05 interpolacion cuadratica

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 3: INTERPOLACIÓN Y

APROXIMACIÓN POLINÓMICA.

INTERPOLACIÓN Y CUADRÁTICA.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Interpolación cuadrática.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 31

3.5.- INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA.

Una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna curvatura a

la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos, éstos pueden ajustarse en

un polinomio de segundo grado (también conocido como polinomio cuadrático o

parábola). Una forma particularmente conveniente para ello es:

)()()()( 1020102 xxxxbxxbbxf (3.9)

Observe que aunque la ecuación (3.9) puede diferir del polinomio general [Ecuación (3.1)],

las dos ecuaciones son equivalentes. Lo anterior se demuestra al multiplicar los términos de

la ecuación (3.9):

1202102

2

201102 )( xxbxxbxxbxbxbxbbxf

o agrupando términos,

2

2102 )( xaxaaxf

donde:

1020100 xxbxbba

120211 xbxbba

22 ba

Así, las ecuaciones (3.1) y (3.9) son formas alternativas, equivalentes del único polinomio

de segundo grado que une los tres puntos.

Un procedimiento simple puede usarse para determinar los valores de los coeficientes. Para

encontrar 0b , en la ecuación (3.4) se evalúa con 0xx para obtener:

)( 00 xfb (3.10)

la ecuación (3.10) se sustituye en la (3.9) y después se evalúa en 1xx para obtener:

01

01

1

)()(

xx

xfxfb

(3.11)

Por último, las ecuaciones (3.10) y (3.11) se sustituyen en la (3.9), después se evalúa en

2xx y (luego de algunas operaciones algebraicas) se resuelve para:



02

01

01

12

12

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

(3.12)

Observe que, como en el caso anterior de la interpolación lineal, 1b todavía representa la

pendiente de la línea que une los puntos 0x y 1x . Así, los primeros dos términos de la

ecuación (3.9) son equivalentes a la interpolación lineal de 0x a 1x , como se especificó

antes en la ecuación (3.8). El último término, ))(( 102 xxxxb , determina la curvatura de

segundo grado en la fórmula.

Ejemplo 3.6.

a) Ajuste un polinomio de segundo grado a los dos puntos del ejemplo ilustrativo 3. b)

Utilice dicho polinomio para obtener la estimación )5.1(1f .

ix 0 2 3

)( ixf 1 3 –2

Solución.

a) Identificamos:

i 0 1 2

ix 0 2 3

)( ixf 1 3 –2

)()()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

Cálculo de 0b .

)( 00 xfb (3.10)

)0(0 fb

10 b

Cálculo de 1b .

01

01

1

)()(

xx

xfxfb

(3.11)

Al sustituir valores:



02

131

b

11 b

Cálculo de 2b .

02

01

01

12

12

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

(3.12)


03

02

13

23

32

2

b

3

152

b

22 b

El polinomio interpolante de grado 2 es )2()0(2)0(1)(2 xxxxf

El cual puede ser escrito como

)2(21)(2 xxxxf

xxxxf 421)( 2

2

2

2 251)( xxxf

Este polinomio interpolante se encuentra graficado en la figura 3.3.

b) Utilizando el polinomio interpolante de grado 2 2

2 251)( xxxf , se sustituye

5.1x , para obtener:

2

2 )5.1(2)5.1(51)5.1( f

5.45.71)5.1(2 f

4)5.1(2 f

Obsérvese que el valor 5.1x se encuentra en la tabla entre los valores 00 x y 21 x ,

por lo cual era de “esperarse” que el valor interpolado para )5.1(2f se encontrara entre



1)0()( 0 fxf y 3)2()( 1 fxf . Esto no una regla, pues es posible que el polinomio

interpolante tenga un extremo relativo entre dos valores de ix , con lo cual se tiene que el

valor interpolado se encuentra fuera del rango de valores de )( ixf de la tabla para el

mismo intervalo de ix . Si observamos la tabla de valores, nos damos cuenta que para el

intervalo ]2,0[x , ]3,1[)( xf , sin embargo el valor interpolado en 5.1x es

4)5.1(2 f , el cual está fuera del intervalo ]3,1[)( xf . Será cierto que el valor

interpolado se encuentre en el rango de valores de )( ixf cuando el polinomio interpolante

sea monótono en el intervalo de ix .

Ejemplo 3.7.

Ajuste un polinomio de segundo grado a los tres puntos del Ejemplo 3,5.

Solución.

i 0 1 2

ix 1 3 4

)( ixf 0 1.0986123 1.3862944

)()()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

Cálculo de 0b .

)( 00 xfb (3.10)

)1(0 fb

00 b

Cálculo de 1b .

01

01

1

)()(

xx

xfxfb

(3.11)


13

00986123.11

b

5493062.01 b



Cálculo de 2b .

02

01

01

12

12

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

(3.12)


14

13

00986123.1

34

0986123.13862944.1

2

b

3

5493062.02876821.02

b

0872080.02 b

El polinomio interpolante de grado 2 es

)3()1(0872080.0)1(5493062.00)(2 xxxxf

El cual puede ser escrito como:

)3()1(0872080.0)1(5493062.0)(2 xxxxf

Utilizando el polinomio interpolante de grado 2

)3()1(0872080.0)1(5493062.00)(2 xxxxf , se sustituye 2x , para obtener:

)32()12(0872080.0)12(5493062.0)2(2 f

0872080.05493062.0)2(2 f

6365142.0)2(2 f

El error relativo porcentual de la estimación es:

1006931472.0

6365142.06931472.0

%17.8

En la figura 3.7 se muestra la función xxf ln)( y la estimación incluidas en el ejemplo

3.7.



Figura 3.7. Interpolación cuadrática de la función xxf ln)( en 2x con 10 x , 31 x y 42 x .

Otro procedimiento para la interpolación cuadrática en el problema de interpolación con

espacios equidistantes se muestra a continuación.

El polinomio de interpolación es 2

2102 )( xaxaaxf , que convenientemente será

escrito como cxbxaxf 2

2 )( .

Los datos del problema son

ix 0x 1x 2x

)( ixf 0y 1y 2y

No se pierde generalidad si se considera el valor de 1x coincidiendo con el origen de

coordenadas, en cuyo caso es:

hx 0 , 01 x y hx 2 .

Al sustituir en el polinomio interpolante de grado 2: cxbxaxf 2

2 )(

chbhay )()( 2

0

cbay )0()0( 2

1

chbhay 2

2



De la segunda ecuación se obtiene directamente que 1yc ; y reemplazando este valor en

las otras dos ecuaciones, resulta

01

2 yyhbha

21

2 yyhbha

de donde, sumando y restando ambas ecuaciones, se obtiene:

2

012

2

2

h

yyya

;

h

yyb

2

02

Valores que reemplazados en la ecuación cxbxaxf 2

2 )(

dan como resultado

1

022

2

012

222

2)( yx

h

yyx

h

yyyxf

Finalmente, se puede hacer una traslación de ejes para escribir la fórmula de interpolación

como:

11

022

12

012

2 )(2

)(2

2)( yxx

h

yyxx

h

yyyxf

(3.13)

Ejemplo 3.8.

a) Ajuste un polinomio de segundo grado a los tres puntos de la tabla siguiente:

ix 0.7 1.2 1.7

)( ixf –3.1 1.1 4.5

b) Utilice dicho polinomio para obtener la estimación )5.1(2f .

Solución.

Identificamos

i 1 2 3

ix 0.7 1.2 1.7

)( ixf –3.1 1.1 4.5

Se trata de un problema de interpolación con espacios equidistantes, pues 5.001 xx y

5.012 xx . Luego 5.0h .



Al sustituir valores en la ecuación (3.13):

11

022

12

012

2 )(2

)(2

2)( yxx

h

yyxx

h

yyyxf

1.1)2.1()5.0(2

)1.3(5.4)2.1(

)5.0(2

)1.3()1.1(25.4)( 2

22

xxxf

1.1)2.1(6.7)2.1(6.1)( 2

2 xxxf

Este polinomio puede ser escrito como:

324.1044.116.1)( 2

2 xxxf

b) Utilizando el polinomio interpolante de grado 2 32.1044.116.1)( 2

2 xxxf , se

sustituye 5.1x , para obtener:

324.10)5.1(44.11)5.1(6.1)5.1( 2

2 f

324.1016.176.3)5.1(2 f

236.3)5.1(2 f

En la figura 3.8 se muestran graficados los puntos, el polinomio interpolante y la

estimación en 5.1x .



Figura 3.8. Interpolación cuadrática con espacios equidistantes.

Ejercicios propuestos.

18. [CC] Ajuste un polinomio de interpolación de segundo grado para estimar log 5 usando

los datos del problema 15. Calcule el error relativo porcentual verdadero.

19. [BF] Sea xexf )( , 20 x . Usando los valores dados abajo, aproxime )5.0(f y

)75.0(f usando el polinomio interpolante de segundo grado con 00 x , 11 x y 22 x .

ix 0.0 0.5 1.0 2.0

)( ixf 1.00000 1.64872 2.71828 7.38906



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

18. Tomando los tres puntos inferiores: 2

2 0101032.01881822.00109824.0)( xxxP ,

0.6993134)5(2 P , %0491.0% a .

Tomando los tres puntos superiores: 2

2 0077153.01643035.00700821.0)( xxxP ,

6987164.0)5(2 P , %0363.0% a .

19. 2

2 47625.124203.01)( xxxP , 51.15277312)25.0(2 P , 52.01191312)75.0(2 P .

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