05 - Undécimo PDF - E-mail

Estimados profesores:

Reciban un cordial saludo y un sincero deseo de xito en sus labores

profesionales, como Editorial Lder estamos a la vanguardia con respecto a los cambios efectuados por el Ministerio de Educacin Pblica para los Nuevos Programas de Estudio; siendo fieles al enfoque con base en la resolucin de

problemas.

Es por eso que orgullosamente les entregamos esta versin en electrnico; y el Plan de Transicin 2013 de los Nuevos Programas de Estudio en Matemtica, con los respectivos cambios en 7, 8, 9, 10 y 11.

Los Docentes que decidan trabajar con nuestros libros se les entregarn

ejemplares gratuitos con los niveles que vayan a impartir, a continuacin citamos

algunas de las razones por las cuales trabajar con nuestros libros:

1. CARBONO NEUTRAL, estamos comprometidos con que nuestro pas alcance esta meta, por esta razn nuestra promocin de los libros ha sido solo en

electrnico, asimismo, utilizamos papel hecho con la fibra de la caa de azcar y

las portadas son hechas a base de material reciclado.

2. NUEVOS PROGRAMAS DE ESTUDIO, nuestros libros de texto han sido elaborados tomando como referente las nuevas tendencias en Educacin

Matemtica, en particular, de acuerdo a los nuevos programas en matemtica -

enfoque con base en la resolucin de problemas-.

3. PLAN DE TRANSICIN 2013, nuestros libros cumplen al 100% con lo que solicita el MEP para la implementacin eficaz de los nuevos programas en matemtica en

III Ciclo y Ciclo Diversificado. Por tal motivo, adjuntamos dicho Plan de Transicin

en este disco para que puedan constatar lo que promulgamos.

4. PRECIO, para las Instituciones Educativas y Profesores es de 3516 c/u. 5. DESCUENTO ADICIONAL DE UN 2,5 % en el monto de la factura si el pago

correspondiente se realiza por depsito bancario a alguna de las cuentas de Grupo

Fnix.

6. CRDITO DE UN MES, el plazo de crdito que Grupo Fnix brinda es de un mes a partir de la fecha de facturacin y entrega de los libros, con la condicin de realizar

pagos semanales (exactamente cada siete das naturales despus de

entregados los libros). El atraso en la cancelacin de la factura al cabo del mes de

crdito, generar un inters de un 1% diario (aplican slo das laborales).

7. EMPASTE TRADICIONAL, la presentacin de la Edicin 2013 no viene con resorte como las Ediciones anteriores, no obstante, si alguna Institucin por razones de comodidad ergonmica lo desean pueden solicitar el libro con resorte.

San Jos, 21 Enero 2013D.P.V. - 105

Un Nuevo Comienzo... un Resurgimiento!

Grupo FnixEDITORIAL

PLAN

DE T

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2013

11TEORA Y PRCTICASBACHILLERATOMATEMTICA

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512.8F543ns2 Grupo Fnix

Matemtica 11; Teora y Prcticas para Bachillerato-2. Ed.- San Jos, C.R.: Grupo Fnix., 2013. 174p.

ISBN: 9768-15-644-01. Matemticas Estudio y Enseanza.2. Matemticas Problemas, ejercicios, etc.

Copyright 2013

Grupo FnixProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,

por cualquier medio, sin autorizacin escrita del Grupo Fnix.

Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 8855-1678

Correo electrnico: [email protected]

Diseo y armado

Grupo Fnix

Diseo de portada

Grupo Fnix

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INTRODUCCINPrimero, es conveniente hacer una breve aclaracin sobre nuestro nombre y smbolo (Ave Fnix Tribal),

se tiene como referente histrico-ideolgico el mito del Ave Fnix que aliment varias doctrinas y concepcionesreligiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fnix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba deun ave fabulosa que se consuma por accin del fuego cada 500 aos, para luego resurgir de sus cenizas. Esdecir, el GRUPO FNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, espor esta razn que es nuestro emblema.

Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseanza yaprendizaje de la matemtica, exponiendo de forma pragmtica y didctica todos los Conocimientos,Habilidades Especficas e Indicaciones Puntuales expuesta y vigentes en el Programa de Estudio enMatemticas (Transicin 2013), con base en los Programas de Estudio en Matemtica aprobados por elConsejo Superior de Educacin el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodolgico el enfoquecon base en la resolucin de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.

Despus de muchos aos de trabajo, un grupo de profesionales en la Enseanza de la Matemtica nospropusimos elaborar una propuesta pragmtica y didctica basada en la resolucin de problemas que propicieel desarrollo de competencias matemticas en el estudiante, y hemos querido tomar siempre en cuenta a losdocentes en servicio, es as que, agradecemos en las siguientes pginas las sugerencias, los aportes, loscomentarios y hasta las inquietudes presentadas por los profesores de matemtica de todo el pas, quienes deuna u otra forma han permitido que tengamos un mejor libro de texto cada ao.

Un problema que consideramos sustantivo, consiste en que algunos docentes guiados por otros textos,desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todos sus elementos que lo conforman, llmeseestos, Conocimientos, Habilidades Especficas e Indicaciones Puntuales, provocando que se trabaje en el aulacontenidos que no estn en las directrices curriculares del MEP, o en su defecto, alcanzando niveles deprofundizacin de temas que no se consideran importantes para las habilidades generales previstas para eleducando en cada ao de su respectivo ciclo. Es por este motivo, que hemos insertado textualmente dichoselementos (en algunos casos planteamos inclusive los mismos problemas que citan en las IndicacionesPuntuales, nunca con el afn de atribuirnos tales derechos de autor, por el contrario, respetamos y citamos quetales problemas pertenecen a los Programas de Estudio en Matemticas del Ministerio de Educacin de CostaRica), de modo que sean el verdadero referente para las actividades de mediacin que el docente proponga.

Tercero, esta nueva edicin 2013 contempla una situacin problema al inicio de cada tema, permitiendoal docente y al estudiante incursionar en la nueva temtica partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentandoaprehender del estudiante los conocimientos previos y fomentar para la vida el principio filosfico queconsideramos eje transversal de la educacin en general los problemas son para resolverlos

Sin embargo, teniendo en cuenta la diversidad de capacidades que presentan los estudiantes en lasaulas, el deseo de los docentes por preparar a sus estudiantes con bases slidas en los principales contenidosde esta disciplina, hemos mejorado esta versin 2013 con una sugerencia de trabajo extraclase y ejercicios deprofundizacin para cada trabajo cotidiano propuesto.

El material est constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teora, los ejemplos y los trabajoscotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo ms elemental a lo ms complejo, adems toda la obra sedesarrolla en fichas didcticas para una mejor comprensin de los educandos.

Cuarto y ltimo, en una investigacin previa realizada por el Grupo Fnix con un grupo focal dedocentes de una Regin Educativa, nos dicta que en la mayora de los casos los estudiantes buscan primero lasrespuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este ltimo no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que enmuchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitalesantes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros librosofrecemos a cada docente un dispositivo de almacenamiento masivo con las respuesta en electrnico para quelas utilice segn considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una serie de materiales de apoyo para eldocente de matemtica, que busca simplificar al menos un poco tanto trabajo que tiene sobre sus hombroscada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros jvenes estudiantes que participan en suslecciones.

El estudio de la matemtica debe ser el comienzo del conocimiento depurado (Los autores, 2009)

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RECONOCIMIENTOS

Sr. Adolfo Mndez CorralesProfesor de MatemticaC.T.P. Santa Elena

Sra. Ana Cristina Herrera V.Profesora de MatemticaI.E.G.B. Andrs Bello

Sr. Benjamn RodrguezProfesor de MatemticaLiceo del Pacfico

Sra. Cindy Marn S.Profesora de MatemticaVirtual Marco Tulio Salazar

Sra. Adriana MarnProfesora de MatemticaI.E.G.B. Amrica Central

Sra. Ana Grace AriasProfesora de MatemticaLiceo Rural de CabecerasTilarn

Sr. Bernal LunaProfesor de MatemticaLiceo Salvador Umaa

Sra. Cindy Ovando G.Profesora de MatemticaI.P.E.C. Sindea Arabela Jimnezde Bolio

Sr. Alberto Rodrguez JirnProfesor de MatemticaParrita

Sra. Ana Grace CarranzaProfesora de MatemticaLiceo Purral de Cabeceras

Sr. Bryan Aguilar lvarezProfesor de MatemticaJorgue Bolio de la LuchaSabalito

Sr. Cristhian CaldernProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Sr. Alex Canales BenavidesProfesor de MatemticaSindea 28 Millas

Sra. Ana Isabel Noguera E.Profesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Sr. Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemticaC.T.P. Mansin de Nicoya

Sr. Cristian Barrientos Q.Profesor de MatemticaLiceo de Chomes

Sr. Alexander LpezProfesor de MatemticaItskatzu Educacin Integral

Sra. Ana Margarita Angulo C.Profesora de MatemticaC.T.P. 27 de Abril

Sr. Carlos Edo Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcara

Sr. Cristian CaldernProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Sr. Alexander Solano G.Profesor de MatemticaLiceo Unesco

Sra. Andrea AriasProfesora de MatemticaC.T.P. de Heredia

Sr. Carlos Gnzalez A.Profesor de MatemticaLiceo de Cervantes

Sr. Cristian Chvez Z.Profesor de MatemticaLiceo Alejandro Aguilar Machado

Sra. Alexandra Mata DelgadoProfesora de MatemticaC.T.P. General de PrezZeledn

Sra. Andrea Jimnez JimnezProfesora de MatemticaLiceo Sta. Ana

Sr. Carlos MoraProfesor de MatemticaColegio de los ngeles

Sr. Cristian Peralta CruzProfesor de MatemticaLiceo El Carmen de Nandayure

Sr. Alexis Torres OrtegaProfesor de MatemticaLiceo San Diego Tres Ros

Sra. Andrea MadrigalProfesora de MatemticaLiceo Len Cortez Castro

Sr. Carlos RetanaProfesor de MatemticaGreen Valley

Sr. Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemticasLiceo Experimental Bilinge Losngeles.

Sr. Alfonso Mora FallasProfesor de MatemticaJohn F. Kennedy High School

Sra. Andrea VenegasProfesora de MatemticaDeportivo Santo Domingo

Sra. Carmen Liley MonteroProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeGrecia, Alajuela

Sra. Cristina Snchez LariosProfesora de MatemticaRincn Grande de Pavas

Sr. Alfonso RojasProfesor de MatemticaColegio Sta. Gertrudis

Sra. Andreina Vsquez RojasProfesora de MatemticaC.T.P. Bolvar

Sra. Carmen Quesada V.Profesora de MatemticaLiceo Escaz

Sr. Daniel CspedesProfesor de MatemticaLiceo Coronado

Sr. Allan Chanto ToleivaProfesor de MatemticaLiceo Nocturno San PedroPrez Zeledn

Sr. Andrs CubilloProfesor de MatemticaSan Enrique de Osso

Sra. Carmen RodrguezProfesora de MatemticaSan Paul College

Sr. Daniel LenProfesor de MatemticaC.T.P. Platanales

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Sr. Allan MairenaProfesor de MatemticaLiceo San Jos

Sr. Ariel GmezProfesor de MatemticaColegio Talamanca

Sra. Carolina FloresProfesora de MatemticaSaint Benedicto

Sr. Danny Gaitn RodrguezProfesor de MatemticaLiceo Francisco Amigutti

Sr. lvaro Barbosa SalasProfesor de MatemticaLiceo Pacto del Jocote

Sra. Beatriz MonteroProfesora de MatemticaEsc. Internacionales Cristianas

Sra. Cecilia Prez SalasProfesora de MatemticaLiceo Poasito

Sr. David Alexis Alfaro AlfaroProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis Norte

Sr. David Alfaro VquezProfesor de MatemticaLiceo Nocturno NuevasOportunidades

Sr. Eliecer Madrigal DelgadoProfesor de MatemticaBilinge Naciones Unidas

Sr. Francisco Quesada S.Profesor de MatemticaInst. Pedaggico Caminante

Sra. Hannia Leiva FallasProfesora de MatemticaLiceo Sina Diurno

Sr. David SolanoProfesor de MatemticaEnrique Malavassi Vargas

Sr. Emanuel Alvarado R.Profesor de MatemticaColegio Telesecundaria MaraDrake

Sra. Gabriela BonillaProfesora de MatemticaInstituto CentroamericanoAdventista

Sr. Harold CamposProfesor de MatemticaCentro Educativo CatlicoSan Jos

Sra. Denia RodrguezProfesora de MatemticaBilinge del Caribe

Sr. Erick Araya UrtadoProfesor de MatemticaLiceo las Delicias

Sra. Gabriela ZigaProfesora de MatemticaLiceo Experimental Moravia

Hctor Castro CastilloProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar

Sra. Denia Salas NuesProfesora de MatemticaColegio Patriarca San Jos

Sr. Erick Gmez U.Profesor de MatemticaC.T.P. Ambientalista Isaas Ret.Arias

Sr. Gerardo Arroyo BrenesProfesor de MatemticaLiceo Ambientalista

Sra. Heilyn Vargas C.Profesora de MatemticaC.T.P Platanales

Sr. Diego Gmez ChavarraProfesor de MatemticaLiceo Costa Rica

Sra. Erika Urea FallasProfesora de MatemticaC.T.P. Prez Zeledn San Isidro

Sr. Gerardo RamrezProfesor de MatemticaLiceo regional de Flores

Sr. Henrry VillarrealProfesor de MatemticaColegio Los Delfines

Sra. Dilsia Navarro DurnProfesora de MatemticaI.E.G.B. Limn

Sr. Ernesto Villareal BarrantesProfesor de MatemticaC.T.P. Cartagena

Sr. Gerardo Rodrguez BarriosProfesor de MatemticaLiceo Turrcares

Sra. Mariela SolanoProfesora de MatemticaColegio Los Delfines

Sra. Doriana Quirs AriasProfesora de MatemticaLiceo Coronado

Sra. Estefannie BarbosaProfesora de MatemticaColegio Nocturno Hernn LpezHernndez

Sr. Gilberto MonteroProfesor de MatemticaLiceo Samuel Senz Flores

Sr. Helbert Jimnez ChinchillaProfesor de MatemticaLiceo Costa Rica

Sr. Edgar CamposProfesor de MatemticaLiceo Diurno de Ciudad Coln

Sra. Estrella Len HernndezProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemticaColegio Pacto del Jocote

Sr. Hubert MongeProfesor de MatemticaLiceo Nocturno MonseorRubn Odio

Sr. Eduardo Robles UreaProfesor de MatemticaSindea Upala

Sra. Ethilma Jimnez R.Profesora de MatemticaInstituto Guanacaste

Sra. Gloria BadillaProfesora de MatemticaLiceo Sabanilla

Sra. Ileana Cascante V.Profesora de MatemticaLiceo Nocturno Juan Santamara

Sr. Eduardo RodrguezProfesor de MatemticaLiceo Edgar Cervantes Villalta

Sra. Eva Arevalo PorrasProfesora de MatemticaI.P.E.C. de Barva de Heredia

Sra. Grettel Guitirrez RuizProfesora de MatemticaLiceo Utilio Ulate Blanco

Sra. Ileana Lescano R.Profesora de MatemticaC.T.P Talamanca Bribri Limn

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Sr. Edwin Alfaro ArceProfesor de MatemticaLiceo Sto. Domingo

Sra. Evelin Urbina GuzmnProfesora de MatemticaLiceo San Carlos

Sra. Grettel LenProfesora de MatemticaColegio Nacional Virtual

Sra. Isabel VsquezProfesora de MatemticaColegio Francis J. Orlich

Sr. Eitel Vega RodrguezProfesor de MatemticaRedentorista San Alfonso

Sr. Francisco CortezProfesor de MatemticaLiceo de Sta. Ana

Sra. Guisella TrejosProfesora de MatemticaColegio Vicente Laghner

Sr. Ivn Parra VenegasProfesor de MatemticaLiceo Platanillo Bar de Quepos

Sr. Elicer MadrigalProfesor de MatemticaAbelardo Bonilla

Sr. Francisco CortezProfesor de MatemticaU.P. Jos Rafael Araya

Sra. Hannia CecilianoProfesora de MatemticaLiceo de Cot Cartago

Sr. Javier Calvo CorderoProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca

Sr. Jeffrey lvarez PrezProfesor de MatemticaColegio Nuevo Mundo

Sr. Jose Luis MassProfesor de MatemticaLiceo Jos Fidel Tristn

Sr. Kenneth MoreraProfesor de MatemticaEscuela Repblica de Nicaragua

Sr. Luis ngel RosProfesor de MatemticaC.T.P Valle de la Estrella

Sr. Jeremy Chacn CspedesProfesor de MatemticaColegio Talamanca Cahuita

Sr. Jose Rolando Cascante R.Profesor de MatemticaColegio Cindea Lomas deCocor

Sra. Kerlyn EsquivelProfesora de MatemticaColegio Puente de Piedra

Sr. Luis CastilloProfesor de MatemticaLiceo de Santa Ana

Sra. Jssica GmezProfesora de MatemticaColegio San Vicente

Sr. Juan Carlos GProfesor de MatemticaLiceo de Orosi

Sra. Laura Arroyo RojasProfesora de MatemticaLiceo Santo Domingo

Sr. Luis Diego ArayaProfesor de MatemticaCorporacin EducativaSagrado Corazn de Jess

Sra. Jssica Villalobos RojasProfesora de MatemticaTelesecundaria el Llano

Sr. Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemticaLiceo Mauro Fernndez

Sra. Laura QuesadaProfesora de MatemticaColegio Claretiano

Sr. Luis Diego Salazar V.Profesor de MatemticaColegio Nuevas OportunidadesGrecia

Sr. Jess GutirrezProfesor de MatemticaLiceo de Nicoya

Sr. Juan Morgan MorenoProfesor de MatemticaColegio HumansticoCostarricense

Sra. Ligia Jimnez GmezProfesora de MatemticaC.T.P Nicoya

Sr. Luis Martnez GonzlezProfesor de MatemticaCindea Alberto Manuel Brenes

Sr. Jess HidalgoProfesor de MatemticaColegio Snta Josefina

Sr. Juan Pablo Rodrguez A.Profesor de MatemticaC.T.P. Ulloa

Sra. Lilliana VillalobosProfesora de MatemticaLiceo de San Carlos

Sr. Luis Rodrguez JhonsonProfesor de MatemticaC.T.P Nandayure Guanacaste

Sr. Jonathan GranadosProfesor de MatemticaLiceo Nocturno Prez Zeledn

Sra. Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemticaCentro Educativo Pasos deJuventud

Sra. Lineth Quesada M.Profesora de MatemticaLiceo de Tucurrique

Sr. Luis Ruiz TorresProfesor de MatemticaC.T.P Carrillo

Sr. Jonathan RodrguezProfesor de MatemticaLiceo Jorge Volio

Sra. Karen Vindas MonestelProfesora de MatemticaColegio Cristiano Reformado

Sra. Lisbeth Allen DaileyProfesora de MatemticaCindea de Heredia Limn

Sr. Luis Salazar CastroProfesor de MatemticaLiceo Alfaro Ruiz

Sr. Jonny Fernndez S.Profesor de MatemticaLiceo Dulce Nombre

Sra. Karina BrenesProfesora de MatemticaColegio Agropecuario deSan Carlos

Sra. Lissette FallasProfesora de MatemticaLiceo de Curridabat

Sr. Maikel CarbajalProfesor de MatemticaColegio Santa Marta

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Sr. Jorge BrenesProfesor de MatemticaLiceo Braulio Carrillo

Sra. Karla Guevara VillegasProfesora de MatemticaLiceo de Colorado de Abangares

Sra. Lissette UlateProfesora de MatemticaLiceo Pacto del Jocote

Sr. Mainor Abarca CorderoProfesor de MatemticaLiceo de Curridabat

Sr. Jos ngel AmpieProfesor de MatemticaCristian Gnesis School

Sra. Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeAugusto Briseo

Sra. Lorena Masis TorresProfesora de MatemticaLiceo Francisca Carrasco

Sr. Manrique Barrientos Q.Profesor de MatemticaLiceo de Miramar de Puntarenas

Sr. Jos ngel AmpieProfesor de MatemticaLiceo Nuevo de Hatillo

Sra. Katherine SandProfesora de MatemticaLiceo de Mata de Pltano

Sra. Lorena Rojas DonatoProfesora de MatemticaLiceo de Coronado

Sr. Manuel ArtaviaProfesor de MatemticaLiceo Tcnico de Purral

Sr. Jos Carlos CalvoProfesor de MatemticaLiceo Nocturno MonseorRubn Odio

Sr. Kenneth lvarezProfesor de MatemticaLiceo de Moravia

Sra. Lucia Mata VindasProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo

Sr. Manuel QuirsProfesor de MatemticaInstituto Educativo San Gerardo

Sr. Manuel VillegasProfesor de MatemticaLiceo de San Roque

Sra. Mara RojasProfesora de MatemticaLiceo Braulio Carrillo

Sr. Marvin MuozProfesor de MatemticaLiceo La Gucima

Sr. Norberto Oviedo UProfesor de MatemticaLiceo de Heredia

Sra. Marcela Arce SotoProfesora de MatemticaLiceo San Nicols

Sra. Maricela AlfaroProfesora de MatemticaLiceo de San Roque

Sra. Maureen Castro MesnProfesora de MatemticaColegio Laboratorio San Jos

Sra. Olga Segura AlfaroProfesora de MatemticaU.P. Jos Mara Zeledn

Sr. Marcial CorderoProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel

Sra. Mariela JimnezProfesora de MatemticaLiceo de San Carlos

Sra. Maureen Mora BadillaProfesora de MatemticaLiceo Rincn Grande de Pavas

Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemticaCentro Educativo Mi Patria

Sr. Marco GuevaraProfesor de MatemticaColegio Santa Ins

Sra Maril BallesterosProfesora de MatemticaColegio Valle del Sol

Sra. Maureen RojasProfesora de MatemticaLiceo de Santa Ana

Sra. Olga Vargas CortezProfesora de MatemticaColegio Rodrigo Hernndez

Sr. Marco SolsProfesor de MatemticaColegio Cientfico y Artstico delPacfico

Sr. Mario CartachoProfesor de MatemticaColegio Adventista Paso Canoas

Sr. Mauricio Muoz JimnezProfesor de MatemticaLiceo Brasilia de Upala

Sr. Omar Quesada GonzlezProfesor de MatemticaLiceo de Pos

Sr. Marcos Angulo CisnerosProfesor de MatemticaC.T.P. 27 de abril

Sra. Marisol Benel AlamaProfesora de MatemticaLiceo La Aurora

Sr. Mauricio Pearanda FallasProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel

Sr. Oscar Cruz MontanoProfesor de MatemticaLiceo de Pavas

Sr. Marcos ChacnProfesor de MatemticaLiceo Bolvar de Grecia

Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaInstituto de Alajuel

Sra. Mayela Abarca CorderoProfesora de MatemticaLiceo de Curridabat

Sr. Oscar Marn GonzlezProfesor de MatemticaC.T.P. Carrisal de Alajuela

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Sra. Margel Valverde S.Profesora de MatemticaLiceo de Sabanilla

Sra. Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaLiceo del Carmen

Sr. Michael Chvez MadrigalProfesor de MatemticaC.T.P Cartagena Guanacaste

Sr. Oscar Mario CastilloProfesor de MatemticaC.T.P. Liberia

Sra. Margot Castro R.Profesora de MatemticaInstituto Educativo San Gerardo

Sra. Marjorie Navarro NezProfesora de MatemticaColegio de Turrialba

Sr. Miguel ngel SnchezProfesor de MatemticaColegio La Aurora

Sr. Oscar Reyes PeascoProfesor de MatemticaI.P.E.C.

Sra. Mara AmeliaProfesora de MatemticaI.P.F La Pradera

Sra. Marta MataProfesora de MatemticaColegio Mara Auxiliadora

Sra. Mirta BritoProfesora de MatemticaColegio Educativo Royal

Sr. Pablo Leandro JimnezProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Siquirres

Sra. Mara Hernndez H.Profesora de MatemticaLiceo del Este

Sra. Martha E Ulate QuesadaProfesora de MatemticaLiceo San Marcos de Tarraz

Sra. Mnica BlancoProfesora de MatemticaColegio Ilpal

Sr. Pablo Leandro JimnezProfesor de MatemticaColegio San Judes

Sra. Mara Mayela Gonzlez G.Profesora de MatemticaLiceo Rural Coope-Silencio

Sr. Martn Martnez ChvezProfesor de MatemticaC.T.P. Tronadora

Sra. Nasly Giraldo G.Profesora de MatemticaLiceo de San Jos

Sr. Pedro MoreraProfesor de MatemticaLiceo de Atenas

Sra. Mara OviedoProfesora de MatemticaColegio Castella

Sr. Martn Martnez ChvezProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Tilarn

Sr. Nestor CerdasProfesor de MatemticaColegio Ambientalista El Roble

Sr. Rafael Arce LpezProfesor de MatemticaC.T.P. Puntarenas

Sr. Randall VillalobosProfesor de MatemticaColegio Ambientalista El Roble

Sra. Ruth Bent CastroProfesora de MatemticaLiceo de Curridabat

Sra. Tania CrdobaProfesora de MatemticaColegio San Rafael

Sr. William GuillnProfesor de MatemticaColegio Virtual

Sr. Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel

Sr. Samuel Arevalo VsquezProfesor de MatemticaC.T.P. Acosta

Sra. Tatiana Quesada C.Profesora de MatemticaLiceo de Tarraz

Sr. Willy TorresProfesor de MatemticaLiceo Sina Prez ZelednDiurno

Sra. Rebeca Monge MoraProfesora de MatemticaC.T.P. Acosta

Sra. Sandra Rodrguez HerreraProfesora de MatemticaC.T.P. Sabanilla

Sra. Thais Sandi MenaProfesora de MatemticaLiceo San Rafael Arriba

Sra. Xenia ParkerProfesora de MatemticaLiceo Centro EducativoAdventista de C.R.

Sr. Ricardo Chvez SnchezProfesor de MatemticaC.T.P. Corralillo

Sr. Santiago Bustos C.Profesor de MatemticaC.T.P. Cartagena Guanacaste

Sr. Vctor RetanaProfesor de MatemticaLiceo del Sur

Sra. Xinia AcuaProfesora de MatemticaLiceo Purral

Sr. Ricardo VenegasProfesor de MatemticaLiceo de Curridabat

Sr. Santiago Zamora CastilloProfesor de MatemticaC.T.P. Valle la Estrella

Sra. Victoria MatarritaProfesora de MatemticaColegio Virtual Alajuela

Sra. Xinia EspinosaProfesora de MatemticaLiceo San Francisco de Ass

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Sr. Ricardo ZigaProfesor de MatemticaInstituto de Educacin Integral

Sra. Seidy Parajeles GranadosProfesora de MatemticaC.T.P. Tronadora TilarnGuanacaste

Sra. Vivian Lizano ArroyoProfesora de MatemticaLiceo Luis Noble Segreda

Sra. Xinia RomnProfesora de MatemticaColegio Campestre

Sr. Roberto Rojas BadillaProfesor de MatemticaColegio Madre del Divino Pastor

Sr. Sergio Morales RosalesProfesor de MatemticaColegio Tcnico RegionalSanta Cruz

Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemticaC.T.P. Nicoya

Sra. Yajaira Rodrguez VillegasProfesora de MatemticaLiceo Rural de Manzanillo

Sr. Rodolfo Bustos MarchenaProfesor de MatemticaLiceo Maurilio Alvarado

Sra. Shirley Gonzlez A.Profesora de MatemticaC.T.P. Quepos

Sra. Viviana Guevara EsquivelProfesora de MatemticaLiceo de Nicoya

Sra. Yamileth ZumbadoProfesora de MatemticaLiceo de Heredia

Sr. Romn Ruiz C.Profesor de MatemticaLiceo Experimental BilingeSanta Cruz

Sra. Silvia FonsecaProfesora de MatemticaSaint Gabriel High School

Sra. Viviana SolsProfesora de MatemticaSaint Gregory School

Sra. Yanin Gutirrez SolsProfesora de MatemticaColegio Mara Inmaculada deSan Carlos

Sr. Ronald Ros RodrguezProfesor de MatemticaC.T.P. Cardinal de Carrillo

Sra. Silvia PaniaguaProfesora de MatemticaFormacin Integral Montecarlo

Sra. Wendy Herrera MoralesProfesora de MatemticaINA. Orotina

Sra. Yasmn Orozco SanchoProfesora de MatemticaC.T.P. La Mansin

Sra. Rosibell Castro RodrguezProfesora de MatemticaC.T.P. Liceo de Coronado

Sra. Sonia MirandaProfesora de MatemticaColegio San Lorenzo

Sra. Wendy TijerinoProfesora de MatemticaC.T.P. Ulloa

Sra. Yeini Barrantes NProfesora de MatemticaLiceo Manuel Benavides

Sra. Rosibell VallejosProfesora de MatemticaLiceo Mauro Fernndez

Sra. Susan JimnezProfesora de MatemticaC.T.P. Mercedes Norte

Sr. Werner JurezProfesor de MatemticaLiceo Anastasio

Sra. Yelba GutirrezProfesora de MatemticaLiceo Teodoro Picado

Sr. Roy Lauren SanabriaProfesor de MatemticaC.T.P. Humberto Melloni

Sra. Susan MoralesProfesora de MatemticaColegio Marista Alajuela

Sr. Wilbert VargasProfesor de MatemticaSamuel Senz Flores

Sra. Yendri Salas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Regional de Flores

Sra. Yendri SandovalProfesora de MatemticaLiceo San Diego

Sra. Yendri SotoProfesora de MatemticaUnidad Pedaggica San Diego

Sra. Yessenia RodrguezProfesora de MatemticaLiceo el Ambientalista El Roble

Sr. Yoahan Gmez GarroProfesor de MatemticaC.T.P. Jcara

Sra. Yolanda Elizondo G.Profesora de MatemticaUnidad PedaggicaCaldern Guardia

Sra. Yorleni GmezProfesora de MatemticaLiceo Sucre

Sra. Yuri Lobo HernndezProfesora de MatemticaColegio La Aurora

Sra. Yuri QuintanillaProfesora de MatemticaColegio Adventista Limn

Sra. Zeidy ChvezProfesora de MatemticaLiceo Castro Madriz

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NDICEUNIDAD I: GEOMETRA

1. Relaciones entre los elementos bsicos del crculo y la circunferencia. 112. Relaciones que se establecen entre circunferencias concntricas, circunferencias

tangentes y circunferencias secantes. 14

3. Teoremas relacionados con la congruencia de cuerdas y con la perpendicularidadde la recta tangente. 18

4. Caractersticas de los polgonos regulares, inscritos o circunscritos. 265. Clculo del rea total y rea parcial del prisma, del cilindro, de la pirmide, del cono

y de la esfera, en la solucin de ejercicios y problemas. 34

UNIDAD II: RELACIONES Y LGEBRA6. Aplicacin de la trigonometra, en el avance cientfico y tecnolgico de la

humanidad. 45

7. ngulos en posicin estndar, a partir de arcos medidos en radianes. 478. Medida de un ngulo en grados o en radianes. 509. ngulos definidos en la circunferencia trigonomtrica. 5110. Funcin seno y la funcin coseno de acuerdo con su criterio, su dominio y su

codominio. 62

11. Funcin tangente de acuerdo con su criterio, su dominio y su codominio. 6612. Relacin de reciprocidad de las funciones secante, cosecante y cotangente, con las

funciones coseno, seno y tangente, en la comprobacin de identidadestrigonomtricas.

79

13. Identidades trigonomtricas. 8414. Ecuaciones trigonomtricas sencillas. 90

UNIDAD III: RELACIONES Y LGEBRA 1015. Conceptos bsicos de funciones. 9716. Dominio mximo de funciones reales. 10417. Funcin lineal. 10918. Problemas relacionados con la ecuacin de la recta. 11519. Rectas paralelas y rectas perpendiculares. 11920. Funcin cuadrtica 12421. Problemas relacionados con funciones cuadrticas. 13322. Funcin inversa. 13623. Funcin exponencial y ecuaciones exponenciales. 14724. Funcin logartmica y ecuaciones logartmicas. 15725. Problemas relacionados con funciones exponenciales y funciones logartmicas. 15926. Ecuaciones cuadrticas y problemas mediante ecuaciones cuadrticas. 16127. Factorizacin. 16428. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. 16729. Sistemas de ecuaciones lineales con una variable y problemas. 171

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UNIDAD IGEOMETRA

Conocimientos Habilidades especficaCrculo y circunferencia, elementos: radio centro cuerda dimetro ngulo central arco recta tangente recta secante

Circunferencias, posicin relativa: circunferencias concntricas circunferencias tangentes interiores circunferencias tangentes exteriores circunferencias secantes.

Circunferencias, relaciones: entre radios y tangentes entre cuerdas

Polgonos regulares: ngulo central ngulo interno ngulo externo lado apotema radio diagonal

Slidos: cubo prisma recto cilindro circular recto pirmide regular cono circular recto esfera rea total rea parcial

1. Reconocer diferentes elementos relacionados con lacircunferencia (radio, centro, cuerda, dimetro, ngulo central,arco, rectas tangentes, rectas secantes).

2. Aplicar la relacin entre la medida de un ngulo central y elarco que subtiende.

3. Aplicar las relaciones entre los elementos bsicos del crculo yla circunferencia (el dimetro y el radio, la cuerda de mayorlongitud y el dimetro, el ngulo central y el arco que subtiende)en la solucin de problemas y en situaciones del contexto.

4. Aplicar las relaciones que se establecen entre circunferenciasconcntricas, circunferencias tangentes y circunferenciassecantes, en la solucin de problemas y situaciones delentorno.

5. Aplicar que una recta es tangente a la circunferencia si y solo sies perpendicular al radio en su punto de tangencia

6. Aplicar que en una misma circunferencia, o en circunferenciascongruentes, dos cuerdas son congruentes si y solo siequidistan del centro.

7. Aplicar relaciones mtricas entre diversos elementos (ngulocentral, interno, externo, lado, apotema, radio, diagonal), de lospolgonos regulares, inscritos o circunscritos a unacircunferencia, en la solucin de problemas y situaciones delentorno.

8. Determinar y aplicar el permetro y rea de polgonos regularesen la solucin de problemas y situaciones del entorno.

9. Determinar y aplicar, en la resolucin de problemas ysituaciones del entorno, diversas relaciones entre elementos deun polgono regular (nmero de lados y nmero de diagonales,nmero de lados y la medida del ngulo externo, nmero delados y la medida del ngulo interno, nmero de lados y lasuma de las medidas de los ngulos internos, suma de lasmedidas de los ngulos externos).

10. Determinar y aplicar el rea total y rea parcial de cubos,prismas rectos, cilindros circulares rectos, pirmides regulares,conos circulares rectos y esferas, en la solucin de problemas ysituaciones del entorno.

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12 GEOMETRA

GRUPO FNIX

CRCULO Y CIRCUNFERENCIA

Crculo Circunferencia

Es la superficie plana limitada por una

circunferencia y de todos sus puntos

interiores.

Es la curva geomtrica plana, cerrada, cuyos

puntos son equidistantes de un punto

llamado centro, slo posee longitud.

Ejemplo Ejemplo

Elementos de la circunferencia

Representacin grfica Simblicamente Definicin

GH Recta Tangente: interseca la

circunferencia en un slo punto

CD Recta secante: interseca la

circunferencia en dos puntos

EFCuerda: segmento que une dospuntos de la circunferencia

OCentro del crculo: punto fijo delcual equidistan todos los puntos dela circunferencia

ABDimetro: es la cuerda de mayorlongitud, pasa por el centro

OBRadio: segmento que une el centrocon un punto cualquiera de lacircunferencia

FBArco: parte de la circunferenciacomprendida entre dos puntos.

FOBngulo central: Es un nguloformado por dos radios, el vrtice esel centro del crculo.

A OB

FG

E

HI

CD

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GEOMETRA 13

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 11. Complete los espacios con el nombre de cada elemento de la circunferencia.

a) EF

b) OG

c) IB

d) CH

e) FD

f) BDg) IOG

_________

_________

_________

_________

_________

_________

_________

2. Trace las rectas y segmentos indicados.

a) Radio OI

b) Cuerda HD

c) Dimetro EC

d) Secante FB

e) Tangente en G

f) ngulo IOC

3. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.

a) Un dimetro de un crculo es una secante de la circunferencia.

b) Todos los radios de una circunferencia son congruentes entre si.

c) Un radio es una cuerda de una circunferencia.

d) Una secante de una circunferencia, interseca a sta en un solo punto.

e) Una cuerda de un crculo contiene exactamente dos puntos de la circunferencia.

f) Una secante de un crculo contiene exactamente dos puntos de ste.

g) Toda recta tangente a una circunferencia contiene nicamente un punto del crculo.

h) Toda cuerda de la circunferencia o del crculo es un dimetro.

D

O

B

C

FG

E

I

H

OB

C

F

G D

E

I H

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14 GEOMETRA

GRUPO FNIX

CIRCUNFERENCIAS CONCNTRICAS, CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORESY EXTERIORES, CIRCUNFERENCIAS SECANTES

Circunferencias concntricas

Son coplanares interiores que tienen el

mismo centro.

0k

k : distancia entre los centrosCircunferencias tangentes interiores

Son coplanares y todos los puntos excepto

uno de una circunferencia son puntos

interiores de la otra circunferencia.

k R r

k : distancia entre los centrosCircunferencias tangentes exteriores

Son coplanares y tienen un punto en comn,

la distancia de sus centros es igual a la suma

de sus radios

k R r k : distancia entre los centros

Circunferencias secantes

Son coplanares y tienen dos puntos en

comn. La distancia entre los centros es

menor que la suma de los radios.

k R r k : distancia entre los centros

R

r

R r

Rr

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GEOMETRA 15

GRUPO FNIX

CIRCUNFERENCIAS CONCNTRICAS, CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORESY EXTERIORES, CIRCUNFERENCIAS SECANTES

Ejemplo 1

Sea k la distancia entre los centros, " "R y " "r las medidas de los radios de doscircunferencias. Con base en la relacin que se establece entre los radios y la distancia

entre los centros de dos circunferencias, escriba una X identificando cada relacin.

Relacin Concntricas Tangentesexteriores

Tangentesinteriores

Secantes

0, 6, 4k R y r X

10, 6, 4k R y r X

2, 6, 4k R y r X

10, 14, 5k R y r X

Trabajo cotidiano # 2

1. Sea k la distancia entre los centros, " "R y " "r las medidas de los radios de doscircunferencias. Con base en la relacin que se establece entre los radios y la distancia

entre los centros de dos circunferencias, escriba una X identificando cada relacin.

Relacin Concntricas Tangentesexteriores

Tangentesinteriores

Secantes

a) 0, 12, 5k R y r __________ __________ __________ __________

b) 10, 3, 7k R y r __________ __________ __________ __________

c) 5, 10, 5k R y r __________ __________ __________ __________

d) 10, 28, 10k R y r __________ __________ __________ __________

e) 0, 12, 6k R y r __________ __________ __________ __________

f) 32, 20, 12k R y r __________ __________ __________ __________

g) 5, 14, 5k R y r __________ __________ __________ __________

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16 GEOMETRA

GRUPO FNIX

2. Determine un posible valor de la distancia k entre los centros de dos circunferenciascuyos radios miden 6cm y 8cm respectivamente para que seana) Tangente exterior: ______k

b) Tangente interior: ______k

c) Concntricas: ______k

d) Secantes: ______k

3. Determine un posible valor de la distancia k entre los centros de dos circunferenciascuyos radios miden 12cm y 7cm respectivamente para que sean

a) Tangente exterior: ______k




4. Determine un posible valor de la distancia k entre los centros de dos circunferenciascongruentes cuyos radios miden 15cm respectivamente para que seana) Tangente exterior: ______k




5. Un valor de la distancia k de los centros de dos circunferencias es 30cm , y la medidade uno de los radios es 17cm , determine una medida posible de otro radio para que las

circunferencias sean:

a) Tangente exterior: ______

b) Tangente interior: ______

c) Concntricas: ______

d) Secantes: ______

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GEOMETRA 17

GRUPO FNIX

Trabajo extraclase # 1

6. Si 1r y 2r representan las medidas de los radios de las dos circunferencias tangentes

exteriormente, con 1r > 2r , entonces la distancia entre los centros tales es

A) Igual que 1 2r r

B) Igual que 1 2r r

C) Menor que 1 2r r

D) Mayor que 1 2r r

7. Si 1r y 2r representan las medidas de los radios de las dos circunferencias tangentes

interiormente, con 1r > 2r , entonces la distancia entre los centros tales es

A) Igual que 1 2r r

B) Igual que 1 2r r

C) Menor que 1 2r r

D) Mayor que 1 2r r

8. Si 1r y 2r representan las medidas de los radios de las dos circunferencias secantes,

con 1r > 2r , entonces la distancia entre los centros tales es

A) Igual que 1 2r r

B) Igual que 1 2r r

C) Menor que 1 2r r

D) Mayor que 1 2r r

9. La distancia entre los centros de dos circunferencia es 14 ,si la medida del radio de unaes 8 y la del radio de la otra es 6 , entonces se cumple que la circunferencias sonA) Secantes.

B) Concntricas.

C) Tangentes interiormente.

D) Tangentes exteriormente.

10.En un mismo plano, la distancia entre los centros de dos circunferencias es de 10 . Si lamedida del radio de una de ellas es 13 y la medida de la otra es 3 , entonces secumple que las circunferencias son

A) Secantes

B) Concntricas

C) Tangentes interiormente

D) Tangentes exteriormente

11.De acuerdo con los datos de la figura, si 1 2r r , entonces con certeza se cumple que

A) 1 2OP r r

B) 1 2OP r r

C) 1 2OP r r

D) 1 2OP r r

1r 2rO P

1C 2C

O : centro de la circunferencia 1CP : centro de la circunferencia 2C

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18 GEOMETRA

GRUPO FNIX

TEOREMAS RELACIONADOS CON LA PERPENDICULARIDAD DE LA RECTATANGENTE

Teoremas Figura

1. Una recta perpendicular a un radio en su

punto de interseccin con la

circunferencia, es tangente a la

circunferencia.

2. Toda tangente a la circunferencia es

perpendicular al radio en su punto de

tangencia.

Ejemplo 1

En la figura adjunta

9 30AC y m AOC , calcule lamedida de OC y AO .

O centro de la circunferencia

Solucin

1. Utilizando ley de senos

990 30

9 9030

18

OCsen sen

senOCsen

OC

2. Utilizando Teorema de Pitgoras

2 2 2

2 2 2

2

18 9

324 81

2439 3

AO CO AC

AO

AO

AO

AO

O

CA

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GEOMETRA 19

GRUPO FNIX

PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA PERPENDICULARIDAD DE LA RECTATANGENTE

Ejemplo 2

En la siguiente figura si 60m DOA y18AD cm , determine la medida de los

segmentos AO y OD

O centro de la circunferenciaSolucin

1. Utilizando ley de senos18

90 6018 90

6012 3

AOsen sen

senAOsen

AO


22 2

2

12 3 18

432 324

1086 3

DO

DO

DO

DO

Trabajo cotidiano # 31. En la siguiente figura la recta m es tangente a la circunferencia en A , Calcule lo que se

le solicita, con base en la informacin brindada.

a) Si 38 ,m COA m ACO b) Si 20 , 12,m COA CA CO c) Si 50 , 15,m OCA OA OC d) Si 30, 20,OC CA AO e) Si 7, 12,AO CA OC

________

________

________

________

________

________ O centro de la circunferencia2. En la siguiente figura la recta n es tangente a la circunferencia en A , Calcule lo que se

le solicita, con base en la informacin brindada.a) Si 70 ,m BAC m CAD b) Si 240 ,m CAB m CBA c) Si 50 , 12,m CAB CB AB d) Si 14, 8,BA BC CA e) Si 10, 10,OB CA BC

________

________

________

________

________

________ O centro de la circunferencia

O

C

A

m

D

O A

C

B

n

A O

D

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20 GEOMETRA

GRUPO FNIX

TEOREMAS RELACIONADOS CON LA CONGRUENCIA DE CUERDAS

Teoremas Figuras

1. En una misma circunferencia, o en

circunferencias congruentes, dos cuerdas

congruentes equidistan del centro.

2. En una misma circunferencia o en

circunferencias congruentes, las cuerdas

equidistantes del centro son congruentes.

Ejemplo 1

En la figura adjunta AE EO y12AO cm , determine la medida de

AE y CD .

O centro de la circunferencia

Solucin

1. Utilizando ley de senos, AEO issceles12

45 9012 45

906 2

AEsen sen

senAEsen

AE

2. Como AE , mide 6 2 , lo multiplicamos

por 2 , y obtenemos 12 2AB , segnlos teoremas citados AB y CD , son

congruentes, por lo tanto 12 2CD .

A

BD

O

C

E

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GEOMETRA 21

GRUPO FNIX

PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA CONGRUENCIA DE CUERDAS

Ejemplo 2

En la figura adjunta la cuerda AB BC , si4 3BC cm y la 60m DOB , calcule

la medida de los segmentos OB y DO

O centro de la circunferenciaSolucin

1. Si AB mide 4 3 , entonces 2 3DB ,aplicando ley de senos calculamos OB .

2 390 60

2 3 9060

4

OBsen sen

senOBsen

OB


22 2

2

4 2 3

16 12

42

DO

DO

DODO

Trabajo cotidiano # 41. En la figura adjunta EO OF , en cada caso calcule lo indicado.

a) Si 40 , 12,m ECO CB OF b) Si 37 , 10,m ABC ED CB c) Si 35 ,m ECO m COF d) Si 20, 20,OC CD OF e) Si 30, 26,CB AB OE

________

________

________

________

________

________ O centro de la circunferencia2. En la siguiente figura 120m DOF y AB BG , calcule lo indicado.

a) Si 12,DB OB b) Si 13,DO BF c) Si 5 3,BF OF d) Si 18,AB BE e) Si 12,OF OE

________

________

________

________

________

________ O centro de la circunferencia

DA BO

E F

G

DA BO

E

C

A

BD

O

C

E F

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22 GEOMETRA

GRUPO FNIX

3. En una circunferencia con radio 25cm . de longitud, se traza una cuerda que mide 48cm .Determinar la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda.

4. En una circunferencia con radio 10cm . de longitud, se traza una cuerda que mide

16cm . Determinar la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda.

5. En una circunferencia con radio 15cm . de longitud, se traza una cuerda, si la distancia

del centro de la circunferencia a la cuerda es de 12cm . Determinar la longitud de la

cuerda.

6. En una circunferencia con radio 50cm . de longitud, se traza una cuerda, si la distancia

del centro de la circunferencia a la cuerda es de 30cm . Determinar la longitud de lacuerda.

7. En una circunferencia de dimetro 20cm , si la distancia de una cuerda al centro es de

8cm , Cul es la medida de la cuerda?

8. Los dimetros de dos circunferencias concntricas miden 24 12cm y cm . Determine la

longitud de la cuerda de la circunferencia mayor que es tangente a la circunferencia

menor.

9. Una cuerda de 36cm est a 20cm del centro de la circunferencia. Determine la medidadel dimetro.

10.Una cuerda de una circunferencia mide 16cm y dista 8cm del centro. Determine lamedida del dimetro.

11.El dimetro de una circunferencia mide 60cm , la distancia de una cuerda al centro es

24cm , cul es la longitud de la cuerda?

12.Un dimetro y una cuerda tienen un extremo comn. Si el dimetro mide 40cm y la

cuerda 24cm . Determine la distancia que est la cuerda del centro del crculo.

13.En una circunferencia se traza una cuerda perpendicular a un dimetro de 56cm , ladistancia de la interseccin de la cuerda al extremo del radio en la circunferencia es de

10cm . Determine la longitud de la cuerda.

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GEOMETRA 23

GRUPO FNIX


14.Si las circunferencias de centros O y P son tangentes interiormente, 45m BAO y 20AB , entonces la medida de OP esA) 10B) 20C) 5 2

D)10 2

315.Si las circunferencias de centro O y P son tangentes exteriormente, 4OQ ,

3PT , 18AM y QT es tangente a dichas circunferencias en Q y Trespectivamente, entonces la medida de QM esA) 8 13B) 16 3C)12 7D) 609

16.Si O es el centro de la circunferencia 8OF y AB DO , entonces, la medida delEF es aproximadamenteA) 6,93B) 11,31C)14,93D) 16,94

17.Si AD y CB son cuerdas equidistantes del centro y 8AB , entonces las medidasde AD esA) 2B) 4

C) 2 2

D) 4 2

18.Si OR OS , entonces con certeza se cumple queA) OS SNB) OM RNC) 2MR SND) 2RN MR

B

O

A

P

A

DFO

B

E

Q

P A

T

OM

Q T M O P A P A M

A O B O : centro de la circunferencia

C

BA

D

45O

O : centro de la circunferencia

OMR S

Q

N

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24 GEOMETRA

GRUPO FNIX

19.Si 1C de centro O y 2C de centro P son tangentes exteriores, PQ

es tangente a

1C en Q , 5QP y 12OQ , entonces la medida del dimetro de 2C es

A) 1B) 2C) 13D) 24

20.La distancia del centro de una circunferencia a un punto P es 15 . Si QP

es

tangente a esa circunferencia en Q y la medida de QP que exede en tres a lamedida del radio, entonces, cul es la medida del radio de esa circunferencia?

A) 9B) 36

C)152

D) 6 3

21.Si AM

es tangente a la circunferencia en M , 60m AMB y 18MB ,entonces la medida del radio es

A) 6

B)6

2C) 2 6

D)182

22.En la circunferencia de centro O , si 12BC y 60mBC , entonces la medida deAB esA) 12B) 24C) 8 3D) 12 3

QP

2C

O

1C

A

M

OB

C

A

B

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GEOMETRA 25

GRUPO FNIX

23.En la circunferencia de centro O , si 60m ABO y 8AB , entonces Cul es lamedida de del dimetro de la circunferencia?A) 8B) 16C) 4 3D) 8 3

24.De acuerdo con los datos de la figura, si 7OP OR , 8OQ , entonces Cul es lamedida de BC ?

A) 8B) 14

C) 2 15

D) 2 113

25.La medida del radio de una circunferencia de centro P es 10 . Si QR es una cuerdatal que 16QR , entonces, Cul es la distancia de la cuerda al punto P ?A) 4B) 6C) 8D) 10

26.En la circunferencias de centro O , si AE BD , FC BD , 6BD , 4OH yAE OC , entonces la medida de GH es aproximadamente

A) 8,00B) 8,33C) 9,33D) 10,24

A B

O

Q P O B R C A P B

O : centro de los crculos

A

B

C

O

Q P

R

A

C

B

OD

EG

F

H

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26 GEOMETRA

GRUPO FNIX

POLGONOS REGULARES INSCRITOS O CIRCUNSCRITOS Y SUS ELEMENTOS

Polgono regular inscrito Polgono regular circunscrito

: , : , :a apotema lado d diagonal : , : , :r radio del polgono lado d diagonal

Relaciones mtricas entre los elementos de los polgonos: , :n nmero de lados P permetro

Elementos Relacin mtrica Ejemplo y nombre del polgono

Medida de unngulo central

360m EOD

n Pentgono

3605

= 72

c

c

m

m

Medida de unngulo interno

180 2nm BCD

n

Nongono 180 9 29

140

i

i

m

m

Suma de lasmedidas de los

ngulos internos 180 2im n Octgono 180 8 21080

i

i

m

m

Medida de unngulo externo

360m CBG

n Hexgono

3606

= 60

e

e

m

m

Nmero dediagonales de un

vrtice3D n Decgono 10 3

7DD

Nmero dediagonales de todos

los vrtices

32

n nD

Endecgono 11 11 3

244

D

D

Permetro n 2P area

:r radio del polgono y la circunferencia :a apotema del polgono y radio de la circunferencia

A B

C

DE

F O

ar r

dGA B

C

DE

FO

ar r

dG

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GEOMETRA 27

GRUPO FNIX


1. Determine la medida de un ngulo central de un hexgono.

2. Determine la medida de un ngulo central de un endecgono.

3. Determine la medida de un ngulo interno de un octgono.

4. Determine la medida de un ngulo interno de un dodecgono.

5. Determine la suma de las medidas de los ngulos internos de un enegono.

6. Determine la suma de las medidas de los ngulos internos de un Tetra decgono.

7. Determine la medida de un ngulo externo de un heptgono.

8. Determine la medida de un ngulo externo de un pentadecgono.

9. Determine el nmero de diagonales que se trazan de un vrtice de un decgono.

10.Determine el nmero de diagonales que se trazan de un vrtice de un heptadecgono.

11.Determine las diagonales que se trazan de todos los vrtices de un pentgono.

12.Determine las diagonales que se trazan de todos los vrtices de un dodecgono

13.Determine el rea y permetro de un octgono si un lado mide 12cm , la apotema 8cm

14.Determine el rea y permetro de un octgono si un lado mide 15cm , la apotema 10cm

15.Determine el rea y permetro de un hexgono si un lado mide 12cm , la apotema 8cm

16.Determine el rea y permetro de un enegono si un lado mide 24cm , la apotema 9cm

17.Determine el rea y permetro de un hexgono si un lado mide 8cm

18.Determine el rea y permetro de un hexgono si la apotema mide 2 3 cm

19.Determine el rea y permetro de un hexgono si la apotema mide5 32

cm

20.Determine el rea y permetro de un hexgono si un lado mide 2 3 cm

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28 GEOMETRA

GRUPO FNIX

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POLGONOS REGULARES INSCRITOS OCIRCUNSCRITOS Y SUS ELEMENTOS

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Determine el rea de un hexgono inscritoen una circunferencia si su radio mide 10cm .

Determine el rea de un pentgonocircunscrito en una circunferencia si suapotema mide 6cm .

Por ser un hexgono r Forma operativa Forma operativa

1. Se calcula el ngulo central 60GOD 2. Se aplica ley de senos para calcular OG

3. Se calcula el permetro

4. Se calcula el rea

1. Se calcula el ngulo central 72DOC 2. Se aplica ley de senos para calcular FC

3. Se calcula el permetro

4. Se calcula el rea

a

A

B

CD

EO

r

F

r

54

O

F C

636

10

60

O

G D

a30

G

A B

C

DE

FO

a r

1060 90

10 6090

5 3

OGsen sen

senOGsen

OG

6 1060

P nPP

2

260 5 3

2259,80

P aA

A

A cm

636 54

6 3654

4,35

FCsen sen

senFCsen

FC

5 8,7043,5

P nPP

2

243,5 6

2130,5

P aA

A

A cm

Versi

n El

ectrn

ica

Edito

rial G

rupo F

nix

GEOMETRA 29

GRUPO FNIX


1. El permetro de un tringulo equiltero mide 36cm y est inscrito en una circunferencia.Calcule:

a) Medida de la apotema del tringulo

b) Medida del radio del tringulo

c) Longitud de la circunferencia

d) rea de la circunferencia.

e) rea del tringulo

2. Un cuadrado est circunscrito en una circunferencia cuyo radio mide 30cm . Calcule:a) Medida de la apotema del polgono

b) Medida del radio del polgono



e) rea del polgono

3. La apotema de un pentgono inscrito en una circunferencia mide 7cm . Calcule:

a) Medida del radio del polgono

b) Longitud de la circunferencia

c) Medida del lado del polgono


e) rea del polgono

4. El permetro de un hexgono circunscrito en una circunferencia mide 12 3 cm . Calcule:

a) Medida del radio de la circunferencia

b) Longitud de la circunferencia

c) Medida del lado del polgono


e) rea del polgono

5. La apotema de un heptgono inscrito en una circunscrito mide 9cm . Calcule:a) Medida del radio de la circunferencia

b) Medida del lado del polgono



e) rea del polgono

Versi

n El

ectrn

ica

Edito

rial G

rupo F

nix

30 GEOMETRA

GRUPO FNIX

6. Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia si el lado del cuadrado

mide 3 2 m7. Calcular el apotema de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de 3 2 hm

de radio.8. 9. Sabiendo que el lado del hexgono regular inscrito en una circunferencia es de 9hm ,

hallar el lado del hexgono regular circunscrito a la misma circunferencia.

9. Sabiendo que el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia es de 7 2 cm hallar ellado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia.

10.Calcular el lado del tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de 8m de radio.11.El lado de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia mide 2 3 dm Hallar el

radio de dicha circunferencia.12.Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 24m de radio.13.El permetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es de 12 2 cmcalcule la

medida del dimetro de la circunferencia.14.Calcule la medida del lado de un pentgono regular inscrito en una circunferencia de

11m15.Si el permetro de un hexgono regular inscrito en una circunferencia mide 24cm

centmetros, calcule el dimetro de dicha circunferencia.16.Calcular el lado de un octgono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio

mide10cm .17.Encontrar el valor del lado de un decgono inscrito en una circunferencia de dimetro

15cm .18.La longitud del lado de un hexgono regular circunscrito a una circunferencia mide 15cm

Determine: la medida del radio de la circunferencia y del polgono.19.La apotema de un cuadrado circunscrito a una circunferencia mide 20cm . Encontrar el

permetro del cuadrado y la medida del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado.20.En una circunferencia cuyo radio mide 8cm se ha inscrito un triangulo equiltero. Cul

es la medida de su lado y la del lado del hexgono regular inscrito en la mismacircunferencia?

21.Una circunferencia tiene inscritos una tringulo y un hexgono. Los tres vrtices deltringulo coinciden con tres de los vrtices del hexgono, si la medida del lado deltringulo es 8cm . Hallar el permetro del tringulo y del hexgono y compararlo con lamedida de la circunferencia circunscrita.

22.Un cuadrado se halla circunscrito a una circunferencia y su medida de lado es 16cm .Encuentre la medida de la circunferencia inscrita y el permetro del cuadrado.

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n El

ectrn

ica

Edito

rial G

rupo F

nix

GEOMETRA 31

GRUPO FNIX


23.Si el heptgono regular est inscrito en la circunferencia y SZ

es tangente en S a lacircunferencia, entonces m RSZ es aproximadamenteA) 22,50B) 25,71C) 51,43D) 64,29

24.Cul es el rea de un tringulo equiltero circunscrito en una circunferencia cuya medidadel radio es 7 ?A) 147 3

B)196 3

3

C) 294 3

D)147 3

4

25.Si ABCD es un cuadrado y la medida de la apotema del hexgono regularCDEFGH es de 3 , entonces, cul es el rea de la regin destacada con gris?A) 6

B) 6 3 4C) 3 3 4

D)9 3 3

2

26.Si la medida de la apotema de un tringulo equiltero es 12, entonces el permetro deltringulo es

A) 24 3

B) 48 3

C) 54 3

D) 72 3

27.Si la medida del dimetro de la circunferencia inscrita en un hexgono regular es 10entonces cul es el permetro del hexgono?A) 30B) 60

C) 20 3D) 40 3

O : centro de la circunferencia

O R

S

Z

F

GE

D

C

H

A

B

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n El

ectrn

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Edito

rial G

rupo F

nix

32 GEOMETRA

GRUPO FNIX

28.De acuerdo con los datos de la figura, si el hexgono ABCDEF es regular, FBD esequiltero y 6FE , entonces el rea de la regin destacada con gris esA) 18 3

B) 27 3

C) 45 3

D) 54 3

29.Si un polgono regular tiene en total 27 diagonales, entonces lamedida en grados de unngulo externo de este polgono esA) 4B) 40

C) 60D) 140

30.Cul es la longitud de la circunferencia inscrita en un hexagono regular cuyo permetro

es 12 3 ?A) 6B) 12

C) 8 3D) 4 3

31.Si el rea del cuadrado circunscrito a la circunferencia de centro O es 64 , entonces,Cul es el rea del crculo?A) 8B) 16C) 32D) 64

32.Si la medida de un ngulo externo de un polgono regular es 40 , entonces el nmerode lados del polgono esA) 9B) 10

C) 18D) 20

33.El hexgono regular ABCDEF esta inscrito en el crculo de centro O y dimetro24 . Cul es el rea de la regin destacade con gris?A) 108 3B) 216 3C) 432 3D) 864 3

A

B C

D

EF

BA

CD

O

O

C

A D

EF

B

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rial G

rupo F

nix

GEOMETRA 33

GRUPO FNIX

34.Un hexgono regular est circunscrito en una circunferencia de radio 2 3 . Cul es elrea aproximada del hexgono?A) 31,18B) 41,57

C) 48,50D) 62,35

35.Un cuadrado est circunscrito en una circunferencia. Si la medida de la apotema delcuadrado es 4 entonces, la longitud de la circunferencia esA) 4B) 8

C) 16D) 4 2

36.Si la longitud de una circunferencia inscrita en un tringulo equiltero es 12 , entonces,cul es el permetro de ese tringulo?A) 18B) 36

C) 18 3D) 36 3

37.Cul es la medida de la diafgonal de un cuadrado circunscrito a una circunferencia cuyo

dimetro mide 6 2 ?A) 6B) 12

C) 3 2D) 6 2

38.Un hexgono regular esta inscrito en una circunferencia, si la apotema del hexgono es

2 3 , entonces, Cul es la longitud de la circunferencia?A) 4B) 8

C) 32D) 4 3

39.Si la medida del lado de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia es 12entonces, Cul es la medida del dimetro de la circunferencia?

A) 2 3B) 4 3

C) 6 3D) 8 3

40.Si el permetro de un cuadrado es 16 2 entonces la medida de su apotema esA) 2B) 2 2

C) 4 2

D) 8 241.Si 1c es la circunferencia circunscrita al cuadrado ABCD , 2c es la circunferencia

inscrita a dicho cuadrado, entonces considere las siguientes premisas:

I. La medida del radio 1c es2

2BD

II. La medida del apotema del cuadrado es igual a lamedida del radio de 2c

De ellas, Cules son verdaderas?A) AmbasB) Ninguna

C) Solo la ID) Solo la II

BA

CD

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rial G

rupo F

nix

34 GEOMETRA

GRUPO FNIX

REA TOTAL Y REA PARCIAL DEL CUBO

Un cubo o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes

Elementos del cubo

: lado o arista del cubo:d diagonal del cubo

3d

rea parcialrea total

rea de la base rea Basal rea lateral

bA 2 BA 2 bA LA 24 TA 26Ejemplo

Con base en las medidas de la figura determine el rea de la base, el rea basal y el realateral y total del cubo.

Figura bA BA LA TA

2

239

b

b

b

AAA

22 918

B b

B

B

A AAA

244 936

L

L

L

AAA

2

2

66 354

T

T

T

AAA

Trabajo cotidiano # 71. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si 5cm .2. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si

2 3cm .3. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si la diagonal

de la base mide 8 2cm .4. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si la diagonal

del cubo mide 11 3cm .5. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cubo si la diagonal

del cubo mide 12cm .

3

d

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n El

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rial G

rupo F

nix

GEOMETRA 35

GRUPO FNIX

REA TOTAL Y REA PARCIAL DEL PRISMA

Un prisma es un cuerpo limitado por dos polgonos planos, paralelos e iguales, llamados

bases, y por tantos paralelogramos como lados tenga cada una de las bases

Elementos de un prisma

:h altura del prisma

:a apotema del polgono

:a lado del polgono de la base

Prisma cuyabase es



bA BA LA TATringulo

equiltero

2 34

2 bA bP h L BA A

Cuadrado 2

Rectngulona

Hexgono23 32

Pentgono

2P a

Heptgono

na : ancho, a :apotema, P : permetro, bP : permetro de la base, bA : rea de la baseObservacin: Cuando la base es un polgono de ocho lados o ms, se calcula de formaanloga que el pentgono y el heptgono.

h

a

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rial G

rupo F

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36 GEOMETRA

GRUPO FNIX

REA TOTAL Y REA PARCIAL DEL PRISMA

Ejemplos

Con base en las medidas de cada figura determine el rea de la base, rea lateral, rea

basal y rea total de cada prisma.

Prismarea de la base rea Basal rea lateral rea total

bA 2B bA A L bA P h T L BA A A 2

2

34

8 34

16 3

b

b

b

A

A

A

2

2 16 332 3

B b

B

B

A A

A

A

24 6

144

L b

L

L

A P hAA

144 32 3

T L B

T

A A A

A

2

2525

b

b

b

AAA

22 2550

B b

B

B

A AAA

20 7

140

L b

L

L

A P hAA

140 50

195

T L B

T

T

A A AAA

12 10120

b n

b

b

A aAA

22 120240

B b

B

B

A AAA

44 4

176

L b

L

L

A P hAA

176 240

416

T L B

T

T

A A AAA

2

2

3 32

3 6 32

54 3

b

b

b

A

A

A

2

2 54 3108 3

B b

B

B

A A

A

A

36 12

432

L b

L

L

A P hAA

432 108 3

T L B

T

A A A

A

230 3

245

b

b

b

P aA

A

A

22 4590

B b

B

B

A AAA

30 10

300

L b

L

L

A P hAA

300 90

390

T L B

T

T

A A AAA

5

7

5

1012

4

12

6

3 6

10

8

6

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rial G

rupo F

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GEOMETRA 37

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 81. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un tringulo equiltero cuyo lado mide 7cm y la altura 11cm2. Calcule el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si la

base es un tringulo equiltero cuyo lado mide 12cm y la altura 15cm3. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un cuadrado cuyo lado mide 13cm y la altura 17cm4. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un cuadrado cuyo lado mide 20cm y la altura 27cm5. Calcule el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si la

base es un rectngulo que mide de ancho 15cm y de largo 32cm6. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un rectngulo que mide de ancho 17cm ,de largo 36cm y de altura 10cm7. Calcule el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si la

base es un hexgono de lado 6 3cm y la altura 10cm8. Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un hexgono de lado 12 3cm y la altura 15 3cm9. Calcule el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si la

base es un pentgono de lado 12cm y la altura 15cm10.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un heptgono cuyo radio mide 8cm y la altura 15cm11.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un tringulo equiltero que mide de apotema 4cm y la altura 15cm12.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un cuadrado cuya diagonal mide 15 2cm 20cm13.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un octgono cuyo lado mide 10cm y la altura 18cm14.Determine el rea de la base, el rea basal, el rea lateral y el rea total de un prisma, si

la base es un pentgono con una diagonal que mide 20cm altura 13cm

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n El

ectrn

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rial G

rupo F

nix

38 GEOMETRA

GRUPO FNIX

REA TOTAL Y REA PARCIAL DEL CILINDRO

Es una figura conformada por dos caras paralelas circulares (bases) y el conjunto de todoslos segmentos de lnea recta perpendiculares a sus caras y comprendidos entre ellas.

Elementos del cilindro

:r radio del crculo

:h altura del crculo



2bA r 22BA r 2LA r h T L BA A A

Ejemplo

Con base en las medidas de la figura determine el rea de la base, el rea basal y el realateral y total del cilindro.

Figura bA BA LA TA

2

2416

b

b

b

A rAA

22

2 1632

B

B

B

A rAA

22 4 1080

L

L

L

A r hAA

80 32

112

T L B

T

T

A A AAA

Trabajo cotidiano # 91. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cilindro, si la altura

es de 15cm y el radio 8cm .2. Calcule el rea de la base, rea basal, rea lateral y rea total de un cilindro, si la altura

es de 19cm y el radio 11cm .3. Si el rea de la base de un cilindro es de 236 cm y la altura es de 3 3cm , determine: el

rea basal, rea lateral y rea total del cilindro.4. Si la longitud de una circunferencia de la base de un cilindro es de 22 cm y la altura del

cilindro es7 7cm , determine el rea basal, rea lateral y rea total del cilindro.5. Si la longitud de la circunferencia de la base de un cilindro es de 16cm y la altura es de

8 5cm , determine el rea basal, rea lateral y rea total del cilindro.

h

r

10

4

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n El

ectrn

ica

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rial G

rupo F

nix

GEOMETRA 39

GRUPO FNIX

REA TOTAL Y REA PARCIAL DE UNA PIRMIDE

Una pirmide es un poliedro, cuya base es un polgono cualquiera y cuyas caras laterales

son tringulos con un vrtice comn, que es el vrtice de la pirmide.

Elementos de la pirmide

:pa apotema de la piramide

:a apotema del polgono

:h altura de la pirmide

: lado del polgono

Pirmide cuyabase es



bA bA LA TATringulo

equiltero

2 34

bA 2b pP a

L BA A

Cuadrado 2

Hexgono23 32

Pentgono

2P a

Heptgono

na : ancho, a :apotema, P : permetro, bP : permetro de la base, bA : rea de la baseObservacin: Cuando la base es un polgono de ocho lados o ms, se calcula de formaanloga que el pentgono y el heptgono.

base

hap

a

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rial G

rupo F

nix

40 GEOMETRA

GRUPO FNIX

REA TOTAL Y REA PARCIAL DE UNA PIRMIDE

Ejemplos

Con base en las medidas de cada figura determine el rea lateral, rea basal y rea total de

cada prisma. Considere que en todos los casos las bases son polgonos regulares.

Pirmiderea de la base rea Basal rea lateral rea total

bA B bA A 2b pP a

L BA A2

2

34

6 34

9 3

b

b

b

A

A

A

9 3B b

B

A A

A

218 9

281

b pL

L

L

P aA

A

A

81 9 3

T L B

T

A A A

A

2

2749

b

b

b

AAA

49

B b

B

A AA

228 10

2140

b pL

L

L

P aA

A

A

140 49189

T L B

T

T

A A AAA

2

2

3 32

3 8 32

96 3

b

b

b

A

A

A

96 3B b

B

A A

A

248 5

2120

b pL

L

L

P aA

A

A

120 96 3

T L B

T

A A A

A

260 6

2180

b

b

b

P aA

A

A

180

B b

B

A AA

260 18

2540

b pL

L

L

P aA

A

A

540 180720

T L B

T

T

A A AAA

10

7

5

8

12

18

6

6

9

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rial G

rupo F

nix

GEOMETRA 41

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 101. Determine el rea de la base, el rea basal y el rea total de una pirmide, si la base es

un tringulo equiltero cuyo lado mide 10cm y la apotema de la pirmide mide 8cm2. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

tringulo equiltero cuyo lado mide 6cm y la altura 4cm3. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

cuadrado cuyo lado mide 14cm y la apotema de la pirmide mide 9cm4. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

cuadrado cuyo lado mide 16cm y la altura 11cm5. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

cuadrado cuya diagonal mide 20cm y la altura 5 6cm6. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es el

hexgono ABCDEF donde 24CF m y la altura de la pirmide mide 18m7. Calcule el rea de la base, el rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

pentgono cuyo lado mide 20cm , la apotema de la base 13m y la apotema de lapirmide 17m

8. Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

pentgono y la apotema de la base es 13cm y la apotema de la pirmide mide 22cm9. Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

heptgono cuyo lado mide 19cmy la altura de la pirmide mide 29cm10.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

octgono cuyo lado mide 20cm y la apotema de la pirmide 15cm11.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

decgono cuyo radio mide 7cm y la altura de la pirmide 13cm12.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

endecgono cuyo radio mide 4cm y la apotema de la pirmide 12cm13.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

pentadecgono cuyo lado mide 22cm y la altura de la pirmide 30cm14.Calcule el rea de la base, rea lateral y el rea total de una pirmide, si la base es un

pentgono con una diagonal que mide 12cm y altura de la pirmide mide 8cm

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rial G

rupo F

nix

42 GEOMETRA

GRUPO FNIX

REA TOTAL Y REA PARCIAL DEL CONO

Es el cuerpo de revolucin obtenido al hacer girar un tringulo rectngulo alrededor de uno

de sus catetos.

Elementos del cono circular recto

:r radio de la base

:h altura del cono

:g generatriz del cono


rea de la base rea lateral

2bA r LA r g T L bA A A

Ejemplo

Con base en las medidas de la figura determine el rea de la base y el rea lateral y total del

cilindro.

Figura bA LA TA

2

2636

b

b

b

A rAA

6 1060

L

L

L

A r gAA

36 60

96

T b L

T

T

A A AAA


1. Calcule el rea de la base, rea lateral y rea total de un cono si el radio es de 8cm y lageneratriz mide 10cm .

2. Calcule el rea de la base, rea lateral y rea total de un cono, si el radio es de 5cm yla generatriz mide 6 2cm .

3. Calcule el rea de la base, rea lateral y rea total de un cono, si el radio es de 7 5cmy la generatriz mide 9 7cm .

4. Si la altura de un cono mide 12cm y el radio de la base 9cm , determine el rea de labase, rea lateral y rea total.

5. Si la longitud de la circunferencia de la base de un cono es de 24 cm y la altura es de17cm , determine el rea de la base, rea lateral y rea total del cono.

h

r

g

8

6

10

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n El

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Edito

rial G

rupo F

nix

GEOMETRA 43

GRUPO FNIX

REA TOTAL DE UNA ESFERA

Una esfera es un slido cerrado delimitado por una superficie en la que todos los puntos se

encuentran equidistantes de un punto central llamado centro.

Elementos de la esfera

:r radio de la esfera

rea total

24TA rEjemplo

Con base en la informacin dada determine el rea de la esfera.

Esfera TA24 r

24 464

24 r 24 2 580


1. Calcule el rea de una esfera si el radio mide 13cm .2. Calcule el rea de una esfera si el radio mide 19cm .3. Calcule el rea de una esfera si el radio mide 13 7cm .4. Si el rea de una esfera es de 2144 cm , cul es la medida del radio?5. Si el rea de una esfera es de 2196 cm , cul es la medida del radio?6. Si el rea de una esfera es de 2256 cm , cul es la medida del radio?

r

2 5

4

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n El

ectrn

ica

Edito

rial G

rupo F

nix

44 GEOMETRA

GRUPO FNIX


1. El rea total de un cilindro circular recto es 144 . Si el radio de la base es congruentecon la altura del cilindro, entonces, Cul es el volumen de dicho cilindro?A) 84B) 216

C) 512D) 729

2. Si la media del radio de una esfera se aumenta en 3 , entonces, su rea es 196 . Cules la medida del radio de la esfera original?A) 3B) 4

C) 7D) 7 3

3. Si la medida de la diagonal de un cubo es 18 , entonces la medida del rea lateral dedicho cubo es igual aA) 72B) 168

C) 432D) 648

4. Si el rea lateral de una pirmide recta de base cuadrada es 432 y la medida de laapotema de la pirmide es 18 , entonces el volumen de la pirmide corresponde aA) 288 5B) 576 2

C) 4608 7D) 5184 2

5. El volumen de un cono circular recto es de 729 y la altura es el triple del radio de labase. Cul es el rea lateral del cono?A) 243B) 81 10

C) 162 10D) 729 10

6. Cul es el rea lateral de una pirmide recta de bse cuadrada, si la medida de cadauno de los lados de la base es 10 y la medida de la altura de la pirmide es 12 ?A) 240B) 260

C) 312D) 624

7. El rea basal de un cono circular recto es 14 . Si la medida de la altura es 5 2 ,entonces el rea lateral de dicho cono es

A) 4 2B) 8 14

C) 5 28D) 70 2

8. En un prisma recto, la base es un cuadrado cuya medida de la diagonal es 18 , si laaltura del prisma es 2 3 , entonces, Cul es su volumen?A) 6 6B) 9 3

C) 18 3D) 36 3

9. Si en una pirmide cuadrangular recta la medida de su apotema es 3 y la del lado de subase es de 2,5 entonces el rea total esA) 10B) 15

C) 21,25D) 36,25

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UNIDAD IIRELACIONES YLGEBRA

Conocimientos Habilidades especfica

Funciones trigonomtricasngulos Arcos Radianes Grados

Circunferenciatrigonomtrica

Seno, Coseno, Tangente,Cotangente, Secante,Cosecante

Identidades trigonomtricas

Ecuaciones trigonomtricas

1. Interpretar la informacin proveniente de diversas fuentes, acerca de la utilizacin dela trigonometra en el desarrollo cientfico y tecnolgico.

2. Identificar situaciones del entorno que pueden ser modeladas por funcionestrigonomtricas.

3. Representar ngulos en posicin estndar, a partir de arcos de medidas: rad, 2

rad,2

rad,32 rad,

14 rad,

34 rad,

16 rad,

56 rad,

13 rad ,

23 rad y 0 rad.

4. Expresar la medida de un ngulo en grados o en radianes.5. Transformar radianes en grados o grados en radianes.6. Determinar ngulos definidos en la circunferencia trigonomtrica.7. Ubicar ngulos, en posicin estndar, positivos o negativos, de cualquier medida, en

la circunferencia trigonomtrica.8. Caracterizar las funciones seno, coseno y tangente de acuerdo a su criterio, dominio,

codominio y mbito.9. Determinar las imgenes de las funciones seno y coseno para los valores (en grados

o en radianes) correspondientes a3

, , , 22 2

, 3 5 7, , ,4 4 4 4

, 2 4 5, , ,3 3 3 3

,5 7 11

, , ,

6 6 6 6

.

10. Determinar las imgenes de la funcin tangente para los valores (en grados o enradianes) correspondientes a

0, , 2 , 3 5 7, , ,4 4 4 4

2 4 5

, , ,

3 3 3 3

5 7 11

, , ,

6 6 6 6

11. Justificar la variacin en el signo de las imgenes obtenidas para las funciones seno,coseno y tangente.

12. Analizar la monotona, paridad y periodicidad de las funciones seno, coseno ytangente.

13. Representar en forma tabular, algebraica y grfica las funciones seno, coseno ytangente.

14. Utilizar la circunferencia trigonomtrica para obtener la identidad trigonomtrica

fundamental: 2 2cos 1sen .15. Aplicar la relacin de reciprocidad de las funciones secante, cosecante y cotangente,

con las funciones coseno, seno y tangente, para comprobar identidades

trigonomtricas simples como2 21 cot csc , 2 21 tan s ce .

16. Resolver ecuaciones trigonomtricas sencillas en el intervalo [0,2].17. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones

trigonomtricas.

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46 RELACIONES Y LGEBRA

GRUPO FNIX

APORTES DE LA TRIGONOMETRA EN EL DESARROLLO CIENTFICO

Es una rama de la matemtica que estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de

los tringulos. Etimolgicamente significa medida de tringulos. Las primeras aplicaciones

de la trigonometra se hicieron en los campos de la navegacin, la geodesia (forma y

dimensiones de la tierra) y la astronoma, en los que el principal problema era determinar

una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no poda ser medida de forma directa,

como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las

funciones trigonomtricas en la fsica y en casi todas las ramas de la ingeniera, sobre todo

en el estudio de fenmenos peridicos, como el flujo de corriente alterna.

Como podemos ver las aplicaciones de la trigonometra son muchas, sin embargo para

mencionar un caso particular en el cual se utiliza y lo vivimos en nuestra vida diaria es el

caso de la posicin de objetos sobre la tierra donde se puede localizar de forma muy

precisa. Esto se lleva a cabo usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24satlites en rbita exacta, que estn difundiendo constantemente su posicin. Consiste en

un pequeo instrumento electrnico de mano que recibe sus seales y nos devuelve nuestra

posicin con un error de 10 20 metros ( an es ms preciso para usos militares, lospatrocinadores del sistema). Para lograr esta tarea se usa una gran cantidad de

trigonometra, esta ha sido aplicada por programadores de computadoras. En el caso de los

usuarios lo que hacen es pulsar los botones apropiados para utilizar esta tecnologa.

Como se muestra en el ejemplo anterior, as existe gran cantidad de aplicaciones donde el

uso de la trigonometra es fundamental, podemos mencionar, adems de la astronoma e

ingeniera y la fsica, a la qumica, esttica, cinemtica y dinmica, en corriente alterna, en

magnetismo y electromagnetismo, ondas, luz y sonido, difraccin (Desviacin del rayo

luminoso al rozar el borde de un cuerpo opaco.) e interferencia, resonancia, geografa (para

medir la altura de las montaas desde abajo, por ejemplo), tambin para medir la altura de

un edificio. y muchas aplicaciones que aunque no conocemos en forma terica, si utilizamos

en nuestro vivir.

A este nivel se definen y estudian nicamente las razones y funciones trigonomtricas

seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

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RELACIONES Y LGEBRA 47

GRUPO FNIX

NGULOS EN POSICIN ESTNDAR (NORMAL). LADO INICIAL Y LADO TERMINALDE UN NGULO.

Son aquellos ngulos que se caracterizan por tener su lado inicial ( L I ) sobre el semieje

positivo de las abscisas (eje x), su vrtice coincide con el origen del sistema de coordenadas

cartesianas y su lado final ( L F ) se ubica en cualquiera de los cuatro cuadrantes.

ngulos positivos

Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

ngulos negativos

Cuadrante IV Cuadrante III Cuadrante II Cuadrante I

Trabajo cotidiano # 11. Ubique los siguientes ngulos en el sistema de coordenadas cartesianas adjunto

a) 10b) 70c) 100d) 170e) 190f) 255g) 282h) 350

a) 12b) 78c) 111d) 172e) 189f) 250g) 285h) 356

30

x

y L F

L I

130

L F

x

y

L I

40

x

y

L F

L I

125

x

y

L F

L I

234

x

yL F

L I

332

x

yL F

L I

220

L F

L I x

y

300

L F

L Ix

y

x

y

x

y

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48 RELACIONES Y LGEBRA

GRUPO FNIX

CONCEPTO DE RADIN

Es el ngulo central de una circunferencia en el que la longitud del arco y del radio son

iguales. Su smbolo es rad .

Conclusiones

a) 1rad r

b) La longitud de la circunferencia es 2 rc) Para saber cuntas veces cabe un radian en la

circunferencia dividimos2 2r rad

r

d) Recordemos que la circunferencia en grados es 360De esta forma establecemos una equivalencia entre longitud

y grados : 2 360rad , podemos despejar de dos formas

Trabajo cotidiano # 21. Cul es la medida en grados de un radian?

2. Cul es la medida en grados de 2rad radianes?

3. Cul es la medida en grados de 3rad radianes?4. Cuntos radianes caben aproximadamente en una circunferencia?

5. Cuntos radianes caben aproximadamente en una semicircunferencia?

6. Cul es la medida en grados de rad radianes?

7. Cul es la medida en grados de 2 rad radianes?

8. Cul es la medida en grados de3 rad radianes?

9. Cul es la medida en grados de2

rad radianes?

r

r

) 2 360360

2180

a rad

rad

rad

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