con respecto a un eje baricéntrico perpendicular al plano.

Así como la aceleración lineal que toma un cuerpo al aplicársele una fuerza depende de su masa, en forma análoga, podemos decir que, en la dinámica del movimiento plano, la aceleración angular que adquiere un cuerpo al aplicársele un momento de fuerzas, depende de su momento de inercia con respecto a determinado eje.

Producto de inercia de masas, o momento centrífugo Se define con respecto a dos ejes y resulta de sumar los productos de cada una de las masas

del sistema por sus respectivas coordenadas en cada uno de los 2 ejes con respecto a los cuales se toma momento. Por ejemplo, el producto de inercia de una masa im

con respecto a los ejes ,x y

se expresa como i i im x y y en ocasiones, por razones de conveniencia operativa, también se lo puede definir

como i i im x y . El momento centrífugo con respecto a los ejes ,x y , se expresa como xy

M

I xydm

y

también como xy

M

I xydm , según el criterio que se emplee. Se usa en la formulación de las

ecuaciones dinámicas para el movimiento rototraslatorio espacial del cuerpo rígido. Se amplía esta definición en el apéndice

Momento de inercia de masas, ejes principales de inercia, definiciones

El momento de inercia de un sistema rígido de N partículas, con respecto a un cierto eje e , figura 2, se define como:

2

1

N

e i ii

I m r (a)

donde ir es la distancia de cada una de las masas al eje e .

El momento de inercia de una distribución continua de masas, como es el caso de un cuerpo rígido, se define mediante la siguiente integral, extendida al recinto ocupado por el cuerpo ( figura 2):

2

M

r dm (b)

Imaginemos ahora un punto cualquiera del cuerpo: decimos que un eje que pasa por ese punto es principal de inercia, si el momento de inercia del cuerpo con respecto a dicho eje es máximo o mínimo.

Se llama terna principal de inercia en un punto del cuerpo a aquella cuyos ejes son principales de inercia. Si por un punto del cuerpo pasa un eje de simetría, ese eje será principal de inercia. No obstante, un eje puede ser principal de inercia, sin ser eje de simetría. Los productos de inercia con respecto a ejes de la terna principal en un punto del cuerpo son nulos. En el apéndice se analiza con mas detalle esta cuestión.

M

e

ir

r

1r

im

dm

1m

Figura I


A modo de ejemplo, se realiza a continuación el cálculo de algunos momentos de inercia

sencillos.

Momento de inercia de una varilla delgada

Referido a la varilla delgada de masa M

la figura II (a), el momento de inercia con respecto al

eje 'y que pasa por G

es:

2' 'y y

M

I x dm

con dm Adx , donde

es la densidad y A

es el área de la sección de la varilla.

Entonces:

22

' '

2

l

y yl

I A x dx ; 3 2

' '

2

3

l

y yl

xI A ;

3

' ' 12y y

A lI ;

2

' ' 12y y

MlI

Si ahora queremos calcular el momento de inercia con respecto a un eje y

que pasa por el extremo de la varilla, podemos usar el teorema del eje paralelo ( ver en el apéndice):

2

' ' 2yy y y

lI I M

2

3yy

MlI

Momento de inercia de un disco

Referido al disco de masa M

de la figura II (b), el momento de inercia con respecto al eje principal de inercia, que pasa por G es:

2ww

M

I r dm , con 2M

dm rdrA

; 3

0

2R

ww

MI r dr

A; A es el área del disco.

4

2

2

4ww

M RI

R ;

2

2ww

MRI

El la tabla siguiente se indican algunos momentos de inercia notables, que son útiles en la resolución de problemas de movimiento plano:

Cuerpo Momento de inercia

Cilindro (válido también para un disco), de radio R

y masa M , referido al eje del cilindro ( o del disco).

2

2

MR

v

Figura II

G

z

,x

'z

'y

'x

y

( )a

w

u

G

( )b

R

r


Cilindro hueco, de espesor de pared despreciable o anillo circular; de radio R

y masa M , referido al eje

del cilindro, (o del anillo).

2MR

Esfera, de radio R

y masa M , referido a un

diámetro. 22

5MR

Varilla delgada de masa M

y largo l , referido a un

eje perpendicular a la misma que pasa por el centro de masas.

2

12

Ml

Varilla delgada de masa M

y largo l , referido a un

eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

2

3

Ml

Placa rectangular delgada, de lados a y b y masa M , con respecto a:

Eje que pasa por G paralelo a lado a

2

12

Mb

Eje que pasa por G paralelo a lado b

2

3

Ma

Eje coincidente con el lado a

2

3

Mb

Eje coincidente con el lado b

2

3

Ma

Eje diagonal

2 2

2 26

M a b

a b

Eje perpendicular a la placa que pasa por G

2 2

12

M a b

Placa o figura plana representativa del movimiento plano de un cuerpo, idealización de cuerpo plano

En párrafos posteriores, analizaremos el teorema del momento cinético en el movimiento de un cuerpo plano. Pero, para ello, será necesario establecer una definición previa: la de la placa o figura plana representativa del movimiento plano de un cuerpo.

Recordemos, en primer término, lo que ya hemos definido como movimiento plano o bidimensional:

Se tiene un movimiento plano cuando las velocidades de todos los puntos del rígido son, en cada uno de los sucesivos instantes, paralelos a un plano fijo.

Estamos ahora en condiciones de establecer la siguiente definición. A los efectos de plantear los teoremas de la dinámica de un cuerpo con movimiento plano

podemos idealizar o representar dicho movimiento con el de una figura plana o placa sin espesor pero con una masa M

que representa al cuerpo. Llamaremos “cuerpo plano” a esta representación. Cabe preguntarse ahora: ¿cualquier movimiento plano de un cuerpo puede reducirse al

movimiento de una figura plana? En realidad, una importante cantidad de situaciones de interés práctico se pueden

representar como el movimiento de un cuerpo plano, pero, sin embargo, deben cumplirse determinados requisitos.

En la figura 4 se muestra un cuerpo con movimiento plano en el cual, el vector rotacion

se mantiene paralelo al eje z (la terna xyz se mueve solidariamente con el cuerpo).

Para que el movimiento se pueda representar como el de una figura plana, de densidad superficial de masa uniforme, debe cumplirse alguno de los siguientes requisitos:

Que el cuerpo sea simetrico con respecto al plano del movimiento.

Que el cuerpo tenga un eje de simetria paralelo al eje z , o bien que tenga un eje principal de inercia paralelo al eje z . Como ya se dijo, los ejes principales de inercia son aquellos para los cuales los productos de inercia son cero y los momentos de inercia de masas son maximos o minimos.

Podemos poner como ejemplo que el cuerpo de la figura 4 sea un cilindro,con su eje paralelo al eje z : en este caso el eje de simetria del cilindro es paralelo a dicho eje y ademas, por ser de simetria,


es tambien principal de inercia y el movimiento es representable como el de una figura plana. Pero puede ocurrir que el cilindro este cumpliendo un movimiento plano con su eje de simetria no paralelo a

(por

ejemplo, el cilindro rotando alrededor de un eje diagonal que pase por G ): este caso ya no se puede

representar con el modelo de cuerpo plano, porque es posible demostrar que su momento cinetico GL no

es paralelo a ,sino que durante el movimiento, dicho vector GL

describe un cono alrededor de . Lo

mismo podría decirse de un placa que rota teniendo como eje una de sus diagonales, ver el ejemplo de placa rotante sobre un eje no principal de inercia mas adelante.

No obstante ello, una importante cantidad de problemas de movimiento plano se pueden resolver con el modelo de cuerpo plano.

Momento cinetico en el movimiento de un cuerpo plano, referido a diversos polos Consideremos una placa representativa del movimiento plano de un cuerpo.Recordemos (ver

capítulo de cinemática), que este movimiento se puede describir, por lo menos, de dos maneras diferentes:

Podemos considerar que la placa tiene un movimiento de rotacion “pura” alrededor de un eje perpendicular al plano, que pasa por el centro instantaneo de rotacion, figura 5 (a).

G

x

y

zC Plano de la figura

móvil o placa

Figura 4: figura plana representativa de un cuerpo con movimiento plano

im

im

iP

iP

Gv

C

iviv

G

(a) (b) Figura 5: dos formas de describir el movimento plano de una

placa


O bien podemos imaginar que la placa tiene un movimiento rototraslatorio: se traslada con una

velocidad Gv y rota alrededor de un eje que, en el instante considerado, pasa por G, figura 5 (b).

Por cierto que se pueden hacer tantas descripciones como polos se elijan, pero los dos mencionados son los mas representativos. Entonces, podemos expresar la velocidad de un punto como (figura 5 (a)) :

i iv P C

y también como ( figura 5 (b)):

i G iv v P G

En lo que sigue, presentaremos las formas de calcular el momento cinético de un cuerpo plano, referido a diferentes polos notables.

a) Respecto al centro de masas El momento cinético baricéntrico es, de acuerdo con la definición dada por la expresión (2):

G i i iL P G m v

y a partir de la misma demostraremos que:

G GL I (13)

GI

es el momento de inercia de masas del cuerpo con respecto a un eje paralelo a que pasa

por G. La demostración de la (13) es la siguiente: Partimos de:

( )G i i ii

L P G m v

donde:

( )i iv P C

entonces:

( ) ( )G i i ii

L m P G P C

si usamos la regla del doble producto vectorial:

( ) ( . ) ( . )a b c a c b a b c

resulta:

( ) ( ) ( ) ( )G i i i i i ii i

L m P G P C m P G P C (a)

El último término de (a) es cero por ser los vectores (Pi –G) y

perpendiculares entre si y por lo tanto su producto escalar es cero.

Además, podemos expresar el vector iP C como la suma de vectores:

( ) ( ) ( )i iP C G C P G (b)

Reemplazando (b) en (a) queda:

( ) ( ) ( )G i i ii

L m P G G C P G

o bien: 2

( ) ( ) ( )G i i i ii i

L m P G G C m P G (c)

En la (c) resulta que:

a) ( ) 0i ii

m P G porque es el momento estático de la placa con respecto al baricentro G y por

definición de centro de masa, el momento estático baricéntrico es cero.

b) 2( )i i Gi

m P G I es el momento polar de inercia de masas del cuerpo con respecto al centro de

masas, o lo que es igual, con respecto a un eje z perpendicular al plano de movimiento. Entonces el momento cinético baricéntrico del cuerpo con movimiento plano resulta finalmente

G GL I (13)


b) Respecto a un polo “O” del plano que puede, o no, pertenecer al cuerpo (y que puede, o no,

estar en movimiento), con datos de G Si ahora queremos calcular el momento cinético con respecto a un punto O o a un eje que

pasa por dicho punto O ( que puede o no, ser del cuerpo) y que no sea G, podemos usar la (3) de sistema de partículas, que nos permite calcularlo a partir de datos referidos al centro de masas, (ver también la figura 2):

O G GL L G O Mv

si reemplazamos GL por su valor dado por (13) se tiene:

O G GL I G O Mv (14)

podemos decir que la (14) permite calcular el momento cinético de un cuerpo respecto a un eje que pasa por el punto O del plano, que puede, o no, pertenecer a la placa y que puede, o no, estar en movimiento, es indistinto.

c) Respecto al centro instantáneo de rotación (o respecto a un eje que pasa por dicho centro) Un caso de interes ocurre si elegimos como polo el centro instantáneo de rotacion de la placa.

Demostraremos al final de este párrafo que, el momento cinético con respecto a dicho punto resulta expresado por:

C CL I (15)

De las (13), (14) y (15), surge que, en el movimiento plano de un cuerpo (que sea reducible a un cuerpo plano), el vector momento cinético con respecto a cualquier polo, se mantiene siempre perpendicular al plano de movimiento.

La (15) es igualmente válida para un cuerpo plano que rota alrededor de un eje fijo , en donde el punto C coincide con un punto O del eje de rotación. En ese caso, la (15) se escribe como:

e eL I (15’)

eL

e eI

son, respectivamente, el momento cinético y el momento de inercia de masas con

respecto al eje de rotación. La demostración de la (15) es la siguiente: Partimos de la definición de momento cinético con respecto a un punto, que en este caso es el

centro instantáneo de rotación:

( )C i i ii

L P C m v

pero:

( )i iv P C

entonces

( ) ( )C i i ii

L P C m P C

O bien aplicando la regla:

( ) ( ) ( )a b c a c b a b c

Se tiene: 2( ) ( ) ( )C i i i i i

i i

L m P C m P C P C (a)

pero los vectores (Pi-C) y

son perpendiculares entre si, su producto escalar es cero y por lo tanto se hace cero el corchete del segundo término de la (a).

Además por definición de momento de inercia de masas es: 2( )C i i

i

I m P C

Entonces:

C CL I (15)

d) Respecto a un polo del cuerpo, con datos del polo


En la resolución de algunos problemas, como es el caso de la esfera rodante con su centro de

masas no ubicado en su centro geométrico, puede resultar cómodo o conveniente utilizar como polo un punto del cuerpo con datos, no referidos a G, sino referidos al polo.

La siguiente expresión, corresponde al momento cinético cuando el polo O

es solidario a la

placa, es decir, se mueve como un punto de ella con datos referidos al polo:

O O OL M G O v I (16)

La correspondiente demostración se agrega al final de este párrafo. Si el movimiento plano es una rotación alrededor de un eje que permanece fijo y se toma como

polo un punto de dicho eje, de la (16) se obtiene la conocida fórmula de Física Mecánica:

O OL I (16’)

Cuando el polo elegido es G la (16) se transforma en la ya conocida (13):

G GL I

Si elegimos como polo el centro instantáneo de rotación, la (16) se transforma en la también ya conocida (15)

C CL I

Demostración de la (16):

( )O O OL M G O v I

Calcularemos el momento cinético de una placa con movimiento plano con respecto a un punto “O” del cuerpo cuya velocidad es Ov , ver la figura 6.

Escribamos:

( )O i i ii

L P O m v

además:

( )i O iv v P O

reemplazando:

( ) ( )O i i O ii

L P O m v P O

( ) ( ) ( )O i i O i i ii i

L m P O v m P O P O

Aplicando al segundo término la regla del doble producto vectorial:

( ) ( ) ( )a b c a c b a b c

queda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )O i i O i i i i i ii i i

L m P O v m P O P O m P O P O

pero el tercer término es cero porque ( ) 0iP O por ser movimiento plano; entonces:

Expresión válida para un polo fijo

im

iP

C

O

ov

iv

Figura 6


2( ) ( )O i i O i i

i i

L m P O v m P O (a)

teniendo en cuenta, además que, por definición de centro de masas es:

( ) ( )i ii

m P O M G O (b)

y que: 2( )i i O

i

m P O I (c)

Si reemplazamos (b) y (c) en (a), podemos escribir finalmente la (16):

( )O O OL M G O v I

Si O C , es 0Ov y se llega a la ya vista (15).

C CL I

y si el polo coincide con G, el primer término se anula igualmente, por ser 0G O y queda la (13):

G GL I

Ejemplo, determinación del momento cinético con respecto a un polo diferente de G En el ejemplo de la varilla con un extremo deslizante, del capítulo cinemática, ( ver en figuras 12-

1 y 12-2), podemos calcular el momento cinético con respecto al extremo A deslizante con la (14):

A G GL I G A Mv (a)

El producto vectorial del segundo término de la (a) resulta en el sentido negativo de K

(ver en la

figura 12-2) y si tenemos en cuenta que 2

Gl

v cos

, que 2

lG A

y que el ángulo entre

ambos vectores es 90 , se puede expresar:

902 2G

l lG A Mv cos M sen K

O bien: 2

2

4G

lG A Mv M cos K (b)

si ahora llevamos (b) a la expresión (a), se tendrá: 2

2

4A G

lL I K M cos K

y también:

2 22

12 4A

l lL M K M cos K

223

12A

lL M cos K

Momento cinético de un cuerpo con movimiento rototraslatorio no plano Retomemos las expresiones (13), (15) (15’):

G GL I ; C CL I ; e eL I

De todas ellas surge que el vector momento cinético tiene la misma dirección que el vector rotación y esto es así siempre que se trate de un cuerpo plano con movimiento plano.

Por esta razón, es importante destacar que:

Si el cuerpo no se puede modelar como un cuerpo plano, o aún siendo plano el movimiento, si el eje de rotación no es un eje principal de inercia, el vector momento cinético no es colineal con el vector

. Consideremos un cuerpo con movimiento rototraslatorio instantáneo, representado por un vector

Ov

y un vector

aplicados en un polo O , ver en la figura 10 del capítulo cinemática. En este caso


general, no es de aplicación ninguna de las (13), (15) o (15’) y sí en cambio para calcular el vector momento cinético instantáneo deben aplicarse las expresiones que se indican seguidamente.

El vector momento cinético baricéntrico de un cuerpo con movimiento de rotación, debe calcularse con:

Gx xx xy xz x

Gy yx yy yz y

Gz zx zy zz z

L I I I

L I I I

L I I I

(17)

GxL ; GyL ;zGL

son los valores de las componentes del vector momento cinético baricéntrico, GL , sobre

los ejes de una terna , ,x y z del cuerpo, con origen en G y orientación cualquiera .

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I

I I I

es la matriz de inercia, referida a la terna de ejessolidaria al cuerpo, o sistema del

cuerpo, ver en el apéndice de momento de inercia de masas, matriz de inercia. La forma en que hemos escrito la matriz de inercia, con los signos más para los momentos

centrífugos, implica que los momentos centrífugos, los definimos de acuerdo con (ver en el apéndice):

xy

M

I xydm xz

M

I xzdm yz

M

I yzdm

x ; y ; z

son las componentes del vector rotación

en las direcciones , ,x y z

de una terna del

cuerpo con origen en G . La expresión matricial dada es también válida para un polo O

fijo del cuerpo, por ejemplo, en el movimiento polar ( ver en el capítulo cinemática).

Si lo que se quiere es calcular el momento cinético con respecto a un polo O

cualquiera, sigue siendo de aplicación la expresión

O G GL L G O Mv

ya vista, con la salvedad que GL debe calcularse con la expresión matricial (17). No haremos la demostración de la expresión general (17), la que se da sólo a título informativo,

ya que en el presente texto nos ocupamos de la dinámica del movimiento plano. No obstante ello, daremos un ejemplo de cálculo del momento cinético de una placa en rotación

alrededor de un eje fijo no principal de inercia.

La placa de la figura siguiente, rota con velocidad angular

alrededor de un eje fijo coincidente con su diagonal. Los ejes , ,x y z

del cuerpo, los elegimos con origen en G

y coincidentes con los ejes de simetría de la placa, es decir, son principales de inercia.

Es interesante observar que el movimiento de la placa rotando alrededor de un eje diagonal es un movimiento plano porque todas las partículas tienen trayectorias paralelas a un plano ( perpendicular al

eje ) . Pero no se puede modelar como el movimiento de un cuerpo plano, porque el eje de rotación no

es principal de inercia. Entonces no son de aplicación las G GL I ; C CL I ; e eL I . Salvo que

la placa sea cuadrada, en cuyo caso el eje de rotación, sí es principal de inercia.

Las componentes de sobre los ejes son:

x cos ; y sen ; 0z

Placa en rotación con eje diagonal

b

a

y

x

G

GL


A medida que la placa rota,

no cambia, y por lo tanto , ,x y z

(que vale cero), permanecen

constantes. Además, como los ejes son de simetría, los productos de inercia de masas xyI , xzI , yxI ,

yzI , zxI , zyI son nulos y por esta razón la matriz de los momentos de inercia es diagonal.

Entonces podemos escribir:

0 0

0 0

0 0 0z

Gx xx x

Gy yy y

G zz

L I

L I

L I

Si efectuamos el producto de matrices indicado en el segundo miembro, obtenemos las componentes del vector momento cinetico baricéntrico sobre los ejes del cuerpo:

0

Gx xx

Gy yy

Gy

L I cosL I senL

Debe observarse que, en el caso del ejemplo planteado, es 0sen

y por lo tanto el valor de

la componente GyL es negativo, ver en la figura.

Los valores GxL , GyL , de las componentes del vector GL

en las direcciones de los ejes del

cuerpo, no cambian a medida que la placa gira, lo cual significa que el vector GL

permanece solidario a la placa y gira junto con ella. En consecuencia, dicho vector describe un cono con origen en G , cuyo eje

es (eje x ) y cuyo ángulo con el eje de rotación es .

Para calcular el ángulo que el vector GL forma con el eje x planteamos:

Gy yy

Gx xx

L I sentan tan

L I cos

yy

xx

Itan tan

I

Observamos que si fuese a b , sería xx yyI I

y las direcciones de los vectores

y GL

serían coincidentes, porque sería . Tal sería el caso de una placa cuadrada rorando elrededor de

su eje diagonal. Pero si a b las direcciones de y GL ya no serán coincidentes.

Teorema del momento cinetico, en el movimiento de un cuerpo plano, referido a diversos polos a) Con respecto un polo “O” del plano que puede, o no, pertenecer al cuerpo, con datos referidos

a G De acuerdo con una de las dos formas en que se puede representar el teorema del momento

cinético en el caso más general de un sistema de partículas, dada por la expresión (7), ya deducida, es:

eG

O G

d LG O M a

dt

Además, el momento cinético baricéntrico, en el movimiento de un cuerpo plano, dado por la (13) es:

G GL I

Si ahora derivamos con respecto al tiempo, resulta:

GG

d LI

dt

Reemplazando la derivada del primer término, en la expresión de e

O , obtenemos la forma que toma el teorema del momento cinético en una placa con movimiento bidimensional, referido a un polo O cualquiera y con datos de G :

e

O G GI G O M a (18)


El primer miembro de la (18) es el momento de las fuerzas exteriores con respecto a un eje que

pasa por el punto O , el cual puede, o no, pertenecer a la placa, ya que en ella no interviene la velocidad del polo.

b) Con respecto al centro de masas Si, en particular, el polo elegido O

coincide con el centro de masas G , el segundo

término se hace cero y la (18) se transforma en el teorema del momento cinético baricéntrico para el movimiento de un cuerpo plano:

e

G GI (19)

c) Con respecto a un polo del cuerpo, con datos del polo En la resolución de algunos problemas, como es el caso de la esfera rodante con su centro de masas no ubicado en su centro geométrico, puede resultar cómodo o conveniente utilizar como polo un punto del cuerpo con datos, no referidos a G, sino referidos al polo. Este problema se trata en el capítulo de problemas. Al final de este párrafo, se demostrará que la siguiente expresión corresponde al teorema del momento cinético cuando el polo es solidario a la placa, (es decir se mueve como un punto de ella), con datos referidos al polo:

0

e

O O

dM G O a I

dt (20)

Si se tomase como polo el centro de masas, el primer término de la (20) se hace cero y se obtiene la ya conocida (19) expresión del teorema del momento cinético baricéntrico para el cuerpo plano,

del párrafo b): e

G GI .

Seguidamente, se demostrará la expresión (20):

0

e

O O

dM G O a I

dt

Para ello, partimos de la expresión (16) del momento cinético con respecto a un polo del cuerpo plano, con datos del polo:

( )O O OL M G O v I

Derivamos con respecto al tiempo y usamos la regla de derivación de un producto:

( )( )O O

O O

dL d G O dv dM v M G O I

dt dt dt dt

Distribuimos Ov en el primer término:

( )O OG O O O O

dL dv dMv v Mv v M G O I

dt dt dt

el segundo término se anula, entonces:

( )OG O O O

dLMv v M G O a I

dt (a)

Por otra parte la expresión del teorema del momento cinético con respecto a un polo cualquiera, con datos del polo, en el caso más general de un sistema de partículas, es, de acuerdo con la (6)

e OO O G

dLMv v

dt

O bien:

e OO G O

dLMv v

dt (b)

Si ahora reemplazamos el primer término de (b), por su valor, de (a), resulta finalmente la expresión (20), del momento cinético de un cuerpo plano, con respecto a un polo del cuerpo, que queríamos demostrar:


( )e

O O O

dM G O a I

dt

Como vemos, salvo que se tome como polo al centro de masas, deberá tenerse en cuenta

la aceleración del polo considerado.

d) Con respecto al centro instantáneo de rotación o con respecto a un punto del eje de rotación fijo

Si elegimos como polo el centro instantáneo de rotación, la (20) toma la forma:

( )e

C C C

dM G C a I

dt (21)

En el caso particular de un disco homogéneo rodante sobre una recta del plano, resultan los vectores G C

y Ca

paralelos, ver en la figura 15 del capítulo cinemática. En esta situación especial,

el primer miembro de la (21) es cero y será:

e

C C

dI

dt (21’)

Si el movimiento plano es una rotación alrededor de un eje que permanece fijo y se toma como polo un punto de dicho eje, el primer término de la (20) se hace cero y se obtiene la conocida “fórmula” de Física Mecánica:

e

O O

dI

dt (20’)

y también, referido al eje de rotación " "e :

e

e e

dI

dt (20’)

Ejemplo Nº 1, teorema del momento cinético con polo en el centro de rotación, en varilla con extremo deslizante, aceleración angular

Retomemos el caso de la varilla de largo l

uno de cuyos extremos tiene una articulación

deslizante, del capítulo cinemática, en el cual agregamos el peso y la reacción N en la articulación. Podemos calcular la aceleración angular de la varilla en función del ángulo . Para ello,

aplicamos el teorema del momento cinético con polo en C , con datos del polo (o sea de C ) dado por la (21):

eCC C

dM G C a I

dt (a)

La aceleración del centro de rotación vale (ver el cálculo de la aceleración del centro de rotación para este caso en el capítulo de cinemática, expresión (e) y figura 14-1):

2 2

2 2C

l la cos I sen J (b)

El momento de inercia con respecto a C lo calculamos con el teorema de Steiner: 2

C GI I M C G

Expresión válida para un polo fijo

O NY

X

P

Pv

G

Ga

Mg

lC

d

dt

Ov

Figura 6-1

Ca

Válido sólo para disco (o esfera) rodante sobre recta del plano


22 2 2

2

12 2 12 4C C

Ml l Ml lI M cos I M cos

2 21 3

12C

Ml cosI (c)

Reemplazamos (b) y (c) en (a): 2 2

2 21 3

2 2 2 2 12

Ml cosl l l lMg cos K M cos I cos I sen J K

2

2 21 3

2 2 2 2 12

l cosg cos l lcos K I cos I sen J K

Distribuimos en el paréntesis del primer término el factor 2

cosI :

2

21 3

2 4 12

l cosg lcos K sen cos K K

2

21 3

2 4 12

l cosg lcos sen cos

22 1 36 3

12 12

l cosgcos lsen cos

de lo que resulta, finalmente: 2

2

6 3

1 3

gcos lsen cos

l cos (d)

En la posición inicial de la varilla es 0 y de acuerdo con la (d) resulta:

2

6

1 3

gcos

l cos (d’)

Cuando la varilla se encuentra en la posición horizontal es 0 y de la (d) resulta: 3

2

g

l

Recordemos que en la posición horizontal, el punto O

está a la distancia 2

l

de G , hacia la

derecha y el centro de rotación C

está en O . Además, en esa posición la aceleración del centro de masas G vale (ver en el ya citado ejemplo del capítulo de cinemática)

2G

la J

3

4Ga g J (e)

Si aplicamos la ecuación cardinal eG YY

M a R y tenemos en cuenta la (e) resulta:

3

4M g Mg N

31

4N Mg

1

4N Mg J

Cuando el centro de masas, llega a su posición mas baja (a una distancia 2

l

por debajo de O ),

el centro C

y G

coinciden y la varilla rota alrededor de G

con velocidad angular máxima (ver en el citado ejemplo). En esa posición es 90º y de acuerdo con la (d), la aceleración angular se anula.

En la posición de G

más baja, N

es mayor que el peso y resulta ser máximo, se propone su cálculo como ejercicio. La velocidad angular máxima, con la varilla vertical, puede calcularse a partir de la conservación de la energía mecánica, con:

Válida en la posición inicial de la varilla, para 0

Válida en la posición horizontal de la varilla, para 0


2

21

2 12 2 2max inicial

Ml l lMg sen .

Ejemplo Nº 2, teorema del momento cinético en una esfera con resistencia a la rodadura Una esfera de masa M

y radio R

, en el instante inicial rueda con velocidad angular 0

sobre

una recta de un plano. Calcular la aceleración angular, la aceleración del centro de masa y la fuerza de

interacción f

que el plano ejerce en el centro de rotación C , en cada uno de los siguientes supuestos

(ver resistencia a la rodadura en el capítulo leyes de Newton): a) La esfera está sometida sólo a la resistencia por rodadura y la misma se expresa como una fuerza de

resistencia a la rodadura de valor rod X

NeF

R, aplicada en G . La distancia de momento de

rodadura “ e ” es dato., figura (a) b) La esfera está sometida sólo a la resistencia por rodadura y la misma se expresa como un par de

fuerzas (resultante nula), cuyo momento es el momento de resistencia a la rodadura rod GNe ,

figura (b).

c) La esfera está sometida a la resistencia por rodadura la fuerza rod X

NeF

R, aplicada en G

y

además una fuerza activa F , en el sentido de avance y cuyo módulo es mayor que Ne

R. Figura (c).

¿qué requisito debe cumplirse en este caso para que la esfera no deslice?

a) Cálculo con rod X

NeF

R

Para calcular la aceleración angular planteamos el teorema del momento cinético con respecto al centro de rotación, dado por la (21) en la que, en este caso, su primer término es cero. Entonces:

rod CXF R K I K

27

5

MgeR MR

R 27

5ge R

2

5

7

ge

R (a)

La aceleración del centro de masa, la calculamos con:

Ga R

El signo menos se debe a que cuando el vector

tiene el sentido negativo del eje Z , al vector

Ga le corresponde el sentido positivo del eje X . Si reemplazamos el valor de de (a), resulta: 5

7G

ea g

R (b)

(a)

G

0

f

rodX

F

Y

X

C

Figura 6-2

G

0

f

C

rod G

(b)

G

0

C

(c)

F

f

eMg I

R


Para calcular la fuerza de interacción f , usamos la ecuación cardinal ( I ):

Mgf e I M RI

R

2

5

7

Mg gef e M R

R R

51

7

ef Mg

R

2

7

ef Mg

R (c)

El sentido de f es en el sentido positivo del eje X .

A lo mismo hubiéramos llegado, si en vez de usar la ecuación cardinal ( I ), hubiésemos planteado de nuevo el teorema del momento cinético, pero con polo en G :

GfR I 22

2 5

5 7

gefR MR

R

2

7

ef Mg

R

A modo de ejemplo, supongamos una esfera de hierro pulido de 5R cm

que se mueve sobre

una guía recta del mismo material, con una velocidad inicial 1m

s. Como 0,005e , es 0,001

e

R

y

según la (b), su aceleración de frenado de rodadura (no se toma en cuenta la resistencia del aire) es

350,001 7 10

7

mg

s. El tiempo 1t

que demorará en detenerse surge de 312

1 7 10 0m m

ts s

,

de donde 1 143t s . La distancia que recorrerá es

2

0 712 G

vm

a.

b) Cálculo con rod GNe

El momento de rodadura con respecto al centro de rotación es el mismo que con respecto a G , porque el momento de un par de fuerzas no cambia al cambiar el punto con respecto al cual se toma

momento. Entonces es: rod CMge y el teorema del momento cinético con respecto a C conduce

a 27

5Mge MR y por lo tanto, llegamos igualmente a la expresión (a).

Por lo tanto, la aceleración angular y la aceleración de centro de masa serán las mismas que en el supuesto anterior:

2

5

7

ge

R y

5

7G

ea g

R

En cambio, la fuerza de interacción f

que aparece en el punto de contacto, ya no es la misma que en

el primer caso. Si usamos la ecuación cardinal ( I ), será G Xf M a , o bien, en forma escalar:

5

7

ef Mg

R (d)

Además, en el supuesto que estamos considerando, la fuerza f

es en el sentido negativo del

eje X .

c) Cálculo con el agregado de la fuerza F

Planteamos el teorema del momento cinético, con polo en el centro de rotación

27

5

eFR Mg R MR

R

y por lo tanto la aceleración angular resulta:

2

5 5

7 7

F eg

MR R (e)

La aceleración del centro de masa es Ga R , entonces:

5 5

7 7G

F ea g

M R (f)

Ahora, por la ecuación cardinal (I) escribimos:


G

ef F Mg Ma

R

5 5

7 7

e ef F Mg F Mg

R R

Al valor de f

lo hemos incorporado en la ecuación con signo más, porque es la incógnita que

queremos determinar. Resulta:

5 51 1

7 7

ef F Mg

R

2

7

ef F Mg

R

o bien:

2

7

ef F Mg I

R (g) ver nota 1

Como e

F MgR

, de la (f) resulta que el sentido de la fuerza f

es en el sentido negativo del

eje X . (ver en la figura (c) La condición para que no se produzca deslizamiento en C es:

cinf Mg 2

7 cin

eF Mg Mg

R (h)

Como se ve en la (h), a mayores valores de F

mayor es la posibilidad de que ocurra deslizamiento.

Si en la (h) fuese 0F

y sólo actuase la fuerza de resistencia a la rodadura, en ese caso la condición de no deslizamiento resultaría:

2

7 cin

eMg Mg

R

2

7 cin

e

R (h’)

Nota 1: Sin necesidad de plantear las ecuaciones, podríamos haber escrito la fuerza de interacción dada por (g), por

comparación con la (c): en la (c) e

MgR

es la fuerza aplicada en G , pero cambiada de signo. Entonces, cuando la

fuerza aplicada sea e

F MgR

, en la (c) en vez de escribir e

MgR

, escribimos e

F MgR

y obtenemos la

(g).

Teorema del momento cinético en el movimiento rototraslatorio no plano de un cuerpo, con polo en G, ecuaciones dinámicas de Euler

En la figura 7 vemos un cuerpo que, en un instante dado, tiene un movimiento rototraslatorio, representado por los vectores

y Gv . , ,X Y Z

es el sistema de referencia “fijo” y

, ,x y z es el sistema del cuerpo.

El teorema del momento cinético, para el caso general de un sistema de partículas (en este caso es un sistema rígido), está dado por la ya vista expresión (9) y corresponde a la segunda ecuación cardinal (vectorial) de la dinámica:

z

y

x

Gv

GL

G

X

Z

Y

Figura 7


e

GG

dL

dt (a)

Sabemos también que el teorema se cumple si el polo O

es un polo fijo del cuerpo, aunque no

sea G , en cuyo caso es:

00

e dL

dt (polo fijo) (b)

La expresión (b), se aplica al caso que el cuerpo tenga un movimiento polar, con el eje de que pasa en todo momento por O .

El vector GL , en la (a), es un vector que pertenece al sistema del cuerpo. Por lo tanto, su

derivada con respecto al tiempo, referida al sistema fijo , ,X Y Z , se expresa, con: (ver en el apéndice

del capítulo cinemática)

1

G G

G

d L d LL

dt dt (c)

De acuerdo con las (a) y (c), resulta entonces:

1

GeGG

d LL

dt (22)

El primer término es la derivada del vector momento cinético con respecto al tiempo vista desde el sistema del cuerpo , ,x y z .

Si el cuerpo tuviese un movimiento polar, donde el eje de

que pasa por O , el teorema se puede expresar como:

1

O O

O

d L d LL

dt dt (d)

En este caso, de acuerdo con la (b) y la (d), el teorema del momento cinético toma la forma:

1

OeOO

d LL

dt (23)

Si tomamos los ejes , ,x y z como principales de inercia, la (17) conduce a:

0 0

0 0

0 0

Gx xx x

Gy yy y

Gz zz z

L I

L I

L I

O bien, efectuando el producto de matrices:

Gx xx x

Gy yy y

Gz zz z

L I

L I

L I

(a)

La derivada con respecto al tiempo del primer miembro de la (22), si tenemos en cuenta la (a), la podemos esribir como:

Gx xx x

Gy yy y

Gz zz z

L I

L I

L I

(b)

Además, el producto vectorial del segundo miembro de la (22), lo expresamos mediante el siguiente determinante:

Teorema del momento cinético baricéntrico

Teorema del momento cinético baricéntrico en el movimiento rototraslatorio no plano

Teorema del momento cinético en el movimiento polar, con polo O fijo


O x y z

xx x yy y zz z

i j k

L

I I I

(c)

Los elementos de la última fila del determinante de la (c) se han tomado de la (a). Si desarrollamos este determinante resulta:

O zz yy y z xx zz x z yy xx x yL I I i I I j I I k (d)

Reemplazamos ambos términos de la (22), por sus iguales de (b) y (d) y expresamos las 3 ecuaciones escalares que resultan, en forma matricial:

exxxG x zz yy y z

eyG yy xx zz x zy

e yy xx x yzzzG z

I I I

I I I

I II

(e)

La expresión matricial (e), equivale al las 3 siguientes ecuaciones, conocidas como ecuaciones dinámicas de Euler: Ver nota 1

eG xx x zz yy y zx

eyG yy xx zz x zy

ezG zz yy xx x yz

I I I

I I I

I I I

(22’)

Las (22’) permiten encontrar las proyecciones, sobre los ejes principales de inercia con origen en el baricentro, del vector momento de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido. , ,x y z

son los

valores de las proyecciones del vector

sobre los ejes del cuerpo, en tantos que , ,x y z

son sus

derivadas con respecto al tiempo. Las 3 ecuaciones escalares (22’) corresponden a las proyecciones sobre los ejes del cuerpo de la expresión vectorial (22) del teorema del momento cinético baricéntrico, en el caso mas general de movimiento de un cuerpo en el espacio. Si se tratase del caso particular del

movimiento de un cuerpo plano resultan 0x y y también 0x y , de lo cual surge que las

(22’), se transforman en la ya conocida expresión del teorema del momento cinético en el movimiento

plano dada por la (19), que expresada en forma escalar es: eG GI , con e e

G Gz

y con

z . Las (22’) son igualmente válidas en el caso que el cuerpo tenga un movimiento polar, con el vector

que pasa en todos los sucesivos instantes, por un punto fijo O. En tal caso el sistema del cuerpo , ,x y z

es el sistema principal de inercia con origen en O

y el momento de las fuerzas se toma

con respecto al punto fijo O .

Nota 1. La designación como ecuaciones dinámicas, es para distinguirla de las ecuaciones cinemáticas de Euler. Estas últimas pertenecen a la cinemática espacial del sólido y se refieren al movimiento de un sólido con un

punto fijo (movimiento polar). Permiten conocer las proyecciones del vector rotación

sobre los ejes del cuerpo y sobre los ejes “fijos”, en función de los ángulos de Euler y de sus derivadas. Son las siguientes:

x

y

z

cos sen sen

sen sen cos

cos

X

Y

Z

sen sen cos

sen cos sen

cos

Ejemplo, cálculo de las reacciones de vínculo en la rotación de placa alrededor de eje no principal de inercia

Ecuaciones dinámicas de Euler


La placa de la figura 8 siguiente, rota con velocidad angular

alrededor de un eje fijo

coincidente con su diagonal. Los ejes , ,x y z

del cuerpo, los elegimos con origen en G

y coincidentes

con los ejes de simetría de la placa, es decir, son principales de inercia.

Las componentes del vector momento cinético GL sobre los ejes del cuerpo ya fueron calculados

anteriormente en el ejemplo de cálculo del momento cinético de una placa en rotación alrededor de su diagonal y valen:

0

Gx xx

Gy yy

Gy

L I cosL I senL

(e)

De acuerdo con las (e) observamos que, tanto GxL

como GyL

no dependen del tiempo: ello significa que

el vector GL

no cambia, se mantiene constante con respecto a los ejes del cuerpo. Quiere decir,

entonces, que su derivada con respecto al tiempo, en este sistema, es cero y por lo tanto se anula el

primer término del segundo miembro de la (22), 10Gd L

dt. Por lo tanto, la (22) queda:

eGG L

Podemos escribir el producto vectorial como:

0

0

eG

xx yy

i j k

cos sen

I cos I sen

2 2eG yy xxI sen cos I sen cos k

2eG yy xxI I sen cos k

En la expresión anterior, el paréntesis es positivo (en el caso considerado, porque yy xxI I ). El

valor de sen

es negativo y por lo tanto, el sentido del vector eG

es en la dirección negativa del eje

k . Si tomamos el valor absoluto de sen . Debe observarse que igualmente hubiéramos llegado a la expresión anterior usando la última de las (22’). Las dos primeras de las (22’) se hacen cero en este caso porque 0z

y el primer término de la última de las (22’) también es cero por ser la velocidad de rotación constante.

Podemos escribir: 2e

G yy xxI I sen cos k (f)

De acuerdo con la (f), el vector eG

rota manteniéndose en todo momento perpendicular a la

placa y en el sentido negativo del eje k . En la figura 9 se ha indicado eG con una cruz.

Placa en rotación con eje diagonal

b

a

y

x

G

GL

A

B

Figura 8


Las fuerzas que actúan en la placa son:

a) Su peso Mg

y la reacción de vínculo en condiciones estáticas, que vale Mg . Estas 2 fuerzas forman un sistema de resultante y momento nulos.

b) Las fuerzas Adin

R

y Bdin

R

, éstas últimas son ejercidas por los apoyos y están aplicadas en el

eje de la placa (ver en la figura 9). Las llamaremos reacciones dinámicas, porque aparecen como consecuencia de la rotación de la placa alrededor de un eje no principal de inercia.

Precisamente, el momento de las fuerzas exteriores se materializa mediante las

reacciones Adin

R y Bdin

R : se trata de fuerzas que tienen igual módulo pero sentido opuesto, es decir,

configuran una cupla o par de fuerzas, en forma tal que se cumple: e

G A dinR d

y por lo tanto: e

GA Bdin din

R Rd

Las reacciones dinámicas tienen igual módulo y sentido opuesto, como se puede comprobar si aplicamos el teorema del movimiento del centro de masas:

GA Bdin dinR R M a

Pero: 0Ga

porque el centro de masas G

permanece inmóvil, lo que significa que la resultante de las fuerzas externas debe ser cero, es decir:

0A Bdin dinR R A Bdin din

R R

Además los vectores Adin

R y Bdin

R giran junto con el cuerpo: ello es así porque eG es un

vector giratorio aplicado en G , por lo tanto Adin

R

y Bdin

R , que están en un plano perpendicular a

eG , también deben girar, aplicados en el eje.

En resumen, la reacción en cada apoyo está compuesta por dos fuerzas:

a) Una fuerza estática cuyo módulo vale 2

Mg:

2A Best est

MgR R (g)

Estas reacciones siempre son ejercidas sobre el eje del cuerpo por los apoyos, ya sea que la placa esté en reposo, o en rotación.

b) Una fuerza dinámica rotatoria Adin

R y Bdin

R , que aparece como consecuencia de la rotación.

Figura 9 Momento de fuerzas actuantes en placa en rotación con eje diagonal

b

a

y

x

BR

G

A

B

d

eG

B

dinR

A

dinR


Podemos, finalmente, escribir:

A A Aest din

V ector fijo V ector rotatorio

R R R

B B B

est din

V ector fijo V ector rotatorio

R R R

Las reacciones A

dinR

y B

dinR , dependen del valor del momento dinámico, dado por las (f) y

por lo tanto, dependen de 2 . Para velocidades de rotación suficientemente grandes, puede ocurrir, entonces, que el valor de las reacciones dinámicas sea mayor que el de las reacciones estáticas.

Conservación del momento cinético en el movimiento del cuerpo plano Si el momento de las fuerzas exteriores con respecto al centro de masa, se mantiene constante,

ello significa que no hay impulso angular entre los instantes considerados y por lo tanto, se cumple el teorema de conservación del momento cinético. También se conserva el momento cinético, si el polo elegido es un punto que se mantiene fijo en el intervalo considerado. De acuerdo con las (12) y (12’) de conservación del momento cinético en un sistema de partículas, es:

2 1G GL L ( válida para 0eG )

2 1O OL L ( válida para 0eO )

En el movimiento plano, dado que la dirección del vector momento cinético se mantiene perpendicular al plano del movimiento, la conservación del momento cinético, se puede escribir, en forma

escalar. Si, además, tenemos en cuenta que, de acuerdo con la (13) es G GL I , la conservación del

momento cinético en el movimiento del cuerpo plano, se expresa como:

2 1G GI I (22) ( válida para 0eG )

Si, en particular, el movimiento plano es una rotación alrededor de un eje fijo " "e , el teorema de conservación del momento cinético con respecto a dicho eje, se expresa como la conocida fórmula de Física Mecánica:

2 1e eI I (22’)

Ejemplo, conservación del momento cinético en sistema partícula-tubo en rotación El tubo de masa M

y largo l

finito de la figura gira inicialmente sobre un plano horizontal liso, con velocidad angular , alrededor de un eje fijo. Se introduce, con velocidad inicial no considerable, una esfera de masa m , la que se mueve sin rozamiento dentro del tubo, ver en la figura. Calcularemos la velocidad angular inmediatamente antes de que la esfera abandone el tubo inmediatamente antes de que la esfera abandone el tubo.

El momento de las fuerzas exteriores actuantes con respecto al punto A , si consideramos el sistema masa- tubo, es cero. Ello es así, porque la resultante de las fuerzas externas ( reacción del eje sobre el tubo), pasa por A. El par de fuerzas, acción-reacción de interacción entre el tubo y la partícula, son fuerzas interiores del sistema. No podemos aplicar directamente la (22) o (22’), porque éstas se refieren a un único cuerpo plano con un único GI

y aquí tenemos un sistema formado por el tubo y la

partícula, en donde el momento de inercia del sistema cambia según se mueve la partícula. No obstante ello, igualmente se conserva el momento cinético del sistema, porque el momento resultante respecto al

(Válida para rotación con eje

fijo y con 0eO )

Y

X

A

m

l


eje de rotación es nulo( ver las (12) y (12’) de conservación del momento cinético en un sistema de

partículas). El vector AL , al igual que el vector están orientados en el sentido positivo del eje Y . Podemos expresar entonces en forma escalar:

A Afinal inicialL L

Si llamamos '

a la velocidad del tubo en el instante que la masa abandona el mismo, podemos

escribir en forma escalar:

'A Afinal inicialI I

El momento cinético inicial es: 2

3A inicial

M lL (a)

En la expresión (a), no interviene el momento cinético de la masa m , porque en el instante inicial, ésta se encuentra en el eje de rotación. El momento cinético del sistema con la masa en el extremo del tubo, es la suma del momento cinético del tubo, más el momento cinético de la masa m en la posición extrema:

'A Afinal A masa finalL I L (b)

El momento cinético de la masa m , de acuerdo con la definición de momento cinético para una partícula, dada por la (1) es:

A masa mfinal

L P A mv

El vector velocidad de la masa vale 'm m relv v i l j

; el primer término es la velocidad

relativa de la masa respecto al tubo y el segundo es su velocidad de arrastre. El vector posición de la

masa es P A li . Los versores ,i j

corresponden al sistema ,x y

que gira con el tubo. Si

efectuamos el producto vectorial, indicado precedentemente, su valor escalar resulta igual a:

'A masa final

L m l l (c)

Reemplazamos A masa final

L de (c) en (b):

22' '

3A final

M lL m l 2'

3A final

ML l m (d)

Como A Ainicial finalL L , igualamos los segundos miembros de (a) y (d):

22' ' 3

3 3

M l Ml m M M m

de lo que resulta finalmente, la velocidad angular del tubo, en el instante que la masa lo abandona:

'3

M

M m (e)

Como vemos la velocidad angular final del tubo es menor que la inicial, lo que significa que ésta disminuye a medida que la partícula se aleja del eje de rotación. (puede consultarse al respecto el análisis de las fuerzas de inercia en este caso, en el capítulo Leyes de Newton fuerzas de inercia.

A partir del instante en que m

abandona el tubo, la esfera estará sometida a su propio peso y a la reacción del plano liso y la fuerza resultante sobre ella será cero. Entonces, por el principio de inercia, la esfera seguirá una trayectoria rectilínea uniforme, y su momento cinético respecto al eje permanecerá constante. Como la suma de los momentos cinéticos del tubo y la esfera se mantiene constante, ello implica que ' permanecerá también constante.


Conservación del momento cinético en la percusión excéntrica de una placa, centro instantáneo de rotación

Consideremos la placa de la figura 10 en la que la resultante de las fuerzas y los momentos aplicados, vale cero y que además, se encuentra inicialmente en reposo. Podemos representarnos esta situación, si imaginamos que la placa está sobre un plano horizontal liso.

Supongamos ahora que, en un determinado instante, actúa sobre la placa una percusión. Una

percusión p equivale a una impulsión que actúa en un tiempo extremadamente pequeño , pero con un valor finito de fuerza, en forma tal que la misma puede expresarse como:

0

p Fdt (23)

La percusión es una magnitud vectorial, finita, sus unidades corresponden a la de la cantidad de movimiento y queda definida mediante la expresión (23).

La placa, que estaba en reposo antes del impacto, inmediatamente después de éste, adquiere, por efecto del mismo, un movimiento plano. Por lo tanto, se tendrá un centro instantáneo de rotación el cual estará ubicado en la recta que pasa por G

(ver en la figura 10)), perpendicular a la recta de acción de la percusión y a una cierta distancia, que la determinaremos en párrafos siguientes.

El movimiento plano de la placa inmediatamente después del impacto, se puede describir, de acuerdo con la definición de movimiento plano, como una rotación instantánea “pura”, de módulo , alrededor del centro instantáneo de rotación.

Pero también se puede describir tomando como polo el centro de masas G

de la placa: el

movimiento de éste inmediatamente después del impacto, es una traslación con velocidad Gv

(ver en la figura 10), a la que se le agrega una rotación alrededor del centro de masa G

, de sentido antihorario (para la situación de la figura 10) y módulo .

Después de recibir la percusión, cada partícula im

de la placa tiene una cierta velocidad iv

que

se calcula como i iv P C . (ver nota 3)

Usaremos ahora la (3) de teorema del momento cinético, en donde el polo O

cualquiera es ahora el polo E (ver en la figura 10):

E G GL L G E Mv con 0EL

Con respecto a la razón por la cual se mantiene 0EL , entre los instantes anterior e inmediatamente posterior al impacto, la fundamentación se realiza al final de este artículo, para no desviar del objetivo, que es el cálculo de la ubicación del centro instantáneo de rotación. (ver nota 2)

Entonces:

Gv

Figura10: percusión excéntrica en una placa

Recta de acción de la percusión

percusion p

E

G

C

Trayectoria polar, base Trayectoria

de G


0 G G G GL G E Mv L G E Mv

G GL E G Mv

y en forma escalar:

G GL E G Mv (24)

Además, el momento cinético con respecto a G , de acuerdo con la (13) de momento cinético en el movimiento plano, es (en forma escalar):

G GL I (25)

Igualamos los segundos términos de (24) y (25):

G GI E G Mv (26)

Por otra parte, la velocidad de G , de acuerdo con la (13), de cinemática del movimiento plano es:

Gv G C

y en forma escalar:

Gv G C

reemplazamos este valor en (26):

G GI M E G G C I M E G G C

GIG C

M E G (27)

La expresión (27), permite calcular la ubicación del centro instantáneo de rotación, para una placa sometida a una percusión excéntrica con respecto a G .

Con respecto al movimiento de la placa en instantes posteriores al impacto, podemos decir lo siguiente: De acuerdo con la (6) de teorema de la cantidad de movimiento es:

eGM a R

Como 0eR , resulta que 0Ga

y por lo tanto la trayectoria del centro de masas de la placa, tiene un movimiento rectilíneo uniforme después del impacto.

Con respecto a las sucesivas posiciones del centro instantáneo de rotación: estarán ubicadas, en

cada instante, a la distancia G C , medida sobre la recta que pasa por G

y que es perpendicular a

la recta de acción de la percusión. Esto quiere decir que las sucesivas posiciones del centro instantáneo de rotación, se desplazan con un movimiento rectilíneo uniforme, a lo largo de una trayectoria recta, paralela a la recta de acción de la percusión (ver en la figura 10) .Esta es la trayectoria polar, base (ver en el capítulo de cinemática). La velocidad con que progresa el centro instantáneo de rotación sobre la base se llama velocidad de alternación.

Nota 2:

Seguidamente, se fundamenta el porqué de la afirmación que 0EL . Si consideramos el punto E

de

intersección de la recta de acción de la percusión con la perpendicular a ella que pasa por G (ver en la figura 10), resulta que la impulsión angular de las fuerzas exteriores con respecto a dicho punto es nula, porque la percusión

pasa por E . En consecuencia, por ser nula la impulsión angular de las fuerzas exteriores, el momento cinético de la

placa respecto al punto E

se conserva (ver el artículo teorema de la impulsión angular y del momento cinético para un sistema de partículas, expresión (12’) y el mismo teorema para un cuerpo plano, expresión (22’)). Ahora bien: el

momento cinético del sistema con respecto a E

antes del impacto es cero, porque la recta de acción de mv

pasa

por E , es decir 0Einicial

L . En consecuencia, también será 0Efinal

L .

Nota 3:


En general, un sistema plano de vectores es equivalente, es decir, se puede reemplazar por 2 vectores: su

resultante, aplicada en cualquier punto O

del plano, más el momento del sistema con respecto al polo O

elegido.

Ahora bien: si pretendemos reemplazar el sistema por un único vector resultante, no podemos elegir cualquier polo: necesariamente deberemos tomar como polo, un punto de la recta de acción de la resultante porque, en ese caso, el momento del sistema será cero.

Entonces es posible reemplazar el sistema de vectores iim v

de la placa, por un único vector (su

resultante) que vale GQ M v , siempre y cuando ubiquemos ese vector resultante en un punto con respecto al

cual, el momento resultante de los iim v sea cero

Por lo tanto, el sistema de los iim v

es equivalente a un único vector resultante GM v , aplicado en

cualquier punto de la recta de acción de la percusión. Esto es así, porque el momento de los iim v

(momento

cinético) con respecto a cualquier punto de esa recta es cero, por la ya explicado en la Nota 1. Además y en general, en el movimiento de un cuerpo plano, siempre será posible reemplazar el sistema de

los iim v , por su resultante GM v

aplicada en un cierto punto E , con respecto al cual, el momento cinético sea

nulo. Por ejemplo, si se tiene un disco de masa M

y radio R , rodante sobre una recta del plano, la (3) de

momento cinético: E G GL L G E Mv con 0EL , conduce a:

2

02E

MRL G E M R

De donde surge que: 2

RE G . Esto significa que el punto E

se encuentra a una distancia 2

R

por encima

del centro del disco. Ese punto se llama centro de percusión.

Ejemplo, percusión en esfera sobre plano liso Se tiene un cuerpo esférico de radio R

y masa M

sobre un plano liso. Si se aplica una percusión como se muestra en la figura 11, calcularemos a qué altura deberá estar la recta de acción de la percusión, para que el punto 1C

de la esfera, no deslice al ocurrir la percusión. Consideramos a la esfera como un cuerpo plano.

Para que no haya deslizamiento del punto 1C , el centro de rotación C

del cuerpo

inmediatamente después de la percusión, debe coincidir con el punto 1C

de la esfera. Para satisfacer

esta condición, en la (27) se debe cumplir que G C R . Entonces, planteamos:

1

GIR

M E G con 22

5GI MR

1E es el punto por donde debe pasar la percusión para que sea G C R

Despejamos 1E G :

2

1

2

5

MRE G

RM 1

2

5E G R

Figura 11

1C

E

G

p

1E

7

5R


y 1 1

2

5E C R R 1 1

7

5E C R (a)

Llamaremos centro de percusión al punto 1E y al respecto podemos concluir que:

Si la percusión se aplica en el centro de percusión, a una altura

7

5R , no hay deslizamiento en el

punto de apoyo y el centro de rotación de la esfera inmediatamente después del impacto se ubica en el punto de apoyo 1C .

Si la percusión se aplica por encima de 1E , entonces, en la (27), G C se hace menor que R y

en ese caso el centro de rotación después del impacto, pasaría a ubicarse en la vertical y por encima de

1C

(ver en la (27) y en la figura 11). De esta forma, los puntos de la vertical por arriba del centro de

rotación C , tienen velocidades hacia la derecha y los puntos por debajo, hacia la izquierda, lo que

significa que 1C desliza hacia la izquierda.

Si la percusión se aplica por debajo del centro de percusión 1E , el centro de rotación se ubica en la

vertical y por debajo del punto de apoyo 1C

, porque G C

se hace mayor que R

(ver en la (27)).

De esta forma, y como los puntos de la vertical por arriba del centro de rotación C , tienen velocidades

hacia la derecha, resulta que el punto 1C desliza también hacia la derecha.

En el caso que no tratase de la idealización de plano liso, sino que hubiese rugosidad en el punto

de contacto, aparecería una fuerza de interacción f

en dicho punto. Si la percusión se aplicase por

encima del centro de percusión, en el punto 1C

de la esfera se tendría una fuerza f

hacia la derecha,

aplicada en la esfera. El sentido hacia la derecha de f , se debe a que 1C

desliza hacia la izquierda, o

bien, si la rugosidad fuese suficiente para impedir el deslizamiento, lo mismo 1C

“empujaría” hacia la

izquierda. A su vez y aplicada en el plano rugoso, se tendría una fuerza f

hacia la izquierda ejercida por el punto de apoyo de la esfera sobre el plano.

Si la percusión se aplica por debajo de 1E , el punto 1C

desliza, o tiende a deslizar, hacia la

derecha y entonces en dicho punto de la esfera, la fuerza f

es hacia la izquierda y f

aplicada en el

plano es hacia la derecha. Finalmente, si la percusión se aplica en 1E , resulta 0f

y el centro de

rotación está en 1C . Si suponemos ahora que la rugosidad fuese suficientemente grande como para impedir que haya

deslizamiento, el centro de rotación estará siempre ubicado en 1C

porque dicho punto pasaría a comportarse como si fuese una articulación fija y ya no sería de aplicación la expresión (27). No obstante

ello, sigue siendo válido lo expresado antes con respecto a los sentidos de f . Si reaplicase la percusión

a la altura 7

5R , en esta situación de rugosidad con no deslizamiento, también es 0f .

Se propone como ejercicio demostrar que, si se tiene una varilla de largo l , suspendida verticalmente de una articulación en su extremo, si se aplica una percusión horizontal p

a una distancia

2

3l del punto de suspensión, no aparecerá ninguna fuerza de reacción en la articulación, en el momento

de ocurrir la percusión.

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04 teorema del momento cinético

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