_05_Contrastes_significación

5/10/2018 _05_Contrastes_significación - slidepdf.com

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1

QUIMIOMETRÍACONTRASTES DE SIGNIFICACIÓN

Iván Tapia



2

CONTRASTES DE SIGNIFICACIÓN Una de las propiedades más importantes de un

método analítico es que debe estar libre de erroressistemáticos.

Esto significa que el valor dado para la cantidad de

analito debería ser el valor verdadero. Esto se puede verificar mediante una muestra de

ensayo estándar.

Para verificar que la diferencia de las mediciones sedebe a errores aleatorios se usa el contraste designificación.



3

CONTRASTES DE SIGNIFICACIÓN

Comparación de una media experimental con un

valor conocido

s

x xt i −

=



4



valor conocido

HIPÓTESIS RELATIVAS A UNA MEDIA

Hipótesis nula H0: la media es igual al valor verdadero

Hipótesis alterna H1: La media es diferente al valor verdadero.

Errores de inferencia:

SITUACIÓN REAL

Decisión Hipótesis nula verdadera Hipótesis nula falsa

Aceptar la hipótesis nula Correcto Error de tipo II

Rechazar la hipótesis nula Error de tipo I Correcto



5



valor conocido

Asumiendo que se han realizado pocos análisis:

Para decidir si ¯ x y µ es significativa, es decir para contrastar H0,

µ = la media de la población

¯ x = media muestral

s = desviación estándar muestral

N = tamaño muestral

s

N xt

)( µ −=



6



valor conocido

Ejm : en un método para determinar seleourea en agua, se obtuvieron los siguientes

valores para muestras de agua de grifo adicionadas con 50 ng/ml de selenourea: ¿Hay alguna evidencia de error sistemático?

s

N xt

)( µ −=

Determinación C,

ngml-1x1 50,4

x2 50,7

x3 49,1x4 49,0

x5 51,1

t 95% = 2,78

t = 0,14

Resp: No hay evidencia deerror sistemàtico



7


Contrastes de una y dos colasCONTRASTE BILATERAL: Cuando el analista no tiene una idea preconcebida previa

a las mediciones experimentales, en cuanto a si la diferencia entre la mediaexperimental y el valor de referencia será positiva o negativa (“dos colas” )

CONTRASTE UNILATERAL: Si previo a las mediciones experimentales, el analistasabe la dirección de la diferencia entre la media experimental y el valor de referenciaserá positiva o negativa (“ una cola” )

H0 : µ 1 = ¯ x

H1

: µ 1

≠ ¯ x

H0 : ¯ x = µ

H1 : ¯ x > µ

¯ x < µ



8

Ejm . Se sospecha que un método de valoración ácido – base tiene un error de indicador

significativo y, por tanto, tiende a dar resultados con un error sistemático positivo (es decir, sesgo positivo). Para comprobar esto se utiliza una disolución exactamente 0,1 M de ácido para valorar 25,00 ml de otra disolución exactamente 0,1 M de una base, con los siguientes resultados (ml):

25,06 25,18 24,87 25,51 25,34 25,41

Contrastar la existencia del sego positivo en estos resultados

¯ x = 25,228 ml S = 0,238 ml

ν = 5 t = 2,35

t crítico = 2,02 (P = 0,05; contraste a una cola)

Al 95% de confianza se rechaza la hipótesis nula

H0 : ¯ x = µ

H1 : ¯ x > µ

s

N xt

)( µ −=


Contrastes de una y dos colas



9

NC : nivel deconfianza

P : probabilidadde error

Contrastebilateral

Contrasteunilateral



10


Comparación de dos medias experimentalesSi se desconoce las varianza de la población (en la práctica)

c) Para datos emparejados

d s

N d t =

ν = N 1+N 2 - 2

Se emplea cuando se comparan dos métodos de análisis estudiandomuestras de ensayo que contienen sustancialmente diferentes cantidades deanalito.

Ejm: se muestran a continuación los resultados de la determinación de la concentración de paracetamol (% p/p) en pastillas por dos métodos diferentes. Se analizaron diez pastillas de diez lotes diferentes para ver

si diferían los resultados obtenidos por los dos métodos.



11



a) Para datos emparejados

Prueba t para medias de dos muestras emparejadas P 0,05

Ensayo

espectrofotometr

ía UV

Espectroscopía

de reflectancia

en el IR cercano Media 84,057 83,878

Varianza 0,113912222 0,120951111Observaciones 10 10

Coeficiente de correlación de Pearson -0,415899035Diferencia hipotética de las medias 0Grados de libertad 9Estadístico t 0,98165285

P(T<=t) una cola 0,175960704Valor crítico de t (una cola) 1,833112923P(T<=t) dos colas 0,351921408Valor crítico de t (dos colas) 2,262157158

LOTE

Ensayo

espectrofotomet

ría UV

Espectroscopía

de reflectancia

en el IR cercano1 84,63 83,152 84,38 83,723 84,08 83,644 84,41 84,205 83,82 83,926 83,55 84,16

7 83,92 84,028 83,69 83,609 84,06 84,13

10 84,03 84,24

Con EXCEL



12



b) Para datos emparejados

LOTE

Ensayo

espectrofotomet

ría UV

Espectroscopía

de reflectancia

en el IR cercano

1 84,63 83,152 84,38 83,723 84,08 83,644 84,41 84,205 83,82 83,926 83,55 84,167 83,92 84,02

8 83,69 83,609 84,06 84,1310 84,03 84,24

Prueba t para medias de dos muestras emparejadas P 0,01

Ensayo

espectrofotometr

ía UV

Espectroscopía

de reflectancia

en el IR cercano Media 84,057 83,878


Coeficiente de correlación de Pearson -0,415899035Diferencia hipotética de las medias 0Grados de libertad 9Estadístico t 0,98165285

P(T<=t) una cola 0,175960704

Valor crítico de t (una cola) 2,821437921P(T<=t) dos colas 0,351921408Valor crítico de t (dos colas) 3,249835541

Con EXCEL



13


Comparación de dos medias experimentales

2

2

2

1

2

12121

N N z x x

σ σ µ µ +±−=− )()(

Si se conocen las varianzas de la población (en teoría)

21

2121

11

N N z x x +±−=− σ µ µ )()(

Si σ1 = σ2

21



14



21

2121

11

N N ts x x p +±−=− )()( µ µ

( ) ( )( ) ( )11

21

2

22

2

112

−+−

−+−=

∑ ∑ N N

x x x xs p

( ) ( )

( )2

11

21

2

22

2

112

−+

−+−=

N N

s N s N s p

( )

21

21

11 N N

s

x xt

p +

−=

Si se desconoce la varianza de la población (en la práctica)

ν = N 1+N 2 - 2

b) Si las muestras se extraen de poblaciones con desviaciones estándar iguales



15



Ejm . En una comparación de dos métodos para la determinación de cromo se obtuvieron los siguientes resultados:

Método 1: ¯ x1 = 1,48; s = 0,28

Método 2: ¯ x 2

= 2,33; s = 0,31

Para cada método se realizaron 5 determinaciones. ¿Estos dos métodos proporcionan resultados cuyas medias difieren significativamente?

( )

21

21

11

N N s

x xt

p +

−=

s = 0,295

t 95% = 2,1 → Prueba bilateral

t 99% = 3,36

t = 4,56**Hay diferencia “ altamente significativa”

H0 : ¯ x 1 = ¯ x 2

H1 : ¯ x 1 ≠ ¯ x 2

Si se desconoce las varianza de la población (en la práctica)



16



Ejm . En una serie de experimentos para la determinación de estaño en productos alimenticios, las muestras fueron llevadas a ebullición con HCl a reflujo para diferentes tiempos, los resultados fueron los que se indican en la tabla. ¿Es significativamente diferente la cantidad media de estaño encontrada para los dos tiempos de ebullición?

Tiempo de reflujo

Estañoencontrado

30 min 75 min

x1 55 57

x2 57 55

x3 59 58

x4 56 59

x5 56 59x6 59 59

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

30 min 75 min

Media 57 57,833

Varianza 2,8 2,567

Observaciones 6 6

Varianza agrupada 2,6833Diferencia hipotética de las medias 0Grados de libertad 10Estadístico t -0,8811P(T<=t) una cola 0,1995Valor crítico de t (una cola) 1,8125P(T<=t) dos colas 0,3989Valor crítico de t (dos colas) 95% 2,2281

Si se desconoce las varianza de la población (en la práctica)



17



RESUMEN:

Para saber si µ1 = µ2 se debe demostrar que H0 : ¯ x 1 = ¯ x 2

Las muestras deben tener dos desviaciones estándar que no

son significativamente diferentes s1 = s2 (varianzas iguales)

Es un ensayo bilateral (“dos colas”)

APLICACIONES:

Para comparar un método nuevo con uno de referencia.

Para decidir si un cambio de condiciones de un experimentoafecta el resultado



18



c) Cuando es poco probable que las desviaciones estándar de las poblaciones sean iguales

2

2

2

1

2

1

21

N

s

N

s

x x

t +

−

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=

)()( 112

2

2

4

2

1

2

1

4

1

2

2

2

2

1

2

1

N N

s

N N

s

N

s

N

s

ν

Redondeándose el valor a entero



19



c) Cuando es poco probable que las desviaciones estándar de las poblaciones sean iguales

Ejm . Los datos de la siguiente tabla proporcionan la concentración de tiol (mM) en el lisado

sanguíneo de dos grupos de voluntarios, siendo el primer grupo “normal” y el segundo sufriendo artritis reumatoide. ¿Hay diferencia en las concentraciones de tiol para ambos grupos?

Normal Reumatoide

1,84 2,81

1,92 4,06

1,94 3,62

1,92 3,27

1,85 3,27

1,91 3,70

2,07

2

22

1

21

21

N s

N s

x xt

+

−=



20



Normal Reumatoide

1,84 2,811,92 4,06

1,94 3,62

1,92 3,27

1,85 3,271,91 3,70

2,07

P 0,05

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales

Normal Reumatoide

Media 1,92142857 3,465


Diferencia hipotética de las medias 0

Grados de libertad 5

Estadístico t -8,4772393P(T<=t) una cola 95% 0,00018765Valor crítico de t (una cola) 2,01504837P(T<=t) dos colas 0,00037529Valor crítico de t (dos colas) 95% 2,57058183

Con EXCEL



21



Normal Reumatoide

1,84 2,81

1,92 4,06

1,94 3,62

1,92 3,27

1,85 3,27

1,91 3,702,07

P 0,01

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales

Normal Reumatoide

Media 1,92142857 3,465Varianza 0,00571429 0,19403

Observaciones 7 6Diferencia hipotética de las medias 0Grados de libertad 5

Estadístico t -8,4772393P(T<=t) una cola, 95% 0,00018765Valor crítico de t (una cola) 3,36493P(T<=t) dos colas 0,00037529Valor crítico de t (dos colas) 95% 4,03214298

Con EXCEL



22

Ejercicio Los siguientes datos proporcionan la recuperación de

bromuro a muestras con contenido vegetal, medido

mediante un método cromatográfico gas – líquido. Lacantidad de bromuro potásico añadido a cada tipo devegetal fue la misma. Se desea saber si las tasas derecuperación de bromuro difieren significativamente.

Muestra Vegetal:tomate

Vegetal:pepino

ug g-1 ug g-1

A 777 782

B 790 773

C 759 778

D 790 765

E 770 789

F 758 797

G 764 782



23


Comparación entre varianzas En pruebas sobre significación de las medias se

supone que las dos muestras cuyas medias seestán comparando tienen la misma desviaciónestándar

Las desviaciones pertenecen a la misma poblaciónde desviaciones estándares.

A menudo es importante saber, con cierto grado de

certidumbre, si las desviaciones estándares de dosmuestras son las mismas.

Si no difieren significativamente tales desviaciones

se consideran homogéneas .



24

Comparación entre varianzas

PRUEBA “F” De haber solo dos varianzas se aplica la prueba de

razón de varianzas, conocida como prueba F* Si se supone que las dos varianzas se toman de la

misma población se puede asumir que S 21 = S 2,

Si esta condición no se satisface se puede asumirque S 21 > S 2

2.

Los grados de libertad correspondientes a S 21 y S 2

2

para tamaños de muestras n1

y n 2

, serí an ν1

y ν2.

* En honor a Sir Ronald Fisher (1890 –

1962)



25


PRUEBA “F”2

2

2

1

S

SF =

Hipótesis nula, H0: 2

2

2

1SS =

Hipótesis alterna, H1:2

2

2

1SS >

1

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

1

−

−

−

−

==∑

∑

N

x x

N

x x

S

SF

i

i

)(

)(

Grados de libertad: 111 −= N ν

122

−= N ν

H0

Zona deaceptación



26


PRUEBA “F”



27


PRUEBA “F”



28


PRUEBA “F”



29


PRUEBA “F” Ejemplo: Al poner a prueba cierto plástico para embalaje, se obtuvieron los

siguientes datos para el caso de dos muestras provenientes de dosfábricas

Fábrica Tamaño

muestral, n

Estimación de la desviación

estándarA 11 300

B 21 200

NSF 25,2

200300

2

=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ = 35,2

.=tabF



30

Ejemplo: Se comparó un método propuesto para la determinación de la Demanda Química de

Oxígeno DQO en las aguas residuales con otro método patrón (sales de mercurio). Los

siguientes resultados fueron obtenidos para una muestra de aguas residuales. Para cada método se realizaron 8 determinaciones

84

2

,1,51

3,31

=⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

=F

Método Media (mg / L) Desviación estándar (mg / L)

Patrón 72 3,31Propuesto 72 1,51

3,787% =95F

El valor F calculado excede al cr ítico, al 95% de confianza la varianza del método patrón essignificativamente mayor que la del método propuesto, por ello éste último es más preciso.


PRUEBA “F”



31


DATOS ANÓMALOS Es frecuente encontrarse con que uno o más resultados obtenidos en un

conjunto difiera de forma inexplicable. Para saber si de debe o no conservar el dato se usa el contraste de Dixon

o contraste Q

queñope.más.valorgrande.más.valor

cercano.más.valorsospechoso.valor

−

−=Q

El contraste es válido para tamañosmuestrales de 3 a 7 y supone que lapoblación es normal

H0: dato sospechoso no es anómalo

Q < Q 95%

H1: dato sospechoso es anómalo

Q > Q95%

Ó



32


DATOS ANÓMALOS Ejemplo: Se obtuvieron los siguientes valores para la concentración de nitrito

(mg/L) en una muestra de agua de río.

0, 403 0,410 0,401 0,380

7038004100

40103800,

,,

,,=

−

−=Q

Valor crítico: Q 95% = 0,831

La medida no es una observación anómala

Ó



33


ANÁLISIS DE VARIANZA Se emplea cuando se presentan comparaciones en las que

intervienen más de dos medidas.

Sirve para contrastar la hipótesis de que todas las medias soniguales. Fuentes de variación:

1. Error aleatorio de la medida

2. Factor controlado o de efecto fijo El ANOVA (o ADEVA) es una técnica estadística muy potente

para separar y estimar las diferentes causas de variación. En un experimento de un factor , las medidas u observaciones

se obtienen para grupos independientes de muestras (otratamientos)

Hay experimentos de dos factores que pueden ser lostratamientos y bloques.

Se puede obtener más información acerca de los factoresrepitiendo el experimento (varias muestras por grupo)



34

A) ANALSIS DE VARIANZA DE UN FACTOR

Se muestran a continuación los resultados obtenidos en una investigación de la estabilidad de

un reactivo fluorescente bajo diferentes condiciones de almacenamiento. Los valores proporcionados son señales de fluorescencia (en unidades arbitrarias) en soluciones diluidas de la misma concentración. Se obtuvieron 3 medidas de cada muestra

A: solución recién preparada

B: almacenada una hora en la oscuridad

C: almacenada una hora en luz tenue

D: almacenada una hora en luz brillante

Muestras o tratamientos

Repeticiones A B C D TOTAL

1 102 101 95 90 388

2 100 101 97 92 390

3 101 104 99 94 398TOTAL 303 306 291 276 1176


ANÁLISIS DE VARIANZA

Ó



35



Muestras o tratamientosRepeticiones A B C D TOTAL

1 2 1 -5 -10 -122 0 1 -3 -8 -103 1 4 -1 -6 -2

TOTAL 3 6 -9 -24 -24

Simplificando:

A) ANALSIS DE VARIANZA DE UN FACTOR

Se muestran a continuación los resultados obtenidos en una investigación de la estabilidad de

un reactivo fluorescente bajo diferentes condiciones de almacenamiento. Los valores proporcionados son señales de fluorescencia (en unidades arbitrarias) en soluciones diluidas de la misma concentración. Se obtuvieron 3 medidas de cada muestra

Ó



36


ANÁLISIS DE VARIANZA( )

r m

X FC

×=

∑2

FC xSCT −= ∑ 2

( )FC

r

X SCM

m −= ∑ ∑2

1−= mGLM

( ) 1−×= r mGLT

GLM GLT GLE −=

GLM

SCM

CMM =

GLE

SCE CME =

CME

CMM F m =

Fuente de varoación

Suma de

cuadrados

(SC)

Grados de

libertad

(GL)

Cuadrado

medio

(CM)

F Valor crítico

para F 95%

Valor crítico

para F 99%

Entre grupos 186 3 62 20,67 4,07 7,59

Dentro de los grupos 24 8 3Total 210 11

Ó



37

Análisis de varianza de un factor

RESUMEN

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza A 3 303 101 1B 3 306 102 3C 3 291 97 4D 3 276 92 4

Con EXCEL



ANÁLISIS DE VARIANZA P = 0,05

Origen de las

variaciones

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedio de

los cuadrados F Probabilidad

Valor crítico

para F

Entre grupos 186 3 62 20,67 0,00040015 4,07Dentro de los grupos 24 8 3

Total 210 11

Muestras o tratamientosRepeticiones A B C D TOTAL

1 102 101 95 90 3882 100 101 97 92 390

3 101 104 99 94 398TOTAL 303 306 291 276 1176

PROMEDIO 101 102 97 92 392




38



r St DMS

error

error

2

2 )(

).(ν =

Cálculos:

Diferencia mínima significativa: la DMS es la prueba más fácil para compararpares de medias de tratamientos.

2

2

2

1

SSF = error

A B C D

Promedio: 101 102 97 92

Ordenando:B A C D

102 101 97 92

X

Varianza error 3

Grados de libertad 8

2,31

DMS= 3,27

=2

2s

=%95t

=ν




39


ANÁLISIS DE VARIANZACálculos:

Rangos (comparaciones):

B - A: 102 - 101 = 1 < 3,27 iguales B

B - C: 102 - 97 = 5 > 3,27 diferentes A

B - D: 102 - 92 = 10 > 3,27 diferentes C

A - C: 101 - 97 = 4 > 3,27 diferentes D

A - D: 101 - 92 = 9 > 3,27 diferentesC - D: 97 - 92 = 5 > 3,27 diferentes

B A C D102 a 101 a 97 b 92 c

Conclusiones:

No hay diferencia significativa (P 0,05) entre las muestras A y B ( reciénpreparada y almacenada una hora en la oscuridad respectivamente)

La luz afecta la estabilidad del reactivo




40

B) ANALSIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES (una muestra por grupo)

En un experimento para comparar la eficiencia porcentual de diferentes agentes quelantes en

le extracción de iones metálicos en solución acuosa, se obtuvieron los resultados de la tabla, probar si existe diferencia en la acción de os diferentes agentes.



MUESTRAS

Repeticiones A B C D TOTAL

1 84 80 83 79 3262 79 77 80 79 3153 83 78 80 78 319

TOTAL 246 235 243 236 960

FUENTE DE VARIACIONGRADOS DE

LIBERTAD

SUMA DE

CUADRADOS

CUADRADO

MEDIO

F calc. F tab. 95% F tab. 99%

MUESTRAS 3 28,67 9,56 5,83 2.71 4.07Repeticiones 2 15,50 7,75 4,73 2.36 3.36Error 6 9,83 1,64Total 11 54,00




41


ANÁLISIS DE VARIANZACálculos:

Factor de corrección:FC= 76800,00

Suma de cuadrados:SCM= 28,67SCR= 15,50SCT= 54,00SCE= 9,83

Grados de libertad:GLM= 3GLR= 2GLT= 11GLE= 6

Cuadrado medio:CMM= 9,56CMR= 7,75CME= 1,64

Prueba F:FM= 5,83FR= 4,73

( )r m

X FC

×= ∑

2

( )FC

m

X SCR

r −=

∑ ∑2

FC xSCT −= ∑ 2

( ) FC r

X SCM

m

−= ∑ ∑2

1−= mGLM

1−= r GLR

( ) 1−×= r mGLT

GLM GLRGLT GLE −−=

GLM

SCM CMM =

GLR

SCRCMR =

GLE

SCE CME =

CME

CMM F m

=

CME

CMRFr =

SCRSCM SCT SCE −−=




42


ANÁLISIS DE VARIANZACon EXCEL

Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo P 0,05

RESUMEN Cuenta Suma Promedio Varianza 1 4 326 81,5 5,666666672 4 315 78,75 1,583333333 4 319 79,75 5,58333333

A 3 246 82 7

B 3 235 78,3333333 2,33333333C 3 243 81 3D 3 236 78,6666667 0,33333333

ANÁLISIS DE VARIANZAOrigen de

las

variaciones

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedio

de los

cuadrados

F Probabilidad Valor crítico

para F

Filas 15,5 2 7,75 4,72881356 0,058482411 5,14325285Columnas 28,6666667 3 9,55555556 5,83050847 0,032756229 4,757062664Error 9,83333333 6 1,63888889

Total 54 11




43


ANÁLISIS DE VARIANZAC) ANALSIS DE VARIANZA DE DOS FACTORES (varias muestras por grupo)

Un investigador está interesado en estudiar los efectos de determinadas drogas en los accidentes

de tráfico. Para ello se somete en un simulador de conducción a tres mujeres y tres hombres a la influencia de tres tratamientos distintos: conducción bajo los efectos de la marihuana, bajo los efectos del alcohol, y sin haber tomado ninguna droga. El simulador puntúa entre 0 y 35,asociándose las puntuaciones más altas a las mejores condiciones para conducir. se obtuvieron los siguientes resultados:

SUJETO MARIHUANA ALCOHOL NO DROGA

M 19 8 21M 18 10 31M 25 10 26H 20 18 28H 17 7 14H 21 16 24




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ANÁLISIS DE VARIANZAAnálisis de varianza de dos factores con varias mu P 0,05

RESUMEN MARIHUANA ALCOHOL NO DROGA Total

M

Cuenta 3 3 3 9Suma 62 28 78 168

Promedio 20,67 9,33 26,00 18,67Varianza 14,33 1,33 25,00 64,50

H

Cuenta 3 3 3 9Suma 58 41 66 165Promedio 19,33 13,67 22,00 18,33

Varianza 4,33 34,33 52,00 36,25

Total

Cuenta 6 6 6Suma 120 69 144Promedio 20 11,5 24Varianza 8 19,9 35,6

ANÁLISIS DE VARIANZAOrigen de las

variaciones

Suma de

cuadrados Grados de libertad

Promedio de los

cuadrados F Probabilidad

Valor crítico

para F 95%

Valor crítico

para F 99%

Muestra 0,50 1,00 0,50 0,02 0,88 4,75 9,33Columnas 489,00 2,00 244,50 11,17 0,00 3,89 6,93

Interacción 54,33 2,00 27,17 1,24 0,32 3,89 6,93Dentro del grupo 262,67 12,00 21,89

Total 806,50 17,00

Altamente significativa



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Ejercicio Se llevó a cabo un experimento para medir la sensibilidad a la

deformación del Stresscoat en el caso de temperaturas diferentes decurado, que se aplican sin que se registraran errores sensibles. Se desea

determinar al nivel de significancia del 1%, si las diferencias observadasen los valores medios de la sensibilidad a la deformación para el caso detemperaturas diferentes había sido influida por errores aleatorios demuestreo (¿Qué tipo de diseño se aplica?)

Temperatura de curado (ºC)

Repeticiones 80 92 105 118 132

1 83 75 56 50 49

2 70 62 59 52 35

3 78 70 48 38 48

4 71 81 54 42 47

5 73 71 61 53 41

6 81 79 58 41 38

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